证明不等式的基本方法——比较法

合集下载

不等式证明的基本方法

4．放缩法是在证明不等式或变形中，将条件或结论或变换中的式子放大或缩小进行求证的方法．放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度．放缩法是证明不等式的常用技巧，有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，要控制难度．
比较法
(2010 年高考江苏卷试题)设 a、b 是非负实数，求证：a3 ＋b3≥ ab(a2＋b2)．【思路分析】先作差，再用不等式的基本性质解答．
不等式证明的基本方法
1．比较法是证明不等式最常用最基本的方法，有两种： (1)求差法：a＞b⇔a－b＞0； a (2)求商法：a＞b＞0⇔b>1，(b>0)．
2．分析法、综合法是证明数学问题的两大最基本的方法．综合法是以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出问题的结论为止，简而言之，就是“由因导果”．分析法是从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件与已知条件或已知事实吻合为止，简而言之，就是“执果索因”．
分析法与综合法
如果 a＞0，b＞0，求证：a3＋b3≥a2b＋ab2. 【证法一】 (用分析法) 要证 a3＋b3≥a2b＋ab2，只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b) ∵a＞0，b＞0，有 a＋b＞0，故只需证 a2－ab＋b2≥ab，只需证(a－b)2≥0 显然(a－b)2≥0 成立，以上各步均可逆， ∴a3＋b3≥a2b＋ab2
1．设 a>0，a≠1,0<x<1.求证：|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
证明：方法一：(平方后作差)
2 log2 (1 － x ) － log a a(1＋x)
＝[loga(1－x)＋loga(1＋x)]· [loga(1－x)－loga(1＋x)]＝ 1－x loga(1－x )· loga . 1＋x

2020年高中数学学习方略选修4-5人APPT：2.1证明不等式的基本方法——比较法

【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)在证明条件不等式时,要注意所给条件的应用.
() (2)作差比较法是与1比较,作商比较法是与0比较.
()
(3)因式分解、配方、放缩(基本不等式,有界性),凑成若干个平方和等是作差比较的常用变形方法. ( ) (4)分子放(缩),分母不变;分子不变,分母放(缩);分子放(缩),同时分母缩(放),是作商比较时常用的方法.
【内化·悟】作差比较法中,作差之后应该如何求解?
提示:作差之后再变形,变形的目的在于判断差的符号, 而不用考虑能否化简或值是多少.变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法.
【类题·通】作差比较法证明不等式的一般步骤 (1)作差:将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差.
＜0,
a 1 a a a 1
所以 a 1 a＜ a a 1.
类型二作商比较法
【典例】已知a>0,b>0且a≠b,求证:aabb>
ab

ab 2
.
世纪金
榜导学号
【思维·引】不等式两端都是指数式,它们的值均为正数,可考虑用作商比较法.
【证明】因为a>0,b>0,所以aabb>0, aba2b>0,

2
s

mn 2mn

,

sm 2mn
n2
mn
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，
其中s,m,n都是正数,且m≠n, 所以t1-t2<0,即t1<t2,所以甲比乙先到达指定地点.
【内化·悟】实际应用中使用比较法的关键是什么? 提示:分析实际问题情境中涉及比较的主体及其相关关系,结合设问列出相应的式子求解.

2.1《证明不等式的基本方法-比较法》课件(新人教选修4-5)[1].

5.设P a 2b2 5, Q 2ab a 2 4a, 若P Q, 则实数a, b
ab 1或ab 2 满足的条件为 ________
ab 1 6.若0 a b 1, P log 1 , Q (log 1 a log 1 b), 2 2
2 2 2
Q>P>M M log 1 (a b), 则P , Q , M的大小关系是__________
2
练习
1.求证a 3b 2b(a b)
2 2
2.求证• a
b 2 2a 2b 4a 3.已知a 2, 求证 1 2 4a
2 2
例4.甲,乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点 .甲有一半时间以速度 m 行走, 另一半时间以速度 n行走;乙有一半路程以速度m 行走, 另一半路程以速度 n行走. 如果m n,问甲乙两人谁先到达指定地点.
2
2
2
2
(a b )(a b )2
a, b 0, a b 0 2 又 a b (a b) 0
故(a b)(a b)2 0即(a 3 b 3 ) (a 2b ab 2 ) 0
a b a b ab
3
3
2Hale Waihona Puke 2a 例 2 如果用akg白糖制出bkg糖溶液, 则其浓度为 , b 若在上述溶液中再添加 mkg白糖, 此时溶液的浓度 am 增加到 , 将这个事实抽象为数学问题, 并给出证明 . bm 解 : 可以把上述事实抽象成如下不等式问题 :
一、比较法 (1)作差比较法

