第七章 图论与网络分析
运筹学课件：第7章 图论与网络分析-第1,2节
v1
v2 a
v3
v4 c
b v1
a
v2
b
v3
d
d
v4
c
第2节 最小树问题
一、树及其性质 定义1： 无圈的连通图称为树。树一般用T表示。
定理1： 任给树T=（V，E），若P（T）≥2，则 T中至少有两个悬挂点。
证明：设µ=（v1，v2，…，vk）是G中含边数最多的 一条初等链，因P（T）≥2，并且T是连通的， 故链µ中至少有一条边，从而v1与vk是不同的 。
不少数学家都尝试去解析这个事例。而这些解析，最 后发展成为了数学中的图论。
例：中国邮路问题 一个邮递员送信，要走完他所负责的全部街道分送
信件，最后返回邮局。邮递员都会本能地以尽可能少的 行程完成送信任务。
问题：他如何走？
点：路口； 边：两路口之间道路，第i条道路长ei。
问题：求一个圈，过每边至少一次，并使圈长度最短。
由于T是树，由定义知T连通且无圈。只须证明m=n-1。
归纳法： 当n=2时，由于T是树，所以两点间显然有且 仅有一条边，满足m=n-1。
假设 n=k-1时命题成立，即有k-1个顶点时,T有k-2条边。
当n=k时，因为T连通无圈，k个顶点中至少有一个点次 为1。设此点为u，即u为悬挂点，设连接点u的悬挂边 为[v，u]，从T中去掉[v，u]边及点u ，不会影响T的连 通性，得图T’，T’为有k-1个顶点的树，所以T’有k-2条 边，再把（ v，u）、点u加上去，可知当T有k个顶点 时有k-1条边。
4
2
v4
94
v2
3
v3 8
0 9 2 4 7 9 0 3 4 0 其权矩阵为： A 2 3 0 8 5 4 4 8 0 6 7 0 5 6 0
管理运筹学讲义 第7章 网络分析
16
石家庄经济学院
管理科学与工程学院
第三节
一、双标号算法
最短路问题
1.标号法的基本思路
基本思路: 从始点vs 出发，逐步探寻，给每个点标号； 标号分永久标号P(vk)和临时标号T(vk) 两种：
• 永久标号P(vk) 是从点 vs → vk 的最短路权 • 临时标号T(vk) 是从点 vs → vk 最短路权的上界
1
3 2
v4
6
7
1
vt
(v5 ,13)
v3 (v4 , 9)
v6 (v3 ,11)
管理科学与工程学院
25
石家庄经济学院
第三节
一、双标号算法
第七步：
(vs ,3)
最短路问题
(v1 ,5)
v1
3
(vs , 0)
2 4
v5
8 1 (v5 , 6)
7 9
vs
10
v2
4
(v4 , 7)
v1
3
(vs , 0)
v5
8 1
7 9
vs
10
v2
4
(vs ,9)
1
3 2
(v1 , 7) v4
6 7
1
vt
(vs , )
v3 (vs ,10)
石家庄经济学院
v6 (vs , )
管理科学与工程学院
21
第三节
一、双标号算法
第三步：
(vs ,3)
最短路问题
(v1 ,5)v1Fra bibliotek3(vs , 0)
2 4
2.避圈法
从无向网络中，开始选取权数最小的一条边，再选权数为次小 的一条边；如此进行，总从剩余边中选取权数最小者，但前提 是与已经选择的边不要构成圈；如果最小权数的边不止一条， 则任选一条。
运筹学第07章 图与网络分析
对于图G=(V,E), | V |=n, | E |=m, 有mn阶矩阵M=(mij) mn，其中:
2 当且仅当vi是边e j的两个端点 mij 1 当且仅当vi是边e j的一个端点 0 其他
权矩阵
对于赋权图G=(V,E), 其中边
(vi , v j ) 有权 w i j , 构造矩阵B=(bij) nn其中：
第1节 图的基本概念与模型 │图的矩阵描述
1.4.1 矩阵的相关概念
邻接矩阵
对于图G=（V，E），| V |=n， | E |=m，有nn阶方矩阵A=(aij) nn，其中
1 当且仅档v i与v j之间有关联边 Nhomakorabea aij 0 其它
第1节 图的基本概念与模型 │图的矩阵描述
1.4.1 矩阵的相关概念
C
B A
D
第1节 图的基本概念与模型 │图的基本概念
1.1.2 图论与网络分析
图论与网络分析理论所研究的问题十分广泛，内容极其丰富。正如一位数学家所说：“可以说， 图论为任何一个包含了某种二元关系的系统提供了一种分析和描述的模型。”
第1节 图的基本概念与模型 │图的基本概念
1.1.3 图的定义
图：若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系，则图G可以定义为点和边的集合，记作：
