大学高等数学A1期末模拟题及答案
2020-2021大学《高等数学》(下)期末课程考试试卷A1(含答案)
2020-2021《高等数学》(下)期末课程考试试卷A1适用专业： 考试日期： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一.填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1.设(,)z f u v =可微2(,)z f xy x =，则zx∂=∂ ，z y ∂=∂ .2.微分方程220y y y '''-+=的通解为 .3.改变积分顺序1210(,)x dx f x y dy ⎰⎰= .4.函数u=xyz 在点(1,1,1)处最大的方向导数是 .5.设以2π为周期函数()f x 傅里叶级数为1[cos sin ]2n n n a a nx b nx ∞=++∑ ， 那么n a = ，n b = .二.单项选择. (共7小题，每小题2分，共14分)1.下列说法正确的是（ ）；(A)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则一定连续. (B)函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，则一定连续.(C)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则一定可微. (D) 函数),(y x f z =在点),(00y x 处无极限，，则偏导数一定不存在. 2.级数1(1)nn ∞=-∑一定 ( )； (A) 绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)无法确定收敛性. 3.积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关的充要条件是( )；(A)x Q y P ∂∂=∂∂ ， (B) xQ y P ∂∂-=∂∂， (C) y Q x P ∂∂=∂∂ ， (D) y Q y P ∂∂=∂∂. 4. 设),(y x f z =可微，则曲面)32,(y x xy f z +=的一个法向量是( )；(A)12{,,1}f f - ， (B) 1212{2,3,1}yf f xf f ++-， (C) {,2,1}yf f ''-， (D) 1212{2,3,1}yf f xf f ++5.设Ω是由锥面22y x z +=与平面2z =围成，则3dxdydz Ω⎰⎰⎰=( )；(A) 83π ， (B) 3π ， (C) 4π， (D)8π.6.若∑是上半球面z =，则对面积的曲面积分∑⎰⎰=（ ）；(A) 0 ， (B) 2π ， (C) 4π， (D)8π. 7. 微分方程2dyxy dx=，(0)2y =的解为（ ）. (A) 2x ce ， (B) 2x e ， (C) 22x e ， (D) 22x ce . 三、计算下列各题.(共5小题，每小题8分，共40分)1.设01xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩，求,u v x x ∂∂∂∂.2.求曲面22y x z +=夹在平面z=0,z=4之间的曲面面积.3.222()Lx y z ds ++⎰,其中L 是曲线cos ,sin ,x a t y a t z t ===上相应于t 从0到2π的一段弧.4.求I=⎰⎰∑++zdxdy ydxdz xdydz ，其中∑是上半球面z =的上侧.5.求(sin )(cos )x x L I e y ky dx e y k dy =-+-⎰，其中L 是由点)0,(a 到点（0，0）的上半圆周022=-+ax y x （y ≥0）.四.(8分)验证方程2223(36)(64)0x xy dx x y y dy +++=是全微分方程，求其通解.五.(11分)求幂级数210121n n x n ∞+=+∑的收敛半径，收敛区域与和函数()s x .并且求201(21)3nn n ∞=+∑的和.六.(12分)在第一卦限内作球面2221x y z ++=的切平面，使切平面与三坐标平面所围的四面体体积最小，并且求切点坐标.2020-2021《高等数学》(下)期末课程考试试卷A1答案适用专业： 考试日期： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一.填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1.设2(,)z f xy x =，则zx∂=∂122yf xf + ，z y ∂=∂1xf .2.微分方程220y y y '''-+=的通解为12(cos sin )x y e C x C x =+ .3.改变积分顺序121(,)x dx f x y dy ⎰⎰=1/2211/011/21(,)(,)ydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰. 4.函数u=xyz 在点(1,1,1)5.设以2π为周期函数()f x 傅里叶级数为01[cos sin ]2n n n a a nx b nx ∞=++∑ ， 那么n a =1()cos f x nxdx πππ+-⎰，n b =1()sin f x nxdx πππ+-⎰ .二.单项选择. (共7小题，每小题2分，共14分)1.下列说法正确的是（ B ）；(A)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则一定连续. (B)函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，则一定连续.