《运筹学》第八章图与网络分析习题及答案

合集下载

【资料】运筹学习题答案(第八章)汇编

运筹学教程
第八章习题解答
8.6 分别用深探法、广探法、破圈法找出图852所示图的一个生成树。
page 8 7/14/2020
8
School of Management
运筹学教程
第八章习题解答
page 9 7/14/2020
9
School of Management
运筹学教程
第八章习题解答
page 10 7/14/2020
20 0 36 14 32
D (4)
0
20
18
0
32
12
48
9
0
V1 V2 V3 V4 V5
V1 0 5 16 19 12
V2 20 0 36 14 32
D (5)
V3
50
20
0
20
18
V4 0
V5
32
12
48
9
0
page 23 7/14/2020
23
解：能贮存在同一室内的两种药品之间作一条
连线。贮存在同一室内的药品应该构成一个完全图。 ABG，CFH，DE构成完全图。故，存放这些药品最少需要3间储藏室。
page 3 7/14/2020
3
School of Management
运筹学教程
第八章习题解答
8.3 6个人围成圆圈就座，每个人恰好只与相邻者不相识，是否可以重新就座，使每个人都与邻座认识?
年。或先使用三年，更新后再使用两年。最小总支出20。
5
School of Management
运筹学教程
第八章习题解答
8.5 求解如图8-51所示的中国邮路问题，A点是邮局。

《运筹学》第8章_图与网络分析

V = {v1 ,v 2 , v 3 , v 4 , v 5 , v 6 }
v1 e1 e2 e5 e8 v5 e6 e7 v3 v2 e3 e v4 4
e 5 = { v1 , v 3 }
e9 = {v 6 , v 6 }
E = {e1 ，2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10 } e e1 = {v1 , v 2 } e 2 = { v1 , v 2 } e10 e 3 = {v 2 , v 3 } e = {v , v }
引
C
言
B A
D
图的基本概念与基本定理
在实际的生产和生活中，人们为了反映事物之间的关系，常常在纸上用点点和线来画出各式各样的示意图。和线是我国北京、上海、重庆等十四个城市之间的铁路交通图，这里用点表示城市，用点与点之间的线表示城市之间的铁路线。诸如此类还有城市中的市政管道图，民用航空线图等等。
例
v6
v1 3 6
4 7 3
v2 2 v3 5
3
4 2
权矩阵
v1 0 v 2 4 v 3 0 A= v4 6 v5 4 v6 3 v1
v5
v4
邻接矩阵
v1 0 v 2 1 v 3 0 B= v 4 1 v 5 1 v 6 1 v1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
4 3 4
e6 = {v 3 , v 5 }
e8 = {v 5 , v 6 } e10 = {v1 , v6 }
v6
e 7 = {v 3 , v 5 }

运筹学基础课后练习答案(项目四图与网络分析)

项目四图与网络分析任务八图与网络的应用练习1、求下图的最小支撑树。

用破圈法求该图的最小支撑树：（1）（2）（3）（4）2、分别用破圈法和避圈法求下列各个图的最小支撑树。

a-1：用破圈法求图a的最小支撑树：a-2：用避圈法求图a的最小支撑树：b-1：用破圈法求图b 的最小支撑树：b-2：用避圈法求图b 的最小支撑树：3、用标号法求下图中1v 至7v 的最短路。

1）标号过程（1）初始化；令起点v 1的标号为P ，记做P(1) =0；令其余各点的标号为T ，记做T(i)=∞；（2）计算T标号：刚得到P标号的点为v1，考虑所有与v1相邻的T标号点v 2、v3、v5，修改v2、v3、v5的T标号为：T(2)=min[T(2)，P(1)+d12]=min[+∞，0+4]=4T(3)=min[T(3)，P(1)+d13]=min[+∞，0+3]=3T(5)=min[T(5)，P(1)+d15]=min[+∞，0+5]=5 （3）确定P标号：在所有的T标号点中，找出标号值最小的点标上P标号。

