2017年北京市房山高三一模数学理试题及答案

房山区2017年高考第一次模拟测试试卷数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|4},{|0}A x x B x x =≤=≥，则AB =A ．{|02}x x ≤≤B ．{|2}x x ≥-C ．{0,1,2}D ．{1,2}2、已知,x y 满足101010y x y x -≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则x y +的最小值为A ．-1B ．2C ．3D ．33、执行如图所示的程序框图，输出的y 值为 A ．15 B ．17 C ．19 D ．214、某几何体的三视图总的三角形都是直角三角形，如图所示， 则该几何体红直角三角形的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．45、在ABC ∆中，若2,,3ABC a C S π∆=∠==，则c =A．2 C．．46、“直线l 的方程为20x y -=”是“直线l 平分圆22(1)(2)1x y -+-=的周长”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7、由表格中的数据可以判定函数()ln 2f x x x =-+的一个零点所在的区间是(,1)()k k k Z +∈， 则k 的值为A ．1B ．2C ．3D ．48、某校组织学生假期游学活动，设计了两条路线：A 路线为“山西寻根之旅”，B 路线为“齐鲁文化之旅”，现调查了50名学生的游学意愿，有如下结果：选择A 路线的人数是全体的五分之三，选择B 路线的人数比选择A 路线的人数多3；另外，两条路线A 、B 都不选择的学生人数比两条路线A 、B 都选择的人数的三分之一多3，则两条路线A 、B 都不选择的学生人数为 A ．8 B ．9 C ．10 D ．11第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 9、在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为10、古代科举制度始于隋而成于唐，完备于宋、元、明代则处于其发展的鼎盛阶段，其中表现之一为会试南卷、北卷、中卷按比例录取，其录取比例为11:7:2，若明宣德五年会试录取人数为100人，则中卷录取的人数为11、已知向量(1,1),(1,),a b k a b =-=-⊥，则b =12、双曲线2221(0)y x b b-=>的右焦点为(2,0)，则此双曲线的渐近线方程为13、已知函数()31,02,0x x x f x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，则((1))f f -= ，()f x 的值域为14、《中华人民共和国个人所得税法》规定：2011年9月1日开始个人所得税齐征点由原来超过的2000元提高到3500元，也就是说原来越收入超过2000元的部分需要纳税，2011年9月1日开始超过3500元的部分需要纳税，若税法修改后超过部分的税率相同，按下表分段计税：某职工2011年5月缴纳个人所得税295元，在收入不变的情况下，2011年10月该职工需交纳个人所得税 元.三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、（本小题满分13分）在数列{}n a 中，{}142,9,n a a b ==是等比数列，且1n n b a =-. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n a 的前n 项和.16、（本小题满分13分）已知函数()1sin (cos sin )2f x x x x =-+. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间.17、（本小题满分13分）某中学高一、高二年级各有8个班，学校调查了衣蛾学期各班的文学名著阅读量（单位：本），并根据调查结果，得到如下所示的茎叶图：为鼓励学生阅读，在高一、高二两个两个年级中，学校将阅读量高于本年级阅读量平均数的班级命名为该年级的“书香班级”.（1）当4a =时，记高一年级“书香班级”数为m ，高二年级的“书香班级”数为n ，比较,m n 的大小关系；（2）在高一年级8个班级中，任意选取两个，求这两个班级均是“书香班级”的概率； （3）若高二年级的“书香班级”数多于高一年级的“书香班级”数，求a 的值（只需写出结论）18、（本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2,AB CD AB BC AB CD DE AB ⊥=⊥，沿DE 将AED ∆折起到1A ED ∆的位置，连接11,,,A B A C M N 分别为1,AC BE 的中点，如图2. （1）求证：1DE A B ⊥； （2）求证：//MN 平面1A ED ；（3）在棱1A B 上是否存在一点G ，使得EG ⊥平面1A BC ？若存在，求出1AG GB的值；若不存在，说明理由.20、（本小题满分14分）在圆中直径所对的圆周角是直角，有同学类比圆研究椭圆，把经过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径，已知椭圆22:1,3x C y AB +=是椭圆C 的直径 （1）求椭圆C 的离心率；（2）该同学几何画板在椭圆C 上取了几个点，通过测量发现每一个点与,A B 连线的斜率之积不变，那么对于椭圆任意一点(M M 不与,A B 重合）直线,MA MB 的斜率之积是否为定值，若是，写出定值并证明你的结论；若不是请说明理由；（3）O 是坐标原点，M 是按上的一点且第一象限，M 关于原点对称为,M E '是x 轴上一点，MOE ∆是等腰三角形，MO ME =，直线M E '与椭圆的另一个交点为N ，求证：M MN '∠是直角.房山区2017年高三一模试卷 高三数学（理）参考答案一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

