高考数学一模考试试题2015年松江高三一模(理)
上海市五校2015届高三第一学期联合教学质量调研数学(理)试卷及答案
2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷（理科）考生注意：1、本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分。
2、答题前，考生务必在试卷和答题纸的指定位置以及答题卡上准确填写学校、姓名、 考号等信息。
3、考试结束只交答题卡和答题纸。
一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）1．已知(3,4)P -为角α终边上的一点，则cos()πα+= ． 2．已知向量(1,2),(,2)a b x =-=，若a b ⊥，则b ＝________．3．已知集合}),2lg({2R x x x y x M ∈-==，{}N x x a = <，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是 ．4．已知幂函数()f x过点，则()f x 的反函数为1()fx -= ．5．若无穷等比数列n a {}满足：4)(lim 21=+++∞→n n a a a ，则首项1a 的取值范围为 ．6．若直线l a x y :10++=平分圆x y x y 222650+-++=的面积，则直线l 的倾斜角为 ．（用反三角函数值表示）7．已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足：当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式()()1f x f x -<的解集为 ． 8．如图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,2πωϕπ>≤≤)的部分图象,其中5=AB ，那么()1f -=___________.9. 已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m ≤-恒成立，则实数m 的取值范围是 .10. 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点),2(0y M ，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则=OM ．11. 在正ABC ∆中，D 是BC 上的点，若1,3==BD AB ，则=⋅ ． 12．已知奇函数()f x 是定义在R 上的增函数，数列{}n x 是一个公差为2的等差数列，满足891011()()()()0f x f x f x f x +++=，则2014x 的值为 ．13．过点*1(2,0)()n N n-∈且方向向量为(2,1)的直线交双曲线224x y -=于,n n A B 两点，记原点为O ，n n OA B ∆的面积为n S ，则lim n n S →∞= ____ ____． 14. 设1271a a a ≤≤≤≤，其中1357,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，246,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是____ ____．二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.） 15．已知命题:12x α-≤，命题3:01x x β-≤+，则命题α是命题β成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件16．已知直线)(sin :1R x y l ∈=αα和直线c x y l +=2:2，则下述关于直线21,l l 关系的判断正确的是（ ）A. 通过平移可以重合B. 不可能垂直C. 可能与x 轴围成等腰直角三角形D. 通过绕1l 上某点旋转可以重合17．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ ）A ．510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ．410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C ．310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ D ．10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦18. 设,a b R ∈ ，定义运算“∧ ”和“∨ ”如下：,,a a b a b b a b ≤⎧∧=⎨>⎩，,,b a ba b a a b ≤⎧∨=⎨>⎩．若正数,,,a b c d 满足4,4ab c d ≥+≤ ，则（ ） A ．2,2a b c d ∧≥∧≤ B ．2,2a b c d ∨≥∧≤C ．2,2a b c d ∧≥∨≥D ．2,2a b c d ∨≥∨≥三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .）19.（本题满分12分）第1小题满分7分，第2小题满分5分．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()()()cos ,sin m A B A B →=--，()cos ,sin n B B →=-，且35m n →→⋅=-．（1）求sin A 的值；（2）若5a b ==，求角B 的大小及向量BA 在BC 方向上的投影．20.（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆E 长轴的一个端点是抛物线212y x =的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A 、B 是椭圆E 的左右端点，O 为原点，P 是椭圆E 上异于A 、B 的任意一点，直线AP 、BP 分别交y 轴于M 、N ，问ON OM ⋅是否为定值，说明理由．21.（本题满分14分）第1小题满分8分，第2小题满分6分． 等差数列{}n α的前n 项和236n S n π=，数列{}n β满足()7236n n πβ-=．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：①221111sin cos sin cos m αβαβ+-=； ②222222sin cos sin cos m αβαβ+-=； ③223333sin cos sin cos m αβαβ+-=；④224444sin cos sin cos m αβαβ+-=； ⑤225555sin cos sin cos m αβαβ+-=；⑥226666sin cos sin cos m αβαβ+-=． （1）求数列{}n α的通项公式，并从上述六个等式中选择一个，求实数m 的值；（2）根据（1）计算结果，将同学甲的发现推广为关于任意角θ的三角恒等式，并证明你的结论．22.（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 若函数()f x 在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”． （1）已知函数()sin()(,0)2f x x x R πϕϕ=+∈<<，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设()2x f x m =+是定义在[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（3）若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．23.（本题满分18分）第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n 可得到“n 边形数列”，记它的第r 项为(,)P n r ．1，3，6，10 1，4，9，16 1，5，12，22 1，6，15，28 （1）求使得(3,)36P r >的最小r 的取值； （2）试推导(,)P n r 关于n 、r 的解析式；（3）是否存在这样的“n 边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷答案 （理科）一、填空题1、352、、[)2,+∞ 4、2(0)x x ≥ 5、)8,4()4,0(⋃ 6、arctan 2π-7、1(,)2+∞ 8、2 9、1(,][1,)4-∞-⋃+∞ 10、32 11、21512、400913、8314二、选择题15、B 16、D 17、C 18、B 三、简答题19、（1）由3cos()cos sin()sin cos 5m n A B B A B B A ⋅=---==- …3分 又0A π<<，则4sin 0sin 5A A >⇒=…6分 （2）由sin sin sin sin a b b B A A B a =⇒==…7分 又4a b A B B π>⇒>⇒=…8分由余弦定理，得222352515c c c =+-⨯⨯⇒=或7-（舍） …10分 则BA −−→在BC −−→方向上的投影为cos cos 2BA B c B =⋅= …12分20、（1）根据条件可知椭圆的焦点在x 轴，且3a =， …2分 又12a c c -=⇒=，所以2225b a c =-=故椭圆E 的标准方程为22195x y +=． …6分 （2）设),(00y x P ，则22005945x y +=，且(3,0),(3,0)A B -又直线00:(3)3y PA y x x =++，直线00:(3)3y PB y x x =-- …10分 令0x = ，得：000033(0,),(0,)33y y OM ON x x -==+- 故 ⋅220022009545599y x x x --===--为定值. …14分21、（1）当1n =时，136πα=…1分当2n ≥时，()221136361836n n n S S n n n ππππα-=-=--=-…3分∵当1n =时，1α适合此式 ∴数列{}n α的通项公式为1836n n ππα=-…5分选择②，计算如下：212πβ=…6分222222sin cos sin cos m αβαβ=+-＝22sin cos sincos12121212ππππ+-＝11sin 26π-＝34…8分 （2）由（1）知，(21)(72)36366n n n n πππαβ--+=+=， 因此推广的三角恒等式为223sincos sin cos 664ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ …10分 证明: 22sincos sin cos 66ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=22sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin 6666ππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2222311sin cos sin sin cos sin 442θθθθθθθθ++- =2233cos sin 44θθ+＝34…14分22、（1）()f x 为“局部奇函数”等价于关于x 的方程()()0f x f x -+=有解．即sin()sin()2cos sin 0x x x ϕϕϕ-+++==有解 …2分 因0sin 02πϕϕ<<⇒>，得cos 0()2x x k k Z ππ=⇒=+∈()f x ∴为“局部奇函数”． …4分 （2）存在实数x 满足()()0f x f x -+=，即2220xx m -++=在[1,1]-有解令12,[1,1][,2]2xt x t =∈-⇒∈，则12m t t -=+在1[,2]2t ∈上有解 …7分因为1()g t t t =+在1[,1]2上递减，在[1,2]上递增，5()2,2g t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦522,2m ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，故5,14m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦…10分（3）存在实数x 满足()()0f x f x -+=，即2442(22)260x x x x m m --+-++-=在x R ∈有解 令22,[2,)x x t x R t -=+∈⇒∈+∞，且2442xx t -+=-从而22g()2280t t mt m =-+-=（*）在[2,)t ∈+∞上有解 …12分1.︒ 若(2)0g ≤，即11m -≤*）在[2,)t ∈+∞上有解2.︒ 若(2)0g >，即1m <或1m >+*）有解，则2244(28)021(2)0m m m m g ⎧∆=-->⎪>⇒+≤⎨⎪>⎩综上，所求m的取值范围为[1 ． …16分23、（1）(1)(3,)122r r P r r +=+++=…3分 由题意得(1)362r r +>, 所以，最小的9r =. …5分（2）设n 边形数列所对应的图形中第r 层的点数为r a ，则12(,)r P n r a a a =++⋅⋅⋅+ 从图中可以得出：后一层的点在2n -条边上增加了一点,两条边上的点数不变 则12r r a a n +-=-，11a =得{}r a 是首项为1公差为2n -的等差数列 则(,)[2(1)(2)]2r P n r r n =+--.（或(2)(1)2n r r r --+等） … 12分 （3）2(,1)(,)(2)21P n r P n r n r r ++=-++ …14分 显然3n =满足题意， …15分而结论要对于任意的正整数r 都成立，则2(2)21n r r -++的判别式必须为零 所以44(2)0n --=，得3n =故满足题意的数列为“三角形数列”. …18分。
东北三省三校2015届高三数学一模理
东北三省三校2015年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷、选择题（本大题共12小题，每小题5 分,目要求白勺•）x 2 x 1 x x21、已知集合, 1A •x0 x1x0 x 1B •迈i2、复数1 J2i ( ) 2V2 iA •B • 1 i3、占八、1,12到抛物线y ax准线的距离为共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题2x 0，则Ixc.2，则a的值为（112a n1C • 4或124或12S9，则当S n最大时，nA• 6B. 7 C • 10 D • 95、执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1, 则输入的t值不能是下面的（）A• 2012 B• 2013 C2014D20156、下列命题中正确命题的个数是（)2①对于命题p: x R ,使得x x 1 0 ,贝y p: x R，均有4、设S n是公差不为零的等差数列的前n项和，且a10若S5()x2x 1 0②p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件③命题“若X y，则sin X sin y”的逆否命题为真命题④“ m 1 ”是“直线11: mx2m 1 y 1 0与直线〔2 ： 3x my 3 0垂直”的充要条件B• 2个C• 3个D. 4个7、如图，网格纸上小正方形的边长为1,若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几结束fc=*+l1何体的体积为（）1D .31 4，则这个球的表面积为 __________ .15、 某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修， 共有 _____________ 种 不同选课方案（用数字作答）. 16、 已知函数y sin X2cosX （ 0）的图象关于直线X=1对称，则C . 10D . 12 8、设双曲线的一个焦点为 F ，虚轴的一个端点为 则双曲线离心率的取值范围是（ 1^.2 A . ，焦点F 到一条渐近线的距离为 d ，若 C . 1'3D .远 9、不等式组 点，则 y 4表示的点集记为 的概率为（ ，不等式组y 表示的点集记为 ，在 中任取9 A . 32 7 B . 327_ 1610、设二项式 （ ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a 〔 a ?b | b 2a nb n2n 1 111、已知数列 a n 满足m，若数列的最小项为1，则m 的值为（）已知函数 围为（ ） 12、 1.厂 2 In，若函数FxkX有且只有两个零点，则k 的取值范A . 0,1 0gC .21二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.）13、向量a ,b 满足2a b，则向量a 与b 的夹角为14、三棱柱C 1心各顶点都在一个球面上,侧棱与底面垂直,C 120o , C C 2逅,1B .3C .频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这 市民的平均年龄; 20人参加宣传活动，从这 20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于 30岁”的人数为 ，求 的分布列及数学期望.sin 2三、解答题（本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、 17、 （本小题满分12分）已知C 的面积为2，且满足0证明过程或演算步骤.uuu uuur uuur C 4，设 和）uuuC 的夹角为 求的取值范围;求函数2sin 24,3 cos 2的取值范围.18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的 随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图 2. 