(新)高中数学第二章数列习题课数列求和学案新人教B版必修5
高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列2.3习题课——等比数列习题课
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题型一
题型二
题型三
题型四
1
1
2
1
(2)解:由(1)知 -1= · -1 =
1
即
1
=
2
1
+1,则
设 Tn= +
2
3
=
1
22
2
2
2
2
1
+
2
2
+…+
3
=
2
1
1-
2
1
12
1
=1-
2
−
−
2
1
2
1
2
22
,
+n.
2
+
2 +1
1
,②
−
+…+
2
2 +1
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,
所以-8q=-24,q=3.
1 (1- )
所以数列{bn}的前 n 项和公式 Sn=
1-
=4(1-3n).
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IANLITOUXI
1
2
3
UITANGLIANXI
4
1等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1的值为
题型四
等比数列的基本运算
【例1】 (1)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,Sn=93,an=48,公比
高中数学 第二章 数列 2.2 习题课——等差数列习题课练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高
习题课——等差数列习题课课时过关·能力提升1在等差数列{a n }中,已知a 1=13,a 1+a 6=4,a n =37,则n 等于() A.50B.49C.56D.51d ,因为a 1+a 6=2a 1+5d=4,a 1=13,所以d=23,所以a n =13+(n-1)×23=37,所以n=56.2在数列{a n }中,已知a 1=15,3a n+1=3a n -2,则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是() A.a 21和a 22 B.a 22和a 23 C.a 23和a 24D.a 24和a 25a n+1=a n -23,所以数列{a n }是公差为-23的等差数列.所以a n =15+(n-1)×(-23).因为a 23=13,a 24=-13,所以a 23a 24<0.3已知在等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d<0,则使数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是()A .4或5B .5或6C .6或7D .不存在d<0,∴a 9<a 3,∵|a 3|=|a 9|,∴a 3=-a 9,∴a 3+a 9=0. 又a 3+a 9=2a 6=0,∴a 5>0.即前5项或前6项的和最大.4若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是() A.4 005B.4 006C.4 007D.4 008a 1>0,a 2003+a 2004>0,a 2003·a 2004<0,且数列{a n }为等差数列,所以数列{a n }是首项为正数,公差为负数的递减的等差数列,且a 2003是绝对值最小的正数,a 2004是绝对值最小的负数(第一个负数),且|a 2003|>|a 2004|.因为在等差数列{a n }中,a 2003+a 2004=a 1+a 4006>0,所以S 4006=4006(a 1+a 4006)2>0.所以使S n >0成立的最大正整数n 是4006.5已知数列{a n }的通项a n =11-2n ,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 10|=() A.25 B.50 C.52 D.1006已知f (n+1)=f (n )-14(n ∈N +),且f (2)=2,则f (101)=.a n =f (n ),则a n+1-a n =-14,∴数列{a n }为等差数列,且a 2=2.∴a n =a 2-14(n-2)=10-a 4.∴f (101)=a 101=-914. -9147设f (x )+f (1-x )=6,则f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6)=.S=f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6),①即S=f (6)+f (5)+…+f (1)+f (0)+…+f (-5).②则①+②得2S=[f (-5)+f (6)]+[f (-4)+f (5)]+…+[f (0)+f (1)]+[f (1)+f (0)]+…+[f (6)+f (-5)]=12×6=72.故S=36.8“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18的值为.,可得a n +a n+1=5,所以a n+1+a n+2=5.所以a n+2-a n =0.因为a 1=2,所以a 2=5-a 1=3.所以当n 为偶数时,a n =3;当n 为奇数时,a n =2.所以a 18=3.9在等差数列{a n }中,其前n 项和为100,其后的2n 项和为500,则紧随其后的3n 项和为.,知S n =100,S 3n -S n =500,又S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…成等差数列,且公差为100.故S 6n -S 3n =(S 6n -S 5n )+(S 5n -S 4n )+(S 4n -S 3n )=600+500+400=1500.10在等差数列{a n }中,a 16+a 17+a 18=a 9=-18,其前n 项和为S n , (1)求S n 的最小值,并求出S n 取最小值时n 的值; (2)求T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |.因为a 16+a 17+a 18=a 9=-18,所以a 17=-6.又a 9=-18, 所以d=a 17-a 917-9=32.首项a 1=a 9-8d=-30.所以a n =32n-632. 若前n 项和S n 最小,则{a a ≤0,a a +1≥0,即{3a2-632≤0,32(a +1)-632≥0,所以n=20或n=21.故当n=20或n=21时,S n 取最小值. 最小值为S 20=S 21=-315. (2)由a n =32n-632≤0,得n ≤21.所以当n ≤21时,T n =-S n =34(41n-n 2), 当n>21时,T n =-a 1-a 2-…-a 21+a 22+…+a n=S n -2S 21=34(n 2-41n )+630.★11设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n=a aa+2(n-1)(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)是否存在正整数n,使得a11+a22+…+a aa-(n-1)2=2 015?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.S n=na n-2(n-1)n.n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-2(n-1)n-(n-1)·a n-1+2(n-2)(n-1).∴a n-a n-1=4.∴数列{a n}为a1=1,d=4的等差数列.∴a n=1+(n-1)4=4n-3.(2)由(1),得S n=n(4n-3)-2(n-1)n=(2n-1)n.∴a aa=2n-1.故a11+a22+…+a aa=n2,∴n2-(n-1)2=2015,解得n=1008.故存在n=1008满足题意.★12设数列{a n}的前n项和为S n,点(a,a aa)(n∈N+)均在函数y=3x-2的图象上, (1)求证:数列{a n}为等差数列;(2)T n是数列{3a a a a+1}的前n项和,求证:37≤T n<12.由题意得,a aa=3n-2,即S n=3n2-2n,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;当n=1时,a1=S1=1.所以a n=6n-5(n∈N+).又a n-a n-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6,故{a n}是等差数列.(2)由(1)知,设b n=3a a a a+1,则b n=3a a a a+1=3(6a-5)[6(a+1)-5]=1 2(16a-5-16a+1),故T n =12[(1-17)+(17-113)+…+(16a -5-16a +1)]=12(1-16a +1),又n ∈N +,所以0<16a +1≤17,故37≤T n <12.。
人教新课标B版必修5第二章数列数列求和之裂项相消法和错位相减法
解得dq＝ ＝28，或qd＝＝4－3056(舍去)， 故 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1. (2)因为 Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)， 所以S1n＝n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2，
所
以
1 S1
＋
1 S2
＋
1 S3
＋
…
1 2×4
＋
1 3×5
数列求和之裂项相消法和错位相减法
1．基本求和公式 (1)等差数列前 n 项和 Sn＝n（a12＋an）＝na1＋n（n2－1）d. (2)等比数列前 n 项和 Sn＝a1（11－－qqn）（q≠1）.
