版高考数学专题集合与常用逻辑用语集合的关系与运算理-精
高考数学集合与常用逻辑用语
第一单元集合与常用逻辑用语第1讲集合课前双基巩固1.元素与集合(1)集合元素的性质:、、无序性.(2)集合与元素的关系:①属于,记为;②不属于,记为.(3)集合的表示方法: 列举法、和.(4)常见数集及其符号表示:2.集合间的基本关系A B或B A 3.集合的基本运算}}常用结论(1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等.(2)①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;②任何一个集合是它本身的子集;③对于集合A,B,C,若A⊆B,B⊆C,则A⊆C(真子集也满足);④若A⊆B,则有A=⌀和A≠⌀两种可能.(3)集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.(4)①并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A;②交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B;③补集的性质:A∪(∁U A)=U;A∩(∁U A)=⌀;∁U(∁U A)=A;∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B);∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B).题组一常识题1.[教材改编]已知集合A={-1,0,1,2},B={-1,1,2,5},则集合A∩B所含元素之和为.2.[教材改编]已知集合A={a,b},若A∪B={a,b,c},则满足条件的集合B有个.3.[教材改编]设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(∁U A)∪B= .4.[教材改编]已知集合A={-1,1},B={a,a2+2}.若A∩B={1},则实数a的值为.题组二常错题◆索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;集合运算中端点取值致错;对子集的概念理解不到位致错.5.已知集合A={1,3,},B={1,m},若B⊆A,则m= .6.已知集合A={x|y=log2(x+1)},集合B=y y=,x>0,则A∩B= .7.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是.8.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R},若A B,则a的取值范围为.9.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为.课堂考点探究探究点一集合的含义与表示1 (1)设集合A={x∈Z||x|≤2},B={y|y=x2+1,x∈A},则B中的元素有 ()A.5个B.4个C.3个D.无数个(2)设集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},且A,B中有唯一的公共元素9,则实数a的值为.[总结反思] (1)研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合,然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的意义.(2)依据元素与集合的关系确定参数时,往往要对集合中含参数的元素取值情况进行分类讨论,并要注意检验集合中的元素是否满足互异性.式题(1)设集合A={-1,0,2},集合B={-x|x∈A且2-x∉A},则B=()A.{1}B.{-2}C.{-1,-2}D.{-1,0}(2)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是()A.-1∉AB.-11∈AC.3k2-1∈AD.-34∉A探究点二集合间的基本关系2 (1)[2017·江西八校联考]集合M=x x=+1,n∈Z,N=y y=m+,m∈Z,则两集合M,N 的关系为()A.M∩N=⌀B.M=NC.M⊆ND.N⊆M(2)[2017·大庆三模]已知集合A={y|0≤y<a,y∈N},B={x|x2-2x-3≤0,x∈N},若A⫋B,则满足条件的正整数a所构成集合的子集的个数为()A.2B.4C.8D.16[总结反思] (1)判断两集合之间的关系的方法:当两集合不含参数时,可直接利用数轴、图示法进行判断;当集合中含有参数时,需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法.(2)要确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数,再求解.不要忽略任何非空集合是它自身的子集.(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、图示法来解决这类问题.式题(1)[2017·长沙一中月考]已知集合A={x|x2-2x≤0},B={x|x≤a},若A⊆B,则实数a的取值范围是()A.a≥2B.a>2C.a<0D.a≤0(2)[2017·临川一中模拟]若集合A∪B=B∩C,则对于集合A,B,C的关系,下列表示正确的是()A.A⊆B⊆CB.C⊆B⊆AC.B⊆C⊆AD.B⊆A⊆C探究点三集合的基本运算考向1集合的运算3 (1)[2017·保定二模]设集合P={3,log2a},Q={a,b},若P∩Q={0},则P∪Q=()A.{3,0}B.{3,0,2}C.{3,0,1}D.{3,0,1,2}(2)已知集合A={(x,y)|y=x+1,0≤x≤1},集合B={(x,y)|y=2x,0≤x≤10},则集合A∩B= ()A.{1,2}B.{x=1,y=2}C.{(1,2)}D.{x=1,x=2}(3)[2017·河西五市二模]已知全集U=R,集合A={x|y=lg(x-1)},B={y|y=},则A∩(∁B)=()UA.[1,2]B.[1,2)C.(1,2]D.(1,2)[总结反思] 解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点:(1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提.(2)对集合化简.有些集合是可以化简的,如果先化简再研究其关系并进行运算,可使问题变得简单明了,易于解决.(3)注意数形结合思想的应用.集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图.考向2利用集合运算求参数4 (1)[2017·邯郸二模]已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B有三个元素,则实数m的取值范围是()A.[3,6)B.[1,2)C.[2,4)D.(2,4](2)[2017·泰安二模]设全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},若(∁U A)∩B=⌀,则p应该满足的条件是()A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤1[总结反思] 根据集合运算结果求参数,主要有以下两种形式:(1)用列举法表示的集合,直接依据交、并、补的定义求解,重点注意公共元素;(2)由描述法表示的集合,一般先要对集合化简,再依据数轴确定集合的运算情况,特别要注意端点值的情况.考向3集合语言的运用5 设P和Q是两个集合,定义集合P-Q={x|x∈P且x∉Q},如果P={x|log2x<1},Q={x||x-2|<1},那么P-Q等于()A.{x|0<x<1}B.{x|0<x≤1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0≤x<2}[总结反思] 解决集合新定义问题,应做到:(1)准确转化.解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.(2)方法选取.对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.强化演练1.【考向1】[2017·资阳二模]设全集U=R,集合A={x|(x+1)(x-3)<0},B={x|x-1≥0},则图1-1-1中阴影部分所表示的集合为()图1-1-1A.{x|x≤-1或x≥3}B.{x|x<1或x≥3}C.{x|x≤1}D.{x|x≤-1}2.【考向1】[2017·汕头三模]已知集合A={x∈N|x<3},B={x|x=a-b,a∈A,b∈A},则A∩B=()A.{1,2}B.{-2,-1,0,1,2}C.{1}D.{0,1,2}3.【考向2】[2017·天津静海一中二模]设集合A={-1,1,2},B={a+1,a2-2},若A∩B={-1,2},则a 的值为()A.-2或-1B.0或1C.-2或1D.0或-24.【考向2】[2017·厦门一中模拟]已知集合A={x|x<a},B={x|x2-3x+2<0},若A∩B=B,则实数a 的取值范围是()A.a≤1B.a<1C.a≥2D.a>25.【考向3】若数集A={a1,a2,…,a n}(1≤a1<a2<…<a n,n≥2)具有性质P:对任意的i,j(1≤i≤j≤n),a i a j 与两数中至少有一个属于A,则称集合A为“权集”.则()A.{1,3,4}为“权集”B.{1,2,3,6}为“权集”C.“权集”中元素可以有0D.“权集”中一定有元素1第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件课前双击巩固1.命题(1)命题概念:在数学中把用语言、符号或式子表达的,能够判断的陈述句叫作命题.其中的语句叫作真命题,的语句叫作假命题.(2)四种命题及其相互关系图1-2-1注:若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真假性.2.充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q,则p是q的条件;(2)如果q⇒p,则p是q的条件;(3)如果既有p⇒q又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的条件.常用结论1.充要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件;(2)若p是q的充分不必要条件,则q是p的充分不必要条件.2.充分、必要条件与集合的关系使p成立的对象构成的集合为A,使q成立的对象构成的集合为BB⊆AA BB A题组一常识题1.[教材改编]对于下列语句:①垂直于同一直线的两条直线必平行吗?②作△ABC∽△A'B'C';③x2+2x-3<0;④四边形的内角和是360°.其中是命题的是.(填序号)2.[教材改编]下面有4个命题:①集合N中最小的数是1;②若-a不属于N,则a属于N;③若a ∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④x2+1=2x的解可表示为.其中真命题的个数为.3.[教材改编]命题“若整数a不能被2整除,则a是奇数”的逆否命题是.4.[教材改编]已知集合M={x|1<x<a},N={x|1<x<3},则“a=3”是“M⊆N”的条件. 题组二常错题◆索引:命题的条件与结论不明确;含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况;真、假命题的推理考虑不全面;对充分必要条件判断错误.5.命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是.6.已知命题“∀a,b∈R,若ab>0,则a>0”,则它的否命题是.7.若命题“ax2-2ax-3≤0成立”是真命题,则实数a的取值范围是.8.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q的条件.课堂考点探究探究点一四种命题及其相互关系1 (1)已知命题α:如果x<3,那么x<5,命题β:如果x≥3,那么x≥5,命题γ:如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正确的是()①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题;②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题;③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题.A.①③B.②C.②③D.①②③(2) 给出以下五个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;④若ab是正整数,则a,b都是正整数;⑤若f(x)单调递增,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递减.其中为真命题的是.(写出所有真命题的序号)[总结反思] (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意:①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.(3)当一个命题不易直接判断真假时,根据“互为逆否的命题同真同假”的结论,可转化为判断与其等价的命题的真假.式题(1)命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是()A.若a,b,c成等比数列,则b2≠acB.若a,b,c不成等比数列,则b2≠acC.若b2=ac,则a,b,c成等比数列D.若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列(2)[2017·枣庄二模]已知命题“若x>1,则2x<3x”,则在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3探究点二充分﹑必要条件的判断2 (1)[2017·北京卷]设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)[2017·天津卷]设θ∈R,则“θ-<”是“sin θ<”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[总结反思] 充要条件的三种判断方法:(1)定义法.根据p⇒q,q⇒p进行判断.(2)集合法.根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法.根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断,这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件.式题(1)对任意的实数x,若[x]表示不超过x的最大整数,则“-1<x-y<1”是“[x]=[y]”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)[2017·衡水一模]设p:<1,q:log2x<0,则p是q的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件探究点三充分、必要条件的应用3 (1)[2017·湖北新联考四联]若“x>2m2-3”是“-1<x<4”的必要不充分条件,则实数m的取值范围是()A.[-1,1]B.[-1,0]C.[1,2]D.[-1,2](2)已知条件p:≤-1,条件q:x2+x<a2-a,且q的一个充分不必要条件是p,则a的取值范-围是()A.--B.C.[-1,2]D.-∪[2,+∞)[总结反思] (1)求解充分、必要条件的应用问题时,一般是把充分、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.(2)求解参数的取值范围时,一定要注意对区间端点值进行检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现错误.