运筹学图与网络分析课件
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运筹学课件 第六章图与网络分析(清华大学出版社)
w(P ) = min w(P) 0
P
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为：d（ vs，vt ）
OR3 12
– 最短路算法
Dijkstra算法 ：有向图 ，wij≥0 一般结论：
vs到 j的 短 v 最 路
vs ,...,vi ,...,vj ⇒ vs ,...,vi
vs到 i的 短 v 最 路
OR3 17
4 ）
标号的点，考察弧（ v 4 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ v 4 , v 6），（ v 4 , v 7）的端点 v 6，v 7： T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [13 , 9 + 9 ] = 13 46 6 6 4 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 , 9 + 7 ] = 14 47 7 7 4 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 13 。 6 6 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 。 6 7）v 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ 标号的点，考察弧（ v 6 , v 7），（ v 6 , v 8）的端点 v 7， 8： v 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 ,13 + 5 ] = 14 67 7 7 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [+ ∞ ,13 + 4 ] = 17 68 8 8 6 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 14 。 7 7 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 7 。 7
P
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为：d（ vs，vt ）
OR3 12
– 最短路算法
Dijkstra算法 ：有向图 ，wij≥0 一般结论：
vs到 j的 短 v 最 路
vs ,...,vi ,...,vj ⇒ vs ,...,vi
vs到 i的 短 v 最 路
OR3 17
4 ）
标号的点，考察弧（ v 4 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ v 4 , v 6），（ v 4 , v 7）的端点 v 6，v 7： T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [13 , 9 + 9 ] = 13 46 6 6 4 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 , 9 + 7 ] = 14 47 7 7 4 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 13 。 6 6 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 。 6 7）v 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ 标号的点，考察弧（ v 6 , v 7），（ v 6 , v 8）的端点 v 7， 8： v 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 ,13 + 5 ] = 14 67 7 7 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [+ ∞ ,13 + 4 ] = 17 68 8 8 6 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 14 。 7 7 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 7 。 7
运筹学-7、图与网络分析PPT课件
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终止条件
所有节点都在同一连通分量中， 即生成树形成。
算法思想
从边开始，每次选择权值最小的 边加入，若形成回路则舍去，直 到生成树形成。
算法特点
适用于稀疏图，时间复杂度为 O(eloge)，其中e为边数。
最小生成树问题的应用
通信网络设计
在构建通信网络时，需要在保证所有节点连通的前提下，使得建设 成本最低。最小生成树算法可以用于求解此类问题。
活动时间的估计
对每个活动进行时间估计，包括乐观时间（a）、最 可能时间（m）和悲观时间（b），并计算期望时间 （t=（a+4m+b）/6）。
项目工期的计算
根据活动的逻辑关系和网络结构，计算项目 的期望工期，并确定项目的关键路径。
网络计划技术的应用
项目进度管理
网络计划技术可用于制定详细 的项目进度计划，确保项目按
图与网络的应用背景
图与网络分析的方法
介绍图与网络分析中常用的最短路径 算法、最小生成树算法、最大流算法 等。
阐述图与网络在交通运输、电路设计、 社交网络等领域的应用。
学习目标与要求
学习目标
掌握图与网络分析的基本概念和 常用算法，能够运用所学知识解 决实际问题。
学习要求
熟悉图与网络分析的基本概念和 常用算法，了解相关应用领域， 具备一定的编程能力和数学基础。
算法步骤
初始化距离数组和访问标记数组；从起点开始，选择距离起点最近的未访问节点进行访问 ，并更新其邻居节点的距离；重复上述步骤，直到所有节点都被访问。
第六章运筹学图与网络-PPT课件
C
哥尼斯堡七桥问题变为,能否从图 的某一点开始不重复地一笔画出 这个图形.你能一笔画出吗?
B 欧拉在论文中证明了这是不可 能的.为什么?
A
D
理由是:图上的每一个顶点都与 奇数条边相连接,不可能一笔画 出.