② 9 7 10 6 19 20 ③ 25 ⑥
15 ④ 14 ⑤
①
第1节 图的基本概念与模型 │图的基本概念
1.1.4 图的相关概念
有向图中，以vi为始点的边数称为点vi的出次，用d+(vi)表示；以vi为终点的边数称为点vi 的入次， 用表示d-(vi) ；vi 点的出次和入次之和就是该点的次。 ※ 有向图中，所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。
高等数学中的图论与网络分析
高等数学作为大学数学教育的核心课程之一，包含了许多重要的数学概念和方法。
其中，图论与网络分析是高等数学中的一个重要分支，涉及了图的定义、图的性质以及与网络相关的问题的解决方法。
首先，让我们来了解一下什么是图。
在数学中，图是由若干个节点和连接这些节点的边组成的结构。
节点可以表示各种实体，如人、城市等，而边则表示节点之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
在有向图中，边具有方向，表示节点之间的单向关系；而在无向图中，边没有方向，表示节点之间的双向关系。
我们可以通过绘制节点之间的边来可视化地表示图的结构。
在高等数学中，我们主要研究的是无向图。
通过图的分析，我们可以更好地理解各种实体之间的相互关系。
例如，在社交网络中，可以用图来表示人与人之间的关系；在物流领域中，可以用图来表示商品与配送中心之间的联系。
通过对图的分析，可以帮助我们揭示隐藏在复杂关系中的规律，并为解决实际问题提供指导。
而图论是研究图的性质和图中问题的解决方法的一门学科。
通过图的性质分析，可以推断出图中节点之间的关系，比如节点的连通性、路径的存在性等。
图论中的常用概念包括度、连通图、路径等。
节点的度表示与该节点相连的边的数量，连通图指的是任意两个节点之间都存在路径的图，而路径则是指从一个节点到另一个节点所经过的边的序列。
借助这些概念，我们可以计算图的直径（即最长路径的长度）、聚类系数（表示节点之间的紧密联系程度）等指标，从而更好地了解图的结构。
在网络分析中，我们关注的是如何在真实世界中获得图的数据并对其进行分析。
近年来，随着互联网的发展，大量的网络数据被生成和存储。
通过网络分析，可以从这些数据中挖掘出有价值的信息。
例如，在社交网络中，可以通过分析用户之间的连接模式，了解人们的兴趣爱好和行为习惯；在生物学中，可以分析蛋白质相互作用网络，推断出未知蛋白质的功能等。
网络分析的方法包括社区发现、中心性分析、网络模型等。
这些方法可以帮助我们揭示网络结构中的规律和特征，并为决策者提供支持。
离散数学中的图论与网络分析
离散数学中的图论与网络分析离散数学是数学的一个分支，主要研究离散对象及其相互关系。
图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是由节点和边构成的图结构。
网络分析则是基于图论的方法，用于研究复杂系统中的关系和相互作用。
一、图论的基本概念和性质图是由节点和边构成的数学结构，节点代表对象，边代表节点之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图中的边有方向性，而无向图中的边没有方向性。
图的基本概念包括顶点、边、路径、回路等。
顶点是图中的节点，边是连接节点的线段。
路径是由一系列边连接的顶点序列，回路是起点和终点相同的路径。
图的性质有连通性、完全性、度数等。
连通性指图中任意两个节点之间都存在路径。
完全性指图中任意两个节点之间都存在边。
度数是指节点相连的边的数量。
二、图的表示方法图可以通过邻接矩阵和邻接表两种方法来表示。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示节点之间的关系。
邻接表则是通过链表的方式来表示节点之间的关系。
邻接矩阵适用于表示稠密图，因为它需要使用大量的空间来存储节点之间的关系。
邻接表适用于表示稀疏图，因为它只需要存储节点之间存在关系的信息。
三、图的算法图的算法包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS），最短路径算法，最小生成树算法等。
深度优先搜索是一种遍历图的算法，它从一个起始节点开始，沿着一条路径一直向下搜索，直到无法继续为止，然后回溯到前一个节点，继续搜索其他路径。
