第七讲 刚体之一

第四章 刚 体 一． 刚体运动学 给出定点转动的欧拉描述

二． 刚体动力学 讨论处理欧拉陀螺和拉格朗日陀螺的一般方法

三． 刚体转动的稳定性问题 一． 刚体运动的自由度和广义坐标 1．刚体的性质： （1） 多个质点组成的质点系 （2） 任意两个质点间的距离永远不变 （3） 只要确定刚体内部任意三个不在一条直线上的质点的位置，刚体的位置也就确定了 （4） 同一时刻，刚体内任意三点与刚体内或刚体外某一个点的相对位置被确定，则刚体的位置就被唯一确定了。 2．刚体的自由度 一个质点自由度：3 三个质点自由度：9 约束条件：每两个质点之间距离保持不变，约束条件有3个 刚体的独立坐标为9-3=6 刚体的自由度为6 3．刚体运动的分类： （1）平动： 空间坐标（惯性系坐标）与固定在刚体上的坐标（不一定在质心）永远平行。

性质： A． 刚体上各点具有相同的速度和加速度 B． 取刚体上某一点的运动就可以代表刚体的全部运动 C． 自由度：3 D． 不一定是直线运动 刚体的平动与质点运动相同

运动方程 BArrAB

速度和加速度分布 因为： 所以： ddddBABArrvvtt

 ddddBABAvv

aatt



d0dAB

t

（2）定轴转动： 刚体运动过程中，至少两个质点保持不动。 自由度：1 转轴：两点连线，转角： 

运动方程：ft 角速度和角加速度：

ddddtt







：大小

方向：逆时针为正22dd

ddtt



匀速转动时： 匀变速转动时： d0dt0

t

0200

dcontd12tttt

（3）平面平行运动： 刚体中任意一点始终在平行于某一个固定平面的平面内运动。 简称：平面运动 （1） 取固定平面00Oxy 平面 刚体的平面运动是 Cxy 相对于00Oxy 的运动。 （2） 上面的运动可以分为： （i） 使Cxy 相对于00Oxy 做平动，到达 Cxy （ii） 使Cxy 绕 C 点以垂直于 Cxy 的轴转动转过的角度为  （3） 自由度：平面平动 自由度为 2 转动自由度为 1 总自由度为：3 （5） 定点转动： 刚体转动时，有一点永远保持不动。物理过程： 三个独立运动的合成。 （i）0t时刻坐标 000Oxyz 与Oxyz 重合，

（ii）令Oxy 平面绕0oz转过一个角度  -----进动角 ON-----节线 （iii）令oxy 平面绕节线 ON 转过一个角度  ------章动角 （iv）令oxy 平面绕oz转过 一个角度  ----自转角 02002

广义坐标（欧拉角）： 

另一种方法： （i） 绕 oz 轴转动 （ii） oz轴可以沿各种方向变化 （5）一般运动： 可以分解为平动和绕定点转动，自由度为 6 2．刚体的角速度 (1) 定轴转动：

（2）定点转动： 分解为绕不同轴的定点转动，但是必须和顺序有关

nk dndk

0limtndnktdt





 A 操作

B 操作 AB （3）无限小定点转动（满足对易关系）：

（i） 刚体绕 O 点的某一个轴线转动 ， n 角位移 （ii） r 为转动前刚体上某一点的位矢 （iii） rr 为转动后的位矢

（iv） rnr （v） 刚体发生了两次绕 O 点的转动 1n 和 2n （vi）先转动 1n 然后转动 2n 

121

1211221

nnrrrrrnrrrrrrnrnrnrrnrnrnnr









（vii）先转动 2n 然后转动 1n 

212

2122112

nnrrrrrnrrrrrrnrnrnrrnrnrnnr







 比较前两个转动： 

12

211221

2112

nnnnrrrnrnrnnrrrrnrnrnnr









由于nrr 是线位移，所以满足对易关系： 1221nrnrnrnr

对于： 2112nnrandnnr



（i） 一般情况下大小和方向都不相等，只有当1n 和 2n方向相同时才相等---定轴转动 （ii） 如果1n 和 2n为无穷小量，高阶无穷小量可以忽略， （iii） 无穷小量的角位移是矢量 （iv） 0limtndntdt （v） 定点转动：  （4） 转动变换算符： 由： rrnr

引入： 1nTn



则： 1nrTrnrrnr



 转动引起的位矢的变化： 1nnrrTrrTr





设： 1nnRT



考虑对易关系： 

121221

121212,,nnnnnnnnnnRRrRRRRrnnrRRR















无穷小转动算符T对易，但是，无穷小转动引起的变化算符R不对易。 3．刚体的线速度和线加速度 刚体上任意一点C的速度为Cv 角速度为  （1） 纯转动（没有平动）： 转动包含定轴转动和定点转动 当无限小转动为n时，刚体上任意一点 P的线位移为r 则 rnr P点的线速度为：

00limlimttrnrvtt





定义： 0limtnt



 则： *drvrdt

加速度： **dvdddrdarrrrdtdtdtdtdt





方程 ***and 对定轴和定点转动都适用。 由于是纯转动，所以P点在转动过程中位矢 r只有方向的变化，没有大小的变化，为常模矢量。 任意常模矢量 A 对时间的微商等于代表常模矢量运动的角速度  和常模矢量本身的矢量积。 dAAdt

 （2） 既有转动又有平动 证明，选取不同的基点，相同 取C点为基点：PCvvr 对于坐标系000oxyz P 点的速度相同：

A． 基点固定法： 选取 C 为基点，P 点的速度为

PCvvr

C点的选取是任意的，不同的C点Cv和r不同，但相同

C点的速度：CCCCvvr