计量经济学 第五章 异方差
《计量经济学》第五章精选题及答案
第五章 异方差二、简答题1．异方差的存在对下面各项有何影响？ （1）OLS 估计量及其方差； （2）置信区间；（3）显著性t 检验和F 检验的使用。
2．产生异方差的经济背景是什么？检验异方差的方法思路是什么？ 3．从直观上解释，当存在异方差时，加权最小二乘法（WLS ）优于OLS 法。
4．下列异方差检查方法的逻辑关系是什么？ （1）图示法 （2）Park 检验 （3）White 检验5．在一元线性回归函数中，假设误差方差有如下结构：()i i i x E 22σε=如何变换模型以达到同方差的目的？我们将如何估计变换后的模型？请列出估计步骤。
三、计算题1．考虑如下两个回归方程（根据1946—1975年美国数据）（括号中给出的是标准差）：t t t D GNP C 4398.0624.019.26-+= e s ：（2.73）（0.0060） （0.0736）R ²=0.999t t t GNP D GNP GNP C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4315.06246.0192.25 e s ： （2.22） （0.0068）（0.0597）R ²=0.875式中，C 为总私人消费支出；GNP 为国民生产总值；D 为国防支出；t 为时间。
研究的目的是确定国防支出对经济中其他支出的影响。
（1）将第一个方程变换为第二个方程的原因是什么？（2）如果变换的目的是为了消除或者减弱异方差，那么我们对误差项要做哪些假设？ （3）如果存在异方差，是否已成功地消除异方差？请说明原因。
（4）变换后的回归方程是否一定要通过原点？为什么？（5）能否将两个回归方程中的R²加以比较？为什么？2．1964年，对9966名经济学家的调查数据如下：资料来源：“The Structure of Economists’Employment and Salaries”, Committee on the National Science Foundation Report on the Economics Profession, American Economics Review, vol.55, No.4, December 1965.（1）建立适当的模型解释平均工资与年龄间的关系。
《异方差的概念》PPT课件
主要包括：
（1）随机误差项序列存在异方差性； （2）随机误差项序列存在序列相关性； （3）解释变量之间存在多重共线性； （4）解释变量是随机变量且与随机误差项相关 （随机解释变量）；
在进行计量经济学模型的回归分析时，必须对模型是否 满足基本假定进行检验，这种检验称为计量经济学检验。
第一节 异方差的概念
一、异方差的概念
对于模型
Yi 0 1X1i 2 X 2i k X ki ui
如果出现
Var
(ui
)
2 i
即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再 是常数，而互不相同，则认为模型出现了异方 差性(Heteroskedasticity)。
概
率
异方差一般可归结为三种类型：
(1)单调递增型： i2随X的增大而增大； (2)单调递减型： i2随X的增大而减小； (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式。
图5.1 异方差的类型
三、实际经济问题中的异方差性
例5.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为
Yi 0 1Xi ui
Yi : 第i个家庭的储蓄额; Xi : 第i个家庭的可支配收入
高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小 高收入家庭随机误差项的方差明显大于低收入家 庭。
例5.2：截面资料下研究企业的成本函数
Yi 0 1Xi ui
Yi : 第i个企业的生产成本; Xi : 第i个企业的总产值
密
Y
度
X1
X2
X3
X
异方差性干扰
存在异方差时U的方差 协方差矩阵为：
计量经济学庞皓课件(第五章 异方差性)
绘制出
ei2
对
X
的散点图
i
◆如果 ui 不随 Xi 而变化，则表明不存在异方差；
◆如果 ui 随 Xi 而变化，则表明存在异方差。
19
二、Goldfeld-Quanadt检验
作用：检验递增性(或递减性)异方差。
基本思想：将样本分为两部分，然后分别对两个样 本进行回归，并计算两个子样的残差平方和所构成 的比，以此为统计量来判断是否存在异方差。
E(Yi ) 1 2 X 2i 3X3i ... k X ki （5.2）
的分散程度，因此同方差性指的是所有观测值的
分散程度相同。
6
异方差性的含义
设模型为
Yi 1 2 X2i 3 X3i ... k X ki ui i 1, 2,..., n
如果对于模型中随机误差项 ui 有：
即认为存在异方差性。
38
第四节 异方差性的补救措施
主要方法:
●模型变换法 ●加权最小二乘法 ●模型的对数变换
39
一、模型变换法
以一元线性回归模型为例：
Yi 1 2 X i ui
经检验 ui 存在异方差，且
var(ui )
2 i
2
f
(Xi)
其中 σ 2是常数，f (Xi ) 是 X i的某种函数。
40
