高等传热学稳态导热1

)(2=Φ
+∇=Φ+∇∙∇∙
∙
λ
λt t )
(12133212dx dt h h h dx d h h h t =∇高等传热学稳态导热
第二讲: 稳态导热 1. 控制方程：
B a s i c E q s
当导热系数为常量时：P o i s s i o n E q . v 当 1-D 时: 其中拉梅
系数 h 1,h 2,h 3
2．1D ，有内热源，3r d B .C 时的解 【1】1D ，内热源为常数，3r d B .C 时的解
若沿传热方向r 传热面积A 的变化规律为A =C r n ，有
边界条件:其解为: 22
2
2(1)R r t t m hR R λλ∞Φ-=+- 其中： n m =2(n +1) V /A =R /(n +1)
0 2 R 1 4 R /2 2 6 R /3
202(1)R t t m hR
λ
λ∞Φ-=+
在r=R(外表面)处的温度: 2w R t t hm ∞Φ-= 导热体最大温差：20w R t t m λ
Φ
-= 。

温差正
负取决于内热源，加热为正，吸热为负。

外表面热流与内热源关系：/()/(1)w w q V A h t t R n ∞
=Φ=-=Φ+ Sphere
n Cylinder n Plate n dr dt r n dr t d 2
10022
====Φ
++∙
λ0,0
,()
w dt r dr dt h
r R t t dr λ
∞====--
当h =∞， t ∞=t w :相当于外表面是第一类边界条件22
2(1)R r t t m R
λ∞Φ-=-
【2】．1D ，内热源为温度线性函数a bt Φ
=+ ，3r d B .C 时的解： 一般有：20t a bt λ∇++=，叫H e l m h o t z e q s
将：a bt Φ
=+ 代入H e l m h o t z e q s ，得：2/0b λ∇Φ+Φ= 。

1D ：
2
20d n d b dr r dr λ
∙∙∙
ΦΦΦ++=
))A B Φ
=+ 平壁 B =0, /()))A h h ∞
=Φ- 00
))AJ BY Φ=+ 圆筒壁 B =0, ))A B Φ
=+ 可用于通电导线、核燃料的计算。

【3】1D ，内热源为几何尺寸()r Φ
=Φ 的函数时的解： 通解为：12
(/)n n n t r r dr dr C r dr C λ--=-Φ++⎰⎰⎰
代入边界条件可得解。

3．无内热源时，1D ，导热系数不为常数（变导热系数）时的解：
有Fourier ’s Law ：()/()()/q t dt dr t A r dt dr const λλ=-→Φ=-=
令：()()K t t dt λ=⎰ 叫K i r c h h o l f F u n c t i o n 。

得：()/A r dK dr const Φ=-=
2
1
/()/()r r dK dr A r K dr A r =Φ→∆=Φ⎰
显然：当导热系数随温度变化规律已知时，可得到K 曲线，从而得到导热体内的温度变化规律。

这时，导热体积分平均导热系数为：
[]()
1212()()/K t K t t t =--
)
21(22
2
2R x hR R t t -+Φ=-∙
∞λλ
22
112121()//()()//()r r r r t t dr A r t t R R dr A r λλ⎡⎤Φ=-=-→=⎣⎦⎰⎰ 此处R 为热阻，A =C r n
时：有2
1
1121/():1(1)n n
r r r r R dr A r when n n C ---⎡⎤==≠⎣⎦-⎰
()
2
1
21ln //():1r r r r R dr A r when n C λ
⎡⎤===⎣⎦⎰ 【1】 导热系数时温度的线性函数0bt λλ=+
200121212/2()/2()/2(()/2)K t bt C b t t t t λλλλλλ=++→=++=+=+
【2】0bt e λλ=
120012//()/()bt bt bt K e b C b e e t t λλλ=+→=--
【3】20bt λλ=+
322001122/3()/3K t bt C b t t t t λλλ=++→=+++
4．稳态导热热阻分析法的应用举例：
【1】复合导热层分析：特点：几种材料组成，层状结构，如图。

例炉墙。

可进行如下近似分析：首先根据物性分层段，可分为m 层，n 段，例子里是3层3段。

第一种简化分析法，并串连分析：共3段，每段看成一个传热通道，假定段与段之间无传热，段中每层串连传热。

()*21/i i
i i
j A A t t R δδ=Φ=ΦΦ=-=∑∑∑
其中R i 为i 段的总热阻：i ij j
R R =∑,所以总热流为：
**21()(1/)1/((1/))i ij ij i
i
j
i
j
t t R R R Φ=Φ=-→=∑∑∑∑∑
对平壁：*1/((1/))1/((//))ij i j ij i
j
i
j
R R A δλ==∑∑∑∑
第二种简化分析法，串并连分析：共3层，每层看成一个传热层，层中假定段与段之间无传热，总体层与层串连传热。

其中R j 为j 层的总热阻：1/1/j ij i
R R =∑,所以总热流为：
****21()/(1/1/)((1/1/))j ij ij j
i
j
i
t t R R R Φ=Φ=-→=∑∑∑∑
对平壁：**((1/1/))((1//))ij i ij j i
j
j
i
R R A λδ==∑∑∑∑。

显然两种算法得到的结果一般不会相同，可以证明，R **≤R *，实际总热流应为Φ*≤Φ≤Φ**。

为了提高计算精度，工程上推荐以下修正公式：
***21(2)/3
()/R R R t t R =+Φ=-。

【2】 导热性能相差极大的材料组合的计算：
例：保温材料中用金属构件支撑固定，必须计算金属构件的传热影响。

假定：导热系数大的材料λ温度差忽略不计，λ》λ1、λ2、λ3热流沿最短路径流动。

如图可分成以下几个区。

金属影响区Ⅰ、Ⅱ和无影响区Ⅲ，热流线分别见图。

Ⅰ区：传热面积A 1=S p ，热阻()123//1//p R c h S λδλ=++
Ⅲ区：传热面积A 3=L -2a -S p ，热阻()()31233///1//R d b c h A λλδλ=++++ Ⅱ区：传热面积A 2=2a ，a 待求。

应用最段热流线原理，与热流直线相切的热流线圆半径，即金属影响区域a 应有：
()22121
2/2//()d a d b a b λπλλλπ
λ=+→=
+
显然有a ≤b ，对金属影响区域d r 的微热流为：
()22232//2//d tdr r c πλλδλΦ=∆++ 积分得：()()(
)()
332222
332322324ln
24ln
2a c t
R a c c c πλλδλλπ
πλλδλπ
λδλλ
λδλ++∆Φ=
→=
++++
最后得：123123(1/1/1/)t R R R Φ=Φ+Φ+Φ=∆++。