证明不等式的基本方法

8、已知 f ( x ) x 2 px q ，求证： | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有一个不小于
1
.
2 1 分析：设 | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中没有一个大于或等于， 2 观察： f (1) 1 p q , f (2) 4 2 p q , f (3) 9 3 p q
cd b cd d d dac cd

把以上四个不等式相加得 abcd abcd abd bca cbd d ac ab cd . 即 ab cd a b c d 1 2 abd bca cba d ac a b c d
利用综合法证明不等式时 , 应注意对已证不等式的使用 , 常用的不等式有 : (1)a 2 0; ( 2 ) a 0; ( 3 )a 2 b 2 2 ab ; 它的变形形式又有 ( a b ) 4 ab ;
2
a b
2
2
2
ab 2
2
(4)
ab
2 a b a b 2( ab 0 ); 2( ab 0 ) b a b a
6、已知 x , y 0,且 x y 2, 1 x 1 y 试证 , 中至少有一个小于 2. y x
1 x 1 y 证明 : 假设 , 都不小于 2, y x
1 x 1 y 即 2, 且 2, y x x , y 0 , 1 x 2 y , 1 y 2 x , 2 x y 2( x y ) x y 2 , 这与已知条件 x y 2矛盾 . 1 x y 与 1 y x 中至少有一个小于2

证明不等式的基本方法——比较法.pdf

第二讲证明不等式的基本方法课题：第01 课时不等式的证明方法之一：比较法一．教学目标（一）知识目标（1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想；（2）会用比较法证明不等式,熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；（3）明确用比较法证明不等式的依据,以及“转化”的数学思想。

（二）能力目标（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；（3）训练学生思维的灵活性。

（三）德育目标（1）激发学习的内在动机；（2）养成良好的学习习惯。

二．教学的重难点及教学设计（一）教学重点不等式证明比较法的基本思想, 用作差、作商达到比较大小的目的（二）教学难点借助与0 或1 比较大小转化的数学思想,证明不等式的依据和用途（三）教学设计要点1. 情境设计用糖水加糖更甜,实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境,激发学生学习动机,通过将实际问题转化为不等式大小的比较,引入新课。

2. 教学内容的处理（1）补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。

（2）补充一组证明不等式的变式练习。

（3）在作业中补充何时该用作差法,何时用作商法的习题,帮助同学们更好地理解比较法。

3. 教学方法独立探究,合作交流与教师引导相结合。

三．教具准备水杯、水、白糖、调羹、粉笔等四．教学过程( 一) 、新课学习：1. 作差比较法的依据：a b a b 0证明：采用差值比较法：已知a, b, m都是正数,并且 a b,则下面给出证明.a,b证明：注意到要证的不等式关于对称,不妨设当a b 0时, 1,a b 0（, ）1例5. 若a b c 0,求证1．已知a 1. 求证：（1）a2 2a 1;最终比较差与0 的大小关结果与1 的大小关系系。

高考数学证明不等式的基本方法

讲末复习
知识网络
要点归纳
题型研修
知识网络
要点归纳
题型研修
1.比较法证明不等式作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据是：不等式的意义及实数大小比较的充要条件. 证明的步骤大致是：作差——恒等变形——判断结果的符号.
知识网络
要点归纳
题型研修
2.综合法证明不等式综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推理的基本理论.证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中 “当且仅当……时，取等号”的题型研修
例 1 若 x，y，z∈R，a＞0，b＞0，c＞0.求证：b＋a cx2＋c＋b a
y2＋a＋c bz2≥2(xy＋yz＋zx).
证明 ∵b＋a cx2＋c＋b ay2＋a＋c bz2－2(xy＋yz＋zx)
＝bax2＋aby2－2xy＋bcy2＋bcz2－2yz＋acz2＋acx2－2zx＝
∴0＜（n＋1）n22＋＋11＋＋（ n n＋1）＜1，即CCn＋n1＜1，
从而有 Cn＋1＜Cn.
知识网络
要点归纳
题型研修
跟踪演练 2 若 a，b，m，n 都为正实数，且 m＋n＝1，试证： ma＋nb≥m a＋n b. 证明 ∵a，b，m，n 均为正数，且 m＋n＝1， ∴( ma＋nb)2－(m a＋n b)2 ＝ma＋nb－m2a－n2b－2mn ab ＝m(1－m)a＋n(1－n)b－2mn ab ＝mn( a－ b)2≥0，又 ma＋nb＞0，m a＋n b＞0， ∴ ma＋nb≥m a＋n b.
知识网络