广度优先搜索则是逐层遍历图，先访问离起始节点最近的节点，然后依次访问距离起始节点更远的节点。
最短路径算法用于寻找两个节点之间的最短路径。
常用的最短路径算法有迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
迪杰斯特拉算法通过不断更新节点之间的距离来找到最短路径，而弗洛伊德算法则是通过动态规划的方式来计算任意两个节点之间的最短路径。
最小生成树算法用于找到一个连通图的最小生成树，即用最少的边连接图中的所有节点。
常用的最小生成树算法有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
图论与网络分析1-确定型网络计划
图论与网络分析1-确定型网络计划图论和网络分析在计划和管理中广泛应用。
在项目管理中，确定型网络计划是一种用于规划和控制复杂项目的有效工具。
本文将介绍确定型网络计划的基本概念和常见技术，以及图论和网络分析在此过程中的应用。
确定型网络计划是一种图形化方法，用于描述和控制项目的活动和资源之间的关系。
它可以帮助项目经理和团队成员确定项目中的关键路径、前后置关系以及资源分配等重要因素，从而有效地规划和管理项目进度。
确定型网络计划通常由节点（表示活动）和连接线（表示活动之间的依赖关系）组成，形成一个有向无环图（DAG）。
在确定型网络计划中，节点表示项目中的具体活动，连接线表示活动之间的依赖关系。
每个节点都有一个时间估计，即完成该活动所需的时间。
通过连接线可以确定活动之间的前后置关系，即某些活动必须在其他活动之前完成。
通过指定这些依赖关系，项目经理可以确定项目的关键路径，即完成整个项目所需的最长时间路径。
确定型网络计划中的关键路径是整个项目的关键，因为它决定了项目的最短时间。
如果关键路径中的任何一个活动延迟，整个项目的进度都会延迟。
因此，项目经理需要重点关注关键路径上的活动，确保其按计划进行。
图论和网络分析在确定型网络计划中起到了重要的作用。
图论是研究图及其性质的数学理论，可以提供分析和解决确定型网络计划中的复杂问题的方法。
网络分析是一种基于图论的数学模型，用于分析和优化网络中的活动和资源分配。
通过图论和网络分析，项目经理可以更好地理解和管理复杂项目中的活动和资源之间的关系。
在确定型网络计划中，项目经理可以利用图论和网络分析来计算关键路径、活动和资源的最佳分配，以及项目进度和资源利用率的优化。
通过确定关键路径，项目经理可以安排和分配资源，以确保项目按计划进行。
此外，图论和网络分析还可以帮助项目经理进行风险分析，预测项目完成时间和成本，并及时采取必要的措施。
综上所述，确定型网络计划是一种重要的项目管理工具，而图论和网络分析则是实现该方法的重要工具。
图论与网络分析
（Graph Theory and Network Analysis）
教学要求： 了解图论的基本概念，理论和方法以及应用 掌握欧拉道路、回路的判断和构造方法 掌握最小树以及最短路问题等模型及其基本算法。
图论起源
18世纪，哥尼斯堡城中有一条普雷格尔河，河上有七座桥将河中的 两个小岛与河岸连接起来。人们提出了这样的问题：一个散步者能否 从某地出发，走遍七桥且每座桥恰好经过一次，最后回到原地？ 陆地A 岛C
1, 当弧k以点i为始点 bik 1, 当弧k以点i为终点 0, 否则
关联矩阵示例
右图的关联矩阵是
1 1 2 1 3 0 4 0 5 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0
1 1
（其中eit (vit1 , vit )）为连接vi 0与vik的一条链。
4 4 5 5
e4
2 2
3 3
有向图G不考虑方向，同样定义链和圈， 若链、圈上弧方向相同时，称为道路、回路。
连通图
点i和j点是连通的：i,j之间存在一条链
G是连通的：G中任意两点都是连通的 不连通图可以分为若干连通子图，每个称
a) 深探法 例用深探法求出下图的一棵生成树
0 1 2
1
8 0 5 7 11 12 6
2 10 9 13
3 4
3
7
6 8 9 10 11 12 13 5
4
b)广探法 例用广探法求出下图的一棵生成树 步骤如下： i) 在点集V中任取一点u, 给u以标号0. ii) 令所有标号i的点集为 Vi,检查[Vi,V\Vi]中的边端点 是否均已标号. 对所有未标 号之点均标以i+1,记下这些 边. iii) 对标号i+1的点重复步 步骤ii)，直到全部点得到 标号为止.
