【数学】3.1.2瞬时变化率(3)导数的概念(苏教版选修1-1)PPT课件
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2018年高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.2 瞬时变化率-导数课件9 苏教版选修1-1
再求出lim
x 0
f 2x 7 x
它说明在第2（h)附近，原油 温度大约以3 0C/h的速度下降； 在第6（h)附近，原油温度大 约以5 0C/H的速度上升。
练习：
• 1．质点运动规律为 ，求质点在 的瞬时速度 为． • 2．求曲线y=f(x)=x3 在 时的导数． • 3．例2中， 计算第 时和第 时，原油温度的瞬 时变化率，并说明它们的意义．
小结：
• 1求物体运动的瞬时速度：
（1）求位移增量Δ s=s(t+Δ t)-s(t)
s (2)求平均速度 v ; t s s (t （3）求极限 lim t lim
x 0 x 0
t ) s (t ) . t
• 1由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
• 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
h ( t t ) h ( t ) 0 0 lim t 0 t
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
问题:
• 求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１) =6Δx+(Δx)2
s
应用：
• 例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不 同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第 x(h)时，原油的温度（单位：0C）为 f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6 （h）时，原由温度的瞬时变化率，并说明它们 的意义。
关键是求出：
f 2x x 7 x
1 s s (t0 t ) s (t0 ) 2 g t g (t ) 2 2 __ s s (t0 t ) s (t0 ) 1 v 2 g g ( t ) t t 2
2016年秋季新苏教版选修1-1：第三章 导数及其应用 3.1.2 瞬时变化率——导数 第2课 导数的应用课件
由导数几何意义知，曲线y＝2x2＋1在点(－1,3)处的切线的斜率为－4，切
线方程为y＝－4x－1，即4x＋y＋1＝0.
解析答案
1
2
3
4
f′(xA)<f′(xB) 3.已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是___________. 解析 由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1
1 求过点 A(2,0)且与曲线 y＝x 相切的直线方程.
解
易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由
1 1 －x Δy x0＋Δx 0 1 ＝－ 2 ， Δx ＝ Δx x0＋x0Δx
Δy 1 Δx→0 时，Δx→－x2. 0
1 得所求直线方程为 y－y0＝－x2(x－x0). 0
1 3 9 所以 2x0· ＝－ 1 ，得 x 0＝－ ，y0＝ ， 3 2 4
即
3 9 P－2，4 是满足条件的点.
解析答案
(3)与x轴成135°的倾斜角. 解 因为切线与x轴成135°的倾斜角，
1 1 所以其斜率为－1， 即 2x0＝－1， 得 x0＝－2， y0＝4， 即
＝3－2x－Δx，∴当Δx→0时，3－2x－Δx→3－2x，
故函数f(x)的导函数为f′(x)＝3－2x.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2
1 求函数 f(x)＝x－x 的导函数.
解析答案
题型三
导数的应用
例3
在曲线 y ＝ x2 上过哪一点的切线，
(1)平行于直线y＝4x－5；
解析答案
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； 解 因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
《1.1.2瞬时变化率——导数(3)》精品PPT课件
增量y f ( x0 x) f ( x0 );
比值 y 就叫做函数 x
y f ( x)在x0到x0 x之间的 平 均 变 化 率 ,即
y f (x0 x) f (x0) .
x
x
y
如果当x 0时，
A x
我们就说函数y f ( x)在点 x0处 可 导 ，并 把 A
叫 做 函 数 y f ( x)在 点 x0处 的导 数 , 记为y x x0
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
· 学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
高中数学
复习回顾：
y＝f(x)
割
1.曲线在某一点切线的斜率 Q
线
y
T
切线
o
P
x
k
＝
PQ
f
( x＋x)－f x
(x))
(当Δx无限趋向0时，kPQ无限趋近点P处切线斜率)
2．瞬时速度
设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)．以t0为 起始时刻，物体在 t时间内的平均速度为
v＝ s
＝
f
(
t
＋
0
t )－
就说f(x)在开区间 (a，b)内可导．这时，对于开区间
(a，b)内每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f (x0)，这样就在开区间(a，b)内构成了一个新的函 数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a，b)内的
2019-2020学年度最新高中数学苏教版选修1-1课件：3.1.2瞬时变化率-导数课件(12张)3-优质PPT课件
如何求曲线上一点的切线?
