北京市西城区2019-2020第一学期高二数学期末试题
2019-2020学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题含答案
A ．是等差数列，也是等比数列B ．是等差数列，不是等比数列北京市西城区 2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高二数学 2020.1试卷满分： 150 分 考试时间： 120 分钟、选择题：本大题共 10小题，每小题 4 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的22xy1．已知椭圆 C: 2 1(a 0)的一个焦点为 (2,0) ,则 a 的值为( ) a4A ． 2 2B ． 6C ．6D ． 82．已知数列 { a n } 满足 a 1 2， a n a n 1 2 (nN , n2) ，则 a 3()A ． 5B ． 6C ． 7D ．83．已知命题 p :x 1, x 21,则 p 为( )A ． x 1, x 2 1B ． x 1, x 2 1C ． x 1, x 2 1D ． x 1, x 2 14．已知 a,b R , 若 a b , 则()A ． a 2bB ． ab b 2C ． 2 a b 2D ． a 3 b5．已知向量 a ( 1,2,1), b(3,x,y),且a//b,那么 |b|()A ． 3 6B ． 6C ． 9D ．186．已知直线 a , b 分别在两个不同的平面 , 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的(A ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件8. 德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉 . 他在研究圆内整点问题时，定义了一个函数 f(x) [x] ，其中 [x]表示不超过 x 的最大整数，比如 [ ]=3 . 根据以上定义，当x 3 1 时，数列 x f(x)， f(x)， x ()B ．必要不充分条件C ．充要条件 7. 已知向量 a (1,x, 2) ，(0,1, 2) ， c (1, 0, 0) ，若 a,b,c 共面，则 x 等于A. 1B.C. 1 或 1D. 1 或 0C ．是等比数列，不是等差数列D ．不是等差数列，也不是等比数列9．设有四个数的数列 {a n } ，该数列前 3 项成等比数列，其和为 m ，后 3 项成等差数列，②曲线 C 上任意一点到原点的距离不小于 1；③曲线 C 只经过 2个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 其中，所有正确结论的序号是（ ）率的值是 _________15．某渔业公司今年初用 100万元购进一艘渔船用于捕捞， 已知第一年捕捞工作需各种费用 4 万元，从第二年开始每年所需费用均比上一年增加 2万元 .若该渔船预计使用 n 年，其总花费（含购买费用）为 ________ 万元； 当 n ______ 时，该渔船年平均花费最低（含购买费用） .16. 若 x 1,x 2,x 3,K ,x 9 表示从左到右依次排列的 9 盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；2）灯 x 1在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的 i {x N |2 x 9} ，要求灯 x i其和为 6. 则实数 m 的取值范围为（)C. m 6A.m 6B.m 3210. 曲线 C : x 33y 3 1 .给出下列结论：D. m 2A. ①②B. ②C. ②③D. ③、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分.22 11. 设 P 是椭圆 x y1上的点 , P 到该椭圆左焦点的距离为25 92，则 P 到右焦点的距离为 _________12. 不等式 x 0 的解集为 _____________x11 13. 能说明“若 a b ，则 a 11b ”为假命题的一组 a 、b 值是 a，b2214．若双曲线 a x 2 b y 2 1(a0,b 0） 的右焦点 F （c,0） 到一条渐近线的距离为23c,则其离心①曲线 C 关于原点对称；的左边有．且．只．有．灯x i 1是开灯状态时才可以对灯x i进行一次操作如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯 x 4 关闭最少需要 次操作；如果除灯 x 6外，其余 8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要 次操作 .三、解答题：本大题共 6小题，共 80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分 13 分）已知等比数列 { a n }的公比为 2，且 a 3，a 4 4， a 5成等差数列 . Ⅰ）求 {a n } 的通项公式；Ⅱ）设 {a n }的前 n 项和为 S n ，且 S n 62，求 n 的值 .18．（本小题满分 13 分）已知函数 f （x ） x 2 ax ， a R .（Ⅰ）若 f （a ） f （1），求 a 的取值范围；（Ⅱ）若 f （x ） 4对 x R 恒成立，求 a 的取值范围； （Ⅲ）求关于 x 的不等式 f （x ） 0的解集 .Ⅱ）设点 A 为椭圆 C 的上顶点，点 B 在椭圆上且位于第一象限，且20．（本小题满分 14 分）如图，四棱锥 P ABCD 中， AD 平面 ABP ， BC // AD ， PAB 90o . PA AB 2， AD 3，BC m ，E 是PB 的中点 .19．（本小题满分 13 分）22 已知椭圆 C: x 2 y2 1（a ba 2b 2（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；0） 的右焦点为 F （1,0） ，离心率为2 . 2AFB 90o ，求 AFB 的面积 .Ⅰ）证明： AE ⊥平面 PBC ； （Ⅲ）若 m 2，在线段 AD 上是否存在一点 由.21．（本小题满分 14 分）已知抛物线 C:y 2 2px （p 0） ，抛物线 C 上横坐标为 1的点到焦点 F 的距离为 3. （Ⅰ）求抛物线 C 的方程及其准线方程；Ⅱ）过 （ 1,0）的直线l 交抛物线 C 于不同的两点 A,B ，交直线 x 4于点E ，直线BF 交直线 x 1于点D . 是 否存在这样的直线 l ，使得 DE // AF ? 若不存在，请说明理由；若存在，求出直线 l 的方程 .22．（本小题满分 13 分）若无穷数列 a 1,a 2,a 3,L 满足：对任意两个正整数 i,j （j i 3），a i1a j1a i a j 与a i1a j 1 a i a j 至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列” .（Ⅰ）求证：若数列 {a n } 为等差数列，则 { a n } 为“和谐数列” ； （Ⅱ）求证：若数列 { a n }为“和谐数列” ，则数列 {a n } 从第3项起为等差数列；（Ⅲ）若 {a n } 是各项均为整数的“和谐数列”，满足 a 1 0，且存在 p N * 使得 a p p ，a 1 a 2 a 3 L a p p ，求 p 的所有可能值Ⅱ）若二面角 C AED 的余弦值是 3 ，求 m 的值；3F ，北京市西城区 2019 — 2020学年度第一学期期末试卷1. A2. B3.C4. D5. A6. A7. B8. D9. B10. C、 填 空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 .11. 812. { x 0x 1} 13. 1,1（答案不唯一） 14. 215. n 2 3n 100 ； 10 16. 3 ；21注：13、15、16 题第一个空 2 分， 第二个空 3分.三、解答题：本大题共 6小题，共 80 分.17．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）因为 {a n } 为公比为 2的等比数列，所以a 3 a 1q24a 1 ， a 4 8a 1 ， a 5 16a 1 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分 依题意得 2(a 4 4) a 3 a 5 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 即 2(8a 1 4) 4a 1 16a 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分整理得 4a 1 8 ， 解得 a 1 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分 所以数列 { a n } 的通项公式为 a n 2n .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分18．（本小题满分 13 分）解：(Ⅰ)由 f (a) f(1)得 a 2 a 2 1 a ，、 选 择题：本大题共10 小题，每小题高二数学参考答案4 分，共 40 分 . 2020.1Ⅱ）依题意Sna1n1q 1q1 2n12n12 2 .所以 2n 1 2 62 ，整理得 2n 1 64 ， 解得 n 5.所以 n 的值是 5 .10分11 分 12分13 分20. （本小题满分 14 分）Ⅰ）证明：因为 AD 平面 PAB ， BC// AD ，2所以椭圆 C 的方程为 x 2 y 2 1.整理得 2a 2 3 a 1 0⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分解得{a|a12或a1} .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分Ⅱ) f (x)4 对 x R 恒成立， 则 f (x)min4 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2所以 a4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分4整理得a 216 0 ，解得 {a| 4 a 4} .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分Ⅲ）解 x 2ax 0 ，得 x 1 0,x 2a ，①当 a 0 时，即 a 0 时, x 0 或 x a ； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分 ②当 a 0 时，即 a 0 时, xa 或 x 0；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分 ③当 a 0 时，即 a 0 时, x 0 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分综上，当a} ；当 a 0时，不等式的解集为0或xa 0 时，不等式的解集为 {x| x 5分2 x 0Ⅱ）设点 B （x 0, y 0 ） ，因为点 B 在椭圆上，所以 2 y0 x 0 12y 02 1 ⋯①，7分 因为 AFB 90o ，所以 kFA kFB1，得1⋯②，8分由①②消去 y 0 得， 3x 0 4x 0 0 ， 解得 x 0 0舍） ，x 04，310分 代入方程②得 y 013，所以 B(43,13) ，11 分 2所以 |BF | 32 ，又 |AF | 2 ，12 分所以 AFB 的面积 S AFB =1 |AF | |BF |12 2321313 分{x|x a 或 x0} ；当 a 0时， 不等式的解集为 {x|x 0} .19． 本小题满分 13 分）解： Ⅰ）依题意c 1， c a 22 ，a22分 解得 a 2 ， b a 2 b 2 1 ，4分所以BC 平面PAB.1分又因为 AE 平面 PAB ，所以 AE BC .在 PAB 中， PA AB ， E 是 PB 的中点， 所以 AE PB .Ⅱ)解：因为 AD 平面 PAB ， 所以 AD AB ， AD PA . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 又因为 PA AB ，所以 如图建立空间直角坐标系 A xyz.则 A(0,0,0) ， B(0,2,0) ， C(0,2, m) ， E (1,1,0) ，P(2,0,0) ， D(0,0,3) ， uuur uuur AC (0,2, m) ， AE (1,1,0). ⋯⋯⋯ 6分即 2y mz 0, 令 x 1，则 y 1 ， z 2 ，x y 0. m于是 n (1, 1,2) .m因为 AD 平面 PAB ，所以 AD PB . 又 PB AE ， 所以 PB 平面 AED. 又因为 uP uB ur( 2, 2, 0) ，所以 取平面 AED 的法向量为 m ( 1,1,0) . 所以 cos n,m n m 3 ，|n| |m| 3即 | 1 1| 3，解得m 2 1.2 2 m 423m又因为 m 0 ，所以 m 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分 Ⅲ)结论：不存在 . 理由如下： 证明：设 F (0,0, t ) (0 t 3).当 m 2 时， C(0,2,2) . uuur uuurPF ( 2,0,t) ， CE (1, 1, 2).⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分uuur uuur由PF CE 知， PF CE 0， 2 2t 0，t 1.这与0 t 3矛盾. ⋯⋯⋯ 13分2分3分 又因为 BCI PBB ，所以 AE 平面 PBC .4分设平面 AEC 的法向量为uuur n AC 0, 则uuur n AE 0,8分9分 10分zD AEPxn (x,y,z). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分3所以，在线段 AD 上不存在点 F ，使得 PF CE . 14 分21. （本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）因为横坐标为 1的点到焦点的距离为 3 ，所以 1 p3 ，解得 p4 ，22分 所以 y 28x ， 3分 所以准线方程为 x 2 . 4分Ⅱ）显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y k （x 1) (k 0)， A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).2 联立得 y y8x, k(x 1), 消去 y 得 k 2x 2 (2k 2 8)xk 2 0.5分由 (2k 2 8)2 4k 4 由韦达定理得 x 1 x 20，解得 2 k 2 . 所以 28 2k2 ， x 1x 2 1. k 2 2 且k 0.7分方法一： 直线 BF 的方程为 又 x D 1 ，所以 y D x 2y22(x 2)， 3y 2 x 2 因为 DE // AF ，所以直线 ，所以 D （ 1, 2 DE 与直线 3y2 ，x 2 2）AF 的斜率相等 .8分 9分又 E( 4, 3k 3k ） ，所以 y 2 32x 2 2y 1 x 1 2 x 1 1 x 1 2 2k 2 k 22k =7 ， 解得 k 2 2.3整理得 化简得所以8y2 ，即 k x 2 2 x 2 1 x 2 2 y1 . x 1 2 k(x 1 1) k(x 2 1) ， 10分 11分，1x 1 2 x 2 2 2x 1x 2 (x 1 x 2) 4 x 1x 2 2(x 1 x 2) 4，即x 1+x 2 7. 12分 整理得经检验， k 28，9，2 2 符合题意 .3 13 分所以存在这样的直线 l ，直线l 的方程为 y 2 2 (x 1) 或 3 232(x 1).314 分方法二： 因为 DE // AF ，所以 |BA| |BF |，所以 |BE | |BD |8 2k 2 ， 8 k 22k =7 ，整理得 x 1x 2 (x 1 x 2) 8 ，即 整理得 k 2解得 k8. 9.22 2 2，经检验， k 3x 2 x 1 x 2 4x 2 2 x 2 1 10 分 12 分 13 分22 2 2符合题意 . 所以存在这样的直线 l ，直线 l 的方程为 y 232(x 1) 或22 232(x 1).14 分22.