空间立体图形与其三视图

(完整word版)(经典整理)空间几何体的结构、三视图和直观图

1．多面体的结构特征2．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3.空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．【知识拓展】1．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形． 2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．( × ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( × ) (5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( × ) (6)菱形的直观图仍是菱形．( × )1．(教材改编)下列说法正确的是( ) A ．相等的角在直观图中仍然相等 B ．相等的线段在直观图中仍然相等 C ．正方形的直观图是正方形D ．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案 D解析由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．2．(2016·天津)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为()答案 B解析由正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图所示，故该几何体的侧视图为选项B.3．(教材改编)如图，直观图所表示的平面图形是()A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形答案 D解析由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后原图AC∥y轴，BC∥x轴．直观图还原为平面图形是直角三角形．故选D.4．(2016·长春三模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．20B ．18C ．14＋2 3D ．14＋2 2 答案 A解析由三视图可得该几何体的直观图如图所示，其为一个正方体截掉4个角后形成的几何体，故该几何体的表面积为S ＝2×2＋2×2＋4×12×2×2＋4×12×2×22＋12＝20.5．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是________．答案143解析由四棱台的三视图可知，台体上底面面积S 1＝1×1＝1，下底面面积S 2＝2×2＝4，高h ＝2，代入台体的体积公式V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h ＝13×(1＋1×4＋4)×2＝143.题型一空间几何体的结构特征例1 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③存在每个面都是直角三角形的四面体；④棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．答案②③④解析①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知．思维升华(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．(1)以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3(2)给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．其中不正确的命题为________．答案(1)B(2)①②③解析(1)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以，故选B.(2)对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，侧棱垂直于底面，故④正确．综上，命题①②③不正确．题型二简单几何体的三视图命题点1 已知几何体，识别三视图例2 (2016·济南模拟)如图，多面体ABCD －EFG 的底面ABCD 为正方形，FC ＝GD ＝2EA ，其俯视图如图所示，则其正视图和侧视图正确的是( )答案 D解析正视图的轮廓线是矩形DCFG ，点E 在平面DCFG 上的投影为DG 的中点，且边界BE ，BG 可视，故正视图为选项B 或D 中的正视图，侧视图的轮廓线为直角梯形ADGE ，且边界BF 不可视，故侧视图为选项D 中的侧视图，故选D. 命题点2 已知三视图，判断几何体的形状例3 (2016·全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π 答案 A解析由该几何体的三视图可知，这个几何体是把一个球挖掉它的18得到的(如图所示)．设该球的半径为R ，则78×43πR 3＝283π，得R ＝2.所以它的表面积为4π×22－18×4π×22＋3×14×π×22＝17π.故选A.命题点3 已知三视图中的两个视图，判断第三个视图例4 (2016·石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该棱锥的侧视图可能为( )答案 D解析由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD ⊥平面BCD ，故选D.思维升华三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(1)(2016·全国丙卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A．18＋36 5 B．54＋18 5C．90 D．81(2)如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，则该几何体的侧视图为()答案(1)B(2)B解析(1)由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3,3，45，几何体的表面积S＝3×6×2＋3×3×2＋3×45×2＝54＋18 5.(2)由直观图、正视图和俯视图可知，该几何体的侧视图应为面P AD，且EC投影在面P AD上，故B正确．题型三空间几何体的直观图例5(1)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a2(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形答案(1)D(2)C解析(1)如图①②所示的实际图形和直观图，由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝22O′C′＝68a.