高中数学等差数列教案
高三数学数列教案5篇
高三数学数列教案5篇高三数学数列教案1等差数列(一)教学目标：明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题;培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的'应用意识.教学重点： 1.等差数列的概念的理解与掌握. 2.等差数列的通项公式的推导及应用. 教学难点：等差数列“等差”特点的理解、把握和应用. 教学过程：Ⅰ.复习回顾上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面我们看这样一些例子Ⅱ.讲授新课 10，8，6，4，2，; 21，21，22，22，23，23，24，24，25 2，2，2，2，2，首先，请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点?是否可以写出这些数列的通项公式?(引导学生积极思考，努力寻求各数列通项公式，并找出其共同特点) 它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数. 也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列.1.定义等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得： (n-1)个等式若将这n-1个等式左右两边分别相加，则可得：an-a1=(n-1)d 即：an=a1+(n-1)d 当n=1时，等式两边均为a1，即上述等式均成立，则对于一切n∈N-时上述公式都成立，所以它可作为数列{an}的通项公式. 看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项. 由通项公式可类推得：am=a1+(m-1)d，即：a1=am-(m-1)d，则： an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d. 如：a5=a4+d=a3+2d=a2+3d=a1+4d请同学们来思考这样一个问题. 如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b 成等差数列，那么A应满足什么条件? 由等差数列定义及a、A、b成等差数列可得：A-a=b-A，即：a=. 反之，若A=，则2A=a+b，A-a=b-A，即a、A、b成等差数列. 总之，A= a，A，b成等差数列. 如果a、A、b成等差数列，那么a叫做a与b 的等差中项. 例题讲解 [例1]在等差数列{an}中，已知a5=10，a15=25，求a25.思路一：根据等差数列的已知两项，可求出a1和d，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a25.思路二：若注意到已知项为a5与a15，所求项为a25，则可直接利用关系式an=am+(n-m)d.这样可简化运算. 思路三：若注意到在等差数列{an}中，a5，a15，a25也成等差数列，则利用等差中项关系式，便可直接求出a25的值.[例2](1)求等差数列8，5，2的第20项. 分析：由给出的三项先找到首项a1,求出公差d，写出通项公式，然后求出所要项答案：这个数列的第20项为-49. (2)-401是不是等差数列-5，-9，-13的项?如果是，是第几项? 分析：要想判断-401是否为这数列的一项，关键要求出通项公式，看是否存在正整数n，可使得an=-401. ∴-401是这个数列的第100项.Ⅲ.课堂练习1.(1)求等差数列3，7，11，的'第4项与第10项.(2)求等差数列10，8，6，的第20项. (3)100是不是等差数列2，9，16，的项?如果是，是第几项?如果不是，说明理由. 2.在等差数列{an}中，(1)已知a4=10，a7=19，求a1与d;(2)已知a3=9，a9=3，求a12.Ⅳ.课时小结通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an-an-1=d(n≥2).其次，要会推导等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d(n≥1)，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：an=am+(n-m)d的理解与应用以及等差中项。
人教版高三数学必修五《等差数列》教案及教学反思
人教版高三数学必修五《等差数列》教案及教学反思一、引言等差数列是高中数学中的重要内容，它在数学中的运用十分广泛。
在教学过程中，我们需要注重培养学生的思维能力和解决问题的能力，让他们能够灵活地运用所学知识，提高数学应用能力。
本文将会介绍人教版高三数学必修五《等差数列》的教学反思和教案。
二、教学反思1. 教学目标通过本次授课，我们的教学目标是：•掌握等差数列的概念，理解等差数列的性质和运用；•能够分析等差数列的通项公式和求和公式，灵活掌握运用；•培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
2. 教学内容本次授课的教学内容包括：•等差数列的定义、通项公式和求和公式；•等差数列的性质和运用；•等差中项和等差数列的应用。
3. 教学方法我们采用了多种教学方法，包括：•讲授法：通过精心准备的PPT和示例，向学生讲解等差数列的定义、通项公式和求和公式，并阐述等差数列的性质和运用；•互动式教学法：通过提问、举例和解题过程中的互动讨论，培养学生的思考能力和分析问题的能力；•组织小组讨论：通过小组讨论，让学生自主探索等差数列的应用，培养学生的团队合作精神和创新精神。
4. 教学效果经过本次教学，我们发现学生的数学知识水平有了明显的提高。
在讲解等差数列的性质和运用时，学生能够将数学知识与实际问题结合起来，灵活掌握应用技巧。
在解题过程中，学生能够主动思考和分析问题，掌握解题方法，并能够独立解答一些复杂题目。
三、教案设计1. 教学目标通过本节课的教学，让学生掌握等差数列的相关概念、性质和运用，并能够通过实际问题，灵活运用所学知识，提高数学应用能力。
2. 教学内容和教学步骤：第一步：引入通过实际问题导入，引发学生兴趣，激发学生对等差数列的认识和探索欲望。
第二步：讲授•定义等差数列的概念，并介绍等差数列的通项公式和求和公式。
•阐述等差数列的性质和运用，主要包括公差、项、数列取值等。
•介绍等差中项的概念，引入等差中项的应用。
第三步：练习通过练习巩固所学知识，提高学生的运用能力。
高中数学等差数列教案大全
高中数学等差数列教案大全一、教学目标1.理解等差数列的基本概念和相关术语。
2.能够推导等差数列通项公式。
3.掌握等差数列求和公式及其应用。
二、教学内容1. 等差数列的概念和相关术语等差数列的定义等差数列是一种特殊的数列，它的每一项与前一项的差相等。
这个差值称为等差数列的公差，通常用字母d表示。
相关术语•首项：等差数列中的第一项。
•公差：等差数列中相邻项之间的差。
•通项公式：等差数列中第n项的通项公式。
•前n项和：等差数列中前n项的和。
2. 推导等差数列通项公式等差数列通项公式可以表示任意一项，只要已知它是等差数列中的第几项即可。
接下来介绍如何推导等差数列通项公式。
推导步骤假设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为an。
推导通项公式的步骤如下：1.找规律：观察等差数列的前几项，列出它们之间的关系。
2.建立方程：将观察到的关系式写成一个方程。
3.解方程：解出通项公式。