na1（q＝1）
2．裂项求和基本等式 AK·B＝B－K AA1 －B1 . 3．错位相减基本等式 {an}是公差为 d 的等差数列，{bn}是公比为 q 的等比数列，则 {anbn}的前 n 项和 Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＋anbn， qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－2bn－1＋an－1bn＋anbnq， 则(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbnq ＝a1b1＋d·b2（11－－qqn－1）－anbnq(q≠1)．
n a1an＋1.
【对点通关】
1．(必修
5
P47B
组
T4
改编)数列n（n1＋1）
的前
n
项和为19090，
则 n 的值为( )
A．9
B．10
C．99
D．100
解析：选 C.由题意得1×1 2＋2×1 3＋3×1 4＋…＋n×（1n＋1）＝
11－21＋12－13＋13－41＋…＋n1－n＋1 1＝1－n＋1 1＝n＋n 1＝19090.
人教B版数学必修五：第2章《数列》章末检测学案(含答案解析)
第二章 章末检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋cA.1 B ．2．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( ) A ．－9 B ．－15 C ．15 D ．±153．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( ) A ．8 B ．－8 C ．±8 D ．以上都不对4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶35．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．186．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2n) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) 7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 21＝42，记A ＝2a 211－a 9－a 13，则A 的值为( ) A ．2 B ．1 C ．16 D ．328．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( ) A ．1或2 B ．1或－2 C ．－1或2 D ．－1或－29．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于( )A.1514B.1213C.1316D.151610．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为(lg 2≈0.301 0)( )A ．5B ．10C ．14D ．1511．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n12．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的( )A ．第48项B ．第49项C ．第50项D ．第51项二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知在等差数列{a n }中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______．14．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．15．数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝____________.16．等差数列{a n }中，a 10<0，且a 11>|a 10|，S n 为数列{a n }的前n 项和，则使S n >0的n 的最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知数列{log 2(a n －1)} (n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n<1.18．(12分)设数列{a n }的前n 项的和为S n ＝43a n －13×2n ＋1＋23(n ＝1,2,3…)(1)求首项a 1与通项a n ；(2)设T n ＝2n S n (n ＝1,2,3，…)，证明：∑i ＝1n T i <32.(∑i ＝1nT i 表示求和)19．(12分)已知正项数列{b n }的前n 项和B n ＝14(b n ＋1)2，求{b n }的通项公式．20.(12分)某市2009年共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2010年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2016年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？21．(12分)设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.(1)求{a n }、{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和S n .22．(12分)在数列{a n }中，已知a 1＝－1，且a n ＋1＝2a n ＋3n －4 (n ∈N *)． (1)求证：数列{a n ＋1－a n ＋3}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)求和：S n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | (n ∈N *)．第二章 章末检测1．A [由题意知，a ＝12，b ＝516，c ＝316，故a ＋b ＋c ＝1.]2．D [a 24＋a 27＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9. ∴a 4＋a 7＝±3，∴a 1＋a 10＝±3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝±15.]3．A [a 2＋a 6＝34，a 2a 6＝64，∴a 24＝64，∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8.] 4．A [显然等比数列{a n }的公比q ≠1，则由S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝12⇒q 5＝－12， 故S 15S 5＝1－q151－q 5＝1－(q 5)31－q 5＝1－⎝⎛⎭⎫－1231－⎝⎛⎭⎫－12＝34.] 5．B [∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ， ∴99－105＝3d.∴d ＝－2.又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400. ∴当n ＝20时，S n 有最大值．]6．C [设{a n }的公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝18.∴q ＝12，a 1＝4，∵{a n a n ＋1}也是等比数列且首项a 1a 2＝8，公比为q 2＝14，∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n )．]7．B [由S 21＝21(a 1＋a 21)2＝21a 11＝42，∴a 11＝2.∴a 211－(a 9＋a 13)＝a 211－2a 11＝0.∴A ＝2a 211－a 9－a 13＝20＝1.]8．C [依题意有2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ， 而a 4≠0，∴q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0. ∴q ＝－1或q ＝2.]9．C [因为a 23＝a 1·a 9， 所以(a 1＋2d)2＝a 1·(a 1＋8d)．所以a 1＝d.所以a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝3a 1＋10d 3a 1＋13d ＝1316.]10．C [设原杂质数为1，各次过滤杂质数成等比数列，且a 1＝1，公比q ＝1－20%，∴a n ＋1＝(1－20%)n ，由题意可知：(1－20%)n <5%，即0.8n <0.05. 两边取对数得n lg 0.8<lg 0.05，∵lg 0.8<0，∴n>lg 0.05lg 0.8，即n>lg 5－2lg 8－1＝1－lg 2－23lg 2－1＝－lg 2－13lg 2－1≈－0.301 0－13×0.301 0－1≈13.41，取n ＝14.] 11．A [∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n＝ln (n ＋1)－ln n. 又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln (n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n ．]12．C [将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n 组n 个，即⎝⎛⎭⎫11，⎝⎛⎭⎫12，21，⎝⎛⎭⎫13，22，31，…，⎝⎛⎭⎫1n ，2n －1，…，n 1，则第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1，则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.]13．－4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝23＋5d ≥0a 7＝23＋6d<0，解得－235≤d<－236，∵d ∈Z ，∴d ＝－4. 14．216解析 设插入的三个数为a q ，a ，aq ，则由题意有83，a ，272也为等比数列，所以a 2＝83×272＝36，由于83，a ，272都处在奇数位上，所以同号，故a ＝6，从而aq·a ·aq ＝a 3＝216.15.⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2， n ≥2解析 a n ＋1＝13S n ，a n ＋2＝13S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝13(S n ＋1－S n )＝13a n ＋1∴a n ＋2＝43a n ＋1 (n ≥1)．