式题(1)[2017·武汉三模]下面四个条件中,使a>b成立的必要而不充分条件是() A.a-1>b B.a+1>bC.|a|>|b|D.a3>b3(2)“直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是()A.-1≤k<3B.-1≤k≤3C.0<k<3D.k<-1或k>3第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课前双击巩固1.简单的逻辑联结词命题中的、、叫作逻辑联结词,用符号分别表示为、、.2.全称量词与存在量词(1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫作,用符号“”表示.(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作,用符号“”表示.(3)含有一个量词的命题的否定:全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定是.特称命题q:∃x0∈M,q(x0),它的否定是.常用结论1.否命题是把原命题的条件与结论都否定,命题的否定只需否定命题的结论.2.用“并集”的概念来理解“或”,用“交集”的概念来理解“且”,用“补集”的概念来理解“非”.3.记忆口诀:(1)“p或q”,有真则真;(2)“p且q”,有假则假;(3)“非p”,真假相反.4.命题p∧q的否定是p∨q;命题p∨q的否定是p∧q.题组一常识题1.[教材改编]给出下列命题:①函数y=ln x是减函数;②2是方程x+2=0的根又是方程x-2=0的根;③28是5的倍数或是7的倍数.其中是“p或q”形式的命题的是.(填序号)2.[教材改编]p∨q是真命题,q是真命题,则p是(填“真”或“假”)命题.3.已知命题p:∃x0∈R,+x0-1<0,则命题p是.4.[教材改编]命题“有的四边形是平行四边形”的否定是.题组二常错题◆索引:全称命题或特称命题的否定出错;不会利用真值表判断命题的真假;复合命题的否定中出现逻辑联结词错误;考查命题真假时忽视对参数的讨论.5.[教材改编]命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是.6.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数.则下列命题中为真命题的是.(填序号)①p∨q;②p∧q;③p∧q;④p∨q.7.已知命题:若ab=0,则a=0或b=0,则其否命题为.8.已知命题“∀x∈R,ax2+4x+1>0”是假命题,则实数a的取值范围是.课堂考点探究探究点一含逻辑联结词的命题及真假1 在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A.p∨qB.p∨qC.p∧qD.p∨q(2)给出下列两个命题:命题p:若在边长为1的正方形ABCD内任取一点M,则|MA|≤1的概率为.命题q:若函数f(x)=x+,则f(x)在区间1,上的最小值为4.那么,下列命题为真命题的是()A.p∧qB.pC.p∧qD.p∧q[总结反思] 判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤:(1)判断复合命题的结构;(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假;(3)依据“或”:一真即真,“且”:一假即假,“非”:真假相反,作出判断即可.式题(1)[2017·惠州调研]设命题p:若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则∀x∈R,f(-x)≠f(x),命题q:f(x)=x|x|在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数.则下列判断错误．．的是() A.p为假B.q为真C.p∨q为真D.p∧q为假(2)已知命题p:若x>y,则-x<-y,命题q:若x<y,则x>y2.给出命题:①p∧q;②p∨q;③p∧q;④p ∨q.其中为真命题的是()A.①③B.①④C.②③D.②④探究点二全称命题与特称命题2 (1)[2017·陕西师大附中二模]若命题p:对任意的x∈R,都有x3-x2+1<0,则p为()A.不存在x0∈R,使得-+1<0B.存在x0∈R,使得-+1<0C.对任意的x∈R,都有x3-x2+1≥0D.存在x0∈R,使得-+1≥0(2)下列命题中为假命题的是()A.∃α,β∈R,sin(α+β)=sin α+sin βB.∀φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数C.∃x0∈R,+a+bx0+c=0(a,b,c∈R且为常数)D.∀a>0,函数f(x)=(ln x)2+ln x-a有零点[总结反思] 全称命题与特称命题的真假判断及其否定:∀x∈M,p(x)式题[2017·山东师大附中二模]已知f(x)=e x-x,g(x)=ln x+x+1,命题p:∀x∈R,f(x)>0,命题q:∃x0∈(0,+∞),g(x0)=0,则下列说法正确的是()A.p是真命题,p:∃x0∈R,f(x0)<0B.p是假命题,p:∃x0∈R,f(x0)≤0C.q是真命题,q:∀x∈(0,+∞),g(x)≠0D.q是假命题,q:∀x∈(0,+∞),g(x)≠0探究点三根据命题的真假求参数的取值范围3 (1)[2017·南充一模]设p:∃x0∈1,,g(x0)=log2(t+2x0-2)有意义,若p为假命题,则t 的取值范围为.(2)[2017·湖南十三校二联]已知命题p:函数f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点; 命题q:函数y=x2-a在(0,+∞)上是减函数.若p且q为真命题,则实数a的取值范围是. [总结反思] 根据命题真假求参数的方法步骤:(1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;(3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.式题(1)[2018·衡水中学模拟]已知命题p:∃x0∈R,+ax0+a<0,若p是真命题,则实数a 的取值范围为()A.[0,4]B.(0,4)C.(-∞,0)∪(4,+∞)D.(-∞,0]∪[4,+∞)(2)[2017·太原二模]若命题“∀x∈(0,+∞),x+≥m”是假命题,则实数m的取值范围是.。
高考数学(理)总复习：集合与常用逻辑用语(解析版)
高考数学（理）总复习：集合与常用逻辑用语题型一 集合的概念、基本关系与基本运算 【题型要点】解答集合的概念、关系及运算问题的一般思路(1)正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义． (2)根据集合中元素的性质化简集合．(3)依据元素的不同属性采用不同的方法求解，此时常用到以下技巧： ①若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解； ②若已知的集合是点集，用数形结合法求解； ③若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解． 易错提醒：注意元素的互异性及空集的特殊性．【例1】已知集合A ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-021x x x，B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋4x ＋5)}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1)C ．(－1,1)D ．[－1,1]【解析】依题意，A ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-021x x x＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋4x ＋5)}＝{x |－x 2＋4x ＋5>0}＝{x |－1<x <5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥5}，A ∩(∁R B )＝(－2，－1]，选A.【答案】 A【例2】．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＜0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(0,1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)【解析】 因为A ∩B 有4个子集，所以A ∩B 中有2个不同的元素，所以a ∈A ，所以a 2－3a ＜0，解得0＜a ＜3且a ≠1，即实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.【答案】 B【例3】．已知集合A ＝⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛121xx ，B ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－2≤x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x ≤4}D ．{x |x ≤－2}【解析】 因为A ＝⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛121x x ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |x 2－2x －8≤0}＝{x |－2≤x ≤4}，所以，A ∩B ＝{x |0≤x ≤4}，故选C.【答案】 C题组训练一 集合的概念、基本关系与基本运算1．若全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的Venn 图是( )【解析】 由题意知，N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{－1,0}，而M ＝{－1,0,1}，所以N ⊆M ，故选B.【答案】 B2．设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】 ∵集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，∴x 24＋y 216＝1为椭圆和指数函数y ＝3x图象，如图，可知其有两个不同交点，记为A 1、A 2，则A ∩B 的子集应为∅，{A 1}，{A 2}，{A 1，A 2}共四种，故选B.【答案】 B3．若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R }有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．【解析】 由题意知，方程(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R ，有一个根，∴当a ＝1时满足题意，当a ≠1时，Δ＝0，即9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18.【答案】 1或－18题型二 命题真假的判断与否定 【题型要点】 命题真假的判定方法(1)一般命题p 的真假由涉及的相关知识辨别．(2)四种命题真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律．(3)形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定． (4)全称命题与特称(存在性)命题的真假的判定：①全称命题：要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p (x )成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；②特称(存在性)命题：要判定一个特称(存在性)命题为真命题，只要在限定集合M 中至少能找到一个元素x 0，使得p (x 0)成立即可；否则，这一特称(存在性)命题就是假命题．【例4】已知命题p ：若复数z 满足(z －i)(－i)＝5，则z ＝6i ；命题q ：复数1＋i1＋2i 的虚部为－15i ，则下列为真命题的是( )A ．(綈p )∧(綈q )B ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．p ∧q【解析】 z ＝5－i ＋i ＝6i ，所以命题p 为真；复数1＋i 1＋2i ＝(1＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝3－i 5，虚部为－15，所以命题q 为假．故(綈p )∧(綈q )为假；(綈p )∧q 为假； p ∧(綈q )为真；p ∧q 为假，故选C. 【答案】 C【例5】．下列说法错误的是( )A ．对于命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0，则綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≤0B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．若命题p ∧q 为假命题，则p ，q 都是假命题D ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” 【解析】根据全称命题的否定是特称命题如A 正确；由于x ＝1可得x 2－3x ＋2＝0，而由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，所以“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件B 正确；命题p ∧q 为假命题，则p ，q 不一定都是假命题，故C 错；根据逆否命题的定义可知D 正确，故选C.【答案】 C【例6】．已知：命题p ：若函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数，则a ＝0.命题：q ∶∀m ∈(0，＋∞)，关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0有解．在①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧q ；④(綈p )∨(綈q )中为真命题的是( )A ．②③B ．②④C ．③④D ．①④【解析】 函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数x 的方程⇒f (－x )＝f (x )⇒a ＝0⇒p 为真命题；mx 2－2x ＋1＝0有解⇒Δ＝4－4m ≥0⇒m ≤1⇒q 为假命题；故①④为真．【答案】 D题组训练二 命题真假的判断与否定1．已知命题p：若a，b是实数，则a＞b是a2＞b2的充分不必要条件；命题q：“∃x∈R，x2＋2＞3x” 的否定是“∀x∈R，x2＋2＜3x”，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∧qC．p∧(綈p) D．(綈p)∧(綈q)【解析】“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，所以p为假命题；“∃x∈R，x2＋2＞3x”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，所以q为假命题；因此(綈p)∧(綈q)为真命题．故选择D.【答案】 D2．已知命题P：对任意的x∈[1,2]，x2－a≥0，命题Q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若命题“P且Q”是真命题，则实数a的取值范围是________．