第一节 图的基本概念与基本定理 一.图的基本概念 日常生活中我们见过大量的图,如各种交通图, 各种管网图(电网图,自来水管网,煤气管网,计 算机网络).都是用点表示研究对象,用线(边) 表示这些对象间的关系.因此,图可以定义为点 和边的集合.记作G=[V,E],其中V是点的集合,E 是边的集合.在图的点和边上赋予权值(如距离, 费用,容量等)则称这样的图为网络图记为N,网 络图又可分有向网络图和无向网络图.
B
C
结果:比赛顺序 是A,C,B,F,E,D.
D
A
F
E
练习1 有甲,乙,丙,丁,戊,己六名运动员报名参 加A,B,C,D,E,F六个项目比赛.报名情况如下表, 问六个项目的比赛顺序如何安排,做到每名运 动员不连续参加两项比赛.
A 甲 乙 丙 丁 戊 己 * * * * * * * B C D * * * * * E F *
铁路的转用线,管理机构图,学科分类图,AHP决策方法 等,都可用树来表示.
树的特点:1.树是边数最多的无圈连通图,即在 树上再任意增加一条边,必定出现圈; 2.树的任意两点间,有一条且仅有一 条通路.也可以说,树是最脆弱的连通图,只要 在树中去掉任一条边,图就不连通了.
图的最小部分树(最小生成树):设 G 2 是一个图,如 果 G 1 是 G 2 的支撑子图(部分图),且 G 1 是一个树, 则称 G 1 是 G 2 的部分树.树的各条边称为树枝.在 图的每条边上赋予权值的图称为赋权图. 在 G 2 中一般含有许多部分树,其中树枝总长为 最小的部分树,称为该图的最小部分树.
哥尼斯堡七桥问题变为,能否从图 的某一点开始不重复地一笔画出 这个图形.你能一笔画出吗?
B 欧拉在论文中证明了这是不可 能的.为什么?
A
D
理由是:图上的每一个顶点都与 奇数条边相连接,不可能一笔画 出.
第一节 图的基本概念与基本定理 一.图的基本概念 日常生活中我们见过大量的图,如各种交通图, 各种管网图(电网图,自来水管网,煤气管网,计 算机网络).都是用点表示研究对象,用线(边) 表示这些对象间的关系.因此,图可以定义为点 和边的集合.记作G=[V,E],其中V是点的集合,E 是边的集合.在图的点和边上赋予权值(如距离, 费用,容量等)则称这样的图为网络图记为N,网 络图又可分有向网络图和无向网络图.
B
C
结果:比赛顺序 是A,C,B,F,E,D.
D
A
F
E
练习1 有甲,乙,丙,丁,戊,己六名运动员报名参 加A,B,C,D,E,F六个项目比赛.报名情况如下表, 问六个项目的比赛顺序如何安排,做到每名运 动员不连续参加两项比赛.
A 甲 乙 丙 丁 戊 己 * * * * * * * B C D * * * * * E F *
铁路的转用线,管理机构图,学科分类图,AHP决策方法 等,都可用树来表示.
树的特点:1.树是边数最多的无圈连通图,即在 树上再任意增加一条边,必定出现圈; 2.树的任意两点间,有一条且仅有一 条通路.也可以说,树是最脆弱的连通图,只要 在树中去掉任一条边,图就不连通了.
图的最小部分树(最小生成树):设 G 2 是一个图,如 果 G 1 是 G 2 的支撑子图(部分图),且 G 1 是一个树, 则称 G 1 是 G 2 的部分树.树的各条边称为树枝.在 图的每条边上赋予权值的图称为赋权图. 在 G 2 中一般含有许多部分树,其中树枝总长为 最小的部分树,称为该图的最小部分树.
