运筹学图与网络(I)
运筹学8图与网络分析
e3 。在剩下的图中，再取一个圈
定理8.7充分性的证明，提供了一个 寻找连通图支撑树的方法叫做“破圈法”。 就是从图中任取一个圈，去掉一条边。再 对剩下的图重复以上步骤，直到不含圈时 为止，这样就得到一个支撑树。
例8.4 用破圈法求出图8-11的一个支
撑树。
v2
e1
e7 e4
v1
e3 v4
e8
v5
e2
e5
v3
e6
图8-11
取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去掉边
3
4
初等链：链中所含的 点均不相同, 也称通 路；
5
6
为闭链或回路或圈；
简单圈：如果在一个圈中所含的边均不相同 初等圈：除起点和终点外链中所含的点 均
不相同的圈；
连通图：图中任意两点之间均
至少有一条通路，否则 v1
v4 v5 v8
称为不连通图。
v2
初等链: (v1 , v2 , v3 , v6 ,
图的连通性：
简单链：链中所含的 边均不相同；
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否 则称
1
2
链：由两两相邻的点及其相 关联的边构成的点边序列。 如:v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2，e3 ,v3 ,…,vn1 , en ， vn ; v0 ，vn 分别为链的起点和终点 。记 作（ v0 ,v1 , v2， ,v3 , …, vn-1 , vn ）
v5
v7
(v5
,v1v6),(v6
(v4 ,v6),(v5 ,v7)}
,v3),(v5
v6
,v4),
v2
v4
图8.5
下面介绍一些常用的名词：
运筹学(第6章 图与网络分析)
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
第六章-运筹学图与网络优化
9
6 3
3
4
7
2
53
4 31
5
1
7
4
4
第3节 最短路问题
一、最短路的含义
赋权有向图D (V，A)，图中各弧(vi，v j )有权wij， vs，vt为图D中任意两点，求一条路P， 使它是从vs到vt的所有路中总权最小的路，
即w(
P
)
min
wij 。
(vi，vj )P
定义：路P的权是P中所有弧的权之和，记为w(P)
习题6-3：用Dijkstra方法求解下图从v1到v9的 最短‘路’。
v2
11
v7
3 6
2
5
5
v5
8
v1
v3
v9
2 4
4
3
7
v4
4
v6
6
v8
第3节 最短路问题
三、最短路问题的应用 ✓ 设备更新问题
第3节 最短路问题
例10：某工厂使用一台设备，每年年初工厂都要作出决定， 如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备， 要付购买费。试制定一个5年的更新计划，使总支出最 少。已知设备在各年的购买费，及不同机器役龄时的 维修费如下表所示：
5
2
5 v6
v4
v7 8
习题6-2
2、
v2
2
v5
5
1
5
1
8
v1
7
5 v4 9
v6
6
v7
2
1
12
v3
第3节 最短路问题
（二）赋权无向图的最短‘路’问题的求解方 法
赋权无向图G=(V，E)，边[vi，vj]表示既可以 从vi到达vj，也可以从vj到达vi，所以边[vi， vj]可以看作是两条弧(vi，vj)和(vj，vi)，且 它们具有相同的权ωij。
运筹学第八章--图与网络分析-胡运权
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
运筹学图与网络分析-最短路
(P0
)
min P
(P)
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为d(vs,vt)。
求网络上的一点到其它点 的最短路
Dinkstra标号法
这是解决网络中某一点到其它点的最 短路问题时目前认为的最好方法。
适用于有向图权值非负的情况
有向图权值非负---- Dijkstra算法
Dijkstra算法的基本步骤（权值非负） 1、给顶点v1标号（0），v1称为已标号点，记标号点集为
(1,2)
2
2
0
1
2
5
7
(2,4)
3 5 55
7
3
1 (4,4) 3 1
4
6
7
