动态规划-图论
信息学奥赛全部内容知识
信息学奥赛全部内容知识信息学奥赛作为一项具有挑战性和创造性的竞赛，考察的是选手在计算机科学领域的综合能力。
参与者需要掌握广泛的知识，包括算法、数据结构、编程语言等等。
本文将详细介绍信息学奥赛的全部内容知识。
一、算法与数据结构算法与数据结构是信息学奥赛中最重要的考察内容之一。
算法是解决具体问题的步骤和方法，而数据结构是组织和存储数据的方式。
选手需要熟悉各种经典算法，如排序算法、查找算法、图算法等，同时掌握常见的数据结构，如数组、链表、栈、队列、树等。
在实际比赛中，能够选择合适的算法和数据结构对解决问题至关重要。
二、编程语言信息学奥赛的编程语言没有特定限制，但大多数选手使用的是C++或Java。
选手需要深入理解所使用的编程语言，包括语法、特性和库函数等。
熟练掌握编程语言可以提高代码编写效率，减少错误的产生。
在比赛中，选手需要根据题目要求，合理选择编程语言的特性和库函数，以实现高效的解题算法。
三、图论图论是信息学奥赛中常见的题目类型之一。
选手需要掌握图的基本概念和常用算法。
了解图的遍历、最短路径、最小生成树等基本算法，并能够根据图的特性解决相关问题。
此外，选手还需了解图的表示方式，包括邻接矩阵、邻接表等，以便更好地解决图论问题。
四、动态规划动态规划是一种优化技术，常在信息学奥赛中用于解决具有重叠子问题的问题。
选手需要理解动态规划的基本原理，并能够设计状态转移方程、确定初始条件、以及最优解的选择。
熟练掌握动态规划的思想，可以在比赛中提高解题效率。
五、计算几何计算几何是信息学奥赛的一项知识点。
选手需要了解平面几何和空间几何的基本概念和常用算法。
熟悉点、线、面等几何元素的性质，并能够根据题目要求，使用几何算法解决实际问题。
六、数论数论是研究整数性质和相互关系的学科。
在信息学奥赛中，数论常常用于解决与数字有关的问题。
选手需要掌握最大公约数、最小公倍数、质数判断、素数筛法等基本概念和算法。
在解题过程中，选手还需要注意数学证明的合法性和严谨性。
数学建模常用方法整理
用图来解决 问题的理论 即为图论
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图论最基本的概念
图：由点及连接线所构成的图形， 用G=(V,E) 表示。
点(vertex)：代表事物。
V (G) {v1, v2 ,, vn}
线(edge)：两个事物间具有的关系。
E(G) {e1, e2 ,, en}
ek (vi , v j )
28
3.图论
主
次 明
min f1x
x R'
显 的 问
R f1 fi x fi, i 2,, p, x R
题
fi fi x fi i 2,, p
12
1.最优化理论之多目标规划
2.线性加权法
当 p个目标 f1 x, f 2 x,, f p x 都要
求最小时，可以给每个目标相应的权系数
且i 0
,
18
2.最优化理论之动态规划
动态规划模型的分类： （时间角度）离散型和连续型；（信息确定与 否）确定型和随机型；（目标函数个数）单目 标型和多目标型。
基本原理：
多阶段决策过程最优化
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2.最优化理论之动态规划
动态规划可用于最优路径问题、 资源分配问题、生产计划和库存问题、 投资问题、装载问题、排序问题及生 产过程的最优控制等。
24
2.最优化理论之动态规划
于是从A城市到达E城市的阶段数有下 列四种情形：
1.从A城市直达E城市，一个阶段。
2.从A城市通过其他B、C、D三城市之一到 E城市，二个阶段。
3.从A城市通过其他B、C、D三城市之二到 E城市，三个阶段。
4.从A城市通过其他B、C、D三城市各一次 到E城市，四个阶段。
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2.最优化理论之动态规划
floyd-warshall算法
floyd-warshall算法Floyd-Warshall算法是一种图论算法，用于在一个加权图中寻找全局最短路径。
这种算法也被称为费洛伊d-沃什尔算法，它是一种基于动态规划的算法。
该算法最早由著名的数学家Steven Floyd 提出，自1959年发表以来，被广泛用于解决最短路径问题。
Floyd-Warshall算法有以下三个基本步骤：1.从图中挑选一个顶点，并以它作为中介点，然后计算从该顶点出发到其他所有顶点之间最短路径。
这一步可以通过动态规划方法来实现。
2.在上一步的基础上，重复以上步骤，直到所有顶点都作为中间点被计算出最短路径。