∵a 2＝13S 1＝13，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2， n ≥2.16．20解析 ∵S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10<0；S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)>0.∴当n ≤19时，S n <0；当n ≥20时，S n >0. 故使S n >0的n 的最小值是20.17．(1)解 设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明 因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ，所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n ＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×121－12＝1－12n <1.18．解 (1)∵S n ＝43a n －13×2n ＋1＋23，n ＝1,2,3，…，①令n ＝1，得a 1＝S 1＝43a 1－13×4＋23，解得a 1＝2，n ≥2时，S n －1＝43a n －1－13×2n ＋23.②①－②得：a n ＝S n －S n －1＝43(a n －a n －1)－13×2n .∴a n ＝4a n －1＋2n ，a n ＋2n ＝4a n －1＋4×2n －1.∴{a n ＋2n }是首项为a 1＋2＝4，公比为4的等比数列．即a n ＋2n ＝4×4n －1＝4n ，b ＝1,2,3，…， ∴a n ＝4n －2n ，n ＝1,2,3，….证明 (2)将a n ＝4n －2n 代入①得：S n ＝43(4n －2n )－13×2n ＋1＋23＝13(2n ＋1－1)(2n ＋1－2)＝23(2n ＋1－1)(2n －1)， T n ＝2n S n ＝32×2n (2n ＋1－1)(2n －1)＝32⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1－1(n ＝1,2,3…)， ∴∑i ＝1nT i ＝32∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1－1＝32×⎝⎛⎭⎫121－1－12n ＋1－1<32. 19．解 当n ＝1时，B 1＝b 1，∴b 1＝14(b 1＋1)2，解得b 1＝1.当n ≥2时，b n ＝B n －B n －1＝14(b n ＋1)2－14(b n －1＋1)2＝14(b 2n －b 2n －1＋2b n －2b n －1)， 整理得b 2n －b 2n －1－2b n －2b n －1＝0， ∴(b n ＋b n －1)(b n －b n －1－2)＝0. ∵b n ＋b n －1>0，∴b n －b n －1－2＝0.∴{b n }为首项b 1＝1，公差d ＝2的等差数列．∴b n ＝2(n －1)＋1＝2n －1，即{b n }的通项b n ＝2n －1.20．解 (1)由题意可知，该市逐年投入的电力型公交车数量组成一个等比数列，其中a 1＝128，q ＝1＋50%＝1.5，到2016年应为a 7，则到2016年该市应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1·q 6＝128×1.56＝1 458(辆)．(2)设经过n 年电力型公交车数量开始超过该市公交车总量的13，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，依题意有S n 10 000＋S n >13，即S n >5 000，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝128(1－1.5n )1－1.5＝256(1.5n －1)>5 000，即1.5n >65732，解得n >7.5，故n ≥8.所以到2017年底，电力型公交车数量开始超过该市公交车总量的13.21．解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q >0且⎩⎪⎨⎪⎧1＋2d ＋q 4＝21，1＋4d ＋q 2＝13.解得d ＝2，q ＝2. 所以a n ＝1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝q n －1＝2n －1. (2)a n b n ＝2n －12n －1. S n ＝1＋321＋522＋…＋2n －32n －2＋2n －12n －1，①2S n ＝2＋3＋52＋…＋2n －32n －3＋2n －12n －2.②②－①得S n ＝2＋2＋22＋222＋…＋22n －2－2n －12n －1＝2＋2×⎝⎛⎭⎫1＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n －1＝2＋2×1－12n －11－12－2n －12n －1＝6－2n ＋32n －1.22．(1)证明 令b n ＝a n ＋1－a n ＋3 ⇒b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＋3＝2a n ＋1＋3(n ＋1)－4－2a n －3n ＋4＋3 ＝2(a n ＋1－a n ＋3)＝2b n .∴数列{b n }为公比为2的等比数列． (2)解 a 2＝2a 1－1＝－3，b 1＝a 2－a 1＋3＝1⇒b n ＝a n ＋1－a n ＋3＝2n －1⇒2a n ＋3n －4－a n ＋3＝2n －1⇒a n ＝2n －1－3n ＋1 (n ∈N ＋)．(3)解 设数列{a n }的前n 项和为T n ，T n ＝2n －1－n (2＋3n －1)2＝2n －1－n (3n ＋1)2，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，∵n ≤4时，a n <0，n >4时，a n >0，∴n ≤4时，S n ＝－T n ＝1＋n (3n ＋1)2－2n；n >4时，S n ＝T n －2T 4＝2n ＋21－n (3n ＋1)2.∴S n＝⎩⎨⎧1＋n (3n ＋1)2－2n (n ≤4)，2n＋21－n (3n ＋1)2(n >4).。
高中数学第二章数列2.2.1等差数列(第1课时)等差数列的概念及通项公式学案(含解析)新人教B版必修5
学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．知识点一 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零． 知识点二 等差中项的概念如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 与y 的等差中项，且A ＝x ＋y2.思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b . 答案 插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)a ＋b2.知识点三 等差数列的通项公式若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用叠加法证明．1．数列4,4,4，……是等差数列．( √ ) 2．数列3,2,1是等差数列．( √ )3．数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n ＋1，n ≥2，则{a n }是等差数列．( × )4．等差数列{a n }中，a 1，n ，d ，a n 任给三个，可求其余．( √ )题型一 等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a ，a ，a ，a ，a ，….解 由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列．反思感悟 判断一个数列是不是等差数列，就是判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n ＋1－a n (n ≥1，n ∈N ＋)是不是一个与n 无关的常数． 跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5(n ∈N ＋)，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列 答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2， ∴{a n }是公差为2的等差数列． 题型二 等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列． 解 ∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.反思感悟 在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项． 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项． 解 由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得3m ＋3n ＝18，即m ＋n ＝6. 所以m 和n 的等差中项为m ＋n2＝3.题型三 等差数列通项公式的求法及应用 例3 在等差数列{a n }中，(1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10.解 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝15.a 1＋16d ＝39，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝2，所以a n ＝7＋2(n －1)＝2n ＋5. 令2n ＋5＝91，得n ＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项．(2)设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝－1.∴a n ＝12＋(n －1)×(－1)＝13－n ， 所以a 10＝13－10＝3.反思感悟 根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{a n }中的每一项均可用a 1和d 表示，这里的a 1和d 就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量．跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ 解 (1)由a 1＝8，a 2＝5，得d ＝a 2－a 1＝5－8＝－3， 由n ＝20，得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1.由题意，令－401＝－4n －1，得n ＝100， 即－401是这个数列的第100项．