例子若等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为an，则观察前几项可得：a₁, a₁+d, a₁+2d, a₁+3d, ...由此得出任意一项的通项公式为：an = a₁ + (n-1)d3. 掌握等差数列求和公式及其应用求和公式等差数列前n项和是一个关于n的二次函数，因此可以求出通项公式。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sn，则有：Sn = (a₁ + an) × n / 2将an代入上式，化简可得：Sn = n/2 ( 2a₁ + (n-1)d )应用等差数列求和公式的应用十分广泛，例如可以用来求某一个等差数列中的前n 项和，或者求某几项的和等问题。
三、教学方法在教学过程中，可以采用多种教学方法，例如板书演示、课堂讲解、课堂练习等，以帮助学生更好地掌握等差数列的概念和应用。
四、教学流程第一步：引入问题通过引入一些等差数列的实例，让学生感性理解等差数列的基本概念和相关术语。
第二步：讲解等差数列的定义和相关术语让学生了解等差数列的基本定义和相关术语。
【教案】等差数列第二课时教学设计-(人教A版(2019)选择性必修第二册)
《4.21等差数列的概念（2）》教学设计（一）教学内容等差数列的性质及实际应用（二）教材分析1. 教材来源本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》2. 地位与作用数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。
而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓（三）学情分析1.认知基础：同学们已经掌握了等差数列的通项公式及递推公式。
2.认知障碍：在具体的举例下，等差数列的性质及应用比较容易。
（四）教学目标1. 知识目标：①能根据等差数列的定义推出等差数列的性质，并能运用这些性质简化运算.②能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题2.能力目标：培养学生观察与归纳能力。
3.素养目标：通过推导等差数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等差数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.（五）教学重难点：1. 重点：等差数列的性质及其应用2.难点：等差数列的性质的推导（六）教学思路与方法教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段（七）课前准备多媒体（八）教学过程分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列{a n}，由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元，可以利用{a n}的通项公式列不等式求解。
解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{a n}．由已知条件，得a n＝a n−1－d（n≥2）．所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列.因为a1＝220－d，所以a n＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.由题意，得a10≥11，a11＜11.即：{220－10d≥11220－11d＜11解得19<d≤20.9所以，d的求值范围为19<d≤20.9例4. 已知等差数列{an }的首项a1＝2，d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.(1)求数列{bn}的通项公式.(2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，请说明理由.通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？。
高中数学等差数列说课稿(通用8篇)
高中数学等差数列说课稿〔通用8篇〕高中数学等差数列说课稿〔通用8篇〕高中数学等差数列说课稿篇1一、教材分析^p1、教材的地位和作用：《等差数列》是人教版新课标教材《数学》必修5第二章第二节的内容。
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。
而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的根底上，对数列的知识进一步深化和拓广。
同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习比照的根据。
2、教学目的根据教学大纲的要求和学生的实际程度，确定了本次课的教学目的a知识与技能：理解并掌握等差数列的概念；理解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。
培养学生观察、分析^p 、归纳、推理的才能；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移才能；通过阶梯性练习，进步学生分析^p 问题和解决问题的才能。
b.过程与方法：在教学过程中我采用讨论式、启发式的方法使学生深化的理解不完全归纳法。
c.情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，培养学生主动探究、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析^p 、擅长总结的良好思维习惯。
3、教学重点和难点重点：①等差数列的概念。
②等差数列的通项公式的推导过程及应用。
难点：①等差数列的通项公式的推导②用数学思想解决实际问题二、学情教法分析^p ：对于高一学生，知识经历已较为丰富，具备了一定的抽象思维才能和演绎推理才能，所以我本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学理论活动，以独立考虑和互相交流的形式，在教师的指导下发现、分析^p 和解决问题。
学生在初中时只是简单的接触过等差数列，详细的公式还不会用，因些在公式应用上加强学生的理解三、学法分析^p ：在引导分析^p 时，留出学生的考虑空间，让学生去联想、探究，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
2025年高中数学高考精品备课教案：等差数列
等差数列课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n 项和公式，理解等差数列的通项公式与前n 项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系.等差数列的基本运算2023新高考卷ⅠT20；2023全国卷乙T18；2023全国卷甲T5；2022新高考卷ⅡT3；2022全国卷乙T13；2021新高考卷ⅡT17；2021北京T6；2019全国卷ⅠT9；2019全国卷ⅢT14本讲的命题热点为等差数列的基本运算、等差数列的判定与证明、等差数列的性质的应用、等差数列前n 项和的最值，在客观题和主观题中都有可能出现，难度中等.考查学生的函数与方程思想和数学运算能力.预计2025年高考命题稳定，重点掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式及其变形应用，同时也要关注等差数列与其他知识的综合运用.等差数列的判定与证明2023新高考卷ⅠT7；2022全国卷甲T17；2021全国卷乙T19；2021全国卷甲T18等差数列的性质2020全国卷ⅡT4；2020新高考卷ⅠT14等差数列前n 项和的最值2022全国卷甲T17学生用书P0931.等差数列的概念（1）等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的①差都等于②同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.