不等式证明的基本方法

不等式证明的基本方法不等式证明的基本方法包括：比较法；综合法；分析法；反证法；换元法等.下面，就不等式证明的常用方法作较为全面的归纳.【比较法】——是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种：1.作差比较法(1)应用范围：当欲证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，常用此法.(2)步骤：“作差----变形----判断符号”.(3)变形——判断符号的主要途径和方法：①配方，将差式变形为若干个非负(或非正)数(式子)和的形式后判断差式的符号.②因式分解，将差式变形为若干个因式积的形式，再根据所有因式积的符号判断差式的符号.③分成几项，然后说明各项均为正(或负)，判断差的符号.例1.已知a，b，c∈R+，求证：a3+b3+c3≥3abc．证明：a3+b3+c3-3abc=[(a+b)3+c3]-3a2b-3ab2-3abc=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)[(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2](a+b+c)，=(a+b+c)[a2+b2+c2-ab-bc-ca]=12∵ a，b，c∈R+，∴ a+b+c＞0．又∵(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2≥0，a+b+c>0，[(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2](a+b+c) ≥0，即a3+b3+c3-3abc≥0，∴12∴a3+b3+c3≥3abc．(当且仅当a=b=c时取等号).例2.已知a，b∈R+，n∈N，求证：(a+b)(a n+b n)≤2(a n+1+b n+1)．证明：∵左边-右边=a n+1+ab n+a n b+b n+1-2a n+1-2b n+1=ab n+a n b-a n+1-b n+1=a(b n-a n)+b(a n-b n) =(b n-a n)(a-b)，①当a>b>0时，b n-a n<0，a-b>0，∴①<0；当b>a>0时，b n-a n>0，a-b<0，∴①<0；当a=b>0时，b n-a n=0，a-b=0，∴①=0．综上所述，有(a+b)(a n+b n)-2(a n+1+b n+1)≤0．(当且仅当a=b>0时取等号).即(a+b)(a n+b n)≤2(a n+1+b n+1)，当且仅当a=b 是去等号．2.作商比较法(1)应用范围：当要证的式子两端是乘积或幂、指数形式时，常用此法.(2)方法：要证A>B ，常分以下三种情况：若B>0，只需证明 AB >1；若B=0，只需证明A>0；若B<0，只需证明 AB <1.(3)步骤：作商-----变形-----判断商数与1的大小. 例3.已知a ，b ∈R +，求证a a b b ≥a b b a ．证明：∵ a ，b ∈R +，∴ a b b a ＞0，又∵ a a b ba b b a =(ab )a (ba )b =(ab )a−b . 当a>b>0时，ab>1，且a -b>0，故a ab b a b b a >1；当b > a >0时，0<a b<1，且a -b<0，故a ab b a b b a>1；当a=b>0时，ab1，且a -b=0，故a ab b a b b a=1；综上所述，当a ，b ＞0是，都有a a b b ≥a b b a ．例4 .已知a ，b 均为正实数，且a ≠b.求证：a 3+b 3>a 2b+ab 2. 证明：∵ a ，b 均为正实数，且a ≠b ， ∵ a 3+b 3ab 2+a 2b =(a+b )(a 2−ab+b 2)ab(a+b)>2ab−ab ab=1,由于a 2b+ab 2>0，∵ a 3+b 3>a 2b+ab 2.说明：此题的常规证明方式为求差法.请读者自证.想一想①：证明下列不等式. 1.a 2+b 2≥2(a -b -1).2.已知a>2，b>2，求证：a+b<ab.【综合法】用综合法证明不等式，就是利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的演绎推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”推“可知”，逐步推出“结论”. 综合法属演绎推理范畴.例5.(1)若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg a+b 2+lg b+c 2+lg a+c2>lga +lgb +lgc .(2)已知a>2，求证log a (a -1)·log a (a+1)<1．证明:(1)∵ a ，b ，c ∈R +，∴a+b 2≥√ab >0，b+c 2≥√bc >0，a+c 2≥√ac >0，又a ，b ，c 为不全相等的正数，故有，a+b 2∙b+c 2∙a+c 2>abc ，∴ lga+b 2∙b+c 2∙a+c 2> lg abc.即lga+b 2+lg b+c 2+lga+c 2>lga +lgb +lgc .(2) ∵ a >2，∴log a (a -1)> 0，log a (a+1)> 0．又∵ log a (a -1)≠log a (a+1)，∴ √log a (a −1)∙log a (a +1)<log a (a−1)+log a (a+1)2=12log a (a 2−1)<12log a a 2=1，∴ log a (a -1)·log a (a+1)< 1．