(1,3)
5
④重复上述步骤，直至全部的
点都标完。
(1,2)
2
2
0
1
2
5
7
(2,4)
3 5 55
7
1
3
3
1
4
6
7
(1,3)
5
7
(1,2)
2
2
0
2
7
1
5
(2,4)
35
55
7
1
3
3
1
4
6
7
(1,3)
5
(3,7)
(1,2)
2
2
0
2
7
1
5 3 5 55 7
3
1
3 1
34 5 6
7
④重复上述步骤，直至全部的
(1,2)
点都标完。
2
2
0
2
7
1
5 3 5 55 7
图与网络分析 胡运权 第四版 运筹学PPT课件
3.关联与相邻
❖关联（边与点的关系）：若e是v1、v2两点间
的边，记e=[v1，v2 ]，称v1、v2 与e关联。
v1
e
v2
❖相邻（有公共边，称点v1与v2相邻；
边e1与e2 有公共点，称边e1与e2相邻。
e1
V2
V1
e2
V3
5
4. 链、圈与连通图
■链:由图G中的某些点与边相间构成的序列 {V1,e1,V2,e2, ……,Vk,ek},若满足 ei=[Vi, Vi ],则称此
（4）A={v1,v2,v4}
[0,v1]
[2,v1]
2
6
v1
v2
v3
1 [1,v1]10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
v7
4
[3,v1]
v8 8
考虑边（v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)
计算min { 0+3, 2+6, 2+5, 1+2}=min {3,8,7,3}=3
70
费用、容量等），则称这样 1
4
的图为网络图。
20
45
3
4.2 最小支撑树问题
C1 根
C2
C3
C4
叶
❖树：无圈的连通图，记为T。
8
❖树的性质
■ 树中任意两个节点间有 且只有一条链。
2
3
1
5
4
■ 在树中任意去掉一条边， 1
则不连通。
2
3
5
4
■如果树T有m个结点，则 边的个数为m-1。
运筹学第六章图与网络分析
S
2
4
7
2 A
0 5
S
5 45 B
98
14
5
13
D
T
C
E
4
4
4
7
最短路线：S AB E D T
最短距离：Lmin=13
2．求任意两点间最短距离的矩阵算法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵D（0）= dij（0）
S A B D（0）= C D E T
SABCDET 0 25 4 2 02 7 5 20 1 5 3 4 1 0 4 75 0 15 3 41 0 7 5 7 0
e1 v1
e5
v0 e2
e3
v2
e4
e6 e7
v3
v4
（4）简单图：无环、无多重边的图称为简单图。
（5）链：点和边的交替序列，其中点可重复，但边不能 重复。
（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。
（7）圈：始点和终点重合的链。
（8）回路：始点和终点重合的路。
（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条 链，称这样的图为连通图。 （10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若 V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。 （11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示。
步骤：
1. 两两连接所有的奇点，使之均成为偶点；
2. 检查重复走的路线长度，是否不超过其所在 回路总长的一半，若超过，则调整连线，改 走另一半。
v1
4
v4
4
1
4
v2
v5
5
运筹学第6章 图与网络
也就是说| V1 |必为偶数。
定理6.2有学者也称作定理6.1的推论。根据定理6.2，握手定理也可以 表述为，在任何集体聚会中，握过奇次手的人数一定是偶数个。
12 该课件的所有权属于熊义杰
另外，现实中不存在面数为奇数且每个面的边数也是奇数的多面 体，如表面为正三角形的多面体有4个面，表面为正五边形的多面体有 12个面等等，也可以用这一定理予以证明。因为在任意的一个多面体 中， 当且仅当两个面有公共边时，相应的两顶点间才会有一条边，即 任意多面体中的一个边总关联着两个面。所以，以多面体的面数为顶