【解析】对∀x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤(x2)min＝1，即命题P：a≤1；∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，则4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2，即命题Q：a≥1或a≤－2；因为命题“P且Q”是真命题，所以a＝1或a≤－2，即实数a的取值范围是a＝1或a≤－2.【答案】a≤－2或a＝1题型三充分必要条件的判断【题型要点】判断充分、必要条件时应关注三点(1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.(2)要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(3)要注意转化：綈p是綈q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件；綈p是綈q 的充要条件⇔p是q的充要条件．【例7】设函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)的图象关于原点对称”()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若y ＝f (x )的图象关于原点对称，函数为奇函数，f (－x )＝－f (x )对于函数y ＝|f (x )|，有|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，说明y ＝|f (x )|为偶函数，而函数y ＝|f (x )|，是偶函数，y ＝f (x )的图象未必关于原点对称，如y ＝|x 2|是偶函数，而y ＝x 2的图象并不关于原点对称，所以“y ＝|f (x )|是偶函数”是“y ＝f (x )的图象关于原点对称”成立的必要不充分条件，选B.【答案】 B【例8】．“m ≤－12”是“∀x ＞0，使得x 2＋12x －32＞m 是真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若∀x ＞0，使得x 2＋12x －32＞m 是真命题，则m ＜min23212⎪⎭⎫⎝⎛-+x x ，令f (x )＝x 2＋12x －32， 则f (x )≥2x 2·12x －32＝1－32＝－12，故m ＜－12， 故m ≤－12是“m ＜－12”的必要不充分条件，故选B.【答案】 B【例9】已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x －e －x ＋lg(x ＋x 2＋1)，a ，b 都是实数，若p ：a ＋b ＜0，q ：f (a )＋f (b )＜0，则p 是q 的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵x 2＋1＞x 2≥－x ，∴∀x ∈R ，x ＋x 2＋1＞0，∴f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝e －x －e x ＋lg(－x ＋x 2＋1)＝e －x－e x＋lg (－x ＋x 2＋1)(x ＋x 2＋1)x ＋x 2＋1＝e －x －e x ＋lg1x ＋x 2＋1＝e －x －e x －lg(x ＋x 2＋1)＝－[e x －e －x ＋lg(x ＋x 2＋1)]＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数，又f (x )为R 上的增函数， ∴p 是q 的充要条件，故选C. 【答案】 C题组训练三 充分必要条件的判断1．设θ∈R ，则“1212ππθ<-”是“sin θ＜12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 1212ππθ<-⇔0＜θ＜π6⇒sin θ＜12，但θ＝0，sin θ＜12，不满足 1212ππθ<-，所以是充分不必要条件，选A.【【答案】 A2．给出下列命题：①已知a ，b ∈R ，“a >1且b >1”是“ab >1”的充分条件； ②已知平面向量a ，b ，“|a |>1，|b |>1”是“|a ＋b |>1”的必要不充分条件； ③已知a ，b ∈R ，“a 2＋b 2≥1”是“|a |＋|b |≥1”的充分不必要条件；④命题P ：“∃x 0∈R ，使e x 0≥x 0＋1且ln x 0≤x 0－1”的否定为綈p ：“∀x ∈R ，都有e x <x ＋1且ln x >x －1”．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 ①已知a ，b ∈R ，“a >1且b >1”能够推出“ab >1”，“ab >1”不能推出“ab >1”，本选项正确；②已知平面向量，a ，b ，“|a |>1，|b |>1”不能推出“|a ＋b |>1”，本选项不正确；③已知a ，b ∈R ，“a 2＋b 2≥1”是“|a |＋|b |≥1”的充分不必要条件，正确；④命题P ：“∃x 0∈R ，使e x 0≥x 0＋1且ln x 0≤x 0－1”的否定为綈p ：“∀x ∈R ，都有e x <x ＋1或ln x >x －1”本选项不正确．正确的个数为2.故选：C【答案】 C3．已知a 、b 都是实数，命题p ：a ＋b ＝2；命题q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切，则p 是q 的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 由直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切，得|a ＋b |2＝2，即a ＋b ＝±2，所以p 是q 的充分但不必要条件．【答案】A题型四 全称特称命题的否定 【题型要点】 全(特)称命题的否定全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并把结论否定；特称命题的否定是将存在量词改为全称量词，并把结论否定．【例10】已知命题：p ∶∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0， C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 【答案】 C【例11】．命题“存在x 0＞1，x 20＋(m －3)x 0＋3－m ＜0”为假命题．则m 的取值范围是________．【解析】 由题意知任意的x ＞1，x 2＋(m －3)x ＋3－m ≥0为真命题，而由x 2＋(m －3)x ＋3－m ≥0变形得(x －1)2－(x －1)＋1＋(x －1)m ≥0，由于x －1＞0则m ≥－()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-111x x ＋1对任意x ＞1恒成立，而－()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-111x x ＋1≤－2(x －1)·1x －1＋1＝－1，当且仅当x －1＝1x －1即x ＝2时取等号，因此m ≥－1.【答案】 [－1，＋∞)题组训练四 全称特称命题的否定1．若命题p ∶∀x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ，tan x >sin x ，则命题綈p 为( ) A ．∃x 0∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ，tan x 0≥sin x 0 B ．∃x 0∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ，tan x 0≥sin x 0 C ．∃x 0∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ，tan x 0≤sin x 0 D ．∃x 0∈⎪⎭⎫⎝⎛-∞-2,π∪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2π，tan x 0>sin x 0 【解析】 ∀x 的否定为∃x 0，>的否定为≤，所以命题綈p 为∃x 0∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ，tan x 0≤sin x 0. 【答案】 C2．命题“存在x 0＞－1，x 20＋x 0－2019＞0”的否定是________．【解析】特称命题的否定是全称命题，故命题“存在x 0＞－1，x 20＋x 0－2019＞0”的否定是“任意x ＞－1，x 2＋x －2019≤0”．【答案】 “任意x ＞－1，x 2＋x －2019≤0”【专题训练】 一、选择题1．设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )的元素个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个C ．4个【解析】 U ＝A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，A ∩B ＝{3,4}∴∁U (A ∩B )＝{1,2,5}，即集合∁U (A ∩B )的元素个数有3个，故选C. 【答案】 C2．已知集合A ＝{x |x 2＜1}，B ＝{x |2x ＞2}，则A ∩B ＝( )A.⎪⎭⎫⎝⎛-21,21 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21D.⎪⎭⎫⎝⎛-1,21 【解析】 因为A ＝{x |－1＜x ＜1}，B ＝{x |x ＞12}，所以A ∩B ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<121x x ，应选答案C.【答案】 C3．给出下列四个结论：①{0}是空集； ②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}中有两个元素； ④集合B ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈N x Qx 6是有限集． 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 对于①，{0}中含有元素0，不是空集，故①错误；对于②，比如0∈N ，－0∈N ，故②错误；对于③，集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}中有一个元素，故③错误；对于④，当x ∈Q 且6x ∈N 时，6x 可以取无数个值，所以集合B ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈N xQ x 6是无限集，故④错误．综上可知，正确结论的个数是0.故选A. 【答案】 A4．已知方程(x 2－6x ＋b 1)(x 2－6x ＋b 2)(x 2－6x ＋b 3)＝0的所有解都为自然数，其组成的解集为A ＝{x 1，x 2，x 3，x 4，x 5}，则b 1＋b 2＋b 3的值不可能为( )A ．13B ．14C ．17D ．22【解析】 当b 1，b 2，b 3分别取0,5,9时，A ＝{0,6,1,5,3}，b 1＋b 2＋b 3＝14，排除B ，当b 1，b 2，b 3分别取0,8,9时，A ＝{0,6,2,4,3}，b 1＋b 2＋b 3＝17，排除C ，当b 1，b 2，b 3分别取5,8,9时，A ＝{1,5,2,4,3}，b 1＋b 2＋b 3＝22，排除D ，故选A.【答案】 A5．“x ＞0，y ＞0”是“y x ＋xy ≥2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 “x ＞0，y ＞0”⇔“y x ＋xy ≥2”，反之不成立，例如取x ＝y ＝－1.∴x ＞0，y ＞0”是“y x ＋xy ≥2”的充分而不必要条件．故选A. 【答案】A6．已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝a n ＋a n ＋1，则“数列{a n }为等差数列”是“数列{b n }为等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若数列{a n }为等差数列，设其公差为d ，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝a n ＋2－a n ＝2d 1，所以数列{b n }是等差数列；若数列{b n }为等差数列，设其公差为d 2，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝a n ＋2－a n ＝d 2，不能推出数列{a n }为等差数列，所以“数列{a n }为等差数列”是“数列{b n }为等差数列”的充分不必要条件，故选A.【答案】 A7．已知命题p 1：∀x ∈(0，＋∞)，有3x ＞2x ，p 2：∃θ∈R ，sin θ＋cos θ＝32，则在命题q 1：p 1∨p 2；q 2：p 1∧p 2；q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( )A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4【解析】 因为y ＝x⎪⎭⎫ ⎝⎛23在R 上是增函数，即y ＝x⎪⎭⎫⎝⎛23＞1在(0，＋∞)上恒成立，所以p 1是真命题；sin θ＋cos θ＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+4πθ≤2，所以命题p 2是假命题，綈p 2是真命题，所以命题q 1：p 1∨p 2，q 4：p 1∧(綈p 2)是真命题，选C.【答案】 C8．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A 、B 为两个同高的几何体，p ：A 、B 的体积不相等，q ：A 、B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 如果A ，B 在等高处的截面积恒相等，则A ，B 的体积相等，因此有p ⇒q ，但q ⇒p 不一定成立，把两个相同锥体放在一个平面上，再把其中一个锥体翻转底向上，顶点在在原底面所在平面，虽然在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，故p 是q 的充分不必要条件．故选A.【答案】 A9．对于下列说法正确的是( ) A ．若f (x )是奇函数，则f (x )是单调函数B ．命题“若x 2－x －2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－x －2＝0”C ．命题p ：∀x ∈R,2x ＞1024，则綈p ：∃x 0∈R ，2x 0＜1024D ．命题“∃x ∈(－∞，0)，2x ＜x 2”是真命题【解析】 对于A ，若f (x )是奇函数，则f (x )是单调函数，不一定，比如y ＝1x 不是单调函数，在(－∞，0)，(0，＋∞)递减，故A 错；对于B ，命题“若x 2－x －2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－x －2≠0”，故B 错；对于C ，命题p ：∀x ∈R,2x ＞1024，则綈p ：∃x 0∈R,2x 0≤1024，故C 错；对于D ，命题“∃x ∈(－∞，0)，2x ＜x 2”是真命题，正确，比如x ＝－1,2－1＝12＜1.故选D.【答案】 D10．