（2）等差中项如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的③等差中项，且A ＝④＋2.（3）等差数列的通项公式及其变形通项公式：⑤a n＝a1＋（n－1）d，其中a1是首项，d是公差.通项公式的变形：a n＝a m＋（n－m）d（m，n∈N*）.由an＝dn＋（a1－d）可知，当d≠0时，a n可看作关于n的一次函数.规律总结等差数列的单调性当d＞0时，数列{a n}为递增数列；当d＜0时，数列{a n}为递减数列；当d＝0时，数列{a n}为常数列.2.等差数列的前n项和（1）等差数列的前n项和公式：S n＝（1＋）2＝⑥na1＋（－1）2d.（2）由S n＝na1＋（－1）2d＝2n2＋（a1－2）n可知，当d≠0时，S n可看作关于n的二次函数，故可借助二次函数的图象和性质来研究S n的最值问题.3.等差数列的性质（1）等差数列项的性质设数列{a n}，{b n}均为等差数列.a.若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则a k＋a l＝a m＋a n，特别地，若p＋q＝2m，则⑦a p＋a q＝2a m.反之不一定成立.b.若{a n}公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为⑧2d.c.{pa n＋qb n}（p，q为常数）也是等差数列.d.若{a n}与{b n}有公共项，则{a n}与{b n}的公共项从小到大排成的新数列也是等差数列，首项是第一个相同的公共项，公差是{a n}与{b n}的公差的⑨最小公倍数.e.若{a n}公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…（k，m∈N*）组成公差为⑩md的等差数列，即下标成等差数列，则相应的项也成等差数列.f.若c是非零常数，则{}是等比数列.（2）等差数列前n项和的性质设S n为等差数列{a n}的前n项和.a.{}是等差数列，其首项等于⑪a1，公差是{a n}的公差的12.b.S m，S2m－S m，S3m－S2m，…（m∈N*）是等差数列.c.两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和S n，T n之间的关系为2－1＝⑫.2－11.[教材改编]如果三角形的三个内角成等差数列，则中间角的大小为60°.解析由题意可设三个内角分别为x－d，x，x＋d，则有（x－d）＋x＋（x＋d）＝180°，可得x＝60°.2.若等差数列{a n}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝8时，{a n}的前n项和最大.解析由a7＋a8＋a9＞0可得a8＞0，由a7＋a10＜0可得a8＋a9＜0，所以a9＜0，所以当n ＝8时，{a n}的前n项和最大.3.[教材改编]已知{a n}为等差数列，且a20＝30，a30＝20，则a50＝0.解析由题意可得，公差d＝20－3030－20＝－1，所以a50＝a20＋30d＝30－30＝0.4.[教材改编]某公司购置了一台价值220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，每经过一年，其价值减少20万元.当设备价值低于购进价值的5％时，设备将报废，则该机器最多使用10年.解析设使用n年后，该设备的价值为a n万元，则易知{a n}是以（220－20）为首项，－20为公差的等差数列，所以a n＝（220－20）＋（n－1）×（－20）＝220－20n.令220－20n≥220×5％，得n≤10.45，所以该设备最多使用10年.5.已知等差数列{a n}的项数为奇数，其中所有奇数项和为290，所有偶数项和为261，则该数列的项数为19.解析设等差数列{a n}的前n项和为S n，项数为2k－1，则奇偶＝－1＝290261，解得k＝10，则项数为2×10－1＝19.6.[易错题]已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋a n＋1＝n，则a20＝9.解析因为a n＋a n＋1＝n，所以a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，…，a19＋a20＝19.因为a1＝1，所以可得a1＝1，a3＝2，a5＝3，a7＝4，…，和a2＝0，a4＝1，a6＝2，a8＝3，…，奇数项、偶数项分别构成等差数列，所以a2k＝k－1（k∈N*），所以a20＝10－1＝9.学生用书P094命题点1等差数列的基本运算例1[2023全国卷甲]记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝（C）A.25B.22C.20D.15解析解法一由a 2＋a 6＝10，可得2a 4＝10，所以a 4＝5，又a 4a 8＝45，所以a 8＝9.设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝8－48－4＝9－54＝1，又a 4＝5，所以a 1＝2，所以S 5＝5a 1＋5×42×d ＝20，故选C.解法二设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 2＋a 6＝10，可得a 1＋3d ＝5①，由a 4a 8＝45，可得（a 1＋3d ）（a 1＋7d ）＝45②，由①②可得a 1＝2，d ＝1，所以S 5＝5a 1＋5×42×d＝20，故选C.例2[2023新高考卷Ⅰ]设等差数列{a n }的公差为d ，且d ＞1.令b n ＝2＋，记S n ，T n 分别为数列{a n }，{b n }的前n 项和.（1）若3a 2＝3a 1＋a 3，S 3＋T 3＝21，求{a n }的通项公式；（2）若{b n }为等差数列，且S 99－T 99＝99，求d .解析（1）因为3a 2＝3a 1＋a 3，所以3（a 2－a 1）＝a 1＋2d ，所以3d ＝a 1＋2d ，所以a 1＝d ，所以a n ＝nd .因为b n ＝2＋，所以b n ＝2＋B＝r1，所以S 3＝3（1＋3）2＝3（r3）2＝6d ，T 3＝b 1＋b 2＋b 3＝2＋3＋4＝9.因为S 3＋T 3＝21，所以6d ＋9＝21，解得d ＝3或d ＝12，因为d ＞1，所以d ＝3.所以{a n }的通项公式为a n ＝3n .（2）因为b n ＝2＋，且{b n }为等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，即2×62＝21＋123，所以61＋－11＝61+2，所以12－3a 1d ＋2d 2＝0，解得a 1＝d 或a 1＝2d .①当a 1＝d 时，a n ＝nd ，所以b n ＝2＋＝2＋B＝r1，S 99＝99（1＋99）2＝99（r99）2＝99×50d ，T 99＝99（1＋99）2＝99（2＋100）2＝99×51.因为S 99－T 99＝99，所以99×50d －99×51＝99，即50d 2－d －51＝0，解得d ＝5150或d ＝－1（舍去）.②当a 1＝2d 时，a n ＝（n ＋1）d ，所以b n ＝2＋＝2＋（r1）＝，S 99＝99（1＋99）2＝99（2r100）2＝99×51d ，T 99＝99（1＋99）2＝99（1＋99）2＝99×50.因为S 99－T 99＝99，所以99×51d －99×50＝99，即51d 2－d －50＝0，解得d ＝－5051（舍去）或d ＝1（舍去）.综上，d ＝5150.方法技巧1.等差数列基本运算中常用的数学思想方程思想等差数列中有五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，一般可“知三求二”，通过列方程（组）求解.