上海市杨浦区2015学年高三一模数学试卷(理)含答案
上海市杨浦区2015届高三一模数学文含答案
上海市杨浦区2015届高三一模数学文含答案XXX年度第一学期高三年级学业质量调研数学学科试卷（文科）考生注意：1.答卷前，务必在答题纸上写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上。
2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟。
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.已知sinα=1/2，α∈(0,π)，则α=π/6.2.设A={x|1≤x≤3}，B={xm+1≤x≤2m+4,m∈R}，A⊆B，则m的取值范围是[-1,3)。
3.已知等差数列{an}中，a3=7，a7=3，则通项公式为an=-2n+11.4.已知直线l经过点A(1,-2)、B(-3,2)，则直线l的方程是y=-x-1.5.函数f(x)=x^2-1(x<0)的反函数f^-1(x)=√(x+1)(x≥1)。
6.二项式(x-1/2)^4的展开式中的第4项是6x^2-12x+5/16.7.不等式log2(x-3)+x>2的解是(3,∞)。
8.已知条件p:x+1≤2；条件q:x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是(-∞,1]。
9.向量a=(2,3)，b=(-1,2)，若ma+b与a-2b平行，则实数m=1/2.10.一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：6排A座 | 6排B座 | 6排C座 | 走廊 | 6排D座 | 6排E座| 窗口 | 窗口 |其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的座位，小孙女喜欢看风景要坐靠窗的座位，则座位的安排方式一共有60种。
11.已知一个铁球的体积为36π，则该铁球的表面积为54π。
12.已知集合A={z|z=1+i+i^2+。
+in,n∈N*}，则集合A的子集个数为2^n-1.13.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。
若(a+b-c)(a+b+c)=ab，则角C=π/3.14.如图所示，已知函数y=log2(4x)图像上的两点A，B和函数y=log2(x)上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC 为正三角形时，点B的坐标为(-1,2)，则实数p=-1/4.值为_______________。
上海市普陀区2015届高三一模数学(理)试卷含答案
普陀区2015届高三12月质量调研（一模）数学（理）试卷2014.121.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.3.本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．依据．．. 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1. 若集合}1lg |{<=x x A ，∈==x x y y B ,sin |{R }，则=B A .2. 若1lim=+∞→an ann ，则常数=a .3. 若1>x ，则函数112-+-=x x x y 的最小值为 .4. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-π=x y 4tan 的单调递减区间是 . 5. 方程1)7lg(lg =-+x x 的解集为 .6. 如图，正三棱柱的底面边长为2，体积为3，则直线C B 1与底面ABC 所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.7. 若方程132||22=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是 .8. 函数22)(2+-=x x x f （0≤x ）的反函数是 .9. 在二项式81⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，含2x 项的系数为 （结果用数值表示）. 10. 若抛物线mx y 42=（0>m ）的焦点在圆122=+y x 内，则实数m 的取值范围是 .ABC1C1B1A第6题11. 在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若32=a ，2=c ，120=A ，则=∆ABC S .12. 若无穷等比数列}{n a 的各项和等于公比q ，则首项1a 的最大值是 .13. 设a 为大于1的常数，函数⎩⎨⎧≤>=+00log )(1x a x x x f x a ，若关于x 的方程0)()(2=⋅-x f b x f恰有三个不同的实数解，则实数b 的取值范围是 .14. 如图，点1P ,2P ,… ,10P 分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面 内的四点组()k j i P P P P ,,,1 （101≤<<<k j i ）共有 个.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.15．设a 、∈b R ，且0<ab ，则…………………………………………………………………………（ ）)(A ||||b a b a -<+ )(B ||||b a b a ->+ )(C ||||||b a b a -<- )(D ||||||b a b a +<-16.“点M 在曲线x y 42=上”是“点M 的坐标满足方程02=+y x ”的…………………………（ ）)(A 充分非必要条件 )(B 必要非充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要条件17.要得到函数x y 2sin =的图像，只需将函数⎪⎭⎫⎝⎛-=42cos πx y 的图像………………………………（ ）)(A 向左平移8π个单位 )(B 向右平移8π个单位 )(C 向左平移4π个单位 )(D 向右平移4π个单位3 498第14题18. 若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n (∈n N *，2≥n )等分点，沿向量BC 的方向依次为121,,,-n P P P ，记AP AP T n n ⋅++⋅+⋅=-1211 ， 若给出四个数值:①429 ②1091③18197 ④33232，则n T 的值不可能的共有…………………（ ） )(A 1个 )(B 2个 )(C 3个 )(D 4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19. (本题满分12分)已知P 是椭圆12422=+y x 上的一点，求P 到)0,(m M （0>m ）的距离的最小值.20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知函数x x b x a x f cos sin sin )(2+=满足2)23()6(==ππf f（1）求实数b a ,的值以及函数)(x f 的最小正周期；（2）记)()(t x f x g +=，若函数)(x g 是偶函数，求实数t 的值.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm ）.（加工中不计损失）.（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为12mm ，求钉身的长度（结果精确到1mm ）.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题5分，第（2）小题6分，第（3）小题5分已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且4=+n n a S ，∈n N * （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）已知32+=n c n （∈n N *），记=n d n C n a c log +(0>C 且1≠C )，是否存在这样的常数C ，使得数列}{n d 是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由. （3）若数列}{n b ，对于任意的正整数n ，均有2221123121+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++--n a b a b a b a b nn n n n 成立，求证：数列}{n b 是等差数列；23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分已知函数)(x f y =，若在定义域内存在0x ，使得)()(00x f x f -=-成立，则称0x 为函数)(x f 的局部对称点.（1）若a 、∈b R 且0≠a ，证明：函数a bx ax x f -+=2)(必有局部对称点；（2）若函数c x f x+=2)(在区间]2,1[-内有局部对称点，求实数c 的取值范围；（3）若函数324)(21-+⋅-=+m m x f x x 在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.普陀区高三理科数学质量调研卷参考答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1. )10,1[- 2.1 3.3 4.⎪⎭⎫⎝⎛+-43.4ππππk k （Z k ∈）5.}5,2{6.21arctan7.),3()2,2(+∞- 8.)2(11)(1≥--=-x x x f 9.70 10.1>m 11.3 12.4113. a b ≤<0 14. 33二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19. (本题满分12分)【解】设),(y x P ，其中22≤≤-x ……………………2分则222)(||y m x PM +-==2221212)(2222++-=-+-m mx x x m x ……5分 222)2(21m m x -+-=，对称轴m x 2=0>……7分 （1） 若220<<m ，即10<<m ，此时当m x 2=时，2min 2||m PM -=；……9分（2） 若22≥m ，即1≥m ，此时当2=x 时，|2|44||2min -=+-=m m m PM ；……11分综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-=1|,2|10,2||2min m m m m PM …………12分20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．【解】 （1）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2)23(2)6(ππf f 得，⎩⎨⎧==+283a b a ……2分，解得⎩⎨⎧==322b a ……3分将2=a，34=b 代入x x b x a x f cos sin sin )(2+=得x x x x f cos sin 32sin 2)(2+=所以)(x f x x 2sin 32cos 1+-=……4分)62sin(21π-+=x …………5分所以函数)(x f 的最小正周期ππ==22T …………6分 （2）由（1）得，1]6)(2sin[2)(+-+=+πt x t x f ，所以1622sin 2)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=πt x x g ……8分函数)(x g 是偶函数，则对于任意的实数x ，均有)()(x g x g =-成立。