（本小题满分 13 分）Ⅰ）证明：因为数列 {a n } 为等差数列， 所以 对任意两个正整数 i,j （j i 3），有 a i 1 a i a j a j2分所以ai 1aj 1aiaj.所以 数列{a n } 为“和谐数列”4分所以 当i 1, j 4 时，只能 a i 1 a j 1 a ia j 成立, a i 1 a j 1a i a j 不成立 .所以a 2a 3 a 1 a 4，即 a2 a1 a4 a3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分当i 1， j 5,6,7,8,9 L 时，也只能 a i 1 a j1a ia j 成立，a i 1 a j 1 a i a j 不成立 .所以 a 2a 4 a 1 a 5， a2 a5 a1 a6 , a2a 6a 1a 7, L即 a 2a 1 a 5 a 4 a 6 a 5 a 7 a 6 L ，所以a 2a 1 a 4 a 3 a 5 a 4 a 6 a 5 L⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分令a 2a 1d ，则数列 {a n }满足 a n a n 1d(n 4).所以，数列 {a n }从第 3 项起为等差数列 . Ⅱ）证明：因为数列 {a n } 为“和谐数列” 则 a p a 1 1 ，与 a 1 0矛盾，不合题意 .0， a 22， 但a 1a 2 2 2 ，不合题意 . ⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯ 9 分0，a 33， 由 a 1a 2 a 33 ，得 a 2 6 ，0, 6,3, 3, 9,L ，符合题意⋯⋯⋯⋯ 10 分8分Ⅲ）解：①若 p 1 ， ②若 p 2 ，则 a 1 ③若 p 3 ，则 a 1 此时数列 {a n }为：a 1④若 p 4 ，设 a 2则a 1 a 2 L a pd ，d [1p 4(4p 434)d 4]4[4p44(p 2 44)4d]4 L 4 4 [4p 4 d 4] 43p p.(p 2)所以，[1p 4(4p 434)d 4]4[4p 4(4p44)2d]4L 44 (4p 4 d 4) 4 p 4 4(p 4 43d)(p 1)即[( p d) p (p 3)d]( p 1) 0.因为 1 0 ，所以 p (p 3)d 0.11 分所以 所以 4 不合题意 . 2p 2p 8 p48 p412分因为p4p 为整数，所以 8 为整数，所以 p 5,6 ,8 ,12 .p4综上所述，p的所有可能值为3,5,6 ,8 ,12 . 13 分。
北京市西城区2019~2020学年度第一学期期末考试高三数学试题(含答案解析)
北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学本试卷共5页.共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上•在试 卷上作答无效。
第I 卷(选择题共40分)-S 选择题：本大题共8小题■每小题5分.共40分•在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1. 设集合Λ = {x ∖r<a}. B = {—3,0∙l ∙5}・若集合A∩B 有且仅有2个元索.则实数α 的取值范围为(A) (-3,+∞)(B) (0> 1](C) [l ∙+α□)2. 若复数Z = 注.则在复平面内N 对应的点位于I-TI(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限3. 在厶ABC 中.若 α=6, A=60o, 3 = 75°,则 C =(A) 4(B) 2√2(C) 2√3(D) 2^4. 设且兀y≠0,则下列不等式中一定成立的是(A)丄>丄(B)InlJrl >ln∣y 丨(C) 2-工<2-，CD) j ∙2>^25. 已知直线T Jry Jr2=0与圆τ ÷j∕2+2jc~2y jra = 0有公共点，则实数"的取值范围为(A) ( — 8. θ](B) [θ∙+oo)(C) [0, 2)(D) (—8, 2)2020. I(D) Eb 5)(D)第四象限6・设三个向b. c互不共线•则∙+b+c=(Γ是^以Iah ∖b∖, ICl为边长的三角形存在"的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.紫砂壶是中国特冇的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正徳年间.紫砂壶的壶型众多•经典的有西施壶.掇球壶、石瓢壶.潘壶等•其中.石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)・下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位cm),那么该壶的容量约为(A)IOO cm5(B)200 cm3(C)300 cm3(D)400 cn√&已知函数∕Q)=√TTΓ+4 若存在区间O M].使得函数/Q)在区间DZ 上的值域为[α + l,6 + l],则实数〃的取值范围为(A) (-l,+oo) (B) (一 1. 0] (C) (一 +，+8) (D)( —斗，0]4 4第JI 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题■每小题5分，共3。
2019-2020学年北京市西城区高二上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年北京市西城区高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．已知椭圆222:1(0)4x y C a a +=>的一个焦点为(2,0),则a 的值为( ) A ．B C ．6 D ．8【答案】A【解析】利用222a b c =+，求得a 的值. 【详解】由于222a b c =+，所以22428,a a =+==故选：A 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，属于基础题.2．已知数列{}na 满足12a =,12n n a a -=+(,2)n n *∈≥N ,则3a =( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】利用递推关系式，依次求得23,a a 的值. 【详解】依题意213224,26a a a a =+==+=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求项的值，属于基础题.3．已知命题p :1x ∃<,21x ≤,则p ⌝为( ) A ．1x ∀≥,21x ≤ B ．1x ∃<,21x > C ．1x ∀<,21x > D ．1x ∃≥,21x >【答案】C【解析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项. 【详解】由于特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，所以A 选项不正确，C 选项正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，属于基础题. 4．已知,a b ∈R ,若a b <,则( ) A ．2a b < B ．2ab b < C ．22a b < D ．33a b <【答案】D【解析】利用特殊值排除错误选项，然后证明正确选项成立. 【详解】对于A 选项，若a b <，如21-<-，但是()122-⨯=-，即2a b =，所以A 选项错误.对于B 选项，若a b <，如21-<-，但是()()()2211-⋅->-，即2ab b >，所以B 选项错误. 对于C选项，若a b <，如21-<-，但是()()2221->-，即22a b >，所以C 选项错误.对于D 选项，若a b <，则0a b -<，则()()3322a b a b a ab b -=-++()2213024a b a b b ⎡⎤⎛⎫=-++<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以33a b <.故选：D 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题. 5．已知向量(1,2,1),(3,,)a b x y =-=,且//a b ,那么||b =( ) A ．B ．6C ．9D ．18【答案】A【解析】根据两个向量共线的坐标表示列方程，由此求得,x y ，从而求得||b .【详解】 由于//a b ，所以3121x y==-，解得6,3x y =-=-，所以()3,6,3b =--，所以(23b =+==故选：A 【点睛】本小题主要考查空间向量平行求参数，考查空间向量模的计算，属于基础题.6．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】当“直线a 和直线b 相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；当“平面α和平面β相交”，则 “直线a 和直线b 可以没有公共点”，即必要性不成立. 故选A.7．已知向量(1,,2)a x =,(0,1,2)b =,(1,0,0)c =,若,,a b c 共面,则x 等于( ) A ．1- B ．1C ．1或1-D ．1或0【答案】B【解析】根据,,a b c 列方程，根据空间向量坐标的线性运算求解出x 的值. 【详解】由于,,a b c 共面，所以存在,λμ，使得a b c λμ=+，即()()()()1,,20,,2,0,0,,2x λλμμλλ=+=，所以1,,22x μλλ===，所以1x =.故选：B 【点睛】本小题主要考查空间向量共线的表示，考查空间向量的坐标运算，属于基础题.8．德国著名数学家高斯,享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时,定义了一个函数()[]f x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,比如[]=3π. 根据以上定义,当1x 时,数列()x f x -,()f x ,x ( )A ．是等差数列,也是等比数列B ．是等差数列,不是等比数列C ．是等比数列,不是等差数列D ．不是等差数列,也不是等比数列 【答案】D【解析】求得()x f x -,()f x ,x ，由此判断出正确选项. 【详解】1.732≈，所以()[][][]1.73212.7322f x x ==+==，所以()1x f x -=1,1.而114+=≠，)1124=≠，所以数列()x f x -,()f x ,x 不是等差数列,也不是等比数列故选：D 【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解，考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.9．设有四个数的数列{}n a ,该数列前3项成等比数列,其和为m ,后3项成等差数列,其和为6. 则实数m 的取值范围为( ) A ．6m ≥ B ．32m ≥C ．6m ≤D ．2m ≥【答案】B【解析】设出这4个数，根据已知条件列方程组，由此求得m 表达式，进而求得m 的取值范围. 【详解】设{}n a 的前4项为a b c d ,,,，由于数列{}n a 的前3项成等比数列,其和为m ,后3项成等差数列,其和为6，所以2(1)(2)2(3)6(4)a b c m b ac c b d b c d ++=⎧⎪=⎪⎨=+⎪⎪++=⎩，由（3）（4）得36,2c c ==，所以22(1)2(2)4(3)a b m b a b d ++=⎧⎪=⎨⎪=+⎩即22(1)(2)24(3)a b m b a b d ++=⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，先将（2）代入（1），然后将（3）代入（1）得()()24422d d m -+-+=，整理得()21335222m d =-+≥. 故选：B 【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 10．曲线33:1C x y +=.给出下列结论: ①曲线C 关于原点对称;②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1; ③曲线C 只经过2个整点(即横､纵坐标均为整数的点). 其中,所有正确结论的序号是( ) A ．①② B ．② C ．②③ D ．③【答案】C【解析】将(),x y --代入，化简后可确定①的真假性.对x 分成0,0,01,1,1x x x x x <=<<=>等5种情况进行分类讨论，得出221x y +≥，由此判断曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线C 的两个整点()()0,1,1,0，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确.【详解】①，将(),x y --代入曲线33:1C x y +=，得331x y +=-，与原方程不相等，所以曲线C 不关于原点对称，故①错误. ②，对于曲线33:1C x y +=，由于331y x =-，所以y =，所以对于任意一个x ，只有唯一确定的y 和它对应.函数y =是单调递减函数.当0x =时，有唯一确定的1y =；当1x =时，有唯一确定的0y =.所以曲线C 过点()()0,1,1,0，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于1.当0x <时，1y >，所以221x y +>>.当1x >时，0y <，所以221x y +>>.当01x <<时，01y <<，且()()()()223322221110x y x y x y x x y y -+=+-+=-+-<，所以221x y +>>.综上所述，曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.③，由②的分析可知，曲线C 过点()()0,1,1,0，这是两个整点.由331x y +=可得()331x y -=-，当0x ≠且1x ≠时，若x 为整数，31x -必定不是某个整数的三次方根，所以曲线C 只经过两个整点.故③正确.综上所述，正确的为②③. 故选：C 【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.二、填空题11．设P 是椭圆221259x y +=上的点,P 到该椭圆左焦点的距离为2,则P 到右焦点的距离为__________. 【答案】8【解析】根据椭圆的定义，求得P 到右焦点的距离. 【详解】依题意5a =，而P 到该椭圆左焦点的距离为2,则P 到右焦点的距离为5228⨯-=. 故答案为：8 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.12．不等式01xx <-的解集为________【答案】(0,1)【解析】因为01xx <-，所以(1)0(0,1)x x x -<⇒∈，即不等式01xx <-的解集为()0,1.13．能说明“若a b >,则11a b <”为假命题的一组a ､b 值是a =______,b =________.【答案】1 1-(答案不唯一)【解析】不等式两边取倒数，不等号改变方向为假命题，只需a 为正数且b 为负数即可满足题意. 【详解】不等式两边取倒数，不等号改变方向为假命题，只需a 为正数且b 为负数，所以可取1,1a b ==-，此时11a b >. 故答案为：(1). 1 (2). 1-(答案不唯一)【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.14．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(c,0)F，则其离心率的值是________． 【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.详解：因为双曲线的焦点(c,0)F 到渐近线,by x a =±即0bx ay ±=,bcb c ==所以b =，因此22222231,44a c b c c c =-=-=1, 2.2a c e ==点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a .15．