3.最后，计算任意两点之间的最短路径，利用前两步计算出的中介点。
Floyd-Warshall算法的改进也常被用于解决复杂的图论问题，例如最近公共祖先问题，最小生成树等。
它是一种多阶段动态规划算法，可以在一定的时间内解决最短路径问题。
它比其它算法更有效，因为它可以解决大型网络，只要规模没有超出它的范围。
这种算法的迭代特性使它能够更快地找到全局最优解，不需要重新计算没有变化的路径，从而减少计算时间。
Floyd-Warshall算法在实际应用中有许多优点：1.它可以很容易地处理变化的网络，这是因为它可以不断更新网络里不断变化的路径；2.它可以解决任何规模的网络，包括大型网络；3.它总是能够求出全局最优解，而不会给出局部最优解；4.它可以节省时间，因为它可以利用之前求出的解，而不需要重复计算；5.它可以用来解决最近公共祖先，最小生成树，最长公共子串等复杂的图论问题。
虽然Floyd-Warshall算法具有优秀的性能，但也存在一些缺点。
首先，当节点数增加时，算法的执行时间会增加。
其次，它只能在加权图中发挥作用，如果图中有负权重，它可能会返回错误的结果。
此外，它也没有很好地处理环路，因为它无法判断环路的最短路径。
Floyd-Warshall算法在计算机科学和数学等多种领域都有着广泛的应用，例如通信网络，交通网络，物流，机器人控制，计算机网络，数据库管理，电子商务，分布式处理等等。
图论path的概念
图论path的概念图论（Graph Theory）是研究图的组合结构和定量特性的数学分支学科。
在图论中，Path是指由边依次连接起来的一系列节点，这些节点间没有重复，也没有形成环的情况。
Path是图中最基本的概念之一，研究Path的性质和算法在图论中具有重要意义。
一、Path的定义和类型Path是由边依次连接起来的一系列节点,这些节点间没有重复，也没有形成环的情况，它是一条单向路线。
路径起始点和终点的节点分别被称之为起点和终点。
具体来说，Path可分为以下两种类型：1. 简单Path：简单Path是指除起点和终点外，Path上的所有其他节点都只经过一次的Path。
简单Path可以含有重复的边（两个节点之间的边可能会被反复经过），但是不允许有重复的节点。
2. 回路（Circuit）：回路是指Path的起点和终点都是同一个节点的Path。
回路允许经过相同的节点或边，但是相同的边不能重复经过。
二、Path的性质Path作为图论中的基本概念之一，具有以下重要性质：1. 长度：Path的长度是指连接起点和终点之间经过的边数。
2. 相交：在同一张图上，两个不同的Path可以重叠，但是它们不能穿过彼此，也就是说两条Path不能通过完全相同的节点和边同时连接起点和终点。
3. 连通：在一个无向图中，如果两个节点之间存在一条Path，那么这两个节点就是连通的。
特别地，如果一幅无向图中，每一个节点都可以通过Path到达所有其他节点，则该图是连通的。
4. 路径的存在性：对于无向图和有向图来说，两个节点之间存在Path的充分必要条件就是它们连通，即起点和终点之间必须存在通路。
三、Path的算法Path是许多图论算法的基础，也是许多实际问题中需要解决的问题。
在图论算法中, Path算法是指通过搜索、遍历等方式寻找连接两个节点之间的Path的算法。
常用的Path算法有以下几种：1. 深度优先搜索（DFS）：深度优先搜索算法是图论算法中用于遍历或搜索图形和树的一种算法。
运筹学知识点总结
运筹学知识点总结运筹学是一门研究如何有效决策和优化资源分配的学科，它涵盖了数学、统计学和计算机科学等多个学科的知识。
在现代社会，运筹学在各个领域都有广泛的应用，比如物流管理、生产调度、供应链优化等。
本文将介绍一些运筹学的基本概念和应用。
1. 线性规划线性规划是运筹学中最基础也是最常用的数学模型之一。
它的目标是在一组线性约束条件下，最大化或最小化线性目标函数。
线性规划可以用来解决资源分配、生产计划、投资组合等问题。
常见的线性规划算法有单纯形法和内点法。
2. 整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，其中决策变量被限制为整数。
整数规划在许多实际问题中都有应用，比如货车路径优化、工人调度等。
求解整数规划问题的方法包括分支定界法和割平面法。
3. 图论图论是运筹学中的一个重要分支，它研究图的性质和图算法。
图是由节点和边组成的数学结构，可以用来表示网络、路径、流量等问题。
常见的图论算法有最短路径算法、最小生成树算法和最大流算法。
4. 排队论排队论研究的是随机到达和随机服务的系统中的排队行为。