15.解：（I ）设等比数列{}n b 的公比为q ，1=-n n a b 8=1=44-∴a b 1=1=11-a b ，3q b b 14= 2∴=q 112==-1-∴n n n q b b 1+2=1+=1-∴n n n b a……6分（II ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n n a a a S +......++=21＝)1+2(+……+)1+2(+)1+2(+)1+2(121-n＝)1+......+1+1+1(+)2+.......+2+2+2(121-n＝n n +21)21(20－－ ＝n n+12- ……13分16. 解:（I ）21+sin cos sin =)(2x x x x f －＝21+2cos 12sin 212－－x x ＝x x 2cos 21+2sin 21＝)4+2sin(22πxππωπ=22=2=T ∴ ……5分（II ）由x y sin =的单调递减区间为Z k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++k ,22322ππππ，πππππk x k 2+23≤4+2≤2+2∴ ππππk x k 2+45≤2≤2+4 ππππk x k ++85≤≤8 (x)∴f 的单调递减区间为Z k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++k ,858ππππ， ……13分17．解：（I ）当a =3 时，高二年级阅读量平均数为21.33，所以n =3，高一年级阅读量平均数为28，所以m =3， 所以，m =n . ……5分（II ）记三个“书香班级”的分别为c b a ,,，其他班级为3,2,1，则基本事件空间为{}1,2,3,1, 2.3,1.2,3,12,13,23,,,a a a b b b c c c ab ac bc 共15种情况. 两个班均是“书香班级”的情况共有3种,,ab ac bc . 设“这两个班级均是“书香班级””为事件A ，则=)(A P 31155= ……10分 （3）a 的取值为0. ……13分 18．（I ）证明：因为DE ⊥AB,所以DE ⊥EB, DE ⊥E A 1 因为E E A EB =⋂1,所以EB A DE 1面⊥ 因为EB A B A 11面⊂,所以B A DE 1⊥……4分 （II ）证明：取D A 1中点F ，连结MF 、EF因为M 、F 分别为D A C A 11、中点，所以MF 为CD A 1∆中位线 所以MF=CD MF CD 21//,21 因为AB DE BC AB ⊥⊥,,所以DE//BC,因为DC//BE所以四边形BCDE 为矩形，所以DC//BE 且DC=BE 因为N 为EB 中点，所以MF//EN 且MF=EN 所以四边形MNEF 为平行四边形，所以MN//EF 因为DE A EF DE A MN 11,面面⊂⊄,所以MN//面DE A 1 ……9分（III ）存在，G 为B A 1中点证明：因为DE BC EB A DE //,1面⊥,所以,1EB A BC 面⊥ 因为EG BC EB A EG ⊥⊂所以面,1因为EG B A B A G EA EB ⊥=111,中点，所以为 因为1,,111=⊥=GBGA BC A EGB BC B A 所以面所以 ……14分19．（I ）a e x f x-=')(因为函数)(x f y =在点（1，)1(f ）处的切线平行于直线2+=ax y 所以k=a a e f =-=1')1( 所以e a 21=……3分 （II ）当0≤a 时，0)('>x f 恒成立，所以)(x f 在R 上单调递增 当0>a 时，令a e x f x-=')(=0,解得ln x a =综上所述：当0≤a 时，)(x f 在R 上单调递增当0>a 时，)(x f 在(,ln )a -∞上单调递减，GFE D C BA 1M在(ln ,)a +∞上单调递增 ……8分（III ）当 时，10<<a 欲证曲线()y f x =在直线(e -1)y=x 的上方 只需证明：x e ax e x F x)1()(---=的最小值大于零 )1()(/---=e a e x F x，令0)1()(/=---=e a e x F x，则，因为 时，10<<a 所以 ，所以x=ln(a+e-1)）因为，10<<a 所以e e a <-+<10，所以,0)1ln(1>-+-e a 所以x e ax e x F x)1()(---=的最小值大于零所以曲线()y f x =在直线(e -1)y=x 的上方 ……13分 20．解答（Ⅰ）a c ==椭圆C 的离心率e c a ===…………4分 （Ⅱ）⑴当MA MB ，的斜率都存在时，MA MB ，的斜率之积为定值；⑵当椭圆C 的直径AB 不在坐标轴上，点M 与A B （）坐标轴对称时，MA MB ，斜率一个不存在，另一个为0．⑵显然成立．证明⑴：设()M m n ，是椭圆上一点，且2213m n +=， 则2213m n =-．①11()A x y ，是椭圆上一点，且221113x y +=，11(,)B x y --，则221113x y =-．② 1-+=e a e x 01>-+e a2212211122221111(1)(1)1333MA MBx m n y n y n y k k m x m x m x m x ----+-∴=⋅===--+--（定值）． …………9分（III ）设(,)M m n 是椭圆上一点，且2213m n +=，'()M m n ，--． MOE ∆是等腰三角形，MO ME =，则(20)E m ，． 'MM nk m∴=，'0()2()3EM n n k m m m --==--．'MM k ∴=3'EM k ．由（Ⅱ）'MM 是椭圆的直径，'N 13MN M k k ∴=-． '1133MN MM k k ∴⋅=-．'1MN MM k k ∴⋅=-，'M MN ∠是直角．…………14分。