整体思想将已知和所求都用a 1和d 表示，寻求两者之间的联系，整体代换求解.2.等差数列基本运算中常用的设元技巧若三个数成等差数列，可将三个数设为a －d ，a ，a ＋d ；若四个数成等差数列，可将四个数设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .训练1（1）[2021北京高考]已知{a n }和{b n }是两个等差数列，且（1≤k ≤5）是常值，若a 1＝288，a 5＝96，b 1＝192，则b 3的值为（C）A.64 B.100C.128D.132解析因为{a n }和{b n }是两个等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5＝288＋96＝384，所以a 3＝192，又当1≤k ≤5时，是常值，所以33＝11，即1923＝288192，从而b 3＝128.故选C.（2）[2022全国卷乙]记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若2S 3＝3S 2＋6，则公差d ＝2.解析因为2S 3＝3S 2＋6，所以2（3a 1＋3d ）＝3（2a 1＋d ）＋6，化简得3d ＝6，解得d ＝2.命题点2等差数列的判定与证明例3[2021全国卷甲]已知数列{a n }的各项均为正数，记S n 为{a n }的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n }是等差数列；②数列{}是等差数列；③a 2＝3a 1.解析①③⇒②.已知数列{a n }是等差数列，a 2＝3a 1.设数列{a n}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，故d＝2a1，所以S n＝na1＋（－1）2d＝n2a1.因为数列{a n}的各项均为正数，所以＝n1，所以r1－＝（n＋1）1－n1＝1（常数），所以数列{}是等差数列.①②⇒③.已知数列{a n}是等差数列，{}是等差数列.设数列{a n}的公差为d，则S n＝na1＋（－1）2d＝12dn2＋（a1－2）n.因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项是关于n的一次函数，则a1－2＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{}的公差为d，则d＞0，2－1＝41－1＝d，得a1＝d2，所以＝1＋（n－1）d＝nd，所以S n＝n2d2，所以a n＝S n－S n－1＝n2d2－（n－1）2d2＝2d2n－d2（n≥2），a1＝d2也满足上式，所以a n＝2d2n－d2.因为a n－a n－1＝2d2n－d2－[2d2（n－1）－d2]＝2d2（常数）（n≥2），所以数列{a n}是等差数列.方法技巧等差数列的判定与证明的方法定义法a n－a n－1（n≥2，n∈N*）为同一常数⇔{a n}是等差数列＝a n＋a n－2（n≥3，n∈N*）成立⇔{a n}是等差数列等差中项法2a n－1通项公式法a n＝pn＋q（p，q为常数）对任意的正整数n都成立⇔{a n}是等差数列前n项和S n＝An2＋Bn（A，B为常数）对任意的正整数n都成立⇔{a n}是等差数列公式法训练2（1）[2023新高考卷Ⅰ]设S n为数列{a n}的前n项和，设甲：{a n}为等差数列；乙：{}为等差数列.则（C）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析若{a n}为等差数列，设其公差为d，则a n＝a1＋（n－1）d，所以S n＝na1＋（－1）2d，所以＝a1＋（n－1）·2，所以r1r1－＝a1＋（n＋1－1）·2－[a1＋（n－1）·2]＝2，为常数，所以{}为等差数列，即甲⇒乙；若{}为等差数列，设其公差为t，则＝11＋（n－1）t＝a1＋（n－1）t，所以S n＝na1＋n（n－1）t，所以当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝na1＋n（n－1）t－[（n－1）a1＋（n－1）（n－2）t]＝a1＋2（n－1）t，当n＝1时，S1＝a1也满足上式，所以a n＝a1＋2（n－1）t（n∈N*），所以a n＋1－a n＝a1＋2（n＋1－1）t －[a1＋2（n－1）t]＝2t，为常数，所以{a n}为等差数列，即甲⇐乙.所以甲是乙的充要条件，故选C.（2）[多选/2023福建莆田九中质检]已知数列{a n}的前n项和为S n，则下列结论正确的是（BCD）A.若数列{S n}为等差数列，则数列{a n}为等差数列B.若数列{}为等差数列，则数列{a n}为等差数列C.若数列{a n}和{2}均为等差数列，则S3＝2a3D.若数列{a n}和{2}均为等差数列，则数列{a n}是常数列解析对于A，若数列{S n}为等差数列，设公差为d，可得a n＝S n－S n－1＝d（n≥2），但是首项a1的值不确定，所以数列{a n}不一定为等差数列，故选项A错误；对于B，若数列{}为等差数列，设公差为d'，则＝S1＋（n－1）d'，可得S n＝nS1＋n（n－1）d'，当n＝1时，a1＝S1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝nS1＋n（n－1）d'－（n－1）S1－（n－1）（n－2）d'＝S1＋（2n－2）d'，则a n－a n－1＝2d'（n≥3），由a2＝S1＋2d'，a1＝S1，得a2－a1＝2d'，所以a n－a n－1＝2d'（n≥2），故数列{a n}为等差数列，故选项B正确；对于C，由数列{a n}为等差数列，可设a n＝kn＋b，k，b为常数，则2＝k2n2＋2kbn＋b2，所以2＝k2n＋2kb＋2，因为数列{2}为等差数列，所以n≥2时，2－－12－1＝k2＋2－2－1＝k2＋b2（1－1－1）为常数，则b2＝0，所以b＝0，故a n＝kn，所以S3＝a1＋a2＋a3＝6k，又a3＝3k，所以S3＝2a3，故选项C正确；对于D，由数列{a n}为等差数列，可设a n＝pn＋q，p，q为常数，则2＝p2n2＋2pqn＋q2，因为{2}为等差数列，所以2－－12＝（2n－1）p2＋2pq为常数，则p＝0，所以a n＝q，则数列{a n}是常数列，故选项D正确.故选BCD.命题点3等差数列的性质例4（1）[新高考卷Ⅰ]将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为3n2－2n.解析{2n－1}与{3n－2}的第一个公共项为1，则易知{a n}是以1为首项，2×3＝6为公差的等差数列，则S n＝n＋（－1）2×6＝3n2－2n.（2）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且63＝3，则129＝53.解析设S3＝m（m≠0），则S6＝3m.因为{a n}为等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…成等差数列，公差为m，所以可推出S9＝6m，S12＝10m，故129＝53.训练3（1）数列{a n}，{b n}均为等差数列，且a1＝－5，b1＝－15，a2025＋b2025＝100，则数列{a n＋b n}的前2025项和为81000.解析易得数列{a n＋b n}为等差数列，首项为a1＋b1＝－20，∴{a n＋b n}的前2025项和为2025×－20+1002＝81000.（2）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若＝23r1，则1111＝2132，1011＝1932.解析由题意可得1111＝211211＝1＋211＋21＝（1＋21）×21÷2（1＋21）×21÷2＝2121＝2×213×21+1＝2132.