给出下列五个结论：①回归直线y ∧＝b ∧x ＋a ∧一定过样本中心点(x ，y )；②命题“∀x ∈R ，均有x 2－3x －2＞0”的否定是“∃x 0∈R ，使得x 20－3x 0－2≤0”； ③将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向右平移π6后，所得到的图象关于y 轴对称；④∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋1是幂函数，且在(0，＋∞)上递增；⑤函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ·|log 2x |－1，x ＞0恰好有三个零点．其中正确的结论为( ) A ．①②④ B ．①②⑤ C ．④⑤D ．②③⑤【解析】 由回归分析的方法可知，结论①正确；由全称命题的否定方法可知，结论②正确；y ＝2cos ⎪⎭⎫⎝⎛-6πx ，将其图象向右移动π6后，得到的函数解析式为y ＝2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πx ，该函数的图象不关于y 轴对称，结论③不正确；m ＝2时，函数f (x )＝x －1是幂函数，但在(0，＋∞)上递减，结论④不正确；x ＋1＝0，解得x ＝－1，为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ·|log 2x |－1，x ＞0的一个零点，令23·|log 2x |－1＝0，得|log 2x |＝12x ＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21，画出函数y ＝|log 2x |，y ＝x⎪⎭⎫⎝⎛21的图象可知，方程2x ·|log 2x |－1＝0有两个实根，所以已知函数f (x )有三个零点，结论⑤正确．【答案】 B11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，x 2－1，x ＞0，则“f (f (a ))＝1”是“a ＝1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当a ＝1，则f (a )＝f (1)＝0，则f (0)＝0＋1＝1，则必要性成立． 若x ≤0，若f (x )＝1，则2x ＋1＝1，则x ＝0， 若x ＞0，若f (x )＝1，则x 2－1＝1，则x ＝2， 即若f (f (a ))＝1，则f (a )＝0或2，若a ＞0，则由f (a )＝0或2得a 2－1＝0或a 2－1＝2，即a 2＝1或a 2＝2＋1，解得a ＝1或a ＝1＋2，若a ≤0，则由f (a )＝0或2得2a ＋1＝0或2a ＋1＝2，即a ＝－12，此时充分性不成立，即“f (f (a ))＝1”是“a ＝1”的必要不充分条件．【答案】 B12．关于函数f (x )＝x 2(ln x －a )＋a ，给出以下4个结论：①∃a ＞0，∀x ＞0，f (x )≥0；②∃a ＞0，∃x ＞0，f (x )≤0；③∀a ＞0，∀x ＞0，f (x )≥0；④∀a ＞0，∃x ＞0，f (x )≤0.其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 ①当a ＝12时，f (x )＝x 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-21ln x ＋12，其定义域为(0，＋∞)．由f ′(x )＝2x ln x ＝0，得x ＝1.当x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；∴当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，同时也是最小值f (1)＝－12＋12＝0.∴对∀x ＞0，f (x )≥f (1)＝0，故①正确．②当a ＝5时，f (x )＝x 2(ln x －5)＋5，f (e)＝e 2(ln e －5)＋5＝－4e 2＋5＜0，故②∃a ＞0，∃x ＞0，f (x )≤0成立．③由②知，当a ＝5时，∃x ＝e ，满足e ＞0，但f (e)＜0，故③∀a ＞0，∀x ＞0，f (x )≥0不成立，③错误．④f ′(x )＝2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x 21ln ，由f ′(x )＝0， 即ln x ＋12－a ＝0，得ln x ＝a －12.∴∀a ＞0，函数f (x )都存在极值点，即∃x ＞0，f (x )≤0成立，故④正确，综上①②④正确，故选D.【答案】 D 二、填空题13．已知命题p ∶m ∈R ，且m ＋1≤0；命题q ∶∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题，则m 的取值范围是__________．【解析】 当命题p 为真命题时，m ≤－1，当命题q 为真命题时，m 2－4<0，－2<m <2，p ∧q 为假命题的否定是p ∧q 为真命题，则p ，q 都为真命题，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－1，－2<m <2，解得－2<m ≤－1，故当若p ∧q 为假命题时，m 的范围是(－∞，－2]∪(－1，＋∞)．【答案】 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)14．设有两个命题，p ：关于x 的不等式a x ＞1(a ＞0，且a ≠1)的解集是{x |x ＜0}；q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 p ：关于x 的不等式a x ＞1(a ＞0，且a ≠1)的解集是{x |x ＜0}，则0＜a ＜1；q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，a ＝0时不成立，a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＝1－4a 2＜0，解得0＜a ＜12.如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则命题p 与q 必然一真一假． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1a ≤0或a ≥12，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥10＜a ＜12，解得12≤a ＜1， 则实数a 的取值范围是12≤a <1.【答案】 12≤a <115．将集合M ＝{1,2,3，...,15}表示为它的5个三元子集(三元集：含三个元素的集合)的并集，并且这些三元子集的元素之和都相等，则每个三元集的元素之和为________；请写出满足上述条件的集合M 的5个三元子集__________(只写出一组)【解析】 因为5个三元子集(三元集：含三个元素的集合)的并集为集合M ＝{1,2,3，...,15}，所以元素总和为：15×(1＋15)2＝120，又因为这5个三元子集的元素之和都相等，所以每个集合的元素和为1205＝24.满足上述条件的集合M 的5个三元子集可以是：{1,8,15}，{3,7,14}，{5,6,13}，{2,10,12}，{4,9,11}(答案不唯一)．【答案】 24 {1,8,15}，{3,7,14}，{5,6,13}，{2,10,12}，{4,9,11}(答案不唯一)。
精品高中数学专题：集合与常用逻辑用语、不等式、函数
专题二集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合与常用逻辑用语1．集合的概念、运算(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．(4)重要结论A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.2．命题(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)含有量词的命题的否定：∀x∈M，p(x)的否定是∃x∈M，綈p(x)；∃x∈M，p(x)的否定是∀x∈M，綈p(x)．3．充要条件从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒p)A Bp是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒q)B Ap是q的充要条件(p⇔q)A＝Bp是q的既不充分也不必要条件(p⇒q，q⇒p)A与B互不包含1．(2013·辽宁)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于() A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2]答案 D解析A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．2．(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin 2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件．3． (2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B答案 D解析 命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D. 4． (2013·天津)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③答案 C解析 对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．5． (2013·四川)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点．现有下列命题： ①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案①④解析∵|CA|＋|CB|≥|AB|，当且仅当点C在线段AB上等号成立，即三个点A，B，C，∴点C在线段AB上，∴点C是A，B，C的中位点，故①是真命题．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是AB的中点，CH⊥AB，点P，H不重合，则|PC|>|HC|.又|HA|＋|HB|＝|P A|＋|PB|＝|AB|，∴|HA|＋|HB|＋|HC|<|P A|＋|PB|＋|PC|，∴点P不是点A，B，C的中位点，故②是假命题．如图(2)，A，B，C，D是数轴上的四个点，若P点在线段BC上，则|P A|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AD|＋|BC|，由中位点的定义及①可知，点P是点A，B，C，D的中位点．显然点P 有无数个，故③是假命题．如图(3)，由①可知，若点P是点A，C的中位点，则点P在线段AC上，若点P是点B，D的中位点，则点P在线段BD上，∴若点P是点A，B，C，D的中位点，则P是AC，BD的交点，∴梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题．题型一集合的概念与运算问题例1(1)(2012·湖北)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4(2)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M等于()A．M B．N C．{1,4,5} D．{6}审题破题(1)先对集合A、B进行化简，注意B中元素的性质，然后根据子集的定义列举全部适合条件的集合C即可．(2)透彻理解A－B的定义是解答本题的关键，要和补集区别开来．答案(1)D(2)D解析(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)N －M ＝{x |x ∈N 且x ∉M }． ∵2∈N 且2∈M ，∴2∉N －M ； 3∈N 且3∈M ，∴3∉N －M ； 6∈N 且6∉M ，∴6∈N －M . ∴故N －M ＝{6}．反思归纳 (1)解答集合间关系与运算问题的一般步骤：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解． (2)两点提醒：①要注意集合中元素的互异性；②当B ⊆A 时，应注意讨论B 是否为∅.变式训练1 (2013·玉溪毕业班复习检测)若集合S ＝{x |log 2(x ＋1)>0}，T ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2－x 2＋x <0，则S ∩T 等于( )A ．(－1,2)B ．(0,2)C ．(－1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 D解析 S ＝{x |x ＋1>1}＝{x |x >0}， T ＝{x |x >2或x <－2}． ∴S ∩T ＝{x |x >2}． 题型二 命题的真假与否定问题 例2 下列叙述正确的个数是( )①l 为直线，α、β为两个不重合的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α；②若命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0；③在△ABC 中，“∠A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件；④若向量a ，b 满足a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4审题破题 判定叙述是否正确，对命题首先要分清命题的条件与结论，再结合涉及知识进行判定；对含量词的命题的否定，要改变其中的量词和判断词． 答案 B解析 对于①，直线l 不一定在平面α外，错误；对于②，命题p 是特称命题，否定时要写成全称命题并改变判断词，正确；③注意到△ABC 中条件，正确；④a ·b <0可能〈a ，b 〉＝π，错误．故叙述正确的个数为2. 反思归纳 (1)命题真假的判定方法：①一般命题p 的真假由涉及到的相关知识辨别；②四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；③形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定．(2)区分命题的否定和否命题；含一个量词的命题的否定一定要改变量词． 变式训练2 给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >cb”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题只有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④答案 A解析 ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x≥2，得x >1；③中由a >b >0，得1a <1b，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④中綈q ：∀x ∈R ，x 2－x －1>0，由于x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54，则存在x 值使x 2－x －1≤0，故綈q 为假命题，则p ∧綈q 为假命题． 题型三 充要条件的判断问题例3 (1)甲：x ≠2或y ≠3；乙：x ＋y ≠5，则( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件(2)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 审题破题 (1)利用逆否命题判别甲、乙的关系；(2)转化为两个集合间的包含关系，利用数轴解决． 答案 (1)B (2)A解析 (1)“甲⇒乙”，即“x ≠2或y ≠3”⇒“x ＋y ≠5”，其逆否命题为：“x ＋y ＝5”⇒“x ＝2且y ＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．