例6.已知a ，b ，c∈R +，求证：(1)(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c 2)≥16abc . (2).3≥-++-++-+ccb a b bc a a a c b 证明：(1) ∵ ab+a+b+1=(a+1)(b+1)，ab+ac+bc+c 2=(a+c)(b+c)．又∵a ，b ，c∈R +， ∴ ,021>≥+a a ,021>≥+b b ,02>≥+ac c a ,02>≥+bc c b于是有，,04)1)(1(>≥++ab b a ,04))((2>≥++abc c b c a ∴ (a+1)(b+1)(a+c)(b+c)≥16abc . (当且仅当a=b=c=1时取等号). (2)法1.(利用二元均值不等式a+b ab 2≥).∵ .332223)()()(=-++≥-+++++=-++-++-+c b b c c a a c b a a b c c b a b b c a a a c b∴ .3≥-++-++-+cc b a bb c a aa cb (当且仅当a=b=c 时取等号).法2. (利用三元均值不等式a+b+c 33abc ≥).∵ .33333)()(=-+≥-+++++=-++-++-+ba cb ac ca bc ab cc b a bb c a aa c b∴ .3≥-++-++-+c c b a b b c a a a c b (当且仅当a=b=c 时取等号). 法3. (利用六元均值不等式a+b+c+d+e+f 66abcdef ≥).∵ .3363)(=-≥-+++++=-++-++-+cb ca bc ba ac ab cc b a bb c a aa c b∴ .3≥-++-++-+cc b a bb c a aa cb (当且仅当a=b=c 时取等号).例7.已知a 、b 、c ∈R +，求证：.23≥+++++a c b c b a b a c 有人给出了如下的证明：∵ a 、b 、c ∈R +，∴ .232223))()((333≥≥+++≥+++++ac bc ab abc a c c b b a abc a c b c b a b a c ∴.23≥+++++a c b c b a b a c (当且仅当a=b=c 时取等号). 你认为正确吗? 剖析：在上述的证明过程中，第二个“≥”，应为“≤”. 在不等式的基本性质中，只有同向的不等式才有传递性，此题的推证在第二个“≥”处，是传递不了的.正确的证明如下..233293))()((13))()((3213)]111)](()()[(213)111)(()1()1()1(33=-=-+++⋅+++⋅≥-++++++++++=-+++++++=-++++-++++-+++=+++++a c c b b a c a c b b a c a c b b a c a c b b a c a c b b a c b a ca cb ac b c b a b a c b a a c b c b a b a c∴.23≥+++++a c b c b a b a c (当且仅当a=b=c 时取等号). 说明:(1)用均值定理证明不等式时，要为运用定理对式子作适当变形，可把式子分成若干分，对每部分运用均值定理后，再把它们相加或相乘． (2)在用不等式的基本性质“传递性”时，要注意只有“不等号同向”时，才能进行传递.在用同向不等式相乘时，一定要强调各个不等式均为正，否则会出错. 例8.已知a ，b ∈R +，且a+b=1，求证：ax 2+by 2≥(ax+by)2. 证明：法1.(求差法).∵ a ，b ∈R +，且a+b=1，∴ ax 2+by 2-(ax+by)2=a(1-a)x 2+b(1-b)y 2-2abxy=ab(x 2+y 2-2xy)=ab(x -y)2≥0，即ax 2+by 2≥(ax+by)2. (当且仅当x=y 时取等号). 法2.(利用二元均值不等式).∵ a ，b ∈R +，且a+b=1，∴ ax 2+by 2=(a+b)( ax 2+by 2)=(ax)2+(by)2+ab(x 2+y 2) ≥(ax)2+(by)2+2abxy=(ax+by)2. 即ax 2+by 2≥(ax+by)2. 法3.(利用柯西不等式).∵ [22)()(b a +][22)()(y b x a +]≥(ax+by)2. 又∵a ，b ∈R +，且a+b=1，∴ ax 2+by 2≥(ax+by)2.想一想②：证明下列不等式1.求证：a 2+b 2+c 2+3≥2(a+b+c).2.设a ，b ，c 是不全等的正实数，求证：cab b ac a bc ++>a+b+c.3.已知0<x <1，求证：xb x a -+122≥2)(b a +.【分析法】分析法是指从需证的不等式出发，寻求使这个不等式成立的充分条件.其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”求“需知”，逐步靠拢“已知”.分析法一般用于综合法难以证明的不等式.通常表现为不等式的形式复杂，难以直接由一端过渡到另一端的问题. 例9.若0<a<c ，b<c. 求证：<<--a ab c c 2ab c c -+2.证明：要证<<--a ab c c 2ab c c -+2，只要证，<-<--c a ab c 2ab c -2，即只要证 |a -c|<ab c -2，只要证 (a -c)2<c 2-ab ，即a 2-2ac<-ab ，∵ a>0，∴ 只要证a+b<2c. 