管理运筹学 第七章图与网络分析
关系
对称的关系：甲与乙有这种关系，则乙与甲 也有这种关系，如两点之间的距离等。
不对称的关系：甲与乙有这种关系，但乙与 甲未必有这种关系：如两个人的认识关系， 比赛结果、交通路线中的单行线等。
关系的表示 对称的关系用边表示：e=[vi,vj]或e=[vj,vi] 不对称的关系用带箭头的弧表示：a=(vi,vj) 图的分类： 无向图：G=(V,E) 有向图：D=(V,A)
2
10
Step 1 从图G中任取一点vi, 让viS, 其余各点均包含在 S=V\S中。 Step 2 从（S,S)中选一条权最小的边e=vivj，加到T中。 Step 3 令S vjS, S\vjS，(将所选边的另一个顶点添 加到S中）。 Step 4 重复2、3两步，直到图中所有点均包含在S中为止。
v4
42
8
6
v2
7
v5
该问题就是要在赋权图中所有从v1到v8 的路中，找一条 权最小的路。称之为最短路。
其中路的权指路上所有边对应的权之和，又称为路长。
2. 最短路问题的Dijkstra算法
当边(弧)权wij 0 时，目前公认的求最短路的最好算法是 由Dijkstra于1959年提出的，称为Dijkstra算法。这个算 法事实上可以求出从一个给定的点到任意点的最短路。
回路：起点和终点相同的路称为回路。
（简单路回路）、初等路（回路）可以类似定义。
引例:自来水管道的铺设问题
校门A点(水源); 需要使用自来水的场所共有7个:
v1,v2,…,v7;
问题:为了各个场所都用上自来水,怎样铺设管道才 能使挖开的道路数目最少?
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
17
二、最小生成树问题的应用
解（参见教材P179）
18
第五节 最大流问题
最大流问题是一类应用极为广泛的问题。例如在交通 运输网络中有人流、车流、货物流，供水网络中有水 流，金融系统中有现金流，通信系统中有信息流，等 等。对于这些包含了流量问题的系统，往往要求求出 其系统的最大流量。
例如，某公路系统容许通过的最多车辆数、某供水系统的 最大水流量等，以便我们加深对某个系统的认识并加以改 造。
所谓最大流问题就是：给了一个带收发点的网络，其 每条弧的赋权称为容量，在不超过每条弧容量的前提 下，求出从发点到收点的最大流量。
19
一、最大流的数学模型
解（参见教材P181）
20
二、最大流问题的网络图论解法
(一)对网络上弧的容量的表示作改进
(二)求最大流的基本算法
21
第六节 最小费用最大流问题
解（参见教材P164）
例7-2 农夫、狼、羊、草过河问题。
有位农夫，携带一匹狼、一只羊和一挑草要过一条小河， 河中只有一条小船，一次摆渡农夫只能携带一样东西。当 农夫不在场时，狼要吃羊，羊要吃草。试问：农夫怎样才 能将这三样东西摆渡到对岸？至少要摆渡几次？
解（参见教材P165）
[M、W、S、G] [M、S] [M、W、S] [M、W、G] [M、S、G]
例如，在架设电话线、铺设自来水管道或 暖气管道的工程设计中会遇到如下的优化 问题：如何使通话点或者取水取暖点相互 连通，但总的线路长度最短。这类问题在 网络分析中称为最小生成树问题。
14
一、求解最小生成树问题的破圈算法和避圈算法
(一)树的概念和性质
v1 v2 v1 v4 v2 v4 v1
v8 v9
A T S R
B C D P
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
[W、G]