某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞,已知第一年捕捞工作需各种费用4万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加2万元.若该渔船预计使用n 年,其总花费(含购买费用)为________ 万元;当n =______时,该渔船年平均花费最低(含购买费用). 【答案】23100n n ++ 10【解析】用渔船的费用，加上每年捕捞的费用，求得n 年总花费，总花费除以n 后，利用基本不等式求得当n 为何值时，平均花费最低. 【详解】每年的费用是首项为4，公差为2的等差数列，所以总费用()()214210031002n n S n n n n -=⨯+⨯+=++.平均费用为()1003323S n n n n =++≥=，当且仅当100,10n n n ==时，等号成立，也即10n =时，该渔船年平均花费最低. 故答案为：(1). 23100n n ++(2). 10【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和，考查数列在实际生活中的应用，考查数列最值的求法，属于基础题. 16．若1239,,,,x x x x表示从左到右依次排列的9盏灯,现制定开灯与关灯的规则如下:(1)对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作; (2)灯1x 在任何情况下都可以进行一次操作;对任意的{|29}i x x ∈∈≤≤N ,要求灯i x 的左边有且只有．．．．灯1i x -是开灯状态时才可以对灯i x 进行一次操作.如果所有灯都处于开灯状态,那么要把灯4x 关闭最少需要_____次操作;如果除灯6x 外,其余8盏灯都处于开灯状态,那么要使所有灯都开着最少需要_____次操作. 【答案】3 21【解析】（1）利用列举法求得把灯4x 关闭最少需要的操作次数.（2）先用列举法求得关闭前4个灯最少需要的操作次数，然后乘以2再加上1，得到使所有灯都开着最少需要的操作次数.【详解】（1）如果所有灯都处于开灯状态,那么要把灯4x关闭最少需要的操作如下，设1为开灯，0为关灯：初始状态1111，操作如下1011,0011,0010，共3次.（2）①关闭前4个灯最少需要的操作如下，设1为开灯，0为关灯：初始状态1111，操作如下：1011,0011,0010,1010,1110,0110,0100,1100,1000,0000，共10次.②此时前6盏灯的状态如下：000010，操作1次，变为000011，打开6x.③将步骤①倒过来做一遍，打开前4个灯，共10次操作.综上所述，如果除灯6x外,其余8盏灯都处于开灯状态,那么要使所有灯都开着最少需要21次操作故答案为：(1). 3 (2). 21【点睛】本小题主要考查逻辑推理能力，属于基础题.三、解答题17．已知等比数列{}n a的公比为2,且3a,44a+,5a成等差数列. (Ⅰ)求{}n a的通项公式;(Ⅱ)设{}n a的前n项和为n S,且62S=,求n的值.n【答案】(Ⅰ) 2na=. (Ⅱ) n的值是5.n【解析】（I）利用等差中项的性质列方程，并转成1,a q的形式，解方程求得1a的值，进而求得数列{}n a的通项公式.（II ）根据等比数列前n 项和公式求得n S ，令62n S =解方程，求得n 的值. 【详解】(Ⅰ)因为{}n a 为公比为2的等比数列, 所以23114a a q a ==,418a a =,5116a a =, 依题意得4352(4)a a a +=+,即1112(84)416a a a +=+, 整理得148a =, 解得12a =.所以数列{}na 的通项公式为2n n a =.(Ⅱ)依题意111nn q S a q-=⋅-,11222212n n +-=⋅=--.所以12262n +-=,整理得1264n +=, 解得 5.n = 所以n 的值是5. 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的计算，考查等比数列前n 项和的求法，考查等差中项的性质，考查方程的思想，属于基础题.18．已知函数2()f x x ax =+,a R ∈. (Ⅰ)若()(1)f a f >,求a 的取值范围;(Ⅱ)若()4f x ≥-对x R ∀∈恒成立,求a 的取值范围; (Ⅲ)求关于x 的不等式()0f x >的解集. 【答案】(Ⅰ)1{|2a a <-或1}a >. (Ⅱ) {|44}a a -≤≤. (Ⅲ)见解析【解析】（I ）由()(1)f a f >列不等式，解一元二次不等式求得a 的取值范围.（II ）将不等式()4f x ≥-对x R ∀∈恒成立转化为min ()4f x ≥-，结合二次函数的性质列一元二次不等式，解不等式求得a 的取值范围.（III ）对a 分成0,0,0a a a <>=三种情况，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得不等式()0f x >的解集. 【详解】 (Ⅰ)由()(1)f a f >得221a a a +>+,整理得2210a a -->, 解得1{|2a a <-或1}a >.(Ⅱ)()4f x ≥-对x R ∀∈恒成立,则min ()4f x ≥-,所以244a -≥-,整理得2160a -≤, 解得{|44}a a -≤≤. (Ⅲ)解20x ax,得120,x x a ==-,①当0a ->时,即0a <时,0x <或 x a >-; ②当0a -<时,即0a >时,x a <-或0x >;③当0a -=时,即0a =时,0x ≠ .综上,当0a <时,不等式的解集为{|0x x <或}x a >-;当0a >时,不等式的解集为{|x x a <-或0}x >;当0a =时,不等式的解集为{|0}x x ≠.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，属于19．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为(1,0)F ,离心率为2.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设点A 为椭圆C 的上顶点,点B 在椭圆上且位于第一象限,且90AFB ∠=,求AFB ∆的面积. 【答案】(Ⅰ)2212x y += (Ⅱ) 13【解析】（I ）根据焦点坐标、离心率以及222a b c =+，求得,,a b c 的值，进而求得椭圆的方程.（II ）利用椭圆方程和90AFB ∠=，求得B 点的坐标，由此求得AFB ∆的面积. 【详解】(Ⅰ)依题意 1c =,c a =, 222a b c =+解得a =1b ,所以椭圆C 的方程为2212x y +=.(Ⅱ)设点00(,)B x y ,因为点B 在椭圆上,所以220012x y +=…①, 因为90AFB ∠=,所以1FA FB k k ⋅=-,得0011yx =-…②,由①②消去0y 得,200340x x -=,解得00x =(舍),043x =, 代入方程②得013y =,所以41(,)33B ,所以||BF =又||AF =所以AFB ∆的面积111=||||2233AFB S AF BF ∆⨯⨯=⨯本小题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆内的三角形面积问题，属于基础题.20．如图,四棱锥P ABCD -中,AD ⊥平面ABP ,//BC AD ,90PAB ∠=.2PA AB ==,3AD =,BC m =,E 是PB 的中点.(Ⅰ)证明:AE ⊥平面PBC ; (Ⅱ)若二面角C AE D --的余弦值是33,求m 的值;(Ⅲ)若2m =,在线段AD 上是否存在一点F ,使得PF ⊥CE . 若存在,确定F 点的位置;若不存在,说明理由. 【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)1m =. (Ⅲ)不存在，见解析【解析】（I ）通过证明,AE BC AE PB ⊥⊥，证得AE ⊥平面PBC . （II ）建立空间直角坐标系，利用二面角C AE D --的余弦值列方程，解方程求得m 的值.（III ）设出F 点的坐标，利用0PF CE ⋅=列方程，推出矛盾，由此判断满足条件的F 点不存在. 【详解】(Ⅰ)证明:因为 AD ⊥平面PAB ,//BC AD , 所以BC ⊥平面PAB .又因为 AE ⊂平面PAB ,所以 AE BC⊥. 在PAB ∆中,PA AB =,E是PB 的中点, 所以AE PB ⊥.又因为BCPB B =,所以 AE ⊥平面PBC .(Ⅱ)解:因为 AD ⊥平面PAB , 所以AD AB ⊥,AD PA ⊥. 又因为PA AB ⊥,所以 如图建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,2,)C m ,(1,1,0)E ,(2,0,0)P ,(0,0,3)D ,(0,2,)AC m =,(1,1,0)AE =.设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =. 则 0,0,n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,0.y mz x y +=⎧⎨+=⎩令1x =,则1y =-,2z m =,于是2(1,1,)n m =-.因为AD ⊥平面PAB ,所以AD PB ⊥. 又PB AE ⊥, 所以PB ⊥平面AED .又因为(2,2,0)PB =-,所以 取平面AED 的法向量为1,)0(1,m =-. 所以 3cos ,3n m n m n m⋅〈〉==⋅,=解得21m =.又因为0m >,所以1m =. (Ⅲ)结论:不存在.理由如下: 证明:设(0,0,)F t (03)t ≤≤. 当2m =时,(0,2,2)C .(2,0,)PF t =-,(1,1,2)CE =--.由PF CE ⊥知,0PF CE ⋅=,220t --=,1t =-.这与03t ≤≤矛盾. 所以,在线段AD 上不存在点F ,使得PF CE ⊥. 【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查根据二面角的余弦值求参数，考查存在性问题的求解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>,抛物线C 上横坐标为1的点到焦点F 的距离为3.(Ⅰ)求抛物线C 的方程及其准线方程;(Ⅱ)过(1,0)-的直线l 交抛物线C 于不同的两点,A B ,交直线4x =-于点E ,直线BF 交直线1x =-于点D .是否存在这样的直线l ,使得//DE AF ? 若不存在,请说明理由;若存在,求出直线l 的方程.【答案】(Ⅰ)28y x =，2x =-. (Ⅱ)存在，1)3y x =+或1)y x =+. 【解析】（I ）根据抛物线的定义求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.（II ）设出直线l 的方程(1)y k x =+(0)k ≠，联立直线的方程和抛物线的方程，消去y 后根据判别式大于零求得k 的取值范围，写出韦达定理.结合//DE AF 得到直线DE 与直线AF 的斜率相等（或者转化为||||||||BA BF BE BD =），由此列方程，解方程求得k 的值，也即求得直线l 的方程. 【详解】(Ⅰ)因为横坐标为1的点到焦点的距离为3,所以132p+=,解得4p =, 所以28y x =所以准线方程为2x =-.(Ⅱ)显然直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为(1)y k x =+(0)k ≠,1122(,),(,)A x y B x y .联立得28,(1),y x y k x ⎧=⎨=+⎩消去y 得2222(28)0k x k x k +-+=.由224(28)40k k ∆=-->,解得k <<.所以k <<且0k ≠.由韦达定理得212282k x x k -+=,121=x x .方法一:直线BF 的方程为22(2)2y y x x =--, 又1D x =-,所以2232D y y x -=-,所以223(1,)2y D x ---,因为//DE AF ,所以直线DE 与直线AF 的斜率相等又(4,3)E k --,所以221133232y k x yx -+-=--.整理得121222y y k x x =+--,即1212(1)(1)22k x k x k x x ++=+--,化简得121211122x x x x ++=+--,121212122()412()4x x x x x x x x -+-=-++,即12+7x x =.所以2282=7k k -,整理得289k =,解得k =经检验,k =±符合题意.所以存在这样的直线l ,直线l的方程为1)y x =+或1)y x =+方法二: 因为//DE AF ,所以||||||||BA BF BE BD =,所以21222241x x x x x --=++.整理得1212()8x x x x ++=,即2282=7k k -,整理得289k =.解得k =经检验,k =±符合题意.所以存在这样的直线l ,直线l的方程为1)y x =+或1)y x =+. 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题. 22．若无穷数列123,,,a a a 满足:对任意两个正整数,i j (3)j i -≥,11i j i j a a a a -++=+与11i j i j a a a a +-+=+至少有一个成立,则称这个数列为“和谐数列”.(Ⅰ)求证:若数列{}na 为等差数列,则{}na 为“和谐数列”;(Ⅱ)求证:若数列{}na 为“和谐数列”,则数列{}na 从第3项起为等差数列;(Ⅲ)若{}na 是各项均为整数的“和谐数列”,满足10a =,且存在*∈p N 使得p a p =，123p a a a a p ++++=-,求p 的所有可能值.【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) 见解析(Ⅲ)3,5,6,8,12.【解析】（I ）利用等差数列的定义，证得等差数列{}na 为“和谐数列”.（II ）利用等差数列的定义，通过证明1(4)nn a a d n --=≥，证得数列{}na 从第3项起为等差数列.（III ）对1,2,3p =依次进行验证，当4p ≥时，结合（II ）的结论和等差数列前n 项和公式进行列式，求得p 的可能取值. 【详解】(Ⅰ)证明:因为数列{}n a 为等差数列, 所以对任意两个正整数,i j (3)j i -≥,有 11i i j j a a a a d +--=-=,所以11i j i j a a a a +-+=+ .所以 数列{}na 为“和谐数列”.(Ⅱ)证明:因为数列{}n a 为“和谐数列”, 所以 当1i =,4j =时,只能11i j i j a a a a +-+=+成立, 11i j i j a a a a -++=+不成立. 所以2314a a a a +=+,即2143a a a a -=-.当1i =,5,6,7,8,9j =时,也只能11i j i j a a a a +-+=+成立,11i j i j a a a a -++=+不成立. 所以 2415a a a a +=+,2516a a a a +=+,2617a a a a +=+,即21546576aa a a a a a a -=-=-=-=,第 21 页 共 21 页 所以21435465a a a a a a a a -=-=-=-=. 令21a a d -=,则数列{}n a 满足1(4)n n aa d n --=≥. 所以,数列{}n a 从第3项起为等差数列.(Ⅲ)解:①若1p =,则11p aa ==,与10a =矛盾,不合题意. ②若2p =,则10a =,22a =,但1222a a +=≠-,不合题意③若3p =,则10a =,33a =,由1233a a a ++=-,得26a =-, 此时数列{}n a 为:0,6,3,3,9,---,符合题意.④若4p ≥,设21a a d -=,则12(2)0[(3)][(4)][]p p a a a d p p d p p d p d p p -+++=++--+--++-+=-.所以,(1)[(3)][(4)]()()0p p p d p p d p d p p d ---+--++-+++= 即 [()(3)](1)02p d p p d p ++---=. 因为10p -≠,所以(3)0p d p p d ++--=.所以4p =不合题意. 所以228882444p p d p p p -+===+---.因为p 为整数,所以84p -为整数,所以5,6,8,12p =. 综上所述,p 的所有可能值为3,5,6,8,12.【点睛】本小题主要考查新定义数列的概念的理解和运用，考查等差数列的定义，考查等差数列前n 项和公式，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题.。