等差数列的判定与证明典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n，且a 1＝1. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 由a n ＋1＝3a n ＋3n，两边同时除以3n ＋1，得a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋13，即a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝13. 由等差数列的定义知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以a 13＝13为首项，13为公差的等差数列．(2)解 由(1)知a n 3n ＝13＋(n －1)×13＝n3，故a n ＝n ·3n -1，n ∈N ＋.典例2 已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)． (1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由； (2)求{a n }的通项公式．解 (1)当n ≥3时，a n ＝a n －1＋2，即a n －a n －1＝2， 而a 2－a 1＝0不满足a n －a n －1＝2(n ≥3)， ∴{a n }不是等差数列．(2)当n ≥2时，a n 是等差数列，公差为2. 当n ≥2时，a n ＝1＋2(n －2)＝2n －3， 又a 1＝1不适合上式，∴{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2.[素养评析] (1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)或a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可．(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养.1．下列数列不是等差数列的是( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2答案 D2．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n (n ∈N ＋)，则它的公差d 为( ) A ．2B ．3C ．－2D ．－3 答案 C解析 由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.3．已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30°B．60°C．90°D．120° 答案 B解析 因为A ，B ，C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ， 又因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以3B ＝180°，从而B ＝60°.4．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列D ．不是等差数列 答案 B解析 由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }是公差为13的等差数列．5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( ) A ．92B ．47C ．46D ．45 答案 C解析 d ＝－1－1＝－2，设－89为第n 项，则－89＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·(－2)，∴n ＝46.1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法 (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列． 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1．设数列{a n }(n ∈N ＋)是公差为d 的等差数列，若a 2＝4，a 4＝6，则d 等于( ) A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 D解析 ∵a 4－a 2＝2d ＝6－4＝2.∴d ＝1.2．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A ．52B ．62C ．－62D ．－52 答案 A解析 公差d ＝－2－(－5)＝3，a 20＝a 1＋(20－1)d ＝－5＋19×3＝52. 3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．52B ．51C ．50D ．49 答案 A解析 因为2a n ＋1－2a n ＝1，a 1＝2，所以数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列，所以a 101＝a 1＋100d ＝2＋100×12＝52.4．若5，x ，y ，z ，21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．26B ．29C ．39D ．52 答案 C解析 ∵5，x ，y ，z ，21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项． ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26， ∴x ＋y ＋z ＝39.5．已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A ．15B ．22C ．7D ．29 答案 A解析 设{a n }的首项为a 1，公差为d ， 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.6．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项答案 B解析 ∵a 1＝20，d ＝－3，∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ， ∴a 7＝2＞0，a 8＝－1<0.故数列中第一个负数项是第8项．7．一个等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ，则a b等于( ) A.14B.12C.13D.23 答案 C解析 ∵b 是x,2x 的等差中项，∴b ＝x ＋2x 2＝3x2，又∵x 是a ，b 的等差中项，∴2x ＝a ＋b ，∴a ＝x 2，∴a b ＝13.8．在数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 4等于( ) A.12B.13C.14D.16 答案 A 解析 由题意可得2a 4＋1＝1a 2＋1＋1a 6＋1，解得a 4＝12，故选A. 二、填空题9．若一个等差数列的前三项为a,2a －1,3－a ，则这个数列的通项公式为__________________． 答案 a n ＝n4＋1，n ∈N ＋解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54.∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74，∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n4＋1，n ∈N ＋.10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案6766解析 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3.三、解答题12．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，求{a n }的通项公式． 解 设数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12. 13．已知数列{a n }满足a n ＋1＝6a n －4a n ＋2，且a 1＝3(n ∈N ＋)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明 由1a n ＋1－2＝16a n －4a n ＋2－2＝a n ＋26a n －4－2a n ＋2＝a n ＋24a n －8＝a n －2＋44a n －2＝1a n －2＋14， 得1a n ＋1－2－1a n －2＝14，n ∈N ＋，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列． (2)解 由(1)知1a n －2＝1a 1－2＋(n －1)×14＝n ＋34， 所以a n ＝2n ＋10n ＋3，n ∈N ＋.14．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，则a 10＝________. 答案110解析 易知a n ≠0，∵数列{a n }满足a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，∴1a n －1a n －1＝1(n ≥2，n ∈N ＋)，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为1，首项为1，∴1a 10＝1＋9＝10，∴a 10＝110.15．已知数列{a n }满足：a 1＝10，a 2＝5，a n －a n ＋2＝2(n ∈N ＋)，求数列{a n }的通项公式． 解 由a n －a n ＋2＝2知，{a n }的奇数项，偶数项 分别构成公差为－2的等差数列．当n ＝2k －1时，2k ＝n ＋1，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·(－2)＝12－2k ， ∴a n ＝12－(n ＋1)＝11－n (n 为奇数)．当n ＝2k 时，a 2k ＝a 2＋(k －1)·(－2)＝5－2k ＋2＝7－2k . ∴a n ＝7－n (n 为偶数)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7－n ，n 为偶数，11－n ，n 为奇数.。
「精品」高中数学 第2章 数列 2.3 等比数列 第2课时 等比数列的性质同步课件 新人教B版必修5-精品资料
方程时，可以据后三个成等比用a、q表示四个数，也可以据前
三个成等差，用a、d表示四个数，由于中间两数之积为16，将
中间两个数设为
a q
，aq这样既可使未知量减少，同时解方程也
较为方便．
(2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为x，则第
二个数为
16 x
，则第一个数为
32 x
－x，最后一个数为
x3 16
[解析] ∵a7＝a3q4，∴q4＝aa73＝2， ∴a11＝a7·q4＝6×2＝12.