所以S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2.故选D.(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2 cm.∴OC ＝OD 2＋CD 2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形．故选C.思维升华用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中与x ′轴或y ′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．如图所示，△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，且△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，则△ABC 的面积为________．答案62a 2解析建立如图所示的坐标系xOy ″，△A ′B ′C ′的顶点C ′在y ″轴上，边A ′B ′在x 轴上，把y ″轴绕原点逆时针旋转45°得y 轴，在y 轴上取点C 使OC ＝2OC ′，A ，B 点即为A ′，B ′点，长度不变．已知A ′B ′＝A ′C ′＝a ，在△OA ′C ′中，由正弦定理得OC ′sin ∠OA ′C ′＝A ′C ′sin 45°，所以OC ′＝sin 120°sin 45°a ＝62a ，所以原三角形ABC 的高OC ＝6a ，所以S△ABC＝12×a×6a＝62a2.10．空间几何的三视图典例将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为()错解展示解析结合正方体中各顶点投影，侧视图应为一个正方形，中间两条对角线．答案 C现场纠错解析侧视图中能够看到线段AD1，应画为实线，而看不到B1C，应画为虚线．由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故应选B.答案 B纠错心得确定几何体的三视图要正确把握投影方向，可结合正方体确定点线的投影位置，要学会区分三视图中的实虚线.1.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是()A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d答案 A解析当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.2．(2016·全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20π B．24π C．28π D．32π答案 C解析由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l＝(23)2＋22＝4π×4＝16π，所以组＝4，所以圆锥的侧面积为S锥侧＝12×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S柱侧合体的表面积S＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.3．(2016·大连一模)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P －A1B1A的侧视图是()答案 D解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中，从左侧看三棱锥P－A1B1A，B1、A1、A的投影分别是C1、D1、D；AB1的投影为C1D，且为实线，P A1的投影为PD1，且为虚线．故选D. 4．(2015·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A．1 B. 2 C. 3 D．2答案 C解析根据三视图，可知该几何体的直观图为如图所示的四棱锥V－ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝ 3.5．(2017·黄山质检)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图为()答案 C解析根据一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图可得几何体的直观图为所以侧视图为故选C.6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是________．(填序号)答案①解析由题意知，平面图形的直观图为正方形，且边长为1，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2 2.7.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P －ABC 的正视图与侧视图的面积的比值为________．答案 1解析设正方体的棱长为a ，则三棱锥P －ABC 的正视图与侧视图都是三角形，且面积都是12a 2，故面积的比值为1.8．(2015·北京改编)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是________．答案 2＋2 5解析由三视图可得该三棱锥的直观图如图所示，其中P A ＝1，BC ＝2，取BC 的中点M ，连接AM ，MP ，则AM ＝2，AM ⊥BC ，故AC ＝AB ＝BM 2＋AM 2＝1＋4＝5，由正视图和侧视图可知P A ⊥平面ABC ，因此可得PC ＝PB ＝P A 2＋AB 2＝1＋5＝6，PM ＝P A 2＋AM 2＝1＋4＝5，所以三棱锥的表面积为S △ABC ＋S △P AB ＋S △P AC ＋S △PBC ＝12×2×2＋12×5×1＋12×5×1＋12×2×5＝2＋2 5.9．某几何体的三视图如图所示．(1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．解 (1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体．(2)直观图如图所示．10．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，求a ＋b 的最大值．解如图，把几何体放到长方体中，使得长方体的体对角线刚好为几何体的已知棱，则长方体的体对角线A 1C ＝7，则它的正视图投影长为A 1B ＝6，侧视图投影长为A 1D ＝a ，俯视图投影长为A 1C 1＝b ，则a 2＋b 2＋(6)2＝2·(7)2，即a 2＋b 2＝8，又a ＋b2≤ a 2＋b 22，当且仅当“a ＝b ＝2”时等号成立．所以a ＋b ≤4，即a ＋b 的最大值为4.*11.已知正三棱锥V －ABC 的正视图和俯视图如图所示．(1)画出该正三棱锥的侧视图和直观图； (2)求出侧视图的面积．解 (1)如图．(2)侧视图中VA ＝ 42－(23×32×23)2＝12＝23，则S △VBC ＝12×23×23＝6.。