(2)綈p ：|4x －3|>1；綈q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)>0，解得綈p ：x >1或x <12；綈q ：x >a ＋1或x <a .若綈p ⇐綈q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12a ＋1≥1，即0≤a ≤12.反思归纳 (1)充要条件判断的三种方法：定义法、集合法、等价命题法；(2)判断充分、必要条件时应注意的问题：①要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ；②要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．变式训练3 (1)(2012·山东)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件． (2)设A ＝{x |xx －1<0}，B ＝{x |0<x <m }，若B 是A 成立的必要不充分条件，则m 的取值范围是( )A ．m <1B ．m ≤1C ．m ≥1D ．m >1答案 D解析 xx －1<0⇔0<x <1.由已知得，0<x <m ⇒0<x <1， 但0<x <1⇒0<x <m 成立． ∴m >1.典例 设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1， ∴l ＝1，故①正确．②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥14.又l ≤1，∴②正确．③l ＝12时，m 2≤12且m ≤0，则－22≤m ≤0，∴③正确． 答案 D得分技巧 创新性试题中最常见的是以新定义的方式给出试题，这类试题要求在新的情境中使用已知的数学知识分析解决问题，解决这类试题的关键是透彻理解新定义，抓住新定义的本质，判断给出的各个结论，适当的时候可以通过反例推翻其中的结论． 阅卷老师提醒 在给出的几个命题中要求找出其中正确命题类的试题实际上就是一个多项选择题，解答这类试题时要对各个命题反复进行推敲，确定可能正确的要进行严格的证明，确定可能错误的要举出反例，这样才能有效避免答错试题．1． 已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∩B ＝B ，则a 等于( )A ．－12或1 B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0答案 D解析 依题意可得A ∩B ＝B ⇔B ⊆A . 因为集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}，当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当x ＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D.2． (2013·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝ π2”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．3． (2012·辽宁)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 根据全称命题的否定是特称命题知． 綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0.4． 已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案 C解析 由P ＝{x |x 2≤1}得P ＝{x |－1≤x ≤1}． 由P ∪M ＝P 得M ⊆P .又M ＝{a }，∴－1≤a ≤1. 5． 下列命题中错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22中等号成立”的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 D ．对命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0 答案 C解析 易知选项A ，B ，D 都正确；选项C 中，若p ∨q 为假命题，根据真值表，可知p ，q 必都为假，故C 错．专题限时规范训练一、选择题1． (2013·陕西)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为( )A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 D解析 由题意得M ＝[－1,1]，则∁R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2． (2013·山东)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知：綈p ⇐q ⇔(逆否命题)p ⇒綈q .3． (2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α ≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析 由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠π4.4． (2012·湖北)命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( )A ．∃x 0D ∈∁R Q ，x 30∈QB ．∃x 0∈∁R Q ，x 30D ∈C ．∀xD ∈∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q 答案 D解析 “∃”的否定是“∀”，x 3∈Q 的否定是x 3D ∈Q .命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是“∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q ”．5． 设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 A ＝{x |x －2>0}＝{x |x >2}＝(2，＋∞)，B ＝{x |x <0}＝(－∞，0)，∴A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x <0或x >2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．A ∪B ＝C .∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件． 6． 下列关于命题的说法中错误的是( )A ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 答案 D解析 对于A ，命题綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0，因此选项A 正确．对于B ，由x ＝1可得x 2－3x ＋2＝0；反过来，由x 2－3x ＋2＝0不能得知x ＝1，此时x 的值可能是2，因此“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，选项B 正确．对于C ，原命题的逆否命题是：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项C 正确．7． 已知p ：2xx －1<1，q ：(x －a )(x －3)>0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．[1,3]C ．[1，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 C解析 2xx －1－1<0⇒x ＋1x －1<0⇒(x －1)(x ＋1)<0⇒p ：－1<x <1.当a ≥3时，q ：x <3或x >a ；当a <3时，q ：x <a 或x >3.綈p 是綈q 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 且q ⇒，从而可推出a 的取值范围是a ≥1. 8． 下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin BD ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 答案 D解析 对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝⎝⎛⎭⎫lg x ＋122＋34≥34>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，由A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D 是假命题．综上所述，选D. 二、填空题9． 已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．答案 3解析 A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x ∈R |－1<x <3}， 集合A 中包含的整数有0,1,2，故A ∩Z ＝{0,1,2}． 故A ∩Z 中所有元素之和为0＋1＋2＝3.10．设集合M ＝{y |y －m ≤0}，N ＝{y |y ＝2x －1，x ∈R }，若M ∩N ≠∅，则实数m 的取值范围是________．答案 (－1，＋∞)解析 M ＝{y |y ≤m }，N ＝{y |y >－1}，结合数轴易知m >－1.11． 已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 命题p ：a ≤12x 2－ln x 在[1,2]上恒成立，令f (x )＝12x 2－ln x ，f ′(x )＝x －1x＝(x －1)(x ＋1)x ，当1<x <2时，f ′(x )>0，∴f (x )min ＝f (1)＝12，∴a ≤12. 12．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)答案 ①④解析 对于①，当数列{a n }是等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列；但当数列 {a n a n ＋1}是等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m ＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m ＝3，也可能得出m ＝0，因此③不正确．对于④，由题意，得b a ＝sin B sin A ＝3，当B ＝60°时，有sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°；但当A ＝30°时，有sin B ＝32，B ＝60°或B ＝120°，因此④正确． 三、解答题13．已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解 A ＝{x |－1<x ≤5}，(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，故4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．因此实数m 的值为8.14．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q为假命题，求a 的取值范围．解 由命题p ：1∈A ，得⎩⎨⎧ －2－a <1，a >1.解得a >1. 由命题q ：2∈A ，得⎩⎨⎧－2－a <2，a >2.解得a >2. 又∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，即p 真q 假或p 假q 真， 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ≤2，即1<a ≤2， 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，a >2，无解． 故所求a 的取值范围为(1,2]．。
高考数学总复习 第一篇 集合与常用逻辑用语 第1讲 集合的概念和运算课件 理
A．{5}
B．{4}
C．{1,2}
D．{3,5}
解 析 由 题 图 可 知 阴 影 部 分 为 集 合 (∁UA)∩B ， ∵∁UA ＝ {3,5,6}，∴(∁UA)∩B＝{3,5}． 答案 D
4．(2012·杭州二中仿真考试)设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集
合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于
( )．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 由题意知：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又A⊆C⊆B，
则集合C可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
答案 D
3．(2012·皖南八校三模)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝ {1,2,4}，B＝{3,4,5}，则图中的阴影部分表示的集合为 ( )．
A．{1,4}
B．{1,5}
( )．
C．{2,5}
D．{2,4}
解 析 由 题 意 A∪B ＝ {1,3}∪{3,5} ＝ {1,3,5} ． 又 U ＝
{1,2,3,4,5}，所以∁U(A∪B)＝{2,4}． 答案 D
5 ． (2012· 天 津 ) 已 知 集 合 A ＝ {x∈R||x ＋ 2|<3} ， 集 合 B ＝ {x∈R|(x － m)(x － 2)<0} ， 且 A∩B ＝ ( － 1 ， n) ， 则 m ＝ ________，n＝________. 解析 A＝{x|－5<x<1}，因为A∩B＝{x| －1<x<n}，B＝ {x|(x－m)(x－2)<0}，所以m＝－1，n＝1. 答案 －1 1
2．集合间的基本关系 (1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A ⊆ B(或B⊇A)． (2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B(或B A)． (3)空集：空集是任意一个集合的 子集 ，是任何非空集合 的 真子集 ．即∅⊆A，∅ B(B≠∅)． (4)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
高三数学一轮复习 第1章 集合与常用逻辑用语第1课时 集合的概念与运算精品课件
• 集合是高中数学的基础内容，也是高考数学的必考内容，难度 不大，一般是一道选择题或填空题．通过对近两年高考试题的统 计分析可以看出，对集合内容的考查一般以两种方式出现：一是 考查集合的概念、集合间的关系及集合的运算．
• (3){x|x2－ax－1＝0}和{a|方程x2－ax－1＝0有实根}的意义不 同．{x|x2－ax－1＝0}表示由二次方程x2－ax－1＝0的解构成的集 合，而集合{a|方程x2－ax－1＝0有实根}表示方程x2－ax－1＝0有 实数解时参数a的范围构成的集合．
【变式训练】 1.现有三个实数的集合，既可以表示为a，ba，1， 也可表示为{a2，a＋b,0}，则 a2 011＋b2 011＝________.