变换模型时，用 f (Xi) 除以模型的两端得：
Yi = f(Xi )
β1 f(X i
)
+
β2
Xi + f(Xi )
ui f(Xi )
记 Yi* 则有：
Yi f (Xi)
;
X
* i
Xi f (Xi)
; 1*
Yi*
计量经济学第五章
Variables-Likelihood Ratio • 出现对话框时,写入删除变量名--OK • 对比删除前后的AIC与SC信息值,信息
值小的结论是应采纳的。
9
用Eviews的误设定检验3
• 第一,估计出简单(单纯)方程 • 第二,在命令窗口上写入genr v_hat=resid 或者 Procs/Generate Series中 v_hat=resid 发现 v_hat • 第三,估计出新的回归方程
无约束模型(U)
有约束模型(K) (general to simple)
计算统计量F
F=(RSSK-RSSu)/J RSSu/(n-k-1)
~F(J, n-k)
J 为表示约束条件数, K 为表示自变量数 或者 应估计的参数数, n 为表示样本数(obs)
4
2. LM检验(Lagrange Multiplier
多重共线性多出现在横截面资料上。
16
三、异方差性的检验及对策
Var(ℇi)≠Var(ℇj) (i≠j)时, ℇi中存在异方差性(Herteroskedasticity)。 即随机项中包含着对因变量的影响因素。 异方差性多发生在横截面资料上。
17
异方差性的检验
1.图示检验法 如模型为Yi=0+1X1i+2X2i+…+ℇi 时,
7
用Eviews的误设定检验1
• 首先估计出简单(单纯)方程 • View/Coefficient Tests/Omitted
Variables-Likelihood Ratio • 出现对话框时,写入新变量名 OK • 检验结果出现在上端,如果P值很小时, 拒
庞浩 计量经济学5第五章 异方差性
同方差
递增型异方差
递减型异方差
复杂型异方差
18
2.借助X-e2散点图进行判断 观察散点的纵坐标是否随解释变量Xi的变化而 变化。
~2 e2e i ei e2 ~2
X 同方差 递增异方差
X
e2
~2 e i
~2 e 2 e i
X 递减异方差 复杂型异方差
X
19
二、戈德菲尔德—夸特 （Goldfeld-Quanadt）检验
3
说明1
矩阵表示： Y X u 随机扰动项向量 其方差—协 u1 u 方差矩阵不 2 u 再是： un n1 而是：
2 2 Var Cov ( ui ) 2 nn
ei X i v i
ei
1 vi Xi
ei X i v i 1 ei vi Xi
③利用上述回归的R2、t统计量、F统计量等判断，R2 好、t统计量和F统计量显著，即可判定存在异方差。 28
说明： 1.也可以用 e i 与可能产生异方差的多个解释变 量进行回归模拟； 2.戈里瑟检验的优点在于不仅检验了异方差是否 存在，同时也给出了异方差存在时的具体表现 形式，为克服异方差提供了方便。 3.试验模型选得不好，也可能导致检验不出是否 存在异方差性。
12 2 2 Var Cov ( ui ) 2 n nn
4
说明2
随机扰动项 ui具有异方差性，可理解释为被解释变量 的条件分散程度随解释变量的变化而变化，如下图所 示：var( ui ) i2 2 f ( X i)(i 1,2,, n)
10
第二节 异方差性的后果
计量经济学第五章异方差性
计量经济学第五章异⽅差性第五章异⽅差性本章教学要求：根据类型，异⽅差性是违背古典假定情况下线性回归模型建⽴的另⼀问题。
通过本章的学习应达到，掌握异⽅差的基本概念包括经济学解释，异⽅差的出现对模型的不良影响，诊断异⽅差的⽅法和修正异⽅差的若⼲⽅法。
经过学习能够处理模型中出现的异⽅差问题。
第⼀节异⽅差性的概念⼀、⼆个例⼦例1，研究我国制造业利润函数，选取销售收⼊作为解释变量，数据为1998年的⾷品年制造业、饮料制造业等28个截⾯数据（即n=28）。
数据如下表,其中y表⽰制造业利润函数，x表⽰销售收⼊（单位为亿元）。
Y对X的散点图为从散点图可以看出，在线性的基础上，有的点分散幅度较⼩，有的点分散幅度较⼤。
因此，这种分散幅度的⼤⼩不⼀致，可以认为是由于销售收⼊的影响，使得制造业利润偏离均值的程度发⽣变化，⽽偏离均值的程度⼤⼩的不同，就是所谓的随机误差的⽅差存在变异，即异⽅差。
如果⾮线性，则属于哪类⾮线性，从图形所反映的特征看，并不明显。
下⾯给出制造业利润对销售收⼊的回归估计。
模型的书写格式为212.03350.1044(0.6165)(12.3666)0.8547,..56.9046,152.9322213.4639,146.4905Y Y X R S E F Y s =+=====通过变量的散点图、参数估计、残差图，可以看到模型中（随机误差）很有可能存在异⽅差性。
例2，改⾰开放以来，各地区的医疗机构都有了较快发展，不仅政府建⽴了⼀批医疗机构，还建⽴了不少民营医疗机构。
各地医疗机构的发展状况，除了其他因素外主要决定于对医疗服务的需求量，⽽医疗服务需求与⼈⼝数量有关。
为了给制定医疗机构的规划提供依据，分析⽐较医疗机构与⼈⼝数量的关系，建⽴卫⽣医疗机构数与⼈⼝数的回归模型。