它在交通规划、电话网络、客户服务等领域有广泛的应用。
常见的排队论模型有M/M/1队列、M/M/c队列和M/G/1队列。
排队论可以用来优化服务水平、减少等待时间等。
5. 动态规划动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法，它将问题分解为一系列子问题，并通过递归的方式求解。
动态规划常用于求解最优化问题，比如背包问题、旅行商问题等。
它的核心思想是将问题转化为子问题的最优解，并利用子问题的最优解求解原问题。
6. 模拟优化模拟优化是一种通过模拟实验寻找最优解的方法。
它基于概率统计和随机模拟的原理，通过多次模拟实验来搜索解空间。
模拟优化常用于在实际问题的局部搜索中找到较好的解。
常见的模拟优化算法有遗传算法、蚁群算法和粒子群算法。
7. 供应链管理供应链管理是一种综合运筹学和物流管理的概念，它研究如何优化整个供应链中的流程和资源分配。
供应链管理的目标是降低成本、增加效率并提供更好的顾客服务。
图论_李煜东
• 拓扑排序
– 判定有向无环图(DAG)
3
Graph Theory
图论 目录页
最短路
任意两点间的最短路问题
• 使用动态规划求解？需要定义状态、阶段、决策。 • 以长度为阶段？
– 经过k条边从x到y的最短路F[k,x,y] = Min{F[i,x,z]+F[k-i,z,y]}，O(N^4)
• 倍增优化？
15
Graph Theory
图论 目录页
最短路
欧拉回路(POJ2230)
• 欧拉回路：经过每条边恰好一次的回路（一笔画问题） • 欧拉回路存在 连通图中每个点的度数都是偶数。
• 初始时，1号点入栈。 • 依次把与栈顶节点有未标记的边相连的节点入栈并递归，递归前标记该边。 • 如果当前栈顶结点出发已经没有未标记边，把该节点出栈，并记录到答案序 列中。 • 重复上述步骤直到栈为空。 • 倒序输出答案序列，就是一条欧拉回路。
最短路
Floyd求最小环(POJ1734)
• 最小环：从一个点出发经过至少一条边回到该点，不能重复经过 某条边，距离最短的回路。 • 有向图最小环： • 令dist[i,i]=+∞，然后floyd求最短路。 • 无向图最小环： • 在最外层循环开始进行k时，用“i到k、再到j、再经过编号<k的 节点从j到i”的最短路w(i,k)+w(k,j)+dist[i,j]来更新最小环。
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Graph Theory
图论 目录页
生成树
生成树
POJ1639
• 题意：求n<=30个点的图的MST，满足根节点的度数<=S。 • 1. 去掉根节点，对得到的每个连通分量求MST，并对每个连通分 量选择一个到根节点距离最近的点连到根节点上，此时得到的生 成树T已经满足度数<=S。 • 2. 枚举每个点，若该点与根节点有边相连，设长度为D1，设该 点在T中到根节点的路径上的最长边长度为D2。找出D2-D1最大 的点，若D2-D1>0，删除边D2，加入边D1，形成一棵更小的生 成树；若D2-D1<=0，说明当前方案已经最优。 • 3. 重复第二步K次，K为第一步后根节点还能连边的条数。
noip提高组知识点
NOIP提高组知识点 - Step by Step思维NOIP（全国青少年信息学奥林匹克竞赛）是中国的一项高水平的信息学竞赛，旨在选拔和培养优秀的青少年信息学人才。
NOIP提高组是竞赛的一个级别，对于参与者来说，了解和掌握一些关键的知识点是非常重要的。
本文将介绍一些NOIP提高组中的知识点，并提供一种“Step by Step思维”的方法来学习和应用这些知识点。
1. 数据结构数据结构是计算机科学中重要的基础知识之一。
在NOIP提高组中，有几种常见的数据结构需要了解和掌握，包括数组、链表、栈、队列、二叉树等。
Step by Step思维方法： - 了解每种数据结构的定义和特点； - 学习如何实现和操作这些数据结构； - 分析使用不同数据结构解决问题的优缺点； - 练习使用这些数据结构来解决一些典型问题。
2. 动态规划动态规划是解决一类具有重叠子问题和最优子结构特征的问题的有效方法。
在NOIP提高组中，动态规划是一个重要的解题技巧。
Step by Step思维方法： - 理解动态规划的基本原理和思想； - 学习如何设计和实现动态规划算法； - 熟悉一些常见的动态规划问题和解法； - 练习使用动态规划解决一些具体问题。
3. 图论图论是研究图及其性质的数学分支，也是NOIP提高组的重要内容之一。
在图论中，常见的问题包括最短路径、最小生成树、拓扑排序等。