500名市民中,軸*0 05(1 (25.M)) I 20 0 200|30 加 1 __0. 3501 (35.40)30M W140.45) 10 0t 100 (t it 1001 000500名在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取煙犁井再亞方091go«<nmM(MM19、（本小题满分12分）如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA 丄底面ABCD , E 、F 分 别为AB 、PC 的中点.求证：EF //平面PAD ;圆上，且 F 2与X 轴垂直.求椭圆的方程;作直线与椭圆交于另外一点 ，求 面积的最大值.若PA=2，试问在线段EF 上是否存在点Q ,使得二面角 Q-AP-D 的余弦值为的位置；若不存在，请说明理由.2 2x _ y_ i2 .2 120、（本小题满分12分）已知椭圆a b（ ab 0）的左、右焦点为F2占5在椭-1 ?若存在，确定点2若fX 有两个极值点x 1，x2 （ x 1x2），求证：1 a 2;1f x 2f x求证：2请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.21 y —t 面直角坐标系，直线I 的参数方程是2 （t 为参数）.求曲线C 的直角坐标方程与直线I 的普通方程; 设点 m,°，若直线I 与曲线C 交于24、（本小题满分10分）选修4-5 :不等式选讲 设函数 f x l 2x 1 l x 2 .21、（本小题满分12分）已知a 是实常数，函数x xlnx ax 2 若曲线y1处的切线过点0, 2 ，求实数a 的值;22、（本小题满分10分）选修4-1: 几何证明选讲 如图，在 c 中，C 90 o,以为直径的圆交圆于点.求证：D 是圆 的切线；求证：DC D C D.23、（本小题满分10分）选修 4-4： 坐标系与参数方程 ^交 '-于，点D 是C 边的中点，连接D2cos ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为X 轴的正半轴，建立平两点，且1，求实数m 的值.已知曲线C 的极坐标方程是东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试理科数学试题参考答案 选择题：1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A 10.C 11.B12.C4填空题：13. 900 14. 64 15. 84 16.5三•解答题：17•解：（I ）设△ ABC 中角A B , C 的对边分别为a b, c ,可得tan 1，所以：4 2 .6分2 nf ( ) 2sin•、一 3cos 21 cos n 2.3cos2n)42r~sin 2 -.3cos2 1 2si n2n 1(1 sin 2 ). 3 cos 23.8分[—,—) 2 — [-,2 )- •. 2 < 2si n 2n 1< 34 2 3 6 33.18.解：（1）由表知：①，②分别填35, 0.300 .补全频率分布直方图如下：2分扛频率 组距解不等式f x 0 若X 0R，使得X2m4m，求实数m 的取值范围.年龄（岁）50rd *2025303540450908070605040302000 0000 00.01则由已知: bcsin2 20 bccos 4即当5 n n 12 时f( ) max3•当4 时f ( )min212分所以：函数f（）的取值范围是[2,3]5一(45 0.05 55 0.2 65 0.35 75 0.3 85 0.1) 33.5平均年龄估值为：2 \1(2)由表知：抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，X 的可能取值为0,1,2 P(X 0) C 2 15C 22021 38P(X 1) C ；C 115 X 的分布列为21 38 115 382 2015 3822 38P(X 2) C ； c 20238 期望E(X) 021 1 38 15 38 2 2 38 (人) 19.证明：(i )取PD 中点M , 连接MF , MA,在厶CPD 中，F 为 PC 的中点, MF//1 DC 2 ，正方形ABCD 中E 为AB 中点,AE//1 DC2AE//MF 故：EFMA 为平行四边形 EF //AM又EF平面 PAD AM 平面 PADEF // 平面 PAD(n )如图：以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 ：1 1 1P(0,0, 2), B(0,1,0),C(1,1,0),E(0, ,0), F( , ,1)2 2 2由题易知平面PAD 的法向量为(0,1,0)假设存在Q 满足条件:uu u EQuuu uuu EF ,EF1 1(2,0,1),Q(2,2,)2ycos m, nuuuuuu rAP (0,0, 2), AQ),设平面I T m (1,,0)m nPAQ的法向量为(x, y,z)由已知:yc分2分4z I10分2x故椭圆方程为 8由已知:k即：2k 2 1\42 2k, 2O到直线AB 的距离：1k 22k 2 12k 2 11,2 U 2,42 ——2——2,0 U 0,22k 1此时 S AOB (0,2 2]解得:2 所以：满足条件的Q 存在，是EF 中点。
届松江区高三一模数学卷及答案(理科)
A 2A 3松江区2015学年度第一学期高三期末考试数学(理科)试卷(满分150分，完卷时间１２0分钟） ２016.1一．填空题(本大题满分56分）本大题共有１4题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分，否则一律得零分． １.已知全集{}1,2,3,4U =，A 是U 的子集，满足{}}{1,2,32A =,{}1,2,3A U =，则集合A ＝ ▲ ．2.若复数1z ai =+(i 是虚数单位)的模不大于2,则实数ａ的取值范围是 ▲ ． ３．行列式cos 20sin 20︒︒sin 40cos 40︒︒的值是 ▲ .4．若幂函数()x f的图像过点2,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则()12f -＝ ▲ . 5．若等比数列{}n a 满足135a a +=，且公比2q =,则35a a += ▲ .6．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = ▲ .7.如图所示的程序框图，输出的结果是 ▲ ． 8．将函数)32sin(π+=x y 图像上的所有点向右平移6π个单位，再将图像上所有点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），则所得图像的函数解析式为 ▲ ． ９.一只口袋内装有大小相同的５只球,其中3只白球， 2只黑球,从中一次性随机摸出２只球,则恰好有１只是白球的概率为 ▲ (结果用数值表示）.1０．在ABC ∆中,内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c . 已知14b c a -=,2sin 3sin B C =，则cos A = ▲ .１１.若7(13)x -展开式的第４项为280,则()2lim n n x x x →∞+++= ▲ ．1２．已知抛物线2:4C y x =的准线为l ,过(1,0)M 且斜率为k 的直线与l 相交于点A ，与抛物线C 的一个交点为B .若2AM MB =，则 k = ▲ .13.已知正六边形126A A A 内接于圆O ，点P 为圆O 上一第7题图点,向量OP 与i OA 的夹角为i θ（1,2,,6i =）,若将126,,,θθθ从小到大重新排列后恰好组成等差数列，则该等差数列的第3项为 ▲ .１4．已知函数()f x ，对任意的[1,)x ∈+∞,恒有(2)2()f x f x =成立, 且当[1,2)x ∈时,()2f x x =-. 则方程1()3f x x =在区间[1,100]上所有根的和为 ▲ . 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.1５．已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为.A 2y x =±.B 5y x =± .C 3y x =± .D5y x =± 16．设,a b R ∈,则“a b >”是“a b >”的.A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件 １7. 在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱AB 、1AA 的中点,M 、N 分别是线段1D E 与1C F 上的点,则与平面ABCD 平行的直线MN 有.A 0条 .B 1条 .C 2条 .D 无数条18．在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和,我们把这样的操作叫做该数列的一次“Ｈ扩展”.已知数列1，２． 第一次“H 扩展”后得到1，3，2;第二次“H 扩展”后得到1,4,3,5,2; 那么第10次“H 扩展”后得到的数列的所有项的和为.A 8857２ .B 8８575 .C 29523 .D 295２６三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.(本题满分1２分)本题共有２个小题，第1小题满分5分,第２小题满分7分如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，4==BC AP ,︒=∠30ABC ,E D 、分别是F ED 1C 1B 1A 1C BA DE PAP BC 、的中点.(1)求三棱锥ABC P -的体积;(2）若异面直线AB 与ED 所成的角为θ,求θtan 的值.2０．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分7分，第2小题满分７分已知函数2()2sin cos f x x x x =-+.(1)当[0,]2x π∈时，求函数 f (ｘ)的值域；(2）求函数 y = ｆ (x )的图像与直线 y =1相邻两个交点间的最短距离．21. (本题满分１４分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分８分 在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为３0米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面:①下潜时,平均速度为每分钟x 2x 升;②水底作业需要x 米，每分钟用氧量为0.2升;设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y 升. (１）将y 表示为x 的函数;(１）若[4,8]x ∈，求总用氧量y 的取值范围．22.（本题满分16分，第1小题３分，第２小题中５分、第2小题８分)在平面直角坐标系xOy 中,O 为坐标原点，C 、Ｄ两点的坐标为(1,0),(1,0)C D ， 曲线E 上的动点P 满足23PC PD ．又曲线E 上的点A 、B 满足OA OB ⊥．(1)求曲线E 的方程；(２)若点Ａ在第一象限，且OA =,求点A 的坐标；（３）求证：原点到直线AB 的距离为定值．23.(本题满分1８分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第２小题满分６分，第３小题满分8分.对于数列{}n a ,称122311()()1k k k P a a a a a a a k -=-+-++--(其中2,k k N ≥∈)为数列{}n a 的前ｋ项“波动均值”.若对任意的2,k k N ≥∈，都有1()()k k P a P a +<,则称数列{}n a 为“趋稳数列”．(1)若数列1,x ,2为“趋稳数列”，求x 的取值范围；（２）若各项均为正数的等比数列{}n b 的公比(0,1)q ∈，求证:{}n b 是“趋稳数列”; （3）已知数列{}n a 的首项为1,各项均为整数,前k 项的和为k S . 且对任意2,k k N ≥∈,都有3()2()k k P S P a =,试计算：()()()23232(1)nn n n n C P a C P a n C P a +++-（2,n n N ≥∈）．松江区2０１5学年度第一学期高三期末考试数学(理科）试卷参考答案 2016．1一.填空题（本大题满分5６分）本大题共有14题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1． {}2,4. 2. ]3,3[-. 3.12． 4．14． 5. 20. 6. 3:2． 7. 15. ８. sin 4x ． 9. 0.6． 10. 14-．11． 25-. 1２. ±． 13． 512π． １4. 11902．二.选择题(本大题满分2０分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15．A. 16．B ． 17．D. 18．B.19.（本题满分１２分)本题共有2个小题，第１小题满分５分,第2小题满分7分 解： (1)由已知得，,32,2==AB AC ……………………2分所以 ,体积33831==∆--PA S V ABC ABC P ……………………５分 (２)取AC 中点F ,连接EF DF ,,则DF AB //,所以EDF ∠就ﻩ是异面直线AB 与ED 所成的角θ. ……………………8分 由已知,52,32,2=====PC AB AD EA AC ,EF DF EF AB ⊥∴⊥, . ……………………10分在EFD Rt ∆中,5,3==EF DF ,所以，315tan =θ. ……………………1２分 ２０.(满分１4分)本题有3小题，第1小题7分,第2小题３分，第，3小题4分． 解:（1)()f x 22sin cos x x x =-sin 222sin(2)3x x x π=-=-……………………4分当[0,]2x π∈时,22[,]333x πππ-∈-,所以()f x 的值域为[2]……7分(2）()2sin(2)13f x x π=-= ∴1sin(2)32x π-=，……………………9分2236x k πππ-=+或52236x k πππ-=+,k Z ∈ ……………………12分 ∴当()1f x =时，两交点的最短距离为3π……………………14分2１.(本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分６分,第2小题满分8分解：(1)下潜所需时间为30x 分钟；返回所需时间为60x分钟 …………2分 ∴213060100.30.290y x x x =⋅+⨯+⋅ …………5分 1233x y x=++ (0)x > …………６分(2）1243x x +≥=，当且仅当123x x =,即6x =时取等号. …８分 因为[4,8]x ∈，所以1233x y x=++在[4,6]上单调递减，在[6,8]上单调递增所以6x =时,y 取最小值７ (1)又4x =时,173y =;8x =时,176y =， …………13分 所以y 的取值范围是1[7,7]3． (4)22.（本题满分1６分,第1小题３分,第２小题中５分、第2小题8分) 解（1）由2CD =，232PCPD知,曲线Ｅ是以Ｃ、Ｄ为焦点，长轴圆， ……………… 1分设其方程为22221x y a b+=,则有1a c ==，∴曲线Ｅ的方程为22132x y +=……………… 3分（2)设直线OA 的方程为(0)y kx k =>，则直线OB 的方程为1(0)y x k k=-> 由22236x y y kx ⎧+=⎨=⎩得222236x k x +=，解得212623x k =+.………………4分 同理,由则222361x y y x k ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩解得2222623k x k =+. ………………5分由OA =知2243OA OB =， 即222226164(1)3(1)2323k k k k k +⋅=+⋅++………………6分 解得26k =，因点A在第一象限，故k = ………………7分此时点A 的坐标为 ………………8分 （3）设11(,)A x y ,22(,)B x y ，当直线AB 平行于坐标轴时,由OAOB ⊥知Ａ、B 两点之一为y x=±与椭圆的交点，由22236x y y x ⎧+=⎨=±⎩解得55x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩此时原点到直线ＡB 的距离为5d =…10分 当直线AB 不平行于坐标轴时,设直线ＡB 的方程x my b =+，由22236x y x my b ⎧+=⎨=+⎩ 得222(23)4260m y bmy b +++-= ………………12分 由12120x x y y +=得1212()()0my b my b y y +++=即221212(1)()0m y y mb y y b ++++=因 2121222426,2323bm b y y y y m m -+=-=++ ………………14分代入得 2222222264(1)02323b b m m b m m -+-+=++ 即2256(1)b m =+……15分原点到直线ＡB 的距离5d ===………………16分２３.