v j V2
(m为G中的边数）
因式中 2m 是偶数， d (v j ) 是偶数，所以 d (vi ) 也必为偶数
v j V2
vi V1
( 两个同奇同偶数的和差必为偶数 ), 同时,由于 d (vi ) 中的每个加数 d (vi )
均为奇数,因而 d (vi ) 为偶数就表明, d (vi ) 必然是偶数个加数的和 ,
图论、算法图论、极值图论、网络图论、代数图论、随机图论、 模糊图论、超图论等等。由于现代科技尤其是大型计算机的迅 猛发展，使图论的用武之地大大拓展，无论是数学、物理、化 学、天文、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、 经济乃至社会科学的众多问题．都可以应用图论方法子以解决。
1976年，世界上发生了不少大事，其中一件是美国数学家 Appel和Haken在Koch的协作之下，用计算机证明了图论难题— —四色猜想(4CC)：任何地图，用四种颜色，可以把每国领土染 上一种颜色，并使相邻国家异色。4CC的提法和内容十分简朴， 以至于可以随便向一个人(哪怕他目不识丁)在几分钟之内讲清 楚。1852年英国的一个大学生格思里(Guthrie)向他的老师德·摩 根(De Morgan)请教这个问题，德·摩根是当时十分有名的数学家， 他不能判断这个猜想是否成立，于是这个问题很快有数学界流 传开来。1879年伦敦数学会会员Kemple声称，证明了4CC成立， 且发表了论文。10年后，Heawood指出了Kemple的证明中
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第二节欧拉图和哈密尔顿回路
一、欧拉图
欧拉（Euler）在1736年发表的关于图论方面的第一篇论文，解决了一个著名问题，称为哥尼斯堡七桥问题，从而使他成为图论的创始人。
问题是这样的：十八世纪的德国有座哥尼斯堡城，在流贯全城的普格尔河两岩和河中两个岛之间架设了七座桥，如图6.10（a）所示。
当时那里的居民热衷于这样一个游戏，即一个散步者能否从任一陆地出发，走过每座桥一次且仅走过一次，最后回到原地。
问题乍看起来很简单，但当时谁也不明白为什么没有人能够成功。
为了弄清这个问题，欧拉将每一块陆地用一顶点表示，每一座桥用连接相应的两个顶点的连线（即边）来代替，从而得到一个“图”（图 6.10（b））。
这个“图”使问题变得简洁明了。
直观上不难发现，为了能回到原来的陆地，要求与每个顶点（陆地）相关联的边数是偶数，这样才能保证从一条边出去，从另一条边回来。
由于在图6.10（b）中，与四个顶点相连的边数都是奇数，因而不可能
自任一顶点出发过每条边一次且仅一次而回到原地。
（a）图6.10（b）欧拉并不限于处理这个特殊事例，他推广了这个问题，提出并证明了下述定理。
定义1 在连通无向图G中，若存在经过每条边恰好一次的一个圈或一条链，就称此圈或链为欧拉圈或欧拉链。
或图G含一条欧拉圈，则称它为欧拉图。
显然，欧拉圈或欧拉链都可“一笔画出”；反之，若一个图能一笔画出，则它必然是欧拉圈或欧拉链。
定理1连通无向图G为欧拉图的充要条件是它的全部顶点都是偶次顶点。
事实上，若G是欧拉图，C是其欧拉圈，则由定义，C包含G的所有边，由于图连通，故亦包含所有顶点。
C是任一中间顶点每出现一次，必与两条不同的边相关联，另因C的起点也是终点，故所有顶点都是偶次顶点。
定理2 连通无向图G为欧拉链的充要条件是它恰含两个奇次顶点。
上述定理提供了判断一笔画问题的准则：若连通无向图G无奇次顶点，则可由任一点起一笔画成并回到起点；若有两个奇次顶点，则由一奇次顶点起到另一奇次顶点终可一笔画成。
为能将一个图一笔画下去，当去掉已画出部分时，乘下的部分不应成为不连通图。
二、哈密尔顿回路
1859年英国数学家哈密尔顿（Hamilton）提出了一种名为周游世界的游戏。
他用一个正十二面体的二十个顶点（参见图6.11），代表二十个大城市，要求沿着棱，从一个城市出发，经过每个城市恰好一次，然后回到出发点。
为了解答这个问题，现绘制一个如图6.12所示的平面图，它与图6.11所示的十二面体图同构。
由图6.12中粗线边组成的圈，符合哈密尔顿提出的要求，所以它是这个问题的一个解，需指出的是这个问题的解还不止一个。
如果不要求最后回到出发点，那么，解就更多了。