由题设条件，显然有a+b<2c 成立.将每一步倒推回去， ∴ 原不等式成立.说明：分析法的书写方式是比较繁琐的.因此我们在实际做题时，往往用分析法“探路”，用综合法来书写表述.在探路时，也可以用“⇐”来表述. 例10.设 x>0，y>0，x≠y ，求证：21223133)()(y x y x +<+证明：∵ x>0，y>0，x≠y ，,)()(.)()(32233212231332y x y x y x y x +<+⇐+<+.0)()(2),(32222222233>-++⇐+<⇐y x y x y x y x y x ∴ 原不等式成立.想一想③：设0>>b a ，求证：.8)(28)(22bb a ab b a a b a -<-+<-【反证法】即要证明不等式A>B ，先假设A ≤B ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B.凡涉及到证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法.反证法的逻辑原理是命题“P ”与它的否定“非P ”的真假相反，所以要证一个命题为真，只要证它的否定为假即可.推出矛盾的四种途径：①推理的结果与基本定义、公理、定理等相矛盾——与基本结论相矛盾. ②推理的结果与已知条件相矛盾——与已知相矛盾. ③推出两个相互矛盾的结论——自相矛盾. ④推理的结果与假设相矛盾——与假设相矛盾.例11.对实数a ，b ，c ，A ，B ，C ，有20aC bB cA -+=，且20ac b ->.求证:20AC B -≤. 证明:假设AC -B 2>0，则20AC B >≥，由已知有 20ac b >≥，相乘得 22aAcC b B >，∵ 2aC cA bB +=，∴ 222()44aC cA b B aAcC +=<，整理得 2()0aC cA -< ，这与“任何实数的平方非负”相矛盾(与基本结论相矛盾). ∴ 假设不成立，故20AC B -≤.例12.已知a>0，b>0，且a+b>2. 求证：1+b a与1+ab中，至少有一个小于2.证明：假设1+b a与1+a b都不小于2，则1+b a≥2且1+a b≥2，∵ a>0，b>0，∴ 1+b≥2a ，1+a≥2b ，两式相加可得1+b+1+a≥2(a+b)，即a+b≤2，这与已知a+b>2矛盾( 与已知相矛盾). 故假设不成立， ∴1+b a与1+a b中，至少有一个小于2.例13.设0 < a ， b ， c < 1，求证：(1 - a )b ，(1 - b )c ，(1 - c )a 不可能同时大于14. 证明:假设(1 - a )b >14>0， (1 - b )c >14>0， (1 - c )a >14>0，则三式相乘：(1 - a )b •(1 - b )c •(1 - c )a >164. ①又∵0 < a ， b ， c < 1 ， ∴ 0<(1-a)a ≤[(1−a )+a 2]2=14，同理：(1-b)b ≤14，(1-c)c ≤14 . 以上三式相乘： (1 - a )a •(1 - b )b •(1 - c )c ≤164. 与①矛盾(自相矛盾).∴ 原命题成立例14.已知数列{a n }是首项为2，公比为12的等比数列，S n 是它的前n 项和.(1)用S n -1表示S n ；(2)是否存在自然数c 和k ，使得 12k k S c S c+->-成立.解:(1)由求和公式可得242nn S -=-，从而可得S n =.2211+-n S (2)假设存在符合条件的自然数c 和k ，则11242242kk k k S c c S c c-+----=>---，从而114320422kkc c ----⨯<--⨯. ① 令 4t c =-，则由①式得 (t -3×21-k )(t -2×21-k )<0，即112232k kt --⨯<<⨯，∴ 1223k t -<⨯<，② ∵ c ，k 为自然数，知t 为整数，这样一来 ②式不成立. 故这样的自然数c 和k 不存在. 想一想④：已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a ，b ， c > 0.【换元法】在不等式的证明过程中，按照所证不等式的结构特点，将不等式中的变量作适当的代换，使其结构和关系变得更清晰、明朗，从而使证明过程变得简洁、明快.常用的换元有如下几种形式.(1)三角代换：多用于条件不等式的证明. 当所给条件中变量t 的取值在[-a ，a]时，可令t=acos θ，θ∈[0，π]或t=asin θ，θ∈[−π2，π2]；当变量t 为任意实数时，可令t=atan θ， θ∈[−π2，π2].例15.若x 2+y 2≤1，求证：|x 2+2xy -y 2|≤√2.证明:由x 2+y 2≤1，设x=rsin α，y=rcos α，|r|≤1，则|x 2+2xy -y 2|=|r 2cos 2α+2r 2cosαsinα−r 2sin 2α|=r 2|cos2α+sin2α|=√2r 2|sin(α+π4)| ≤√2r 2≤√2.(2)代数代换：若条件中有a >0，b >0，且a +b =1时，可令a=12+t ，b =12−t ，t ∈(−12，12)；或a>0，b>0，c>0.且a+b+c=1时，可令a=13+t 1，b =13+t 2，c =13+3，t 1+t 2+t 3=0. 也可将其中的一部分作代换.例16.已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1 求证：(a +1a )(b +1b )≥254.