图论和网络分析算法及Matlab实现(Graph_and_Network_Analysis)
图论和网络分析算法及Matlab实现(Graph_and_Network_Analysis)资料共7
料
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
如何利用Matlab进行社交网络分析
如何利用Matlab进行社交网络分析在当今信息时代，社交网络已成为人们交流、分享和获取信息的重要平台。
社交网络的广泛使用为研究者提供了丰富的数据资源，也促使了社交网络分析的兴起。
社交网络分析旨在揭示网络中的关键节点、社群结构以及信息传播模式，为我们理解人际关系、信息扩散等问题提供了有力的工具。
而在社交网络分析领域，Matlab作为一款强大而灵活的编程工具，为我们提供了丰富的分析功能和研究方法。
本文将探讨如何利用Matlab进行社交网络分析。
一、数据预处理要进行社交网络分析，首先需要获取和预处理数据。
通常情况下，我们可以从公开可用的数据集中或自己收集的数据中获得社交网络数据。
数据可以是以节点和边（也称为链接）的形式表示，节点代表个体，边代表个体之间的关系。
在Matlab中，可以使用graph对象来表示和操作社交网络。
首先，我们需要根据节点和边的数据创建一个graph对象。
节点数据可以是一个向量或一个单元格数组，存储了节点的信息。
边数据可以是一个矩阵或一个二元组，表示节点之间的连接关系。
创建graph对象的代码如下：```MatlabG = graph(edges(:,1), edges(:,2));```其中，edges是边数据的矩阵或二元组。
在数据预处理阶段，我们还需要对数据进行清洗和处理。
这包括去除重复节点和边，处理缺失数据，以及对节点和边的属性进行适当的编码和映射。
二、度分析度（degree）是衡量节点在社交网络中的重要性的指标，代表了节点的连接数量。
在社交网络分析中，度分析是最基础也是最常用的分析方法之一。
在Matlab中，可以使用degree函数计算节点的度。
例如，要计算节点i的度，可以使用以下命令：```Matlabdegree_i = degree(G, i);```我们还可以使用histogram函数绘制节点度的分布图，以了解网络的结构特征。
例如，要绘制节点度的直方图，可以使用以下命令：```Matlabhistogram(degree(G));```直方图可以帮助我们观察节点度的分布情况，例如是否存在度为零的孤立节点，或者是否存在度较高的核心节点。
Matlab中的网络分析与复杂系统建模
Matlab中的网络分析与复杂系统建模随着科技的进步和数据的爆炸性增长，网络分析和复杂系统建模成为了解决现实世界问题的有力工具。
Matlab作为一种强大的数值计算软件，提供了丰富的工具和函数，可以应用于网络分析和复杂系统建模领域。
本文将探讨Matlab在这两个领域的应用。
一、网络分析网络分析是研究网络结构和节点之间关系的领域。
在现实生活中，许多复杂的系统可以被抽象成网络，如社交网络、互联网、蛋白质相互作用网络等。
Matlab为网络分析提供了丰富的函数库，可以进行网络的建模、分析和可视化。
首先，Matlab提供了一些常用的网络模型生成函数，如随机图模型、小世界网络模型和无标度网络模型。
这些函数可以根据用户的需求生成具有特定结构的网络，从而帮助用户更好地理解和研究网络的特性和行为。
其次，Matlab提供了一些网络分析的基本函数，如节点度分布、网络直径、平均最短路径等。
这些函数可以帮助用户对网络进行定量分析，了解网络的全局特征和局部特征，比如网络的连通性、紧密度和集聚系数等。
此外，Matlab还支持网络的可视化，用户可以通过绘制网络图来展示网络的结构和关系。
除了基本的网络分析函数，Matlab还提供了一些高级的网络分析工具，如社区检测、节点重要性度量和网络动力学模拟。
社区检测可以将网络分割成不同的子图，每个子图代表一个社区，帮助用户理解网络中的组织结构和功能模块；节点重要性度量可以评估网络中节点的重要程度，从而帮助用户找到关键节点和中心节点；网络动力学模拟可以模拟网络的演化和传播过程，帮助用户研究网络的时序性和动态性。
二、复杂系统建模复杂系统建模是研究复杂系统行为和性质的领域。
复杂系统往往由大量的相互作用的组件组成，如天气系统、金融市场和生态系统等。
Matlab作为一种数值计算软件，提供了丰富的工具和函数，可以用于构建和分析复杂系统的数学模型。
在复杂系统建模中，Matlab可以用于构建系统的数学模型，包括微分方程、差分方程和代数方程等。
图论与网络优化课程设计_Matlab实现
1
四种基本网络（NCN、ER、WS、BA） 的构造及其性质比较
1. 概述