2019-2020年北京市西城区高二数学上学期期末考试试题(理)(有答案)-名校密卷
北京市西城区高二数学上学期期末考试试题理试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否定是______________________.10. 已知点)1,0(-M ,)3,2(N . 如果直线MN 垂直于直线032=-+y ax ，那么a 等于_______.11. 在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1,AD BD 所成角 的余弦值为_________.12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的 侧视图的面积为_________.13. 设O 为坐标原点，抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物 线上一点. 若3PF =，则OPF △的面积为_________.14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以正（主）视图俯视图看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．（本小题满分13分）如图,PA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,22AB PA BC ===,M 为PB 的中点. (Ⅰ)求证AM ⊥平面PBC ； (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值.17．（本小题满分13分）已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为22640x y y +-+=. (Ⅰ)当直线l时，求l 与圆C 相交所得的弦长；A BCDPEA BCPM(Ⅱ)设直线l 与圆C 交于两点,A B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程.18．（本小题满分13分）已知1F 为椭圆22143x y +=的左焦点，过1F 的直线l 与椭圆交于两点,P Q . （Ⅰ）若直线l 的倾斜角为45，求PQ ；（Ⅱ）设直线l 的斜率为k (0)k ≠，点P 关于原点的对称点为P '，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，P Q ''所在直线的斜率为k '. 若2k '=，求k 的值.19．（本小题满分14分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,//DC AB ，BC CD ⊥，EA ED ⊥，且4AB =,2BC CD EA ED ====.（Ⅰ）求证BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段CE 上是否存在一点F ，使得平面B D F ⊥平面CDE ，请说明理由.EABCD20．（本小题满分14分）如图，过原点O 引两条直线12,l l 与抛物线21:2W y px =和22:4W y px =（其中p 为常数，0p >）分别交于四个点1122,,,A B A B .（Ⅰ）求抛物线12,W W 准线间的距离； （Ⅱ）证明：1122//A B A B ；（Ⅲ）若12l l ⊥，求梯形1221A A B B 面积的最小值.北京市西城区第一学期期末试卷 高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.C ；2.D ；3. B ；4. D ；5. B ；6. A ；7. C ；8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1；12.；14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n m y x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解 (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. ……………10分又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分 又CE ⊂平面PAC ，所以BD CE ⊥. ……………13分16.（本小题满分13分）解 (Ⅰ)因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥. 因为BC AB ⊥，PAAB A =，所以BC ⊥平面PAB . ……………2分 所以AM BC ⊥. ……………3分 因为PA AB =，M 为PB 的中点， 所以AM PB ⊥. ……………4分 所以AM ⊥平面PBC . ……………5分 (Ⅱ)如图，在平面ABC 内，作//Az BC ，则,,AP AB AZ 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系A xyz -.ABCDPE O则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(1,1,0)A P B C M .(2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM = . ……………8分设平面APC 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x y z =⎧⎨+=⎩令1y =，则2z =-.所以(0,1,2)=-n . ……………10分由(Ⅰ)可知(1,1,0)AM =为平面BPC 的法向量， 设,AM n 的夹角为α，则cos 105AM AMα⋅===n n . ……………12分 因为二面角A PC B--为锐角， 所以二面角A PC B --……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知，直线l的方程为y =，圆C 圆心为(0,3)，半径为，………3分所以，圆心到直线l=……………5分所以，所求弦长为……………6分 (Ⅱ) 设11(,)A x y ，因为A 为OB 的中点，则11(2,2)B x y . ……………8分 又,A B 圆C 上，所以 22111640x y y +-+=，22111441240x y y +-+=，即22111310x y y +-+=. ……………10分解得11y =，11x =±， ……………11分 即(1,1)A 或(1,1)A -. ……………12分 所以，直线l 的方程为y x =或y x =-. ……………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设1122(,),(,)P x y Q x y ，由已知，椭圆的左焦点为(1,0)-，又直线l 的倾斜角为45，所以直线l 的方程为1y x =+， ……………1分由221,3412y x x y =+⎧⎨+=⎩得27880x x +-=， ……………3分 所以1287x x +=-，1287x x =-. ……………4分24||7PQ ===. ……………5分（Ⅱ）由22(1),3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(34)84120k x k x k +++-=， ……………6分 所以2122834k x x k -+=+，212241234k x x k -=+. ……………8分依题意1122(,),(,)P x y Q x y ''---，且11(1)y k x =+，22(1)y k x =+， 所以，12121212()y y k x x k x x x x --'==++， ……………10分其中12x x -== ……………11分结合2122834k x x k-+=+，可得k '=2=. ……………12分 解得279k =，k =……………13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由BC CD ⊥,2BC CD ==.可得BD =由EA ED ⊥,且2EA ED ==，可得AD =又4AB =. 所以BD AD ⊥. …………2分 又平面EAD ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面ADE . ……………4分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D，(0,B，(C，E ，(2,BE =-，(2,0,DE=,(DC =. …………6分设(,,)x y z =n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n ,0DC ⋅=n ，即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩令1x =，则(1,1,1)=-n . ……………7分设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，则||sin |cos ,|||||BE BE BE ⋅=<>===⋅αn n n .……………8分所以BE 和平面CDE. ……………9分 （Ⅲ）设CF CE =λ,[0,1]λ∈.又(DC =,CE =,(0,BD =-. 则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ. ……………10分设(,,)x'y'z'=m 是平面BDF 一个法向量,则0BD ⋅=m ，0DF ⋅=m ， 即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ……………11分令1x'=,则21(1,0,)λλ-=-m . ……………12分若平面BDF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈.……13分所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE . ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，抛物线12,W W 的准线分别为2px =-和x p =-， ……………2分 所以，抛物线12,W W 准线间的距离为2p. ……………4分 （Ⅱ）设11:l y k x =，代入抛物线方程，得12,A A 的横坐标分别是212p k 和214pk . ………5分 12||||OA OA 12==，同理12||1||2OB OB =， ……………7分 所以1122OA B OA B △△，所以1122//A B A B . ……………8分 （Ⅲ）设111(,)A x y ，122(,)B x y ，直线11A B 方程为111:A B l x ty m =+，代入曲线22y px =，得21220y pty pm --=，所以122y y pt +=，1212y y pm =-. ……………9分由12l l ⊥，得12120x x y y +=，又2112y px =，2222y px =，所以221212204y y y y p +=，由1212y y pm =-，得12m p =. ……………11分 所以直线11A B 方程为11:2A B l x ty p =+， 同理可求出直线22A B 方程为22:4A B l x ty p =+.所以1112||2A B y y =-=， ……………12分22||4A B =平行线11A B l 与22A B l 之间的距离为d =，所以梯形1221A A B B 的面积11221()62S A B A B d p =+⋅= ……………13分 212p ≥当0t =时，梯形1221A A B B 的面积达最小，最小值为212p . ……………14分。
北京市西城区2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
北京市西城区2019-2020学年上学期期末考试高二数学（文）试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线0x y -的倾斜角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．135︒ 2.命题“对任意3x >，都有ln 1x >”的否定是（ ） A ．存在3x >，使得ln 1x > B ．对任意3x >，都有ln 1x ≤C ．存在3x >，使得ln 1x ≤D ．对任意3x ≤，都有ln 1x >3.双曲线221x y -=的焦点到其渐近线的距离为（ ）A ．1B ．2 D 4.设,αβ是两个不同的平面，,,a b c 是三条不同的直线，（ ）A ．若,a b b c ⊥⊥，则//a cB ．若//,//a b αα，则//a bC ．若,a b a α⊥⊥，则//b αD ．若,a a αβ⊥⊥，则//αβ 5.“方程221x y m n+=表示的曲线为椭圆”是“0m n >>”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，若//,//,l l m αβαβ⋂=，则（ ） A ．l 与m 平行 B ．l 与m 相交 C ．l 与m 异面 D ．l 与m 垂直7.设拋物线2:4C y x =的焦点为F ，直线3:2l x =-，若过焦点F 的直线与抛物线C 相交于,A B 两点，则以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三个答案均有可能8.设α为空间中的一条直线，记直线α与正方体1111ABCD A B C D -的六个面所在的平面相交的平面个数为m ，则m 的所有可能取值构成的集合为（ ）A ．{}2,4B ．{}2,6C ．{}4,6D ．{}2,4,6第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 命题“若220a b -=，则a b =”的逆否命题为 ．10.经过点()2,1M 且与直线380x y -+=垂直的直线方程为 ． 11.一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥的体积为 ．12.在ABC ∆中， 3,4,AB BC AB BC ==⊥.以BC 所在的直线为轴将ABC ∆旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为 ．13.若双曲线C 的一个焦点在直线:43200l x y -+=上， 一条渐近线与l 平行，且双曲线C 的焦点在x 轴上，则双曲线C 的标准方程为 ；离心率为 ．14.在平面直角坐标系中，曲线C 是由到两个定点()1,0A 和点()1,0B -的距离之积等于2的所有点组成的.对于曲线C ，有下列四个结论： ①曲线C 是轴对称图形； ②曲线C 是中心对称图形；③曲线C 上所有的点都在单位圆221x y +=内； ④曲线C 上所有的点的纵坐标11,22y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 的中点.（1）求证：CD ⊥平面11ABB A ； （2）求证：1//BC 平面1ACD . 16.已知圆22:680C x y x y m +--+=，其中m R ∈. （1）如果圆C 与圆221x y +=相外切，求m 的值；（2）如果直线30x y +-=与圆C 相交所得的弦长为m 的值.17.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，//1AB CD AB AD AD CD ⊥==,,，12AA AB ==，E 为1AA 的中点.（1）求四棱锥1C AEB B -的体积； （2）求证：1BC C E ⊥；（3）判断线段1B C 上是否存在一点M (与点C 不重合），使得,,,C D E M 四点共面? (结论不要求证明） 18. 设F 为拋物线2:2C y x =的焦点，,A B 是拋物线C 上的两个动点. （1）若直线AB 经过焦点F ，且斜率为2，求AB ； （2）若直线:40l x y -+=，求点A 到直线l 的距离的最小值.19. 如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD .