电磁感应导轨电路中的电容问题

导轨电路中的电容问题1．两相互平行且足够长的水平金属导轨MN 、PQ 放在竖直平面内，相距0.4m ，左端接有平行板电容器，板间距离为0.2m ，右端接滑动变阻器R 。

水平匀强磁场磁感应强度为10T ，垂直于导轨所在平面，整个装置均处于上述匀强磁场中，导体棒CD 与金属导轨垂直且接触良好，棒的电阻为1Ω，其他电阻及摩擦不计。

现在用与金属导轨平行，大小为2N 的恒力F 使棒从静止开始运动。

已知R 的最大阻值为2Ω，g=10m/s 2。

则：⑴ 滑动变阻器阻值取不同值时，导体棒处于稳定状态时拉力的功率不一样，求导体棒处于稳定状态时拉力的最大功率。

⑵当滑动触头在滑动变阻器中点且导体棒处于 稳定状态时，一个带电小球从平行板电容器左侧，以某一速度沿两板的正中间且平行于两极板射入后，在两极板间恰好做匀速直线运动；当滑动触头位于最下端且导体棒处于稳定状态时，该带电小球以同样的方式和速度射入，小球在两极板间恰好做匀速圆周运动，则小球的速度为多大。

解：（1）当棒达到匀速运动时，棒受到的安培力F 1与外力F 相平衡，即F=F 1=BIL ① （1分）此时棒产生的电动势E=BL v ，则电路中的电流。

I ＝ E R ＋r ＝ BL v R ＋r② （1分）由①②式得此时棒的速度 V ＝F(R ＋r) B 2L 2③ （1分） 拉力功率 P ＝FV ＝F 2(R ＋r)B 2L 2④ （1分） 由④式知回路的总电阻越大时，拉力功率越大，当R=2Ω时，拉力功率最大，P m =0.75(W) （1分） (2)当触头滑到中点即R=1Ω时，由③式知棒匀速运动的速度v 1＝F(R ＋r) B 2L 2 ＝0.25(m/s) （1分）导体棒产生的感应电动势 E 1=BL v 1=10×0.4×0.25=1(V) （1分）电容器两极板间电压 U 1＝E 1RR ＋r＝0.5(V) （1分）由于棒在平行板间做匀速直线运动，则小球必带正电,此时小球受力情况如图所示，设小球的入射速度为v 0,由平衡条件知： F+f=G即 q U 1d ＋q v 0B=mg ⑤ （2分）当滑头滑至下端即R=2Ω时，棒的速度V 2＝F(R ＋r) B 2L 2＝ 38 (m/s ) （1分） 导体棒产生的感应电动势 E 2=BLV 2=1.5伏 （1分）RM ND F电容器两极板间的电压 U 2＝E 2RR ＋r ＝1伏 （1分）由于小球在平行板间做匀速圆周运动,电场力与重力平衡，于是：q U 2d ＝mg ⑥ （2分） 联立⑤⑥并代入数值解得 v 0＝U 2—U 1Bd ＝0.25(m/s ) （1分）小球作圆周运动时洛仑兹力提供向心力,有q v 0B ＝mv 02r⑦ （2分）联立⑥⑦解得小球作圆周运动的半径为r ＝0.0125 m （2分）2、 如图所示，光滑的平行导轨P 、Q 相距l =1m ，处在同一水平面中，导轨的左端接有如图所示的电路，其中水平放置的电容器两极板相距d =10mm ，定值电阻R 1=R 3=8Ω，R 2=2Ω，导轨的电阻不计，磁感强度B =0.4T 的匀强磁场竖直向下穿过导轨面，当金属棒ab 沿导轨向右匀速运动（开关S 断开）时，电容器两极之间质量m =1×10-14kg ，带电量q =-1×10-15C 的微粒恰好静止不动；当S 闭合时，微粒的加速度a =7m /s 2向下做匀加速运动，取g =10m /s 2, 求：（1）金属棒所运动的速度多大？电阻多大？（2）S 闭合后，使金属棒ab 做匀速运动的外力的功率多大？解答：（1）带电微粒在电容器两极间静止时，受向上的电场力和向下的重力而平衡，根据平衡条件有d Uq mg 1=，解得电容器两极间电压为：V q mgd U 1101.0101015141=⨯⨯==-- 由于微粒带负电，可知上板电势较高，由于S 断开，R 3上无电流，R 1、R 2上电压等于U 1, 可知电路中的感应电流，即通过R 1、R 2的电流强度为：A R R U I 1.02111=+=根据闭合电路欧姆定律，可知ab 切割磁感线运动产生的感应电动势为：r I U E 11+=（1） S 闭合时，带电微粒向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律有：ma dU qmg =-2可以求得S 闭合时电容器两板间的电压为：V qda g m U 3.0)(2=-=这是电路中的电流为：2I =A R U 15.022= 根据闭合电路欧姆定律有：)(231312r R R R R R I E +++= （2）将已知量代入（1）（2）式，可求得：2.1=E V ，Ω=2r 由E=BLv 得：s m BLEv /3==（2）S 闭合时，通过ab 电流I 2=0.15A ，ab 所受磁场力为N L BI F B 06.02==，ab 的速度v =3m /s做匀速运动，所受外力与磁场力F B 大小相等，方向相反，即F =0.06N ，方向向右，则外力功率为P=Fv =0.06×3w =0.18w3.如图所示,在水平方向与纸面垂直的足够大的匀强磁场中,有一足够长的 形金属框架abcd 以v1=2m/s 的速度向右做切割磁感线运动,在框架abcd 上下两板内产生一个匀强电场.有一个带电油滴以水平速度v2从P 点(ap=L/2)向左射入框架内做匀速圆周运动(g=10m/s2).求: (1) 油滴必须带什么性质的电荷, 油滴做匀速圆周运动的周期是多少?(2) 为使油滴不跟框架壁相碰, 油滴速度v2与框架宽度L 的比值v2/L 应满足什么条件? (3) 为使油滴不离开电场,并且能够在框架内完整地运动一周,速度v2要满足什么条件?解： 油滴应带负电. 由于框架左边作切割磁感线运动,使上下两板间产生电压 U=BLv 两板间电场强度 E=L U=Bv1由油滴做匀速圆周运动的条件得 mg=qE=qBv1∴ B=1qv mg油滴运动的周期 T=52221πππ==g v qBm s （2）∵R v mqBv 222= R g v v mg qv q mv Bq mv 21122=⋅== 油滴不跟框架壁相碰应满足条件2R ＜L/2 即g v v 212＜2L∴ L v 2＜14v g =1.25s-1(3)油滴顺时针做圆周运动,若v2的水平速度大小等于v1时未脱离电场,则以后不再会脱离.设当油滴转至其线速度方向与竖直方向的夹角为θ时油滴速度v2的水平分量大小等于v1, 油滴刚好运动至框架右边缘,(如图所示) 则V2sin θ=v1t=22323V R ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-θπωθπv1t ＞Rcos θbc dL a 2∴ v1⎪⎭⎫ ⎝⎛-θπ23＞v2cos θ 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2111sin 23v v v π＞2122v v -4、如图所示 , 在虚线框内有一磁感应强度为B 的匀强磁场 ,在磁场中的 PQ 和 MN 是两条光滑的平行金属导轨 , 其电阻不计 , 两导轨间距离为 L, 它们都与水平面成α角 .已知匀强磁场的方向与导轨所在平面垂直 , 放置在导轨上的金属棒ab 与导轨垂直 , 其质量为m ，电阻为r.在导轨的一端接着阻值 为 R 的电阻器 。