上海市杨浦区2015届高三数学二模考试试卷理(含解析)
上海市杨浦区2015届高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．函数f（x）=的定义域是__________．2．若集合A=，则A∩B的元素个数为__________．3．若，则x的值是__________．4．（2x﹣）6展开式中常数项为__________（用数字作答）．5．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为__________．6．对数不等式（1+log3x）（a﹣log3x）＞0的解集是，则实数a的值为__________．7．极坐标方程所表示的曲线围成的图形面积为__________．8．如图，根据该程序框图，若输出的y为2，则输入的x的值为__________．9．（1999•广东）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是__________．10．已知是不平行的向量，设，则与共线的充要条件是实数k等于__________．11．已知方程x2﹣px+1=0（p∈R）的两根为x1、x2，若|x1﹣x2|=1，则实数p的值为__________．12．已知从上海飞往拉萨的航班每天有5班，现有甲、乙、丙三人选在同一天从上海出发去拉萨，则他们之中正好有两个人选择同一航班的概率为__________．13．已知n∈N*，在坐标平面中有斜率为n的直线l n与圆x2+y2=n2相切，且l n交y轴的正半轴于点P n，交x轴于点Q n，则的值为__________．14．对于自然数N*的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{1，2，4，6，9}的交替和是9﹣6+4﹣2+1=6；则集合{1，2，3，4，5，6，7}的所有非空子集的交替和的总和为__________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．“a≤﹣2”是“函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．在复平面中，满足等式|z+1|﹣|z﹣1|=2的z所对应点的轨迹是( )A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．两条射线17．设反比例函数f（x）=与二次函数g（x）=ax2+bx的图象有且仅有两个不同的公共点A （x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则=( )A．2或B．﹣2或C．2或D．﹣2或18．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为( )A．B．C．D．三.解答题（本大题满分74）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图，一条东西走向的大江，其河岸A处有人要渡江到对岸B处，江面上有一座大桥AC，已知B在A的西南方向，C在A的南偏西15°，BC=10公里．现有两种渡江方案：方案一：开车从大桥AC渡江到C处，然后再到B处；方案二：直接坐船从A处渡江到对岸B处．若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达B处，应选择哪个方案？说明理由．20．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1﹣EF﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）．21．已知函数f（x）=是奇函数．（1）求t的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）对于任意的m＞0，解不等式：f﹣1（x）＞log3．22．数列{a n}满足a1=1，a2=r（r＞0），令b n=a n•a n+1，{b n}是公比为q（q≠0，q≠﹣1）的等比数列，设c n=a2n﹣1+a2n．（1）求证：c n=（1+r）•q n﹣1；（2）设{c n}的前n项和为S n，求的值；（3）设{c n}前n项积为T n，当q=﹣时，T n的最大值在n=8和n=9的时候取到，求n为何值时，T n取到最小值．23．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，线段PQ为抛物线C的一条弦．（1）若弦PQ过焦点F，求证：为定值；（2）求证：x轴的正半轴上存在定点M，对过点M的任意弦PQ，都有为定值；（3）对于（2）中的点M及弦PQ，设，点N在x轴的负半轴上，且满足，求N点坐标．上海市杨浦区2015届高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．函数f（x）=的定义域是﹣2＜x≤1．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：只需被开方数为非负数、分母不为零同时成立即可．解答：解：根据题意，只需，即，解得﹣2＜x≤1，故答案为：﹣2＜x≤1．点评：本题考查函数的定义域，属于基础题．2．若集合A=，则A∩B的元素个数为3．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：集合A表示长轴为，短轴为1的椭圆内部的点集，B表示整数集，画出相应的图形，如图所示，找出A∩B的元素个数即可．解答：解：如图所示，由图形得：A∩B={（0，0），（﹣1，0），（1，0）}，共3个元素．故答案为：3．点评：此题考查了交集及其运算，利用了数形结合的思想，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．若，则x的值是log23．考点：二阶矩阵；有理数指数幂的化简求值．专题：矩阵和变换．分析：根据矩阵的定义直接计算即可．解答：解：∵，∴4x﹣2×2x=3，化简得（2x）2﹣2×2x﹣3=0，解得2x=3或﹣1（舍），从而，解得x=log23，故答案为：log23．点评：本题考查矩阵的计算，解对数方程，弄清矩阵的涵义是解题的关键，属于基础题．4．（2x﹣）6展开式中常数项为60（用数字作答）．考点：二项式定理．分析：用二项展开式的通项公式得展开式的第r+1项，令x的指数为0得展开式的常数项．解答：解：（2x﹣）6展开式的通项为=令得r=4故展开式中的常数项．故答案为60点评：二项展开式的通项公式是解决二项展开式中特殊项问题的工具．5．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为0.032．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：先计算数据的平均数后，再根据方差的公式计算．解答：解：数据9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数==10，方差=（0.09+0.01+0.01+0.04+0.01）=0.032．故答案为：0.032．点评：本题考查方差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．对数不等式（1+log3x）（a﹣log3x）＞0的解集是，则实数a的值为2．考点：指、对数不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：先解出不等式，再结合已知解集，可得结果．解答：解：将对数不等式两边同时乘以﹣1，得（log3x+1）（log3x﹣a）＜0，即（log3x﹣）（log3x﹣）＜0，所以此不等式的解为：或，∵其解集为解集是，∴=2，故答案为：2．点评：本题考查对数不等式的解法，属于中档题．7．极坐标方程所表示的曲线围成的图形面积为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用把极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆的面积计算公式即可得出．解答：解：化为，∴，配方为+=．因此极坐标方程所表示的曲线为圆心为，半径r=的圆．其围成的图形面积S=πr2=．故答案为：．点评：本题考查了圆的极坐标方程化为直角坐标方程、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．如图，根据该程序框图，若输出的y为2，则输入的x的值为4．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，得其功能是求分段函数y=的值，由输出的y为2，分情况讨论即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得其功能是求分段函数y=的值，若输出的y为2，则x＞0时，有=2，解得：x=4．当x≤0时，有2x=2，解得x=1（舍去）．故答案为：4．点评：本题考查了分支结构的程序框图，根据框图的流程分析得到程序的功能是解题的关键，属于基础题．9．（1999•广东）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是分析：根据所给的方程，当判别式不小于0时和小于0时，用求根公式表示出两个根的差，根据差的绝对值的值做出字母p的值．解答：解：当△=p2﹣4≥0，即p≥2或p≤﹣2，由求根公式得|x1﹣x2|==1，得p=±，当△=p2﹣4＜0，即﹣2＜p＜2，由求根公式得|x1﹣x2|==1，得p=±．综上所述，p=±或p=±．故答案为：±或±．点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是对于判别式与0的关系的讨论，方程有实根和没有实根时，两个根的表示形式不同，本题是一个易错题．12．已知从上海飞往拉萨的航班每天有5班，现有甲、乙、丙三人选在同一天从上海出发去拉萨，则他们之中正好有两个人选择同一航班的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：根据乘法原理得出甲、乙、丙三人选5班航班的总共事件为53，利用排列组合知识得出：他们之中正好有两个人选择同一航班”的有60个，再运用概率知识求解即可．解答：解：设“他们之中正好有两个人选择同一航班”的事件为B，根据题意得出甲、乙、丙三人选5班航班的总共事件为53，∵B事件的基本事件的个数为=60．∴P（B）==，故答案为：点评：本题考查了古典概率问题的事件的求解，关键是确定基本事件的个数，难度不大，属于容易题．13．已知n∈N*，在坐标平面中有斜率为n的直线l n与圆x2+y2=n2相切，且l n交y轴的正半轴于点P n，交x轴于点Q n，则的值为．考点：极限及其运算；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：设切线l n的方程为：y=nx+m，由于直线l n与圆x2+y2=n2相切，可得=n，取m=n．可得切线l n的方程为：y=nx+n，可得P n，Q n，可得|P n Q n|．再利用数列极限的运算法则即可得出．解答：解：设切线l n的方程为：y=nx+m，∵直线l n与圆x2+y2=n2相切，∴=n，取m=n．∴切线l n的方程为：y=nx+n，∴P n，Q n．∴|P n Q n|==1+n2．∴===．故答案为：．点评：本题考查了直线的方程、直线与圆的相切性质、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式，数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．对于自然数N*的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{1，2，4，6，9}的交替和是9﹣6+4﹣2+1=6；则集合{1，2，3，4，5，6，7}的所有非空子集的交替和的总和为448．考点：集合的表示法；进行简单的合情推理．专题：新定义；集合．分析：根据“交替和”的定义：求出S2、S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S n即可．