新型单相逆变电源及其调制方式的研究

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实验单相逆变器单极性和双极性SPWM调制技术的仿真

实验单相逆变器单极性和双极性SPWM调制技术的仿真
图5双极性PWБайду номын сангаас逆变器触发脉冲发生电路
图6双极性SPWM波形
从上图可以看出,对于双极性SPWM控制方式,在正弦调制波半个周期内,三角载波在正负极性之间连续变化,SPWM波也是在正负之间变化。
3.2三相SPWM波形的产生:仿真图如下所示。
图7三相SPWM逆变器触发脉冲发生电路
本文中采用单三角载波和三个幅值、频率相同相位互差120度的三相交流波形作为调制波。同上,在Simulink的“Source”库中选择“Clock”模块,以提供仿真时间t,乘以 后再通过一个“sin”模块即为sin ,乘以调制比m后可得到所需的正弦波调制信号,通过设置即可产生三相正弦波信号。三角载波信号由“Source”库中的“Repeating Sequence”模块产生,参数设置为【0 1/ /42/ /4 1/ 】和【-101-1】,便可生成频率为 的三角载波。将调制波和载波通过一些运算与比较,即可得出三相SPWM触发脉冲波形。三角载波与调制波的波形如图8所示:
单相逆变器单极性和双极性SPWM调制技术的仿真
1.
PWM(Pulse Width Modulation)控制就是对脉冲的宽度进行调制的技术,即通过对一系列脉冲的宽度进行调制,来等效地获得所需要的波形。PWM控制技术的重要理论基础是面积等效原理,即:冲量相等而形状不同的窄脉冲加在具有惯性的环节上时,其效果基本相同。下面分析如何用一系列等幅不等宽的脉冲来代替一个正弦半波。把正弦半波分成N等分,就可以把正弦半波看成由N个彼此相连的脉冲序列所组成的波形。如果把这些脉冲序列用相同数量的等幅不等宽的矩形脉冲代替,使矩形脉冲的中点和相应正弦波部分的中点重合,且使矩形脉冲和相应的正弦波部分面积(冲量)相等,就可得到图1所示的脉冲序列,这就是PWM波形。像这种脉冲的宽度按正弦规律变化而和正弦波等效的PWM波形,也称为SPWM波。

单相桥式pwm逆变电路实验报告

单相桥式pwm逆变电路实验报告

单相桥式PWM逆变电路实验报告1. 引言在现代电力系统中,逆变器是一种重要的电力电子设备。

逆变器可以将直流电能转换为交流电能,广泛应用于太阳能发电、风力发电、电动车等领域。

本实验旨在通过搭建单相桥式PWM逆变电路,深入了解逆变器的工作原理和性能。

2. 实验原理2.1 单相桥式PWM逆变电路单相桥式PWM逆变电路是一种常见的逆变器拓扑结构。

它由四个开关管和一个负载组成,如图1所示。

其中,开关管可以通过PWM信号控制开关状态,从而实现对输出电压的控制。

2.2 工作原理在单相桥式PWM逆变电路中,通过控制开关管的导通和截止,可以实现对输出电压的控制。

具体工作原理如下:1.当开关管S1和S4导通,S2和S3截止时,电流流经D1和D4,负载得到正半周电压。

2.当开关管S2和S3导通,S1和S4截止时,电流流经D2和D3,负载得到负半周电压。

3.通过调节开关管的导通时间比例,可以实现对输出电压的调节。

2.3 PWM调制技术PWM调制技术是实现对逆变器输出电压调节的关键。

PWM调制技术通过改变开关管的导通时间比例,将输入直流电压转换为一系列脉冲信号,从而实现对输出电压的控制。

常用的PWM调制技术有脉宽调制(PWM)和正弦PWM调制(SPWM)。

3. 实验步骤3.1 实验器材•单相桥式PWM逆变电路实验板•示波器•直流电源•变压器3.2 实验步骤1.搭建实验电路:根据实验板上的连接图,连接单相桥式PWM逆变电路。