C 、D 为竖直放置的, 间距为 d 的平行板电容器 , 两板间的 JK 是与水平面成θ角的一条绝缘光滑直导轨。

当金属棒ab 在导轨上匀速下滑时 , 一个穿在 JK 导轨上的带电小球恰能静止在 JK 导轨上。

求：(1)ab 杆下滑的速度。

(2)带电小球所带电荷的电性。

(3)带电小球的比荷。

25．解：(1)BLv E =………………………………………………① 1分r R EI +=…………………………………………………② 1分 BIL F =安…………………………………………………③ 1分联立①②③得：rR vL B F +=22安……………………………… 2分对ab 受力分析得：αsin mg F =安………………………④ 2分 ∴ab 杆下滑的速度22)(sin L B r R mg v +=α…………………⑤ 2分(2)小球带正电。

……………………………………………… 3分 (3)设小球的质量为M ，电荷量为q ，对电路：rR REU +=…………………………………………⑥ 2分 对匀强电场：dUE =…………………………………………⑦ 2分对小球受力分析得：θtan Mg qE =………………………⑧ 2分 联立⑤⑥⑦⑧得：带电小球的比荷αθsin tan mR BLd M q =……………2分6、如图3-3-4所示，水平放置的两根平行光滑金属导轨相距40cm ，质量为0.1kg 的金属杆ab 垂直于导轨放于其上，导轨间接行电阻R ＝20Ω和电容C ＝500PF ，匀强磁场方向垂直于导轨平面竖直向下，磁感应强D度B ＝1.0T ，现有水平向右的外力使ab 从静止开始以加速度a ＝5.0m ／s 2向右做匀加速运动，不计其他电阻和阻力，求：（1）电容器中的电流; （2）t ＝2s 时外力的大小．14、解：（1）电容器中电流I C＝tQ∆∆① △Q ＝C ·△U ② △U ＝BL △V ③ a＝△V ／△t ④由上四式可得：IC ＝CBLa ＝1×10－9A（2）V ＝at ＝10m/s E ＝BLV ＝4V I ＝E/R ＝0.2A 远大于电容器的充电电流。

所以电容器电流可忽略不计。

由牛顿第二定律：F －BIL ＝ma 解得：F ＝0. 58N7、如图所示，一个金属杆被分为两部分，中间串联一个体积可忽略不计的电压表，两平行导轨间的距离为L ，在导轨左端串联一个电容器，电容器没有充电，空间存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度大小为B ．将金属杆放置在光滑的金属导轨上，然后在外力的作用下让金属杆以速度v 做匀速运动，导轨、金属杆的电阻均不计．求经过一端较长时间后电压表的读数？【分析】本题的关键是理解电压表的工作原理和电容器的充放电条件．在金属杆运动的初始阶段，电容器处于充电过程，随着电容器上的电荷数量的增加，电容器两极间电压也逐渐增大，当电容器两极板问电压等于金属杆两端电压时，电容器停止充电，此时电路中的电流为零．【答案】电压表的读数取决于电压表的内阻与流过电压表电流的乘积，设r 为电压表内阻，则有：，因为电路中电流 I 为零，所以，即电压表的示数为0．【启示】本题中电压表没有示数，并不表示a 、b 两点问电压为0，这时 ．那么，为什么a 、b 两点问电压不为0而电压表示数却为0呢？这是因为电压表的体积可以忽略不计，即电压表内线圈两端可以认为是同一个点，因此电压表内线圈两端没有电势差，电压表的线圈中没有电流流过，电压表也就示数为0了．Ra b F图3-3-4。