运筹学图与网络分析
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运筹学8图与网络分析
e3 。在剩下的图中，再取一个圈
定理8.7充分性的证明，提供了一个 寻找连通图支撑树的方法叫做“破圈法”。 就是从图中任取一个圈，去掉一条边。再 对剩下的图重复以上步骤，直到不含圈时 为止，这样就得到一个支撑树。
例8.4 用破圈法求出图8-11的一个支
撑树。
v2
e1
e7 e4
v1
e3 v4
e8
v5
e2
e5
v3
e6
图8-11
取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去掉边
3
4
初等链：链中所含的 点均不相同, 也称通 路；
5
6
为闭链或回路或圈；
简单圈：如果在一个圈中所含的边均不相同 初等圈：除起点和终点外链中所含的点 均
不相同的圈；
连通图：图中任意两点之间均
至少有一条通路，否则 v1
v4 v5 v8
称为不连通图。
v2
初等链: (v1 , v2 , v3 , v6 ,
图的连通性：
简单链：链中所含的 边均不相同；
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否 则称
1
2
链：由两两相邻的点及其相 关联的边构成的点边序列。 如:v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2，e3 ,v3 ,…,vn1 , en ， vn ; v0 ，vn 分别为链的起点和终点 。记 作（ v0 ,v1 , v2， ,v3 , …, vn-1 , vn ）
v5
v7
(v5
,v1v6),(v6
(v4 ,v6),(v5 ,v7)}
,v3),(v5
v6
,v4),
v2
v4
图8.5
下面介绍一些常用的名词：
图与网络的运筹学实验报告
图与网络的运筹学实验报告图与网络的运筹学实验报告引言：图与网络是运筹学中的重要概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。
本实验旨在通过实际案例，探讨图与网络在运筹学中的应用，并通过运筹学方法对问题进行求解和优化。
一、图与网络的基本概念1.1 图的定义与表示图是由节点和边组成的数学模型，它可以用来描述各种实际问题。
图可以用邻接矩阵或邻接表等方式进行表示。
1.2 网络的定义与分类网络是图的一种特殊形式，它的边具有权重或容量等属性。
根据边的属性不同，网络可以分为最短路径网络、最小生成树网络、最大流网络等。
二、图与网络在运筹学中的应用2.1 最短路径问题最短路径问题是图与网络中的经典问题之一。
通过运筹学方法，可以求解两点之间的最短路径，并找到最优解。
2.2 最小生成树问题最小生成树问题是在图中找到一棵包含所有节点的树，并使得树的边权重之和最小。
通过运筹学方法，可以有效地解决最小生成树问题。
2.3 最大流问题最大流问题是在网络中找到从源节点到汇节点的最大流量。
通过运筹学方法，可以确定网络中的最大流，并进行优化。
三、实际案例分析3.1 交通网络优化以城市交通网络为例，通过建立图模型，可以对交通流量进行优化调度，减少交通拥堵和能源消耗。
3.2 物流配送优化以物流配送为例，通过建立网络模型，可以优化货物运输路径，减少运输成本和时间。
3.3 电力网络优化以电力网络为例，通过建立图模型，可以优化电力输送路径，提高电网的稳定性和可靠性。
四、运筹学方法的求解4.1 最短路径求解算法常用的最短路径算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法，它们可以高效地求解最短路径问题。
4.2 最小生成树求解算法常用的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法，它们可以高效地求解最小生成树问题。
4.3 最大流求解算法常用的最大流算法有Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法，它们可以高效地求解最大流问题。
运筹学(第6章 图与网络分析)
a1 (v1) 赵
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
运筹学第八章--图与网络分析-胡运权
运筹学
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
第六章图与网络分析
e3
v3
若链中所有的顶点也互不相同,这样的链称为路.
e4
v4
起点和终点重合的链称为圈. 起点和终点重合的路称为回路.