命题与量 词、 基本 逻辑 联结 词
1.了解命题的概念． 2.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 3.理解全称量词与存在量词的含义． 4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
充分条件、
必要
条件 1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四
与命
种命题的相互关系．
题的 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
①集合 S＝{a＋b 3|a，b 为整数}为封闭集； ②若 S 为封闭集，则一定有 0∈S； ③封闭集一定是无限集； ④若 S 为封闭集，则满足 S⊆T⊆R 的任意集合 T 也是封闭集． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
序号 结论
理由
• 【全解全析】对于任意整数 a1，b1，a2，b2，有 a1＋b1 3＋a2＋b2 3
B．{a|a≤2或a≥4}
高考数学专题集合与常用逻辑用语
第一章集合与常用逻辑用语第一节集__合1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉.(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图．2．集合间的基本关系3．集合的基本运算1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．2．要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[试一试]1．(2013·辽宁高考)已知集合A＝{x|0<log4x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝()A．(0,1)B．(0,2]C．(1,2) D．(1,2]答案：D2．i是虚数单位，若集合S＝{－i,0，i}，则()A．i2∈S B．i2 010∈SC．i2 012∈S D．i2 013∈S解析：选D i2＝－1∉S；i2 010＝i2＝－1∉S，i2 012＝i4＝1∉S，i2 013＝i∈S，故选D项．3．已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B＝________.答案：∅1．判断集合关系的方法有三种(1)一一列举观察；(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合关系；(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．2．解决集合的综合运算的方法解决集合的综合运算时，一般先运算括号内的部分．当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合是用不等式形式表示时，可运用数轴求解．3．数形结合思想数轴和Venn图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题．[练一练]1．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则()A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D答案：B2．(2014·安徽省“江南十校”联考)已知集合A ＝{x |x 2－x ≤0}，函数f (x )＝2－x (x ∈A )的值域为B ，则(∁R A )∩B ＝( )A ．(1,2]B ．[1,2]C ．[0,1]D ．(1，＋∞)解析：选A 由题意知，集合A ＝{x |0≤x ≤1}，∴B ＝{y |1≤y ≤2}，∁R A ＝{x |x <0或x >1}，∴(∁R A )∩B ＝(1,2]．集合的基本概念1.(2013·山东高考)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9解析：选C 逐个列举可得．x ＝0，y ＝0,1,2时，x －y ＝0，－1，－2；x ＝1，y ＝0,1,2时，x －y ＝1,0，－1；x ＝2，y ＝0,1,2时，x －y ＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B 的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．2．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2 013＝________. 解析：由M ＝N 知⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m ，log 2n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2.答案：－1或03．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.答案：－32[类题通法]1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．集合间的基本关系[典例] (1)(2013·洛阳统考)已知集合A ＝{x |x －2x ≤0，x ∈N }，B ＝{x |x ≤2，x ∈Z }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.[解析] (1)由x －2x ≤0得0<x ≤2，因此A ＝{1,2}；由x ≤2得0≤x ≤4，因此B ＝{0,1,2,3,4}，满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数是23＝8.(2)由log 2x ≤2，得0<x ≤4，即A ＝{x |0<x ≤4}，而B ＝(－∞，a )， 由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4.[答案] (1)D (2)4 [类题通法]1．已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．2．当题目中有条件B ⊆A 时，不要忽略B ＝∅的情况． [针对训练]1．(2013·福建高考)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以A ⊆B ⇒/ a ＝3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．2．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .则实数m 的取值范围为________．解析：∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2， 综上得m ≥－1. 答案：[－1，＋∞)集合的基本运算[典例] 均为全集U ＝{1,2,3,4}∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩∁U B ＝( )A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅(2)(2014·武汉市武昌区联考)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |lg(x ＋1)≤0}，B ＝{x |3x ≤1}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)[解析] (1)∵U ＝{1,2,3,4}，∁U (A ∪B )＝{4}，∴A ∪B ＝{1,2,3}．又∵B ＝{1,2}，∴{3}⊆A ⊆{1,2,3}． 又∁U B ＝{3,4}，∴A ∩∁U B ＝{3}．(2)lg(x ＋1)≤0⇒0<x ＋1≤1⇒－1<x ≤0,3x ≤1⇒x ≤0，则A ∩B ＝(－1,0]，∁U (A ∩B )＝(－∞，－1]∪(0，＋∞)．[答案] (1)A (2)C [类题通法]集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． [针对训练]设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)·x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，则m 的值是________．解析：A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠∅. ∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1；②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}；③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2.经检验知m ＝1和m ＝2符合条件． ∴m ＝1或2. 答案：1或2集合中的创新问题角度一 创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题．1．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31解析：选B 具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.角度二 创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．2.如图所示的V enn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A B 为( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2}解析：选D 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，所以A B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}，故选D.角度三 创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．3．对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b 2＝1，c 2＝b时，b ＋c ＋d 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．i解析：选B ∵S ＝{a ，b ，c ，d }，由集合中元素的互异性可知当a ＝1时，b ＝－1，c 2＝－1，∴c ＝±i ，由“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”知±i ∈S ，∴c ＝i ，d ＝－i 或c ＝－i ，d ＝i ，∴b ＋c ＋d ＝(－1)＋0＝－1. [类题通法]解决新定义问题应注意以下几点(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质； (2)按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决； (3)对于选择题，可以结合选项通过验证，排除、对比、特值等方法解决．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．1．易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B ⇒/A)；与A的充分不必要条件是B(B ⇒A且A ⇒/B)两者的不同．[试一试]1．(2013·福建高考)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A“x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推出“点P在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y－1＝0上”不能推出“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的充分不必要条件．2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：____________________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”1．判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B时，则p是q的充分不必要条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；若B A时，则p是q的必要不充分条件；③若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件．(3)等价转化法：p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件．2．转化与化归思想由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．[练一练]1．(2014·济南模拟)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B由x2－3x>0得x>3或x<0，此时得不出x>4，但当x>4时，不等式x2－3x>0恒成立，所以正确选项为B.2．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是________． 解析：原命题与其逆否命题为等价命题． 答案：若b ∈M ，则a ∉M命题及其相互关系1.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选C 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．2．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”； ③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．解析：对于①，若log 2a >0＝log 21，则a >1，所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x ＋y 是偶数，则x 、y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案：②④ [类题通法]在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.充分必要条件的判定[典例] p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2013·北京高考)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析](1)由q⇒綈p且綈p⇒/ q可得p⇒綈q且綈q ⇒/p，所以p是綈q的充分而不必要条件．(2)由sin φ＝0可得φ＝kπ(k∈Z)，此为曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．[答案](1)A(2)A[类题通法]充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．[针对训练]下列各题中，p是q的什么条件？(1)在△ABC中，p：A＝B，q：sin A＝sin B；(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.解：(1)若A＝B，则sin A＝sin B，即p⇒q.又若sin A＝sin B，则2R sin A＝2R sin B，即a＝b.故A＝B，即q⇒p.所以p是q的充要条件．(2)p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0，或x≤－1}＝B，∵A B，∴p是q的充分不必要条件．充分必要条件的应用[典例]x≤1＋m}．(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围．[解](1)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3. 综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/P . ∴[－2,10] [1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[类题通法]利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：(1)若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 且q ⇒ / p ； (2)若p 是q 的必要不充分条件，则p ⇒/ q ，且q ⇒p ； (3)若p 是q 的充要条件，则p ⇔q . [针对训练](2013·浙江名校联考)一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图像同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <0解析：选B 因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n <0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．2．全称量词和存在量词(1)全称量词“所有的”“任意一个”，用符号“∀”表示．(2)存在量词“存在一个”“至少有一个”，用符号“∃”表示．(3)全称命题含有全称量词的命题，叫做全称命题；“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(4)特称命题含有存在量词的命题，叫做特称命题；“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．2．p或q的否定易误写成“綈p或綈q”；p且q的否定易误写成“綈p且綈q”．[试一试]1．(2013·四川高考)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x ∈B，则()A ．綈p ：∃x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BC ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉BD ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉B解析：选C 由命题的否定易知选C ，注意要把全称量词改为存在量词． 2．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，其否定为________． 答案：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠01．含逻辑联结词命题真假判断： (1)p ∧q 中一假即假． (2)p ∨q 中一真必真．