T(2)= 4 T(3) =3 T(4) =+∞T(5)=5 T(6)= +∞ T(7)= +∞令P(3)=3。

（4）计算T标号：刚得到P标号的点为v3，考虑所有与v3相邻的T标号点v 6，修改v6的T标号为：T(6)=min[T(6)，P(3)+d36]=min[+∞，3+2]=5 （5）确定P标号：在所有的T标号点中，找出标号值最小的点标上P标号。

T(2)= 4 T(4) =+∞ T(5)=5 T(6)= 5 T(7)= +∞令P(2)=4。

（6）计算T标号：刚得到P标号的点为v2，考虑所有与v2相邻的T标号点v 5，修改v5的T标号为：T(5)=min[T(5)，P(2)+d25]=min[5，4+1]=5（7）确定P标号：在所有的T标号点中，找出标号值最小的点标上P标号。

T(4) =+∞ T(5)=5 T(6)= 5 T(7)= +∞令P(5)=5。

运筹学第八章--图与网络分析-胡运权

运筹学
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章图与网络分析
图与网络的基本概念树最短路问题最大流问题最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)

29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次厄尼斯堡七桥问题、邮路问题充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法

运筹学6(图与网络分析)

定义7：子图、生成子图（支撑子图）
图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果 V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图。
若有 V1＝V2，E1 E2 则称 G1是G2的一个支撑子图（部分图）。
图8-2（a）是图 6-1的一个子图，图8-2 （b）是图 8-1的支撑子图，注意支撑子图也是子图,子图不一定是支撑子图。 e1
v2 ▲如果链中所有的顶点v0，v1，…，vk也不相
e1 e2 e4 v1 e3
v3 e5
同，这样的链称初等链（或路）。
e6
▲如果链中各边e1,e2…,ek互不相同称为简单链。
e7
e8
▲当v0与vk重合时称为回路（或圈），如果边不 v4
v5
重复称为简单回路，如果边不重复点也不重复
则称为初等回路。
图8－1中， μ1={v5,e8,v3,e3,v1,e2,v2,e4,v3,e7,v5}是一条链，μ1中因顶点v3重复出现，不能称作路。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定理1 任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。
v1
v3
v2
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定义4 有向图：如果图的每条边都有一个方向则称为有向图
定义5 混合图：如何图G中部分边有方向则称为混合图 ② ⑤ ④
定理4 有向连通图G是欧拉图，当且仅当G中每个顶点的出次等于入次。
② 15
9 10

运筹学习题答案(第八章)

School of Management
运筹学教程
第八章习题解答
8.11 求图求图8-56中v1到各点的最短路。中到各点的最短路。
page 20 5 April 2012
School of Management
运筹学教程
第八章习题解答
page 21 5 April 2012
School of Management
D (0)
D (1)
5 16 0 20 0 36 =∞ ∞ 0 ∞ ∞ ∞ ∞ 12 ∞ 5 0 20 0 =∞ ∞ ∞ ∞ 32 12 16
12 14 32 20 18 0 ∞ 9 0 19
∞
D (2)
5 0 20 0 =∞ ∞ ∞ ∞ 32 12
page 28 5 April 2012
School of Management
运筹学教程
第八章习题解答
解：最大流量为21。最大流量为。
page 29 5 April 2012
School of Management
运筹学教程
第八章习题解答
8.16 如图8-60，从v0派车到v8，中间可经过如图8 60，派车到v v1，…，v7各站，若各站间道路旁的数字表示单位时各站，间内此路上所能通过的最多车辆数，间内此路上所能通过的最多车辆数，问应如何派车才能使单位时间到达v 的车辆最多? 能使单位时间到达v8的车辆最多?
School of Management
运筹学教程
第八章习题解答
8.7 设计如图设计如图5-53所示的锅炉房到各座楼铺设暖气所示的锅炉房到各座楼铺设暖气管道的路线，使管道总长度最(单位单位：。管道的路线，使管道总长度最单位：m)。