人教版空间几何体的三视图(共54张PPT)教育课件

(3)作图时能看见的轮廓线和棱用实线表示，
不能看见的用虚线表示.
2.简单几何体的三视图练习1 请你画出圆柱的三视图
俯
正视图
侧视图
左
俯视图
圆柱
圆柱的正视图和侧视图都是矩形，俯视图为圆。
练习2
请你画出圆锥的三视图
俯
左
正视图
侧视图
•
圆锥的正视图和侧视图都是三角形，
俯视图为圆和圆心一点。
俯视图
练习3 请你画出圆台的三视图
皮影戏表演
手影表演
小结
中心投影:投射线交于一点
投影的分类斜投影
平行投影投射线平行正投影(本节主要学习利用正投影绘制空间图形的三视图,并能根据所给的三视图了解该空间图形的基本特征)
猜猜他们是什么关系？
看事物不能只看单方面
1.2.2 空间几何体的三视图
(2)画底面 .以 O为中心 ,在 x轴上取线段 MN,使 MN=4 cm;在轴上取线段 PQ,使 PQ=1.5cm;分别过点 M和 N作 y轴的平行线 ,过点 P和 Q作 x轴的平行线 ,设它们的交点分别为 A,B, C,D,四边形 ABCD就是长方形的底面 ABCD
例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
(1)在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X轴，对称轴MN 所在直线为Y轴，两轴交于点O．画对应的 X ' ,Y ' 轴，两轴相交于点 O ' ，使 X'O Y'45
y
F
ME
y'
A
O
D

空间几何体的结构特征及三视图和直观图(含解析)