根据四川省2000年21个地市州医疗机构数与⼈⼝数资料对模型估计的结果如下：i iX Y 3735.50548.563?+-= （291.5778） (0.644284) t =(-1.931062) (8.340265)785456.02=R 774146.02=R 56003.69=F式中Y 表⽰卫⽣医疗机构数（个），X 表⽰⼈⼝数量（万⼈）。
计量经济学第五章异方差讲解
计量经济学-第五章-异方差讲 解
第5章 异方差
异方差概念
异方差来源与后果
异方差检验（Goldfeld-Quandt 检验、 white检验、Glejser检验）
异方差的修正方法（GLS、WLS） 异方差案例分析
5.1异方差概念
同方差假定：模型的假定条件⑴ 给出Var(u) 是一个对角矩阵，且 主对角线上的元素都是常数且相等。
若 T R 2 2 (5), 接受H0（ut 具有同方差） 若 T R 2 > 2 (5), 拒绝H0（ut 具有异方差）
5.4 异方差检验
（3）Glejser检验（直接拟合法）
5.5 异方差的修正方法（GLS）
5.5 异方差的修正方法（GLS）
（第2版教材第115页） （第3版教材第94页）
例5.1 个人储蓄（Y）与可支配（X）收入模型
（课本第125页） Goldfeld-Quandt 检验
去掉中间9个观测值。
用第1个子样本回归：
，SSE1=150867.9
用第2个子样本回归：
，SSE2=958109.4
H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有递增型异方差。
③ 构造F统计量。
因为F =6.35 > F0.05 (9, 9) = 3.18，存在异方差。
2 统计量进行异方差检验。以二元回归模型为例，White检验的具 体步骤如下。
yt = 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + ut ①首先对上式进行OLS回归，求残差ut 。 ②做如下辅助回归式，
= 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + 3 xt12 + 4 xt22 + 5 xt1 xt2 + vt 即用 对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进 行③OWLhSi回te检归验。的注零意假，设和上备式择中假要设保是留常数项。求辅助回归式的可决系数R2。
计量经济学-5异方差
ˆ Yi |ei| |ei|等级
9 8 6 7 5 4 1 2 3 10
di
0 -1 2 -1 -1 1 2 0 -2 -9
d
2 i
0 1 4 1 1 1 4 0 4 81
计量经济学
解：根据表中的数据， ˆ Y = 4 . 5615 − 0 . 7965 X
t
利用普通最小二乘得：
t
R
2
= 0 . 93
计量经济学
四、帕克（Pack）检验 帕克（ ）
假定σ i2与某一解释变量X k 有关 :
σ i2 = σ 2 X β e v , 或 ln(σ i2 ) = ln(σ 2 ) + β ln( X k ) + vi
i k
由于σ i2未知，以同方差假定下OLS估计得到的e i2 代替： ln(ei2 ) = α + β ln( X k ) + vi 进行回归，对β作显著性检验。若显著，则存在异方差。
且能确定影响随机项的解释变量。 且能确定影响随机项的解释变量。
计量经济学
夸特（ 五、戈德菲尔德—夸特（Goldfied-Quandt）检验 戈德菲尔德 夸特 ） G-Q检验适用于大样本、随机项的方差与某异解释变量 检验适用于大样本、 检验适用于大样本 存在正相关的情况。检验的前提条件是： 存在正相关的情况。检验的前提条件是：随机项服从正态分 无序列相关。步骤： 布；无序列相关。步骤：
计量经济学
三、异方差的后果 基于CLRM假定的 假定的OLS估计参数结果将受到影响。 估计参数结果将受到影响。 基于 假定的 估计参数结果将受到影响 1、考虑异方差性的 、考虑异方差性的OLS估计 估计 E (u i ) = σ i2 ≠ 常数 ，保留其它的 保留其它的CLRM假定， 假定， 如果假定 假定 以双变量回归模型为例，普通OLS估计为： 估计为： 以双变量回归模型为例，普通 估计为
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回顾假定条件。 假定条件不成立对模型参数估计带来的影响。 定性分析假定条件是否成立。 假定条件是否成立的检验（定量判断）。 假定条件不成立时的补救措施。
第5章 异方差
第5章 异方差
异方差概念 异方差来源与后果 异方差检验（Goldfeld-Quandt 检验、
5.2 异方差来源与后果
异方差后果：
当 Var(ut) = t 2，为异方差时（t 2 是一个随时间或序数变化的量），
回归参数估计量仍具有无偏性和一致性。但是不再具有有效性。
E( ˆ ) = E[ (X 'X )-1 X 'Y ] = E[ (X 'X )-1 X ' (X + u) ] = + (X 'X)-1 X ' E(u) =
①首先对上式进行OLS回归，求残差ut 。
②做如下辅助回归式，
uˆt 2 = 0 +1 xt1 +2 xt2 + 3 xt12 +4 xt22 + 5 xt1 xt2 + vt
即用 uˆt 2对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进行