（1）求证：平面ACF ⊥平面BDEF ；（2）若过直线BD 的一个平面与线段AE 和AF 分别相交于点G 和H (点G 与点,A E 均不重合），求证：//EF GH ；（3）判断线段CE 上是否存在一点M ，使得平面//BDM 平面AEF ?若存在，求EMEC的值；若不存在，请说明理由.20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，.点P 为圆22:13M x y +=上任意一点，O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切，l 与圆M 相交于另一点A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，证明：直线PB 与椭圆C 相切.北京市西城区2019-2020学年上学期期末考试高二数学（文）试题参考答案一、选择题1-5: BCADB 6-8: ACD二、填空题9. 若a b ≠，则220a b -≠ 10.350x y +-= 11. 1 12.15π 13.221916x y -=，5314.①②三、解答题15.（1）证明：因为正三棱柱111ABC A B C -，D 为AB 的中点， 所以CD AB ⊥,1AA ⊥底面ABC . 又因为CD ⊂底面ABC ， 所以1AA CD ⊥.又因为1AA AB A ⋂=,AB ⊂平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ， 所以CD ⊥平面11ABB A .（2）证明：连接1AC ，设11AC AC O ⋂=,连接OD ， 由正三棱柱111ABC A B C -得,1AO OC =， 又因为在1ABC ∆中，AD DB =, 所以1//OD BC ,又因为1BC ⊄平面1ACD ，OD ⊂平面1ACD , 所以1//BC 平面1ACD .16.（1）解：将圆C 的方程配方，得()()223425x y m -+-=-，所以圆C 的圆心为()3,4，半径)25r m =<. 因为圆C 与圆221x y +=相外切，1解得9m =.（2）解：圆C 的圆心到直线30x y +-=的距离d =因为直线30x y +-=与圆C 相交所得的弦长为所以由垂径定理，可得(22225r m =-=+，解得10m =.17. （1）解：因为1AA ⊥平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD , 所以1AA AD ⊥.又因为1,AB AD AA AB A ⊥⋂=， 所以AD ⊥平面11ABB A . 因为//AB CD ，所以四棱锥1C AEB B -的体积1113C AEB B AEB B V S AD -=⋅⋅四边形()111221132⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦.（2）证明：在底面ABCD 中，因为//AB CD ，,12AB AD AD CD AB ⊥===，,所以AC BC 所以222AB AC BC =+,即BC AC ⊥.因为在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ， 所以1CC BC ⊥， 又因为1CC AC C ⋂=, 所以BC ⊥平面1CAEC , 又因为1C E ⊂平面1CAEC , 所以1BC C E ⊥.（3）答：对于线段1B C 上任意一点M (与点C 不重合)，,,,C D E M 四点都不共面. 18.解：由题意，得1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AB 的方程为122y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由21222,y x y x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去y ，得24610x x -+=. 设点()()1122,,,A x y B x y ，则0∆>,且121231,24x x x x +==，所以12252AB x -=. （2）解：设()00,A x y ， 则点A 到直线l距离d 由A 是抛物线C 上的动点，得2002y x =， 所以)22000417d y y y =-+=-+， 所以当01y =时，min d =即点A 到直线l . 19.（1）证明：因为四边形ABCD 是正方形， 所以AC BD ⊥.又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ,平面BDEF ⋂平面ABCD BD =, 且AC ⊂平面ABCD , 所以AC ⊥平面BDEF . 又因为AC ⊂平面ACF , 所以平面ACF ⊥平面BDEF .（2）证明：由题意，//EF BD ,EF ⊄平面BDGH ，BD ⊂平面BDGH , 所以//EF 平面BDGH ,又因为平面EF ⊂平面AEF ,平面AEF ⋂平面BDGH GH =, 所以//EF GH .（3）答：线段CE 上存在一点M ，使得平面//BDM 平面AEF ，此时12EM EC =. 以下给出证明过程.证明：设CE 的中点为M ,连接,DM BM ,因为//BD EF ,BD ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF , 所以//BD 平面AEF . 设AC BD O ⋂=，连接OM ， 在ACE ∆中，因为,OA OC EM MC ==, 所以//OM AE ，又因为OM ⊄平面AEF ,AE ⊂平面AEF , 所以//OM 平面AEF .又因为OM BD O ⋂=，,OM BD ⊂平面BDM , 所以平面//BDM 平面AEF .20.（1）解：由题意，知c c a =，所以3,2a b ===，所以椭圆C 的标准方程为22194x y +=.（2）证明：由题意，点B 在圆M 上，且线段AB 为圆M 的直径， 所以PA PB ⊥.当直线PA x ⊥轴时，易得直线PA 的方程为3x =±， 由题意，得直线PB 的方程为2y =±， 显然直线PB 与椭圆C 相切.同理当直线//PA x 轴时，直线PB 也与椭圆C 相切.当直线PA 与x 轴既不平行也不垂直时，设点()00,P x y ,直线PA 的斜率为k ，则0k ≠，直线PB 的斜率1k -，所以直线()00:PA y y k x x -=-，直线()001:PB y y x x k-=--， 由()0022,1,94y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()()()222000094189360k x y kx kx y kx ++-+--=.因为直线PA 与椭圆C 相切，所以()()()2220000184949360y kx k k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--+--=⎣⎦⎣⎦， 整理，得()222100001449240x k x y k y ⎡⎤∆=---+-=⎣⎦.（1）同理，由直线PB 与椭圆C 的方程联立，得()2220000211144924x x y y k k ⎡⎤∆=--++-⎢⎥⎣⎦. （2）因为点P 为圆22:13M x y +=上任意一点， 所以220013x y +=，即220013y x =-.代入（1）式，得()()22200009290x k x y k x --+-=， 代入（2）式，得()()222200002144924x x y k y k k⎡⎤∆=--++-⎣⎦ ()()22200002144929x x y k x k k⎡⎤=--++-⎣⎦ ()()2200002144929x x y k x k⎡⎤=---+-⎣⎦ 0=所以此时直线PB 与椭圆C 相切. 综上，直线PB 与椭圆C 相切。
北京市西城区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷Word版含解析
北京市西城区2019-2020学年上学期期末考试高二理科数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0）D．（0，2）2．已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B． C．D．3．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若α∥β，l∥α，则l⊂βB．若α∥β，l⊥α，则 l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊂βD．若α⊥β，l∥α，则 l⊥β4．设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m＜05．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A．B．C．3 D．48．用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：①正方体的截面不可能是直角三角形；②正四面体的截面不可能是直角三角形；③正方体的截面可能是直角梯形；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．其中，所有正确结论的序号是（）A．②③B．①②④C．①③D．①④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是．10．已知点M（0，﹣1），N（2，3）．如果直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0，那么a等于．11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD，BD1所成角的余弦值为．12．一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为．13．设O为坐标原点，抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点．若|PF|=3，则△OPF的面积为．14．学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ； （Ⅱ）证明：BD ⊥CE ．16．（13分）如图，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB=PA=2BC=2，M 为PB 的中点． （Ⅰ）求证：AM ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求二面角A ﹣PC ﹣B 的余弦值．17．（13分）已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为x 2+y 2﹣6y+4=0．（Ⅰ）当直线l 的斜率为时，求l 与圆C 相交所得的弦长；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于两点A ，B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程．18．（13分）已知F 1为椭圆+=1的左焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于两点P ，Q ．（Ⅰ）若直线l 的倾斜角为45°，求|PQ|；（Ⅱ）设直线l 的斜率为k （k ≠0），点P 关于原点的对称点为P ′，点Q 关于x 轴的对称点为Q ′，P ′Q ′所在直线的斜率为k ′．若|k ′|=2，求k 的值．19．（14分）如图，四棱锥E ﹣ABCD 中，平面EAD ⊥平面ABCD ，DC ∥AB ，BC ⊥CD ，EA ⊥ED ，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE 上是否存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由．20．（14分）如图，过原点O引两条直线l1，l2与抛物线W1：y2=2px和W2：y2=4px（其中P为常数，p＞0）分别交于四个点A1，B1，A2，B2．（Ⅰ）求抛物线W1，W2准线间的距离；（Ⅱ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅲ）若l1⊥l2，求梯形A1A2B2B1面积的最小值．北京市西城区2019-2020学年上学期期末考试高二理科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0）D．（0，2）【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论．【解答】解：由双曲线得a2=3，b2=1，则c2=a2+b2=4，则c=2，故双曲线的一个焦点坐标为（2，0），故选：C【点评】本题主要考查双曲线的性质和方程，根据a，b，c之间的关系是解决本题的关键．2．已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B． C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：2b=2×2c，即b=2c，a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则a=c，椭圆的离心率e==．【解答】解：由题意可知：设椭圆的方程为：（a＞b＞0），由2b=2×2c，即b=2c，a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则a=c，∴椭圆的离心率e==，椭圆的离心率，【点评】本题考查椭圆的离心率公式，考查计算能力，属于基础题．3．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若α∥β，l∥α，则l⊂βB．若α∥β，l⊥α，则 l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊂βD．若α⊥β，l∥α，则 l⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，l⊂β或l∥β；在B中，由线面垂直的判定定理得l⊥β；在C中，l与β相交、平行或l⊂β；在D中，l与β相交、平行或l⊂β．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知：在A中，若α∥β，l∥α，则l⊂β或l∥β，故A错误；在B中，若α∥β，l⊥α，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故B正确；在C中，若α⊥β，l⊥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．4．设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m＜0【考点】四种命题．【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是命题“若方程x2=m没有实根，则m＜0”，故选：D【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．5．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．【点评】本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题．6．已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），由2c=2，则c=，由双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，即=，c2=a2+b2，即可求得a和b的值，即可求得双曲线的标准方程．【解答】解：由题意可知：设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），由2c=2，则c=，双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，即=，由c2=a2+b2，解得：a=2，b=1，∴双曲线的标准方程为：，故选A．【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查计算能力，属于基础题．7．已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A．B．C．3 D．