解答：解：由题意，S2表示集合N={1，2}的所有非空子集的“交替和”的总和，又{1，2}的非空子集有{1}，{2}，{2，1}，∴S2=1+2+2﹣1=4；S3=1+2+3+（2﹣1）+（3﹣1）+（3﹣2）+（3﹣2+1）=12，S4=1+2+3+4+（2﹣1）+（3﹣1）+（4﹣1）+（3﹣2）+（4﹣2）+（4﹣3）+（3﹣2+1）+（4﹣2+1）+（4﹣3+1）+（4﹣3+2）+（4﹣3+2﹣1）=32，∴根据前4项猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S n=n•2n﹣1，所以S7=7×27﹣1=7×26=448，故答案为：448．点评：本题主要考查了数列的应用，同时考查了归纳推理的能力．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．“a≤﹣2”是“函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点”的( ) A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合一元二次函数的性质进行判断即可．解答：解：若函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点，则判别式△=a2﹣4=0，解得a=2或a=﹣2，则“a≤﹣2”是“函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点”的既非充分又非必要条件，故选：D．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．16．在复平面中，满足等式|z+1|﹣|z﹣1|=2的z所对应点的轨迹是( ) A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．两条射线考点：轨迹方程．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：利用复数的几何意义，即可判断出等式|z+1|﹣|z﹣1|=2的z所对应点的轨迹．解答：解：复数z满足|z+1|﹣|z﹣1|=2，则z对应的点在复平面内表示的是到两个定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之差为常数2，所以z对应的点在复平面内表示的图形为以F2（1，0）为起点，方向向右的一条射线．故选：C．点评：熟练掌握复数的几何意义是解题的关键．17．设反比例函数f（x）=与二次函数g（x）=ax2+bx的图象有且仅有两个不同的公共点A （x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则=( )A．2或B．﹣2或C．2或D．﹣2或考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知条件可以画出f（x），g（x）的图象，由图象可得到方程，即方程ax3+bx2﹣1=0有两个二重根，和一个一重根，所以可设二重根为c，另一根为d．所以上面方程又可表示成：a（x﹣c）2（x﹣d）=ax3﹣（ad+2ac）x2+（2acd+ac2）x﹣ac2d=0，所以便得到2acd+ac2=0，所以c=﹣2d．所以再根据图象可得．解答：解：根据题意可画出f（x），g（x）可能的图象：A，B两点的横坐标便是方程即ax3+bx2﹣1=0的解；由上面图象知道A，B两点中有一个点是f（x），g（x）图象的切点，反应在方程上是方程的二重根；所以可设二重根为c，另一根为d，则上面方程可变成：a（x﹣c）2（x﹣d）=0；将方程展开：ax3﹣（ad+2ac）x2+（2acd+ac2）x﹣ac2d=0；∴2acd+ac2=0；由图象知a，c≠0；∴由上面式子得：c=﹣2d；；∴；∴由图象知x1=c，x2=d，或x1=d，x2=c；∴．故选：B．点评：考查曲线的公共点和两曲线方程形成方程组的解的关系，以及方程二重根的概念，知道了方程的根会把方程表示成因式乘积的形式，两多项式相等时对应系数相等．18．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为( )A．B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：压轴题；数形结合．分析：根据题意和图形取AP的中点为D，设∠DOA=θ，在直角三角形求出d的表达式，根据弧长公式求出l的表达式，再用l表示d，根据解析式选出答案．解答：解：如图：取AP的中点为D，设∠DOA=θ，则d=2|OA|sinθ=2sinθ，l=2θ|OA|=2θ，∴d=2sin，根据正弦函数的图象知，C中的图象符合解析式．故选：C．点评：本题考查了正弦函数的图象，需要根据题意和弧长公式，表示出弦长d和弧长l的解析式，考查了分析问题和解决问题以及读图能力．三.解答题（本大题满分74）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图，一条东西走向的大江，其河岸A处有人要渡江到对岸B处，江面上有一座大桥AC，已知B在A的西南方向，C在A的南偏西15°，BC=10公里．现有两种渡江方案：方案一：开车从大桥AC渡江到C处，然后再到B处；方案二：直接坐船从A处渡江到对岸B处．若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达B处，应选择哪个方案？说明理由．考点：向量的三角形法则．专题：计算题．分析：分别计算两种方案的时间即可．解答：解：如图，过A作AD垂直BC交于D，根据题意知∠CAD=15°，∠BAD=45°，设CD为x公里，则有AD=，由于tan15°=tan（45°﹣30°）====，故AD===（2）x，∵BC=10公里，∠BAD=45°，∴BD=AD，即（2）x=x+10，解得x=CD=，从而AD=（2）×（）=5+，AC===10≈14.14，AB==（5+）=≈19.32，下面分别计算两种方案所要花费的时间：方案一：≈≈0.4023（时）；方案二：≈0.4293（时）；显然选择方案一．点评：本题考查速度、路程、时间之间的关系，属于基础题．20．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1﹣EF﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）．考点：直线与平面垂直的性质；反三角函数的运用；与二面角有关的立体几何综合题．专题：证明题；综合题；压轴题；探究型；向量法．分析：（I）法一：几何法：要D1E⊥平面AB1F，先确定D1E⊥平面AB1F内的两条相交直线，由三垂线定理易证D1E⊥AB1，同理证明D1E⊥AF即可．法二：代数法：建立空间直接坐标系，运用空间向量的数量积等于0，来证垂直．（II）法一：求二面角C1﹣EF﹣A的大小，转化为求C1﹣EF﹣C的大小，利用三垂线定理方法：E、F都是所在线的中点，过C连接AC，设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影．∠C1HC是二面角C1﹣EF﹣C的平面角．求解即可．法二：找出两个平面的法向量，运用空间向量数量积公式求出二面角的余弦值，再求其角．解答：解法一：（I）连接A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF．连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF．∵ABCD是正方形，E是BC的中点．∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．（II）当D1E⊥平面AB1F时，由（I）知点F是CD的中点．又已知点E是BC的中点，连接EF，则EF∥BD．连接AC，设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影．C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1﹣EF﹣C的平面角．在Rt△C1CH中，∵C1C=1，CH=AC=，∴tan∠C1HC=．∴∠C1HC=arctan，从而∠AHC1=π﹣arctan2．故二面角C1﹣EF﹣A的大小为．解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系（1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E，F（x，1，0）∴∴=1﹣1=0，即D1E⊥AB1于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E∪AF⇔即x=．故当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F（2）当D1E⊥平面AB1F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连接EF，则EF∥BD．连接AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF．连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影．∴C1H⊥EF，即∠AHC1是二面角C1﹣EF﹣A的平面角．∵，∵．∴，=，即．故二面角C1﹣EF﹣A的大小为π﹣arccos．点评：本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力．空间向量计算法容易出错．21．已知函数f（x）=是奇函数．（1）求t的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）对于任意的m＞0，解不等式：f﹣1（x）＞log3．考点：反函数；函数奇偶性的性质；其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由函数f（x）=是奇函数，可得f（0）=0，解得t，并验证是否满足条件即可．（2）由（1）可得：y=f（x）==1﹣，可得y∈（﹣1，1）．化为3x=（y≠1），把x与y互换可得，两边取对数即可得出反函数．（3）对于任意的m＞0，解不等式：f﹣1（x）＞log3．（x∈（﹣1，1））．化为＞，又x∈（﹣1，1））．化为m＞1﹣x，对m分类讨论即可得出．解答：解：（1）∵函数f（x）=是奇函数，∴f（0）==0，解得t=1，经过验证满足条件，∴t=1．（2）由（1）可得：y=f（x）==1﹣，可得y∈（﹣1，1）．解得3x=（y≠1），把x与y互换可得，∴y=，（x∈（﹣1，1））．∴f（x）的反函数f﹣1（x）=，（x∈（﹣1，1））．（3）对于任意的m＞0，解不等式：f﹣1（x）＞log3．（x∈（﹣1，1））．即＞log3．∴＞，又∵x∈（﹣1，1））．∴m＞1﹣x，当0＜m≤2时，解得1＞x＞1﹣m．当m＞2时，解得1＞x＞﹣1．∴不等式：f﹣1（x）＞log3的解集为：当0＜m≤2时，解集为（1﹣m，1）；当m＞2时，解集为（﹣1，1）．点评：本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的单调性、不等式的解法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．数列{a n}满足a1=1，a2=r（r＞0），令b n=a n•a n+1，{b n}是公比为q（q≠0，q≠﹣1）的等比数列，设c n=a2n﹣1+a2n．（1）求证：c n=（1+r）•q n﹣1；（2）设{c n}的前n项和为S n，求的值；（3）设{c n}前n项积为T n，当q=﹣时，T n的最大值在n=8和n=9的时候取到，求n为何值时，T n取到最小值．考点：等比数列的前n项和；极限及其运算；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据题意得出=q（n≥2），判断出奇数项，偶数项分别成等比数列，运用等比数列的通项公式求解即可．