(C)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则一定可微. (D) 函数),(y x f z =在点),(00y x 处无极限，，则偏导数一定不存在. 2.设曲线L 为正方形 1x y += 的边界，则Ldsx y+⎰ =( D )； (A) 0(B)(C) 3.积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关的充要条件是(A ).(A)x Q y P ∂∂=∂∂ ， (B) xQ y P ∂∂-=∂∂， (C) y Q x P ∂∂=∂∂ ， (D) y Q y P ∂∂=∂∂. 4.曲面2224x y z ++=在点的一个法向量是( B ).(A){1,1,1}- ，(B) {，(C) {1,1,， (D) {1,--5.函数22(,)44f x y x y x y =---的极大值为( C ).(A) (2,2)8f =- ， (B) (0,0)0f = ， (C) (2,2)8f -=， (D)不存在. 6. 若∑是上半球面z=，则对面积的曲面积分∑⎰⎰=（A ）.(A)0 ， (B) 2π ， (C) 4π， (D)8π. 7. 微分方程2dyxy dx=，(0)2y =的解为（C ）. (A) 2x ce ， (B) 2x e ， (C) 22x e ， (D) 22x ce . 三、计算下列各题.(共5小题，每小题8分，共40分)1.设01xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩，求,u v x x ∂∂∂∂.解22u xu yvx x y ∂+=-∂+，…….. 4分 ……22u yu xv x x y∂-=∂+……. 8分 2.求曲面22y x z +=夹在平面z=0,z=4之间的曲面面积.解 ⎰⎰++=Ddxdy y x S 22441 ………… 4分=)11717(64120202-=+⎰⎰ππθrdr r d ……….. 8分3.222()Lx y z ds ++⎰,其中L 是曲线cos ,sin ,x a t y a t z t ===上相应于t 从0到2π的一段弧.解 222()L x y z ds ++⎰=dt a t t a t a 1)cos sin (2202222+++⎰π…… 4分222)a ππ+ (8)分4.求I=dydz dxdy ∑+，其中∑是上半球面z =的上侧.解 因为2221x y z ++=，则I xdydz ydxdz zdxdy ∑=++⎰⎰由高斯公式得I=⎰⎰∑+∑++1zdxdy ydzdx xdydz - ⎰⎰∑++1zdxdy ydxdz xdydz ……4分=dxdydz ⎰⎰⎰Ω3-0………… 6分=2π-0=2π………… 8分5.求(sin )(cos )x x L I e y ky dx e y k dy =-+-⎰，其中L 是由点)0,(a 到点(0,0)的上半圆周022=-+ax y x （y ≥0）.解k yPx Q =∂∂-∂∂，由格林公式 1(sin )(cos )x x L L I e y ky dx e y k dy +=-+-⎰1(sin )(cos )x x L e y ky dx e y k dy --+-⎰=⎰⎰-Dkdxdy 0=28a kπ……… 8分四.(8分)设函数()y f x =满足全微分方程2(())(())0xy yf x dx f x x dy -++=，求()f x . 解 因为是全微分方程，则()()2P Qx f x f x x y x∂∂'=-==+∂∂，………. 4分 于是()(),f x f x x '+=-或y y x '+=-则 1x y x Ce =++，即 ()1x f x x Ce =++………..8分五.(12分)求幂级数210(1)21n n n x n ∞+=-+∑的收敛半径，收敛区域与和函数()s x .并且求0(1)(21)3nnn n ∞=-+∑的和. 解 R=1lim+∞→n nn a a =1 ……3 分. 因为1-=x ，1=x ，210(1)21n n n x n ∞+=-+∑发散，所以收敛区域为(1,1)-......5分 (21)0(1)arctan 21n n n x x n ∞+=-=+∑=()s x …………………8分令x =1)0(1)(2nn n n ∞+=-+∑=arctan 6π=…(1)(21)36n nn n ∞=-=+∑…..12分 六.(10分)求均匀半球体0z ≤≤的质心坐标.解 设 质心坐标为(,,)x y z ， 球体密度为ρ ，则x = 0y =… ..2分因为 32,,3zdv z dv a dv ρρρπρΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2/22401cos sin 4azdv d d r r d a ππρρθϕθθθρπΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰………..8分 于是，38z a =则质心坐标为3(0,0,)8π………..10分。
《高等数学》期末测试题及答案(大一上期)
大学一年级《高等数学》期末测试题一、单项选择题（每小题4分，共16分）1．|sin |()cos x f x x xe -=()x -∞<<+∞是（ ）。
（A ）奇函数； （B ）周期函数； （C ）有界函数； （D ）单调函数2．当0x →时，2()(1cos )ln(12)f x x x =-+与（ ）是同阶无穷小量。
（A ）3x ； （B ）4x ； （C ）5x ； （D ）2x 3．直线2020x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面1x y z ++=的位置关系是（ ）。