4【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意易得线段AB的方程为，（x≥0，y≥0），由基本不等式可得．【解答】解：由题意可得直线AB的方程为，∴线段AB的方程为，（x≥0，y≥0）∴1=≥2，∴xy≤3，当且仅当即x=且y=2时取等号，xy有最大值3，故选：C．【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及直线的截距式方程，属基础题．8．用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：①正方体的截面不可能是直角三角形；②正四面体的截面不可能是直角三角形；③正方体的截面可能是直角梯形；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．其中，所有正确结论的序号是（）A．②③B．①②④C．①③D．①④【考点】平行投影及平行投影作图法；棱锥的结构特征．【分析】利用正方体和正四面体的性质，分析4个选项，即可得出结论．【解答】解：①正方体的截面是三角形时，为锐角三角形，正确；②正四面体的截面不可能是直角三角形，不正确；③正方体的截面与一组平行的对面相交，截面是等腰梯形，不正确；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形，正确． 故选D ．【点评】本题考查空间线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．命题“存在x ∈R ，使得x 2+2x+5=0”的否定是 对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0 ． 【考点】特称命题．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定．【解答】解：因为命题“存在x ∈R ，使得x 2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0． 故答案为：对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0．【点评】本题主要考查特称命题的否定，比较基础．10．已知点M （0，﹣1），N （2，3）．如果直线MN 垂直于直线ax+2y ﹣3=0，那么a 等于 1 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的斜率． 【分析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出． 【解答】解：∵点M （0，﹣1），N （2，3），∴k MN ==2，∵直线MN 垂直于直线ax+2y ﹣3=0，∴2×=﹣1，解得a=1．故答案为1．【点评】本题考查了相互垂直的直线的斜率之间关系，属于基础题．11．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，异面直线AD ，BD 1所成角的余弦值为 ．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD ，BD 1所成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），=（﹣1，0，0），=（﹣1，﹣1，1），设异面直线AD，BD1所成角为θ，则cosθ==．∴异面直线AD，BD1所成角的余弦值为．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．12．一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为8．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由正三棱柱的正视图、俯视图得到该三棱柱的侧视图是边长为4的等边三角形，由此能求出该三棱柱的侧视图的面积．【解答】解：由正三棱柱的正视图、俯视图得到该三棱柱的侧视图是边长为4的等边三角形，∴由三视图可知，该正三棱柱的底边三角形的高为： =2，底面边长为：4，∴侧视图三角形的高为：4，该三棱柱的侧视图的面积为S=2×4=8．故答案为：8．【点评】本题考查三棱柱的侧视图的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13．设O为坐标原点，抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点．若|PF|=3，则△OPF的面积为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用|PF|=3求得P点的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标，代入三角形面积公式计算．【解答】解：由抛物线方程得：抛物线的准线方程为：x=﹣1，焦点F（1，0），又P为C上一点，|PF|=3，∴x=2，P|=2，代入抛物线方程得：|yP=×|OF|×2=．∴S△POF故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的定义及几何性质，熟练掌握抛物线上的点所迷住的条件是解题的关键．14．学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h （所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为y2=x ．【考点】抛物线的标准方程．【分析】碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；设方程为y2=2px（p＞0），则将点（a，m），（a+h，n），即可得出结论．【解答】解：碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；设方程为y2=2px（p＞0），则将点（a，m），（a+h，n）代入抛物线方程可得m2=2pa，n2=2p（a+h），可得2p=，∴抛物线方程为y2=x．故答案为碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；y2=x．【点评】本题考查抛物线的方程，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）（2016秋•西城区期末）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）证明：BD⊥CE．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，推导出PC∥OE，由此能证明PC∥平面BDE．（Ⅱ）推导出BD⊥AC，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明BD⊥CE．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点．又因为E是PA的中点，所以PC∥OE，…（3分）因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（6分）（Ⅱ）因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC．…（8分）因为PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．…（10分）又因为AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC，…（12分）又CE⊂平面PAC，所以BD⊥CE．…（13分）【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16．（13分）（2016秋•西城区期末）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB 的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出PA⊥BC，BC⊥AB，从而AM⊥BC，再求出AM⊥PB，由此能证明AM⊥平面PBC．（Ⅱ）在平面ABC内，作Az∥BC，则AP，AB，Az两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．…（2分）所以AM⊥BC．…（3分）因为PA=AB，M为PB的中点，所以AM⊥PB．…（4分）所以AM⊥平面PBC．…解：（Ⅱ）如图，在平面ABC内，作Az∥BC，则AP，AB，Az两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．=（2，0，0），=（0，2，1），=（1，1，0）．…（8分）设平面APC的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，得=（0，1，﹣2）．…（10分）由（Ⅰ）可知=（1，1，0）为平面BPC的法向量，设二面角A﹣PC﹣B的平面角为α，则cosα===．…（12分）所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…（13分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．17．（13分）（2016秋•西城区期末）已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为x 2+y 2﹣6y+4=0．（Ⅰ）当直线l 的斜率为时，求l 与圆C 相交所得的弦长；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于两点A ，B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程． 【考点】直线与圆的位置关系；待定系数法求直线方程．【分析】（Ⅰ）由已知，直线l 的方程为y=x ，圆C 圆心为（0，3），半径为，求出圆心到直线l 的距离，即可求l 与圆C 相交所得的弦长；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于两点A ，B ，且A 为OB 的中点，求出A 的坐标，即可求直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知，直线l 的方程为y=x ，圆C 圆心为（0，3），半径为，…（3分）所以，圆心到直线l 的距离为=．…所以，所求弦长为2=2．…（6分）（Ⅱ） 设A （x 1，y 1），因为A 为OB 的中点，则B （2x 1，2y 1）．…（8分） 又A ，B 在圆C 上，所以 x 12+y 12﹣6y 1+4=0，4x 12+4y 12﹣12y 1+4=0．…（10分） 解得y 1=1，x 1=±1，…（11分）即A （1，1）或A （﹣1，1）．…（12分） 所以，直线l 的方程为y=x 或y=﹣x ．…（13分）【点评】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（13分）（2016秋•西城区期末）已知F 1为椭圆+=1的左焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于两点P ，Q ．（Ⅰ）若直线l 的倾斜角为45°，求|PQ|；（Ⅱ）设直线l 的斜率为k （k ≠0），点P 关于原点的对称点为P ′，点Q 关于x 轴的对称点为Q ′，P ′Q ′所在直线的斜率为k ′．若|k ′|=2，求k 的值． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）直线l 的倾斜角为45°，直线l 的方程为y=x+1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得|PQ|；（Ⅱ）设直线l ：y=k （x+1），代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得丨k ′丨=丨丨=丨丨=2，即可求得k 的值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆+=1，a=2，b=，c=1，椭圆的左焦点F 1（﹣1，0），设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 又直线l 的倾斜角为45°，∴直线l 的方程为y=x+1，…（1分）由，整理得：7x 2+8x ﹣8=0，…（3分）则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣．…（4分）丨PQ 丨=•=•=，∴|PQ|=；…（Ⅱ）由，整理得：（3+4k 2）x 2+8k 2x+4k 2﹣12=0，…（6分）则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=，…（8分）依题意P ′（﹣x 1，﹣y 1），Q ′（x 2，﹣y 2），且y 1=k （x 1+1），y 2=k （x 2+1），∴丨k ′丨=丨丨=丨丨，…（10分）其中丨x 1﹣x 2丨==，…（11分）∴丨k ′丨=丨丨=2．…（12分）解得：7k 2=9，k=±，k 的值±．．…（13分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及直线的斜率公式的应用，考查计算能力，属于中档题．19．（14分）（2014•东城区二模）如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADE；（Ⅱ）求BE和平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE，请说明理由．【考点】平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）证明BD⊥AD，利用平面EAD⊥平面ABCD，证明BD⊥平面ADE；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面CDE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求BE 和平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）求出平面BEF一个法向量，利用平面BEF⊥平面CDE，向量的数量积为0，即可得出结论．【解答】（I）证明：由BC⊥CD，BC=CD=2，可得．由EA⊥ED，且EA=ED=2，可得．又AB=4，所以BD⊥AD．又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ADE．…（II）解：建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），，，，，，．设=（x，y，z）是平面CDE的一个法向量，则令x=1，则=（1，1，﹣1）．设直线BE与平面CDE所成的角为α，则sinα=所以BE和平面CDE所成的角的正弦值．…（10分）（III）解：设，λ∈[0，1]．，，．则．设=（x'，y'，z'）是平面BDF一个法向量，则令x'=1，则=（1，0，﹣）．若平面BDF⊥平面CDE，则•=0，即，．所以，在线段CE上存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE．…（14分）【点评】本题考查线面、面面垂直的判定，考查线面角，正确运用向量知识是关键．20．（14分）（2016秋•西城区期末）如图，过原点O引两条直线l1，l2与抛物线W1：y2=2px和W2：y2=4px（其中P为常数，p＞0）分别交于四个点A1，B1，A2，B2．（Ⅰ）求抛物线W1，W2准线间的距离；（Ⅱ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅲ）若l 1⊥l 2，求梯形A 1A 2B 2B 1面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据抛物线的性质即可求出答案，（Ⅱ）设l 1：y=k 1x ，代入抛物线方程，得A 1，A 2的横坐标分别是和，即可得到△OA 1B 1∽△OA 2B 2，即A 1B 1∥A 2B 2．（Ⅲ）A （x 1，y 1）B （x 2，y 2），直线A 1B 1方程为x=ty+m 1，根据韦达定理和直线垂直的关系得到直线A 1B 1方程为x=ty+2p ，A 2B 2方程为x=ty+4p ，再根据弦长公式和两直线之间的距离公式，以及梯形的面积公式即可求出答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，抛物线W 1，W 2的准线分别为x=﹣和x=﹣p ，所以，抛物线W 1，W 2准线间的距离为（Ⅱ）设l 1：y=k 1x ，代入抛物线方程，得A 1，A 2的横坐标分别是和．∴==，同理=，所以△OA 1B 1∽△OA 2B 2， 所以A 1B 1∥A 2B 2．（Ⅲ）设A （x 1，y 1）B （x 2，y 2），直线A 1B 1方程为x=ty+m 1， 代入曲线y 2=2px ，得y 2﹣2pty ﹣2pm 1=0，所以y 1+y 2=2pt ，y 1y 2=﹣2pm 1．由l 1⊥l 2，得x 1x 2+y 1y 2=0，又y 12=2px 1，y 22=2px 2，所以+y 1y 2=0，由y 1y 2=﹣2pm 1，得m 1=2p ．所以直线A 1B 1方程为x=ty+2p ， 同理可求出直线A 2B 2方程为x=ty+4p ，所以|A 1B 1|=|y 1﹣y 2|=2p •，|A 2B 2|=4p •，平行线A 1B 1与A 2B 2之间的距离为d=，所以梯形A 1A 2B 2B 1的面积≥12p 2当t=0时，梯形A 1A 2B 2B 1的面积达最小，最小值为12p 2．【点评】本题考查了抛物线的性质直线和抛物线的位置关系，考查了学生的运算能力，以及转化能力，属于中档题．。
