力学(Mechanics)第七章刚体平面动力学
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理论力学1A全本课件7章刚体的平面运动ppt课件教案
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理论力学电子教案 C 机械工业出版社
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运动为圆周运动的合成 va vB;ve vA;vr vBA,
vAB 大小 AB,方向 AB, 指向与 转向一致．
根据速度合成定理 va ve vr , 则Ｂ点速度为：
vB vA vBA
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即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点法， 也称为合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法．
aB aA aBA aBAn
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aB aA aBA aBAn
其中：aBA AB ，方向AB，指向与 一致； aBAn AB 2 ，方向沿AB，指向A点。
即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕 基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度 的方法称为基点法，也称为合成法。是求解平面图形内一点加速 度的基本方法。
刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速
度是不一定相同的。不同于刚体作平动。
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[例1] 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，
取柄OA以匀 转动。 求：当 =45º时,
滑块B的速度及AB杆的角速度． 解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运
动,滑块B作平动。 基点法（合成法）
大小？ √ ？ √
方向√ √ √ √
作加速度矢量图，将上式向BA线上投影 aB cos 30 0 0 aBAn
aB
aBA
n
/c
os30
20 3
3 2 /
3 2
理论力学第7章 刚体平面运动
基础部分——运动学第7 章刚体平面运动连杆作什么运动呢？行星齿轮机构行星轮作什么运动？第7章刚体平面运动运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离保持不变刚体上任一点都在与某一固定平面平行的平面内运动沿直线轨道滚动的车轮机械臂小臂的运动平面运动的刚体在自身平面内运动的平面图形SxyOxyOASIIxyOA SII平面图形上任一线段的位置位置x Ay AϕB )(1t f x A =)(2t f y A =)(3t f =ϕ平面运动平移+ 转动xyOASIIxAyAϕB基点⇒O ′O O ′O O ′O′三种运动?平面运动基点平移基点转动注意：平移动系不一定固结与某一实际刚不一定固结与某一实际刚体。
O ′xyO平移动系O'x'y'x ′y ′O ′基点推广结论：刚体的平面运动可以分解为随基点的平移和绕基点的转动问题一：x yOA SIIx Ay AϕB问题二：随基点的平移与基点的选择有无关系绕基点的转动与基点的选择有无关系结论：同一瞬时平面图形绕任一基点转动的ω、α都相同。
动点re a 点的速度合成定理SAv ωABB v A v ?=B v x ′y ′基点BA v 三种运动？大小? 方向?BAA B v v v +=AωA Av BAv Bv平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
SAv ωABAv BAv Bv BAA B v v v +=试一试：基点法作平面运动。
[例7-1] 曲柄—滑块机构解：转动。
r 3ABOωϕAv Bv BAv 基点大小方向?AvBA3ABOωϕAv B v BAv Av ABω转向？= v 滑块Bϕ大小方向A 32SAv ωAB Av BAv Bv 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影（大小和正负号）相等。