（2）运用等比数列的求和公式得出q=1时，S n=（1+r）n，=0，q≠1时，S n=，=，分类讨论求解即可（3）利用条件得出（1+r）8（﹣）28=（1+r）9（﹣）36，r=28﹣1=255，T n=（256）n•（﹣2）=（﹣1）•2，再根据函数性质得出最小项，注意符号即可．解答：解：（1）b n=a n•a n+1，{b n}是公比为q（q≠0，q≠﹣1）的等比数列，因为数列{a n a n+1}是一个以q（q≠0，q≠﹣1））为公比的等比数列因此=q，所以=q（n≥2），即=q（n≥2），∴奇数项，偶数项分别成等比数列∵设c n=a2n﹣1+a2n．∴c n=1•q n﹣1+r•q n﹣1=（1+r）•q n﹣1∴bn=（1+r）•qn﹣1（2）q=1时，S n=（1+r）n，=0q≠1时，S n=，=若0＜q＜1或﹣1＜q＜0时，=若q＞1或q＜﹣1时，=0∴=（3）设{c n}前n项积为T n，当q=﹣时，T n=（1+r）n∵T n的最大值在n=8和n=9的时候取到，∴（1+r）8（﹣）28=（1+r）9（﹣）36，r=28﹣1=255，∴T n=（256）n•（﹣2）=（﹣1）•2，根据数列的函数性质得出n=7，n=10时，T n的最小值为﹣235．点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求通项公式，等比数列求和公式的应用，数列极限的求解，要注意等比数列求和公式应用时对公比q的讨论，根据函数的性质解析式确定最值．23．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，线段PQ为抛物线C的一条弦．（1）若弦PQ过焦点F，求证：为定值；（2）求证：x轴的正半轴上存在定点M，对过点M的任意弦PQ，都有为定值；（3）对于（2）中的点M及弦PQ，设，点N在x轴的负半轴上，且满足，求N点坐标．考点：抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出直线PQ的方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1x2的值，由抛物线的定义分别表示出|FP|，|FQ|，代入整理得到定值，最后验证斜率不存在时的情况；（2）设出直线PQ的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和两点的距离公式，化简整理，即可求得定点M和定值；（3）运用向量共线的坐标表示和向量垂直的条件，化简整理即可求得定点N．解答：（1）证明：抛物线的焦点为F（，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣）（k≠0），代入抛物线方程，消去y，得k2x2﹣p（k2+2）x+=0，由根与系数的关系，得x1x2=，x1+x2=p+，由抛物线的定义，知|FP|=x1+，|FQ|=x2+．+=+===为定值．当PQ⊥x轴时，|FA|=|FB|=p，上式仍成立；（2）证明：设M（m，0），当PQ⊥x轴时，令x=m，可得y2=2pm，|MP|=|MQ|=，有+为定值．当PQ斜率存在时，设PQ：x=ty+m，代入抛物线方程可得，y2﹣2pty﹣2pm=0，设P（，y1），Q（，y2）则y1+y2=2pt，y1y2=﹣2pm．即有|MP|2=（m﹣）2+y12=+y12=（1+t2）y12，同理|MQ|2=（m﹣）2+y22=（1+t2）y22．即有+=•，存在m=p即有定点M（p，0）时，上式为•=为定值；（3）解：，可得=，，可得（+λ）•（﹣λ）=0，即为NP2=λ2NQ2，由P（，y1），Q（，y2），M（p，0），设，则y1=﹣λy2，①p﹣=λ（﹣p），②又设N（n，0）（n＜0），则（n﹣）2+y12=λ2，即为﹣n=λ（﹣n），③将①平方可得，y12=λ2y22，④，将④代入②③，化简可得n=﹣p．则N（﹣p，0）．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的关系．同时考查向量垂直的条件和向量共线的坐标表示，注意运用韦达定理和抛物线的定义是解题的关键，具有一定的运算量，属于中档题．。
上海市杨浦区2015届高三二模考试数学试卷理科
上海市杨浦区2015届高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．函数f（x）=的定义域是__________．2．若集合A=，则A∩B的元素个数为__________．3．若，则x的值是__________．4．（2x﹣）6展开式中常数项为__________（用数字作答）．5．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为__________．6．对数不等式（1+log3x）（a﹣log3x）＞0的解集是，则实数a的值为__________．7．极坐标方程所表示的曲线围成的图形面积为__________．8．如图，根据该程序框图，若输出的y为2，则输入的x的值为__________．9．（1999•广东）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是__________．10．已知是不平行的向量，设，则与共线的充要条件是实数k等于__________．11．已知方程x2﹣px+1=0（p∈R）的两根为x1、x2，若|x1﹣x2|=1，则实数p的值为__________．12．已知从上海飞往拉萨的航班每天有5班，现有甲、乙、丙三人选在同一天从上海出发去拉萨，则他们之中正好有两个人选择同一航班的概率为__________．13．已知n∈N*，在坐标平面中有斜率为n的直线l n与圆x2+y2=n2相切，且l n交y轴的正半轴于点P n，交x轴于点Q n，则的值为__________．14．对于自然数N*的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{1，2，4，6，9}的交替和是9﹣6+4﹣2+1=6；则集合{1，2，3，4，5，6，7}的所有非空子集的交替和的总和为__________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．“a≤﹣2”是“函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．在复平面中，满足等式|z+1|﹣|z﹣1|=2的z所对应点的轨迹是( )A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．两条射线17．设反比例函数f（x）=与二次函数g（x）=ax2+bx的图象有且仅有两个不同的公共点A （x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则=( )A．2或B．﹣2或C．2或D．﹣2或18．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为( )A．B．C．D．三.解答题（本大题满分74）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图，一条东西走向的大江，其河岸A处有人要渡江到对岸B处，江面上有一座大桥AC，已知B在A的西南方向，C在A的南偏西15°，BC=10公里．现有两种渡江方案：方案一：开车从大桥AC渡江到C处，然后再到B处；方案二：直接坐船从A处渡江到对岸B处．若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达B处，应选择哪个方案？说明理由．20．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD 上的动点．（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1﹣EF﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）．21．已知函数f（x）=是奇函数．（1）求t的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）对于任意的m＞0，解不等式：f﹣1（x）＞log3．22．数列{a n}满足a1=1，a2=r（r＞0），令b n=a n•a n+1，{b n}是公比为q（q≠0，q≠﹣1）的等比数列，设c n=a2n﹣1+a2n．（1）求证：c n=（1+r）•q n﹣1；（2）设{c n}的前n项和为S n，求的值；（3）设{c n}前n项积为T n，当q=﹣时，T n的最大值在n=8和n=9的时候取到，求n为何值时，T n取到最小值．23．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，线段PQ为抛物线C的一条弦．（1）若弦PQ过焦点F，求证：为定值；（2）求证：x轴的正半轴上存在定点M，对过点M的任意弦PQ，都有为定值；（3）对于（2）中的点M及弦PQ，设，点N在x轴的负半轴上，且满足，求N点坐标．上海市杨浦区2015届高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．函数f（x）=的定义域是﹣2＜x≤1．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：只需被开方数为非负数、分母不为零同时成立即可．解答：解：根据题意，只需，即，解得﹣2＜x≤1，故答案为：﹣2＜x≤1．点评：本题考查函数的定义域，属于基础题．2．若集合A=，则A∩B的元素个数为3．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：集合A表示长轴为，短轴为1的椭圆内部的点集，B表示整数集，画出相应的图形，如图所示，找出A∩B的元素个数即可．解答：解：如图所示，由图形得：A∩B={（0，0），（﹣1，0），（1，0）}，共3个元素．故答案为：3．点评：此题考查了交集及其运算，利用了数形结合的思想，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．若，则x的值是log23．考点：二阶矩阵；有理数指数幂的化简求值．专题：矩阵和变换．分析：根据矩阵的定义直接计算即可．解答：解：∵，∴4x﹣2×2x=3，化简得（2x）2﹣2×2x﹣3=0，解得2x=3或﹣1（舍），从而，解得x=log23，故答案为：log23．点评：本题考查矩阵的计算，解对数方程，弄清矩阵的涵义是解题的关键，属于基础题．4．（2x﹣）6展开式中常数项为60（用数字作答）．考点：二项式定理．分析：用二项展开式的通项公式得展开式的第r+1项，令x的指数为0得展开式的常数项．解答：解：（2x﹣）6展开式的通项为=令得r=4故展开式中的常数项．故答案为60点评：二项展开式的通项公式是解决二项展开式中特殊项问题的工具．5．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为0.032．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：先计算数据的平均数后，再根据方差的公式计算．解答：解：数据9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数==10，方差=（0.09+0.01+0.01+0.04+0.01）=0.032．故答案为：0.032．点评：本题考查方差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．对数不等式（1+log3x）（a﹣log3x）＞0的解集是，则实数a的值为2．考点：指、对数不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：先解出不等式，再结合已知解集，可得结果．解答：解：将对数不等式两边同时乘以﹣1，得（log3x+1）（log3x﹣a）＜0，即（log3x﹣）（log3x﹣）＜0，所以此不等式的解为：或，∵其解集为解集是，∴=2，故答案为：2．