证法1：(代数代换) 设a =12+t ，b =12-t .∵ a +b =1，a>0，b>0，∴ |t |<12.∵ (a +1a )(b +1b )=2222222241)45(211)21(211)21(11t t t t t t t bb a a --+==-+-⋅+++=+⋅+ =42541162541231625242=≥-++t tt .(当且仅当t=0，即a=b=12时取等号). 即(a +1a )(b +1b )≥254.证法2. (三角换元法）∵ a>0，b>0，a +b =1，故令a =sin 2α，b =cos 2α，α∈(0，). ∴ αααααααααα2244442222cos sin 1cos sin cos sin )cos 1)(cos sin 1(sin )1)(1(+++=++=++b b a aαααααααααα2sin 416)2sin 4(2sin 4322sin 82sin 2sin 4)2cos sin 2cos (sin 1622222422244+-=+-=+-=. 又∵ 12sin 2≤α，∴ 2516)2sin 4(,3142sin 4222≥+-⇒=-≥-αα①.且 .412sin 412≥α②. 由①②可得，.4252sin 416)2sin 4(222≥+-αα 即 (a +1a)(b +1b)≥254..例17.证明：若a > 0，则√a 2+1a 2 -√2≥a +1a -2.证明：设x= a +1a ，y=√a 2+1a 2，a > 0，x ≥2，y ≥√2.则只需证明y −√2≥x −2,2π∵ x 2-y 2=( a +1a )2-(√a 2+1a 2)2=2，x+y=( a +1a )+ √a 2+1a 2≥2+√2， (当a = 1时取“=” ).∴ x -y=x 2−y 2x+y≤2+√2=2−√2. 即 y −√2≥x −2，∴ 原不等式成立.习题3.11.求证：a 2+b 2+1≥a+b -ab .2.已知a>b>0，求证：a a b b>(ab)a+b 2.3.已知0 < x < 1， 0 < a < 1，试比较|log a (1-x)|与|log a (1+x)|的大小.4.已知a>b>c ，求证1140a b b c c a++≥---.5.已知224x y +=，求证：|4y +≤.6.已知a ，b ，c 为正实数，且a 2+b 2=c 2.求证：a n +b n <c n (n 为大于2的整数).7.设a 、b 、c 是三角形的边长，求证cb a cb ac b a c b a -++-++-+≥3.8.已知a>1，b>1，c>1. 求证：22212111a b c b c a ++≥---.参考答案想一想①：1.提示：求差后配方.2. 提示：求差或求商.1212111=+<+=+a b ab b a . 想一想②：提示：1.求差法，也可以用二元均值不等式. 2.用二元均值不等式. 3.仿例8.只有x+(1-x)=1.想一想③：要证原不等式成立，只需证：.8)(2)(8)(222bb a b a a b a -<-<-∵b a ≠只需证.4)(14)(22bb a a b a +<<+只需证bb a a b a 212+<<+，只需证b a a b <<1∵0>>b a 上式成立 ∴原不等式在0>>b a 时成立.想一想④：假设a < 0，∵ abc > 0， ∴ bc < 0. 又由a + b + c > 0，则b + c = -a > 0，∴ ab + bc + ca = a (b + c ) + bc < 0，与题设矛盾. 又若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴ 必有a > 0. 同理可证：b > 0, c > 0.习题3.11.求差配方.2.求商分类讨论.3.作商或作差比较大小均可4.1140a b b c c a++≥---，.4)11)](()[(,411≥-+--+-⇐-≥-+-⇐c b b a c b b a c a c b b a5.三角代换.6.构造以a 、b 、c 为三边，且以c 为斜边的直角三角形. 令)900(sin cos 00<<==θθθc b c a ，.)2(cos cos 0sin sin 01cos 01sin 022><<<<<<<<n n n θθθθθθ，∴，，∵,nnnnnnnc c c b a =+<+=+)cos (sin )cos (sin 22θθθθ∴. 7.由不等式的对称性，不妨设a ≥b ≥c ，则a c b -+≤b a c -+≤c b a -+, 且b a c --2≤0， c b a --2≥0.∴1113--++--++--+=--++-++-+c b a cb ac b a c b a c b a c b a c b a c b ac b a b a c b a c c a b a c b c b a -+--+-+--+-+--=222≥0222=-+--+-+--+-+--ba cb ac b a c a c b b a c c b a ， ∴cb a cb ac b a c b a -++-++-+≥3.8.由1,1,1a b c >>>，可设1,1,1,0,0,0a x b y c z x y z >>>－＝－＝－＝.于是xz z y y x x z z y y x a c c b b a 222222222)2()2()2()1()1()1(111++≥+++++=-+-+- =1234)(43=⋅⋅⋅≥++xzz y y x x z z y y x .。