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这 样的图为连通图, 否则称该图是不连通的. 第10页
完全图，偶图
任意两点之间均有边相连的简单图, 称为完全图. K n
K2
K3
K4
2 | E | Cn
第20页
6.2树图和图的最小部分树问题 Minimal tree problem 6.2.1树的概念
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图 为连通图. 树图(简称树Tree)： 无圈的连通的图，记作T(V, E)
组织机构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路 网络等都能表达成一个树图 。
第13页
有向图 G ： (V,E)，记为 G=(V,E)
G 的点集合： V {v1 , v2 ,...,vn } G 的弧集合： E {eij } 且 eij 是一个有序二元组 (vi , v j ) ，记
为 eij (vi , v j ) 。下图就是一个有向图，简记 G 。 若 eij (vi , v j ) ，则称 eij 从 v i 连向 v j ，点 v i 称为 eij 的尾，v j 称为 eij 的头。 v i 称为 v j 的前继， v j 称为 v i 的后继。 基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
有向图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
1, 当 弧ek以 点i为 尾 其中 bik 1, 当 弧ek以 点i为 头 0, 否 则
运筹学6(图与网络分析)
定义7：子图、生成子图（支撑子图）
图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果 V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图。
若有 V1＝V2，E1 E2 则称 G1是G2的一 个支撑子图（部分图）。
图8-2（a）是图 6-1的一个子图，图8-2 （b）是图 8-1的支撑子图，注意支撑子图 也是子图,子图不一定是支撑子图。 e1
v2 ▲如果链中所有的顶点v0，v1，…，vk也不相
e1 e2 e4 v1 e3
v3 e5
同，这样的链称初等链（或路）。
e6
▲如果链中各边e1,e2…,ek互不相同称为简单链。
e7
e8
▲当v0与vk重合时称为回路（或圈），如果边不 v4
v5
重复称为简单回路，如果边不重复点也不重复
则称为初等回路。
图8－1中， μ1={v5,e8,v3,e3,v1,e2,v2,e4,v3,e7,v5}是一条链，μ1中因顶 点v3重复出现，不能称作路。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定理1 任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。
v1
v3
v2
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定义4 有向图： 如果图的每条边都有一个方向则称为有向图
定义5 混合图： 如何图G中部分边有方向则称为混合图 ② ⑤ ④
定理4 有向连通图G是欧拉图，当且仅当G中每个顶点的出 次等于入次。
② 15
9 10
图与网络分析 胡运权 第四版 运筹学PPT课件
4
3.关联与相邻
❖关联（边与点的关系）：若e是v1、v2两点间
的边，记e=[v1，v2 ]，称v1、v2 与e关联。
v1
e
v2
❖相邻（有公共边，称点v1与v2相邻；
边e1与e2 有公共点，称边e1与e2相邻。
e1
V2
V1
e2
V3
5
4. 链、圈与连通图
■链:由图G中的某些点与边相间构成的序列 {V1,e1,V2,e2, ……,Vk,ek},若满足 ei=[Vi, Vi ],则称此
（4）A={v1,v2,v4}
[0,v1]
[2,v1]
2
6
v1
v2
v3
1 [1,v1]10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
v7
4
[3,v1]
v8 8
考虑边（v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)
计算min { 0+3, 2+6, 2+5, 1+2}=min {3,8,7,3}=3
70
费用、容量等），则称这样 1
4
的图为网络图。
20
45
3
4.2 最小支撑树问题
C1 根
C2
C3
C4
叶
❖树：无圈的连通图，记为T。
8
❖树的性质
■ 树中任意两个节点间有 且只有一条链。
2
3
1
5
4
■ 在树中任意去掉一条边， 1
则不连通。
2
3
5
4
■如果树T有m个结点，则 边的个数为m-1。
3.关联与相邻
❖关联（边与点的关系）：若e是v1、v2两点间
的边，记e=[v1，v2 ]，称v1、v2 与e关联。
v1
e
v2
❖相邻（有公共边，称点v1与v2相邻；
边e1与e2 有公共点，称边e1与e2相邻。
e1
V2
V1
e2
V3
5
4. 链、圈与连通图