北京市西城区2019-2020学年高二上学期期末考试数学理试卷Word版含答案
北京市西城区2019-2020学年上学期期末考试高二数学理试卷试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否定是______________________.10. 已知点)1,0(-M ,)3,2(N . 如果直线MN 垂直于直线032=-+y ax ，那么a 等于_______.11. 在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1,AD BD 所成角的余弦值为_________.12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为_________.13. 设O 为坐标原点，抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点. 若3PF =，则OPF △的面积为_________.14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距正（主）视图俯视图离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．（本小题满分13分）如图,PA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,22AB PA BC ===,M 为PB 的中点. (Ⅰ)求证:AM ⊥平面PBC ； (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值.17．（本小题满分13分）已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为22640x y y +-+=. (Ⅰ)当直线l时，求l 与圆C 相交所得的弦长；(Ⅱ)设直线l 与圆C 交于两点,A B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程.A BCDPEA BCPM18．（本小题满分13分）已知1F 为椭圆22143x y +=的左焦点，过1F 的直线l 与椭圆交于两点,P Q . （Ⅰ）若直线l 的倾斜角为45，求PQ ；（Ⅱ）设直线l 的斜率为k (0)k ≠，点P 关于原点的对称点为P '，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，P Q ''所在直线的斜率为k '. 若2k '=，求k 的值.19．（本小题满分14分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,//DC AB ，BC CD ⊥，EA ED ⊥，且4AB =,2BC CD EA ED ====.（Ⅰ）求证:BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE 上是否存在一点F ，使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由.20．（本小题满分14分）如图，过原点O 引两条直线12,l l 与抛物线21:2W y px =和22:4W y px =（其中p 为常数，0p >）分别交于四个点1122,,,A B A B .（Ⅰ）求抛物线12,W W 准线间的距离； （Ⅱ）证明：1122//A B A B ；（Ⅲ）若12l l ⊥，求梯形1221A A B B 面积的最小值.EABCD北京市西城区2019-2020学年上学期期末考试高二数学理试卷参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.C ；2.D ；3. B ；4. D ；5. B ；6. A ；7. C ；8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1；；12.；14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n my x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解: (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. ……………10分又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分 又CE ⊂平面PAC ，所以BD CE ⊥. ……………13分16.（本小题满分13分）解: (Ⅰ)因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.ABCDPE O因为BC AB ⊥，PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB . ……………2分 所以AM BC ⊥. ……………3分 因为PA AB =，M 为PB 的中点， 所以AM PB ⊥. ……………4分 所以AM ⊥平面PBC . ……………5分 (Ⅱ)如图，在平面ABC 内，作//Az BC ，则,,AP AB AZ 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(1,1,0)A P B C M .(2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM = . ……………8分设平面APC 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x y z =⎧⎨+=⎩ 令1y =，则2z =-.所以(0,1,2)=-n . ……………10分由(Ⅰ)可知(1,1,0)AM =为平面BPC 的法向量， 设,AM n 的夹角为α，则cos 105AM AMα⋅===n n . ……………12分 因为二面角A PC B --为锐角， 所以二面角A PC B --……………13分17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知，直线l的方程为y =，圆C 圆心为(0,3)，………3分所以，圆心到直线l=……………5分所以，所求弦长为……………6分 (Ⅱ) 设11(,)A x y ，因为A 为OB 的中点，则11(2,2)B x y . ……………8分 又,A B 圆C 上，所以 22111640x y y +-+=，22111441240x y y +-+=，即22111310x y y +-+=. ……………10分解得11y =，11x =±， ……………11分 即(1,1)A 或(1,1)A -. ……………12分 所以，直线l 的方程为y x =或y x =-. ……………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设1122(,),(,)P x y Q x y ，由已知，椭圆的左焦点为(1,0)-，又直线l 的倾斜角为45，所以直线l 的方程为1y x =+， ……………1分由221,3412y x x y =+⎧⎨+=⎩得27880x x +-=， ……………3分 所以1287x x +=-，1287x x =-. ……………4分24||7PQ ===. ……………5分（Ⅱ）由22(1),3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(34)84120k x k x k +++-=， ……………6分 所以2122834k x x k-+=+，212241234k x x k -=+. ……………8分 依题意1122(,),(,)P x y Q x y ''---，且11(1)y k x =+，22(1)y k x =+， 所以，12121212()y y k x x k x x x x --'==++， ……………10分其中12x x -==， ……………11分结合2122834k x x k -+=+，可得k '=2=. ……………12分解得279k =，k =……………13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由BC CD ⊥,2BC CD ==.可得BD =.由EA ED ⊥,且2EA ED ==，可得AD =又4AB =. 所以BD AD ⊥. …………2分 又平面EAD ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面ADE . ……………4分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D，(0,B，(C-，(2,0,E ，(2,BE =-，(2,0,DE =,(2,DC =-. …………6分设(,,)x y z=n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n ,0DC ⋅=n， 即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩ 令1x =，则(1,1,1)=-n . ……………7分设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，则||sin |cos ,|3||||BE BE BE ⋅=<>===⋅αn n n .……………8分 所以BE 和平面CDE所成的角的正弦值3. ……………9分 （Ⅲ）设CF CE =λ,[0,1]λ∈.又(2,2,0)DC =-,(22,CE =-,(0,BD =-. 则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ. ……………10分设(,,)x'y'z'=m 是平面BDF 一个法向量,则0BD ⋅=m ，0DF ⋅=m ， 即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ……………11分令1x'=,则21(1,0,)λλ-=-m . ……………12分若平面BDF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈.……13分所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE . ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，抛物线12,W W 的准线分别为2px =-和x p =-， ……………2分 所以，抛物线12,W W 准线间的距离为2p. ……………4分 （Ⅱ）设11:l y k x =，代入抛物线方程，得12,A A 的横坐标分别是212p k 和214pk . ………5分12||||OAOA 12==，同理12||1||2OB OB =， ……………7分 所以1122OA B OA B △△，所以1122//A B A B . ……………8分 （Ⅲ）设111(,)A x y ，122(,)B x y ，直线11A B 方程为111:A B l x ty m =+，代入曲线22y px =，得21220y pty pm --=，所以122y y pt +=，1212y y pm =-. ……………9分由12l l ⊥，得12120x x y y +=，又2112y px =，2222y px =，所以221212204y y y y p+=，由1212y y pm =-，得12m p =. ……………11分 所以直线11A B 方程为11:2A B l x ty p =+， 同理可求出直线22A B 方程为22:4A B l x ty p =+.所以1112||2A B y =-= ……………12分22||4A B =，平行线11A B l 与22A B l之间的距离为d =所以梯形1221A A B B的面积11221()62S A B A B d p =+⋅= ……………13分 212p ≥当0t =时，梯形1221A A B B 的面积达最小，最小值为212p . ……………14分。
2019-2020年北京市西城区高二数学上学期期末考试试题(理)(有答案)-精华版
北京市西城区高二数学上学期期末考试试题理试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否定是______________________.10. 已知点)1,0(-M ,)3,2(N . 如果直线MN 垂直于直线032=-+y ax ，那么a 等于_______.11. 在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1,AD BD 所成角 的余弦值为_________.12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的 侧视图的面积为_________.13. 设O 为坐标原点，抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物正（主）视图俯视图线上一点. 若3PF =，则OPF △的面积为_________.14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．（本小题满分13分）如图,PA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,22AB PA BC ===,M 为PB 的中点. (Ⅰ)求证AM ⊥平面PBC ； (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值.ABCDPE AB CPM17．（本小题满分13分）已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为22640x y y +-+=.(Ⅰ)当直线l l 与圆C 相交所得的弦长；(Ⅱ)设直线l 与圆C 交于两点,A B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程.18．（本小题满分13分）已知1F 为椭圆22143x y +=的左焦点，过1F 的直线l 与椭圆交于两点,P Q . （Ⅰ）若直线l 的倾斜角为45，求PQ ；（Ⅱ）设直线l 的斜率为k (0)k ≠，点P 关于原点的对称点为P '，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，P Q ''所在直线的斜率为k '. 若2k '=，求k 的值.19．（本小题满分14分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,//DC AB ，BC CD ⊥，EA ED ⊥，且4AB =,2BC CD EA ED ====.（Ⅰ）求证BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段CE 上是否存在一点F ，使得平面B D F ⊥平面CDE ，请说明理由.20．（本小题满分14分）如图，过原点O 引两条直线12,l l 与抛物线21:2W y px =和22:4W y px =（其中p 为常数，0p >）分别交于四个点1122,,,A B A B .