点评：本题考查对数不等式的解法，属于中档题．7．极坐标方程所表示的曲线围成的图形面积为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用把极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆的面积计算公式即可得出．解答：解：化为，∴，配方为+=．因此极坐标方程所表示的曲线为圆心为，半径r=的圆．其围成的图形面积S=πr2=．故答案为：．点评：本题考查了圆的极坐标方程化为直角坐标方程、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．如图，根据该程序框图，若输出的y为2，则输入的x的值为4．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，得其功能是求分段函数y=的值，由输出的y为2，分情况讨论即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得其功能是求分段函数y=的值，若输出的y为2，则x＞0时，有=2，解得：x=4．当x≤0时，有2x=2，解得x=1（舍去）．故答案为：4．点评：本题考查了分支结构的程序框图，根据框图的流程分析得到程序的功能是解题的关键，属于基础题．9．（1999•广东）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是分析：根据所给的方程，当判别式不小于0时和小于0时，用求根公式表示出两个根的差，根据差的绝对值的值做出字母p的值．解答：解：当△=p2﹣4≥0，即p≥2或p≤﹣2，由求根公式得|x1﹣x2|==1，得p=±，当△=p2﹣4＜0，即﹣2＜p＜2，由求根公式得|x1﹣x2|==1，得p=±．综上所述，p=±或p=±．故答案为：±或±．点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是对于判别式与0的关系的讨论，方程有实根和没有实根时，两个根的表示形式不同，本题是一个易错题．12．已知从上海飞往拉萨的航班每天有5班，现有甲、乙、丙三人选在同一天从上海出发去拉萨，则他们之中正好有两个人选择同一航班的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：根据乘法原理得出甲、乙、丙三人选5班航班的总共事件为53，利用排列组合知识得出：他们之中正好有两个人选择同一航班”的有60个，再运用概率知识求解即可．解答：解：设“他们之中正好有两个人选择同一航班”的事件为B，根据题意得出甲、乙、丙三人选5班航班的总共事件为53，∵B事件的基本事件的个数为=60．∴P（B）==，故答案为：点评：本题考查了古典概率问题的事件的求解，关键是确定基本事件的个数，难度不大，属于容易题．13．已知n∈N*，在坐标平面中有斜率为n的直线l n与圆x2+y2=n2相切，且l n交y轴的正半轴于点P n，交x轴于点Q n，则的值为．考点：极限及其运算；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：设切线l n的方程为：y=nx+m，由于直线l n与圆x2+y2=n2相切，可得=n，取m=n．可得切线l n的方程为：y=nx+n，可得P n，Q n，可得|P n Q n|．再利用数列极限的运算法则即可得出．解答：解：设切线l n的方程为：y=nx+m，∵直线l n与圆x2+y2=n2相切，∴=n，取m=n．∴切线l n的方程为：y=nx+n，∴P n，Q n．∴|P n Q n|==1+n2．∴===．故答案为：．点评：本题考查了直线的方程、直线与圆的相切性质、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式，数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．对于自然数N*的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{1，2，4，6，9}的交替和是9﹣6+4﹣2+1=6；则集合{1，2，3，4，5，6，7}的所有非空子集的交替和的总和为448．考点：集合的表示法；进行简单的合情推理．专题：新定义；集合．分析：根据“交替和”的定义：求出S2、S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S n即可．解答：解：由题意，S2表示集合N={1，2}的所有非空子集的“交替和”的总和，又{1，2}的非空子集有{1}，{2}，{2，1}，∴S2=1+2+2﹣1=4；S3=1+2+3+（2﹣1）+（3﹣1）+（3﹣2）+（3﹣2+1）=12，S4=1+2+3+4+（2﹣1）+（3﹣1）+（4﹣1）+（3﹣2）+（4﹣2）+（4﹣3）+（3﹣2+1）+（4﹣2+1）+（4﹣3+1）+（4﹣3+2）+（4﹣3+2﹣1）=32，∴根据前4项猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S n=n•2n﹣1，所以S7=7×27﹣1=7×26=448，故答案为：448．点评：本题主要考查了数列的应用，同时考查了归纳推理的能力．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．“a≤﹣2”是“函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合一元二次函数的性质进行判断即可．解答：解：若函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点，则判别式△=a2﹣4=0，解得a=2或a=﹣2，则“a≤﹣2”是“函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点”的既非充分又非必要条件，故选：D．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．16．在复平面中，满足等式|z+1|﹣|z﹣1|=2的z所对应点的轨迹是( )A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．两条射线考点：轨迹方程．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：利用复数的几何意义，即可判断出等式|z+1|﹣|z﹣1|=2的z所对应点的轨迹．解答：解：复数z满足|z+1|﹣|z﹣1|=2，则z对应的点在复平面内表示的是到两个定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之差为常数2，所以z对应的点在复平面内表示的图形为以F2（1，0）为起点，方向向右的一条射线．故选：C．点评：熟练掌握复数的几何意义是解题的关键．17．设反比例函数f（x）=与二次函数g（x）=ax2+bx的图象有且仅有两个不同的公共点A （x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则=( )A．2或B．﹣2或C．2或D．﹣2或考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知条件可以画出f（x），g（x）的图象，由图象可得到方程，即方程ax3+bx2﹣1=0有两个二重根，和一个一重根，所以可设二重根为c，另一根为d．所以上面方程又可表示成：a（x﹣c）2（x﹣d）=ax3﹣（ad+2ac）x2+（2acd+ac2）x﹣ac2d=0，所以便得到2acd+ac2=0，所以c=﹣2d．所以再根据图象可得．解答：解：根据题意可画出f（x），g（x）可能的图象：A，B两点的横坐标便是方程即ax3+bx2﹣1=0的解；由上面图象知道A，B两点中有一个点是f（x），g（x）图象的切点，反应在方程上是方程的二重根；所以可设二重根为c，另一根为d，则上面方程可变成：a（x﹣c）2（x﹣d）=0；将方程展开：ax3﹣（ad+2ac）x2+（2acd+ac2）x﹣ac2d=0；∴2acd+ac2=0；由图象知a，c≠0；∴由上面式子得：c=﹣2d；；∴；∴由图象知x1=c，x2=d，或x1=d，x2=c；∴．故选：B．点评：考查曲线的公共点和两曲线方程形成方程组的解的关系，以及方程二重根的概念，知道了方程的根会把方程表示成因式乘积的形式，两多项式相等时对应系数相等．18．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为( )A．B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：压轴题；数形结合．分析：根据题意和图形取AP的中点为D，设∠DOA=θ，在直角三角形求出d的表达式，根据弧长公式求出l的表达式，再用l表示d，根据解析式选出答案．解答：解：如图：取AP的中点为D，设∠DOA=θ，则d=2|OA|sinθ=2sinθ，l=2θ|OA|=2θ，∴d=2sin，根据正弦函数的图象知，C中的图象符合解析式．故选：C．点评：本题考查了正弦函数的图象，需要根据题意和弧长公式，表示出弦长d和弧长l的解析式，考查了分析问题和解决问题以及读图能力．三.解答题（本大题满分74）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图，一条东西走向的大江，其河岸A处有人要渡江到对岸B处，江面上有一座大桥AC，已知B在A的西南方向，C在A的南偏西15°，BC=10公里．现有两种渡江方案：方案一：开车从大桥AC渡江到C处，然后再到B处；方案二：直接坐船从A处渡江到对岸B处．若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达B处，应选择哪个方案？说明理由．考点：向量的三角形法则．专题：计算题．分析：分别计算两种方案的时间即可．解答：解：如图，过A作AD垂直BC交于D，根据题意知∠CAD=15°，∠BAD=45°，设CD为x公里，则有AD=，由于tan15°=tan（45°﹣30°）====，故AD===（2）x，∵BC=10公里，∠BAD=45°，∴BD=AD，即（2）x=x+10，解得x=CD=，从而AD=（2）×（）=5+，AC===10≈14.14，AB==（5+）=≈19.32，下面分别计算两种方案所要花费的时间：方案一：≈≈0.4023（时）；方案二：≈0.4293（时）；显然选择方案一．点评：本题考查速度、路程、时间之间的关系，属于基础题．20．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD 上的动点．（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1﹣EF﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）．考点：直线与平面垂直的性质；反三角函数的运用；与二面角有关的立体几何综合题．专题：证明题；综合题；压轴题；探究型；向量法．分析：（I）法一：几何法：要D1E⊥平面AB1F，先确定D1E⊥平面AB1F内的两条相交直线，由三垂线定理易证D1E⊥AB1，同理证明D1E⊥AF即可．法二：代数法：建立空间直接坐标系，运用空间向量的数量积等于0，来证垂直．（II）法一：求二面角C1﹣EF﹣A的大小，转化为求C1﹣EF﹣C的大小，利用三垂线定理方法：E、F都是所在线的中点，过C连接AC，设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD 内的射影．∠C1HC是二面角C1﹣EF﹣C的平面角．求解即可．法二：找出两个平面的法向量，运用空间向量数量积公式求出二面角的余弦值，再求其角．解答：解法一：（I）连接A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF．连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF．∵ABCD是正方形，E是BC的中点．∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．