V8
[G]
V9
[S]
V10
[W]
[ ]
6
第二节 图论中的基本概念
7
第二节 图论中的基本概念
钱 (v2 )
a1 a2
在图7-6中“相互认识”用两条反向的弧来表示。
a8 a7
(v1 ) 赵
a4
a3
孙 (v3 )
李(v 4 )
a9
a5
2
第七章 图论与网络分析
运用图论中的分析技术可以解决现实世界的许多问题， 如交通网、管道网、通信网的优化以及工程进度安排 等问题。除此之外，还有很多问题，从表面上看似乎 与网络毫无关系，但实质上也可以用网络模型来描写， 例如设备更新的优化问题，就可以表述为网络分析中 的最短路问题。
通过学习本章，应当了解图与网络的基本概念；掌握 最短路问题、最大流问题和最小费用最大流问题的图 论解法，并会对管理中的实际问题进行分析判别其是 哪一类图论问题；学会运用WinQSB来求解经济管理 中的图与网络问题。
vi
(c ji , b ji )
(c)
vj
vi
(0, b ji )
(d)
vj
(c ji , b ji )
(二)求最小费用最大流的基本算法
24
第七节 中国邮递员问题 一、哥尼斯堡七桥问题与欧拉图
定理1 无向连通图G是欧拉图，当且仅当G中 无奇点。(证明从略) 定理2 连通有向图D是欧拉图，当且仅当它 每个顶点的出次等于入次。
22
一、最小费用最大流的数学模型
解（参见教材P186）
23
二、最小费用最大流的网络图论解法
(一)对网络上弧的容量和单位流量费用的表示 作改进
(cij , bij ) (cij , bij )
(0, bij )
vi
vj
vi
vj
(a)
(b)
(cij , bij )
(cij , bij )
(0, bij )
一个邮递员，负责某一地区的信件投递。 他每天要从邮局出发，走遍该地区所有 街道再返回邮局，问：应如何安排送信 的路线使所走的总路程最短？用图论的 语言来描述：给定一个连通图G，每边 有非负权，要求一条回路过每边至少一 次，且满足总权最小。
C
A
D
B
26
三、求解中国邮递员问题的奇偶点图作业 法及其改进
A A
C
D
C
D
B
B
4
一、图的基本概念及图的模型概述
1857年英国数学家哈密顿(Hamilton)发 明了一种游戏，他用一个实心正12面体 象征地球，正12面体的20个顶点分别 表示世界上20座城市，要求游戏者从任 一城市出发，寻找一条可经由每个城市 一次且仅一次再回到原出发点的路，这 就是“环球旅行”问题。它与七桥问题 不同，前者要在图中找一条经过每边一 次且仅一次的路，通称欧拉回路，而后 者是要在图中找一条经过每个点一次且 仅一次的路，通称为哈密尔顿回路。哈 密尔顿根据这个问题的特点，给出了一 种解法，如图7-2粗箭线所示。
3
第一节 图的基本概念及图的模型
一、图的基本概念及图的模型概述
瑞士数学家欧拉(E. Euler)在1736年发表了一篇题 为“依据几何位置的解题方法”的论文，有效地解 决了哥尼斯堡七桥难题，这是有记载的第一篇图论 论文，欧拉被公认为图论的创始人。18世纪的哥尼 斯堡城中流过一条河(普列格河)。河上有七座桥连 接着河的两岸和河中的两个小岛，如图7-1(a)所示。 欧拉将此问题归结为图7-1(b) ，这是一个用图的模 型来描述和解决实际问题的第一个著名例子。
在前面讨论的最大流问题中没有涉及费用问题。 但在实际生活中，各种物质的流都是与费用有 关的。如一辆载货汽车经过不同的路线，可能 要交不同的过路费、过桥费等，这样对于司机 来说就有一个到达某一目的地走哪条路线最省 钱的问题。最小费用最大流就是这样的问题。 所谓最小费用最大流问题就是：给了一个带收 发点的网络，对于每条弧，除了给出了容量外， 还给出了这条弧的单位流量的费用，要求一个 最大流F，并使得总运送费用最小。