(1)概念:曲线的割线和切线y=f(x)
y
Q
割 线
T 切线
P
o
结论:当Q点无限逼近P点时,此时 x 直线PQ就是P点处的切线.
(2)如何求割线的斜率? y=f(x)
y
Q
o
P
x
f (x x) f (x) f (x x) f (x)
kPQ (x x) x
请说明理由。
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
1、先利用切线斜率的定义求出 切线的斜率； 2、然后利用点斜式求切线方程.
课堂练习
1．已知曲线 y 2x2 上一点 A(1,2)，
求(1) 点 A 处的切线的斜率. (2)点 A 处的切线的方程.
2．求曲线 y x2 1在点 P(-2，5) 处的切线方程与法线方程．
x
(3)如何求切线的斜率? y=f(x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
割 线
y
Q
T 切线
o
P
x
kPQ
f (x x) x
f (x))
(当x无限趋限0时,
k
无限趋限趋近点P
PQ
处切斜率)
例1:已知 f (x) x2,求曲线
y=f(x)在x=2处的切线的斜率.
解 : 先求过(2,4)点的任意一条割线入手
P(2,4),Q(2 x, (2 x)2 ),则
kPQ
(2 x)2 4 (2 x) 2
4
x
当x无限趋近于0时, kPQ无限趋近于常数4 所以点P(2,4)处的切线斜率为4
利用割线求切线
例2:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2) 处的切线方程.
第3章 3.1 3.1.2 瞬时变化率——导数 (共37张PPT) 2017-2018学年高中数学(苏教)选修1-1 名师ppt课件
(x0，f(x0)) 导数 f ′ ( x ) 的几何意义就是曲线 y ＝ f ( x ) 在点 0 几何 意义 处的 切线的斜率
2．导函数的概念 (1)导函数的定义： 若 f(x)对于区间(a，b)内 任一点 都可导，则 f(x)在各点的导数 也随着自变量 x 的变化而变化， 因而也是 自变量 x 的函数， 该函数 称为 f(x)的导函数，记作 f′(x) ． 在不引起混淆时，导函数 f′(x)也简称为 f(x)的导数． (2)f′(x0)的意义： f(x)在点 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在点 x＝x0 处 的 函数值 ．
问题 2：下表是 Δt 选取不同数值时相应的平均速度.
Δt v
2 4g
1
0.5
0.25
0.1
0.05g 3.125g 3.05g 3.025g 3.01g 3.005g
上表的平均速度中最接近 t＝3 时这一时刻的速度的是哪一个？
提示：Δt→0 时的平均速度即这一时刻的速度，v＝3.005 g.
3.1
3.1. 2
瞬时 变化 率 导数
理解教材 新知
知识点一
知识点二 知识点三 考点一 考点二 考点三
第 3 章
导 数 的 概 念
把握热点 考向
应用创新 演练
考点四
3.1
导数的概念
3．1.2 瞬时变化率——导数
曲线上一点处的切线
你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄 奇， 感受到“会当凌绝顶， 一览众山小”的豪迈， 当爬到“十八盘” 时，你感觉怎样？ 问题 1：陡峭程度能反映山坡高度变化的快与慢吗？
vt0＋Δt－vt0 如果 Δt 无限趋近于 0 时， 无限趋近于一个常数， 那么这 Δt 个常数称为物体在 t＝t0 时的 瞬时加速度 ，瞬时加速度就是 速度 对 于时间的瞬时变化率．
2021年高中数学第三章导数及其应用3.1.2瞬时变化率_导数课件11苏教版选修1_1
思维启迪 解析 探究提高
求函数的导数，首先要搞清函数 的结构；若式子能化简，可先化 简再求导．
题型分类·深度剖析
题型二
导数的运算
【例 2】 求下列函数的导数： 思维启迪 解析 (解(23(((())1234∵y))))＝yyyy(y1＝ ＝ ＝ ＝＝s)inyxexsl′ 23nix＋2n·x(＝ lx222n1＋＋x2＋(x＋eπ3x； 1xxx1＋·＝2＋l5，n)π312．xx∴1－)3；′y12；′c＝o＝se4x3lxnx＋2x－3＋ 2πx23e..x·1x＝ex(ln x＋1x)．
线可能有多条．
根底知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
5．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ；