由＝23r1＝2232＋及等差数列前n项和性质可设S n＝A·2n2，T n＝A（3n2＋n）（A≠0），∴a10＝S10－S9＝A（2×102－2×92）＝38A，b11＝T11－T10＝A[（3×112＋11）－（3×102＋10）]＝64A，∴1011＝3864＝1932.命题点4等差数列前n项和的最值例5[2022全国卷甲]记S n为数列{a n}的前n项和.已知2＋n＝2a n＋1.（1）证明：{a n}是等差数列.（2）若a4，a7，a9成等比数列，求S n的最小值.解析（1）由2＋n＝2a n＋1，得2S n＋n2＝2a n n＋n①，所以2S n＋1＋（n＋1）2＝2a n＋1（n＋1）＋（n＋1）②，＋2n＋1＝2a n＋1（n＋1）－2a n n＋1，②－①，得2a n＋1－a n＝1，所以数列{a n}是公差为1的等差数列.化简得a n＋1（2）由（1）知数列{a n}的公差为1.由72＝a4a9，得（1+6）2＝（a1＋3）（a1＋8），解得a1＝－12.所以S n＝－12n＋（－1）2＝2－252＝12（n－252）2－6258，所以当n＝12或n＝13时，S n取得最小值，最小值为－78.方法技巧求等差数列前n项和S n的最值的方法（1）通项法：①若a1＞0，d＜0，则S n必有最大值，n可用不等式组≥0，r1≤0来确定；②若a1＜0，d＞0，则S n必有最小值，n可用不等式组≤0，r1≥0来确定.（2）二次函数法：由于S n＝2n2＋（a1－2）n，故可用二次函数求最值的方法求S n的最值，结合n∈N*及二次函数图象的对称性来确定n的值.（3）不等式组法：一般情况下，S n最大时，有≥－1，≥r1（n≥2，n∈N*），解得n的范围，进而确定n的值和对应的S n的值（即S n的最值）.训练4等差数列{a n}的前n项和为S n，若∀n∈N*，S n≤S7，则数列{a n}的通项公式可能是（B）A.a n＝16－3nB.a n＝15－2nC.a n＝2n－14D.a n＝2n－15解析因为数列{a n}是等差数列，且∀n∈N*，S n≤S7，所以该数列从第8项起为非正数，即a7≥0，a8≤0.对于A，a7＝16－3×7＝－5＜0，故A不正确；对于B，a7＝15－2×7＝1＞0，a8＝15－2×8＝－1＜0，故B正确；对于C，a7＝2×7－14＝0，a8＝2×8－14＝2＞0，故C不正确；对于D，a7＝2×7－15＝－1＜0，故D不正确.故选B.1.[命题点1/2021新高考卷Ⅱ]记S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求使S n＞a n成立的n的最小值.解析（1）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），则由题意，得1+2=51+10，（1＋p(1+3）=41+6，解得1＝－4，=2，所以a n ＝a 1＋（n －1）d ＝2n －6.（2）解法一S n ＝（1＋）2＝（2－10）2＝n 2－5n ，则由n 2－5n ＞2n －6，整理得n 2－7n ＋6＞0，解得n ＜1或n ＞6.因为n ∈N *，所以使S n ＞a n 成立的n 的最小值为7.解法二由S n ＞a n 得S n －1＞0（n ≥2），即（1＋－1)(－1）2＞0，所以a 1＋a n －1＝2n －12＞0，解得n ＞6，所以n 的最小值为7.2.[命题点2/多选]两个等差数列{a n }和{b n }，其公差分别为d 1和d 2，其前n 项和分别为S n 和T n ，则下列说法正确的是（AB）A.若{}为等差数列，则d 1＝2a 1B.若{S n ＋T n }为等差数列，则d 1＋d 2＝0C.若{a n b n }为等差数列，则d 1＝d 2＝0D.若b n ∈N *，则{}也为等差数列，且公差为d 1＋d 2解析由题意得S n ＝12n 2＋（a 1－12）n ，T n ＝22n 2＋（b 1－22）n .若数列{}为等差数列，则由等差数列通项公式的特征，可得a 1－12＝0，即d 1＝2a 1，所以选项A 正确；S n ＋T n ＝1＋22n 2＋（a 1＋b 1－12－22）n ，由等差数列通项公式的特征，可得1＋22＝0，即d 1＋d 2＝0，所以选项B 正确；当d 1＝0或d 2＝0时，数列{a n b n }为等差数列，所以选项C 错误；因为a n ＝a 1＋（n －1）d 1，b n ＝b 1＋（n －1）d 2，b n ∈N *，所以＝1＋（－1）2＝a 1＋[b 1＋（n －1）d 2－1]d 1＝（a 1＋b 1d 1－d 1）＋（n －1）d 1d 2，可知数列{}是等差数列，且公差为d 1d 2，所以选项D 错误.故选AB.3.[命题点2/2021全国卷乙]记S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2＋1＝2.（1）证明：数列{b n }是等差数列.（2）求{a n }的通项公式.解析（1）因为b n 是数列{S n }的前n 项积，所以当n ≥2时，S n ＝－1，代入2＋1＝2可得，2－1＋1＝2，整理可得2b n－1＋1＝2b n，即b n－b n－1＝12（n≥2）.又21＋11＝31＝2，所以b1＝32，故{b n}是以32为首项，12为公差的等差数列.（2）由（1）可知，b n＝r22，则2＋2r2＝2，所以S n＝r2r1，当n＝1时，a1＝S1＝32，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝r2r1－r1＝－1（r1）.当n＝1时，a1＝32≠－11×2＝－12，故a n =1，1（r1），≥2.4.[命题点4]在等差数列{a n}中，若109＜－1，且它的前n项和S n 有最大值，则使S n＞0成立的正整数n的最大值是（C）A.15B.16C.17D.14解析因为等差数列{a n}的前n项和有最大值，所以等差数列{a n}为递减数列，又109＜－1，所以a9＞0，a10＜0，所以a9＋a10＜0，所以S18＝18（1＋18）2＝9（a9＋a10）＜0，且S17＝17（1＋17）2＝17a9＞0.故使得S n＞0成立的正整数n的最大值为17.学生用书·练习帮P3031.[2024河南名校模拟]设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2＋a5＋a8＝15，则S9＝（C）A.15B.30C.45D.60解析由题意得a 2＋a 5＋a 8＝3a 5＝15，所以a 5＝5，所以S 9＝9（1＋9）2＝9a 5＝45.故选C.2.[2024湖北武汉模拟]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 1＝3，22＋44＝18，则S 5＝（C）A.21B.48C.75D.83解析解法一令b n ＝，则数列{b n }为等差数列.b 1＝11＝3，22＋44＝b 2＋b 4＝18，设数列{b n }的公差为d ，则3＋d ＋3＋3d ＝18，解得d ＝3，∴b n ＝3n ，即＝3n .∴S n ＝3n 2，故S 5＝3×52＝75.故选C.解法二设等差数列{a n }的公差为d ，则＝B 1＋（－1）2＝a 1＋－12d ，又因为a 1＝S 1＝3，则22＋44＝a 1＋2＋a 1＋32d ＝2a 1＋2d ＝6＋2d ＝18，解得d ＝6，因此S 5＝5a 1＋5×42d ＝5a 1＋10d ＝5×3＋10×6＝75.故选C.3.[2024吉林白城模拟]已知等差数列{a n }是递增数列，且满足a 3＋a 5＝14，a 2a 6＝33，则a 1a 7＝（C）A.33 B.16C.13D.12解析由等差数列的性质，得a 2＋a 6＝a 3＋a 5＝14，又a 2a 6＝33，解得2=3，6=11或2=11，6=3，又{a n }是递增数列，∴2=3，6=11，∴d ＝6－26－2＝2，∴a 1a 7＝（a 2－d ）（a 6＋d ）＝（3－2）×（11＋2）＝13.故选C.4.