(3)綈p 真，p 假；綈p 假，p 真．2．含量词的命题的否定方法是“改量词，否结论”，即把全称量词与存在量词互换，然后否定原命题的结论．3．判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．[练一练]1．(2013·重庆高考)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0 B ．不存在x ∈R ，使得x 2<0C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0解析：选D 全称命题的否定为特称命题，所以答案为D.2．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋1x 20≤2，命题q 是命题p 的否定，则命题p 、q 、p ∧q 、p∨q 中是真命题的是________．解析：p 是真命题，则q 是假命题． 答案：p 、p ∨q全称命题与特称命题的真假判断1.(2014·皖南八校联考)下列命题中，真命题是( ) A ．存在x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2x 02＝12B ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>xD ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1解析：选C 对于A 选项：∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x2＝1，故A 为假命题；对于B 选项：存在x ＝π6，sin x ＝12，cos x ＝32，sin x <cos x ，故B 为假命题；对于C 选项：x 2＋1－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0恒成立，C 为真命题；对于D 选项：x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0恒成立，不存在x 0∈R ，使x 20＋x 0＝－1成立，故D 为假命题．2．已知函数f (x )＝x 2＋bx (b ∈R )，则下列结论正确的是( ) A ．∀b ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数 B ．∀b ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数 C ．∃b ∈R ，f (x )为奇函数 D ．∃b ∈R ，f (x )为偶函数解析：选D 注意到b ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数． [类题通法]全称命题与特称命题真假的判断方法[典例] 1，x 2∈R ，[f (x 2－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0[解析] 全称命题的否定为存在性命题，即若p 为“∀x ∈M ，q (x )”，则綈p 为“∃x ∈M ，綈q (x )”，故选C.[答案] C[类题通法]全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．[针对训练]写出下列命题的否定并判断其真假：(1)p：不论m取何实数值，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)p：有的三角形的三条边相等；(3)p：菱形的对角线互相垂直；(4)p：∃x0∈N，x20－2x0＋1≤0.解：(1)綈p：存在一个实数m0，使方程x2＋m0x－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m20＋4>0恒成立，故綈p为假命题．(2)綈p：所有的三角形的三条边不全相等．显然綈p为假命题．(3)綈p：有的菱形的对角线不垂直．显然綈p为假命题．(4)綈p：∀x∈N，x2－2x＋1>0.显然当x＝1时，x2－2x＋1>0不成立，故綈p是假命题．含有逻辑联结词的命题[典例]5∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题，其中正确的是() A．②④B．②③C．③④D．①②③(2)(2014·济宁模拟)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a 的取值范围是()A．(－12，－4]∪[4，＋∞)B．[－12，－4]∪[4，＋∞)C ．(－∞，－12)∪(－4,4)D ．[－12，＋∞)[解析] (1)因为对任意实数x ，|sin x |≤1，而sin x ＝52>1，所以p 为假；因为x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ<0，所以q 为真．因而②③正确．(2)命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a <－12；若p 假q 真，则－4<a <4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．[答案] (1)B (2)C解析：p ∧q 为真，∴p 和q 均为真． ∴a 的取值范围为[－12，－4]∪[4，＋∞)． 答案：[－12，－4]∪[4，＋∞) [类题通法]1．判断“p ∧q ”、“p ∨q ”、“綈p ”形式命题真假的步骤 (1)准确判断简单命题p 、q 的真假；(2)依据[必会3个方法中的第一个方法]判断“p ∧q ”、“p ∨q ”、“綈p ”命题的真假． 2．根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围． [针对训练]1．(2013·安徽“江南十校”联考)对于下述两个命题，p ：对角线互相垂直的四边形是菱形；q ：对角线互相平分的四边形是菱形．则命题“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 容易判断p 、q 均为假命题．所以“p ∨q ”为假命题，“p ∧q ”为假命题，“綈p ”为真命题，故真命题的个数为1.2．(2014·江西盟校联考)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥e x”，命题q：“∃x0∈R，x2＋4x0＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞) B．[1,4]C．[e,4]D．(－∞，1]解析：选C“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题．p真则∀x∈[0,1]，a≥e x，需a≥e；q真则x2＋4x＋a＝0有解，需Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.p∧q为真，则e≤a≤4.。
高考数学(理科)二轮复习【专题1】集合与常用逻辑用语(含答案)
第1讲集合与常用逻辑用语考情解读(1)集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年也出现一些集合的新定义问题．(2)高考中考查命题的真假判断或命题的否定或充要条件的判断．1．集合的概念、关系(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．(2)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.2．集合的基本运算(1)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．重要结论：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.3．四种命题及其关系四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．4．充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．5．基本逻辑联结词(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．6．全称量词与存在量词“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”.热点一集合的关系及运算例1(1)(2014·四川改编)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝________.(2)(2013·广东改编)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列命题正确的是________．①(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉S；②(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；③(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈S；④(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S.思维启迪明确集合的意义，理解集合中元素的性质特征．答案(1){－1,0,1,2}(2)②解析(1)因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B ＝{－1,0,1,2}．(2)因为(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3,4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S，故(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S的说法均错误，可以排除①③④，故②正确．思维升华(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．(1)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{x∈Z|1<x<4}，则M∩N＝________.(2)(2013·山东改编)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．答案(1){2,3}(2)5解析(1)集合N是要求在(1,4)范围内取整数，所以N＝{x∈Z|1<x<4}＝{2,3}，所以M∩N＝{2,3}．－2，－1，0，1，2.(2)x－y∈{}热点二四种命题与充要条件例2(1)(2014·天津改编)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的________条件．(2)(2014·江西改编)下列叙述中正确的是________．①若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”；②若a，b，c∈R，则“ab2≥cb2”的充要条件是“a>c”；③命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”；④l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β.思维启迪要明确四种命题的真假关系；充要条件的判断，要准确理解充分条件、必要条件的含义．答案(1)充要(2)④解析(1)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b>0时，a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.综上可知a>b⇔a|a|>b|b|.(2)由于“若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≥0”是假命题，所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件不是“b2－4ac≤0”，①错；因为ab2>cb2，且b2>0，所以a>c.而a>c时，若b2＝0，则ab2>cb2不成立，由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要条件，②错；“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，③错；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由：垂直于同一条直线的两个平面平行，④正确．思维升华(1)四种命题中，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价；(2)充要条件的判断常用“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，判断一个命题为假可以借助反例．(1)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是________．(2)“log3M>log3N”是“M>N成立”的________条件．(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写)答案(1)若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数(2)充分不必要解析(1)判断词“都是”的否定是“不都是”．(2)由log3M>log3N，又因为对数函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)单调递增，所以M>N；当M>N 时，由于不知道M、N是否为正数，所以log3M、log3N不一定有意义．故不能推出log3M>log3N，所以“log3M>log3N”是“M>N成立”的充分不必要条件．热点三逻辑联结词、量词例3(1)已知命题p：∃x∈R，x－2>lg x，命题q：∀x∈R，sin x<x，则下列命题正确的是________．①命题p∨q是假命题②命题p∧q是真命题③命题p ∧(綈q )是真命题 ④命题p ∨(綈q )是假命题(2)已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是_________________________________________________________________．思维启迪 (1)先判断命题p 、q 的真假，再利用真值表判断含逻辑联结词命题的真假；(2)含量词的命题要理解量词含义，确定参数范围．答案 (1)③ (2)[1，＋∞)解析 (1)对于命题p ，取x ＝10，则有10－2>lg 10，即8>1，故命题p 为真命题；对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin(－π2)＝－1，此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题，命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题，故③正确．(2)∵p ∨q 为假命题，∴p 和q 都是假命题．由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假命题，得綈p ：∀x ∈R ，mx 2＋2>0为真命题，∴m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假命题，得綈q ：∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0为真命题，∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②由①和②，得m ≥1.思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．(1)已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列命题中正确的是________．①p 真q 假 ②p 假q 真③“p ∧q ”为假 ④“p ∧q ”为真(2)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)③ (2)(1，＋∞)解析 (1)△ABC 中，C >B ⇔c >b ⇔2R sin C >2R sin B (R 为△ABC 外接圆半径)，所以C >B ⇔sin C >sin B .故“C >B ”是“sin C >sin B ”的充要条件，命题p 是假命题．若c ＝0，当a >b 时，则ac 2＝0＝bc 2，故a >b ac 2>bc 2，若ac 2>bc 2，则必有c ≠0，则c 2>0，则有a >b ，所以ac 2>bc 2⇒a >b ，故“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件，故命题q 也是假命题．(2)命题p为真时a≤1；“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(綈p)∧q为真命题，即綈p真且q真，即a>1.1．解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和Venn图加以解决．2．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．3．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的.真题感悟1．(2014·浙江改编)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝________.答案{2}解析因为A＝{x∈N|x≤－5或x≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x<5}，故∁U A＝{2}．2．(2014·重庆改编)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是________．①p∧q②綈p∧綈q③綈p∧q④p∧綈q答案④解析因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、綈p为假命题，綈q为真命题，綈p∧綈q、綈p∧q为假命题，p∧綈q为真命题，故④为真命题．押题精练1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )，因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.2．已知下列命题：①命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1<3x ”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题；③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题．其中正确的命题是________．答案 ②解析 命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则(綈p )∧(綈q )为真命题，故②正确；a >5⇒a >2，但a >2a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．