证明不等式的基本方法——比较法

证明不等式的基本方法——比较法不等式的基本方法之一是比较法（或称为递推法）。

该方法的主要思想是通过比较不等式两边的表达式来确定它们的大小关系。

在使用比较法证明不等式时，我们通常需要注意以下几点：1.明确不等式的目标：确定我们想要证明的具体不等式。

2.选择合适的比较对象：我们需要找到一个或多个合适的表达式作为比较对象，通常是在已知不等式中出现过的表达式。

3.建立递推关系：通过比较对象与目标表达式的大小关系，建立一种递推关系。

递推关系可以是通过改变不等式两边的表达式，或是通过引入新的变量来推导出来。

4.递归执行递推关系：通过递归执行建立好的递推关系，最终推导出目标不等式的结果。

下面将通过具体的例子来说明比较法的应用。

例1：证明对于任意正整数n，有$n^2>n$。

解：首先明确不等式的目标是$n^2>n$。

可以选择$n-1$作为比较对象，因为$n^2>n$与$n>n-1$是等价的。

建立递推关系：假设$n>1$，则有$(n-1)^2=n^2-2n+1<n^2<n(n-1)$。

递归执行递推关系，当$n=2$时，有$2^2=4>2$。

对于$n>2$，可以继续推导出$n^2>n$。

综上所述，对于任意正整数n，有$n^2>n$。

例2：证明对于任意正整数n，有$2^n>n$。

解：首先明确不等式的目标是$2^n>n$。

可以选择$n-1$作为比较对象，因为$2^n>n$与$n>n-1$是等价的。

建立递推关系：假设$n>1$，则有$2^{n-1} = \frac{1}{2^n} <\frac{n}{2}$。

递归执行递推关系，当$n=2$时，有$2^2=4>2$。

对于$n>2$，可以继续推导出$2^n>n$。

综上所述，对于任意正整数n，有$2^n>n$。

比较法是一种简单直观的证明不等式的方法。

通过找到合适的比较对象，建立递推关系，并递归执行递推关系，我们可以有效地证明不等式。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