（A ）直线在平面内； （B ）平行； （C ）垂直； （D ）相交但不垂直。
4．设有三非零向量,,a b c 。
若0, 0a b a c ⋅=⨯=，则b c ⋅=（ ）。
（A ） 0； （B ）-1； （C ）1； （D ）3二、填空题（每小题4分，共16分）1．曲线ln y x =上一点P 的切线经过原点(0,0)，点P 的坐标为 。
2．20tan lim (1)x x x x x e →-=- 。
3．方程2610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =，则(0)y '= 。
4． 曲线2 y x =、1x =与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 。
三、解下列各题（每小题6分，共30分）1．已知2sin ()lim ()t t t x f x t →+∞-=，求()f x '。
2．求不定积分1[ln(ln )]ln x dx x +⎰。
3．计算定积分1241sin (1x x dx x -+⎰。
4．求不定积分1sin 1cos x dx x ++⎰。
5．已知(ln )f x x '=，且(1)1f e =+，求()f x 。
四、（8分）设()f x 对任意x 有(1)2()f x f x +=，且1(0)2f '=-。
求(1)f '。
2016-2017 学年第二学期高等数学AII 期末试卷(试卷+A3排版+解析)
¨D
¨D
(C) [f (x) + g(y)] d x d y = 0
13.
设由方程组
y + xyz
z+x =1
=
0
确定的隐函数
y
=
y(x)
及
z
=
z(x)，求
dy dx ,
dz dx
.
14.
设连续函数
f (x)
满足方程
f (x)
=
ˆ
3x
f
() t d t + e2x,
求
f (x).
¨(
0
3
)
(
)
15. 计算曲面积分 I = x2 − yz d y d z + y2 − zx d z d x + 2z d x d y, 其中 Σ
xOy ydx
平面上一条简单光滑的正向闭曲线，原点在其所围闭区域之外，则
=
【】
C x2 + 4y2
(A) 4π
(B) 0
(C) 2π
(D) π
6. 微分方程 xy′′ − y′ = 0 满足条件 y′(1) = 1, y(1) = 0.5 的解为
【】
(A) y = x2 + 1 44
(B) y = x2 2
1,
√ − ¨x
⩽
y
⩽
√x}，则正确的选x 项为
¨
【】
(A) f (y)g(x) d x d y = 0
(B) f (x)g(y) d x d y = 0
¨D
¨D
(C) [f (x) + g(y)] d x d y = 0
高数a大一期末考试题简单及答案
高数a大一期末考试题简单及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 极限的定义中，如果对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，则称函数f(x)当x趋近于a时的极限为L。
以下哪个选项不是极限的定义？A. 函数f(x)在某点a处的极限B. 函数f(x)在某点a的左极限C. 函数f(x)在某点a的右极限D. 函数f(x)在某点a处的连续性答案：D2. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = |x|答案：B3. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = x^4D. f(x) = |x|答案：B4. 以下哪个函数在x=0处不可导？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^4答案：B5. 以下哪个选项是正确的不定积分？A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫x^2 dx = x^3 + CC. ∫1/x dx = ln|x| + CD. ∫e^x dx = e^x + C答案：C6. 以下哪个选项是正确的定积分？A. ∫[0,1] x dx = 1/2B. ∫[0,1] x^2 dx = 1/3C. ∫[0,1] x^3 dx = 1/4D. ∫[0,1] x^4 dx = 1/5答案：B7. 以下哪个选项是正确的微分方程的通解？A. y' = 2y => y = Ce^(2x)B. y' = 3y => y = Ce^(3x)C. y' = 4y => y = Ce^(4x)D. y' = 5y => y = Ce^(5x)答案：A8. 以下哪个选项是正确的二阶导数？A. y = x^3, y'' = 6xB. y = x^2, y'' = 2C. y = x^4, y'' = 12x^2D. y = x^5, y'' = 20x^3答案：B9. 以下哪个选项是正确的洛必达法则的应用？A. ∫0/0 型不定式，分子分母同时乘以分母的导数B. ∫∞/∞ 型不定式，分子分母同时乘以分子的导数C. ∫0/0 型不定式，分子分母同时除以分子的导数D. ∫∞/∞ 型不定式，分子分母同时除以分母的导数答案：D10. 以下哪个选项是正确的泰勒级数展开？A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...C. cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...D. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是________。
高等数学A1(1)答案.
