运筹学图与网络(I)

第二节欧拉图和哈密尔顿回路

一、欧拉图

欧拉（Euler）在1736年发表的关于图论方面的第一篇论文，解决了一个著名问题，称为哥尼斯堡七桥问题，从而使他成为图论的创始人。问题是这样的：十八世纪的德国有座哥尼斯堡城，在流贯全城的普格尔河两岩和河中两个岛之间架设了七座桥，如图6.10（a）所示。当时那里的居民热衷于这样一个游戏，即一个散步者能否从任一陆地出发，走过每座桥一次且仅走过一次，最后回到原地。问题乍看起来很简单，但当时谁也不明白为什么没有人能够成功。

为了弄清这个问题，欧拉将每一块陆地用一顶点表示，每一座桥用连接相应的两个顶点的连线（即边）来代替，从而得到一个“图”（图 6.10（b））。这个“图”使问题变得简洁明了。直观上不难发现，为了能回到原来的陆地，要求与每个顶点（陆地）相关联的边数是偶数，这样才能保证从一条边出去，从另一条边回来。由于在图6.10（b）中，与四个顶点相连的边数都是奇数，因而不可能

自任一顶点出发过每条边一次且仅一次而回到原地。

（a）图6.10（b）欧拉并不限于处理这个特殊事例，他推广了这个问题，提出并证明了下述定理。

定义1 在连通无向图G中，若存在经过每条边恰好一次的一个圈或一条链，就称此圈或链为欧拉圈或欧拉链。或图G含一条欧拉圈，则称它为欧拉图。

显然，欧拉圈或欧拉链都可“一笔画出”；反之，若一个图能一笔画出，则它必然是欧拉圈或欧拉链。

定理1连通无向图G为欧拉图的充要条件是它的全部顶点都是偶次顶点。

事实上，若G是欧拉图，C是其欧拉圈，则由定义，C包含G的所有边，由于图连通，故亦包含所有顶点。C是任一中间顶点每出现一次，必与两条不同的边相关联，另因C的起点也是终点，故所有顶点都是偶次顶点。

定理2 连通无向图G为欧拉链的充要条件是它恰含两个奇次顶点。

上述定理提供了判断一笔画问题的准则：若连通无向图G无奇次顶点，则可由任一点起一笔画成并回到起点；若有两个奇次顶点，则由一奇次顶点起到另一奇次顶点终可一笔画成。为能将一个图一笔画下去，当去掉已画出部分时，乘下的部分不应成为不连通图。

二、哈密尔顿回路

1859年英国数学家哈密尔顿（Hamilton）提出了一种名为周游世界的游戏。

他用一个正十二面体的二十个顶点（参见图6.11），代表二十个大城市，要求沿着棱，从一个城市出发，经过每个城市恰好一次，然后回到出发点。

为了解答这个问题，现绘制一个如图6.12所示的平面图，它与图6.11所示的十二面体图同构。由图6.12中粗线边组成的圈，符合哈密尔顿提出的要求，所以它是这个问题的一个解，需指出的是这个问题的解还不止一个。如果不要求最后回到出发点，那么，解就更多了。

在一个图中，如果有一条链（圈）经过每个顶点恰好一次，那么这条链（圈）就称为哈密尔顿链（圈）。

表面上，哈密尔顿问题与欧拉问题很相似，但实际上，两者迥不同。前者指的是过每个顶点恰好一次的回路，而后者说的是过每边恰好一次的圈。用定理1很容易判断一个图是否为欧拉图，而求解哈密尔顿回路，迄今还没有比较简单的通用方法。

图6.11 图6.12

哈密尔顿回路是图论的重要课题之一，它具有重要的实际意义。著名的旅行推销员问题（或称货郎担问题），就是要求出总路程最短的哈密尔顿回路。

三、中国邮路问题

某邮递员从邮局出发，走过每条街道至少一次去投递邮件，最后回到邮局，他应走什么样的路线才能使所走的总路程最短？这个问题是我国管梅谷教授于1962年首先研究的，国际上通称为中国邮路问题。

在邮递员服务范围的街道图上标明各条街的路长，就构成了一连通赋权图G。

若G无奇次顶点，根据定理1，G就是欧拉图，因每边仅过一次，故总权是最小的。

若G有奇次顶点，则它就不是欧拉图，然而题设条件是要求过每边至少一次，并未限制只许一次，故总可以在这些奇次顶点上添加一些与原图的边相重复的边，使这些奇次顶点成为偶次顶点，从而得到一个将重复边看成是另一条新边的欧拉图。现在的问题是这些重复边如何添加，才能得到一个总权（总路长）最小的欧拉图。

定理3使图G成为总权最小的欧拉图的充要条件是：

（1）在有奇次顶点的图G中，通过加重复边的方法使图不再包含奇次顶点，但原图的每条边最多只能加一条重复边。