（II）当D1E⊥平面AB1F时，由（I）知点F是CD的中点．又已知点E是BC的中点，连接EF，则EF∥BD．连接AC，设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影．C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1﹣EF﹣C的平面角．在Rt△C1CH中，∵C1C=1，CH=AC=，∴tan∠C1HC=．∴∠C1HC=arctan，从而∠AHC1=π﹣arctan2．故二面角C1﹣EF﹣A的大小为．解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系（1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E，F（x，1，0）∴∴=1﹣1=0，即D1E⊥AB1于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E∪AF⇔即x=．故当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F（2）当D1E⊥平面AB1F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连接EF，则EF∥BD．连接AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF．连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影．∴C1H⊥EF，即∠AHC1是二面角C1﹣EF﹣A的平面角．∵，∵．∴，=，即．故二面角C1﹣EF﹣A的大小为π﹣arccos．点评：本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力．空间向量计算法容易出错．21．已知函数f（x）=是奇函数．（1）求t的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）对于任意的m＞0，解不等式：f﹣1（x）＞log3．考点：反函数；函数奇偶性的性质；其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由函数f（x）=是奇函数，可得f（0）=0，解得t，并验证是否满足条件即可．（2）由（1）可得：y=f（x）==1﹣，可得y∈（﹣1，1）．化为3x=（y≠1），把x与y互换可得，两边取对数即可得出反函数．（3）对于任意的m＞0，解不等式：f﹣1（x）＞log3．（x∈（﹣1，1））．化为＞，又x∈（﹣1，1））．化为m＞1﹣x，对m分类讨论即可得出．解答：解：（1）∵函数f（x）=是奇函数，∴f（0）==0，解得t=1，经过验证满足条件，∴t=1．（2）由（1）可得：y=f（x）==1﹣，可得y∈（﹣1，1）．解得3x=（y≠1），把x与y互换可得，∴y=，（x∈（﹣1，1））．∴f（x）的反函数f﹣1（x）=，（x∈（﹣1，1））．（3）对于任意的m＞0，解不等式：f﹣1（x）＞log3．（x∈（﹣1，1））．即＞log3．∴＞，又∵x∈（﹣1，1））．∴m＞1﹣x，当0＜m≤2时，解得1＞x＞1﹣m．当m＞2时，解得1＞x＞﹣1．∴不等式：f﹣1（x）＞log3的解集为：当0＜m≤2时，解集为（1﹣m，1）；当m＞2时，解集为（﹣1，1）．点评：本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的单调性、不等式的解法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．数列{a n}满足a1=1，a2=r（r＞0），令b n=a n•a n+1，{b n}是公比为q（q≠0，q≠﹣1）的等比数列，设c n=a2n﹣1+a2n．（1）求证：c n=（1+r）•q n﹣1；（2）设{c n}的前n项和为S n，求的值；（3）设{c n}前n项积为T n，当q=﹣时，T n的最大值在n=8和n=9的时候取到，求n为何值时，T n取到最小值．考点：等比数列的前n项和；极限及其运算；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据题意得出=q（n≥2），判断出奇数项，偶数项分别成等比数列，运用等比数列的通项公式求解即可．（2）运用等比数列的求和公式得出q=1时，S n=（1+r）n，=0，q≠1时，S n=，=，分类讨论求解即可（3）利用条件得出（1+r）8（﹣）28=（1+r）9（﹣）36，r=28﹣1=255，T n=（256）n•（﹣2）=（﹣1）•2，再根据函数性质得出最小项，注意符号即可．解答：解：（1）b n=a n•a n+1，{b n}是公比为q（q≠0，q≠﹣1）的等比数列，因为数列{a n a n+1}是一个以q（q≠0，q≠﹣1））为公比的等比数列因此=q，所以=q（n≥2），即=q（n≥2），∴奇数项，偶数项分别成等比数列∵设c n=a2n﹣1+a2n．∴c n=1•q n﹣1+r•q n﹣1=（1+r）•q n﹣1∴bn=（1+r）•qn﹣1（2）q=1时，S n=（1+r）n，=0q≠1时，S n=，=若0＜q＜1或﹣1＜q＜0时，=若q＞1或q＜﹣1时，=0∴=（3）设{c n}前n项积为T n，当q=﹣时，T n=（1+r）n∵T n的最大值在n=8和n=9的时候取到，∴（1+r）8（﹣）28=（1+r）9（﹣）36，r=28﹣1=255，∴T n=（256）n•（﹣2）=（﹣1）•2，根据数列的函数性质得出n=7，n=10时，T n的最小值为﹣235．点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求通项公式，等比数列求和公式的应用，数列极限的求解，要注意等比数列求和公式应用时对公比q的讨论，根据函数的性质解析式确定最值．23．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，线段PQ为抛物线C的一条弦．（1）若弦PQ过焦点F，求证：为定值；（2）求证：x轴的正半轴上存在定点M，对过点M的任意弦PQ，都有为定值；（3）对于（2）中的点M及弦PQ，设，点N在x轴的负半轴上，且满足，求N点坐标．考点：抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出直线PQ的方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1x2的值，由抛物线的定义分别表示出|FP|，|FQ|，代入整理得到定值，最后验证斜率不存在时的情况；（2）设出直线PQ的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和两点的距离公式，化简整理，即可求得定点M和定值；（3）运用向量共线的坐标表示和向量垂直的条件，化简整理即可求得定点N．解答：（1）证明：抛物线的焦点为F（，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣）（k≠0），代入抛物线方程，消去y，得k2x2﹣p（k2+2）x+=0，由根与系数的关系，得x1x2=，x1+x2=p+，由抛物线的定义，知|FP|=x1+，|FQ|=x2+．+=+===为定值．当PQ⊥x轴时，|FA|=|FB|=p，上式仍成立；（2）证明：设M（m，0），当PQ⊥x轴时，令x=m，可得y2=2pm，|MP|=|MQ|=，有+为定值．当PQ斜率存在时，设PQ：x=ty+m，代入抛物线方程可得，y2﹣2pty﹣2pm=0，设P （，y1），Q （，y2）则y1+y2=2pt，y1y2=﹣2pm．即有|MP|2=（m ﹣）2+y12=+y12=（1+t2）y12，同理|MQ|2=（m ﹣）2+y22=（1+t2）y22．即有+=•，存在m=p即有定点M（p，0）时，上式为•=为定值；（3）解：，可得=，，可得（+λ）•（﹣λ）=0，即为NP2=λ2NQ2，由P （，y1），Q （，y2），M（p，0），设，则y1=﹣λy2，①p ﹣=λ（﹣p），②又设N（n，0）（n＜0），则（n ﹣）2+y12=λ2，即为﹣n=λ（﹣n），③将①平方可得，y12=λ2y22，④，将④代入②③，化简可得n=﹣p．则N（﹣p，0）．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的关系．同时考查向量垂直的条件和向量共线的坐标表示，注意运用韦达定理和抛物线的定义是解题的关键，具有一定的运算量，属于中档题．- 21 - / 21。
2015上海杨浦区高三质检数学文试题及答案
2015上海杨浦区高三质检数学文试题及答案高考频道为您提供最及时的资讯，下面的2015上海杨浦区高三质检数学文试题及答案希望对您有所帮助杨浦区2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学学科试卷（文科） 2015.1.考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知，则 =________________.2．设，，，则m的取值范围是________.3．已知等差数列中，，则通项公式为 ________________.4．已知直线经过点，则直线的方程是___________________.5. 函数的反函数．6．二项式的展开式中的第４项是_________________.7．不等式的解是____________________.8．已知条件；条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是．9．向量，若与平行，则实数 =_________.10．一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：窗口 6排A座 6排B座 6排C座走廊 6排D座 6排E座窗口其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的座位，小孙女喜欢看风景要坐靠窗的座位，则座位的安排方式一共有__________种。
11．已知一个铁球的体积为，则该铁球的表面积为______________.12．已知集合，则集合A的子集个数为_______.13．设△ 的内角 , , 所对的边分别为 , , . 若 ,则角 _________.14. 如图所示，已知函数图像上的两点 A， B 和函数上的点 C，线段 AC 平行于 y 轴，三角形 ABC 为正三角形时，点 B的坐标为 , 则实数的值为_______________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（）A． B．C． D．16．给出下列命题，其中正确的命题是（）A．若，则方程只有一个根B．若且，则C．若，则不成立D．若，且，那么一定是纯虚数17．圆心在抛物线上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A． B．C． D．18．数列，若区间满足下列条件：①；② ，则称为区间套。
上海市杨浦区2015届高三第三次模拟考试数学理试题资料