08-09学年第一学期《高等数学A1》试卷(A卷得分：题号一二三四五六得分阅卷人一、填空题（每小题3分，共18分）1．设，则。
2．曲线的斜渐近线为。
3．设函数处处可导，则。
4. 。
5.已知，则满足的特解为。
6. 函数。
二、计算下列各题（满分18分，每小题6分）1. 求解：2．求定积分的值。
解：3. 求不定积分解：三、解答题（满分16分，每小题8分）1. 求解：原式=2．求的值。
解：而故四、应用题（满分16分，每小题8分）1、求心形线的全长。
解：2、试求的经过点，且在此点与相切的积分曲线。
解：由得：，由题设可得：，得：，所以所求的积分曲线为：五、综合题（满分16分，每小题8分）1、设常数，试确定函数在内的零点的个数。
解：，令得驻点。
由于当时，，即在单调递增，当时，，即在单调递减，所以在取得最大值，而所以在及各有的一个零点，即在内的零点的个数为2.2、求曲线的极值、拐点和凹凸区间。
解：令得驻点，令得单增（凸）极大值（）单减（凸）拐点（）单减（凹）六、证明题（满分16分，每小题8分）1、设试证明存在，并求。
证明：先证明由于，所以，假设，则，所以由数学归纳法，对一切，有。
下面证明单调递增。
由单调有界原理可得：存在，记为，则由可得：，解得：或（舍去）。
2、设函数在上连续，在内可导，，证明至少存在一点使得。
证明：取，则在上连续，在内可导，并且，由罗尔中值定理得：至少存在一点，使得：，即，因此。
历年天津理工大学高数期末考试试卷及答案
2015-2016年第二学期《高等数学AII 》期末考试试卷一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分共20分） 1、三重积分⎰⎰⎰Ω=dV z y x f I ),,(，其中Ω由平面1=++z y x ，1=+y x ，0=x ，0=y ，1=z 所围，化为三次积分是（ B ） A 、 ⎰⎰⎰---=211010),,(y x x dz z y x f dy dx I ； B 、 ⎰⎰⎰---=111010),,(y x x dz z y x f dy dx I ；C 、 ⎰⎰⎰--=11110),,(yx dz z y x f dy dx I ； D 、 ⎰⎰⎰--=11010),,(yx x dz z y x f dy dx I .2、设y e x u 2=，则=du （ A ）A. dy e x dx xe y y 22+；B. dy e xdx y +2；C. dy xe dx e x y y 22+；D. dy e x dx e x y y 22+. 3、微分方程y dxdyx= 的通解为（ C ）. A. C x y +-=； B. C x y +=； C. Cx y =； D. x y =.4、设1∑是222y x R z --=上侧，2∑是222y x R z ---=下侧，3∑是xoy 平面上圆222R y x ≤+的上侧，R Q P ,,在3R 空间上有一阶连续偏导数，且0=∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P ，则与曲面积分⎰⎰∑++1Rdxdy Qdzdx Pdydz 相等的积分是（ B ）(A) ⎰⎰∑++2Rdxdy Qdzdx Pdydz ；(B) ⎰⎰∑++3Rdxdy Qdzdx Pdydz ；(C)Rdxdy Qdzdx pdydz ++⎰⎰∑∑21 ；(D)Rdxdy Qdzdx pdydz ++⎰⎰∑∑31 .5、微分方程x xe y y y 396-=+'-''的特解形式为（ B ）A 、x axe 3-；B 、x e b ax 3)(-+；C 、x e b ax x 3)(-+；D 、x e b ax x 32)(-+ 解：特征方程0)3(9622=-=+-r r r ，321==r r ，特解形式为x e b ax y 3)(-*+=.选（B ）. 6、当)0,0(),(→y x 时， 22yx xyu +=的极限为（ A ） A 、不存在； B 、1； C 、2； D 、0. 7、下列级数收敛的是（ B ） A 、∑+∞=+121n n ； B 、∑+∞=131sin n n ； C 、∑+∞=+1441n n n ； D 、∑+∞=-121)1(n n n . 8、微分方程02=-'+''y y y 的通解为（ C ）A. x x e C e C y --=21；B. 221x xe C e C y --=； C. 221x xe C eC y -=-； D. x x e C e C y 221+=-.解：特征方程0)1)(12(122=+-=-+r r r r ，11-=r ，212=r ，通解为221xx e C e C y -=-.选（C ）.9、设⎰⎰+=Ddxdy y x I 21)(，⎰⎰+=Ddxdy y x I 32)(，D 由直线1=x ，1=y 与1=+y x 围成，则1I 与2I 的大小关系是（ A ）A 、21I I <；B 、21I I =；C 、21I I >；D 、21I I ≥. 