归纳与技巧：空间几何体的结构特征及三视图和直观图基础知识归纳一、多面体的结构特征二、旋转体的形成三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．四、平行投影与直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．五、三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．基础题必做1．(教材习题改编)以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析：选A B中正方体的放置方向不明，不正确．C中三视图不全是正三角形．D中俯视图是两个同心圆．2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是() A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．3．下列三种叙述，其中正确的有()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选A①中的平面不一定平行于底面，故①错．②③可用下图反例检验，故②③不正确．4．(教材习题改编)利用斜二测画法得到的：①正方形的直观图一定是菱形；②菱形的直观图一定是菱形；③三角形的直观图一定是三角形．以上结论正确的是________．解析：①中其直观图是一般的平行四边形，②菱形的直观图不一定是菱形，③正确．答案：③5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．解析：由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③.答案：③解题方法归纳1.正棱柱与正棱锥(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：①侧棱垂直于底面；②底面是正多边形．(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，②底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．2．对三视图的认识及三视图画法(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．3．对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．空间几何体的结构特征典题导入[例1]下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线[自主解答]A错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图2，若△ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；图1图2C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．[答案] D解题方法归纳解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，并会通过反例对概念进行辨析．举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱台等，也可利用它们的组合体去判断．以题试法1．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：选B如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．几何体的三视图典题导入[例2]某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()[自主解答]根据几何体的三视图知识求解．由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是C.[答案] C解题方法归纳三视图的长度特征三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”．[注意]画三视图时，要注意虚、实线的区别．以题试法2．(1) 如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的()解析：选D由俯视图排除B、C；由正视图、侧视图可排除A.(2)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为()A．22B．4C. 3 D．2 3解析：选D依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为2，3的矩形，故其面积是2 3.几何体的直观图典题导入[例3]已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．[自主解答]建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，OC 为△ABC 的高．把y ′轴绕原点逆时针旋转45°得y 轴，则点C ′变为点C ，且OC ＝2OC ′，A ，B 点即为A ′，B ′点，长度不变．已知A ′B ′＝A ′C ′＝a ，在△OA ′C ′中，由正弦定理得OC ′sin ∠OA ′C ′＝A ′C ′sin 45°，所以OC ′＝sin 120°sin 45° a ＝62 a ，所以原三角形ABC 的高OC ＝6a . 所以S △ABC ＝12×a ×6a ＝62a 2.解题方法归纳用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图形与直观图中的“三变、三不变”． “三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行线段的长度改变，图形改变；“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不变，与x 轴平行的线段长度不变，相对位置不变.以题试法3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋2 B.1＋22C.2＋22D ．1＋ 2解析：选A 恢复后的原图形为一直角梯形 S ＝12(1＋2＋1)×2＝2＋ 2.1．如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是()A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④解析：选A①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形．2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()解析：选C C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是()解析：选B 由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面P AD ，且EC 投影在面P AD 上，故B 正确．5.如图△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，那么△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形解析：选B 由斜二测画法知B 正确．6．一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A ．2＋ 3B ．1＋ 3C ．2＋2 3D ．4＋ 3解析：选D 依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋ 3.7．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号)①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆．解析：如图1所示，直三棱柱ABE －A 1B 1E 1符合题设要求，此时俯视图△ABE 是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1符合题设要求，此时俯视图△ABC 是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD )是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin 60°×2－13×12×2×2sin 60°×1＝533.答案：5339．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而P A ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2 210．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．11．正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形的高)．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中，高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7，在Rt △SOA 中，OA ＝SA 2－OS 2＝2，∴AC ＝4.∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2.作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点．连接SE ，则SE 即为斜高，在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3， ∴SE ＝5，即棱锥的斜高为 5.12．已知正三棱锥V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．解：(1)三棱锥的直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23，∴侧视图中VA ＝ 42－⎝⎛⎭⎫23×32×232 ＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.1．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )A ．2 3B ．3 C. 3 D ．4解析：选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.2．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，已知AB ＝2，AE ＝BE ＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD 时，该几何体的侧视图的面积为22.若M ，N 分别是线段DE ，CE 上的动点，则AM ＋MN ＋NB 的最小值为________．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于(3)2－⎝⎛⎭⎫222＝2，因为该几何体的左侧视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB 2＝AE 2＋BE 2－2AE ·BE cos 120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3. 答案：33．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a 的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC ，BD 交于点O ，E 为线段AA 1的中点，求证：OE ∥平面A 1C 1C ；(3)求该多面体的表面积．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE .∵E 为AA 1的中点，O 为AC 的中点，∴在△AA 1C 中，OE 为△AA 1C 的中位线．∴OE ∥A 1C .∵OE ⊄平面A 1C 1C ，A 1C ⊂平面A 1C 1C ，∴OE ∥平面A 1C 1C .(3)多面体表面共包括10个面，S ABCD ＝a 2，SA 1B 1C 1D 1＝a 22， S △ABA 1＝S △B 1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD 1＝a 22， S △AA 1D 1＝S △B 1A 1B ＝S △C 1B 1C ＝S △DC 1D 1＝12×2a 2×32a 4＝3a 28， ∴该多面体的表面积S ＝a 2＋a 22＋4×a 22＋4×3a 28＝5a 2.1．有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是( )A ．1B.322C. 2D. 3解析：选D 如图所示是棱长为1的正方体．当投影线与平面A 1BC 1垂直时，∵面ACD 1∥面A 1BC 1， ∴此时正方体的正投影为一个正六边形．设其边长为a ，则3a＝2，∴a ＝63. ∴投影面的面积为6×34×⎝⎛⎭⎫632＝ 3. 此时投影面积最大，故D 正确．2．如图，△ABC 与△ACD 都是等腰直角三角形，且AD ＝DC＝2，AC ＝BC .平面ACD ⊥平面ABC ，如果以平面ABC 为水平平面，正视图的观察方向与AB 垂直，则三棱锥D －ABC 的三视图的面积和为________．解析：由题意得AC ＝BC ＝22，AB ＝4，△ACD 边AC 上的高为2，正视图的面积是12×4×2＝22，侧视图的面积是12×2×2＝2，俯视图的面积是12×22×22＝4，所以三视图的面积和为4＋3 2. 答案：4＋3 23．已知正三棱柱ABC －A ′B ′C ′的正视图和侧视图如图所示，设△ABC ，△A ′B ′C ′的中心分别是O ，O ′，现将此三棱柱绕直线OO ′旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度(x 可以取到任意一个实数)，对应的俯视图的面积为S (x )，则函数S (x )的最大值为________；最小正周期为________．(说明：“三棱柱绕直线OO ′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角．)解析：由题意可知，当三棱柱的一个侧面在水平面内时，该三棱柱的俯视图的面积最大．此时俯视图为一个矩形，其宽为3×tan 30°×2＝2，长为4，故S (x )的最大值为8.当三棱柱绕OO ′旋转时，当A 点旋转到B点，B 点旋转到C 点，C 点旋转到A 点时，所得三角形与原三角形重合，故S (x )的最小正周期为2π3. 答案：82π3。