[2023陕西宝鸡模拟]已知首项为2的等差数列{a n }的前30项中，奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，且B －A ＝45，则a n ＝（B ）A.3n －2B.3n －1C.3n ＋1D.3n ＋2解析在等差数列{a n }中，首项a 1＝2，设其公差为d ，由前30项中奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，且B －A ＝45，可得－a 1＋a 2－…－a 29＋a 30＝15d ＝45，解得d ＝3，∴a n ＝a 1＋（n －1）d ＝2＋3（n －1），即a n ＝3n －1，故选B.5.[多选/2024山东模拟]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，a 3＝a 1－4，S 7＝154，则（AC）A.d ＝－2B.a1＝30C.－320是数列{a n}中的项D.S n取得最大值时，n＝14解析由题意可得a3＝a1＋2d＝a1－4，即d＝－2，A正确；S7＝154＝7a1＋7×62d⇒a1＝28，B错误；a n＝a1＋（n－1）d＝30－2n，令a n＝－320，得n＝175，即C正确；S n＝（1＋）2＝n（29－n），结合二次函数图象的对称性及单调性，可知当n＝14或n＝15时，S n取得最大值，即D错误.故选AC.6.[2023广州市二检]在数列{a n}中，a1＝2，a m＋n＝a m＋a n（m，n∈N*），若a k a k＋1＝440，则正整数k＝10.解析解法一令m＝1，则a n＋1＝a n＋a1，即a n＋1－a n＝2，所以数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，即a n＝2＋（n－1）×2＝2n，又k为正整数，所以a k a k＋1＝2k×2（k＋1）＝440，即k（k＋1）＝110，解得k＝10或k＝－11（舍去）.故填10.解法二（列举法）令m＝n＝1，则a2＝a1＋a1＝4；令m＝1，n＝2，则a3＝a1＋a2＝6；令m＝n＝2，则a4＝a2＋a2＝8.通过观察找规律可知，数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，即a n＝2＋（n－1）×2＝2n，又k为正整数，所以a k a k＋1＝2k×2（k＋1）＝440，即k（k＋1）＝110，解得k＝10或k＝－11（舍去）.故填10.7.[2024江西抚州模拟改编]在数列{a n}中，已知a n＋1－a n＝a n＋2－a n＋1，a1013＝1，则该数列前2025项的和S2025＝2025.解析由a n＋1－a n＝a n＋2－a n＋1可知，数列{a n}为等差数列，所以a1＋a2025＝2a1013＝2，所以S2025＝（1＋2025）×20252＝2×20252＝2025.8.[2024广州大学附属中学模拟]设数列{a n}和{b n}都为等差数列，记它们的前n项和分别为S n和T n，若＝2－12r1，则＝r2.解析由数列{a n}和{b n}都为等差数列，且＝2－12r1，令a n＝k（2n－1），b n＝k（2n＋1），k≠0，k为常数，因此等差数列{a n}的首项a1＝k，等差数列{b n}的首项b1＝3k，所以＝1＋2·1＋2·＝1＋1＋＝＋（2－1）3＋（2r1）＝r2.9.[2024浙江普陀中学模拟]已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2.（1）记c n＝r1·r1，证明：数列{c n}的前n项和T n＜12.（2）若S n＝2a n＋14－2n＋3（n∈N*），证明：数列{2}为等差数列，并求{a n}的通项公式.解析（1）∵c n＝r1·r1＝1－1r1，∴T n＝11－12＋12－13＋13－14＋…＋1－1－1＋1－1r1＝11－1r1＝12－1r1.∵数列{a n}为正项数列，∴S n＋1＞0，∴12－1r1＜12，即T n＜12.＝2a n－1＋14－2n＋2，（2）当n≥2且n∈N*时，S n－1∴a n＝S n－S n－1＝2a n＋14－2n＋3－2a n－1－14＋2n＋2＝2a n－2a n－1－2n＋2，整理可得a n－2a n－1＝2n＋2，∴2－－12－1＝4（n≥2），当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋14－21＋3，得a1＝2，12＝1，∴数列{2}是以1为首项，4为公差的等差数列，∴2＝1＋4（n－1）＝4n－3，∴a n＝（4n－3）·2n.10.[2024四川南充校考]若一个凸n（n∈N*）边形的最小内角为95°，其他内角依次增加10°，则n的值为（B）A.6或12B.6C.8D.12解析由题知该凸n边形所有内角的取值范围为（0°，180°），内角和为（n－2）·180°.因为最小内角为95°，其他内角依次增加10°，所以它的所有内角按从小到大的顺序排列构成等差数列，且最大内角为95°＋（n－1）·10°＝（10n＋85）°，所以（n－2）·180＝（95+10r85）2，即n2－18n＋72＝0，解得n＝6或n＝12，当n＝12时，95°＋（12－1）×10°＞180°，不合题意，舍去，故n＝6，故选B.11.[2024湖北孝感高中模拟]设等差数列{a n}的前n项和为S n，满足2a3－a5＝7，a2＋S7＝12，则S n的最大值为（B）A.14B.16C.18D.20解析设{a n}的公差为d，则由题意得2a3－a5＝2（a1＋2d）－（a1＋4d）＝a1＝7，a2＋S7＝（a1＋d）＋（7a1＋7×62d）＝56＋22d＝12，d＝－2.因此S n＝7n＋（－1）2×（－2）＝－（n－4）2＋16≤16，故S n的最大值为16.故选B.12.[全国卷Ⅱ]北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（C）A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块解析由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{a n}，设数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，易知其首项a1＝9，d＝9，所以a n＝a1＋（n －1）d＝9n.由等差数列的性质知S n，S2n－S n，S3n－S2n也成等差数列，所以（S3n－S2n）－（S2n－S n）＝S2n－2S n，即729＝2（9+18）2－2×（9+9）2，解得n＝9，所以三层共有扇面形石板的块数为S3n＝S27＝27×（9+27×9）2＝3402.故选C.13.[2024江西吉安万安中学模拟]已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}与{}均为等差数列，请写出一个满足题意的{a n}的通项公式：a n＝2n－1（答案不唯一）.解析令数列{a n}的公差为d，显然a1＞0，由{}是等差数列，得1＋3＝22，即1＋31+3＝221＋，两边平方得4a1＋d＝2312+31，两边平方并整理得d＝2a1，则a n＝a1＋（n－1）d＝（2n－1）a1，此时S n＝1＋2·n＝n2a1，＝n1，有r1－＝1为常数，即{}是等差数列，所以数列{a n}的通项公式是a n＝（2n－1）a1（a1＞0），取a1＝1，得a n＝2n－1.14.已知正项数列{a n}，其前n项和S n满足a n（2S n－a n）＝1（n∈N*）.（1）求证：数列{2}是等差数列，并求出S n的表达式.（2）数列{a n}中是否存在连续三项a k，+1，+2，使得1，1r1，1r2构成等差数列？请说明理由.