10、积分 0 0adx ⎰⎰的极坐标形式的二次积分为（ B ）A 、⎰⎰40csc 02πθθa dr r d ；B 、⎰⎰40sec 02πθθa dr r d ；C 、⎰⎰20tan 02πθθa dr r d ；D 、⎰⎰40sec 0πθθa rdr d .二、填空题（每空3分，共30分）1、微分方程0))(,,(4='''y x y y x F 的通解含有(独立的)任意常数的个数是 2 个.2、设)(x f 是周期为π2的周期函数，且⎩⎨⎧<≤<≤--=ππx x x x f 000)(，它的傅立叶级数的和函数为)(x S ，则=)5(πS 2π. 3、已知函数)ln(22y x z +=，则=∂∂-∂∂xzy y z x0 . 4、设平面曲线L 为1||||=+y x ，则曲线积分=⎰+ds e Ly x ||||e 24.5、若曲线积分⎰---=Ldy y ax xy dx y xy I )(3)6(2232与路径无关,则=a 2 。
102521_高等数学A1期末考试模拟题一
高等数学A1 期末考试模拟题一一、填空题（每小题 3 分，共30 分）1．函数y=的定义域为。
2．32lim23nnn→∞-=-。
3. 若21,0()2,0xe xf xa x x⎧-<=⎨+≥⎩，在0x=处连续，则a=。
4. 已知2131lim1xx x kx→-+=--，则k=。
5.sin5limxxx→=。
6 . 21()xd e+=dx。
7.1lim(1cos)xxx→∞+= 。
8. 若2sin x为()f x的一个原函数，则()f x= 。
9. 22ln(1)xdt dtdx+=⎰。
10.1411xdxx-+⎰= 。
二、求下列极限（每小题6分，共12分）1.3sinlimxx xx→-2.11ln(1)limlnxxt dtx→+⎰三、求下列积分（每小题6分，共18分）1.1dxx⎛⎝⎰ 2.21xdxx+⎰ 3. 32⎰四、计算题（每小题8分，共16分）1.求由方程10yxe y-+=确定的隐函数()y y x=的导数dydx。
2.求曲线2121x ty t⎧=⎪⎨⎪=-⎩在1t=对应点处的切线方程与法线方程。
五、应用题（每小题8分，共24分）1. 求函数32()9151f x x x x =-++的单调区间及极值。
2. 某厂每批生产某种商品x 单位时的费用为()5200C x x =+（元），得到的收益为2()100.01R x x x =-（元）。
问每批生产多少个单位商品时，工厂获利最大？3.求由曲线sin y x =，0,2x x π==以及x 轴所围成图形的面积及该图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积。
(完整版)高等数学期末考试试题及答案(大一考试),推荐文档
+∞ （2010 至 2011 学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)注意事项：1、 满分 100 分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
试题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题 3 分，共 15 分）1. lim sin(x 2- 1) = ()x →1x -11 (A) 1；(B) 0；(C)2；(D)22.若 f (x ) 的一个原函数为 F (x ) ，则⎰e -xf (e -x )dx 为( )(A) F (e x ) + c ；(B) - F (e -x ) + c ；(C) F (e -x ) + c ；(D ) 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. F (e -x )+ cx(A) +∞ sin xdx ； (B)⎰1 1dx ； (C)x ⎰dx ； (D)0 e x dx 。
⎰-∞-1x-∞1 + x 2⎰-∞4. f (x ) 为定义在[a , b ]上的函数，则下列结论错误的是()(A) f (x ) 可导，则 f (x ) 一定连续；(B) f (x ) 可微，则 f (x ) 不一定可系专业级班学号姓名密封不 线密封线内要答题⎰⎩导；(C) f (x ) 可积（常义），则 f (x ) 一定有界；(D) 函数 f (x ) 连续，则 xf (t )dt 在[a ,ab ]上一定可导。
5. 设函数 f (x ) = lim 1 + x ，则下列结论正确的为()n →∞1 + x 2n(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点 x = 1；(C) 存在间断点 x = 0 ；(D) 存在间断点 x = -1得分评阅教师二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题 3 分，共 18 分）1. 极限limx →0x⎧x = 1 + t 2=.2. 曲线⎨ y = t 3 在t = 2 处的切线方程为 .3. 已知方程 y - 5 y ' + 6 y = xe 2x 的一个特解为- 1(x 2 + 2x )e 2x ，则该方程的通解为.f (x ) 24. 设 f (x ) 在 x = 2 处连续，且lim = 2 ，则 f '(2) =x →2 x - 25. 由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力 F （牛顿）与伸长量 s 成正比，即 F = ks （k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸 6 cm 时，所作的功为焦耳。