运筹学-6(图与网络分析)PPT课件
4
3
验证：第一圈内总长：3+4+5+4+7=23 第一圈逆时针内配送路长：3+4+5=12>11.5，则不是最优方案 第二圈内配送路长：4+2+3+4=13 第二圈逆时针内配送路长：2<6.5，则是最优方案。 第二圈顺时针内配送路长：3<6.5，则是最优方案。
修正第一圈内方案，取逆时针方向最小值1，然后逆时针方向配送路线减去 1，顺时针方向配送及未走路线加上1，则得到第一圈内配送路长：5<总长 一半，则是最优方案。如图所示：
相关 成本
A 4C
E
A 5C
E F
A 6C
F I
D D, F F, I
D D I H, G
D D H, G H, J
348 291, 228 294, 258
348 291 258 288, 360
348 291 288, 360 390, 384
第n个 最近
节点
最小 成本
最新 连接
A到各 N节点 最短 路径
6.2.2 网络图的绘制原则
只能有一个始点事项和一个终点事项 不允许出现编号相同的箭线 不允许出现循环线路 作业要始于结点终于结点
网 络 规 则（2）
1、避免循环、不留缺口
2、一一对应：一道工序用两个事项表示
F 228 CF A→C→F
I
258 EI A→B→E
→I
H 288 FH A→C→F →H
步 已解点 候选点 骤
相关 成本
A C 7F I H
F 8I
H D
D D G J G, J
G J J G
348 291 360 384 336, 414 360 384 414 396
图与网络分析 胡运权 第四版 运筹学PPT课件
4
3.关联与相邻
❖关联（边与点的关系）：若e是v1、v2两点间
的边，记e=[v1，v2 ]，称v1、v2 与e关联。
v1
e
v2
❖相邻（有公共边，称点v1与v2相邻；
边e1与e2 有公共点，称边e1与e2相邻。
e1
V2
V1
e2
V3
5
4. 链、圈与连通图
■链:由图G中的某些点与边相间构成的序列 {V1,e1,V2,e2, ……,Vk,ek},若满足 ei=[Vi, Vi ],则称此
（4）A={v1,v2,v4}
[0,v1]
[2,v1]
2
6
v1
v2
v3
1 [1,v1]10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
v7
4
[3,v1]
v8 8
考虑边（v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)
计算min { 0+3, 2+6, 2+5, 1+2}=min {3,8,7,3}=3
70
费用、容量等），则称这样 1
4
的图为网络图。
20
45
3
4.2 最小支撑树问题
C1 根
C2
C3
C4
叶
❖树：无圈的连通图，记为T。
8
❖树的性质
■ 树中任意两个节点间有 且只有一条链。
2
3
1
5
4
■ 在树中任意去掉一条边， 1
则不连通。
2
3
5
4
■如果树T有m个结点，则 边的个数为m-1。
3.关联与相邻
❖关联（边与点的关系）：若e是v1、v2两点间
的边，记e=[v1，v2 ]，称v1、v2 与e关联。
v1
e
v2
❖相邻（有公共边，称点v1与v2相邻；
边e1与e2 有公共点，称边e1与e2相邻。
e1
V2
V1
e2
V3
5
4. 链、圈与连通图
■链:由图G中的某些点与边相间构成的序列 {V1,e1,V2,e2, ……,Vk,ek},若满足 ei=[Vi, Vi ],则称此
（4）A={v1,v2,v4}
[0,v1]
[2,v1]
2
6
v1
v2
v3
1 [1,v1]10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
v7
4
[3,v1]
v8 8
考虑边（v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)
计算min { 0+3, 2+6, 2+5, 1+2}=min {3,8,7,3}=3
70
费用、容量等），则称这样 1
4
的图为网络图。
20
45
3
4.2 最小支撑树问题
C1 根
C2
C3
C4
叶
❖树：无圈的连通图，记为T。
8
❖树的性质
■ 树中任意两个节点间有 且只有一条链。
2
3
1
5
4
■ 在树中任意去掉一条边， 1
则不连通。
2
3
5
4
■如果树T有m个结点，则 边的个数为m-1。
运筹学胡运权第五版(第6章)课件
零图： 边集为空集的图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
2、图的阶：即图中的点数。 例如 右图为一个五阶图
3、若图中边e= [vi,vj] ,则vi,vj称 为e的端点，
e称为vi,vj的关联边。 若vi与vj是一条边的两个端