Step by Step思维方法： - 学习图的基本概念和表示方法； - 理解图的遍历算法和最短路径算法； - 学习最小生成树和拓扑排序的相关算法； - 练习使用图论算法解决一些实际问题。
4. 字符串算法字符串算法是处理字符串相关问题的一类算法。
在NOIP提高组中，字符串算法常常用于解决一些文本处理和模式匹配的问题。
Step by Step思维方法： - 理解字符串的基本概念和操作； - 学习字符串匹配算法和字符串处理算法； - 熟悉一些常见的字符串算法和应用场景； - 练习使用字符串算法解决一些具体的问题。
c++常考算法题
C++常考算法题
在计算机科学中，算法是非常重要的一部分。
掌握常见的算法可以帮助你更好地理解计算机科学的基础知识，并提高你的编程技能。
以下是一些在C++中常考的算法题：
1. 排序算法
排序算法是一类用于对给定元素进行排序的算法。
常见的排序算法包括冒泡排序、快速排序、归并排序等。
2. 搜索算法
搜索算法是一类用于在数据结构中查找特定元素的算法。
常见的搜索算法包括二分查找、深度优先搜索、广度优先搜索等。
3. 动态规划
动态规划是一种通过将问题分解为子问题，并存储子问题的解，以避免重复计算的技术。
常见的动态规划问题包括最短路径、最长公共子序列、背包问题等。
4. 图论算法
图论算法是一类用于处理图形数据的算法。
常见的图论算法包括图的遍历、最小生成树、最短路径等。
5. 树形算法
树形算法是一类用于处理树形数据结构的算法。
常见的树形算法包括树的遍历、查找、插入等。
6. 数值计算
数值计算是一类用于处理数值数据的算法。
常见的数值计算问题包括高精度计算、矩阵运算、快速幂等。
7. 字符串处理
字符串处理是一类用于处理字符串的算法。
常见的字符串处理问题包括字符串匹配、加密解密、拼写检查等。
以上是一些常见的C++算法题，掌握它们可以帮助你更好地理解计算机科学的基础知识，提高你的编程技能。
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§1动态规划模型
如图所示，给定一个线路网络，两点之间连线上的数字表示
两点间距离，试求一条从A到E的路线，使总距离为最短。
Mattlab求解：
首先利用Excel建立两个工作表edge和n分别存储图的上三
角阵和顶点数量。
其中edge=
99999 5 2 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 3 7 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 6 3 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 6 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 3 8 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 1 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 3 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 7 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999
n=9,然后在Matlab调入以上数据。
同时将自编的动态规划
软件“dynamic.m”调入当前目录之中，在Matlab命令窗口
输入dynamic,回车后则在窗口显示出路径Path 和距离distance
§2 最小生成树
例1 某工厂要架设局域网联通工厂各个部门。
已知工厂有7个部门，各个部门间铺设网线的距离如上图所示，计算出铺设网线的最短距离。
Matlab 的算法：
首先，将上图的邻接矩阵存储为G ,顶点数存储为N ；即：G=
99999 50 60 99999 99999 99999 99999 50 99999 99999 65 40 99999 99999 60 99999 99999 52 99999 99999 45 99999 65 52 99999 50 30 42 99999 40 99999 50 99999 70 99999 99999 99999 99999 30 70 99999 99999 99999
99999 45 42 99999 99999 99999
2
5
3
1
4
7
6
50
60 45
65
52
40
50
70
30
42