在一个图中，如果有一条链（圈）经过每个顶点恰好一次，那么这条链（圈）就称为哈密尔顿链（圈）。
表面上，哈密尔顿问题与欧拉问题很相似，但实际上，两者迥不同。
前者指的是过每个顶点恰好一次的回路，而后者说的是过每边恰好一次的圈。
用定理1很容易判断一个图是否为欧拉图，而求解哈密尔顿回路，迄今还没有比较简单的通用方法。
图6.11 图6.12
哈密尔顿回路是图论的重要课题之一，它具有重要的实际意义。
著名的旅行推销员问题（或称货郎担问题），就是要求出总路程最短的哈密尔顿回路。
三、中国邮路问题
某邮递员从邮局出发，走过每条街道至少一次去投递邮件，最后回到邮局，他应走什么样的路线才能使所走的总路程最短？这个问题是我国管梅谷教授于1962年首先研究的，国际上通称为中国邮路问题。
在邮递员服务范围的街道图上标明各条街的路长，就构成了一连通赋权图G。
若G无奇次顶点，根据定理1，G就是欧拉图，因每边仅过一次，故总权是最小的。
若G有奇次顶点，则它就不是欧拉图，然而题设条件是要求过每边至少一次，并未限制只许一次，故总可以在这些奇次顶点上添加一些与原图的边相重复的边，使这些奇次顶点成为偶次顶点，从而得到一个将重复边看成是另一条新边的欧拉图。
现在的问题是这些重复边如何添加，才能得到一个总权（总路长）最小的欧拉图。
定理3使图G成为总权最小的欧拉图的充要条件是：
（1）在有奇次顶点的图G中，通过加重复边的方法使图不再包含奇次顶点，但原图的每条边最多只能加一条重复边。
（2）在图G 的每个回路上，重复边之总权不超过该回路非重复边之总权。
根据以前的分析，本定理是显然的。
例1 试为图6.13（a ）构成总权最小的欧拉图，图中线旁的数字为相应边的权。
（a ） （b ）
图6.13
解 因顶点①和③为奇次，要使成欧拉图，需用加重复边的方法使这两个顶点变为偶次。
最易想到的作法是在边)3,1(e （即在顶点①与③之间）上加重复边，将其变为欧拉图。
但由于在回路（1，3，4）中)3,1(e 的权大于该回路总权（等于
7）的一半，故这样得到的欧拉图不是总权最小的欧拉图。
如在边)4,1(e 和)4,3(e 上加重复边（图6.13（b ）），则可满足定理3的要求，从而得总权最小的欧拉图（总权等于15）。
通过难于一次找到总权最小的欧拉图，这时可通过对欧拉图的逐步调整达到总权极小化，即对每一回路进行检查，不满足定理3时就调整重复边，但在该过程中始终保持各顶点的次数为偶数。
例2 试为图6.14（a ）所示的街道规划最优投递路线。
解 可按以上所述步骤进行，最终结果示于图6.14（b ），总权等于52，重复边的长度等于10。
（a ） （b ）
图6.14
四、旅行售货员问题
一个旅行售货员想去某些城镇售货，然后再回到他的出发地。
各城镇之间的路程是已知的，问应如何安排他的旅行路线，才能使他经过每个城镇恰好一次，且总路程最短。
用图论的术语来说，就是在一个加权图中，找出一条总权最小的哈密尔顿回路。
到目前为止，旅行售货员问题还没有有效的通用算法。
假如采用枚举法，售货员从城市i v 出发，去1v ，2v ，…，n v 城市售货，则有)!1(-n 种可能方案。
随着n 的增加，)!1(-n 的值迅速增加，例如当n =20时，)!1(-n =1.216×1710。
对这么多个方案逐个计算并比较，显然是不可能的。
下面介绍一种近似解法。
首先任取一条哈密尔顿回路，不失一般性，它经过的顶点序列为1v ，2v ，…，i v ，1+i v …，j v ，1+j v ，…，n v ，若对某一对顶点i v 和j v ，相应边权有如下关系：
),(),(11+++j i j i v v w v v w ＜),(),(11+++j j i i v v w v v w 则用边),(j i v v 和边),(11++j i v v
替换边),(1+i i v v 和边),(1+j j v v （参见图6.15），可
得另一哈密尔顿回路，其权更小。
用这种方法对
哈密尔顿回路进行若干次改进，即可获得比较好
的回路。
例3 用上述近似法对图6.16（a ）中的回 图6.15
路（1v ，2v ，3v ，4v ，5v ，6v ，1v ）进行改进。
图6.16
解 其各次改进方案示于图6.16（b ）、6.16（c ）和图6.16（d ）中。
图中各边旁的数字为该边的权，双线表示相应方案的哈密尔顿回路，图右下角括号内的数字为该回路的总权。