6．(2015·北京文，16)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10， a4－a3＝2.
(1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7.问：b6与数列{an}的 第几项相等？
[解析] 由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d ＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，
这三个数可表示为2－d,2,2＋d， ①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝ 6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8. ②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝ －6，或d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4. ③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)， ∴d＝0(舍去)． 综上可知此三数为－4,2,8.
易错疑难辨析
三个正数能构成等比数列，它们的积是27，平 方和为91，则这三个数为________．
[错解] 1,3,9或－1,3，－9 设三数为aq，a，aq，则
aq·a·aq＝27
①
aq2＋a2＋a2q2＝91
②
由①得a＝3代入②中得q＝±3或q＝±13. ∴当q＝3时，三数为1,3,9；当q＝－3时，三数为－1，3， －9；当q＝13时三数为9,3,1；当q＝－13时，三数为－9,3，－1. 综上可知此三数为1,3,9或－1,3，－9.
最新高中数学第二章数列2.3.1第2课时等比数列的性质同步精选测试新人教B版必修5最新0711318
同步精选测试 等比数列性质(建议用时：45分钟)[基础测试]一、选择题1.等比数列{a n }的公比q ＝－14，a 1＝2，则数列{a n }是( )A.递增数列B.递减数列C.常数数列D.摆动数列【解析】 因为等比数列{a n }的公比为q ＝－14，a 1＝2，故a 2<0，a 3>0，…所以数列{a n }是摆动数列.【答案】 D2.对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A.a 1，a 3，a 9成等比数列 B.a 2，a 3，a 6成等比数列 C.a 2，a 4，a 8成等比数列 D.a 3，a 6，a 9成等比数列【解析】 设等比数列的公比为q ，因为a 6a 3＝a 9a 6＝q 3，即a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列.故选D.【答案】 D3.已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(a ∈N ＋)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A.－5B.－15C.5D.15【解析】 ∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n ， ∴数列{a n }是以3为公比的等比数列， ∴a 2＋a 4＋a 6＝a 2(1＋q 2＋q 4)＝9，∴a 5＋a 7＋a 9＝a 5(1＋q 2＋q 4)＝a 2q 3(1＋q 2＋q 4)＝35， ∴log 1335＝－5.【答案】 A4.在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是( )A.3B.27C.3或27D.15或27【解析】 设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，a －62＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27. 【答案】 C5.已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2,3，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )【导学号：18082097】A.n (2n －1)B.(n ＋1)2C.n 2D.(n －1)2【解析】 因为{a n }为等比数列，所以a 5·a 2n －5＝a 2n . 由a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，得a 2n ＝22n.又因为a n ＞0，所以a n ＝2n，所以log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2，故选C.【答案】 C 二、填空题6.在等比数列{a n }中，a 3＝16，a 1a 2a 3…a 10＝265，则a 7等于________. 【解析】 ∵a 1a 2a 3…a 10＝(a 3a 8)5＝265， ∴a 3a 8＝213.∵a 3＝16＝24，∴a 8＝29＝512. 又∵a 8＝a 3q 5，∴q ＝2，∴a 7＝a 8q ＝5122＝256.【答案】 2567.在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每纵列成等比数列，则x ＋y ＋z 的值为________.【解析】 ∵x 2＝24，∴x ＝1.∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6. 同理，第二行后两格中数字分别为2.5,3.∴y ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123，z ＝6·⎝ ⎛⎭⎪⎫124. ∴x ＋y ＋z ＝1＋5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋6·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝3216＝2.【答案】 28.某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m 倍，那么该单位此年的月平均增长率是________.【解析】 由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均增长率只需利用a 12a 1＝m ，所以月平均增长率为11m －1. 【答案】11m －1三、解答题9.若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，求p ＋q 的值.【解】 不妨设a >b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，∴a >0，b >0，又a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列.∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝－22，a －2＝2b ，①或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝b －2，ab ＝4，②解①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，解②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.10.在等比数列{a n }中，a 4＝23，a 3＋a 5＝209.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的公比大于1，且b n ＝log 3a n2，求证：数列{b n }为等差数列，并求其前n项和S n .【导学号：18082098】【解】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0，a 4q ＋a 4q ＝209.因为a 4＝23，所以1q ＋q ＝103，解得q ＝13或q ＝3.当q ＝13时，a 1＝18，所以a n ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n－1＝2×33－n；当q ＝3时，a 1＝281，所以a n ＝281×3n －1＝2×3n －5.(2)证明：由(1)及数列{a n }的公比大于1， 得q ＝3，a n ＝2×3n －5，所以b n ＝log 3a n2＝log 33n －5＝n －5，所以b n －b n －1＝1(常数). 又因为b 1＝log 3a 12＝－4，所以数列{b n }是首项为－4，公差为1的等差数列. 所以S n ＝n b 1＋b n2＝12n 2－92n . [能力提升]1.等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( ) A.±2 B.±4 C.2 D.4 【解析】 ∵T 13＝4T 9. ∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9. ∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15， ∴(a 8·a 15)2＝4.∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列，∴q >0.∴a 8a 15＝2. 【答案】 C2.公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A.16B.14C.4D.49【解析】 ∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0， ∵b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4. ∴b 6b 8＝b 27＝16. 【答案】 A3.设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.【解析】 由题意知，数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，说明{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，由于{a n }中连续四项至少有一项为负，∴q <0.又∵|q |>1，∴{a n }的连续四项为－24,36，－54,81. ∴q ＝36－24＝－32，∴6q ＝－9. 【答案】 －94.在等差数列{a n }中，公差 d ≠0，a 2是a 1与a 4的等比中项.已知数列a 1，a 3，ak 1，ak 2，…，ak n ，…成等比数列，求数列{k n }的通项k n .【解】 依题设得a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 22＝a 1a 4， ∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，整理得d 2＝a 1d ， ∵d ≠0，∴d ＝a 1，得a n ＝nd .∴由已知得d,3d ，k 1d ，k 2d ，…，k n d ，…是等比数列.又d ≠0，∴数列1,3，k 1，k 2，…，k n ，…也是等比数列，首项为1，公比为q ＝31＝3，由此得k 1＝9.等比数列{k n }的首项k 1＝9，公比q ＝3，∴k n ＝9×q n －1＝3n ＋1(n ＝1,2,3，…)，即得到数列{k n }的通项为k n ＝3n ＋1.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