（本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分６分，第3小题满分8分． 解：(１)由题意1212x x x -+-->,即12x x ->-………………2分解得32x >………………4分 (2)由已知，设111(0)n n b b q b -=>,因10b >且01q <<,故对任意的2,*k k N ≥∈，都有1k k b b -> ………………５分∴122311()()1k k k P b b b b b b b k -=-+-++--221122311(1)()(1)11k k k b q b b b b b b q q q k k ---=-+-++-=++++--2111(1)()(1)k k b q P b q q q k -+-=++++, ………………7分因01q <<∴1(1)i k q q i k -><- ∴11k q->,1k q q->,21k q q->,，21k k qq -->，∴2211(1)k k q q q k q--++++>-…………………8分∴22221(1)(1)(1)k k k k q q q k q q q q ---++++>-+++++∴22221(1)(1)1k k k q q q q q q q k k---+++++++++>- ∴2222111(1)(1)(1)(1)1k k k b q q q q b q q q q q k k----++++-+++++>- 即对任意的2,*k k N ≥∈,都有1()()k k P b P b +>,故{}n b 是“趋稳数列”……10分（3) 当2k ≥时，122312311()()()11k k k k P S S S S S S S a a a k k -=-+-++-=+++--当3k ≥时,12311()()2k k P S a a a k --=+++-∴1(1)()(2)()k k k k P S k P S a ----= 同理，11(1)()(2)()k k k k k P a k P a a a -----=-……………… 1２分因3()2()k k P S P a =∴3(1)()2(1)()k k k P S k P a -=- 113(2)()2(2)()k k k P S k P a ---=-即132k k ka a a -=- (14)分所以132()k k k a a a -=- 或 132()k k k a a a -=--所以 12k k a a -=-或 125k k a a -=因为11a =,且k a Z ∈,所以12k k a a -=-, 从而1(2)k k a -=-………… 16分所以2113(21)()(1(2)(2)(2)(2)(2))11k k kk P a k k --=--+---++---=--()()()()23423423(1)n n n n n n C P a C P a C P a n C P a ++++-2324312343[(2222)()]n n nn n n n n n n n C C C C C C C C -=⋅+⋅+⋅++⋅-++++1133[(321)(21)](321)22n n n n n n +=-----=-+ ………… 1８分。
2015年上海市闵行区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．（4分）已知集合A＝{x||x﹣|＞}，U＝R，则∁U A＝．2．（4分）若复数z满足（z+2）（1+i）＝2i（i为虚数单位），则z＝．3．（4分）函数f（x）＝x cos x，若f（a）＝，则f（﹣a）＝．4．（4分）计算＝．5．（4分）设f（x）＝4x﹣2x+1（x≥0），则f﹣1（0）＝．6．（4分）已知θ∈（，π），sin﹣cos＝，则cosθ＝．7．（4分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．8．（4分）已知集合M＝{1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率是．9．（4分）已知等边△ABC的边长为3，M是△ABC的外接圆上的动点，则的最大值为．10．（4分）函数y＝|2x|+|x|取最小值时x的取值范围是．11．（4分）已知函数f（x）＝（）x，g（x）＝x，记函数h（x）＝，则函数F（x）＝h（x）+x﹣5所有零点的和为．12．（4分）已知F1、F2是椭圆Γ1：＝1和双曲线Γ2：＝1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则mn的最大值为．13．（4分）在△ABC中，记角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，设S是△ABC的面积，若2S sin A＜（•）sin B，则下列结论中：①a2＜b2+c2；②c2＞a2+b2；③cos B cos C＞sin B sin C；④△ABC是钝角三角形．其中正确结论的序号是．14．（4分）已知数列{a n}满足：对任意n∈N*均有a n+1＝pa n+3p﹣3（p为常数，p ≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，则a1所有可能值的集合为．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．（5分）已知圆O：x2+y2＝1和直线l：y＝kx+，则k＝1是圆O与直线l 相切的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）（2﹣）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1B．1C．256D．﹣256 17．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f （b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点18．（5分）数列{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若记数据a1，a2，a3，…，a2015的方差为λ1，数据的方差为λ2，k＝．则（）A．k＝4．B．k＝2．C．k＝1．D．k的值与公差d的大小有关．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arctan．求三棱锥C1﹣A1BC的体积．20．（14分）某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润＝销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．21．（14分）椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，已知椭圆Γ过点P（，），且•＝0．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求|CD|．22．（16分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣）+sin2x﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＞0，求实数m的取值范围；（3）对任意的x1∈[﹣，]，是否存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f （x2）＝1成立，请说明理由．23．（18分）已知数列{a n}为等差数列，a1＝2，其前n和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q＝2020成立，若存在，求出所有满足条件的p，q；若不存在，说明理由．（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos＜对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．2015年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．（4分）已知集合A＝{x||x﹣|＞}，U＝R，则∁U A＝[﹣1，4]．【解答】解：由A中不等式变形得：x﹣＞或x﹣＜﹣，解得：x＞4或x＜﹣1，即A＝（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），∵U＝R，∴∁U A＝[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]2．（4分）若复数z满足（z+2）（1+i）＝2i（i为虚数单位），则z＝﹣1+i．【解答】解：由（z+2）（1+i）＝2i，得，∴z＝﹣1+i．故答案为：﹣1+i．3．（4分）函数f（x）＝x cos x，若f（a）＝，则f（﹣a）＝﹣．【解答】解：∵f（x）＝x cos x，f（a）＝，∴f（a）＝a cos a＝，∴f（﹣a）＝﹣a cos（﹣a）＝﹣a cos a＝．故答案为：﹣．4．（4分）计算＝．【解答】解：∵＝，∴＝．∴原式＝＝．故答案为：．5．（4分）设f（x）＝4x﹣2x+1（x≥0），则f﹣1（0）＝1．【解答】解：由4x﹣2x+1＝0，得（2x）2﹣2•2x＝0，即2x＝0（舍）或2x＝2，解得x＝1．∴f﹣1（0）＝1．故答案为：1．6．（4分）已知θ∈（，π），sin﹣cos＝，则cosθ＝．【解答】解：∵θ∈（，π），sin﹣cos＝，∴1﹣sinθ＝，∴sinθ＝，∵θ∈（，π），∴cosθ＝﹣＝﹣．故答案为：．7．（4分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π＝．故答案为．8．（4分）已知集合M＝{1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率是．【解答】解：集合M＝{1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，基本事件总数n＝23＝8，“以a，b，c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数m＝5，∴“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率：p＝．故答案为：．9．（4分）已知等边△ABC的边长为3，M是△ABC的外接圆上的动点，则的最大值为．【解答】解：如图，＝＝3||cos∠BAM，设OM是外接圆⊙O的半径为3×＝，则当且同向时，则取得最大值．所以3||cos∠BAM＝3（+OM）＝；故答案为：．10．（4分）函数y＝|2x|+|x|取最小值时x的取值范围是．【解答】解：y＝|2x|+|x|＝|1+log 2x|+|log2x|＝f（x）．当x≥1时，f（x）＝1+2log2x≥1，当且仅当x＝1时取等号；当0＜x1时，f（x）＝﹣1﹣2log2x≥1，当且仅当x＝时取等号；当时，f（x）＝1，因此时等号成立．综上可得：函数f（x）取最小值1时x的取值范围是．故答案为：．11．（4分）已知函数f（x）＝（）x，g（x）＝x，记函数h（x）＝，则函数F（x）＝h（x）+x﹣5所有零点的和为5．【解答】解：∵函数f（x）＝（）x，g（x）＝x，关于直线y＝x对称，记函数h（x）＝，∴可知h（x）关于直线y＝x对称．∵y＝x与y＝5﹣x，交点为A（2.5，2.5）∴y＝5﹣x，与函数h（x）交点关于A对称，x1+x2＝2×＝5∴函数F（x）＝h（x）+x﹣5，的零点．设h（x）与y＝5﹣x交点问题，可以解决函数F（x）＝h（x）+x﹣5零点问题．故函数F（x）＝h（x）+x﹣5所有零点的和为5．故答案为：5．12．（4分）已知F1、F2是椭圆Γ1：＝1和双曲线Γ2：＝1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则mn的最大值为．【解答】解：设|PF1|＝s，|PF2|＝t，由题意可得公共焦点为知F1（﹣2，0），F2（2，0），即有c＝2，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2＝s2+t2﹣2st cos60°即s2+t2﹣st＝16，由椭圆的定义可得s+t＝2m（m＞0），由双曲线的定义可得s﹣t＝2n（n＞0），解得s＝m+n，t＝m﹣n．即有16＝（m+n）2+（m﹣n）2﹣（m+n）（m﹣n）＝m2+3n2≥2mn，即有mn≤．当且仅当m＝n，取得最大值．故答案为：．13．（4分）在△ABC中，记角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，设S是△ABC的面积，若2S sin A＜（•）sin B，则下列结论中：①a2＜b2+c2；②c2＞a2+b2；③cos B cos C＞sin B sin C；④△ABC是钝角三角形．其中正确结论的序号是④．【解答】解：∵2S sin A＜（•）sin B，∴2×bc sin A×sin A＜ca cos B sin B，∴可得：bc sin A sin A＜ac sin B cos B，又由正弦定理可得：b sin A＝a sin B＞0，则cos B＞sin A＞0，可得：B是锐角，①若A为锐角，而cos B＝sin（90°﹣B），故有sin（90°﹣B）＞sin A，即90°﹣B＞A，则A+B＜90°，∠C＞90°，∴由余弦定理可得：cos∠C＝＜0，即有：c2＞a2+b2，故②正确，∴由余弦定理可得：cos∠A＝＞0，可得a2＜b2+c2，故①正确；∴△ABC是钝角三角形，故④正确；∵cos B cos C﹣sin B sin C＝cos（B+C）＝﹣cos A＜0，故③不正确；②若A为钝角，∠C＜90°，∴由余弦定理可得：cos∠C＝＞0，即有：c2＜a2+b2，故②不正确，∴由余弦定理可得：cos∠A＝＜0，可得a2＞b2+c2，故①不正确；∴△ABC是钝角三角形，故④正确；∵cos B cos C﹣sin B sin C＝cos（B+C）＝﹣cos A＞0，故③正确；综上可得：④正确．故答案为：④．14．（4分）已知数列{a n}满足：对任意n∈N*均有a n+1＝pa n+3p﹣3（p为常数，p ≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，则a1所有可能值的集合为{﹣1，﹣3，﹣67}．【解答】解：（1）取a2＝﹣19，a3＝﹣7时，﹣7＝﹣19p+3p﹣3，解得p＝，a4＝不成立；（2）取a2＝﹣19，a3＝﹣3时，﹣3＝﹣19p+3p﹣3，解得p＝0，a4＝﹣3，此时a1＝﹣3；（3）取a2＝﹣19，a3＝5时，5＝﹣19p+3p﹣3，解得p＝﹣，a4＝5×（﹣）+3×（﹣）﹣3＝﹣7，，不成立；（4）取a2＝﹣19，a3＝10时，10＝﹣19p+3p﹣3，解得p＝﹣，a4＝10×（﹣）+3×（﹣）﹣3＝﹣，不成立；（5）取a2＝﹣19，a3＝29时，29＝﹣19p+3p﹣3，解得p＝﹣2，a4＝29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3＝﹣67，不成立；（6）取a2＝﹣7，a3＝﹣3时，﹣3＝﹣7p+3p﹣3，解得p＝0，a4＝﹣3，此时a3＝﹣3；（7）取a2＝﹣7，a3＝5时，得5＝﹣7p+3p﹣3，解得p＝﹣2，∴a4＝﹣2×5﹣3×2﹣3＝﹣19，a5＝﹣19×（﹣2）﹣3×2﹣3＝29，∴﹣7＝﹣2a1﹣3×2﹣3，解得a1＝﹣1；（8）取a2＝﹣7，a3＝10时，10＝﹣7p+3p﹣3，解得p＝﹣，，不成立；（9）取a2＝﹣7，a3＝29时，29＝﹣7p+3p﹣3，解得p＝﹣8，a4＝29×（﹣8）+3×（﹣8）﹣3＝﹣259，不成立；（10）取a2＝﹣7，a3＝﹣19时，﹣19＝﹣7p+3p﹣3，解得p＝4，a4＝﹣19×4+3×4﹣3＝﹣67，不成立；（11）取a2＝﹣3，a3＝﹣19时，﹣19＝﹣3p+3p﹣3，不成立；（12）取a2＝﹣3，a3＝﹣7时，﹣7＝﹣3p+3p﹣3，不成立；（13）取a2＝﹣3，a3＝5时，5＝﹣3p+3p﹣3，不成立；（14）取a2＝﹣3，a3＝10时，10＝﹣3p+3p﹣3，不成立；（15）取a2＝﹣5，a3＝29时，29＝﹣3p+3p﹣3，不成立；（16）取a2＝5，a3＝﹣19时，﹣19＝5p+3p﹣3，解得p＝﹣2，a4＝﹣19×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3＝29，a5＝29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3＝﹣67，不成立；（17）取a2＝5，a3＝﹣7时，﹣7＝5p+3p﹣3，解得p＝﹣，＝﹣1，不成立；（18）取a2＝5，a3＝﹣3时，﹣3＝5p+3p﹣3，解得p＝0，a4＝﹣3，此时a1＝﹣3；（19）取a2＝5，a3＝10时，10＝5p+3p﹣3，解得p＝，，不成立；（20）取a2＝5，a3＝29时，29＝5p+3p﹣3，解得p＝4，a4＝29×4+3×4﹣3＝125，不成立；（21）取a2＝10，a3＝﹣19时，﹣19＝10p+3p﹣3，解得p＝﹣，，不成立；（22）取a2＝10，a3＝﹣7时，﹣7＝10p+3p﹣3，解得p＝﹣，a4＝﹣7×（）+3×（﹣）﹣3＝﹣，不成立；（23）取a2＝10，a3＝﹣3时，﹣3＝10p+3p﹣3，解得p＝0，a4＝﹣3，此时a1＝﹣3；（24）取a2＝10，a3＝5时，5＝10p+3p﹣3，解得p＝，a4＝＝，不成立；（25）取a2＝10，a3＝29时，29＝10p+3p﹣3，解得p＝，a4＝29×+3×﹣3＝，不成立；（26）取a2＝29，a3＝﹣19时，﹣19＝29p+3p﹣3，解得p＝﹣，＝5，，29＝﹣﹣3×，解得a1＝﹣67；（27）取a2＝29，a3＝﹣7时，﹣7＝29p+3p﹣3，解得p＝﹣，a4＝﹣7×（﹣）+3×（﹣）﹣3＝﹣，不成立；（28）取a2＝29，a3＝5时，5＝29p+3p﹣3，解得p＝，a4＝5×+3×﹣3＝1，不成立；（29）取a2＝29，a3＝10时，10＝29p+3p﹣3，解得p＝，a4＝10×＝，不成立；（30）取a2＝29，a3＝﹣3时，﹣3＝29p+3p﹣3，解得p＝0，a4＝﹣3，此时a1＝﹣3．