空间几何体的三视图和直观图 ppt课件

斜投影在实际中用的比较少，其特点是直观性强，但作图比较麻烦，也不能反映物体的真实形状，在作图中只是作为一种辅助图样．
01.05.2020 17:05:56 云在漫步
三角板在中心投影和不同方向的平行投影下的投影效果
S
投射方向
物体上某一点与其投影面上的投影点的连线是平行的，则为平行投影，如果聚于一点，则为中心投影．
01.05.2020 17:06:09 云在漫步
1 画轴 . 画 x 轴 , y 轴 , z 轴 , 三轴交于点 O , 使 x O y = 4 5 o , x O z 9 0 o .
(2)画底面 .以 O为中心 ,在 x轴上取线段 MN,使 MN=4 cm;在轴上取线段 PQ,使 PQ=1.5cm;分别过点 M和 N作 y轴的平行线 ,过点 P和 Q作 x轴的平行线 ,设它们的交点分别为 A,B, C,D,四边形 ABCD就是长方形的底面 ABCD
01.05.2020 17:05:55 云在漫步
01.05.2020 17:05:56 云在漫步
如果将投影中心移到无穷远处，则所有的投影线都相互平行，这种投射线为平行线时的投影称为平行投影．
正投影：投射线垂直于投影面
斜投影：投射线倾斜于投影面
正投影能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较方便，在作图中应用最广泛．
01.05.2020 17:05:55 云在漫步
从图中可以看出，空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线．
中心投影后的图形与原图形相比，虽然改变很多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最象原来的物体．所以在绘画时，经常使用这种方法，但在立体几何中很少用中心投影原理来画图．

空间立体几何体的结构及其三视图和直观图(学生版)

4
一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)
1．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是( )
A．球
B．三棱锥
C．正方体
D．圆柱
2．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个( )
[典例]将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥，得到如图 2 所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )
5．一个几何体的三视图如图所示，其正视图的面积等于 8，俯视图是一个面积为 4 3的正三角形，则其侧
视图的面积为( )
A．4 3
B．8 3
C．8 2
D．4
6．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
7．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PC 与底面垂直．若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长为 1 的等腰直角三角形，则该四棱锥中最长的棱的长度为( )
1
培优资料&秘密
[自测·牛刀小试] 1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．圆柱，圆锥，球体的组合体 2．(教材习题改编)如图所示的几何体是棱柱的有( )
[例 2] (1)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )
1．空间几何体的结构特征 ①棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是互相平行且全等的多边形
多面体 ②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形 ③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相互平行且相似的多边形 ①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到 ②圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到
A．1

空间几何体的三视图和直观图课件

C
A
B
y C
M
A
OBx
S
C
A
B
思考3:画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤进行？
画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图
例3 如图已知几何体的三视图，用斜二测画法画
出它的直观图.
正视图
侧视图
俯视图
分析：由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体.它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合.我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥.
（难点)
探究点1 中心投影与平行投影
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．
观察下列投影图,并将它们进行比较.
B′
中心投影我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心
投影．中心投影的投影线交于一点．
遮挡住的线用虚线表示.
例1 画出如图所示物体的正视图. 【解析】该物体可以看作是从长方体中切掉一部分后，再挖去一个三棱柱得到的组合体.
正视图
【变式练习】改一改：某同学画的下图物体的三视图，对吗？若有错，请指出并改正.
俯视
侧视正视
正视图对侧视图错
俯视图错
【提升总结】三视图的作图步骤
斜二测画法
(二) 空间几何体的直观图的画法
思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观图，可用斜二测画法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用一个坐标确定底面外的点的位置？
y
o
x
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、 2 cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.