N=7,然后调入到Matlab 命令窗口中，另外将自编程序prim.m 存放到当前目录中，最后，输入prim 后回车。
打开变量result ，即可看见最小生成树的连接方式。
例2 某六个城市之间的道路网如下图所示，要求沿着已知长度的道路联结六个城市的电话线网，使得电话线的总长度最短。
§3 最短路
例3 如下图所示的交通网络，边上的权重代表城市之间的距离，求城市1的最短路径。
v 5
v 6
v 2
v 4
6
2
7
5
3
5 4 4
1 V1
v 3
Matlab的算法：
首先，将上图的邻接矩阵存储为G,顶点数存储为N；即：G=
99999 10 99999 30 100
99999 99999 50 99999 99999
99999 99999 99999 99999 10
99999 99999 20 99999 99999
99999 99999 99999 60 99999
N=5，然后调入到Matlab命令窗口中，另外将自编程序dijkstra.m存放到当前目录中，最后，输入dijkstra后回车。
打开变量path，即可看见最最短路的连接方式。
例4: 如下图所示的单行线交通网，每个弧旁边的数字表示这条单行线的长度。
现在有一个人要从v1出发，经过这个交通网到达v8，要寻求是总路程最短的线路。
v 6
v 4
v 8 9
1
V 1
v 5
§4 网络最大流
如上图所示，每条弧相关的括号中，第一个数据表示该条弧的容量，第二个表示该弧流量，最大流量必须满足以下条件的限制： 1. 可行性条件：
xi>=0, x1<=3, x2<=5, x3<=1, x4<=4, x5<=1,
x6<=2, x7<=5, x8<=2
2.始点Vs和收点Vt容量的要求：
X1+x2<=8, x7+x8<=7
3.流量平衡要求
总流入量和总流出量相同：
X1+x2-x7-x8=0
4.内节点流入量和流出量相同：
X1+x5-x3-x4=0
X2+x3-x6=0
X6-x5-x8=0
X4-x7=0
目标函数为：max z=x1+x2
软件求解：Matlab函数：linprog(线性规划), ip（整数规划）Lindo软件求解结果如下：
OBJECTIVE FUNCTION V ALUE
1) 5.000000
V ARIABLE V ALUE REDUCED COST
X1 3.000000 0.000000
X2 2.000000 0.000000
X3 0.000000 1.000000
X4 3.000000 0.000000
X5 0.000000 0.000000
X6 2.000000 0.000000
X7 3.000000 0.000000
X8 2.000000 0.000000
例5.如下图所示为一城市水管网络流量图，试求一条从始点Vs 到收点Vt的最大流
§5最小费用最大流问题
网络最大流只考虑了流量的问题，实际在运用时还有“费用”因素存在。
人们总是希望在得到最大流的同时，使费用最少，这就是最小费用最大流问题
如上图所示：括号里第一个数字表示最大容量，第二个数字表示单位流量的费用，第三个表示待求实际流量。
从前面可知，网络的最大流问题的解不唯一，我们可以分别计算两次线性规划求出最小费用最大流，求解过程如下：
v t
24v s
（1）建立求解最大流的线性规划模型，求出最大流
（2）将求出的最大流作为已知限制条件，构建求解最小费用最大流的线性规划模型。
由前面已经求出最大流为5，则将x1+x2=5作为增加的约束条件，另将目标函数改为：
Min z=2x1+3x2+x3+5x4+2x5+4x6+x7+2x8
即线性模型如下：
Min 2x1+3x2+x3+5x4+2x5+4x6+x7+2x8
st
x1<=3
x2<=5
x3<=1
x4<=4
x5<=1
x6<=2
x7<=5
x8<=2
X1+x2<=8
x7+x8<=7
X1+x2-x7-x8=0
X1+x5-x3-x4=0
X2+x3-x6=0
X6-x5-x8=0
X4-x7=0
x1+x2=5
运用Lindo求解，可得结果如下：
OBJECTIVE FUNCTION V ALUE
1) 42.00000
V ARIABLE V ALUE REDUCED COST
X1 3.000000 0.000000
X2 2.000000 0.000000
X3 0.000000 1.000000
X4 3.000000 0.000000
X5 0.000000 6.000000
X6 2.000000 0.000000 X7 3.000000 0.000000 X8 2.000000 0.000000。