OLS回归。注意，上式中要保留常数项。求辅助回归式的可决系数R2。 ③White检验的零假设和备择假设是
5.4 异方差检验
(2) White检验
White检验由H. White 1980年提出。White检验不需要对观测值排序，也不
依赖于随机误差项服从正态分布，它是通过一个辅助回归式构造 2 统计量
进行异方差检验。以二元回归模型为例，White检验的具体步骤如下。
yt = 0 +1 xt1 +2 xt2 + ut
H0：ut不存在异方差， H1：ut存在异方差。
5.4 异方差检验
(2) White检验
④在同方差假设条件下，统计量
-2
-3 0
T
50
Hale Waihona Puke 100150200
散点图
残差图
5.4 异方差检验
(1) Goldfeld-Quandt 检验
H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有递增型异方差。
①把原样本分成两个子样本。具体方法是把成对（组）的观 测值按解释变量顺序排列，略去m个处于中心位置的观测值 （通常T 30时，取m T / 4，余下的T- m个观测值自然分成 容量相等，(T- m) / 2，的两个子样本。）
Var( ˆ ) = E [( ˆ - ) ( ˆ - )' ] = E [(X 'X )-1 X ' u u' X (X 'X)-1 ]
= (X ' X)-1 X ' E (u u' ) X (X ' X )-1 = 2 (X 'X )-1 X ' X (X ' X )-1 不等于 (X ' X )-1，所以异方差条件下 ˆ 是非有效估计量。
SSE1 /(n1 k) SSE1
在H0成立条件下，F F(n2 - k, n1 - k) ④ 判别规则如下，
若 F F (n2 - k, n1 - k), 接受H0（ut 具有同方差） 若 F > F(n2 - k, n1 - k), 拒绝H0（递增型异方差） 注意： ① 当摸型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差。 ② 此法只适用于递增型异方差。 ③ 对于截面样本，计算F统计量之前，必须先把数据按解释变量的值排序。
-8 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
5.2 异方差来源与后果
异方差来源：
(1) 时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差。 (2) 经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。金 融时间序列中的异方差常表现为自回归条件异方差。
1.2E+12
1.0E+12
white检验、Glejser检验） 异方差的修正方法（GLS、WLS） 异方差案例分析
5.1异方差概念
同方差假定：模型的假定条件⑴ 给出Var(u) 是一个对角 矩阵，且主对角线上的元素都是常数且相等。
1 0
Var(u) = E(u u' ) = 2I =
σ
2
1
7 6 5 4 3 2 1 0
0
Y Y
50
100
150
X 200
5.4 异方差检验
(1) Goldfeld-Quandt 检验
②用两个子样本分别估计回归直线，并计算残差平方和。 相对于n2 和n1 分别用SSE2 和SSE1表式。
③ 构造F统计量。F = SSE2 /(n2 k) SSE2 ，（k为模型中被估参数个数）
5.4 异方差检验
5.4.1 定性分析异方差
(1) 宏观经济变量容易出现异方差(自回归条件异方差)。
(2) 利用散点图做初步判断。
(3) 利用残差图做初步判断(以解释变量为横坐标，残差平方
为纵坐标)。
7 6Y 5 4 3 2
3 Y
2
1
0
-1
1
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
系列存在异方差。非主对角线上的元素表示误差项之间的协方差值。若 非
主对角线上的部分或全部元素都不为零，误差项就是自相关的。
异方差通常有三种表现形式，（1）递增型，（2）递减型，（3）条件自回
归型。 7
6
6Y
4
DJ P Y
5
2
4
0
3
-2
2
-4
1
-6
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0
1
12 Y
10
8
6
4
2
0
-2 0
X
50
100
150
200
5.1异方差概念
当这个假定不成立时，Var(u) 不再是一个纯量对角矩阵。
11
0
Var(u) = 2 = σ 2
22
2 I
0
TT
当误差向量u的方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等时，称该随机误差
GDP of Philippin
8.0E+11
6.0E+11
4.0E+11
2.0E+11
0.0E+00 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
1. 2E+ 11 8. 0E+ 10
RESID
4. 0E+ 10
0. 0E+ 00
-4. 0E+ 10
-8. 0E+ 10 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02