解析（1）依题意知，正项数列{a n}中，12＝1，得a1＝1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1，则（S n－S n－1）[2S n－（S n－S n－1）]＝1，整理得，2－－12＝1，又12＝12＝1，∴数列{2}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴2＝n（n∈N*），∴S n＝.（2）数列{a n}中不存在连续三项a k，a k＋1，a k＋2，使得1，1r1，1r2构成等差数列.理由如下：当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝－－1，∵当n＝1时，a1＝1，符合上式，∴a n＝－－1（n∈N*），∴1＝＝＋－1，假设数列{a n}中存在连续三项a k，a k＋1，a k＋2，使得1，1r1，1r2构成等差数列，则2（+1＋）＝＋－1＋+2＋+1，即+1＋＝－1＋+2，两边同时平方，得k＋1＋k＋2+1·＝k－1＋k＋2＋2－1·+2，∴（k＋1）k＝（k－1）（k＋2），整理得k2＋k＝k2＋k－2，得0＝－2，又0≠－2，∴假设错误，∴数列{a n}中不存在连续三项a k，a k＋1，a k＋2，使得1，1r1，1r2构成等差数列. 15.[等差数列与向量综合]已知S n，T n分别为等差数列{a n}，{b n}的前n项和，＝3r24r5，设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且A ＝2＋43A ＋λA ，则实数λ的值为（B）A.2825B.－925C.325D.18253×5+24×5+5解析因为P，B，C三点共线，所以2＋43＋λ＝1，所以233＋λ＝1，33＝1＋52×51＋52×5＝55＝＝1725，所以233＋λ＝3425＋λ＝1，λ＝－925.故选B.16.记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝18，S10＝165，b n＝cos（π),为奇数，sin（π),为偶数，则b1＋b2＋b3＋…＋b2025＝－1013.解析设数列{a n}的公差为d，则a6＝a1＋5d＝18，S10＝10a1＋45d＝165，得a1＝3，d＝3，所以a n＝3＋（n－1）×3＝3n，当n为奇数时，b n＝cos（3nπ）＝－1，当n为偶数时，b n＝sin（3nπ）＝0，故b1＋b2＋b3＋…＋b2025＝－1013.。
名师教学设计《等差数列》示范教学教案
《等差数列》教学设计一、教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学5》（人教A版）第二章《数列》的第二节内容，即《等差数列》第一课时。
研究等差数列的定义和通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。
本节是第二章的基础，为以后学习等差数列求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容，也是高考重点考察的内容之一，它有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。
二、教学目标1、知识与技能:(1)能够准确的说出等差数列的特点;(2)能够推导出等差数列的通项公式，并可以利用等差数列解决些简单的实际问题。
2、过程与方法:通过实例展示，让学生能从具体实例中归纳出等差数列的概念，培养学生的观察能力和抽象概括能力3、情感态度价值观:通过对等差数列的研究，激发主动探索、勇于发现的求知精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
三、教学重点难点：重点:等差数列的概念，等差数列的通项公式的推导过程及应用。
难点:等差数列通项公式的推导，用“数学建模"的思想解决实际问题。
四、教学过程（一）、情景导入：1896年，雅典举行第一届现代奥运会，到2008年的北京奥运会已经是第29届奥运会。
观察数据1896，1900，1904，…，2008，2012，（）你能预测出第31届奥运会的时间吗？思考1：1、你能根据规律在（）内填上合适的数吗？（1）1682，1758，1834，1910，1986，（2062）.（2） 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, （-20）.（3） 1，4，7，10，（），16，…（4）2， 0， -2， -4， -6，（）…看下面几个例子：（1）我们课本的页码数从小到大依次为：1, 2，3, 4，……（2）某人贷款买房，需要月均等额还款。
高中教案数学等差数列
高中教案数学等差数列
教学目标：学生能够理解等差数列的概念，掌握等差数列的性质、通项公式和求和公式，
能够解决相关问题。
教学重点：等差数列的概念和性质，通项公式和求和公式的运用。
教学难点：对等差数列通项公式和求和公式的理解和应用。
教学准备：教材《高中数学》，黑板、粉笔、教案PPT。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1.引入等差数列的概念，简单介绍等差数列的性质。
2.通过一个例子，让学生理解等差数列的特点。
二、讲解等差数列的概念和性质（15分钟）
1.定义等差数列，并介绍等差数列的特点。
2.讲解等差数列的通项公式和求和公式，说明其推导过程和应用方法。
三、练习（20分钟）
1.进行一些简单的例题演练，让学生掌握等差数列的解题方法。
2.提供一些挑战性的题目，培养学生的解决问题的能力。
四、总结和拓展（10分钟）
1.总结等差数列的知识点和解题方法。
2.拓展讨论等比数列与等差数列之间的关系。
五、作业布置（5分钟）
布置相关的练习题，巩固等差数列的知识点。
教学反思：本节课主要讲解等差数列的概念、性质、通项公式和求和公式，让学生掌握解
题方法和应用技巧。
通过丰富的练习题目，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
同时，通过拓展讨论等比数列与等差数列之间的关系，拓宽学生的数学视野，提高他们的学习兴趣。
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课 题：2.2 等差数列（一）教学目的：1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点：等差数列的性质授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线)教学过程：一、复习引入：上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n 项和公式..这些方法从不同的角度反映数列的特点下面我们看这样一些例子: 2. 小明目前会100个单词，他打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为： 100，98，96，94，92 ①3. 小芳只会5个单词，他决定从今天起每天背记10个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递增为 5，15，25，35，45 ②请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课：通过练习2和3 引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。
由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。
(二) 新课探究1、由引入自然的给出等差数列的概念：如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 来表示。