点，则称vi与vj相邻； 若边ei与ej有公共的端点，
则称ei与ej相邻。
e8
1、图(graph)：由V,E构成的有序二元组，用以表示对 某些现实对象及其联系的抽象，记作 G=｛V,E｝。 其中V称为点集，记做V=｛v1,v2,···,vn｝
E称为边集，记做E=｛e1,e2,···,em｝
点(vertex)：表示所研究的对象，用v表示； 边(edge)：表示对象之间的联系，用e表示。 网络图(赋权图)： 点或边具有实际意义(权数)的图， 记做N。
路：点不能重复的链。
圈：起点和终点重合的链。
回路：起点和终点重合的路。
连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。
完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。
n阶完全图用Kn表示，边数=
C 2 n(n 1)
n
2
注意：完全图是连通图，但连通图不一定是完全图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
v1 e4
v4 e5 v5
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
运筹学胡运权第五版(第6章)
（2）n阶树必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
7、已知图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 若有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图； 若V1=V2，E1E2且 E1≠E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
2、图的阶：即图中的点数。 例如 右图为一个五阶图
3、若图中边e= [vi,vj] ,则vi,vj称 为e的端点，
e称为vi,vj的关联边。 若vi与vj是一条边的两个端
点，则称vi与vj相邻； 若边ei与ej有公共的端点，
则称ei与ej相邻。
e8
1、图(graph)：由V,E构成的有序二元组，用以表示对 某些现实对象及其联系的抽象，记作 G=｛V,E｝。 其中V称为点集，记做V=｛v1,v2,···,vn｝
E称为边集，记做E=｛e1,e2,···,em｝
点(vertex)：表示所研究的对象，用v表示； 边(edge)：表示对象之间的联系，用e表示。 网络图(赋权图)： 点或边具有实际意义(权数)的图， 记做N。
路：点不能重复的链。
圈：起点和终点重合的链。
回路：起点和终点重合的路。
连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。
完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。
n阶完全图用Kn表示，边数=
C 2 n(n 1)
n
2
注意：完全图是连通图，但连通图不一定是完全图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
v1 e4
v4 e5 v5
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
运筹学胡运权第五版(第6章)
（2）n阶树必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
7、已知图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 若有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图； 若V1=V2，E1E2且 E1≠E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
运筹学课件 第六章图与网络分析
v 若 eij i , v j ，称 vi , v j 是边 eij 的端 点，反之，称边 eij 为点 v i 或 v j 的关联边。 若点 vi , v j 与同一条边关联，称点 vi v j 相邻； 若边 和 具有公共的端点，称 ei ei ej 和 相邻
e3 e13 v1, v3 v3 , v1 e31
2013-12-3
18
图中有些点和边的交替顺序 0 , e1 , v1 ,...,ek , vk v ，若其中各边 e1 , e2 ,...,ek 互不相同，且对 任意 vt 1 和 vt (2 t k ) 均相邻，称为 链。 上图中 1 v5 , e8 , v3, e3, v1, e2 , v2 , e4 , v3, e7 , v4