空间几何体结构及其三视图.pdf

【考点梳理】考点一、空间几何体的结构及其三视图和直观图
1、多面体的结构特征（1）棱柱（以三棱柱为例）如图：平面 ABC 与平面 A1B1C1 间的关系是平行，Δ ABC 与Δ A1B1C1 的关系是全等。各侧棱之间的关系是：A1A∥B1B∥C1C，且 A1A=B1B=C1C。（2）棱锥（以四棱锥为例）如图：一个面是四边形，四个侧面是有一个公共顶点的三角形。
（3）设棱（圆）台的上、下底面积分别为 S’，S，高为 h，则体积 V= 1 （ S' + S'S +S）h; 3
（4）设球半径为 R，则球的体积 V= 4 π R3 。 3
要点诠释：
1、对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体进行解决。
2、重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型． 3、要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图．【典型例题】
【变式 1】例 1、下面是关于四棱锥的四个命题：
① 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
② 若两个过相对侧棱的截面都垂直与底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③ 若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
④ 若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱。
其中，真命题的编号是
（写出所有真命题的编号）。
2 / 21
（1）原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x’轴、y’轴的夹角为 45o（或 135o），z’轴与 x’轴和 y’轴所在平面垂直；
（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行。平行于 x 轴和 z 轴的线段长度在直观图不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中减半。

1.2空间几何体的直观图和三视图

(1) 四棱柱 (2) 圆锥与半球组成的简单组合体 (3) 四棱柱与球组成的简单组合体
(4) 两个圆台组成的简单组合体
2.根据下列三视图，想象对应的几何体．
三棱柱
圆台
四棱柱
四棱柱与圆柱组成的简单组合体
5.如图，已知几何体的三视图，想象对应的几何体的结构特征

图片都是空间图形在平面上的反映，通过对图片的研究可以了解空间图形的一些性质和特征．
2以O为中心,在X上取AD=AD，在y轴上取
1 MN= MN . 以点N 为中心,画BC平行于x轴, 2 并且等于BC;再以M为中心,画EF平行于x轴, 并且等于EF.
y
F
M
E
y
A
B
O
D
x
A
B
F M E
N
O
D
C
x
N C
注意：水平放置的线段长不变，垂直放置的线段长变为原来的一半．
三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法，但三视图的直观性较差，因此有必要绘制空间图形的直观图．一般采用中心投影或平行投影．
在中心投影中，水平线(或垂直线)仍保持水平(或垂直)，但斜的平行线则会相交，交点称为消点．
中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图较复杂，又不易度量．
立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图，这种画法叫斜二测画法．投影规律 1.平行性不变，但形状、长度、夹角会改变； 2.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变； 3.在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投影长不变．
在中心投影中，如果改变物体与投射中心或投影面之间的距离、位置，则其投影的大小也随之改变．
如果将投影中心移到无穷远处，则所有的投影线都相互平行，这种投射线为平行线时的投影称为平行投影．正投影：投射线垂直于投影面（形状大小不变）斜投影：投射线倾斜于投影面（形状大小可能改变）

空间几何体的结构、三视图和直观图讲义

空间几何体的结构、三视图和直观图讲义一、知识讲义1．多面体的结构特征2．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线(1)三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．注意：1．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧ 坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧ 平行性不改变与x ，z 轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．( )(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( )(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( )(6)菱形的直观图仍是菱形．( )题组二：教材改编2．下列说法正确的是( )A ．相等的角在直观图中仍然相等B ．相等的线段在直观图中仍然相等C ．正方形的直观图是正方形D ．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行3．[P8T1]在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号)题组三：易错自纠4．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )A ．圆柱B ．圆锥C ．四面体D ．三棱柱5．将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )6.正三角形AOB 的边长为a ，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则它的直观图的面积是________．三、典型例题题型一：空间几何体的结构特征1．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．32．以下命题：①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3思维升华：(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一反例即可．(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．题型二：简单几何体的三视图命题点1：已知几何体，识别三视图典例(2017·贵州七校联考)如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤命题点2：已知三视图，判断几何体的形状典例某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10 B．12C．14 D．16命题点3已知三视图中的两个视图，判断第三个视图典例一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下列选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()思维升华：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．跟踪训练(1)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A．90π B．63π C．42π D．36π(2)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是()题型三空间几何体的直观图典例已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．思维升华：斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．跟踪训练有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．四、反馈练习1．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱2．如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为()A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．三棱台3．“牟合方盖”(如图1)是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图2所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是()A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P－A1B1A的侧视图是()5．一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()6．一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图为()7．如图所示，在三棱锥D—ABC中，已知AC＝BC＝CD＝2，CD⊥平面ABC，∠ACB＝90°.若其正视图、俯视图如图所示，则其侧视图的面积为()A. 6 B．2C. 3D.28.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是()9.一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC的面积为________．10.如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P—BCD的正视图与侧视图的面积之比为________．11．如图，点O为正方体ABCD—A′B′C′D′的中心，点E为平面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的射影可能是________．(填出所有可能的序号)12．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的六条棱的长度中，最大的是________．13．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是()A．8 B．7C．6 D．5。