2016-2017学年高二数学人教B版必修5学案第2章《习题课数列求和》
习题课 数列求和[学习目标] 1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式.2.掌握数列求和的几种基本方法．[预习导引] 1．基本求和公式(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2)等比数列前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .2．数列{a n }的a n 与S n 的关系数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.3．拆项成差求和经常用到下列拆项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)． (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .要点一 分组分解求和例1 求和：S n ＝(x ＋1x )2＋(x 2＋1x 2)2＋…＋(x n ＋1x n )2.解 当x ≠±1时，S n ＝(x ＋1x )2＋(x 2＋1x 2)2＋…＋(x n ＋1x n )2＝(x 2＋2＋1x 2)＋(x 4＋2＋1x 4)＋…＋(x 2n ＋2＋1x 2n )＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n )＋2n ＋(1x 2＋1x 4＋…＋1x 2n )＝x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －2(1－x －2n )1－x －2＋2n ＝(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ；当x ＝±1时，S n ＝4n .综上知，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ，x ＝±1，(x 2n－1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ，x ≠±1.规律方法 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．跟踪演练1 求数列{a n }：1,1＋a,1＋a ＋a 2，…，1＋a ＋a 2＋…＋a n －1，…的前n 项和S n (其中a ≠0)．解 当a ＝1时，则a n ＝n ，于是S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当a ≠1时，a n ＝1－a n 1－a ＝11－a(1－a n )．∴S n ＝11－a [n －(a ＋a 2＋…＋a n)]＝11－a [n －a (1－a n )1－a ]＝n 1－a －a (1－a n )(1－a )2.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，a ＝1，n1－a －a (1－a n )(1－a )2，a ≠1.要点二 错位相减法求和例2 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得a 1＝3，d ＝－1，故a n ＝3－(n －1)＝4－n . (2)由(1)知，b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1，若q ≠1，上式两边同乘以q .qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n ，两式相减得：(1－q )S n ＝1＋q 1＋q 2＋…＋q n －1－n ·q n＝1－q n1－q－n ·q n . ∴S n ＝1－q n (1－q )2－n ·q n 1－q ＝n ·q n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(1－q )2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (q ＝1)，nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(1－q )2(q ≠1).规律方法 用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．跟踪演练2 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .解 (1)∵a n ＋1＝2S n ，∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝2S n ， ∴S n ＋1＝3S n .又∵S 1＝a 1＝1，∴数列{S n }是首项为1，公比为3的等比数列．∴S n ＝3n －1(n ∈N ＋)．当n ≥2时，a n ＝2S n －1＝2·3n －2，且a 1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2.(2)T n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ， 当n ＝1时，T 1＝1；当n ≥2时，T n ＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n ·3n －2，① ∴3T n ＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n ·3n －1，②①－②得－2T n ＝2＋2(31＋32＋…＋3n －2)－2n ·3n －1 ＝2＋2·3(1－3n －2)1－3－2n ·3n －1＝－1＋(1－2n )·3n －1，∴T n ＝12＋(n －12)3n －1(n ≥2)，又∵T 1＝a 1＝1也满足上式， ∴T n ＝12＋(n －12)3n －1(n ∈N ＋)．要点三 裂项相消求和例3 求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，n ≥2.解 ∵1n 2－1＝1(n －1)(n ＋1)＝12(1n －1－1n ＋1)， ∴原式＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(1n －1－1n ＋1)]＝12(1＋12－1n －1n ＋1)＝34－2n ＋12n (n ＋1). 规律方法 如果数列的通项公式可转化为f (n ＋1)－f (n )的形式，常采用裂项求和法． 跟踪演练3 求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n .解 ∵a n ＝11＋2＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)，∴S n ＝2(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2nn ＋1.要点四 奇偶并项求和例4 求和：S n ＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n (2n －1)．解 当n 为奇数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n ＋5)＋(2n －3)]＋(－2n ＋1)＝2·n －12＋(－2n ＋1)＝－n .当n 为偶数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n ＋3)＋(2n －1)]＝2·n2＝n .∴S n ＝(－1)n ·n (n ∈N ＋)．跟踪演练4 已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n ·(3n －2)，…，求其前n 项和S n . 解 n 为偶数时，令n ＝2k (k ∈N ＋)， S n ＝S 2k ＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)2k (6k －2) ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k ＋5)＋(6k －2)] ＝3k ＝32n ；当n 为奇数时，令n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)． S n ＝S 2k ＋1＝S 2k ＋a 2k ＋1＝3k －(6k ＋1)＝－3n ＋12.∴S n＝⎩⎨⎧－3n ＋12(n 为奇数)，3n2 (n 为偶数).1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16 D.130答案 B解析 ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－16)＝1－16＝56.2．数列112，214，318，4116，…的前n 项和为( )A.12(n 2＋n ＋2)－12n B.12n (n ＋1)＋1－12n －1 C.12(n 2－n ＋2)－12n D.12n (n ＋1)＋2(1－12n ) 答案 A解析 112＋214＋318＋…＋(n ＋12n )＝(1＋2＋…＋n )＋(12＋14＋…＋12n )＝n (n ＋1)2＋12(1－12n )1－12＝12(n 2＋n )＋1－12n ＝12(n 2＋n ＋2)－12n .3．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( ) A ．