（要求：按照课堂上老师演示做题的形式和格式，
解题过程中做到有逻辑性、条理性、步骤要有理有据)
七．板书设计
作差法依据
作商法依据
比较法证明不等式：
（见上面）
（见上面）
作差、作商的基本步骤
作差变形的方法：
结果大多数化成指数函（见上面）
{因式分解法、通分法、数的形式，用指数函数的
例 1、已知 a,b 都是正数，且 a b ，求证： a3 b3 a 2b ab2 .
证明：采用差值比较法：
(a3 b3) (a2b ab2 )
(a3 a2b) (b3 ab2 )
a2(a b) b2(b a)
(a2 b2)(a b)
(a b)2(a b)
（因式分解）
证：a b c 0则a b,b c, a c 0
同时 a , b , a 1 bcc
aabbcc
abc
(
a
)
ab 3
(
b
)
b
c 3
(
a
)
a
c 3
bcc
1
(abc) 3
abc
即aabbcc (abc) 3
(三)、课堂练习： 1．已知 a 1. 求证：（1） a 2 2a 1; （2） 2a 1. 1 a2
a b ab 0 a b ab0 a b ab0 作差比较法的步骤：作差—变形（化简）—定号（差值的符号）—得出结论
2.作商比较法的原理和步骤：
a,b R
a b a 1 b
a b a 1 b
a b a 1 b
作商比较法的步骤：作商—变形（化简）—判断（商值与实数 1 的关系）—得出结论 (二)、典型例题：
m(b a) 0即 a m a 0
b(b m)
bm b
am a bm b
例 4、已知 b R , 求证： a abb abba .
证明：注意到要证的不等式关于 a,b 对称，不妨设 a b 0 差值比较法失效采用商值比较法： a 1, a b 0,
b
aabb abba
将这个事实抽象为数学问题，并给出证明.
解：可以把上述事实抽象成如下不等式问题：
已知a, b, m都是正数，并且a b,则 a m a bm b
下面给出证明.
将不等式两边相减，得 a m a m(b a) (通分) b m b b(b m)
a b,b a 0;又 a, b, m都是正数，所以m(b a) 0, b(b m) 0
3(1 x 2 x 4 ) (1 x x 2 )2
=3 3x2 3x4 1 x2 x4 2x 2x2 2x3
= 2(x 4 x3 x 1)
= 2(x 1)2 (x 2 x 1)
= 2(x 1)2[(x 1 )2 3].（配方法） 24
x 1,从而(x 1)2 0,且(x 1 )2 3 0, 24
a b, a,b 0
(a b)2 0, a b 0
(a b)2(a b) 0
a3 b3 a2b ab2
假如没有已知 a,b 都是正数这个条件，结论又该分几种情况进行讨论？
例 2、若实数 x 1 ，求证： 3(1 x2 x4 ) (1 x x2 )2 . 证明：采用差值比较法：
第二讲证明不等式的基本方法
课题：第 01 课时不等式的证明方法之一：比较法
一．教学目标（一）知识目标（1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想；（2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；（3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。（二）能力目标（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；（3）训练学生思维的灵活性。（三）德育目标（1）激发学习的内在动机；（2）养成良好的学习习惯。二．教学的重难点及教学设计（一）教学重点不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的（二）教学难点借助与 0 或 1 比较大小转化的数学思想，证明不等式的依据和用途（三）教学设计要点 1.情境设计用糖水加糖更甜，实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境，激发学生学习动机，通过将实际问题转化为不等式大小的比较，引入新课。 2.教学内容的处理（1）补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。（2）补充一组证明不等式的变式练习。（3）在作业中补充何时该用作差法，何时用作商法的习题，帮助同学们更好地理解比较法。 3.教学方法独立探究，合作交流与教师引导相结合。三．教具准备水杯、水、白糖、调羹、粉笔等四．教学过程 (一)、新课学习： 1.作差比较法的依据：
2. 已知a, b, c是正数，求证a2ab2bc2c abcbcacab
五、课时小结：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断、得出结论。“变形”是解题的关键，是最重要的一步。作差常用的变形方法有：因式分解法、配方法、通分法，把差变形为几个因式的乘积，或其它可判断符号的形式，作商变形主要判断商值与 1 的大小关系，大多数情况如上面例 4、5 最终可化为指数函数形式利用指数函数的单调性与性质来进行判断较容易. 六、布置作业：课本 23 页第 1、2、3 题。
∴ 2(x 1)2[(x 1 )2 3] 0, 24
∴ 3(1 x 2 x 4 ) (1 x x 2 )2 .
若题设中去掉 x 1 这一限制条件，要求证的结论如何变换？
例3.如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则糖的质量分数为 a . b
若在上述溶液中再添加mkg白糖，此时糖的质量分数增加到 a m . bm
a b ab (ab)
( a )ab b
当a b时（ a ）ab 1 b
当a b 0时，a 1, a b 0（, a）ab 1
b
b
当b a 0时，0< a 1, a b 0（, a）ab 1
b
b
aabb abba
故原不等式得证.
abc
例 5.若 a b c 0 ，求证 a abbcc (abc) 3 ..