速度投影定理[][]ABA AB B v v =[]ABBA vr 3再分析例7-1ABOωϕAv Bv Bv解：请比较两种方法A 32如何解释这种现象？观察到了什么现象？[先看一照片]若选取速度为零的点作为基点，则求解速度问题•基点法•速度投影法优点：缺点:优点：缺点:SAv ωAv BAv Bv AA 为基点B有没有更好的方法呢？Aω0≠ω唯一存在AL ′证明:MAA M v v v +=SA v v MAv LMPωAv PA =∴0=⋅−=ωPA v v A P ∵该瞬时瞬时速度中心速度瞬心唯一性：瞬时性：不共线，故速度均不为零。
工程力学 刚体的平面运动 - 副本
o
o
vB cos30 vA 0.173m/s o cos60
3）求 D 点的速度
A v D v B v DB v AB D vB vDB 0.1m/s 2 vD vDB 0.1m/s v AB v A v DB 30o vD vD 与 vB 交角为60º 。
B
[v B ]AB [v A ]AB
速度投影法表明：当刚体作平面运动时，其上任意 两点的速度在此两点连线上的投影相等。这一结论 称为速度投影定理。
第十五章
刚体的平面运动
速度投影法
[v B ]AB [v A ]AB
利用速度投影定理求平面运动刚体上任一点速度 的方法称为速度投影法。 若已知刚体上一点的速度的大小和方向，且知另 一点的速度方向，则用速度投影定理，在不知两 点间距离及刚体角速度的前提下，可方便地求出 该点速度的大小。
第十五章
刚体的平面运动
图14-8
第十五章
刚体的平面运动
例15-7 在图14-9所示的凸轮机构中，凸轮在水平面上 向右作减速运动，凸轮半径为R，图示瞬时凸轮的速 度和加速度分别为v和a，求杆AB在图示位置时的加 速度。
图14-9
第十五章
刚体的平面运动
二、用基点法求平面图形内各点的加速度
aB aA aBA
由
vO
v DO v D
vB vO vBO
vO
O
得
vB 2vO
C
第十五章 三、速度瞬心法
刚体的平面运动
速度瞬心：刚体上某瞬时速度为零的那个点称为平 面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。
已知图形的角速度和瞬心的 位置，以速度瞬心为基点， 利用公式 vM vMC MC 。 求出图形上任一点速度的方 法称为瞬时速度中心法，简 称瞬心法。
o
vB cos30 vA 0.173m/s o cos60
3）求 D 点的速度
A v D v B v DB v AB D vB vDB 0.1m/s 2 vD vDB 0.1m/s v AB v A v DB 30o vD vD 与 vB 交角为60º 。
B
[v B ]AB [v A ]AB
速度投影法表明：当刚体作平面运动时，其上任意 两点的速度在此两点连线上的投影相等。这一结论 称为速度投影定理。
第十五章
刚体的平面运动
速度投影法
[v B ]AB [v A ]AB
利用速度投影定理求平面运动刚体上任一点速度 的方法称为速度投影法。 若已知刚体上一点的速度的大小和方向，且知另 一点的速度方向，则用速度投影定理，在不知两 点间距离及刚体角速度的前提下，可方便地求出 该点速度的大小。
第十五章
刚体的平面运动
图14-8
第十五章
刚体的平面运动
例15-7 在图14-9所示的凸轮机构中，凸轮在水平面上 向右作减速运动，凸轮半径为R，图示瞬时凸轮的速 度和加速度分别为v和a，求杆AB在图示位置时的加 速度。
图14-9
第十五章
刚体的平面运动
二、用基点法求平面图形内各点的加速度
aB aA aBA
由
vO
v DO v D
vB vO vBO
vO
O
得
vB 2vO
C
第十五章 三、速度瞬心法
刚体的平面运动
速度瞬心：刚体上某瞬时速度为零的那个点称为平 面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。
已知图形的角速度和瞬心的 位置，以速度瞬心为基点， 利用公式 vM vMC MC 。 求出图形上任一点速度的方 法称为瞬时速度中心法，简 称瞬心法。
理论力学：刚体平面运动的动力学
§7-2 刚体平面运动的动力学
A
Mc
mg Mk
Fx O
Fy
常系数非齐次 非线性微分方程
解：研究OA杆，进行受力分析
JO
d 2
dt 2
n i1
M O (Fi )
JO M mg M c M k
M mg
mg
L sin
2
M c c
Mk k( )
1 mL2 c k 1 mgLsin kbcos t
大小： a ar cos
2
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混沌（Chaos）：在确定的系统中出现类似随机的运动过程
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理论力学
§7-2 刚体平面运动的动力学
1963年美国科学家洛伦兹（Edward N. Lorenz) 从简化大气对流的动力学方程中得到一组三阶 的非线性常微分方程。
即:
发现：该方程在一定参数下为周 期解，在某些参数下为混沌解。
mR2
2R 2
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理论力学
§7-2 刚体平面运动的动力学
例：系统如图所示，设均质杆OA长为 L 质量为m，其阻力系数为 c，扭簧刚 度系数为 k。当 OABC 时，扭簧无
变形，已知BC杆的转动： b cos t ,
试建立OA杆的运动微分方程。
A
mg
B
C
O
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理论力学
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F
B
B：滑块右侧与滑道接触
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理论力学
§7-2 刚体平面运动的动力学
思考题：质量为m半径为R 的均质圆盘在倾角为θ 的固定
斜面上纯滚动，其上作用一主动力偶M， 试定性分析作用 在圆盘上的摩擦力的方向。
§7.5刚体平面运动的动力学
N mg 0, F mac m L 2
mg
2
aC
F
由转动定理：
F 0 A Io mL
1 3
A
解得：
0A 2 3 L
7.4.2 已知：质量为2.97kg，长为1.0m的匀质等截面细杆 可绕水平光滑的轴线o转动，最初杆静止于铅直方向。 一弹片质量为10g，以水平速度200m/s射入并嵌入杆 的下端，和杆一起运动，求杆的最大摆角θ。
Fi 0,
i
M
i
iz
0
R l , F f 0, 静摩擦力向后; 2 R l , F f 0, 静摩擦力向前; 2 R l , F f 0. 2
并且只有满足 mg Ff 时才能保持纯滚动。
7.3.6 已知：匀质杆可绕支点o转动，当与杆垂直的冲力 作用某点A时，支点o对杆的作用力并不因此冲力 之作用而发生变化，则A点称为打击中心。设杆长 为L，求打击中心与支点的距离。 y 解：建立图示坐标o-xyz, z轴垂直纸 N 面向外, 杆受力及运动情况如图示。 o x 由质心运动定理：
F Ff mac
F
再由圆柱对质心的转动定理
Fl Ff R Ic
l
c a c
Ff
又因纯滚动 ac R 以及 I c 1 mR 2
2
例3
解得
2F ( R l ) 3mR 2
ac R
2F ( R l ) 3mR R 2l Ff F 3R
可见，若
1 2
3 7
gl aCn
2 vC l 2
l 2 6g 2 7
7.5.2
N n 4mg 4maCn
N t 4maCt
mg
2
aC
F
由转动定理：
F 0 A Io mL
1 3
A
解得：
0A 2 3 L
7.4.2 已知：质量为2.97kg，长为1.0m的匀质等截面细杆 可绕水平光滑的轴线o转动，最初杆静止于铅直方向。 一弹片质量为10g，以水平速度200m/s射入并嵌入杆 的下端，和杆一起运动，求杆的最大摆角θ。
Fi 0,
i
M
i
iz
0
R l , F f 0, 静摩擦力向后; 2 R l , F f 0, 静摩擦力向前; 2 R l , F f 0. 2
并且只有满足 mg Ff 时才能保持纯滚动。
7.3.6 已知：匀质杆可绕支点o转动，当与杆垂直的冲力 作用某点A时，支点o对杆的作用力并不因此冲力 之作用而发生变化，则A点称为打击中心。设杆长 为L，求打击中心与支点的距离。 y 解：建立图示坐标o-xyz, z轴垂直纸 N 面向外, 杆受力及运动情况如图示。 o x 由质心运动定理：
F Ff mac
F
再由圆柱对质心的转动定理
Fl Ff R Ic
l
c a c
Ff
又因纯滚动 ac R 以及 I c 1 mR 2
2
例3
解得
2F ( R l ) 3mR 2
ac R
2F ( R l ) 3mR R 2l Ff F 3R
可见，若
1 2
3 7
gl aCn
2 vC l 2
l 2 6g 2 7
7.5.2
N n 4mg 4maCn
N t 4maCt
理论力学 第7章 刚体的平面运动
M4 ω
M2
C ωO
A
r
M1
M3
O R
解: OA绕O转动
v2
v4
M4
vA
ω A
r
M2 v3
C ωO
M1 Ⅱ M3
RO
Ⅰ
vA AC r OAO (R r) O
C点是齿轮II的速度瞬心
因此轮
II
的角速度
R r
r
O（逆时针）
所以轮 II 上 M1，M2 ，M3 和 M4 各点的速度分别为：
8
7.2 平面图形内各点速度的求法 1、基点法 通常把平面图形中速度为已知的点选为基点
平面图形内任一点的速度 =基点的速度与绕基点转动
速度的矢量和
9
y
例7.1 椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动，
AB=l。
B
解：一、基点法
1、 AB 作平面运动
O
基点：A
2、 vB vA vBA
大小 ？ vA ?