11B ．99C ．120D ．121 答案 C 解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.4．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝23a 1＋13，解得a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(23a n ＋13)－(23a n －1＋13)＝23a n －23a n －1，整理可得13a n ＝－23a n －1，即a na n －1＝－2，故数列{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列， 故a n ＝(－2)n －1.求数列前n 项和，一般有下列几种方法．1．错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 2．分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．3．拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．4．奇偶并项：当数列通项中出现(－1)n 或(－1)n ＋1时，常常需要对n 取值的奇偶性进行分类讨论．5．倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导方法．一、基础达标1．数列12·5，15·8，18·11，…，1(3n －1)·(3n ＋2)，…的前n 项和为( )A.n3n ＋2 B.n6n ＋4 C.3n 6n ＋4 D.n ＋1n ＋2答案 B解析 由数列通项公式，得1(3n －1)·(3n ＋2)＝13(13n －1－13n ＋2)，所以S n ＝13(12－15＋15－18＋18－111＋…＋13n －1－13n ＋2)＝13(12－13n ＋2)＝n6n ＋4.2．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn 所确定的数列{b n }的前n 项之和是( ) A ．n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.12n (n ＋7) 答案 C解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝n2(2n ＋4)＝n 2＋2n .∴b n ＝n ＋2，∴b n 的前n 项和S n ＝n (n ＋5)2.3．在数列{a n }中，已知S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是( ) A ．13 B ．－76 C ．46 D ．76答案 B解析 S 15＝－4×7＋a 15＝－28＋57＝29，S 22＝－4×11＝－44，S 31＝－4×15＋a 31＝－4×15＋121＝61，S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76.故选B.4．已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n－1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N ＋)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 答案 C解析 ∵b n ＝a m (n －1)(q ＋q 2＋…＋q m )，∴b n ＋1b n ＝a nm (q ＋q 2＋…＋q m )a m (n －1)(q ＋q 2＋…＋q m )＝a nm a m (n －1)＝q m (常数)． ∴{b n }是等比数列，公比为q m . 又∵c n ＝(a m (n －1))m q 1＋2＋…＋m＝(a m (n －1))m∴c n ＋1c n ＝(a mn a m (n －1))m＝(q m )m ＝(常数)． ∴{c n }是等比数列，公比为.5．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 50＝________.答案 －25解析 S 50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25. 6．数列11,103,1005,10007，…的前n 项和S n ＝________. 答案109(10n－1)＋n 2 解析 数列的通项公式a n ＝10n ＋(2n －1)．所以S n ＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n ＋2n －1)＝(10＋102＋…＋10n )＋[1＋3＋…＋(2n －1)]＝10(1－10n )1－10＋n (1＋2n －1)2＝109(10n－1)＋n 2.7．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .所以，a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1) ＝14(1n －1n ＋1)，所以T n ＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14(1－1n ＋1)＝n4(n ＋1)， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).8．已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n . 解 (1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ， S n ＝19n ＋12n (n －1)×(－2)＝20n －n 2.(2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1，∴b n ＝3n －1－2n ＋21，T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12.二、能力提升9．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A.n 24＋7n 4 B.n 23＋5n 3 C.n 22＋3n 4 D ．n 2＋n答案 A解析 由题意设等差数列公差为d ，则a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝0.∵d ≠0，∴d ＝12，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 24＋74n . 10．已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后相邻两项之和，则这个数列的前2014项之和S 2014等于( ) A ．2008B ．2010C ．1D ． 0答案 B解析 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2008,2009,1，－2008，－2009，－1,2008,2009. 由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0. ∵2014＝6×335＋4，∴S 2014＝S 4 ＝2008＋2009＋1＋(－2008)＝2010.11．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝______.答案 2n －12解析 ∵{a n }为等比数列，且a 1＝12，a 4＝－4，∴q 3＝a 4a 1＝－8，∴q ＝－2，∴a n ＝12(－2)n －1，∴|a n |＝2n －2，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1－2n )1－2＝2n －12.12．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)由b n ＝na n ＝n ·22n－1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1，① 从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.②①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1， 即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．三、探究与创新13．已知数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N ＋. (1)证明数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求{a n }的通项公式以及S n .(1)证明 由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N ＋，可得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4， 两式相减得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1，从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，所以a 2＋a 1＝2a 1＋6，又a 1＝5，所以a 2＝11，从而a 2＋1＝2(a 1＋1)， 故总有a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ∈N ＋，又a 1＝5，a 1＋1＝6≠0，则a n ＋1≠0，从而a n ＋1＋1a n ＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是首项为6，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)得a n ＋1＝6·2n －1，所以a n ＝6·2n －1－1，于是S n ＝6·(1－2n )1－2－n ＝6·2n －n －6.。