1. 网络科学的概述 网络科学（Network Science）是专门研究复杂网络系统的定性和定量规律的一门崭新 的交叉科学，研究涉及到复杂网络的各种拓扑结构及其性质，与动力学特性（或功能）之间 相互关系，包括时空斑图的涌现、动力学同步及其产生机制，网络上各种动力学行为和信息 的传播、预测（搜索）与控制，以及工程实际所需的网络设计原理及其应用研究，其交叉研 究内容十分广泛而丰富。网络科学中被广泛研究的基本网络主要有四种，即：规则网络之最 近邻耦合网络 （Nearest-neighbor coupled network） ,本文中简称 NCN； ER 随机网络 G(N,p)； WS 小世界网络；BA 无标度网络。本文着重研究这几种网络的构造算法程序。计算各种规模 下（例如不同节点数、不同重连概率或者连边概率）各自的网络属性(包括边数、度分布、 平均路径长度、聚类系数)，给出图、表和图示，并进行比较和分析。 2. 最近邻耦合网络的概述 如果在一个网络中， 每一个节点只和它周围的邻居节点相连， 那么就称该网络为最近邻 耦合网络。这是一个得到大量研究的稀疏的规则网络模型。 常见的一种具有周期边界条件的最近邻耦合网络包含围成一个环的 N 个节点，其中每 个节点都与它左右各 K / 2 个邻居节点相连，这里 K 是一个偶数。这类网络的一个重要特征 就是网络的拓扑结构是由节点之间的相对位置决定的， 随着节点位置的变化网络拓扑结构也 可能发生切换。 NCN 的 Matlab 实现： %function b = ncn(N,K) %此函数生成一个有 N 个节点，每个节点与它左右各 K/2 个节点都相连的最近邻耦合网络 %返回结果 b 为该最近邻耦合网络对应的邻接矩阵 function b = ncn(N,K) b=zeros(N); for i = 1:N for j = (i+1):(i+K/2) if j<=N b(i,j)=1; b(j,i)=1; else b(i,j-N)=1;
Matlab中的复杂网络与图论分析方法
Matlab中的复杂网络与图论分析方法在当今数字时代，数据网络正在成为各行各业的核心，这就给研究网络结构和分析网络行为提供了前所未有的机会。
而复杂网络和图论分析方法则成为了研究数据网络的一种重要手段。
本文将介绍在Matlab中应用的复杂网络和图论分析方法，探讨其原理和应用。
一、复杂网络：拓扑结构的研究复杂网络是指由大量节点和链接组成的网络，其中节点代表实体，链接代表实体之间的关系。
通过研究复杂网络的拓扑结构，我们可以揭示数据网络中的规律和性质，了解网络中节点的连接模式和信息传播机制。
1.1 网络拓扑结构的描述在复杂网络研究中，一种常用的描述方法是邻接矩阵和度矩阵。
邻接矩阵是一个由0和1组成的矩阵，其中的元素表示节点之间的连接关系，1表示连接，0表示未连接。
度矩阵是一个对角矩阵，用于描述每个节点的度数，即与该节点相连的链接数。
1.2 网络节点的度分布节点的度数是指与该节点相连的链接数，而节点的度分布则是指不同度数的节点在网络中的分布情况。
在复杂网络中，节点的度分布往往符合幂律分布，即少数节点的度数非常大，而大部分节点的度数相对较小。
通过分析节点的度分布，可以了解网络中的核心节点和边缘节点，以及网络的鲁棒性和可靠性。
1.3 网络中的社区结构社区结构是指网络中节点的聚集现象，即节点之间的连接更密集，而与其他社区的联系较弱。
通过识别和研究网络中的社区结构，可以帮助我们揭示网络中的隐含规律、发现重要节点和子网络，并理解网络的分层结构和功能。
二、图论分析：探索网络行为的机制图论是研究网络结构和图形模型的数学理论，主要关注网络中节点和链接之间的关系。
通过图论分析，我们可以量化和描述网络中的节点和链接的特性，揭示网络的演化机制和行为规律。
2.1 网络中的中心性度量中心性是衡量网络中节点重要性的指标，可以帮助我们识别重要节点和影响网络动态行为的因素。
在复杂网络中，常用的中心性度量包括度中心性、接近中心性和介数中心性等。
图与网络分析(GraphTheoryandNetworkAnalysis)
e9
e5 {v1 , v3 } e6 {v3 , v5 }
e7 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 }
e9 {v6 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e1
e2
v2
e5 e3 e4 v4
e8
e6
v5 e7 v3
图1
2、如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无向图，记作
X={1}, w1=0
p1=0
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