2.曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0) 处的切线〞与“过点P(x0，y0 的切线〞的区别与联系
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
4．基本初等函数的导数公式
(1)(xα)＝ αxα－1 (α 为常数)；
(2)(ax)′＝ axln a (a>0 且 a≠1)；
1
1
(3)(logax)′＝ xlogae ＝ xln a
(a>0，且 a≠1)；
(4)(ex)′＝ ex ； 1
(5)(ln x)′＝ x ；
(6)(sin x)′＝ cos x ；
(3) gfxx′＝ f′xgx－fxg′x
g2x
(g(x)≠0)．
(1)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0) 处的切线是指 P 为切点，切 线 斜 率 为 k ＝ f′(x0) 的 切 线，是唯一的一条切线．
高中数学第三章导数及其应用3.1.2瞬时变化率__导数一课件苏教版选修1_1
1 x＋ 在x＝1处的导数． 解答 跟踪训练3 利用定义求函数y＝ x
1 1 ∵Δy＝(x＋Δx)＋ －x＋x x＋Δx
Δx Δy 1 ＝Δx－ ，∴Δx＝1－ ， xx＋Δx xx＋Δx
1 1 从而，当 Δx→0 时，1－ →1－x2， xx＋Δx
∴函数f(x)在x＝1处的导数为0.
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求 Δv
Δt
解答
2 2 Δv vt＋Δt－vt 3t＋Δt ＋2－3t ＋2 ＝ ＝ ＝ 6 t ＋ 3Δ t . Δt Δt Δt
当t＝2，Δt＝0.01时，
Δv 2 Δt ＝6×2＋3×0.01＝12.03 (cm/s )．
解答 (2)求质点M在t＝2 s时的瞬时加速度．
1 ∴y＝ x在 x＝1 处的导数为2.
反思与感 悟
根据导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
Δy fx0＋Δx－fx0 (2)求平均变化率Δx＝ ； Δx Δy (3)得导数，当 Δx→0 时，Δx→f′(x0)． Δy 关键是在求Δx时，要注意分式的通分、无理式的分子有理化等常用技巧的 使用．
第3章 §3.1 导数的概念
3.1.2 瞬时变化率——导数(一)
学习目标
1.理解曲线的切线的概念，会用逼近的思想求切线
斜率. 2.会求引
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学
知识点一
曲线上一点处的切线
思考
如图，当点 Pn(xn ， f(xn))(n ＝ 1,2,3,4) 沿着曲线 f(x) 趋近 于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？
当堂训练
高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率3.1
速度,应先求平均速度.求瞬时速度的步骤:(1)求路程的改变量Δs;(2)
求平均速度ΔΔ������������
;(3)求瞬时速度:当Δt趋于0时,
������ ������
趋于v(常数).
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 质点M按规律s(t)=at2+1做直线运动(位移单位:m, 时间单位:s).若质点M在t=2 s时的瞬时速度为8 m/s,则常数
������0
������0-
1 2
������������02
=(v0-gt0)Δt-12g(Δt)2,
∴ΔΔℎ������=v0-gt0-12gΔt.
当 Δt 趋于 0 时,ΔΔℎ������趋于 v0-gt0,
故物体在时刻 t0 处的瞬时速度为 v0-gt0.
反思瞬时速度是平均速度在Δt趋于0时的极限值.因此,要求瞬时
B.9.8 m/s是1 s到(1+Δt)s这段时间内的速率
C.9.8 m/s是物体在t=1 s这一时刻的速率 D.9.8 m/s是物体从1 s到(1+Δt)s这段时间内的平均速率 错解:B 错因分析:对平均变化率和瞬时变化率的理解不透彻,导致出现 错误.
=
������(������1)-������(������0) ������1-������0
=
������(������0+ΔΔ������������)-������(������0).当 Δx 趋于 0 时,平均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时
变化率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
a=
.