空间几何体的结构特征及三视图和直观图(含解析)

归纳与技巧：空间几何体的结构特征及三视图和直观图基础知识归纳一、多面体的结构特征二、旋转体的形成三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．四、平行投影与直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．五、三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．基础题必做1．(教材习题改编)以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析：选A B中正方体的放置方向不明，不正确．C中三视图不全是正三角形．D中俯视图是两个同心圆．2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是() A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．3．下列三种叙述，其中正确的有()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选A①中的平面不一定平行于底面，故①错．②③可用下图反例检验，故②③不正确．4．(教材习题改编)利用斜二测画法得到的：①正方形的直观图一定是菱形；②菱形的直观图一定是菱形；③三角形的直观图一定是三角形．以上结论正确的是________．解析：①中其直观图是一般的平行四边形，②菱形的直观图不一定是菱形，③正确．答案：③5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．解析：由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③.答案：③解题方法归纳1.正棱柱与正棱锥(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：①侧棱垂直于底面；②底面是正多边形．(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，②底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．2．对三视图的认识及三视图画法(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．3．对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．空间几何体的结构特征典题导入[例1]下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线[自主解答]A错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图2，若△ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；图1图2C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．[答案] D解题方法归纳解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，并会通过反例对概念进行辨析．举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱台等，也可利用它们的组合体去判断．以题试法1．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：选B如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．几何体的三视图典题导入[例2]某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()[自主解答]根据几何体的三视图知识求解．由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是C.[答案] C解题方法归纳三视图的长度特征三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”．[注意]画三视图时，要注意虚、实线的区别．以题试法2．(1) 如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的()解析：选D由俯视图排除B、C；由正视图、侧视图可排除A.(2)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为()A．22B．4C. 3 D．2 3解析：选D依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为2，3的矩形，故其面积是2 3.几何体的直观图典题导入[例3]已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．[自主解答]建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，OC 为△ABC 的高．把y ′轴绕原点逆时针旋转45°得y 轴，则点C ′变为点C ，且OC ＝2OC ′，A ，B 点即为A ′，B ′点，长度不变．已知A ′B ′＝A ′C ′＝a ，在△OA ′C ′中，由正弦定理得OC ′sin ∠OA ′C ′＝A ′C ′sin 45°，所以OC ′＝sin 120°sin 45° a ＝62 a ，所以原三角形ABC 的高OC ＝6a . 所以S △ABC ＝12×a ×6a ＝62a 2.解题方法归纳用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图形与直观图中的“三变、三不变”． “三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行线段的长度改变，图形改变；“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不变，与x 轴平行的线段长度不变，相对位置不变.以题试法3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋2 B.1＋22C.2＋22D ．1＋ 2解析：选A 恢复后的原图形为一直角梯形 S ＝12(1＋2＋1)×2＝2＋ 2.1．如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是()A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④解析：选A①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形．2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()解析：选C C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是()解析：选B 由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面P AD ，且EC 投影在面P AD 上，故B 正确．5.如图△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，那么△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形解析：选B 由斜二测画法知B 正确．6．一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A ．2＋ 3B ．1＋ 3C ．2＋2 3D ．