综上所述，a的集合为{﹣1，﹣3，﹣67}．故答案为：{﹣1，﹣3，﹣67}．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．（5分）已知圆O：x2+y2＝1和直线l：y＝kx+，则k＝1是圆O与直线l 相切的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵圆O与直线l相切，∴圆心到直线的距离d＝＝1，∴k＝±1，∴k＝1是圆O与直线l相切的充分不必要条件．故选：B．16．（5分）（2﹣）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1B．1C．256D．﹣256【解答】解：令二项式（2﹣）8中的x＝1，得到展开式中各项的系数的和为（2﹣1）8＝1∴展开式中各项的系数的和为1故选：B．17．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f （b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点【解答】解：①y＝x2，在（﹣1，1）内有零点，但是f（﹣1）•f（1）＞0，故A 不正确，②y＝x2，f（﹣1）•f（1）＞0，在（﹣1，1）内有零点，故B不正确，③若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，f（a）＝﹣1，f（b）＝1，在（a，b）恒成立有f（x）＞0，可知满足f（a）•f（b）＜0，但是其在（a，b）内没有零点．故C不正确．所以ABC不正确，故选：D．18．（5分）数列{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若记数据a1，a2，a3，…，a2015的方差为λ1，数据的方差为λ2，k＝．则（）A．k＝4．B．k＝2．C．k＝1．D．k的值与公差d的大小有关．【解答】解：由题意，数据a1，a2，a3，…，a2015的平均数为＝a1008，所以λ1＝[（a1﹣a1008）2+（a2﹣a1008）2+…+（a2015﹣a1008）2]＝•（12+22+…+10072）．数据，，，…，的平均数为a1+d，所以λ2＝[（﹣a1﹣d）2+（﹣a1﹣d）2+…+（﹣a1﹣d）2]＝•（12+22+…+10072）．所以k＝＝2，故选：B．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arctan．求三棱锥C1﹣A1BC的体积．【解答】解法一：∵A1C1⊥B1C1，A1C1⊥CC1，B1C1∩C1C＝C1，∴A1C1⊥平面BB1C1C，∴∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．设CC1＝y，，∴，∴．法二：如图，建立空间直角坐标系，设CC1＝y．得点B（0，2，0），C1（0，0，y），A1（2，0，y）．则，平面BB 1C1C的法向量为．设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ，则，∴．20．（14分）某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润＝销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．【解答】解：（1）当10＜x＜100时，W＝xR（x）﹣（40+16x）＝4360﹣﹣16x．（2）4360﹣﹣16x≥2760，所以x2﹣100x+2500≤0（x≠0），所以（x﹣50）2≤0，所以x＝50．21．（14分）椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，已知椭圆Γ过点P（，），且•＝0．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求|CD|．【解答】解：（1）由于椭圆Γ过点，即有，解得a2＝2，又•＝0，则以AP为直径的圆恰好过右焦点F2，又，得，，即有，而b2＝a2﹣c2＝2﹣c2，所以c2﹣2c+1＝0得c＝1，故椭圆Γ的方程是．（2）法一：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则，且x1+x2＝2，y1+y2＝1，由，得：（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，即，所以CD所在直线的方程为，将，代入x2+2y2＝2得，即有x1+x2＝2，x1x2＝．．法二：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（2﹣x1，1﹣y1），则，两等式相减得，将，代入x2+2y2＝2得，则有．22．（16分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣）+sin2x﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＞0，求实数m的取值范围；（3）对任意的x1∈[﹣，]，是否存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f （x2）＝1成立，请说明理由．【解答】解：（1）＝，函数f（x）的最小正周期T＝π，（2）当时，，，存在，满足F（t）﹣m＞0的实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）．（3）存在唯一的，使f（x1）•f（x2）＝1成立．当时，，，设，则a∈[﹣1，1]，由，得．所以x2的集合为，∵，∴x2在上存在唯一的值使f（x1）•f（x2）＝1成立．23．（18分）已知数列{a n}为等差数列，a1＝2，其前n和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q＝2020成立，若存在，求出所有满足条件的p，q；若不存在，说明理由．（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos＜对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解（1）法1：设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q．∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+2+4，令n＝1，2，3分别得a1b1＝4，a1b1+a2b2＝20，a1b1+a2b2+a3b3＝68，又a1＝2，∴，即，解得：或．经检验d＝2，q＝2符合题意，不合题意，舍去．∴．法2：∵①则（n≥2）②①﹣②得，，又a1b1＝4，也符合上式，∴，由于{a n}为等差数列，令a n＝kn+b，则，∵{b n}为等比数列，则（为常数），即（qk﹣2k）n2+（bq﹣kq﹣2b+2k）n﹣qb＝0恒成立，∴q＝2，b＝0，又a1＝2，∴k＝2，故；（2）假设存在p，q∈N*满足条件，则（4p+4）2﹣2q＝2020，化简得4p2+8p﹣501＝2q﹣2，由p∈N*得，4p2+8p﹣501为奇数，∴2q﹣2为奇数，故q＝2．得4p2+8p﹣501＝1，即2p2+4p﹣251＝0，故，这与p∈N*矛盾，∴不存在满足题设的正整数p，q；（3）由a n＝2n，得，设，则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜b n.，∵b n＞0，∴b n+1＞b n，数列{b n}单调递增．假设存在这样的实数λ，使得不等式（﹣1）n+1λ＜b n对一切n∈N*都成立，则①当n为奇数时，得；②当n为偶数时，得，即．综上，，由λ是非零整数，知存在λ＝±1满足条件．。
2015届海市松江区高三上学期期末考试理科数学试卷(带解析)
绝密★启用前2015届海市松江区高三上学期期末考试理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：135分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知满足条件的点构成的平面区域面积为，满足条件的点构成的平面区域的面积为,其中分别表示不大于的最大整数，例如：，，则的关系是A ．B ．C ．D ．2、设是所在平面内一点，则A ．B ．C ．D ．3、若二项式展开式中含有常数项，则的最小取值是A．4 B．5C．6 D．74、已知，则“”是“”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）5、（理）在正项等比数列中，已知，若集合，则A 中元素个数为 ．6、设是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，．若函数在区间恰有3个不同的零点，则的取值范围是 ．7、某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．此时= ．8、（理）已知函数，若对恒成立，则的取值范围为 ．9、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为 ．10、已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为 ．11、已知函数（，）的最小正周期为，将图像向左平移个单位长度所得图像关于轴对称，则．12、按如图所示的流程图运算，则输出的．13、若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是 ．14、在正四棱柱中，与平面所成的角为，则与所成的角为 ．（结果用反三角函数表示）15、已知正方形的边长为,为的中点，则= ．16、在等差数列中，,则．17、已知，且，则．18、若复数满足,则的值为 ．三、解答题（题型注释）19、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 （理）对于曲线，若存在最小的非负实数和，使得曲线上任意一点，恒成立，则称曲线为有界曲线，且称点集为曲线的界域． （1）写出曲线的界域； （2）已知曲线上任意一点到坐标原点与直线的距离之和等于3，曲线是否为有界曲线，若是，求出其界域，若不是，请说明理由； （3）已知曲线上任意一点到定点的距离之积为常数，求曲线的界域．20、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分 已知数列的首项为，记（）.（1）若为常数列，求的值；（2）若为公比为的等比数列，求的解析式；（3）是否存在等差数列，使得对一切都成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时。
松江区2015年高三一模数学试卷(文理合卷)含答案
f
(x)
log2
t
y 轴对
对
x
R
开始
a 5, S 1
a4 Y
S Sa
a a 1
恒成立，则 t
第7题
N 输出S
的取值范围为
2015.1
结束
g(x) f (x) loga (x 2)(a 1) 在区间 2,6恰有 3 个不同的零点，则 a 的取值范围是 ▲ ． 14．（理）在正项等比数列 an 中，已知 a1 a2015 1，若集合
D．7
17．设 P 是 ABC 所在平面内一点， BC BA 2BP 则
A． PA PB 0
B． PB PC 0
C． PC PA 0 D． PA PB PC 0
已知函数 f (x) a xb (a 0, a 1, b R) ． （1）若 f (x) 为偶函数，求 b 的值；
（2）若 f (x) 在区间2, 上是增函数，试求 a 、 b 应满足的条件．
21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细
通项公式；若不存在，请说明理由．
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高，料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术，以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
异面直线及其所成的角
异面直线及其所成的角填空题基础题1.doc参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．（2015•松江区一模）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1与平面ABCD所成的角为60°，则BC1与AC所成的角为arccos（结果用反三角函数表示）．来源：2015年市松江区高考数学一模试卷（文科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b，即b=a，再由余弦定理，即可得到．解答：解：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b，则由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，即有tan60°=，即b=a，在△BA1C1中，BC1=BA1==2a，A1C1=a，cos∠BC1A1==．则BC1与AC所成的角为arccos．故答案为：arccos．点评：本题考查空间的直线和平面所成的角，异面直线所成的角的求法，考查运算能力，属于基础题．2．（2015•浦东新区一模）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D、E分别是BC、AP的中点．求异面直线AC与ED所成的角的大小为arccos．来源：2015年市浦东新区高考数学一模试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：欲求异面直线所成角，只需平移异面直线中的一条，是它们成为相交直线，则相交直线所成角就是异面直线所成角，再放入三角形中，通过解三角形求出该角．本题中取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角．再放入Rt△EFD中来求．解答：解：取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，所以∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角．由已知，AC=EA=AD=1，AB=，PB=，∵AC⊥EF，∴DF⊥EF．在Rt△EFD中，DF=，ED=，cos．所以异面直线AC与ED所成的角为arccos．故答案为：arccos．点评：本题主要考查了异面直线所成角的求法，考查运算能力，属于基础题．3．（2015•校级二模）在四面体ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，且AD=，则BC等于2．来源：2015年省三中高考数学二模试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，则∠BCE=60°，即可求出BC．解答：解：如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，则∠BCE=60°，∵AD=，∴CE=，∴BC=2．故答案为：2．点评：本题考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，正确构造图形是关键．4．（2015•二模）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为形，且PA⊥平面ABCD，PA=AB，则直线PB与直线AC所成角的大小为．来源：2015年省市高考数学二模试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角；棱锥的结构特征．专题：计算题；空间角．分析：将图形补成体，连接AE，CE，则PB∥EC，所以∠ACE是直线PB与直线AC所成角，即可得出结论．解答：解：如图所示，将图形补成体，连接AE，CE，则PB∥EC，所以∠ACE是直线PB与直线AC所成角，因为AC=AE=CE，所以∠ACE=．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成的角的求法，考查学生的计算能力，比较基础．5．（2015春•校级期末）已知四面体OABC各棱长为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值是．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：先画出四面体OABC，取棱OC中点E，连接DE，BE，可判断∠BDE便是异面直线BD与AC所成角，并容易求出，这样便可得到cos∠BDE=．解答：解：如图，取OC中点E，连接DE，BE；∵D是棱OA的中点；∴DE∥AC；∴∠BDE或其补角为直线BD，AC所成角；则在△BDE中，BD=BE=，DE=；∴；∴∠BDE为异面直线BD，AC所成角，其余弦值为．故答案为：．点评：三角形中位线的性质，异面直线所成角的概念及求法，以及直角三角形边角的关系．6．（2015春•期末）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与BB1所成角的正弦值为．