2014学年度第二学期高三年级练习卷数学学科（理科） 2015.05.（满分150分，答题时间120分钟）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{A x y =，集合{B y y =，则A B = .2．在复平面中，复数2(1)3i i ++（i 是虚数单位）对应的点在第_______象限.3．若函数()2x f x x =+的反函数是1()y f x -=，则11()3f -= .4．下面是一个算法的程序框图，当输入值x 为8时，则其输出的结果是 .5．若函数x y a =在[1,0]-上的最大值与最小值的和为3，则a = .6．在极坐标系中，O 是极点，设点(4,)3A π，5(5,)6B π-，则OAB △的面积是 .7．过点(1的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k = .8．将曲线cos ,sin x y =⎧⎨=⎩θθ（θ∈R ）上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的12倍后，得到的曲线的焦点坐标为 .9．在数列{}n a 中，542n a n =-，212n a a a an bn +++=+（n ∈*N ），其中a 、b 为常数，则lim n nn nn a b a b →∞-+的值是 .10．在R 上定义运算“⊗”：(1)x y x y ⊗=-. 若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 11．若存在正数x 使221x x mx<成立，则实数m 的取值范围是 ．12．关于平面向量a 、b 、c ，有下列三个命题：第4题图①若a b a c ⋅=⋅，则b c =；②若(1,)a k =，(2,6)b =-，//a b ，则3k =-； ③非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60︒； 其中真命题的序号为_________.（写出所有真命题的序号） 13．在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点，在A 、P 、M 、C 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F ，设G 为满足向量OG OE OF =+的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为 .14．已知二次函数2()2f x ax x a =++，对于满足12x x <且121x x a +=-的任意实数1x 与2x ，总有12()()f x f x <成立，则实数a 的取值范围为 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．等差数列{a n }中，若34a =-，424a a =+，则1a =………………………….（ ）.(A) 12-(B) 8- (C) 0 (D) 416．设p ：2200x x -->，q ：210||2x x -<-，则p 是q 的…………………………（ ）. (A) 充分但非必要条件 (B) 必要但非充分条件 (C) 充要条件(D) 既非充分也非必要条件17．已知两个不同的平面M 、N 与三条不同的直线a 、b 、c . 给出下列四个命题：①若c ⊥M 、c ⊥N ，则M ∥N ；②若c ∥M ，c ∥N ，则M ∥N ；③若a ⊥N ，b ⊥N ，则a ∥b ；④若M ⊥N ，b ⊥N ，则b ∥M . 那么上述命题正确的是 ……………………………………（ ）.(A) ①③(B) ①③④(C) ③④(D) ②④18．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22（°C ）”. 现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有………………………………………………… ………（ ）.(A) 0个(B) 1个(C) 2个(D) 3个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．（本题满分12分）求函数2cos()cos()244y x x x ππ=+-+的值域和最小正周期.20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧棱长为2，侧棱与底面所成角大小为60°. （1）求此正三棱锥体积；（2）求异面直线PA 与BC 的距离.21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．已知二次函数()223f x mx x =--，若不等式()0f x <的解集为(1,)n -. （1）解关于x 的不等式：()22411x x n m x -+>+-；（2）是否存在实数()0,1,a ∈使得关于x 的函数()[]()141,2x x y f a a x +=-∈的最小值为4-? 若存在，求a 的值；若不存在，说明理由.22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6AB分.在复平面上，点(,)P x y 所对应的复数p x yi =+（i 为虚数单位），z a bi =+（a 、b ∈R ）是某给定复数，复数q p z =⋅所对应的点为(,)Q x y ''. 我们称点P 经过变换z 成为了点Q ，记作()Q z P =. （1）给出12z i =+，且()(8,1)z P Q =，求点P 的坐标；（2）给出34z i =+，若P 在椭圆22194x y +=上运动，()Q z P =，求||OQ 的取值范围；（3）已知P 在双曲线221x y -=上运动，试问是否存在z ，使得()Q z P =在双曲线1y x=上运动？若存在，请求出z ；若不存在，说明理由.23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知以a 为首项的数列{}n a 满足：13,3,2, 3.n n n n n a a a a a +->⎧=⎨≤⎩（1）若06n a <≤，求证：106n a +<≤；（2）若*,N a k ∈，求使n k n a a +=对任意正整数n 都成立的k 与a ； （3）若321ma =-（*N m ∈），试求数列{}n a 的前m 项的和m S .杨浦区2014学年度第二学期高三年级学业质量调研参考答案及评分标准2015.05一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．[0,2]；2．第一象限；3．1；4．2；5．12；6．5；7．2；8．(0)；9．1；10．13(,)22-；11．(1,)-+∞；12．②；13．34；14．(1,0)(0,2)-．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．B ；16．A；17．A ；18．C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）解：2cos()cos()244y x x xππ=+-cos22x x=（4分）2sin(2)6xπ=+（3分）.所以，函数2cos()cos()244y x x xππ=+-的值域是[2,2]-，（3分）最小正周期是π（2分）.20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：（1）取底面的中心G，联结AG，∵P-ABC是正三棱锥，∴P在底面的射影为G，∴∠P AG就是侧棱P A与底面所成角，∴∠P AG=30°，（2分）∵P A=2，∴AG=1，PG∴ABABCS=△，∴1334P ABC V -=. （4分）（2）过D 作DE ⊥P A 于E ，∵BC ⊥PD ，BC ⊥AD ，∴BC ⊥平面P AD ， ∵DE 在平面P AD 上，∴BC ⊥DE ，∴DE 是异面直线AB 与CD 的公垂线，（4分） 在△ABC 中，P A ·DE =PG ·AD，∴PG AD DE PA ⋅==∴异面直线P A 与BC（4分）21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．解：（1）由不等式2230mx x --≤的解集为(1,)n -知关于x 的方程2230mx x --=的两根为-1和n ，且m >0，21,1,33.1n m m n n m ⎧-+=⎪=⎧⎪∴⇒⎨⎨=⎩⎪-⨯=-⎪⎩（4分） 原不等式化为()()210x x -->，∴原不等式的解集为()(),12,-∞+∞；（2分）（2）设,x t a =由2(0,1),[1,2][,]x a x a a a ∈∈⇒∈. （2分）函数2(42)3y t a t =-+-对称轴21t a a =+>. （2分）2min (42)34y a a a =-+-=-（2分） 13a ⇒=或1a =-（舍去）.所以13a =即为所求. （2分）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解：（1）根据题意，有8(12)i i p +=+⋅， ∴8(8)(12)10152312(12)(12)5i i i ip i i i i ++--====-++-，∴点P 的坐标为(2,3)-. （4分） （2）∵P 在椭圆22194x y +=上运动，∴||||[2,3]p OP =∈，（3分） 又||5z =，∴||||||||||[10,15]OQ q p z p z ==⋅=⋅∈. （3分）（3）假设存在z a bi =+（a 、b ∈R ），使得得()Q z P =在双曲线1y x=上运动. 设(,)P x y ，∴(,)Q ax by bx ay -+，（2分） ∵Q 在双曲线1y x =上运动，∴1bx ay ax by+=-，（1分） ∴22221abx a xy b xy aby +--=，即P 在22221abx a xy b xy aby +--=曲线上运动.∴有2210ab a b =⎧⎨-=⎩，，解得11a b =⎧⎨=⎩，或11a b =-⎧⎨=-⎩，，所以存在复数z 满足题意，分别为1i +和1i --. （3分）23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）当(0,3]n a ∈时，则12n n a a +=∈(0,6]， 当(3,6]n a ∈时，则13(0,3]n n a a +=-∈,故1(0,6]n a +∈，所以当06n a <≤时，总有106n a +<≤. （每种情况3分，总计6分） （2）①当1a =时，2342,4,1a a a ===，故满足题意的3,k t t =∈*N . 同理可得，当2a =或4时，满足题意的3,k t t =∈*N . 当3a =或6时，满足题意的2,k t t =∈*N .②当5a =时，2342,4,1a a a ===，故满足题意的k 不存在. ③当7a ≥时，由（1）知，满足题意的k 不存在.综上得：当1,2,4a =时，满足题意的3,k t t =∈*N ； 当3,6a =时，满足题意的2,k t t =∈*N .当7a ≥时，由（1）知，满足题意的k 不存在. （每种情况2分，共6分） （3）1m =时，3321a ==-，于是13m S S ==； 2m =时，23121a ==-，1211,22a a a ===于是2123m S S ==+=， 3m =时，3321a =-，21232323,23,2221a a a a a a a ⨯===<==- 于是3333(12)3123122112m a S S --===⨯=---，于是，猜测对任意m ，{}n a 是等比数列（其中n m ≤），3m S =恒成立. （2分） 要证等比数列，只需证明，当1k m <≤时，23k a ≤于是12k k a a +=. 以下证明：由m ∈N *，可得211m -≥，故3321ma =≤-,（2分） 当1k m <≤时，111111132323223212(21)2m m m k m m m m a -------⨯⨯⨯≤=<=-+- ∴12k k a a -=（1,2,k m =）（2分） ∴m S =12m a a a ++⋅+=（1+2+…+12)(21)3m m a a -=-=. （2分）。
上海市杨浦区上海理工大学附中2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析