2.调节直流电源:将直流电源的输出电压调节为逆变器的输入电压。

3.设置PWM信号:使用示波器生成PWM信号,并通过控制开关管的导通时间比例,调节输出电压的大小。

4.连接负载:将负载接到逆变器的输出端,观察负载的输出情况。

5.调节PWM信号:通过改变PWM信号的频率和占空比,进一步调节输出电压的稳定性和波形质量。

6.记录实验数据:记录不同PWM信号参数下的输出电压和负载情况。

4. 实验结果与分析4.1 输出电压调节根据实验步骤中的操作,我们可以通过调节PWM信号的占空比,实现对输出电压的调节。

单相SPWM逆变电源的一种新型控制策略研究

单相SPWM逆变电源的一种新型控制策略研究


一 _ ‘‘…
驱动控制电路
ZHENG h oh n Z a - o g,S UN a Qin,ZHANG ir n Da—u
( i h a n v r iy Ch n d 1 0 5 Ch n ) S C u n U i e st , e g u 6 0 6 , i a Ab t a t n t i a e ,a n v l o t o ta e y s r c :I h sp p r o e n r ls r t g ,wh c s t e r p tt e c n r l s p e e td f r a sn l - h s P c i i h e e ii o to ,i r s n e o i g e p a e S — h v
频 ( VC ) C F 逆变 电源 。S W M 技术 可 以大大 提高 逆 变 P 器输 出 电压波形 的质量 , 并且 , 由于该技 术 易于 实现 和 实现 成本 低 , P S WM 技 术 已被 广 泛 应 用 于 逆 变 电 源 。 但是 , P M 技术 最大 的缺 点是 , SW 由于 非线 性 负 载 、 开
W M n e tr n sd ti d y rsa c d iv re ,a d i eal l e e rhe .Att e smet ,t e smuain i ta / i l k i gv n e h a i me h i lt n Malb Smu i s ie .A o u ta d o n rb s n 1 系统 数 学模 型
本 文 所设 计 的 系统 主要 由三 相 全 桥 整 流 滤 波 电 路 、 相全 桥逆 变 电路 和驱动 控制 电路 三部 分构 成 , 单 图 1为 系统硬 件设 计框 图。

单相电压型逆变电路

单相电压型逆变电路

单相电压型逆变电路单相电压型逆变电路是一种电力电子器件,能够将直流电转换为交流电,广泛应用于各种电力系统中。

本文将介绍单相电压型逆变电路的原理、分类、应用和发展趋势。

一、原理单相电压型逆变电路的原理是利用开关管的导通和截止,将直流电源的电压转换为交流电压。

开关管的导通和截止由控制电路控制,控制电路可以根据需要选择不同的控制方式,如脉宽调制、频率调制等。

控制电路的输出信号控制开关管的导通和截止,从而实现直流电到交流电的转换。

二、分类单相电压型逆变电路根据控制方式的不同可以分为脉宽调制型和频率调制型。

脉宽调制型逆变电路是通过改变开关管的导通时间来控制输出电压的大小,具有控制简单、输出电压稳定等优点,适用于低功率应用。

频率调制型逆变电路是通过改变开关管的导通和截止的时间来控制输出电压的频率和大小,具有输出电压精度高、适用范围广等优点,适用于高功率应用。

三、应用单相电压型逆变电路广泛应用于各种电力系统中,如UPS电源、太阳能逆变器、风力逆变器、电动汽车充电器等。

其中,UPS电源是逆变电路的主要应用领域之一,其作用是在电网电压不稳定或停电时,提供稳定的交流电源。

太阳能逆变器是将太阳能电池板输出的直流电转换为交流电的装置,其应用范围涵盖了家庭、商业、工业等领域。

风力逆变器是将风力发电机输出的直流电转换为交流电的装置,其应用范围涵盖了风力发电领域。

电动汽车充电器是将交流电转换为直流电供电给电动汽车充电的装置,其应用范围涵盖了电动汽车领域。

四、发展趋势单相电压型逆变电路的发展趋势主要包括以下几个方面:1、高效节能:随着能源环境的变化,逆变电路需要具备更高的能量转换效率和更低的能量损耗。

2、小型化:随着电子技术的发展,逆变电路需要越来越小型化,以满足各种场合的需求。

3、智能化:随着智能化技术的发展,逆变电路需要具备更高的智能化水平,以实现自动控制和智能化管理。

4、多功能化:随着应用领域的扩大,逆变电路需要具备更多的功能,如电能质量控制、电网接口等。

实验51-DC-AC SPWM单相全桥逆变电路设计及研究

实验51-DC-AC SPWM单相全桥逆变电路设计及研究

实验五十一DC/AC SPWM单相全桥逆变电路设计及研究(信号与系统—自动控制理论—检测技术-电力电子学综合实验)一、实验原理SPWM单相全桥逆变电路的主要工作原理是依靠四个开关管的通、断状态配合,利用冲量等效原理,采用正弦脉宽调制(SPWM)策略将输入的直流电压变换成正弦波电压输出。