来源：2014-2015学年省市高一（下）期末数学试卷（A卷）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，连接AC，由B1B∥C1C，可得∠AC1C是异面直线AC1与BB1所成的角，再利用长方体的性质、直角三角形的边角关系即可得出．解答：解：如图所示，连接AC，∵B1B∥C1C，∴∠AC1C是异面直线AC1与BB1所成的角．在Rt△AC1C中，AC1===3，AC===2，∴sin∠AC1C==，故答案为：．点评：本题考查了异面直线所成的角、长方体的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（2014秋•凤凰县校级月考）体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1D1、C1C中点，则异面直线A1D与MN所成角的余弦值为．来源：2014-2015学年省湘西州凤凰中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1D与MN所成角的余弦值．解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，则A1（2，0，2），D（0，0，0），M（1，0，2），N（0，2，1），=（﹣2，0，﹣2），=（﹣1，2，﹣1），cos＜，＞===．∴异面直线A1D与MN所成角的余弦值为．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．8．（2014•模拟）如图，体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱BC的中点，则异面直线C1M与AA1所成角的余弦值为来源：2014年省市高考数学二诊试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：设体的边长为a，由平行公理可得CC1∥AA1，则∠CC1M即为异面直线C1M与AA1所成角，通过解直角三角形△CC1M，即可得到所求值．解答：解：设体的边长为a，则CM=，由于CC1∥BB1，BB1∥AA1，则CC1∥AA1，则∠CC1M即为异面直线C1M与AA1所成角，在△CC1M中，cos∠CC1M===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成的角的求法，考查平移法的运用，考查运算能力，属于基础题．9．（2014春•嵩明县校级期末）如图所示，点P在形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为60°．来源：2013-2014学年省市嵩明一中高一年级（下）期末数学试卷难度：0.79考点：异面直线及其所成的角．分析：本题求解宜用向量法来做，以D为坐标原点，建立空间坐标系，求出两直线的方向向量，利用数量积公式求夹角即可解答：解：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在线为y轴，DP所在线为z轴，建立空间坐标系，∵点P在形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，令PD=AD=1∴A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0）∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0）∴cosθ==故两向量夹角的余弦值为，即两直线PA与BD所成角的度数为60°．故答案为：60°点评：本题考查异面直线所角的求法，由于本题中所给的背景建立空间坐标系方便，故采取了向量法求两直线所成角的度数，从解题过程可以看出，此法的优点是不用作辅助线，大大降低了思维难度．10．（2014秋•期末）如图，在棱长为2的体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于．来源：2014-2015学年省市高三（上）期末数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：首先通过做平行线把异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，进一步利用解直角三角形知识求得结果．解答：解：取BC的中点F，连接EF，OF由于O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，所以：EF∥BC1∥AD1所以：异面直线OE与AD1所成角，即OE与EF所成的角．平面ABCD⊥平面BCC1B1OF⊥BC所以：OF⊥平面BCC1B1EF⊂平面BCC1B1所以：EF⊥OFcos故答案为：点评：本题考查的知识要点：异面直线所成的角的应用，线面垂直与面面垂直及线线垂直之间的转化，属于基础题型．11．（2014秋•易县期末）在体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC与C1D1所成的角的度数为90°．来源：2014-2015学年省市易县职教中心高二（上）期末数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由C1D1∥CD，能求出BC与C1D1所成的角的度数．解答：解：∵C1D1∥CD，又CD⊥BD，∴BC与C1D1所成的角的度数为90°．故答案为：90°．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养．12．（2014秋•利川市校级期末）体ABCD﹣A′B′C′D′中，异面直线BD与AD′所成的角的大小为60°．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结B′D′，AB′，BD∥B′D′，∠AD′B′是异面直线BD与AD′所成的角，由△AB′D′是等边三角形，能求出异面直线BD与AD′所成的角．解答：解：连结B′D′，AB′，∵BD∥B′D′，∴∠AD′B′是异面直线BD与AD′所成的角，∵△AB′D′是等边三角形，∴∠AD′B′=60°，∴异面直线BD与AD′所成的角为60°．故答案为：60°．点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13．（2014秋•罗湖区校级期末）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AB=AA1，且异面直线AC1与A1B所成的角为60°，则∠CAB等于90°．来源：2014-2015学年省中学高一（上）期末数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由已知条件，构造体ABDC﹣A1B1D1C1，由此能求出∠CAB=90°．解答：解：由已知条件，构造体ABDC﹣A1B1D1C1，满足条件AC=AB=AA1，且异面直线AC1与A1B所成的角为60°，∴∠CAB=90°．故答案为：90°．点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．14．（2014秋•期末）已知正四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，则异面直线EF与AD所成角的度数为45°．来源：2014-2015学年省市高三（上）期末数学试卷（文科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：根据正四面体的性质，每条棱都相等，相对的棱互相垂直，可借助中位线，平移直线AD，得到异面直线EF与AD所成的角，再放入直角三角形中，即可求得．解答：解：取BC的中点G，连接EG，FG，∵E，G分别为AB，BD的中点，∴EG∥AD，FG∥BC，EG=AD，FG=BC∴∠FEG为异面直线EF与AD所成的角∵四面体ABCD为正四面体，∴AD=BC，∴EG=FG过点A作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为△BCD的重心，AO⊥BD∵DO⊥BC，AO∩DO=O∴BC⊥平面AOD∵AD⊂平面AOD∴BC⊥AD，∵EG∥AD，FG∥BC∴EG⊥FG在Rt△EGF中，∵∠EGF=90°，且EG=FG∴∠FEG=45°故答案为：45°．点评：本题主要考查了正四面体中线线位置关系，以及异面直线所成角的求法，综合考查了学生的识图能力，作图能力，以及空间想象力．15．（2014秋•期末）正四面体ABCD中，E为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值等于．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：取BD的中点F，连接EF，CF，则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线AB与CE所成角的余弦值．解答：解：如图所示，取BD的中点F，连接EF，CF，则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成角，设正四面体ABCD的棱长为2a，（a＞0），则EF=AB=a，CE=CF=2a•sin60°=a，在△CEF中，cos∠CEF===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．16．（2014秋•期末）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G 分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为90°．来源：2014-2015学年省市高一（上）期末数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成角．解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），设异面直线A1E与GF所成角为θ，cosθ=|cos＜＞|==0，∴异面直线A1E与GF所成角为90°．故答案为：90°．点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用．17．（2014秋•期末）体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD交于点O，则异面直线OC1与AD1所成角的大小为30°．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结BC1，AD1∥BC1，∠BC1O是异面直线OC1与AD1所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线OC1与AD1所成角的大小．解答：解：连结BC1，∵AD1∥BC1，∴∠BC1O是异面直线OC1与AD1所成角，设体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则BO==，C1O=，，∴cos∠BC1O===，∴∠BC1O=30°．∴异面直线OC1与AD1所成角的大小为30°．故答案为：30°．点评：本题考查异面直线OC1与AD1所成角的大小的求法，是基础题，解题时要注意余弦定理的合理运用．18．（2014秋•期末）在形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，若沿EF将形折成一个二面角A﹣EF﹣D使得AD=AE，则异面直线AD与CE所成角的余弦值为．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结BE，CE、BC，由AD∥BC，得∠BCE是异面直线AD与CE所成角，由余弦定理得：cos∠BCE=，由此能求出异面直线AD与CE所成角的余弦值．解答：解：连结BE，CE、BC，设AE=x，则DE=x，AD=CB=，∴AE2+DE2=AD2，∴AE⊥DE，=，∵AD∥BC，∴∠BCE是异面直线AD与CE所成角，由余弦定理得：cos∠BCE===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．19．（2014秋•期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，已知AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，若D为BC的中点，则AB1与C1D所成角的余弦值为．来源：2014-2015学年省市高二（上）期末数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AB1与C1D所成角的余弦值．解答：解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B1（2，0，2），C1（0，2，2），D（1，1，0），=（2，0，2），=（1，﹣1，﹣2），设AB1与C1D所成角为θ，cosθ=|cos＜，＞|===，∴AB1与C1D所成角的余弦值为．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（2014秋•期末）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=CC1，M是A1B1的中点，则AC1与BM所成角的余弦值为．来源：2014-2015学年省市高二（上）期末数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC1与BM所成角的余弦值．解答：解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=AC=CC1=2，则A（0，0，0），C1（0，2，2），B（2，0，0），M（1，0，2）=（0，2，2），=（﹣1，0，2），设AC1与BM所成角为θ，cosθ=|cos＜，＞|===．∴AC1与BM所成角的余弦值为．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意向量法的合理运用．21．（2014秋•河区校级期末）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°，则DB1和C1A1所成角大小为．来源：2014-2015学年省二中高二（上）期末数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：设=，=，=，则两两夹角为60°，且模均为2.==2，||==2，=（+）•（）=4，设DB1和C1A1所成角为θ，cosθ=|cos＜，＞|=，由此能求出DB1和C1A1所成角大小．解答：解：设=，=，=，则两两夹角为60°，且模均为2．∵=﹣+，=﹣，∴===2，||====2，=（+）•（）=﹣2+﹣=4+4﹣4+2﹣2=4，设DB1和C1A1所成角为θ，cosθ=|cos＜，＞|===，∴θ=．故答案为：．点评：本题考查的知识点是异面直线所成角的余弦值的计算，考查空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键．22．（2014秋•校级期中）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为．来源：2014-2015学年省十一中高二（上）期中数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：首先把空间问题转化为平面问题，通过连结A1B得到：A1B∥CD1进一步解三角形，设AB=1，利用余弦定理：，根据线段AE=1，，BE=的长求出结果．解答：解：在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连结A1B，根据四棱柱的性质A1B∥CD1设AB=1，则：AA1=2AB=2，∵E为AA1的中点，∴AE=1，，BE=在△A1BE中，利用余弦定理求得：=即异面直线BE与CD1所成角的余弦值为：故答案为：点评：本题考查的知识点：异面直线的夹角，余弦定理得应用，及相关的运算．23．（2014秋•荥经县校级期中）在体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则异面直线MN与AC所成角的度数是60°．来源：2014-2015学年省市荥经中学高二（上）期中数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：首先建立直角坐标系，进一步求出相应的点的坐标，利用向量的数量积求出异面直线的夹角．解答：解：设体体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，建立直角坐标系D﹣xyz，根据题意得到：A（2，0，0）C（0，2，0），由于M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，M（0，0，1），N（0，1，0）则：，设：异面直线MN与AC所成角为θ则：cosθ==由于：0°＜θ≤90°所以：θ=60°故答案为：60°点评：本题考查的知识要点：如何建立直角坐标系，向量的数量积，异面直线的夹角及相关的运算问题．24．（2014秋•雁峰区校级期中）在底面边长为2，高为1的正四梭柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点．则异面直线A1E，CF所成的角为．来源：2014-2015学年省八中高二（上）期中数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间角．