27
解
因要使上述村镇全部通上电，村镇之间必 须连通，又图中必不存在圈，否则从图中去掉一 条边图仍连通，就一定不是最短路线，故架设长 度最短的路线就是从上图中寻找一棵最小树。
2013-12-3
28
用避圈法时，先从图中任选一点 S , 令 S V ，其余点 V , V 与 V 间的最 短边为（ S , A) ，将该边加粗，标志它是最小 树内的边。再令 V A V ,V V A 重复上述步骤，一直到所有点连通为止。过程 如下：
如果用点表示研究的对象，用边表示这些 对象之间的联系，则图G可以定义为点与边的集 合，记作 G , E V
V v1 , v2 ,...,vn
E e1 , e2 ,..,em
式V是点的集合，E是边的集合。
2013-12-3 13
注意，上面定义的图G区别于几何学中的图。 几何学中，图中点的位置、线的长度和斜率等都 十分重要，而这里只关心图中有多少个点以及哪 些点之间有线相连。 如果给图中的点和边以具体的含义和权数 （如距离、费用、容量等）。把这样的图称为网 络图，记作N。 图和网络分析的方法已广泛应用于物理、化 学、控制论、信息论、计算机科学和经济管理等 各领域。
第5章图与网络分析163页PPT
bi j 0wi j
(vi ,vj)E (vi ,vj)E
例6.4 下图所表示的图可以构造权矩阵B如下:
v1 4
v2
36
72
v6 4
3
3
v3
5
2
v5
v4
v1 0 4 0 6 4 3
v
2
4
0
2
7
0
0
B
v3
0
2
0
5
0
3
v4 6 7 5 0 2 0
v
5
4
17
v4
树与图的最小树
v1 23 v6
20
v2
1
4
v7
9
15 v3
28 25
16 3
v5
17
v4
v1
v2
23 v6
1
4
v7
9
15 v3
28
25
16 3
v5
17
v4
v1
v2
23 v6
1
4
v7 9
15 v3
28
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16 3
v5
17
v4
v1
v2
23
1
4
v7
v6
9
v3
28
25
16 3
v5
17
v4
v1
②
15
9
7 ④ 14
⑤
①
10
19
20
6 ⑥
③
25
图的矩阵描述： 邻接矩阵、关联矩阵、权矩阵等。
1. 邻接矩阵 对于图G=（V，E），| V |=n， | E |=m，有nn阶方矩阵
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v6 e9
e8
e6
v5 e7 v3
图1
V v1 ,v2 ,v3 ,v4 ,v5 , v6
E {e1，e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10 }
e1 [v1 , v2 ] e2 [v1 , v2 ]
e3 [v2 , v3 ] e5 [v1 , v3 ]
e4 [v3 , v4 ] e6 [v3 , v5 ]
e7 [v3 , v5 ] e8 [v5 , v6 ]
e9 [v6 , v6 ] e10 [v1 , v6 ]
V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 }，
v2
A = {(v1 , v3 ) , (v2 , v1) , (v2 , v3 ) , v1
点表示研究对象 边表示研究对象之间的特定关系
p114
2、图的分类
无向图，记作G=(V，E) 图
有向图，记作D=(V，A)
有向图的边 称为弧。
例1：哥尼斯堡桥问题的图为一个无向图。
例2：五个球队的比赛情况，v1
v2 表示v1胜v2。
v5
v1
v4
v2
v3
e1
例
v1
e2
v2
e10
e5 e3 e4 v4
v4 e8
v5
e6
三、最小支撑树问题
最小支撑树：求网络的支撑树，使其权和最小。
算法1（破圈法）： ①在给定的赋权的连通图上找一个圈； ②在所找的圈中去掉一条权数最大的边(若有两条
或两条以上的边都是权数最大的边，则任意去掉 其中一条)： ③若所余下的图已不含圈，则计算结束，所余下的 图即为最小支撑树，否则，返问①。
二、图的支撑树
若一个图 G =（V , E）的支撑子图 T=（V , E´） 构成树，则称 T 为G的支撑树，又称生成树。
例
(G1)
(G2)
(G)
(G3)
(G4)
图的支撑树的应用举
例
v1
[例] 某地新建5处居民点，拟修
5
道路连接5处，经勘测其道路可铺 v2
成如图所示。为使5处居民点都有
7.5 4
[例] 求上例中的最小支撑树
v1
5
v2
7.5 4
5.5
3
v5
2
解：
v3 3.5 v4 v1
5
v2
7.5 4
5.5
3
v5
2
v3 3.5 v4