min {c12,c14,c16}=min {0+2,0+1,0+3}=min {2,1,3}=1 X={1,4}, p4=1
（9） T (v6 ) min[ T (v6 ), P(v5 ) l56 ] min[ , 5 2] 7 （10） P(v6 ) 7
反向追踪得v1到v6的最短路为：v1 v2 v5 v6
求从1到8的最短路径
2
6
1
2
3
1
10
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
v2
v5
v2
v4
v3
v4
v3
一个图G 有生成树的充要条件是G 是连通图。
用破圈法求出下图的一个生成树。
v2
e1 v1
e4 e7 e3 v4 e8
Matlab中的网络分析与图论算法
Matlab中的网络分析与图论算法在现代社会中，网络分析和图论算法正变得越来越重要。
随着信息技术的迅猛发展，人们对网络的研究也日益深入。
而Matlab作为一种强大的科学计算软件，其网络分析和图论算法的应用也越来越广泛。
I. 网络分析的概述网络分析是指通过研究网络中的节点（节点可以代表人、物或其他实体）之间的关系，来理解和分析网络的结构和特征。
网络分析方法主要包括节点度数分布、社区结构、中心性指标等。
1. 节点度数分布网络中的节点度数指的是与该节点相连接的其他节点的数量。
在网络分析中，研究节点度数分布可以帮助我们了解网络中节点的连接情况，进而揭示网络的结构特征。
Matlab中有丰富的函数可以用来计算节点度数分布，如hist函数和bar函数。
2. 社区结构社区结构是指网络中的节点按某种规则或特征被划分为多个聚类的情况。
社区结构分析可以帮助我们发现网络中的子群体，进一步研究节点的集聚性和节点之间的相似性。
Matlab中的图论工具箱中提供了多种算法，如谱聚类算法(Spectral Clustering)和模块度优化算法(Modularity Optimization)，可以用于社区结构的分析。
3. 中心性指标中心性指标是用来衡量网络中节点的重要性程度。
常见的中心性指标有度中心性(Degree Centrality)，介数中心性(Betweenness Centrality)和接近中心性(Closeness Centrality)等。
这些指标可以帮助我们找出网络中的核心节点，并进行节点的排序和权重的计算。
在Matlab中，我们可以使用centrality函数来计算节点的中心性指标。
II. 图论算法的应用图论算法是一类数学算法，用于研究网络的图结构和图的性质。
在Matlab中，有许多图论算法可以帮助我们解决各种实际问题。
1. 最短路径算法最短路径算法用于寻找网络中两个节点之间的最短路径。
其中一种常见的算法是迪杰斯特拉算法(Dijkstra's algorithm)，它可以在网络中找到起点到终点的最短路径，并计算路径的长度。
Matlab中的社交网络分析与推荐系统技巧
Matlab中的社交网络分析与推荐系统技巧1.引言社交网络已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，而对社交网络进行分析和利用则更是引人关注。
Matlab作为一种强大的数据分析和计算工具，在社交网络分析和推荐系统的研究中也发挥了重要的作用。
本文将介绍一些在Matlab中进行社交网络分析和推荐系统研究时常用的技巧和方法。
2.数据预处理在进行社交网络分析之前，我们首先需要对原始数据进行一些预处理工作。
这包括数据清洗、去噪、特征提取等步骤。
Matlab提供了丰富的数据处理工具和函数，可以帮助我们高效地完成这些任务。
3.社交网络分析社交网络分析旨在揭示社交网络中的潜在结构和模式，以及个体之间的关系。
Matlab中的Graph和Social Network Analysis Toolbox是进行社交网络分析的有力工具。
3.1 社交网络可视化通过绘制社交网络图可以直观地了解社交网络中个体之间的联系。
Matlab提供了丰富的绘图函数，可以帮助我们实现社交网络图的可视化。
3.2 社交网络中心性度量社交网络中心性度量用于评估个体在整个网络中的重要性。
常见的中心性度量包括度中心性、接近中心性、介数中心性等。
Matlab中的Graph和Social Network Analysis Toolbox提供了一系列中心性度量算法，可以帮助我们快速计算并分析网络中个体的中心性。
3.3 社区检测社区是指在社交网络中由紧密相连的个体组成的子群体。
社区检测旨在发现社交网络中的潜在社区结构。
Matlab中的Community Detection Toolbox提供了多种社区检测算法，可以帮助我们准确地识别社交网络中的社区结构。
4.推荐系统推荐系统是通过对用户的行为和兴趣进行分析，向用户提供个性化的推荐内容。
Matlab中的Recommender Systems Toolbox提供了一系列用于构建和评估推荐系统的工具和函数。