运筹学习题答案(1)

第一章线性规划及单纯形法（作业）1.4 分别用图解法和单纯型法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。

（1）Max z=2x 1+x 2St.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,24261553212121x x x x x x 解：①图解法：由作图知，目标函数等值线越往右上移动，目标函数越大，故c 点为对应的最优解，最优解为直线⎩⎨⎧=+=+242615532121x x x x 的交点，解之得X=(15/4,3/4)T 。

Max z =33/4. ② 单纯形法：将上述问题化成标准形式有： Max z=2x 1+x 2+0x 3+0x 4St. ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,,242615535421421321x x x x x x x x x x其约束条件系数矩阵增广矩阵为：P 1 P 2 P 3 P 4⎥⎦⎤⎢⎣⎡241026150153 P 3,P 4为单位矩阵，构成一个基，对应变量向，x 3,x 4为基变量，令非基变量x 1,x 2为零，找到T 优解，代入目标函数得Max z=33/4.1.7 分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类。

（3）Min z=4x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 解：这种情况化为标准形式： Max z ＇=-4x 1-x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 添加人工变量y1,y2Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4-My 1-My 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x(2) 两阶段法： Min ω=y 1+y 2St.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x第二阶段，将表中y 1,y 2去掉，目标函数回归到Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析（作业）2.7给出线性规划问题：Max z=2x 1+4x 2+x 3+x 4⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤++)4,3,2,1(096628332143221421j x x x x x x x x x x x x j要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X *=(2,2,4,0),试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

《运筹学》第八章图与网络分析习题
1.思考题
(１)解释下列名词，并说明相互之间的区别与联系：①顶点，相邻，关联边；
②环，多重边，简单图；③链，初等链；④圈，初等圈，简单拳；⑤ 回路，初等路；⑥节点的次，悬挂点，孤立点；⑦）连通图，连同分图，支撑子图；⑧有向图，基础图，赋权图。

⑨子图，部分图，真子图．
(２)通常用记号Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）表示一个图，解释Ｖ及Ｅ的涵义及这个表达式的涵义．
(３)通常用记号Ｄ＝（Ｖ，Ａ）表示一个有向图，解释Ｖ及Ａ的涵义及这个表达式的涵义．
(４) 图论中的图与一般几何图形的主要区别是什么？ (５) 试述树与图的区别与联系．
(６) 试述求最短路问题的Ｄijkstra 算法的基本思想及其计算步骤． (７) 试述寻求最大流的标号法的步骤与方法．
(８) 简述最小费用最大流的概念及其求解的基本思想和方法．
(９) 通常用记号Ｎ＝（Ｖ，Ａ，Ｃ）表示一个网络，试解释这个表达式的涵义． (10) 在最大流问题中，为什么当存在增广链时，可行流不是最大流？ (11) 试叙述最小支撑树、最大流、最短路等问题能解决那些实际问题。

2.判断下列说法是否正确
(1) 图论中的图是为了研究问题中有哪些对象及对象之间的关系，它与图的几何
形状无关。

(2) 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。

(3) 如果一个图G 从V 1到各点的最短路是唯一的，则连接V 1到各点的最短路，再去掉重
复边，得到的图即为最小支撑树。

(4 )图G 的最小支撑树中从V 1到V n 的通路一定是图G 从V 1到V n 的最短路。

(5) {f ij =0}总是最大流问题的一个可行流。

(6 )无孤立点的图一定是连通图。

(7) 图中任意两点之间都有一条简单链，则该图是一棵树。

(8) 求网络最大流的问题总可以归结为求解一个线性规划问题。

(9)在图中求一点Ｖ１到另一点Ｖn 的最短路问题总可以归结为一个整数规划问题 (10) 图G 中的一个点V 1总可以看成是G 的一个子图。

3.证明：在人数超过2的人群中，总有两个人在这群人中恰有相同的朋友数。

4.已知九个人921,,,v v v ，1v 和两个人握过手，32,v v 各和四个人握过手，
7654,,,v v v v 各和五个人握过手，98,v v 各和六个人握过手。