SPWM的调制原理是通过对每个周期内输出的脉冲个数和每个脉冲宽度来调节逆变器输出电压的频率和幅值。

要使输出的电压波形接近标准的正弦波,就要尽量保证SPWM电压波在每一时间段都与该时段中正弦电压等效。

除要求每一时间段的面积相等外,每个时间段的电压脉冲宽度还必须很窄,这就需要在一个正弦波形内脉冲的数量很多。

脉波数量越多,不连续的按正弦规律改变宽度的多脉冲电压就越等效于正弦电压。

目前,在电力电子控制技术中,SPWM技术应用极为广泛,SPWM波形的形成一般有自然采样法、规则采样法等等。

前者主要用于模拟控制中,后者适用数字控制。

本实验采用的是DSP控制的单相全桥逆变电路,采用对称规则采样法。

对称规则采样的基本思想是使SPWM波的每个脉冲均以三角载波中心线为轴线对称,因此在每个载波周期内只需一个采样点就可确定两个开关切换点时刻。

具体算法是过三角波的对称轴与正弦波的交点,做平行于时间轴的平行线,该平行线与三角波的两个腰的交点作为SPWM波“开通”和“关断”的时刻。

由于在每个三角载波周期中只需要进行一次采样,因此使得计算公式得到简化,并且可以根据脉宽计算公式实时计算出SPWM波的脉宽时间,可以实现数字化控制。

图51-1 对称规则采样法生成SPWM波根据相似三角形定理,可以分析出图1对称规则采样法生成的SPWM波脉宽时间T n为:()21sin n n T T MN Nπ−= (51-1) 式中,M 为调制度,T 为正弦调制波周期,N 为载波比。

本实验中程序采用DSP 控制方式,载波频率固定为10KHZ ,调制波频率为50HZ 频率。

《2024年单相高频链矩阵式逆变器调制策略与控制方法研究》范文

《2024年单相高频链矩阵式逆变器调制策略与控制方法研究》范文

《单相高频链矩阵式逆变器调制策略与控制方法研究》篇一一、引言随着电力电子技术的不断发展,逆变器作为电力转换的核心设备,其性能的优劣直接影响到电力系统的稳定性和效率。