■链:由图G中的某些点与边相间构成的序列 {V1,e1,V2,e2, ……,Vk,ek},若满足 ei=[Vi, Vi ],则称此
（4）A={v1,v2,v4}
[0,v1]
[2,v1]
2
6
v1
v2
v3
1 [1,v1]10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
v7
4
[3,v1]
v8 8
考虑边（v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)
计算min { 0+3, 2+6, 2+5, 1+2}=min {3,8,7,3}=3
70
费用、容量等），则称这样 1
4
的图为网络图。
20
45
3
4.2 最小支撑树问题
C1 根
C2
C3
C4
叶
❖树：无圈的连通图，记为T。
8
❖树的性质
■ 树中任意两个节点间有 且只有一条链。
2
3
1
5
4
■ 在树中任意去掉一条边， 1
则不连通。
2
3
5
4
■如果树T有m个结点，则 边的个数为m-1。
运筹学第六章图与网络分析
S
2
4
7
2 A
0 5
S
5 45 B
98
14
5
13
D
T
C
E
4
4
4
7
最短路线：S AB E D T
最短距离：Lmin=13
2．求任意两点间最短距离的矩阵算法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵D（0）= dij（0）
S A B D（0）= C D E T
SABCDET 0 25 4 2 02 7 5 20 1 5 3 4 1 0 4 75 0 15 3 41 0 7 5 7 0
e1 v1
e5
v0 e2
e3
v2
e4
e6 e7
v3
v4
（4）简单图：无环、无多重边的图称为简单图。
（5）链：点和边的交替序列，其中点可重复，但边不能 重复。
（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。
（7）圈：始点和终点重合的链。
（8）回路：始点和终点重合的路。
（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条 链，称这样的图为连通图。 （10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若 V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。 （11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示。
步骤：
1. 两两连接所有的奇点，使之均成为偶点；
2. 检查重复走的路线长度，是否不超过其所在 回路总长的一半，若超过，则调整连线，改 走另一半。
v1
4
v4
4
1
4
v2
v5
5
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OR3 5
（2）次：以点u为端点的边的条数，叫做点u的次。 悬挂点：次为1的点叫做悬挂点； 孤立点：次为0的点叫做孤立点； 奇点：次为奇数则称奇点； 偶点：次为偶数则称偶点。 基本定理： 1、图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数的两倍，即
d (v) 2q
vV
2、任一图中，奇点的个数为偶数。
OR3 10
避圈法的基本步骤P259
第一步：令i＝1，E0＝空集。 第二步：选一条边ei∈E﹨Ei-1,使ei是使 （V, Ei-1∪｛e｝）不含圈的所有边e（e ∈E﹨Ei-1）中权最小的边。令Ei＝Ei-1 ∪ ｛ei｝,如果这样的边不存在，则T=(V, Ei-1) 是最小树。 第三步：把i换成i＋1，转入第2步。
OR3
6
（3）链：点边交替序列称为链； 圈：首尾相连的链称为圈； 初等链：链中各点均不同的链； 初等圈：圈中各点均不同的圈； 简单链：链中边均不同的链； 简单圈：圈中边均不同的圈。 （4）连通图：任意两点之间至少有一条链的图。 连通分图：对不连通的图，每一连通的部分称为一个连通 分图。 支撑子图：对G=(V,E)，若G’=(V’,E’)，使V’＝V， E’包含于 E，则G’是G的一个支撑子图。 赋权图：在图中，如果每一条边（弧）都被赋予一个权值 wij，则称图G为赋权图。 （5）路：在有向图中，如果链上每条弧的箭线方向与链行 进方向相同，则称之为路。 回路：首尾相接的路称回路
OR3 7
6.2 树与最小生成树
1、树的概念与性质 树：无圈的连通图称为树。 定理： 定量3：设图G=（V,E)是一个树，p(G) ≥2,则G中 至少有两个悬挂点。 定量4：图G=（V,E)是一个树的充要条件是G不 含圈，且恰有p－1条边。 定量5：图G=（V,E)是一个树的充要条件是G是 连通图，并且q(G)= p(G) -1. 定量6：图G=（V,E)是一个树的充要条件是任意 两个顶点之间恰好有一条链。
OR3 11
6.3 最短路问题
最短路：赋权有向图D=（V，A）中，从始点到终点的 权值最小的路称为最短路。
引例:
单行线交通网：v1到v8使总费用最小的旅行路线。 最短路问题的一般描述： 2(v1=w ,6） ，P是vs 对D=（V，A），a=（vi，vj），w（V a） ij 到vt的路，定义路P的权是P中所有弧的权的和，记 为w（P），则最短路问题为：