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第 1 页 共 4 页……………………………………………装………………………………订…………………………线………………………………………………………此处不能书写此处不能书写此处不能书写 此处不能书写此处不能书写 此处不能书写 此处不能书写高等数学A （1）综合测试3一、选择填空题(18%)1.d =_________d .2. 211dxx+∞⎰=_____________.3. 设()f x 是定义在[1,1]-上的连续奇函数, 则 121(sin )x f x dx-⎰=________.4. 设函数()21,0,1sin ,0x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩则0x =是函数的( ).(A)可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C)连续点 (D) 间断点,但左连续5. 设函数()f x '的图像如右图所示, 下列说法正确的是( ).(A) 130,,x x 都是函数()f x 的极值点 (B) 1x 是函数()f x 的极小值点 (C) 2x 是函数()f x 图像的拐点 (D) 3x 是函数()f x 的极大值点 6. 已知2x 是()f x 的一个原函数,则2(1)( ).xf x dx -=⎰（A ）222(1)x C --+ (B) 222(1)x C -+（C ）221(1)2x C --+ (D)221(1)2x C -+二、解答下列各题（36%）1.27lim 23xx x x →∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭2. 24sin limx x x x dx x→⎰ 3. 设()y y x =由1y xy e x +=+确定,求.x dy dx=4. 设()f u 为可导函数，且(cos )cos (),y f x f x =+求.y '5.设3sin 4cos x ty t=⎧⎨=⎩,求22,.dy d y dx dx 6.设y =求.y ''三、解答下列各题（36%）.1.2arctan 1x dx x+⎰2. 21712dx xx -+⎰3.94⎰4．设()2,0,cos ,xxe x f x x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩求 3 1().f x dx -⎰5. 求由双曲线4y x=与直线5x y +=所围成的图形面积，并求绕X 轴旋转一周所得立体的体积.6.求微分方程sin cos x y y x e -'+= 的通解. 四、解答下列各题（10%） 1.倍受关注的武广高铁于12月26日成功首发,据报道,目前日运力2万人次,票价499元,上座率30%.设上座率s 与票价x(百元)满足2()(9)s x a x b =-+,29x ≤≤.当票价为5百元时上座率为34% ,而票价2百元时恰好满座.试确定票价使铁道部收入最大. 2. 0()()()()2.().x f x x t f t dt f x x f x -=-⎰设有任意阶导数，且满足试求第2页共4页高等数学A （1）综合测试3参考答案一、选择填空题(18%).1.d=d .2. 211dxx+∞⎰=___1___.3. 设()f x 是定义在[1,1]-上的连续奇函数, 则 121(sin )x f x dx-⎰=__0___.4. 设函数()21,0,1sin ,0x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩则0x =是函数的( B ).(A)可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C)连续点 (D) 间断点,但左连续5. 设函数()f x '的图像如右图所示, 下列说法正确的是( C ).(A) 130,,x x 都是函数()f x 的极值点 (B) 1x 是函数()f x 的极小值点 (C) 2x 是函数()f x 图像的拐点 （D) 3x 是函数()f x 的极大值点 6. 