4.1 协同过滤推荐协同过滤是一种常用的推荐算法，其基本思想是通过分析用户之间的相似性来为用户产生个性化的推荐。
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2 . 关联与相邻 关联（边与点关系）：若e是v1 , v2二点间的边，
记e [v1 , v2 ], 称v1 (或v2 )与e关联。
邻接（边与边、点与点）：点v1与v2有公共边， 称v1与v2相邻； 边e1与e2有公共点，称e1与e2相邻。
图在计算机中的表示： 关联矩阵：n *m或者是m*n 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1
2016/6/12
2、最小支撑树问题
某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公 路把这些城市连接起来，使得从其中任何一个城 市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市 。假定已经知道了任意两个城市之间修建高速公 路成本，那么应如何决定在哪些城市间修建高速 公路，使得总成本最小？
2016/6/12
3、 指派问题 Assignment problem
Y
N
Y {aj} ∪ S构成回路？ N j=j+1 ei+1=aj i=i +1 S={ei+1} ∪ S j=j+1 END T*=S 打印T*
2016/6/12
用避圈法解例2
v2
2
v1• 3 5 1
v3
2
7 5 3 5 v5
v6 1 7
5
v7
v4
最小部分树如图上红线所示； 最小权和为14。
思考：破圈法是怎样做的呢？ ——见圈就破，去掉其中权最大的。
2016/最小路
P：Vs…Vj…Vk…Vt，则P不仅是从Vs到Vt的最小路，而且从 Vs到P中任意中间点的最短路也在P上，为此可采用如下求 解步骤： ⑴ 为求得Vs到Vt的最短路，可先求得Vs到中间点的最短路， 然后由中间点再逐步过渡到终点Vt。 ⑵ 在计算过程中，需要把V中“经判断为最短路P途径之点i” 和“尚未判断是否为最短路P途径之点j”区分开来，可设 置集合I和J,前者归入I，后者归入J，并令算法初始时，I 中仅包含Vs，其他点全在J中，然后随着求解过程的进行， I中的点逐渐增加（相应J中的点逐渐减少），直到终点Vt 归入I（相应J=φ），此时迭代结束。I称为已标号集合,J 称为未标号集合。
2016/6/12
⑶ 为区分中间点 Vk 是否已归入 I 中以及逆向求解最 短路的方便，可在归入I中的点Vj上方给予双标号 （ lj, Vk），此中lj表示从Vs到 Vj最短路的距离， 而Vk则为从Vs到Vj最短路P中Vj的前一途径点。
⑷ 为在计算机上实现上述求解思想，还需引入G 中 各点间一步可达距离阵D=(dij)n×n，其中|V|=n
（3）在树中不相邻2点间添1边，恰成1圈；
（4）若树T有n个顶点，则T有n-1条边。
6.图的支撑树
若图G=（V，E）的子图T=（V，E’）是树， 则称T为G的支撑树。 特点——边少、点不少。
性质：G连通，则G必有支撑树。 证：破圈、保连通。
二、网络分析
网络——赋权图，记D=（V，E，C），其中C={c1，…，cn}， ci为边ei上的权（设ci 0 ）。
图论与网络分析
(Graph Theory and Network Analysis)
一、图论的基本概念 二、网络分析算法 三、Matlab实现
涉及网络优化的数学建模问题
1、最短路问题 货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物 从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵 横交错，因此有多种行车路线，这名司机应 选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是 恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条 从甲地到乙地的最短路。
网络分析主要内容: 最小支撑树
最短路
最大流。
一. 最小支撑树问题
问题：求网络D的支撑树，使其权和最小。
方法：避圈法（Kruskal,1956）、破圈法(管梅谷，1975)。
Kruskal, J.B. (1956). On the Shortest Spanning Subtree of a Graph and the Traveling Salesman Problem. Proceedings of the American Mathematical Society 7, 48-50.