3．已知p ：x ＋210－x≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，且p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 由x ＋210－x≥0，得－2≤x <10，即p ：－2≤x <10； 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，得[x －(1＋m )]·[x －(1－m )]≤0，所以1＋m ≤x ≤1－m ，即q ：1＋m ≤x ≤1－m .又因为p 是q 的必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，1－m <10，解得m ≥－3， 又m <0，所以实数m 的取值范围是－3≤m <0.(推荐时间：40分钟)1．(2014·陕西改编)设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N ＝________. 答案 [0,1)解析 N ＝{x |－1<x <1}，M ∩N ＝[0,1)．2．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为_______________________________________________________________． 答案 13解析 若x ＝5∈A ，y ＝1∈A ，则x ＋y ＝5＋1＝6∈B ，即点(5,1)∈C ；同理，(5,2)∈C ，(4,1)∈C ，(4,2)∈C ，(4,3)∈C ，(3,2)∈C ，(3,3)∈C ，(3,4)∈C ，(2,3)∈C ，(2,4)∈C ，(2,5)∈C ，(1,4)∈C ，(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13.3．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为________．答案 7解析 因为A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1,2,3}，所以其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的________条件．答案 必要不充分解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧ m <1，a <1.log a m >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，所以前者是后者的必要不充分条件．5．已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，使得cos x ≤x ，则该命题的否定是________． 答案 ∀x ∈(0，π2)，使得cos x >x 解析 原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题．而“cos x ≤x ”的否定是“cos x >x ”．6．在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝12”的________条件． 答案 充要解析 在A ＝60°时，有cos A ＝12，因为角A 是△ABC 的内角，所以，当cos A ＝12时，也只有A ＝60°，因此，是充要条件．7．(2013·湖北改编)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B ＝________.答案 {x |0≤x <2或x >4}解析 ∵A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，∴A ∩∁R B ＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2}＝{x |0≤x <2或x >4}．8．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ，y ∈R }，则集合A ∩B 的元素个数是_________________________________________________________________．答案 2解析 集合A 表示直线l ：x ＋y －1＝0上的点的集合，集合B 表示抛物线C ：y ＝x 2＋1上的点的集合．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，y ＝x 2＋1消去y 得x 2＋x ＝0， 由于Δ>0，所以直线l 与抛物线C 有两个交点．即A ∩B 有2个元素．9．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是________．①p 为真；②綈q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真．答案 ③解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有③正确．10．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个真子集，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 由于集合B 中的元素是指数函数y ＝b x 的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A ∩B 只有一个真子集，那么y ＝b x ＋1(b >0，b ≠1)与y ＝a 的图象只能有一个交点，所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．11．已知集合P ＝{x |x (x －1)≥0}，Q ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则P ∩Q ＝__________.答案 (1，＋∞)解析 由x (x －1)≥0可得x ≤0或x ≥1，则P ＝(－∞，0]∪[1，＋∞)；又由x －1>0可得x >1，则Q ＝(1，＋∞)，所以P ∩Q ＝(1，＋∞)．12．已知集合A ＝{x |x >2或x <－1}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，则b a＝________.答案 －4解析 由A ＝{x |x >2或x <－1}，A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，可得B ＝{x |－1≤x ≤4}，则a＝－1，b ＝4，故b a＝－4. 13．由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝________.答案 1解析 根据题意可得：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0是真命题，则Δ<0，即22－4m <0，m >1，故a ＝1.14．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题．其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)答案 ①④解析 对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对②，命题“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定应是：“∀x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错；对③，因由“x 2＝4”得x ＝±2，所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确．15．已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2≥y }，②{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}，④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，其中具有性质P 的点集序号是________．答案 ②④解析 对于①：取k ＝12，点(1,1)∈{(x ，y )|x 2≥y }，但(12，12)∉{(x ，y )|x 2≥y }，故①是不具有性质P 的点集．对于②：∀(x ，y )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，则点(x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1内部，所以对0<k <1，点(kx ，ky )也在椭圆2x 2＋y 2＝1的内部，即(kx ，ky )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，故②是具有性质P 的点集．对于③：(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝54，点(12，－12)在此圆上，但点(14，－14)不在此圆上，故③是不具有性质P 的点集．对于④：∀(x，y)∈{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，对于k∈(0,1)，因为(kx)3＋(ky)3－(kx)2·(ky)＝0⇒x3＋y3－x2y＝0，所以(kx，ky)∈{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，故④是具有性质P的点集．综上，具有性质P的点集是②④.。
高考数学《1.1集合与常用逻辑用语》
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解析 答案
第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-13-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
5.(教材例题改编P8例5)设集合A={x|(x+1)·(x-2)<0},集合 B={x|1<x<3},则A∩B=( )
A.(-1,3) B.(-1,0) C.(1,2) D.(2,3)
A.{1,2,3} B.{1,2,4}
C.{1,3,4} D.{2,3,4}
解析 ∵A={1,4},B={2,4}, ∴A∩B={4}. 又U={x∈N*|x≤4}={1,2,3,4}, A∴∁U(A∩B)={1,2,3}
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第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-12-
12345
2.集合间的基本关系
关系 自然语言
符号语言
集合 A 中所有元素都在 子集 集合 B 中(即若 x∈A,则 x A⊆B(或B⊇A)
∈B)
真子 集
相等
集合 A 是集合 B 的子集, 且集合 B 中至少有一个 元素不在集合 A 中
集合 A,B 中元素相同或 集合 A,B 互为子集
A⫋B(或B⫌A) A=B
-5-
Venn 图 或
第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-6-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
3.集合的运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
符号
A∪B
={x|x∈A或x∈B}
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【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题1 集合与常用逻辑用
语 1 集合的关系与运算 理
2．下列各组集合中，表示同一集合的是________．
①M ＝{(1,2)}，N ＝{(2,1)}；
②M ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，N ＝{1,3}；
③M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2|}，N ＝{x |x ＋y ＝2}；
④M ＝{(1,2)}，N ＝{1,2}．
3．已知集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{1，a 2－2a }，且B ⊆A ，则实数a 的不同取值个数为________．
4．已知集合A ＝{0,2x }，B ＝{－1,0,1}，若A ∩B ＝{0,1}，则x ＝________.
5．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∪B ＝________.
6．(2015·黑龙江哈尔滨第三中学一模)集合P ＝{x |
x －1x ＋3>0}，Q ＝{x |y ＝4－x 2}，则P ∩Q ＝________.
7．已知全集为U ＝R ，集合M ＝{x |x 2－2x －3≤0}，N ＝{y |y ＝x 2＋1}，则M ∩(∁U N )＝________.
8．已知集合A ＝{x |x 2－2x －8＝0}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋a 2－12＝0}，若A ∪B ≠A ，则实数a 的取值范围是________．
9．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________．
10．已知集合A ＝{1，cos θ}，B ＝{12
，1}，若A ＝B ，则锐角θ＝________. 11．(2015·宁夏银川唐徕回民中学期中)已知集合M ＝{2,4,6,8}，N ＝{1,2}，P ＝{x |x ＝a
b
，a ∈M ，b ∈N }，则集合P 的真子集的个数是________．
12．(2015·湖北教学合作联考)已知集合A ＝{x |x 2
－2 015x ＋2 014<0}，B ＝{x |log 2x <m }，若A ⊆B ，则整数m 的最小值是________．
13．设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |－1<x ≤4}，C ＝{x |－3<x <2}且集合A ∩(B ∪C )＝{x |a ≤x ≤b }，则a ＝________，b ＝________.
14．已知集合A ＝{y |y ＝－x 2＋2x }，B ＝{x ||x －m |<2 015}，若A ∩B ＝A ，则m 的取值范围
是________．
答案解析
1．P T
解析由x2－1＝0，得x＝±1，∴P＝{－1,1}．因此P T.
2．②
解析①中两个集合表示的是有序数对，而(1,2)和(2,1)是不同的．③中代表元素不同，④中M是有序数对，且M中只有一个元素，N中有两个元素，故③④均不符合题意，而②中M 表示方程x2－4x＋3＝0的解，其解为x＝3或1，故②中M＝N.
3．3
解析因为集合A＝{－1,1,3}，B＝{1，a2－2a}，且B⊆A，所以a2－2a＝－1或a2－2a＝3，解得a＝－1,1,3，故实数a的不同取值个数为3.
4．0
解析 由A ∩B ＝{0,1}，可得A ＝{0,1}，故2x ＝1，所以x ＝0.
5．(－1,3)
解析 由A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，得A ∪B ＝{x |－1＜x ＜2}∪{x |0＜x ＜3}＝{x |－1＜x ＜3}．
6．(1,2]
解析 ∵x －1x ＋3
>0⇔(x －1)(x ＋3)>0，∴x <－3或x >1.∵4－x 2≥0，∴x 2≤4，∴－2≤x ≤2.∴P ∩Q ＝{x |1<x ≤2}．
7．[－1,1)
解析 因为M ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}＝[－1,3]，又因为N ＝{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}，∁U N ＝{y |y <1}＝(－∞，1)，所以M ∩(∁U N )＝[－1,1)．
8．[－4，－2)∪(－2,4)
解析 若A ∪B ＝A ，则B ⊆A .
因为A ＝{x |x 2－2x －8＝0}＝{－2,4}．
又因为B ⊆A ，
当B ＝∅时，Δ＝a 2－4(a 2－12)<0.
即a 2>16.
所以a <－4或a >4.
当B 是单元素集合时，Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0，即a ＝±4.
若a ＝－4，则B ＝{2}A ；
若a ＝4，则B ＝{－2}⊆A .
当B ＝{－2,4}时，－2,4是方程x 2＋ax ＋a 2
－12＝0的两根，
故－a ＝－2＋4且a 2－12＝－2×4，
即a ＝－2.
综上可知，若A ∪B ＝A ，则a 的取值范围是{a |a <－4或a ＝－2或a ≥4}．
因此A ∪B ≠A 时，a 的取值范围是{a |－4≤a <4且a ≠－2}．
9．[34，43
) 解析 A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为直线x ＝a >0，f (－3)＝6a ＋8>0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数为2，所以有f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥34，a <43，即
34≤a <43
. 10.π3
解析 由题意得cos θ＝12，又因为θ为锐角，所以θ＝π3
. 11．63
解析 由已知得P ＝{2,1,4,6,3,8}，故集合P 的真子集的个数为26－1＝63.
12．11
解析 由x 2－2 015x ＋2 014<0，解得1<x <2 014，故A ＝{x |1<x <2 014}．由log 2x <m ，解得0<x <2m ，故B ＝{x |0<x <2m }．由A ⊆B ，可得2m ≥2 014，因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m 的最小值为11.
13．－1 2
解析 ∵B ∪C ＝{x |－3<x ≤4}，∴A (B ∪C )，∴A ∩(B ∪C )＝A .
由题意得{x |a ≤x ≤b }＝{x |－1≤x ≤2}，∴a ＝－1，b ＝2.
14．(－2 014,2 015)
解析 集合A 表示函数y ＝－x 2＋2x 的值域，由t ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1可得0≤y ≤1，故A ＝[0,1]．
集合B 表示不等式|x －m |<2 015的解集，解不等式得m －2 015<x <m ＋2 015，
所以B ＝(m －2 015，m ＋2 015)．
因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B .
所以有⎩⎪⎨⎪⎧ m －2 015<0，m ＋2 015>1，解得－2 014<m <2 015.。