上海市杨浦区上海理工大学附中2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π2．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF =，则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．33．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->>B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->>C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>4．已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．,4x k k Z ππ=-∈ B ．+,4x k k Z ππ=∈ C ．1,2x k k Z π=∈ D ．1+,24x k k Z ππ=∈ 5．若2n x⎛ ⎝的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．46．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?7．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的()条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要8．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交9．函数()2cos2cos221x xf x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．411．已知复数41i z i =+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（ ）A ．32π B ．56π C ．76π D ．43π- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市静安区2015届高三一模数学(理)试卷含答案
静安区2015届高三第一学期期末教学质量检测数学（理）试卷（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2014.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{}0,2>==x x y y M ，{})2lg(2x x y x N -==，则=N M . 答案：)2,0(考点：集合的描述法备考建议：强调，对集合描述法要区分集合的代表元。
2．设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则=++++8710a a a a . 答案：25628=考点：二项式定理解法：将1x =-代入式子中备考建议：让学生理解，二项式题型中的赋值法，并补充一些通过某一项系数判断二项式次数的题型。
3．不等式01271<--x 的解集是 . 答案：)4,21(考点：分式不等式的解法备考建议：分式不等式建议通分后再解不等式，易错点是：不等式性质中，若要两边同乘除，要注意所乘所除数的正负性。
4．如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 底面ABCD ，1=PA ，底面ABCD 是正方形，PC 与底面ABCD 所成角的大小为6π，则该四棱锥的体积是 . 答案：12考点：锥体体积的求法备考建议：让学生熟练掌握各简单几何体面积与体积的公式。
5．已知数列{}n a 的通项公式1222+-+=n nn a （其中*N n ∈），则该数列的前n 项和=n S .答案：)212(4n n -考点：数列分组求和，等比数列求和。
A BCDP备考建议：此类题型要让学生观察数列通项公式的结构，从而选择正确的求和方法。
同时，也可带领回忆一下倒序相加、错位相减、裂项相消的常用求和方法及其适用情况。
6．已知两个向量，的夹角为303=，b 为单位向量，b t a t c )1(-+=, 若c b ⋅=0，则t = . 答案：-2考点：向量的数量积：解法：由于b 与c 、a 、b 的数量积都有联系，故等式两边同乘上一个b 。
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第 1 页 共 1 页 杨浦区2015学年度第一学期高三年级学业质量调研 数学学科试卷（理科） 2015.1.
考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上． 2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟． 一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接
填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知 , 0,1sin2，则=________________. 2．设13Axx，124,BxmxmmR，AB，则m的取值范围是________. 3．已知等差数列na中，377,3aa，则通项公式为na________________. 4．已知直线l经过点1,2,3,2AB，则直线l的方程是___________________. 5. 函数012xxxf的反函数xf1 ． 6. 二项式91xx的展开式（按x的降幂排列）中的第４项是_________________. 7． 已知条件:12px；条件:qxa，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是 ． 8．向量2,3,1,2ab，若mab与2ab平行，则实数m=_________. 9．一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票： 窗口 6排A座 6排B座 6排C座 走廊 6排D座 6排E座 窗口 其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有__________种。 10．在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部溶化后，容器中液面的高度为_______________.（相同质量的冰与水的体积比为10：9）
11．不等式2log431xx的解集是_______________________. 第 2 页 共 2 页
1,0is 开始 1ii
否 输出s
结束
是
第15题图
2ssi
12．设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，若30abcababc， 则角C_________. 13．已知1322i，集合2*1,nAzznN，集合
1212{|,}BxxzzzzA、（1z可以等于2z)，
则集合B的子集个数为__________.
14．如图所示，已知函数 2log4yx图像上的两 点 A、 B 和函数 2logyx上的点 C，线段 AC 平行于 y 轴， 三角形 ABC 为正三角形时， 点 B的坐标为 ,pq, 则 22qp的值为________.
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（ ） A． 7i B．8i C． 7i D．8i 16．下列命题中正确的是（ ） A．若xC，则方程32x只有一个根 B．若12,zCzC且120zz，则12zz C．若zR，则2zzz不成立 D．若zC，且20z，那么z一定是纯虚数
17．圆心在抛物线xy22上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个 圆的方程是（ ） A．01222yxyx B．041222yxyx
第14题图 第 3 页 共 3 页
A1A
C1
CB1BD1D
C．01222yxyx D． 041222yxyx 18．对数列,nnab，若区间,nnab满足下列条件： ①11,nnab*,nnabnN；②lim0nnnba， 则称,nnab为区间套。下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ）
A 12,23nnnnab； B. 21,31nnnnabn C ．11,13nnnnabn D ．32,21nnnnabnn 三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ． 如图，正四棱柱1111ABCDABCD的底面边长为1，异面直线AD与1BC所成角的大小为60，求： （1）线段1A1B到底面ABCD的距离；
（2）三棱椎11BABC的体积。 第 4 页 共 4 页
OABCD
MN
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ． 如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，2MON，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN （1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S； （2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？
21．（本题满分14分）第一小题3分，第二小题5分，第三小题6分． 已知函数21axfxbxc是奇函数，,,abc为常数 （1） 求实数c的值； （2） 若,abZ，且12,23ff，求fx的解析式；
（3） 对于（2）中的fx，若2fxmx 对0,x恒成立，求实数m的取值 范围. 第 5 页 共 5 页
xyOAB
F2F1F3F4
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第一小题3分，第二小题7分，第三小题6分 如图，曲线由曲线22122:10,0xyCabyab和曲线22222:10xyCyab组成，其中点12,FF为曲线1C所在圆锥曲线的焦点，点34,FF为曲线2C所在圆锥曲线的焦点， （1）若232,0,6,0FF，求曲线的方程； （2）如图，作直线l平行于曲线2C的渐近线，交曲线1C于点A、B，求证：弦AB的中点 M必在曲线2C的另一条渐近线上； （3）对于（1）中的曲线，若直线1l过点4F交曲线1C于点C、D，求1CDF面积的最 大值。 第 6 页 共 6 页
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 数列na各项均不为0，前n项和为nS，3nnba，nb的前n项和为nT，且2nnTS （1） 若数列na共3项，求所有满足要求的数列； （2） 求证：*nannN是满足已知条件的一个数列； （3） 请构造出一个满足已知条件的无穷数列na，并使得20152014a；若还能构造其他符合要求的数列，请一并写出（不超过四个）。 第 7 页 共 7 页
理科评分参考 一、 填空题
1.566或
2．1,02 3．*10nnN 4．10xy 5. 11xx 6．384x 7．1a 8．12 9．30 10．1615
11．2log3, 12．3 13．16 14．123 二、选择题 15．B 16．D 17．D 18．C 三、解答题 19．（本题12分） 解：（1）//ADBC， 第 8 页 共 8 页
1CBC为异面直线AD与1BC所成角，160CBC
…………2分
正四棱柱1111ABCDABCD，111//ABABCDBBABCD面，面 1BB线段的长为线段1A1B到底面ABCD的距离， …………4分
1RTBCC中，1BC，160CBC，113BBCC
线段1A1B到底面ABCD的距离为3 …………6分 （2）1111BABCABBCVV …………8分 1111332
…………10分
36 …………12分
20．（本题14分，第一小题6分，第二小题8分） （1）解：如图，作OHAB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，
6AOB， …………2分
2sin,cos1212ABROHR，
1sin212OEDEABR
cossin1212EHOHOER
…………4分
222sincossin2sincos2sin121212121212SABEHRRR
2231sincos1662RR
…………6分
HECDBNOMA