算法2（避圈法）：从某一点开始，把边按权从 小到大依次添入图中，若出现圈，则删去其中最 大边，直至填满n-1条边为止（n为结点数） 。
v1
5
v2
7.5 4
5.5
第5章 图论与网络分析
网络分析
图的基本概念 最小支撑树问题 最短路径问题 网络最大流问题
图论起源：哥尼斯堡七桥问题
A
A
C
D
C
D
B
B
问题：一个散步者能否从任一块陆地出发，走过七 座桥，且每座桥只走过一次，最后回到出发点？
结论：每个结点关联的边数均为偶数
§1
1. 图
图的基本概念
由点和边组成，记作G=(V，E)，其中 V=(v1，v2，……，vn)为结点的集合， E=(e1，e2，……，em) 为边的集合。
v4 v6
(v2 , v5 ) , (v3 , v5 ) , (v4 , v5 ) , (v5 , v4 ) , (v5 , v6 ) }
v3
v5
图2
3、链与路、圈与回路
无向图： 链 点边交错的序列 圈 起点=终点的链
有向图： 路 点弧交错的序列 回路 起点=终点的路
v5
v5
v1
v4
v1
v4
v2
v3
道路相连，问至少要铺几条路？
5.5
3
v5
2
v3 3.5 v4
解： 该问题实为求图 的支撑树问题，
共需铺4条路。 v2
v1 v5
v3
v4
用破圈法求出下图的一个生成树。
v2
e1 v1
e4 e7 e3 v4 e8
e2
e5
e6
v2
v3
e1
e4 e7
v1
e3
v4 e8
v5
e2
e5
e6
v3
v5
v2
e4
v1 e2 v3
E
I
A 3.5
2
C
2
4
G
5
1S
25
4
5
3
3K
B2
2 F 2 26 J
D
H
一、树的概念与性质
树：无圈的连通图，记为T。
(A)
(B)
(C)
树的性质： （1）树的任2点间有且仅有1链； （2）在树中任去掉1边，则不连通；故树是使图保持 连通且具有最少边数的一种图形 （3）在树中不相邻2点间添1边，恰成1圈； （4）若树T有m个顶点，则T有m-1条边。
3
v5
2
v3 3.5 v4
v1
5
v2
3
4 v5
2
v3 3.5 v4
最小生成树举例：
某六个城市之间的道路网如图 所示，要求沿着已 知长度的道路联结六个城市的电话线网，使电话线
的总长度最短。
v3 5 v5
6
4
v1
17 3
v6
5
2
4
பைடு நூலகம்
v2
v4
v3
v5
v1
1
3
v6
5
2
4
v2
v4
v2
1
3
5
2
v4
v1
2 v5
例 ：G2为G1的支撑子图
v5
v5
v1
v4 v1
v4
v2
v3
G1
v2
v3
G2
例 ： G2 是G1 的子图；
v2
e1 v1
e6 e7
e2
v3
e8 e9
e3
v7
e10 v4 e11 e4
v6 e5 v5
(a)
v2
v3
e1 v1
e9
e6
e7
v7
e10 e11
v4
v6
v5
(c)
6、赋权图（网络）
图的每条边都有一个表示一定实际含义的权数， 称为赋权图。记作D=(V，A，C)。
例：
v1
5 v2
7.5 4
5.5
3 v5
2
v3 3.5 v4
§2 最小支撑树问题
本节主要内容：
树
支撑树
最小支撑树
[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
4
1
3
v3
[联系]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区 各用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所 需的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设 计一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
E
I
A 3.5
2
C
2
4
G
5
1S
25
4
5
3
3K
B2
2
F
2
2 6
J
D
H
[练习]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区 各用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所 需的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设 计一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
v2
v3
链与路中的点均不相同，则称为初等链 (路)类似可定义初等圈（回路）
4、连通图
任何两点之间至少存在一条链的图称为连通图， 否则称为不连通图。
例 ： G1为不连通图， G2为连通图
G1
G2
5、支撑子图
图G=(V，E)和G'=(V ' ，E ')，若V =V ' 且E'
E ，则称G' 为G的支撑子图。