一家公司经理安排 N 名员工去完成 N 项任务，每 人一项。由于各员工的特点不同，不同的员工 去完成同一项任务时所获得的回报不同。如何 分配工作方案可以使总回报最大？
2016/6/12
4、中国邮递员问题 Chinese postman problem
一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如何为 他（她）设计一条最短的投递路线（从邮局出 发，经过投递区内每条街道至少一次，最后返 回邮局）？ 我国管梅谷教授1960年首先提出， 国际上称之为中国邮递员问题。
• 原理： Bellman最优化原理 若 P是网络 G中从 Vs到 Vt 的一条最短路，Vl是 P 中除Vs与 Vt 外 的任何一个中间点，则沿P从Vs到Vl的一条路P1亦必是Vs到 Vl的最短路。 证明（反证）：
若P1 不是从Vs 到Vl 的最短路，则存在另一条 Vs 到Vl 的路 P2 使 W(P2)<W(P1)， 若 记 路 P 中 从 Vl 到 Vt 的 路 为 P3。 则 有 W(P2)+W(P3)<W(P1)+ W(P3)=W(P)，此说明G中存在一条从Vs 沿P2到Vl沿P3再到Vt的更短的一条路，这与P使G中从Vs到Vt 的一条最短路矛盾。
5. 树
例1 已知有5个城市，要在它们之间架设电 话线网，要求任2城市都可通话（允许通过其它城 市），并且电话线的根数最少。
v1 v2 v3 v4 v5
树——无圈的连通图，记为T。
特点：连通、无圈。
v1
v2 v3 v4
v5
树的性质：（1）树的任2点间有且仅有1链；
（2）在树中任去掉1边，则不连通；
圈：封闭的链。
连通图：图G中任二点间至少存在一条链。
4. 有向图与无向图
图G (V , E ), 也可记G (vk ,[vi , v j ]).若点对[vi , v j ]无序， 称G为无向图；否则称G为有向图。为区别起见，称有向图 的边为弧，记（vi , v j ), 在图上用箭线表示。
比较：
无向图：边[v i ,v j ]，链 有向图：弧（v i ,v j ），路
，圈 ，回路
有向图的存储： 行为起点，列为终点 aij 1 存在弧vi v j 赋权图：边有长度
v1 8 3 v3 4 7 v5 2
1 v2
v4
赋权图在Matlab中的存储：
W= .41 .99 .51 .32 .15 .45 .38 .32 .36 .29 .21; DG=sparse 6 1 2 2 3 4 4 5 5 6 1 , 2 6 3 5 4 1 6 3 4 3 5 , W ； view(biograph(DG,[],'ShowWeights ','on ')) UG tril DG DG ' view(biograph(UG,[],'ShowWeights ','on '))
e5
e7 v4
e5
v4
简单图：无自环、无重边的图。
• |V|=n表示图G中节点个数为n，此节点个数 n也称为图G的阶 • |E|=m表示图G中边的个数为m • 任一顶点相关联的边的数目称为该顶点的 度 • 完全图：任意两点有边相连，用 K n 表示 完全图的边，和每点的度是多少？
2016/6/12
2016/6/12
5 、旅行商问题 Traveling salesman problem
一名推销员准备前往若干城市推销产 品。如何为他设计一条最短的旅行 路线？ （从驻地出发，经过每个城 市恰好一次，最后返回驻地）
2016/6/12
6、运输问题 Transportation problem
某种原材料有 M个产地，现在需要将原材料从产 地运往 N个使用这些原材料的工厂。假定 M个产 地的产量和 N家工厂的需要量已知，单位产品从 任一产地到任一工厂的运费已知，那么如何安排 运输方案可以使总运输成本最低？
wij，i能一步到达j d ij j ，i不能一步到达
2016/6/12
Dijkstra 算法
由图G建立一步可达距离阵D=(dij)n×n
给V1(Vs)括号(l1,Vk)=(0,s)给出已标号集合 I和未标号集合J的元素
对于给定的I和J，确定集合A={aij |Vi∈I，Vj ∈J}
2016/6/12
一、图论的基本概念
1 . 图与子图
图G (V , E )，其中V v1 , , vn 为顶点集， E e1 ,, em 为边集。
子图G1 (V1 , E1 ), 其中V1 V , E1 E。
如 G： e1 v1 e2 e3 e4 v2 e6 v3 G1： v1 e2 e3 e4 v2 e6 v3
1 1
3. 考虑所有这样的边 [v ,v ], 其中v V 1 ,v V 1 , 挑选 其中权最小的；
4. 重复3，直至全部顶点属于 V 1 (即V 1 )。
对G中各边按权大小顺序排列，不妨设为W1≤ W2≤ … ≤ Wm
填写Wj对应的各边aj S=φ ，i = 0，j=1
|S| = n-1
v2
2
v1 3 5 1
v3
2
7 5 3 5 v5
v6 1 7
5
v7
v4
• 2. 方法：Dijkstra算法（Dijkstra，1959）
Dijkstra, E.W. (1959). A note on two problems in connexion with graphs. Numerische Mathematik 1, 269–271.