分析：以D为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而求出异面直线A1E，CF的方向向量，代入向量夹角公式，可得求异面直线A1E，CF所成的角．解答：解：以D为原点建立空间直角坐标系，则A1（2，0，1），E（1，2，0），C（0，2，0），F（0，1，1），∴=（﹣1，2，﹣1），=（0，﹣1，1），设异面直线A1E，CF所成的角为θ，则cosθ==，所以θ=，所求异面直线的夹角为．故答案为：．点评：本题考查异面直线及其所成的角，建立空间坐标系，将空间异面直线夹角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．25．（2014秋•无为县校级期中）在体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1与BD所成的角是60°．来源：2014-2015学年省市无为三中高二（上）期中数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：通过平移直线作出异面直线AD1与BD所成的角，在三角形中即可求得．解答：解：如图，连结BC1、BD和DC1，在体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AB=D1C1，AB∥D1C1，可知AD1∥BC1，所以∠DBC1就是异面直线AD1与BD所成角，在体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1、BD和DC1是其三个面上的对角线，它们相等．所以△DBC1是正三角形，∠DBC1=60°故异面直线AD1与BD所成角的大小为60°．故答案为60°．点评：本题考查异面直线所成的角及其求法，解决该类题目的基本思路是化空间角为平面角．26．（2014秋•校级期中）空间四边形PABC中，PB=10，PC=6，BC=6，∠APB=∠APC=，则cos=﹣．来源：2014-2015学年省五中高二（上）期中数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：平面向量及应用．分析：利用平面向量的数量积，求出两向量夹角的余弦值即可．解答：解：如图所示，∵PB=10，PC=6，BC=6，∠APB=∠APC=，∴cos======﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了平面向量数量积的应用问题，解题时应利用平面向量的数量积求两向量的夹角，是基础题．27．（2014秋•合阳县校级月考）空间四边形ABCD中，对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，且MN=7，则异面直线AC与BD所成的角为60°．来源：2014-2015学年省市合阳县黑池中学高三（上）第四次质检数学试卷（文科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：首先通过平行线把异面直线转化为共面直线，利用解三角形知识中的余弦定理求出异面直线的夹角．解答：解：取BC的中点G，连接GM，GNM、N分别是AB、CD的中点，对角线AC=10，BD=6，所以：GM==5，GN=在△GMN中，EF=7，GM=5，GN=3利用余弦定理得：|=即：cos所以：∠MGN=120°所以：异面直线AC与BD所成的角为60°故答案为：60°点评：本题考查的知识要点：异面直线所成的角的应用，余弦定理的应用，属于基础题型．28．（2014秋•香坊区校级月考）若四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，PA⊥平面ABCD，则AB=AP=AD=3，CD=6，则直线PD和BC成的角的大小为．来源：2014-2015学年省六中高二（上）12月月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：先作出异面直线所成的角，再使用余弦定理即可求出．解答：解：建立坐标系如图：因为底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，PA⊥平面ABCD，则AB=AP=AD=3，CD=6，所以P（0，0，3），D（0，3，0），B（3，0，0），C（6，3，0），所以=（0，3，﹣3），=（3，3，0），所以cos＜＞==，所以直线PD和BC成的角的大小为；故答案为：．点评：本题考查了异面直线所成的角的求法；本题借助于空间向量的数量积解答的；关键是适当的建立坐标系，正确写出向量的坐标和正确的计算．29．（2014秋•仁寿县校级月考）如图在四面体ABCD中，E、F为BC、AD的中点，且AB=CD，EF=AB，则异面直线AB与CD所成角为60°．来源：2014-2015学年省眉山市仁寿一中北校区高二（上）10月月考数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：先来找异面直线AB，CD所成角：通过已知条件，容易想到取BD中点G，并连接EG，FG，则∠EGF或其补角便是异面直线AB，CD所成角．所以需要求出∠EGF，这时候就应想到用余弦定理求，所以设AB=2，这样便得到EG=FG=1，EF=，所以根据余弦定理即可求出∠EGF=120°，所以异面直线AB，CD所成角为60°．解答：解：如图，取BD中点G，并连接EG，FG，则EG∥AB，且EG=，FG∥CD，且FG=；∴异面直线AB与CD所成角等于∠EGF或其补角；设AB=2，则：EG=1，FG=1，EF=；∴在△EFG中，由余弦定理得cos∠EGF=；∴∠EGF=120°；∴异面直线AB与CD所成角为60°．故答案为：60°．点评：考查异面直线所成角的概念及求法，中位线的性质，以及余弦定理．30．（2014秋•蜀山区校级月考）如图，在体AC1中，AA1与B1D所成角的余弦值是．来源：2014-2015学年省市剑桥学校高二（上）第二次段考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：直接找出异面直线所成角，然后求解即可．解答：解：因为几何体是体，AA1∥DD1，AA1与B1D所成角等于∠B1DD1，设体的棱长为：1，所求异面直线所成角的余弦值为：cos∠B1DD1==．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，基本知识的考查．异面直线及其所成的角填空题基础题2.doc参考答案与试题解析一．填空题（共22小题）1．（2014秋•惠阳区校级月考）已知空间四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，则对角线BD与AC所成的角的大小为90°．来源：2014-2015学年省市惠阳高级中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：取BD中点O，连结AO，CO，由已知得AO⊥BD，CO⊥BD，从而BD⊥平面AOC，由此能求出对角线BD与AC所成的角的大小．解答：解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB=AD，BC=CD，∴AO⊥BD，CO⊥BD，又AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，∵AC⊂平面AOC，∴BD⊥AC，∴对角线BD与AC所成的角的大小为90°．故答案为：90°．点评：本题考查对角线BD与AC所成的角的大小的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．2．（2014秋•连城县校级月考）如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=2，AA1=2，那么DD1和BC1所成的角是60度．来源：2014-2015学年省市连城一中高一（上）第三次月考数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知几何体为长方体，所以容易得到∠DD1和BC1所成的角是BC1C，利用直角三角形的三角函数解之．解答：解：因为已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，所以CC1∥DD1，所以∠DD1和BC1所成的角是BC1C，又AB=2，AD=2，AA1=2，所以tan∠BC1C=，所以∠BC1C=60°；故答案为：60．点评：本题考查了长方体的性质运用以及异面直线所成的角的求法；关键是将空间角转化为平面角．3．（2014秋•普陀区月考）如图，正三棱柱的底面边长为1，体积为，则异面直线A1A 与B1C所成的角的大小为arctan．（结果用反三角函数值表示）来源：2014-2015学年市普陀区高三（上）12月调研数学试卷（文科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：根据已知条件容易求得BB1=4，并且判断出∠BB1C是异面直线A1A与B1C所成的角，而tan∠BB1C=，所以得到异面直线A1A与B1C所成的角的大小为arctan．解答：解：根据已知条件知，；∴BB1=4；∵BB1∥AA1；∴∠BB1C是异面直线A1A与B1C所成角；∴在Rt△BCB1中，tan∠BB1C=；∴．故答案为：arctan．点评：考查三角形面积公式，三棱柱的体积公式，以及异面直线所成角的概念及求法．4．（2014秋•桥东区校级月考）在棱长为1的体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为AA1和BB1的中点，那么直线CM与D1N所成角的余弦值是．来源：2014-2015学年省二中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：取C1C的中点P，连接A1P，将MC平移到A1P，根据异面直线所成角的定义可知∠A1OD1是异面直线CM与D1N所成的角，在三角形A1OD1中利用余弦定理求出此角的余弦值即可．解答：解：取C1C的中点P，连接A1P∵A1M∥CP，且A1M=/CP，∴四边形A1MCP是平行四边形∴A1P∥MC，则∠A1OD1是异面直线CM与D1N所成的角∵体的棱长为1，∴A1P=MC==，D1O=A1O=cos∠A1OD1=，即直线CM与D1N所成角的余弦值是故答案为：点评：本题主要考查异面直线所成的求解，根据直线平行的性质是解决本题的关键．本题也可以使用坐标法进行求解．5．（2014秋•嵊泗县校级月考）已知二面角α﹣l﹣β的大小为60°，直线m、n满足m⊥α，n⊥β，则异面直线m、n所成的角为60°．来源：2014-2015学年省市嵊泗中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由条件m⊥α，n⊥β可知m、n所成的夹角与二面角α﹣l﹣β所成的角相等或互补，而异面直线所成角的围是0°＜θ≤90°，所以m、n所成的角为二面角α﹣l﹣β所成的角．解答：解：∵m⊥α，n⊥β，∴m、n所成的夹角与二面角α﹣l﹣β所成的角相等或互补．∵二面角α﹣l﹣β为60°，∴异面直线m、n所成的角为60°．故答案为60°，点评：本题考查了异面直线所成角、二面角的平面角的作法和直线与平面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题．运用垂面法作二面角的平面角，是解决本题的关键．。
上海市徐汇区2015届高三数学一模试题理(含解析)
上海市徐汇区2015届高考数学一模试卷（理科）一．填空题1．已知，则cos2θ=__________．2．若实数x，y满足xy=4，则x2+4y2的最小值为__________．3．设i是虚数单位，复数z满足（2+i）•z=5，则|z|=__________．4．函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）=__________．5．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．6．如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是__________（结果用反三角函数值表示）．7．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S n﹣=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为__________．8．若全集U=R，不等式的解集为A，则∁U A=__________．9．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，方向向量的直线l过点P（0，4），则圆C上的点到直线l的距离的最大值为__________．10．如图：在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，用，表示，则=__________．11．已知函数，将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）的图象上最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，则φ的值为__________．12．已知函数，其中n∈N*，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则=__________．13．在平面直角坐标系中，对于函数y=f（x）的图象上不重合的两点A，B，若A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一组“奇点对”（规定（A，B）与（B，A）是相同的“奇点对”），函数的“奇点对”的组数是__________．14．设集合A={（x1，x2，x3，…，x10）|x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，…，10}，则集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为__________．二．选择题15．“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件；16．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β；17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N*），分别编号为1，2，…，n，买家共有m名（m∈N*，m＜n），分别编号为1，2，…，m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是( )A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m18．对于方程为的曲线C给出以下三个命题：（1）曲线C关于原点中心对称；（2）曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是( )A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）；三．解答题19．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．20．已知函数f（x）=2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求k的值；（2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求k的取值范围．21．如图所示，某传动装置由两个陀螺T1，T2组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且T1，T2的轴相互垂直，它们相接触的直线与T2的轴所成角θ=arctan．若陀螺T2中圆锥的底面半径为r（r＞0）．（1）求陀螺T2的体积；（2）当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P1，求P与P1之间的距离．22．已知椭圆γ：=1（常数a＞1）的左顶点R，点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点；（1）若P是椭圆γ上任意一点，，求m2+n2的值；（2）设Q是椭圆γ上任意一点，S（3a，0），求的取值范围；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，试探究△OMN 的面积是否为定值，说明理由．23．已知有穷数列{a n}各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n}，称{p n}为{a n}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{p n}为1，3，2；（1）写出公差为d（d≠0）的等差数列a1，a2，…，a n的序数列{p n}；（2）若项数不少于5项的有穷数列{b n}、{c n}的通项公式分别是（n∈N*），（n∈N*），且{b n}的序数列与{c n}的序数列相同，求实数t的取值范围；（3）若有穷数列{d n}满足d1=1，（n∈N*），且{d2n﹣1}的序数列单调递减，{d2n}的序数列单调递增，求数列{d n}的通项公式．上海市徐汇区2015届高考数学一模试卷（理科）一．填空题1．已知，则cos2θ=．考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式展开后代入已知即可求值．解答：解：∵，∴cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=，故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．