（Ⅰ）求抛物线12,W W 准线间的距离； （Ⅱ）证明：1122//A B A B ；（Ⅲ）若12l l ⊥，求梯形1221A A B B 面积的最小值.EABCD北京市西城区第一学期期末试卷 高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.C ；2.D ；3. B ；4. D ；5. B ；6. A ；7. C ；8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1；11. 3；12.14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n my x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解 (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. ……………10分又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分 又CE ⊂平面PAC ，所以BD CE ⊥. ……………13分16.（本小题满分13分）解 (Ⅰ)因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.ABCDPE O因为BC AB ⊥，PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB . ……………2分 所以AM BC ⊥. ……………3分 因为PA AB =，M 为PB 的中点， 所以AM PB ⊥. ……………4分 所以AM ⊥平面PBC . ……………5分 (Ⅱ)如图，在平面ABC 内，作//Az BC ，则,,AP AB AZ 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(1,1,0)A P B C M .(2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM = . ……………8分设平面APC 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x y z =⎧⎨+=⎩令1y =，则2z =-.所以(0,1,2)=-n . ……………10分由(Ⅰ)可知(1,1,0)AM =为平面BPC 的法向量， 设,AM n 的夹角为α，则cos 105AM AMα⋅===n n . ……………12分 因为二面角A PC B --为锐角， 所以二面角A PC B --.……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知，直线l的方程为y =，圆C 圆心为(0,3)，，………3分所以，圆心到直线l=……………5分所以，所求弦长为. ……………6分 (Ⅱ) 设11(,)A x y ，因为A 为OB 的中点，则11(2,2)B x y . ……………8分 又,A B 圆C 上，所以 22111640x y y +-+=，22111441240x y y +-+=，即22111310x y y +-+=. ……………10分解得11y =，11x =±， ……………11分 即(1,1)A 或(1,1)A -. ……………12分 所以，直线l 的方程为y x =或y x =-. ……………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设1122(,),(,)P x y Q x y ，由已知，椭圆的左焦点为(1,0)-，又直线l 的倾斜角为45，所以直线l 的方程为1y x =+， ……………1分由221,3412y x x y =+⎧⎨+=⎩得27880x x +-=， ……………3分 所以1287x x +=-，1287x x =-. ……………4分24||7PQ ===. ……………5分（Ⅱ）由22(1),3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(34)84120k x k x k +++-=， ……………6分所以2122834k x x k -+=+，212241234k x x k -=+. ……………8分依题意1122(,),(,)P x y Q x y ''---，且11(1)y k x =+，22(1)y k x =+， 所以，12121212()y y k x x k x x x x --'==++， ……………10分其中12x x -== ……………11分结合2122834k x x k-+=+，可得k '=2=. ……………12分 解得279k =，k =……………13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由BC CD ⊥,2BC CD ==.可得BD =由EA ED ⊥,且2EA ED ==，可得AD =又4AB =. 所以BD AD ⊥. …………2分 又平面EAD ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面ADE . ……………4分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D，(0,B，(C，E ，(2,BE =-，(2,0,DE =,(DC =. …………6分设(,,)x y z =n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n ,0DC ⋅=n ， 即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩ 令1x =，则(1,1,1)=-n . ……………7分设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，则||sin |cos ,|3||||BE BE BE ⋅=<>===⋅αn n n. ……………8分 所以BE 和平面CDE 所成的角的正弦值3. ……………9分 （Ⅲ）设CF CE =λ,[0,1]λ∈.又(DC =,CE =,(0,BD =-. 则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ. ……………10分设(,,)x'y'z'=m 是平面BDF 一个法向量,则0BD ⋅=m ，0DF ⋅=m ， 即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ……………11分令1x'=,则21(1,0,)λλ-=-m . ……………12分若平面BDF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈.……13分所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE . ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，抛物线12,W W 的准线分别为2px =-和x p =-， ……………2分 所以，抛物线12,W W 准线间的距离为2p. ……………4分 （Ⅱ）设11:l y k x =，代入抛物线方程，得12,A A 的横坐标分别是212p k 和214pk . ………5分 12||||OAOA 12==，同理12||1||2OB OB =， ……………7分 所以1122OA B OA B △△，所以1122//A B A B . ……………8分 （Ⅲ）设111(,)A x y ，122(,)B x y ，直线11A B 方程为111:A B l x ty m =+，代入曲线22y px =，得21220y pty pm --=，所以122y y pt +=，1212y y pm =-. ……………9分由12l l ⊥，得12120x x y y +=，又2112y px =，2222y px =，所以221212204y y y y p+=，由1212y y pm =-，得12m p =. ……………11分 所以直线11A B 方程为11:2A B l x ty p =+， 同理可求出直线22A B 方程为22:4A B l x ty p =+.所以1112||2A B y =-= ……………12分22||4A B =平行线11A B l 与22A B l之间的距离为d =，所以梯形1221A A B B的面积11221()62S A B A B d p =+⋅= ……………13分 212p ≥当0t 时，梯形1221A A B B 的面积达最小，最小值为212p . ……………14分。
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北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷
高二数学 2020.1
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．已知椭圆22
2:1(0)4x y C a a
+=>的一个焦点为(2,0),则a 的值为（ ）
A ．
B
C ．6
D ．8
2．已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a -=+(,2)n n *∈≥N ，则3a =（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
3．已知命题p :1x ∃<,21x ≤,则p ⌝为（ ）
A ．1x ∀≥,21x ≤
B ．1x ∃<,21x >
C ．1x ∀<,21x >
D ．1x ∃≥,21x >
4．已知,a b ∈R ,若a b <,则（ ）
A ．2a b <
B ．2ab b <
C ．22a b <
D ．33a b < 5．已知向量(1,2,1),(3,,)x y =-=a b ,且//a b ,那么||=b （ ）
A ．
B ．6
C ．9
D ．18
6．已知直线a ,b 分别在两个不同的平面,αβ内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和 平面β相交”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7. 已知向量(1,,2)x =a ，(0,1,2)=b ，(1,0,0)=c ，若,,a b c 共面，则x 等于 （ ）
A . 1-
B . 1
C .1 或1-
D . 1 或0
8. 德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时，定义了一 个函数()[]f x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，比如[]=3π. 根据以上定义，当
1x 时，数列()x f x -，()f x ，x （ ）
A ．是等差数列，也是等比数列
B ．是等差数列，不是等比数列
C ．是等比数列，不是等差数列
D ．不是等差数列，也不是等比数列
9．设有四个数的数列{}n a ，该数列前3项成等比数列，其和为m ，后3项成等差数列，
其和为6. 则实数m 的取值范围为（ ）
A.6m ≥
B. 32
m ≥ C. 6m ≤ D. 2m ≥ 10. 曲线33:1C x y +=.给出下列结论：
①曲线C 关于原点对称；
②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1；
③曲线C 只经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②
B. ②
C. ②③
D. ③
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
11.设P 是椭圆22
1259
x y +=上的点,P 到该椭圆左焦点的距离为2，则P 到右焦点的距离 为__________.
12. 不等式01
x x <-的解集为_________. 13. 能说明“若a b >，则11a b
<”为假命题的一组a 、b 值是a = ，b = .
14．若双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点(,0)F c ,则其离心 率的值是__________.
15．某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用
4万元，从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加2万元.
若该渔船预计使用n 年，其总花费（含购买费用）为________ 万元；
当n =______时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）.
16. 若1239,,,,x x x x 表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：
（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；
（2）灯1x 在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的{|29}i x x ∈∈≤≤N ，要求灯i x 的左边有且只有．．．．
灯1i x -是开灯状态时才可以对灯i x 进行一次操作. 如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯4x 关闭最少需要 次操作；
如果除灯6x 外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要 次操作.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分13分）
已知等比数列{}n a 的公比为2，且3a ，44a +，5a 成等差数列.
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设{}n a 的前n 项和为n S ，且62n S =，求n 的值.
18．（本小题满分13分）
已知函数2()f x x ax =+，a ∈R .
（Ⅰ）若()(1)f a f >，求a 的取值范围；
（Ⅱ）若()4f x ≥-对x ∀∈R 恒成立，求a 的取值范围；
（Ⅲ）求关于x 的不等式()0f x >的解集.
19．（本小题满分13分）
已知椭圆2222:1x y C a b
+=(0)a b >>的右焦点为(1,0)F . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设点A 为椭圆C 的上顶点，点B 在椭圆上且位于第一象限，且90AFB ∠=，求AFB ∆的面积.
20．（本小题满分14分）
如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，//BC AD ， 90PAB ∠=. 2PA AB ==，3AD =，BC m =，E 是PB 的中点.
（Ⅰ）证明：AE ⊥平面PBC ；
（Ⅱ）若二面角C AE D --，求m 的值；
（Ⅲ）若2m =，在线段AD 上是否存在一点F ，使得PF ⊥CE . 若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分14分）
已知抛物线2:2(0)C y px p =>，抛物线C 上横坐标为1的点到焦点F 的距离为3. （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程； （Ⅱ）过(1,0)-的直线l 交抛物线C 于不同的两点,A B ，交直线4x =-于点E ，直线BF 交直线1x =-于点D . 是否存在这样的直线l ，使得//DE AF ? 若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l 的方程.
22．（本小题满分13分）
若无穷数列123,,,a a a 满足：对任意两个正整数,i j (3)j i -≥，11i j i j a a a a -++=+与11i j i j a a a a +-+=+至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列”. （Ⅰ）求证：若数列{}n a 为等差数列，则{}n a 为“和谐数列”； （Ⅱ）求证：若数列{}n a 为“和谐数列”，则数列{}n a 从第3项起为等差数列； D A B C
P E
（Ⅲ）若{}n a 是各项均为整数的“和谐数列”，满足10a =，且存在*p ∈N 使得p a p =， 123p a a a a p ++++=-，求p 的所有可能值.。