(一)求解中国邮递员问题的奇偶点图作业法
(1) (2)
v2
4 1 2
5
如何构造第一个可行方案。 寻找改进的可行方案。
v2
4 1 2 1
5 5
v2
4
1
5
Байду номын сангаас
v3
2
3
v3
2
3
1 2 2 2
2
v3
2
3
1
2 2
v1
3 v 4 6
2 2
v6
v1
3 v 4 6
v6
v1
3 v4 6
v6
v2
3
v5
v5
v5
v1
v3
4
3
2 4
v3 v5 v7 v8
v3 v5 v8
v2 v4
v3 v5 v7
v6
v6 v9 v7
v6
(二)生成树和最小生成树
15
一、求解最小生成树问题的破圈算法和避圈算法
(三)求解最小生成树的破圈算法和避圈算 法
1．破圈法
具体步骤如下。
(1) 在给定的赋权的连通图上任找一个圈。 (2) 在所找的圈中去掉一条权数最大的边(如 果有两条或两条以上的边都是权数最大的边，则 任意去掉其中一条)。 (3) 如果所余下的图已不含圈，则计算结束， 所余下的图即为最小生成树。否则返回步骤(1)。
a6 a10
a11
陈(v7 )
周 ( v5 )
吴(v6 )
a13
a12
8
第三节 最短路问题
9
一、求解最短路问题的狄克斯托算法
10
一、求解最短路问题的狄克斯托算法
11
二、最短路问题的应用
解（参见教材P171）
12
二、最短路问题的应用
解（参见教材P173）
13
第四节 最小生成树问题
树是图论中结构最简单但又十分重要的图， 在自然科学和社会科学的许多领域都有广 泛的应用。
(二)奇偶点图作业法的改进方法
2
3 5
v6
2 v4 4
v5
27
第八节 图论问题的WinQSB求解
下面通过例子来说 明用WinQSB软件来 求解图论的问题。
28
一、最小生成树问题
解（参见教材P195）
29
二、设备更新问题
解（参见教材P196）
30
三、最大流问题
例7-13 图7-51所示某公司的生产基地位于节点 1处，现在要将产品销往节点6处。在节点1和 节点6之间存在如图7-51所示的交通网，每条弧 线(i，j)表示从i到j的运输线，它的权数表示该 运输线的最大运输能力，单位为“吨/天”。制 定一个运输方案，使得从生产基地1到销地6的 运输能力最大。 2
解（参见教材P197）
1 12 20 10 4 25 5 10 12 3 5 25 6 24
31
四、最小费用最大流问题
解（参见教材P198）
32
习
题
参见教材P200
16
一、求解最小生成树问题的破圈算法和避圈算法 2．避圈法
初始选一条最小权的边，以后每一步中总从未被选 取的边中选一条权最小的边，并使之与已选取的边 不构成圈(每一步中，如果有两条或两条以上的边 都是权最小的边，则从中任选一条)。具体步骤如 下。
(1) 在给定的赋权的连通图上选取一条最小权的边。 (2) 从未被选取的边中选取一条权最小的边，并使之 与已选取的边不构成圈。如果有两条或两条以上的 边都是权最小的边，则从中任选一条。 (3) 重复步骤(2)。如果这样的边不存在，则计算结 束。
与七桥问题类似的还有一笔画的问题。给出 一个图形，要求判定是否可以一笔画出。一 种是经过每边一次且仅一次到另一点停止， 另一种是经过每边一次且仅一次回到原出发 点。这两种情况可分别用欧拉道路和欧拉回 路的判定条件加以解决。