解析:∵Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-a·22-1=4aΔt+a(Δt)2, ∴ ΔΔ=������������ 4a+aΔt,在t=2时的瞬时速度为4a,即4a=8, ∴a=2.
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1.曲线在某一点切线的斜率y=f(x)
割 线
y
Q
回顾
T
切线
o
P
x
f (x x) f (x)
kPQ
) x
(当x无限趋限0时, kPQ无限趋限趋近点P处切斜率)
2.瞬时速度
设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)。 以t0为起始时刻，物体在t时间内的平均速度为
vv ss ff((tt00 tt)) ff((tt00)) 。。
记作
f ' (x) 或 y' (需指明自变量时记作 yx' )
即
f ' (x) y' y f (x x) f (x) ,当x 0时的值
x
x
f (x0)与f (x)之间的关系： 当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于
函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说
f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每
一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f '(x0)，这 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一
新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，
tt
tt
近似的v 可程作度为就物越体好在。t所0时以刻当的速t度0时的，近比似值值，st 越小， t
就是物体在t0时刻的瞬时速度，即
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
3、物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度.
（即t=t0时速度相对时间的瞬时变化率）
v在t0的瞬时速度
增量y f ( x0 x) f ( x0 );
比值 y 就叫做函数 x
y f ( x)在x0到x0 x之间的 平均变化率 ,即
y f ( x0 x) f ( x0 ) .
x
x
如果当x 0时，
y A x
我们就说函数y f ( x)在点 x0处 可导，
并把A
叫做函数 yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ f (x)在点 x0处的导数 , 记为y x x0
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解： y [(1 x)2 2] (12 2) 2x (x)2
y 2x (x)2
2 x
x
x
y 2 x,当x 0时 x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
练习：若f (x) (x 1)2 , 求f (2)
二、函数在一区间上的导数：
如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点 X0处连续.
感谢您的聆听，为方便温习本节 课程内容， 本课件可在下载完成 后进行查阅
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f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
如果自变量x在 x0处有增量x，那么函数 y相应地有
y xx0 f ' (x0 )
y f (x0 x) f (x0 ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤: (1) 求增量 y f ( x0 x) f ( x0 );
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
x
x
(3) 求y
x x0
y .在x x
0时
割 线
y
Q
回顾
T
切线
o
P
x
f (x x) f (x)
kPQ
) x
(当x无限趋限0时, kPQ无限趋限趋近点P处切斜率)
2.瞬时速度
设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)。 以t0为起始时刻，物体在t时间内的平均速度为
vv ss ff((tt00 tt)) ff((tt00)) 。。
记作
f ' (x) 或 y' (需指明自变量时记作 yx' )
即
f ' (x) y' y f (x x) f (x) ,当x 0时的值
x
x
f (x0)与f (x)之间的关系： 当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于
函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说
f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每
一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f '(x0)，这 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一
新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，
tt
tt
近似的v 可程作度为就物越体好在。t所0时以刻当的速t度0时的，近比似值值，st 越小， t
就是物体在t0时刻的瞬时速度，即
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
3、物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度.
（即t=t0时速度相对时间的瞬时变化率）
v在t0的瞬时速度
增量y f ( x0 x) f ( x0 );
比值 y 就叫做函数 x
y f ( x)在x0到x0 x之间的 平均变化率 ,即
y f ( x0 x) f ( x0 ) .
x
x
如果当x 0时，
y A x
我们就说函数y f ( x)在点 x0处 可导，
并把A
叫做函数 yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ f (x)在点 x0处的导数 , 记为y x x0
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解： y [(1 x)2 2] (12 2) 2x (x)2
y 2x (x)2
2 x
x
x
y 2 x,当x 0时 x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
练习：若f (x) (x 1)2 , 求f (2)
二、函数在一区间上的导数：
如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点 X0处连续.
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f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
如果自变量x在 x0处有增量x，那么函数 y相应地有
y xx0 f ' (x0 )
y f (x0 x) f (x0 ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤: (1) 求增量 y f ( x0 x) f ( x0 );
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
x
x
(3) 求y
x x0
y .在x x
0时