已知2x 是()f x 的一个原函数,则2(1)( C ).xf x dx -=⎰（A ）222(1)x C --+ (B) 222(1)x C -+ （C ）221(1)2x C --+ (D)221(1)2x C -+二、解答下列各题（36%）1010lim ln 1lim 52323271.lim 23x x xxx x x x x e e e x →∞→∞⎛⎫+ ⎪-⎝⎭-→∞+⎛⎫=== ⎪-⎝⎭2243sin sin 12.limlim44x x x x x dx x x xx→→==⎰001.111 ,=0=0,=1yx yyx dy y y xy e x dxx y x y e y dy y dyx y dx x e dx==+=+''⋅+⋅+⋅=-=+3.设=(x)由确定，求解：两端对求导，则有：解得：将代入有从而4. (cos )cos (), =(cos )(sin )[sin ()]()y f x f x y f x x f x f x '''=+-+-设y=f(u)可导，5. 设3sin 4cos x t y t=⎧⎨=⎩,4sin 4tan ;3cos 3dy t t dxt-==-22234sec 44413tan tan .333cos 9cos td y d d dtt t dxdx dtdxtt-⎛⎫⎛⎫=-=-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32216.(2)=4(4).4x y y x y x x--'==-=''---设三、解答下列各题（36%）22arctan 11. =arctan (arctan )(tan )12x dx xd x arc x C x=++⎰⎰21111142.()ln71243433x dx dx dx dx C xx x x x x x -=-=-=+-+-----⎰⎰⎰⎰第 3 页 共 4 页……………………………………………装………………………………订…………………………线………………………………………………………此处不能书写此处不能书写此处不能书写 此处不能书写此处不能书写 此处不能书写 此处不能书写9413. ⎰2,,2,t x t d x t d t==则 93324224[22ln(1)]22ln13t dt t t==-+=-+⎰⎰从而。
()231,04.,().cos ,xxe x f x f x dx x x x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩⎰设求223303011191()cos [sin cos ][]21 (1)(sin 1cos1)2xxf x dx x xdx xe dx x x x e e ---=+=++=+-+⎰⎰⎰解：5. 求由双曲线4/y x =与直线5x y +=所围成的图形面积.41,15S=)=4ln 4.2x x x x x dx x∈⎰4解：联立方程可解得交点为：（1,4）,（4,1）可确定[1,4],面积微元ds=(5--)d 4 从而：(5---6. 求微分方程sin cos x y y x e -'+= 的通解.sin sin sin sin sin sin sin ()()()(cos )()cos ()=1()=+c .xxx x x xxy ce c x ec x e c x e x c x e x ec x c x x y x c e-------'+-+='解：方法1：对应齐次方程通解为= 常数变易，设y=,代入非齐次方程有：即，则，从而=(+)方法2：记sin ()cos ,(),xp x x q x e-==则1()sin p x dx x c =+⎰()sin sin ()p x dxxxq x edx eedx x C -⎰==+⎰⎰原方程的通解为：sin ().xy ex C -=+四、解答下列各题（10%）1.倍受关注的武广高铁于12月26日成功首发,据报道,目前日运力2万人次,票价499元,上座率30%.设上座率s 与票价x(百元)满足2()(9)s x a x b =-+,29x ≤≤.当票价为5百元时上座率为34% ,而票价2百元时恰好满座.试确定票价使铁道部收入最大.(结果精确到元,8.831=)23.06,8.9422x x f(x)=s(x)x =0.02(x -18x +82)x x f (x)=0.02(3x -36x +82),x x ≤≤'==21解：由所给数据可求得s()=0.02(-9)+0.02每座收入函数：，29而可求得驻点为，又(2)2,(3.06) 2.22(8.94)0.18,(9)0.18f f f f =≈≈=，（百元）306从而收入最大对应票价为元2. 0()()()()2.().xf x x t f t dt f x x f x -=-⎰设有任意阶导数，且满足试求第4页共4页12()()()2()+()()()2()=()2()()()xx xxxx f t dt tf t dt f x xx f t dt x f x xf x f x f t dt f x x f x f x f x c e c e-=-'⋅-'-''==+⎰⎰⎰⎰0解：由题意： 等式两端对变量求导：-=即：等式两端再次对变量求导: 上式微分方程对应通解为：12 0,(0)0,(0)21,()xx x x f f c c f x e e --'=====-令可得，从而=-1,故.。