单相高频链矩阵式逆变器作为现代逆变器的一种重要形式,因其高效率、高功率密度和优良的谐波特性,得到了广泛的应用。

本文将重点研究单相高频链矩阵式逆变器的调制策略与控制方法,为进一步提高逆变器的性能提供理论支持。

二、单相高频链矩阵式逆变器基本原理单相高频链矩阵式逆变器是一种基于矩阵变换器的电力转换装置,其基本原理是通过高频开关控制,实现电能的高效、高质量转换。

该逆变器具有结构紧凑、功率密度高、谐波污染小等优点,是现代电力电子技术的重要研究方向。

三、调制策略研究1. 调制策略的选取与分类单相高频链矩阵式逆变器的调制策略主要包括正弦脉宽调制(SPWM)、空间矢量脉宽调制(SVPWM)等。

本文将重点研究SVPWM调制策略,通过优化算法,提高调制效率,降低谐波失真。

2. SVPWM调制策略的优化SVPWM调制策略通过优化开关时序,降低开关损耗,提高电能质量。

本文将采用智能优化算法,如遗传算法、粒子群算法等,对SVPWM调制策略进行优化,进一步提高逆变器的性能。

四、控制方法研究1. 控制系统的架构与设计单相高频链矩阵式逆变器的控制系统采用数字控制方式,通过高速处理器实现精确控制。

本文将研究控制系统的架构与设计,包括控制器硬件设计、软件算法设计等。

2. 控制策略的选取与实现控制策略是实现逆变器高效、稳定运行的关键。

本文将研究PID控制、模糊控制、滑模控制等控制策略,通过对比分析,选取适合单相高频链矩阵式逆变器的控制策略,并实现其在实际系统中的应用。

五、实验验证与分析为了验证所研究的调制策略与控制方法的有效性,本文将进行实验验证与分析。

通过搭建单相高频链矩阵式逆变器实验平台,对所研究的调制策略与控制方法进行实验测试,分析其性能指标,如输出电压波形、谐波失真等。

单相电流源型逆变器储能电感电流优化调制及控制策略

单相电流源型逆变器储能电感电流优化调制及控制策略

单相电流源型逆变器储能电感电流优化调制及控制策略苗轶如;刘和平;王华斌;王蒙蒙【摘要】In PWM process, the DC storage inductance current of traditional single-phase current source inverter (CSI) is usually considered constant and the charge-discharge process is ignored in a modulation cycle, causing the increase of storage inductance current discontinuous or continuous. The DC-side topology of single-phase CSI was improved in this paper. Working mode of storage inductance was thoroughly analyzed in modulation process. The least limited value of storage inductance current was derived under each working condition, and the modulation strategy was designed to maintain storage inductance current constant for improved topology. By introducing the virtual current and voltage of AC-side, the mathematical model of single-phase CSI was derived in two-phase rotating reference frame, and the closed-loop control strategy of output voltage was designed. Both the simulation and experimental results show that the least limited value of storage inductance current can meet the demand of AC-side and maintain within a certain range. Besides, output voltage of CSI can accurately follow the given value. Thus, the proposed modulation strategy and control method are verified.%传统单相电流源型逆变器在 PWM过程中,直流侧储能电感电流在一个开关周期内通常被视为恒定,忽略了储能电感的充放电过程,导致储能电感电流出现断续或持续增加的问题.首先,对传统单相电流源型逆变器(CSI)直流侧拓扑进行改进,深入分析调制过程中储能电感的工作模式,推导出任意工作条件下储能电感电流最小限定值,并针对改进拓扑设计调制策略以维持储能电感电流的稳定.其次,通过引入交流侧电压、电流的正交虚拟分量,建立单相CSI在两相旋转坐标系下的数学模型,设计逆变器输出电压的闭环控制策略.仿真和实验结果表明,直流储能电感电流的最小限定值能够满足交流侧的电流需求且储能电感电流维持在限定值附近,同时逆变器输出电压能够精确跟随给定,证明了本文所提的优化调制及控制策略的可行性与正确性.【期刊名称】《电工技术学报》【年(卷),期】2018(033)006【总页数】11页(P1227-1237)【关键词】电流型逆变器;直流储能电感电流;调制策略;输出电压控制【作者】苗轶如;刘和平;王华斌;王蒙蒙【作者单位】输配电装备及系统安全与新技术国家重点实验室(重庆大学) 重庆400044;输配电装备及系统安全与新技术国家重点实验室(重庆大学) 重庆 400044;重庆科技学院电气与信息工程学院重庆 401331;输配电装备及系统安全与新技术国家重点实验室(重庆大学) 重庆 400044【正文语种】中文【中图分类】TM46逆变器按照直流侧电源特性分为电压源型逆变器(Voltage Source Inverter, VSI)与电流源型逆变器(Current Source Inverter, CSI),VSI只能工作在直流电压恒定且高于交流侧电压峰值的场合,并且输入电流脉动大,需要加入死区防止出现桥臂直通。