2．若实数x，y满足xy=4，则x2+4y2的最小值为16．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=4，∴y=∴x2+4y2=x2+≥2=16，当且仅当x2=，即x=±2时取等号，故答案为：16点评：本题考查基本不等式，属基础题．3．设i是虚数单位，复数z满足（2+i）•z=5，则|z|=．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，代入复数的模得答案．解答：解：由（2+i）•z=5，得，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．4．函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）=（x＞﹣2）．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，把x与y互换即可得出．解答：解：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，把x与y互换可得y=f﹣1（x）=﹣（x＞﹣2）．故答案为：（x＞﹣2）．点评：本题考查了反函数的求法，属于基础题．5．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的右焦点为F（2，0），该点也是抛物线的焦点，可得=2，即可得到结果．解答：解：∵双曲线的标准形式为：，∴c=2，双曲线的右焦点为F（2，0），∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，∴=2，可得p=4．故答案为：x=﹣2点评：本题给出抛物线与双曲线右焦点重合，求抛物线的焦参数的值，着重考查了双曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点，属于基础题．6．如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是arctan（结果用反三角函数值表示）．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在直角三角形中求出正切值，再用反三角函数值表示出这个角即可．解答：解：先画出图形将AD平移到BC，则∠D1BC为异面直线BD1与AD所成角，BC=2，D1C=，tan∠D1BC=，∴∠D1BC=arctan，故答案为arctan．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及解三角形的应用，属于基础题．7．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S n﹣=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为a n=．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n，化为a n+1=3a n．a1﹣a2=0，解得a2=2．∴当n≥2时，数列{a n}为等比数列，∴．∴{a n}的通项公式为a n=．故答案为：a n=．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，属于基础题．8．若全集U=R，不等式的解集为A，则∁U A=[﹣1，0]．考点：其他不等式的解法；补集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得（x+1）•﹣（﹣1）＞1，即＞﹣1，求得A，可得∁U A．解答：解：由不等式，可得（x+1）•﹣（﹣1）＞1，即 1+＞0，即＞﹣1，∴x＞0，或 x＜﹣1，故A=（0，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴∁U A=[﹣1，0]，故答案为：[﹣1，0]．点评：本题主要考查行列式的运算，解分式不等式，集合的补集，体现了转化的数学思想，属于基础题．9．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，方向向量的直线l过点P（0，4），则圆C上的点到直线l的距离的最大值为．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：确定直线l的方程，求出圆心C到直线的距离，再加上半径，即为C上各点到l的距离的最大值．解答：解：由题意，方向向量的直线l过点P（0，4），方程为x﹣y+4=0 圆心C到直线的距离为d==2∵圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2的半径为∴C上各点到l的距离的最大值为2+=．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．10．如图：在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，用，表示，则=．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：因为在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，过D作DE∥AB，得到DE是△BDC的中线，利用中线的性质可得．解答：解：因为在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，过D作DE∥AB，则E是BC的中点，，所以﹣2，所以=．故答案为：．点评：本题考查了向量的三角形法则、共线的性质以及三角形中线的向量表示，注意运算．11．已知函数，将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）的图象上最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，则φ的值为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）=2sin（2x+2φ+），设g（x）的对称轴x=x0，由条件求得x0=0，可得g（0）=2，即2sin（2φ+）=2，从而求得φ 的值．解答：解：把函数的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+）的图象，再根据y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，设g（x）的对称轴x=x0，则最高点的坐标为（x0，2），它与点（0，3）的距离的最小值为1，即=1，求得x0=0，可得g（0）=2，即2sin（2φ+）=2，∴φ=，故答案为：．点评：本题主要考查向量的数量积的坐标运算，三角恒等变换，图象的平移变换，三角函数的单调性及相关的运算问题，属于中档题．12．已知函数，其中n∈N*，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则=﹣3．考点：极限及其运算．专题：导数的综合应用．分析：利用等比数列的前n项和公式可得：函数f n（x）=+，令f n （x）=0，解得x n=﹣1．再利用极限的运算法则即可得出．解答：解：函数=+=+，令f n（x）=0，解得x n=﹣1．∴=﹣2×1﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了等比数列的前n项和公式、数列极限的运算法则，属于基础题．13．在平面直角坐标系中，对于函数y=f（x）的图象上不重合的两点A，B，若A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一组“奇点对”（规定（A，B）与（B，A）是相同的“奇点对”），函数的“奇点对”的组数是3．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据“奇点对”的定义可知，只需要利用图象，作出函数f（x）=﹣x+4，x＞0关于原点对称的图象，利用对称图象在x＜0上两个图象的交点个数，即为“奇点对”的个数．解答：解：由题意知函数f（x）=sin x，x＜0关于原点对称的图象为﹣y=﹣sin x，即y=sin x，x＞0在x＞0上作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在x＞0上的交点个数有3个，∴函数f（x）的“奇点对”有3组，故答案为：3．点评：本题主要考查新定义题目，读懂题意，利用数形结合的思想是解决本题的关键．14．设集合A={（x1，x2，x3，…，x10）|x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，…，10}，则集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为310﹣210﹣1．考点：集合的表示法；元素与集合关系的判断．专题：计算题；集合；排列组合．分析：由排列组合的知识知，集合A中共有310个元素，其中|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=0的只有一个元素，|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=10的有210个元素；从而求得．解答：解：集合A中共有310个元素；其中|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=0的只有一个元素，|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=10的有210个元素；故满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为310﹣210﹣1．故答案为：310﹣210﹣1．点评：本题考查了排列组合的应用及集合中元素的特征应用，属于中档题．二．选择题15．“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件；考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑；坐标系和参数方程．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根，则判别式△=1﹣4a＜0，解得a＞，则“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系是解决本题的关键．16．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β；考点：直线与平面垂直的判定．专题：阅读型；空间位置关系与距离．分析：根据A，B，C，D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果．解答：解：α⊥β，且m⊂α⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故A不成立；α⊥β，且m∥α⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故B不成立；m∥n，且n⊥β⇒m⊥β，故C成立；由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不成立，故D不正确．故选：C．点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N*），分别编号为1，2，…，n，买家共有m名（m∈N*，m＜n），分别编号为1，2，…，m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是( )A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：由已知中a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，可知：a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，进而得到答案．解答：解：∵a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，∴a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，∴同时购买第1类和第2类商品的人数是a11a12+a21a22+…+a m1a m2故选：C点评：本题考查的知识点是进行简单的合情推理，其中正确理解a ij=1≤i≤m，1≤j≤n的含义是解答的关键．18．对于方程为的曲线C给出以下三个命题：（1）曲线C关于原点中心对称；（2）曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是( )A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）；考点：命题的真假判断与应用；曲线与方程．专题：作图题；简易逻辑．分析：分x＞0，y＞0，x＜0，y＞0，x＜0，y＜0，x＞0，y＜0四类讨论，作出的图象，再分别对选项（1）（2）（3）判断即可．解答：解：∵，∴当x＞0，y＞0时，⇒+=1，解得y==1+；同理可得，当x＜0，y＞0时，⇒﹣+=1，整理得：y=1﹣；当x＜0，y＜0时，⇒﹣﹣=1，整理得：y=﹣1+；x＞0，y＜0时，⇒﹣=1，整理得：y=﹣1﹣；作出图象如下：由图可知，曲线C关于原点成中心对称，故（1）正确；曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，也关于直线y=x与y=﹣x对称，故（2）错误；由于在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，由图可知，四边形MNPQ每一条边的边长都大于2，故（3）正确；综上所述，（1）（3）正确．故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查曲线与方程的理解与应用，考查分类讨论思想、等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于难题．三．解答题19．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值．（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，再由θ∈（0，），求得sinθ 的值，从而求得f（﹣θ）的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．∴Asin（+）=Asin=A•=，∴A=．（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sin cosθ=cosθ=，∴cosθ=，再由θ∈（0，），可得sinθ=．∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题．20．已知函数f（x）=2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求k的值；（2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求k的取值范围．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据奇函数的概念，f（x）+f（﹣x）=0，解答即可；（2）先讨论K的取值范围，再求取值范围解答：解：（1）f（x）+f（﹣x）=（k+1）（2x+2﹣x）=0对一切的x∈R成立，所以k=﹣1．（2）若k≤0，则函数f（x）在（﹣∞，2]单调递增（舍），当k＞0时，令t=2x∈（0，4]，则函数在（0，4]上单调递减，所以，即k≥16．点评：本题主要考查奇函数的性质，单调性的定义．21．如图所示，某传动装置由两个陀螺T1，T2组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且T1，T2的轴相互垂直，它们相接触的直线与T2的轴所成角θ=arctan．若陀螺T2中圆锥的底面半径为r（r＞0）．（1）求陀螺T2的体积；（2）当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P1，求P与P1之间的距离．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，可得，进而可得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，进而求出陀螺T2的体积；（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，可得，进而利用弧长公式，求出圆心角，进而可得P与P1之间的距离．解答：解：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，则，即’得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，则，得在△POP1中，点评：本题考查的知识点是旋转体的体积公式，弧长公式，是三角函数与空间几何的综合应用，难度中档．22．