证明这九个人中，一定可
以找出三个人互相握过手。

5．用破圈法和避圈法求下图的部分树
C7
V 1
V 2 V 3
V 4
V 5
V 6
V 7
V 8
V 9
C 1 C 2
C 3
C 4 C 5
C 6
C 8
C 9
C 10
C 11
C 12 C 13
C 14
１７３
２５
３
２
６８
５４
３
１
6．写出下面各图中的顶点数、边数及顶点的次数，哪些是简单图。

7．完全图Ｋn 有多少条边？ 8．求下列各图的最小树
（３）
9.用标号法求下图中从1v 到各顶点的最短距离
V 1
V 2
V 3
V 4
V 5
V 6
(1)
V 2
3
(2)
５１
３
７
４
２
５
２
８
６
２
７
４
３
７
４３
（１）
５
２
３
４
２
４
６
１
２
４
３
９
（２）
（３）
10．在下图中用标号法求
（１）从1v 到各顶点的最短距离；（２）若从1v 到9v ，走哪一条路最短。

11．已知8个村镇，相互间距离如下表所示,已知1号村镇离水源最近，为5公里，问从水
源经1号村镇铺设输水管道将各村镇连接起来，应如何铺设使输水管道最短（为便于管理和维修，水管要求在各村镇处分开）。

V 1
V 2
V 3
V 4
V 5
V 6
V 7
V 8
V9
V 10
V 11
2
6 3
5
7
5
2
1 3
7
2
3
4
1
4
3
1
6
7
3
8
4
V 1
V 2
V 3
V 4
V 5
V 6
V 7
8
V 9
4
3
3
2
4
3
8
3
1
2
3
2
1
12.用标号法求下面网络的最大流.
13. 用标号法求下面网络的最大流.
14.求下列网络的最小费用最大流.括号内的两个数字,前一个是单位流量的费用,后一个是该弧的流量.
《运筹学》第八章图与网络分析习题解答
2．（1）√ （2）X （3）√ （4）X （5）√ （6）X （7）X （8）√（9）√（10）√ 6．解：图（１）顶点数６个；边数１２条；每个顶点的次数都为４次，是简单图。

图（２）顶点数５个；边数９条；每个顶点的次数v 4 ,v 5 ３次，其它各顶点都为４次，是简单图。

7．解：完全图的边数为
2)
1( n n 条。

V
V t
12
15 V 1
V t
8
10
6
10
8
4
9
10
14
18 12
8
13
15
6
V 1
V t
(5,6)
(9,2)
(3,2)
(4,1)
(3,4)
(4,19)
(2,3)
(1,1)
(2)
V
t
(1)
9．解：
10．解：
从1v 到9v 的最短路为9751
v v v v →→→。

11．解：此为最短路问题。

铺设路线由下图给出，最短输水管道为6.5公里。

12．最大流为32。

13．最大流为10。

14．解：（1）最大流量为6，最小费用为84；
（2）最大流量为3，最小费用为27。

V 1
V 2 V 3
V 4
V 5 V 6
V 7
V 8
V9
V 10
V 11
（o,0）
(v 1,2) (v 1,6) (v 1,3)
(v 2,7) (v 5,8)
(v 9,14) (V 9,12) (v 4,10) (v 7,11)
(v 10,15)
V 1
V 2
V 3 V 4 V 5 V 6
V 7
V 8
V 9
1
（o,0）
(v 1,4) (v 2
,7)
(V 1,3)
(V 2,6)
(V 2,7) (V 5,6) (V 7,8) (V 7,8) ①
④
⑧
②
③
⑤
⑥
⑦。