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习题课 数列求和[学习目标] 1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式.2.掌握数列求和的几种基本方法．[预习导引] 1．基本求和公式(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d .(2)等比数列前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q.2．数列{a n }的a n 与S n 的关系数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.3．拆项成差求和经常用到下列拆项公式 (1)1nn ＋1＝1n －1n ＋1. (2)12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)．(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .要点一 分组分解求和例1 求和：S n ＝(x ＋1x )2＋(x 2＋1x 2)2＋…＋(x n＋1xn )2.解 当x ≠±1时，S n ＝(x ＋1x )2＋(x 2＋1x 2)2＋…＋(x n＋1xn )2＝(x 2＋2＋1x 2)＋(x 4＋2＋1x 4)＋…＋(x 2n＋2＋1x2n )＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n)＋2n ＋(1x 2＋1x 4＋…＋1x2n )＝x 2x 2n －1x 2－1＋x －21－x －2n 1－x－2＋2n＝x 2n －1x 2n ＋2＋1x 2n x 2－1＋2n ；当x ＝±1时，S n ＝4n .综上知，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ，x ＝±1，x 2n－1x 2n ＋2＋1x 2n x 2－1＋2n ，x ≠±1.规律方法 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和． 跟踪演练1 求数列{a n }：1,1＋a,1＋a ＋a 2，…，1＋a ＋a 2＋…＋a n －1，…的前n 项和S n (其中a ≠0)．解 当a ＝1时，则a n ＝n ，于是S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.当a ≠1时，a n ＝1－a n1－a ＝11－a(1－a n)．∴S n ＝11－a [n －(a ＋a 2＋…＋a n)]＝11－a [n －a 1－a n1－a]＝n1－a －a 1－a n1－a2. ∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋12，a ＝1，n 1－a－a1－an 1－a2，a ≠1.要点二 错位相减法求和例2 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(4－a n )qn －1(q ≠0，n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得a 1＝3，d ＝－1，故a n ＝3－(n －1)＝4－n . (2)由(1)知，b n ＝n ·qn －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1，若q ≠1，上式两边同乘以q .qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n ，两式相减得：(1－q )S n ＝1＋q 1＋q 2＋…＋q n －1－n ·q n＝1－q n1－q －n ·q n. ∴S n ＝1－qn1－q2－n ·q n 1－q ＝n ·q n ＋1－n ＋1q n ＋11－q2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋12 q ＝1，nq n ＋1－n ＋1q n ＋11－q2q ≠1.规律方法 用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．跟踪演练2 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .解 (1)∵a n ＋1＝2S n ，∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝2S n ， ∴S n ＋1＝3S n .又∵S 1＝a 1＝1，∴数列{S n }是首项为1，公比为3的等比数列．∴S n ＝3n －1(n ∈N ＋)．当n ≥2时，a n ＝2S n －1＝2·3n －2，且a 1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2.(2)T n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ， 当n ＝1时，T 1＝1；当n ≥2时，T n ＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n ·3n －2， ① ∴3T n ＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n ·3n －1，②①－②得－2T n ＝2＋2(31＋32＋…＋3n －2)－2n ·3n －1＝2＋2·31－3n －21－3－2n ·3n －1＝－1＋(1－2n )·3n －1，∴T n ＝12＋(n －12)3n －1(n ≥2)，又∵T 1＝a 1＝1也满足上式， ∴T n ＝12＋(n －12)3n －1(n ∈N ＋)．要点三 裂项相消求和例3 求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，n ≥2.解 ∵1n 2－1＝1n －1n ＋1＝12(1n －1－1n ＋1)， ∴原式＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(1n －1－1n ＋1)]＝12(1＋12－1n －1n ＋1)＝34－2n ＋12n n ＋1. 规律方法 如果数列的通项公式可转化为f (n ＋1)－f (n )的形式，常采用裂项求和法． 跟踪演练3 求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n .解 ∵a n ＝11＋2＋…＋n ＝2nn ＋1＝2(1n －1n ＋1)， ∴S n ＝2(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2nn ＋1.要点四 奇偶并项求和例4 求和：S n ＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n －1)．解 当n 为奇数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n ＋5)＋(2n －3)]＋(－2n ＋1) ＝2·n －12＋(－2n ＋1)＝－n .当n 为偶数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n ＋3)＋(2n －1)]＝2·n2＝n .∴S n ＝(－1)n·n (n ∈N ＋)．跟踪演练4 已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n·(3n －2)，…，求其前n 项和S n . 解 n 为偶数时，令n ＝2k (k ∈N ＋)，S n ＝S 2k ＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)2k (6k －2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k ＋5)＋(6k －2)] ＝3k ＝32n ；当n 为奇数时，令n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)．S n ＝S 2k ＋1＝S 2k ＋a 2k ＋1＝3k －(6k ＋1)＝－3n ＋12. ∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋12n 为奇数，3n2 n 为偶数.1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n n ＋1，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16 D.130答案 B 解析 ∵a n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴S 5＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－16)＝1－16＝56.2．数列112，214，318，4116，…的前n 项和为( )A.12(n 2＋n ＋2)－12n B.12n (n ＋1)＋1－12n －1 C.12(n 2－n ＋2)－12n D.12n (n ＋1)＋2(1－12n ) 答案 A解析 112＋214＋318＋…＋(n ＋12n )＝(1＋2＋…＋n )＋(12＋14＋…＋12n )＝n n ＋12＋121－12n 1－12＝12(n 2＋n )＋1－12n ＝12(n 2＋n ＋2)－12n . 3．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( )A ．11B ．99C ．120D ．121 答案 C 解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.4．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝23a 1＋13，解得a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(23a n ＋13)－(23a n －1＋13)＝23a n －23a n －1，整理可得13a n ＝－23a n －1，即a na n －1＝－2，故数列{a n}是以1为首项，－2为公比的等比数列，故a n＝(－2)n－1.求数列前n项和，一般有下列几种方法．1．错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．2．分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．3．拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．4．奇偶并项：当数列通项中出现(－1)n或(－1)n＋1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论．5．倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导方法．。