已知椭圆γ：=1（常数a＞1）的左顶点R，点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点；（1）若P是椭圆γ上任意一点，，求m2+n2的值；（2）设Q是椭圆γ上任意一点，S（3a，0），求的取值范围；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，试探究△OMN 的面积是否为定值，说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据A与B坐标化简已知等式，确定出P坐标，由P在椭圆上列出关系式，求出所求式子的值即可；（2）设Q（x，y），利用平面向量数量积运算法则表示出•，配方后求出•的最大值与最小值，即可确定出•的范围；（3）根据题意，利用斜率公式得到=﹣，两边平方，整理得到x12+x22=a2，表示出三角形OMN的面积，整理后把x12+x22=a2代入得到结果为定值．解答：解：（1）∵点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点，∴=m+n=（ma﹣na，m+n），即P（ma﹣na，m+n），把P坐标代入椭圆方程得：（m﹣n）2+（m+n）2=1，即m2+n2=；（2）设Q（x，y），则•=（3a﹣x，﹣y）•（﹣a﹣x，﹣y）=（x﹣3a）（x+a）+y2=（x﹣3a）（x+a）+1﹣=x2﹣2ax+1﹣3a2=（x﹣）2﹣（﹣a≤x≤a），由a＞1，得＞a，∴当x=﹣a时，•的最大值为0；当x=a时，•的最小值为﹣4a2，则•的范围为[﹣4a2，0]；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，由条件得：=﹣，平方得：x12x22=a4y12y22=（a2﹣x12）（a2﹣x22），即x12+x22=a2，∴S△OMN=|x1y2﹣x2y1|====，则△OMN的面积为定值．点评：此题考查了椭圆的简单性质，二次函数的性质，斜率公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．已知有穷数列{a n}各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n}，称{p n}为{a n}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{p n}为1，3，2；（1）写出公差为d（d≠0）的等差数列a1，a2，…，a n的序数列{p n}；（2）若项数不少于5项的有穷数列{b n}、{c n}的通项公式分别是（n∈N*），（n∈N*），且{b n}的序数列与{c n}的序数列相同，求实数t的取值范围；（3）若有穷数列{d n}满足d1=1，（n∈N*），且{d2n﹣1}的序数列单调递减，{d2n}的序数列单调递增，求数列{d n}的通项公式．考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由新定义当d＜0时，序数列为1，2，3，…，n；当d＞0时，序数列为n，n﹣1，n﹣2，…，3，2，1；（2）由题意可得b2＞b3＞b1＞b4＞…＞b n，可得序数列为2，3，1，4，…，n，进而可得2＜＜，解不等式可得；（3）由{d2n﹣1}的序数列单调递减可得d2n﹣d2n﹣1==，同理可得d2n+1﹣d2n=﹣=，进而可得d n+1﹣d n=，可得d n=d1+（d2﹣d1）+（d3﹣d2）+…+（d n﹣d n﹣1）=1+﹣+…+=1+•=+•，既得答案．解答：解：（1）由题意，当d＜0时，序数列为1，2，3，…，n；当d＞0时，序数列为n，n﹣1，n﹣2，…，3，2，1；（2）∵，∴b n+1﹣b n=，当n=1时，易得b2＞b1，当n≥2时，易得b n+1＜b n，又∵b1=，b3=3•（）3，b4=4•（）4，b4＜b1＜b3，即b2＞b3＞b1＞b4＞…＞b n，故数列{b n}的序数列为2，3，1，4，…，n，∴对于数列{c n}有2＜＜，解得4＜t＜5；（3）∵{d2n﹣1}的序数列单调递减，∴数列{d2n﹣1}单调递增，∴d2n+1﹣d2n﹣1＞0，∴（d2n+1﹣d2n）+（d2n﹣d2n﹣1）＞0，而，∴|d2n+1﹣d2n|＜|d2n﹣d2n﹣1|，∴d2n﹣d2n﹣1＞0，∴d2n﹣d2n﹣1==，①∵{d2n}的序数列单调递增，∴数列{d2n}单调递减，同理可得d2n+1﹣d2n＜0，∴d2n+1﹣d2n=﹣=，②由①②可得d n+1﹣d n=，∴d n=d1+（d2﹣d1）+（d3﹣d2）+…+（d n﹣d n﹣1）=1+﹣+…+=1+•=+•即数列{d n}的通项公式为d n=+•点评：本题考查等差数列和等比数列的性质，涉及新定义和不等式的性质，属中档题．。
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开始结束S 输出YN4≥a 1,5←←S a a S S ⨯←1-←a a上海市松江区2014学年度第一学期高三期末考试数学试卷（理）（满分150分，完卷时间120分钟） 2015.1一、填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果， 每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若复数z 满足014=-zz ，则z 的值为 ▲ ．2．已知()log (0,1)a f x x a a =>≠，且2)1(1=--f ，则=-)(1x f ▲ ．3．在等差数列{}n a 中，15,652==a a ，则=++++108642a a a a a ▲ ．4．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则BD AE ⋅= ▲ ．5．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BC 与平面ABCD 所成的角为60︒，则1BC 与AC 所成的角为 ▲ （结果用反三角函数表示）．6．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切， 则该圆的标准方程是 ▲ ． 7．按如图所示的流程图运算，则输出的S = ▲ ．8．已知函数()sin()3f x x πω=+（R x ∈，0>ω）的最小正周期为π，将)(x f y =图像向左平移ϕ个单位长度)20(πϕ<<所得图像关于y 轴对称，则=ϕ ▲ ．9．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为▲． 10．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为 ▲ ． 11．已知函数13()sin 2cos 2122f x x x =-+，若2()log f x t ≥对x R ∈恒成立，则t 的取值范围为 ▲ ． 12．某同学为研究函数()()()2211101f x x x x =++-≤≤的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，则()f x AP PF =+．此时max min ()()f x f x += ▲ ．13．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，且当[]0,2-∈x 时，121)(-⎪⎭⎫⎝⎛=xx f ．若函数)1)(2(log )()(>+-=a x x f x g a 在区间(]6,2-恰有3个不同的零点，则a 的取值范围是 ▲ ．14．在正项等比数列{}n a 中，已知120115a a <=，若集合12121110,t t A t a a a t N a a a *⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-+-++-≤∈⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭L ，则A 中元素个数为 ▲ ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上， 将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知R q p ∈,，则“0<<p q ”是“1pq<”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件16．若二项式23nx ⎛ ⎝*()n N ∈展开式中含有常数项，则n 的最小取值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．717．设P 是ABC ∆所在平面内一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则A ．0PA PB +=u u u r u u u r r B ．0PB PC +=u u u r u u u r r C ．0PC PA +=u u u r u u u r rD ．0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r18．已知满足条件122≤+y x 的点(,)x y 构成的平面区域面积为1S ，满足条件1][][22≤+y x 的点(,)x y构成的平面区域的面积为2S ,其中][][y x 、分别表示不大于y x ,的最大整数，例如：[0.4]1-=-，[1.7]1=，则21S S 与的关系是A ．21S S <B ．21S S =C ．21S S >D ．321+=+πS S三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足c b a <<,B a b sin 2=． （1）求A 的大小；（2）若2a =，32=b ，求ABC ∆的面积．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数()(0,1,)x bf x aa ab R +=>≠∈．（1）若()f x 为偶函数，求b 的值； （2）若()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，试求a 、b 应满足的条件．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙 全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时。
如图， 某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）．（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm 3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm ）．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分已知数列{}n a 的首项为1，记1212()k n n n k n n n f n a C a C a C a C =+++++LL (*N n ∈).（1）若{}n a 为常数列，求(4)f 的值；（2）若{}n a 为公比为2的等比数列，求()f n 的解析式；（3）是否存在等差数列{}n a ，使得()1(1)2n f n n -=-对一切*N n ∈都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于曲线:(,)0C f x y =，若存在最小的非负实数m 和n ，使得曲线C 上任意一点(,)P x y ，||,||x m y n ≤≤恒成立，则称曲线C 为有界曲线，且称点集{(,),}x y x m y n ≤≤为曲线C 的界域．（1）写出曲线22(1)4x y -+=的界域；（2）已知曲线M 上任意一点P 到坐标原点O 与直线1x =的距离之和等于3，曲线M 是否为有界曲线， 若是，求出其界域，若不是，请说明理由；（3）已知曲线C 上任意一点(,)P x y 到定点12(1,0),(1,0)F F -的距离之积为常数(0)a a >，求曲线的界域．上海市松江区2014学年度第一学期高三期末考试数学（理）试卷参考答案2015.1一、填空题1．i 2± 2．x⎪⎭⎫⎝⎛21 3．90 4．2 5．arccos 4 6．()()22211x y -+-= 7．208．12π 910．13 11．(0,1] 121 13．()2,43 14．4029二、选择题 15．A 16． D 17．C 18．A三、解答题19．解：（1）B a b sin 2= B A B sin sin 2sin =∴……………2分0sin >B Θ21sin =∴A …………4分 由于c b a <<，A ∴为锐角，6π=∴A ……………6分（2）由余弦定理：2222cos ab c bc A =+-，233221242⨯⨯⨯-+=∴c c ，……………8分 0862=+-c c ，2=c 或4=c ，由于c b a <<，4=c ……10分所以1sin 2S bc A ==12分20．解：（1）Q ()f x 为偶函数，∴对任意的x R ∈，都有()()f x f x -=，……………2分即x bx baa+-+=x b x b +=-+ ……………4分 得 0b =。
……………6分（2）记()x b x bh x x b x b x b+≥-⎧=+=⎨--<-⎩，……………8分 ① 当1a >时，()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，即()h x 在区间[)2,+∞上是增函数，∴2b -≤，2b ≥-……………10分 ② 当01a <<时，()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，即()h x 在区间[)2,+∞上是减但()h x 在区间[),b -+∞上是增函数，故不可能……………12分∴()f x 在区间[)2,+∞上是增函数时，a 、b 应满足的条件为1a >且2b ≥-……14分21．解：（1）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高 为216833H=⨯=，底面半径为28433r =⨯=……………2分 22118163333V r H ππ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭39.71……………5分198602.0=÷V （秒） 所以，沙全部漏入下部约需1986秒。
………7分（2）细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径4，……………9分 设高为H '2110244381V H ππ'=⨯⨯=……………12分642.37 2.427H '==≈ 锥形沙堆的高度约为2.4cm. ……………14分 22．解:（1）∵{}n a 为常数列，∴1n a =()n N +∈.∴12344444(4)15f C C C C =+++=……………4分（2）∵{}n a 为公比为2的等比数列，∴12n n a -=()n N +∈.……………6分∴1231()242n n n n n n f n C C C C -=++++L ，∴1223312()12222nn nnnn f n C C C C +=+++++L ，(12)3nn+=…8分 故31()2n f n -=. …10分（3）假设存在等差数列{}n a ，使得()1(1)2n f n n -=-对一切*N n ∈都成立，设公差为d ，则121121()kn nn n k n n n n n f n a C a C a C a C a C --=++++++L L ……………12分且121121()nn k n n n nk n n n f n a C a C a C a C a C --=++++++L L ，相加得 121112()2()()kn n n n n n n f n a a a C C C C --=+++++++L L ， ∴12111()()2k n n n n n n n a a f n a C C C C --+=++++++L L 11(22)2nn n a a a -+=+-[]11(1)2(2)(21)n n d n d -=+-++--. ∴[]1()1(2)2(2)2n f n d n d --=-++-(1)2n n =-恒成立，即02)2)(2()2(1=--+--n n d d n N +∈恒成立，∴2d =.……………15分故{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n N +∈都成立，它的通项公式为21n a n =-…16分（也可先特殊猜想，后一般论证及其它方法相应给分） 23．（1）22(1)4x y -+= 22(1)4,4x y ∴-≤≤13,22x y ∴-≤≤-≤≤ ∴ 界域为{(,)|||3,||2}x y x y ≤≤……………4分（2）设(,)P x y |1|3x -= ……………6分化简，得：2441116812x x y x x +-≤<⎧=⎨-≤≤⎩ ……………8分12,x y ∴-≤≤-≤≤ ∴ 界域为{(,)|||2,||x y x y ≤≤ ……………10分（3a =……………12分a ==22222(1)4x y x a ∴++-= 22(1)yx ∴=+ 220,1y x ≥≥+Q2222(1)4x x a ∴+≤+ 222(1)x a ∴-≤ 211a x a ∴-≤≤+ ||x ∴≤22(1)y x =+， …………14分令2224t a t x -== 2222221(1)(2)4444t a a a y t t -=-+=--+≤当2t =，即2214a x =-时，等号成立．若02a <≤，21[1,1]4a a a -∈-+，2214a x =-时，22max 4a y = ||2a y ∴≤ ……16分若2a >，2104a -<，2214a x ≠-，0x ∴=时，2max 1y a =-||y ∴≤ ∴ 曲线C 界域为：① 02a <≤时，{(,)||||}2ax y x y ≤≤② 2a >时，{(,)||||x y x y ≤≤……………18分。