单相pwm逆变电路工作原理

单相pwm逆变电路工作原理

单相pwm逆变电路工作原理
单相PWM逆变电路是一种将直流电转换为交流电的电路,其工作原理主要基于脉宽调制(PWM)技术。

在单相PWM逆变电路中,主要包含整流电路、逆变桥和控制电路等部分。

其中,整流电路用于将交流电转换为直流电,逆变桥则由多个功率开关器件(如IGBT、MOSFET等)组成,控制电路则负责生成PWM波形并控制功率开关器件的通断。

当控制电路输出PWM波形时,会控制逆变桥中的功率开关器件按照一定规律进行通断。

这样,就可以在逆变桥的输出端得到一系列幅值相等但宽度不同的脉冲电压。

这些脉冲电压经过滤波电路后,就可以得到平滑的正弦波或所需波形的交流电压。

具体来说,单相PWM逆变电路的工作过程可以分为以下几个步骤:
整流:将交流电源经过整流电路转换为直流电源。

逆变:通过控制逆变桥中功率开关器件的通断,将直流电源逆变为交流电源。

在这个过程中,控制电路会根据所需输出的交流电压的波形和频率,生成相应的PWM波形并控制功率开关器件的通断。

滤波:经过逆变后得到的交流电压是一系列脉冲电压,需要通过滤波电路进行平滑处理,以得到正弦波或所需波形的交流电压。

总之,单相PWM逆变电路是一种基于PWM技术的电力电子变换器,它可以将直流电转换为交流电,并具有输出电压稳定、波形好、效率高等优点。

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关键词 电力电子 逆变电源 脉冲宽度调制 谐波分析 消谐
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引言
源 通过对其谐波产生原因进行深入细致分析 并研究电力 系统处于三相平衡状态和不平衡状态对逆变电源工作特性 的影响 提出了一种新的谐波消除脉冲宽度调制方法 该方 法的采用简化了逆变电源主电路结构 可以大大减小甚至去 掉了传统逆变电源的直流侧滤波电容 该逆变电源具有网侧 电流畸变率低 输出电压谐波小及响应速度快等特点 最后 通过仿真比较了基于调制波重构技术的新型逆变电源和基 于传统技术的逆变电源的性能 结果验证了理论分析的正确 性 性 证明此种新的逆变电源及其调制波生成方法的良好特 具有广阔的应用前景
ABSTRACT: A novel single-phase inverter source based on modulation wave reconstuction technology is proposed. The causes of the harmonic production and the impact of balanced and unbalanced systems on the characteristics of the inverter source are analyzed in detail. As a result, a novel method of harmonic elimination of the PWM is presented. The novel PWM technique simplifies the structure of the inverter mains and greatly decreases or even removes the DC filter capacitor used in the traditional PWM technique of inverters for eliminating the harmonics. The novel single-phase inverter source has a lot of satisfactory characteristics such as small aberrance of ac side’s current, high quality output voltage of inverter and quick response etc. The performance of this inverter source using MWR-SPWM technique is compared with traditional inverter source by simulation , and the results show that the theoretical analysis is correct, and It is obvious that the new inverter source and new PWM technology with satisfactory characteristic will be wide use in the foreseeable future. KEY WORDS: power electronics; inverter source; pulse width modulation; harmonic analysis; harmonic elimination 摘要 提出了一种基于调制波重构技术新型的单相逆变电
D1 Ud a b
iL
负载
D4
Fig. 4
图 4 逆变电源的各种工作模式 The current flow loop of single-phase inverter
64








第 26 卷
二极管 D1 和 D4 为直流侧电容充电 负载两端的电 压 uab=Ud 在全部 4 个工作状态 负载两端电压在 Ud 之间跳变 通过改变调制波的波形消除直流侧 电压谐波对逆变电源输出电压波形的影响 就可以 使直流侧电容大大减小
第 26 卷 第 17 期 2006 年 9 月 文章编号 0258-8013 (2006) 17-0062-05