强调： ① “从第二项起”满足条件；②公差d 一定是由后项减前项所得；③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）；在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：an+1-an=d (n≥1)同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。
1. 9 ，8，7，6，5，4，……；√ d=-12. 0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……；√ d=0.013. 0，0，0，0，0，0，…….; √ d=04. 1，2，3，2，3，4，……；×5. 1，0，1，0，1，……×其中第一个数列公差<0, 第二个数列公差>0,第三个数列公差=0由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是02、第二个重点部分为等差数列的通项公式在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学方法。
给出等差数列的首项，公差d ，由学生研究分组讨论a4 的通项公式。
通过总结a4的通项公式由学生猜想a40的通项公式，进而归纳an 的通项公式。
整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。
若一等差数列{an }的首项是a1,公差是d,则据其定义可得：a2 - a1 =d 即： a2 =a1 +d a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2da4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d……猜想: a40 = a1 +39d进而归纳出等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d三、例题讲解例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？解：⑴由35285,81-=-=-==d an=20，得49)3()120(820-=-⨯-+=a⑵由4)5(9,51-=---=-=d a得数列通项公式为：)1(45---=n a n由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项例2 在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求1a ,d ,n a a ,20解法一：∵105=a ，3112=a ，则⎩⎨⎧=+=+311110411d a d a ⇒⎩⎨⎧=-=321d a ∴53)1(1-=-+=n d n a a n5519120=+=d a a解法二：∵3710317512=⇒+=⇒+=d d d a a∴5581220=+=d a a 3)12(12-=-+=n d n a a n小结：第二通项公式 d m n a a m n )(-+=例3 梯子最高一级宽33cm ，最低一级宽为110cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度解：设{}n a 表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知：1a =33, 12a =110，n=12∴d a a )112(112-+=,即10=33+11d 解得：7=d因此，,61,54,47740,407335432===+==+=a a a a,103,96,89,82,75,6811109876======a a a a a a答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm ，47cm ，54cm ，61cm ，68cm ，75cm ，82cm ，89cm ，96cm ，103cm.例4 已知数列{n a }的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？分析：由等差数列的定义，要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1--n n a a （n ≥2）是不是一个与n 无关的常数解：当n ≥2时, （取数列{}n a 中的任意相邻两项1-n a 与n a （n ≥2））])1([)(1q n p q pn a a n n +--+=--p q p pn q pn =+--+=)(为常数∴{n a }是等差数列，首项q p a +=1，公差为p注：①若p=0，则{n a }是公差为0的等差数列，即为常数列q ，q ，q ，…②若p ≠0, 则{n a }是关于n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q 的图象上,一次项的系数是公差,直线在y 轴上的截距为q.③数列{n a }为等差数列的充要条件是其通项n a =pn+q (p 、q 是常数)称其为第3通项公式④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个四、练习：1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：1a =3,d =7－3=4.∴该数列的通项公式为：n a =3+（n －1）×4,即n a =4n －1（n ≥1,n ∈N *）∴4a =4×4－1=15, 10a =4×10－1=39.评述：关键是求出通项公式.（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.解：根据题意可知：1a =10,d =8－10=－2.∴该数列的通项公式为：n a =10+（n －1）×（－2）,即：n a =－2n +12,∴20a =－2×20+12=－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数.解：根据题意可得：1a =2,d =9－2=7.∴此数列通项公式为：n a =2+（n －1）×7=7n －5.令7n －5=100,解得：n =15, ∴100是这个数列的第15项.（4）－20是不是等差数列0，－321，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是， 说明理由. 解：由题意可知：1a =0,d =－321 ∴此数列的通项公式为：n a =－27n +27, 令－27n +27=－20,解得n =747 因为－27n +27=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项. 2.在等差数列{n a }中，（1）已知4a =10,7a =19,求1a 与d ;（2）已知3a =9, 9a =3,求12a .解：（1）由题意得：⎩⎨⎧=+=+19610311d a d a , 解之得：⎩⎨⎧==311d a . （2）解法一：由题意可得：⎩⎨⎧=+=+389211d a d a , 解之得⎩⎨⎧-==1111d a ∴该数列的通项公式为：n a =11+（n －1）×（－1）=12－n ,∴12a =0 解法二：由已知得：9a =3a +6d ,即：3=9+6d ,∴d =－1又∵12a =9a +3d ,∴12a =3+3×（－1）=0.Ⅳ.课时小结五、小结 通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）.其次，要会推导等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：=n a d m n a m )(-+和n a =pn+q (p 、q 是常数)的理解与应用.六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。