9
OR3
3、最小支撑树 最小支撑树：当一个连通图的所有边都被赋权， 则取不同边构成的支撑树具有不同的总权数， 其中总权数最小的支撑树称为最小支撑树。 求最小支撑树的方法： 破圈法：在连通图中任取一个圈，去掉一条 权数最大的边，在余下的图中重复上述步骤， 直至无圈为止。 避圈法：将连通图所有边按权数从小到大排 序，每次从未选的边中选一条权数最小的边， 并使之与已选的边不能构成圈，直至得到最小 支撑树。
OR3 8
2、图的支撑树 支撑树：设T=(V,E’)是图G=(V,E)的支撑子图， 如果T是一个树，则称T为G的支撑树。 定理7：图G有支撑树的充要条件是图G是连 通的。 求支撑树的方法： 破圈法：即任取一个圈，从圈中去掉一条 边，对余下的图重复这个步骤，直至图中不含 圈为止。 避圈法：在图中每次任取一条边，与已经 取得的任何一些边不够成圈，重复这个过程， 直到不能进行为止。
OR3
13
Dijkstra算法的基本步骤：
1:给vs以P标号, P(vs)=0,其余各点均给T标 号,T(vi)=+∞ 2:若vj 点为刚得到P 标号的点,考虑这样的点vj, (vi,vj) ∈E,且 vj为T标号. 3:对vj的T标号进行如下更改: T (v j ) min T (v j ), P(vi ) wij
w( P0 ) min w( P)
P
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为：d（ vs，vt ）
OR3 12
最短路算法
Dijkstra算法 ：有向图 ，wij≥0 一般结论：
vs ,..., vi ,..., v j vs ,..., vi
v s 到vi的最短路
济南
青岛
郑州
徐州
连云港
南京
上海
武汉
OR3
2
球队比赛图
五个球队比赛,比过的两个队之间用连线 相连，还没有比赛的队之间没有连线
v5
v1
v4
v2
OR3
v3
3
6.1 图的基本概念
图是由点和线构成的。点代表所研究的对象，线表示对 象间的关系。 1、图的分类：无向图，有向图 无向图：由点和边所组成的图。表示为G=(V,E). 有向图：由点和弧所组成的图。表示为D=(V,A) 点的集合用V表示，V={vi} 2、图上的基本概念： （1） 边：图中不带箭头的连线叫做边(edge)，边的集合记 为E= { ej } ，一条边可以用两点[ vi,vj ]表示,ej= [ vi,vj ]. 弧：图中带箭头的连线叫做弧(arc),弧的集合记为A， A= { ak },一条弧也是用两点表示，ak= [ vi,vj ],弧有方向： vi为始点，vj为终点
第六章 图与网络分析
引论 : 哥尼斯堡七桥问题
A A B C B D E c B
OR3 1
C
D
A D
铁路交通图
此图是我国北京,上海等十个 城市间的交通图,反映了这 十个城市间的铁路分布情况. 点表示城市,点间的连线表示 两个城市间的铁路线. 诸如此类问题还有电话线分 布图或煤气管道分布图等.
北京
天津
OR3 4
例1. v1 e5 v4
e1
e2
e3
v2
e4 v1
v3
a8
v5
a1
a3 a2
a4 a6 a9
a10
a7 v6
e7
e6
v3
v2
a5Βιβλιοθήκη v4v7环：两端点相同的边。 多重边：若两点之间有多于一条边，则称这些边为多 重边。 简单图：无环、无多重边的图。 e7 多重图：无环，但允许有多重边的图。
v s 到v j的最短路
Dijkstra算法基本思想: 采用标号法: P标号和T标号
P标号：已确定出最短路的节点(永久性标号)。 T标号：未确定出最短路的节点，但表示其距离的上限(试探性标号)。 算法的每一步都把某一点的T标号改为P标号直至改完为止. Si：P标号节点的集合。
（2）次：以点u为端点的边的条数，叫做点u的次。 悬挂点：次为1的点叫做悬挂点； 孤立点：次为0的点叫做孤立点； 奇点：次为奇数则称奇点； 偶点：次为偶数则称偶点。 基本定理： 1、图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数的两倍，即
d (v) 2q
vV
2、任一图中，奇点的个数为偶数。
OR3 10
避圈法的基本步骤P259
第一步：令i＝1，E0＝空集。 第二步：选一条边ei∈E﹨Ei-1,使ei是使 （V, Ei-1∪｛e｝）不含圈的所有边e（e ∈E﹨Ei-1）中权最小的边。令Ei＝Ei-1 ∪ ｛ei｝,如果这样的边不存在，则T=(V, Ei-1) 是最小树。 第三步：把i换成i＋1，转入第2步。
OR3
6
（3）链：点边交替序列称为链； 圈：首尾相连的链称为圈； 初等链：链中各点均不同的链； 初等圈：圈中各点均不同的圈； 简单链：链中边均不同的链； 简单圈：圈中边均不同的圈。 （4）连通图：任意两点之间至少有一条链的图。 连通分图：对不连通的图，每一连通的部分称为一个连通 分图。 支撑子图：对G=(V,E)，若G’=(V’,E’)，使V’＝V， E’包含于 E，则G’是G的一个支撑子图。 赋权图：在图中，如果每一条边（弧）都被赋予一个权值 wij，则称图G为赋权图。 （5）路：在有向图中，如果链上每条弧的箭线方向与链行 进方向相同，则称之为路。 回路：首尾相接的路称回路
OR3 7
6.2 树与最小生成树