国 电 机 工 程 学 Proceedings of the CSEE
报 A
Vol.26 No.17 Sep. 2006 ©2006 Chin.Soc.for Elec.Eng. 学科分类号 470⋅40
随着各行各业自动化水平及控制技术的发展和 其对操作性能要求的提高 许多行业的用电设备 如 电动机变频调速器[1-3] 通信电源 电弧焊电源等 都不是直接使用交流电网所提供的交流电作为电 源 而是通过各种形式对其进行变换而得到各自所 需的电能形式 它们所使用的电能大都是通过整流 和逆变组合电路对原始电能进行变换后得到的 在 实际应用中 很容易直接从交流电网中获得电能 所 以 从 DC/AC 式 逆 变 电 源 基 础 上 发 展 起 来 的 AC/DC/AC 逆变电源得到了越来越广泛的应用 无论是什么样的逆变器结构 其最终目的都是 为了向负载提供高质量的电能 对于逆换器来说 有效地消除输出电压的谐波成分是非常重要的[4] 如何消除逆变器输出电压中的谐波成分是逆变电源 所要考虑的一个十分重要的因素 在谐波抑制 电 压调整和响应速度等方面性能上都取得令人满意效 果的脉冲宽度调制技术 特定消谐技术[5] 波形重 构技术[6] 优化特定消谐技术[7] 正弦波脉宽调制[8-9] 等 可极有效地减少输出波形的谐波含量 所以被 广泛地应用在逆变电源的各个部分进行谐波的消除 和电压的调节 但以上各种谐波消除方式都是基于逆变电路直 流侧理想的无脉动直流电压 通常在 AC/DC 侧加 一大容量的直流滤波电容来实现 直流滤波电容的 增加将有以下缺点 占用空间大 成本升高 可靠 性降低[10-12] 为尽可能地减小直流侧滤波电容的大
ea eb ~ ec ~ ~ T1 C T2 a T4 D2 T3 D1 D3 b iL D4 Ud 负载 a b D2 D3 iL (a) 载波与调制信号波形 (b) 开关管 T1 T4 控制信号
(c) 开关管 T1 T3 控制信号
(d) 逆变器输出电压 Uab
(e) 逆变器输出电压 iL
Fig. 3
T1 Cdc a T2 D2 T4 b T3 D1 D3 iL D4 负载
Ud
Fig. 2
图 2 单相逆变电源的简化主电路结构 The simplify topology of single-phase inverter
1 新型 PWM 单相逆变拓扑结构
逆变电源主电路结构的选取应该遵循以下几个 原则 选用尽量少的开关器件 这样可以提高系统 的可靠性 并且降低成本 尽量减少逆变电源中的 电容值 电感值 和减少电容电感元件在逆变电源 中的数量[15] 这样可以减少整个逆变电源设备的体 积 提高其可靠性 同时也可以降低设备的成本 电路拓扑结构应该有利于逆变电源最终输出电压中 谐波的消除 输出电压频率及幅值的调节 功率比 较大或者是很大的逆变电源都是采用三相交流输入 的方式 鉴于此点 本文所设计的逆变电源采用三 相交流电源作为其输入 PWM 单相逆变电源拓扑 结构图如图 1 所示
3
谐波分析以及谐波消除方式的确定
3.1 平衡状态时单相逆变电源输出电压谐波的分 析及消谐确定 由于三相不可控整流桥输出是一个含有大量频 率为 6nf0(其中 f0 为系统频率)谐波和直流分量的六 脉动直流电压 应用传统的 SPWM 技术 逆变器输 出的电压低频带中除了含有和正弦调制波频率相同 的基波分量外 还含有频率为为 f6k fsin(f6k=6kf0 fsin 是调制波频率)的谐波 为此以往大都是在整流 桥的输出端并联 1 个很大的直流滤波电容来解决问 题 增大了整流交流侧电流的畸变 而从对逆变电 路中开关器件的控制角度入手解决逆变电源输出电 压谐波问题 可避免在整流桥输出直流侧添加大滤 波电容 电力系统处于平衡状态的时候 三相不可控整 流桥的输出直流电压 udc 表达式为 udc = U A cos α − π / 6 ≤ α ≤ π / 6 (1) 设 a 相载波信号为三角波 其频率为 ftr 最大 值为 Utrmax 最小值为 Utrmin 调制波为正弦波 其 表达式为 (2) us1 = U B sin(ω t + θ ) 式中 UB 为正弦波的峰值 ω为正弦波的角频率 θ 为正弦调制波与六脉波 udc 之间的相位差 并且三 角波的频率 ftr 是正弦波频率 fsin 的 M 倍 可知在每个正弦波周期内 正弦波被三角波切 割 2M 次 得到 2M 个斩切角 将其定义为 ai(i =1 2, … ,2M) 由于三角波的频率足够大 us1 和 udc 在 1 个三角波周期内可以看作常数 图 5 中给出了在 1 个三角波周期内 三角波 电压 utr 调制波电压 us1 和 A 相电压 ua 之间的关系
WANG Shu-wen, JI Yan-chao , MA Wen-chuan
Department of Electrical Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001,Heilongjiang Province, China
中图分类号 TM72研究
王树文 纪延超 马文川
黑龙江省 哈尔滨市 150001 哈尔滨工业大学电气工程学院
Research of Novel Single-Phase Inverter Source And Its Modulation Technology
对 A 相电压进行傅里叶分析 ua 的傅里叶变 换表达式系数可以分别表示为 an(1,1), bn(1,1), an(2,1), bn(2,1), an(3,1), bn(3,1) 则 ua 的傅里叶展开式如下
(1,1) (2,1) (3,1) ua = 1/ 2(ao + ao + ao )+ (1,1) (2,1) (3,1) (an + an + an ) cos nω t ∑ (1,1) (2,1) (3,1) n =1 +( an + bn + bn ) cos nω t ∞
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