4＋ 3解析：选D 依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋ 3.7．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号)①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆．解析：如图1所示，直三棱柱ABE －A 1B 1E 1符合题设要求，此时俯视图△ABE 是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1符合题设要求，此时俯视图△ABC 是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD )是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin 60°×2－13×12×2×2sin 60°×1＝533.答案：5339．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而P A ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2 210．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．11．正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形的高)．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中，高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7，在Rt △SOA 中，OA ＝SA 2－OS 2＝2，∴AC ＝4.∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2.作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点．连接SE ，则SE 即为斜高，在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3， ∴SE ＝5，即棱锥的斜高为 5.12．已知正三棱锥V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．解：(1)三棱锥的直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23，∴侧视图中VA ＝ 42－⎝⎛⎭⎫23×32×232 ＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.1．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )A ．2 3B ．3 C. 3 D ．4解析：选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.2．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，已知AB ＝2，AE ＝BE ＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD 时，该几何体的侧视图的面积为22.若M ，N 分别是线段DE ，CE 上的动点，则AM ＋MN ＋NB 的最小值为________．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于(3)2－⎝⎛⎭⎫222＝2，因为该几何体的左侧视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB 2＝AE 2＋BE 2－2AE ·BE cos 120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3. 答案：33．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a 的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC ，BD 交于点O ，E 为线段AA 1的中点，求证：OE ∥平面A 1C 1C ；(3)求该多面体的表面积．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE .∵E 为AA 1的中点，O 为AC 的中点，∴在△AA 1C 中，OE 为△AA 1C 的中位线．∴OE ∥A 1C .∵OE ⊄平面A 1C 1C ，A 1C ⊂平面A 1C 1C ，∴OE ∥平面A 1C 1C .(3)多面体表面共包括10个面，S ABCD ＝a 2，SA 1B 1C 1D 1＝a 22， S △ABA 1＝S △B 1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD 1＝a 22， S △AA 1D 1＝S △B 1A 1B ＝S △C 1B 1C ＝S △DC 1D 1＝12×2a 2×32a 4＝3a 28， ∴该多面体的表面积S ＝a 2＋a 22＋4×a 22＋4×3a 28＝5a 2.1．有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是( )A ．1B.322C. 2D. 3解析：选D 如图所示是棱长为1的正方体．当投影线与平面A 1BC 1垂直时，∵面ACD 1∥面A 1BC 1， ∴此时正方体的正投影为一个正六边形．设其边长为a ，则3a＝2，∴a ＝63. ∴投影面的面积为6×34×⎝⎛⎭⎫632＝ 3. 此时投影面积最大，故D 正确．2．如图，△ABC 与△ACD 都是等腰直角三角形，且AD ＝DC＝2，AC ＝BC .平面ACD ⊥平面ABC ，如果以平面ABC 为水平平面，正视图的观察方向与AB 垂直，则三棱锥D －ABC 的三视图的面积和为________．解析：由题意得AC ＝BC ＝22，AB ＝4，△ACD 边AC 上的高为2，正视图的面积是12×4×2＝22，侧视图的面积是12×2×2＝2，俯视图的面积是12×22×22＝4，所以三视图的面积和为4＋3 2. 答案：4＋3 23．已知正三棱柱ABC －A ′B ′C ′的正视图和侧视图如图所示，设△ABC ，△A ′B ′C ′的中心分别是O ，O ′，现将此三棱柱绕直线OO ′旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度(x 可以取到任意一个实数)，对应的俯视图的面积为S (x )，则函数S (x )的最大值为________；最小正周期为________．(说明：“三棱柱绕直线OO ′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角．)解析：由题意可知，当三棱柱的一个侧面在水平面内时，该三棱柱的俯视图的面积最大．此时俯视图为一个矩形，其宽为3×tan 30°×2＝2，长为4，故S (x )的最大值为8.当三棱柱绕OO ′旋转时，当A 点旋转到B点，B 点旋转到C 点，C 点旋转到A 点时，所得三角形与原三角形重合，故S (x )的最小正周期为2π3. 答案：82π3。

空间 立体图形与其三视图

(完整word版)(经典整理)空间几何体的结构、三视图和直观图

人教版空间几何体的三视图(共54张PPT)教育课件

空间几何体的结构特征及三视图和直观图(含解析)

空间几何体的三视图和直观图 ppt课件

空间立体几何体的结构及其三视图和直观图(学生版)

空间几何体的三视图和直观图课件

空间几何体结构及其三视图.pdf

1.2空间几何体的直观图和三视图

空间几何体的结构、三视图和直观图讲义

空间几何体的结构特征及三视图和直观图(含解析)

空间立体图形与其三视图