1、树的概念与性质 树：无圈的连通图称为树。 定理： 定量3：设图G=（V,E)是一个树，p(G) ≥2,则G中 至少有两个悬挂点。 定量4：图G=（V,E)是一个树的充要条件是G不 含圈，且恰有p－1条边。 定量5：图G=（V,E)是一个树的充要条件是G是 连通图，并且q(G)= p(G) -1. 定量6：图G=（V,E)是一个树的充要条件是任意 两个顶点之间恰好有一条链。
OR3 11
6.3 最短路问题
最短路：赋权有向图D=（V，A）中，从始点到终点的 权值最小的路称为最短路。
引例:
单行线交通网：v1到v8使总费用最小的旅行路线。 最短路问题的一般描述： 2(v1=w ,6） ，P是vs 对D=（V，A），a=（vi，vj），w（V a） ij 到vt的路，定义路P的权是P中所有弧的权的和，记 为w（P），则最短路问题为：
9
OR3
3、最小支撑树 最小支撑树：当一个连通图的所有边都被赋权， 则取不同边构成的支撑树具有不同的总权数， 其中总权数最小的支撑树称为最小支撑树。 求最小支撑树的方法： 破圈法：在连通图中任取一个圈，去掉一条 权数最大的边，在余下的图中重复上述步骤， 直至无圈为止。 避圈法：将连通图所有边按权数从小到大排 序，每次从未选的边中选一条权数最小的边， 并使之与已选的边不能构成圈，直至得到最小 支撑树。
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2、图的支撑树 支撑树：设T=(V,E’)是图G=(V,E)的支撑子图， 如果T是一个树，则称T为G的支撑树。 定理7：图G有支撑树的充要条件是图G是连 通的。 求支撑树的方法： 破圈法：即任取一个圈，从圈中去掉一条 边，对余下的图重复这个步骤，直至图中不含 圈为止。 避圈法：在图中每次任取一条边，与已经 取得的任何一些边不够成圈，重复这个过程， 直到不能进行为止。
OR3
13
Dijkstra算法的基本步骤：
1:给vs以P标号, P(vs)=0,其余各点均给T标 号,T(vi)=+∞ 2:若vj 点为刚得到P 标号的点,考虑这样的点vj, (vi,vj) ∈E,且 vj为T标号. 3:对vj的T标号进行如下更改: T (v j ) min T (v j ), P(vi ) wij
w( P0 ) min w( P)
P
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为：d（ vs，vt ）
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最短路算法
Dijkstra算法 ：有向图 ，wij≥0 一般结论：
vs ,..., vi ,..., v j vs ,..., vi
v s 到vi的最短路
济南
青岛
郑州
徐州
连云港
南京
上海
武汉
OR3
2
球队比赛图
五个球队比赛,比过的两个队之间用连线 相连，还没有比赛的队之间没有连线
v5
v1
v4
v2
OR3
v3
3
6.1 图的基本概念
图是由点和线构成的。点代表所研究的对象，线表示对 象间的关系。 1、图的分类：无向图，有向图 无向图：由点和边所组成的图。表示为G=(V,E). 有向图：由点和弧所组成的图。表示为D=(V,A) 点的集合用V表示，V={vi} 2、图上的基本概念： （1） 边：图中不带箭头的连线叫做边(edge)，边的集合记 为E= { ej } ，一条边可以用两点[ vi,vj ]表示,ej= [ vi,vj ]. 弧：图中带箭头的连线叫做弧(arc),弧的集合记为A， A= { ak },一条弧也是用两点表示，ak= [ vi,vj ],弧有方向： vi为始点，vj为终点
第六章 图与网络分析
引论 : 哥尼斯堡七桥问题
A A B C B D E c B
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A D
铁路交通图
此图是我国北京,上海等十个 城市间的交通图,反映了这 十个城市间的铁路分布情况. 点表示城市,点间的连线表示 两个城市间的铁路线. 诸如此类问题还有电话线分 布图或煤气管道分布图等.
北京
天津
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例1. v1 e5 v4
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v2
e4 v1
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v5
a1
a3 a2
a4 a6 a9
a10
a7 v6
e7
e6
v3
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a5Βιβλιοθήκη v4v7环：两端点相同的边。 多重边：若两点之间有多于一条边，则称这些边为多 重边。 简单图：无环、无多重边的图。 e7 多重图：无环，但允许有多重边的图。
v s 到v j的最短路
Dijkstra算法基本思想: 采用标号法: P标号和T标号
P标号：已确定出最短路的节点(永久性标号)。 T标号：未确定出最短路的节点，但表示其距离的上限(试探性标号)。 算法的每一步都把某一点的T标号改为P标号直至改完为止. Si：P标号节点的集合。