vA AB ACv , vB AB BCv
得
vB
BCv ACv
vA
对三角形ABC应用正弦定理，可得
ACv
BCv
sin ( π ) sin ( )
2
注意到
，代入上式后得
B
x
vB
R0
sin ( ) cos
速度投影法
应用速度投影定理，有
vAcos vBcos
将v A = R ω ， α ＝90o -ψ - β ＝ψ
速度瞬心C必定在速度垂线上
速度垂线A N
速度瞬心C
vM vA vMA vM vA AM
v
v 0 AC A
07 刚体的简单运动Hxj
角位移
Δ d lim * lim Δt 0 Δt 0 Δt dt
说明： 角速度单位是rad/s,工程单位n rpm(r/min或转/分) 换算关系为:
2n n 0.105n rad/s 60 30
3、 角加速度 设当t 时刻为 , t +△t 时刻为+△ (1) 平均角加速度
R
0.4m/s
a
M t t 1
R
t 1
d 2 R 2 dt
t 1
d 2 t 2 4t R dt 2
t 1
v
0.4m / s 2
a
M n t 1
R
2 t 1
0.2 2 0.8m / s
2
2
A
aA
全加速度大小及方向
a a 2 a 2 0.4 2 0.82 0.894m/s2 t n t 1 t 1 2 t 1 arctan 2 arctan t 1 4
§7-1 刚体的平行移动
一、概念 刚体运动时，如果在刚体内任取一直线段，在运动过程中 该直线段始终与其最初位置平行，这种运动称为平行移动 (translation),简称平移或平动。
河南理工大学力学系
理论力学
第七章 刚体的简单运动
二、刚体平行移动的性质 设刚体作平行移动，如图。在刚 体内任取两点A和B，设其矢径分别为 rA和rB，则两条矢端曲线就是两点的轨 迹。由图中几何关系可知
1、 转动方程 Ⅰ和Ⅱ夹角 ---转角（位 置角）,单位为弧度(rad)
• 定轴转动方程 对着z轴正向看
t
7 2
• 的正、负规定 逆为正 顺为负
《刚体的平面运动 》课件
刚体的平面运动速度和加速度是描述 刚体在平面内运动的物理量，分别表 示刚体在单位时间内移动的距离和速 度的变化率。
刚体的平面运动速度和加速度对于分 析刚体的动力学特性和稳定性具有重 要意义。
刚体的平面运动速度和加速度可以通 过求解平面运动方程得到，也可以通 过测量或实验获得。
03
刚体的平面运动中的力与力矩
的转动惯量不同。
转动惯量的应用
在刚体的平面运动中，转动惯量 用于描述刚体的转动状态，是计 算角速度、角加速度等物理量的
基础。
04
刚体的平面运动的实例分析
滑轮的运动分析
滑轮的转动惯量
计算滑轮的转动惯量，了解其与刚体平面运动的关系。
滑轮的角速度和角加速度
分析滑轮的角速度和角加速度，理解刚体平面运动的动态特性。
4. 使用摄像机记录运动轨迹时，注意 调整拍摄角度和光线条件。
实验结果与数据分析
实验结果
通过摄像机记录的刚体运动轨迹，可以观察到刚体的平面运动规律。例如，当施加的外力矩恒定时，刚体会绕固 定点做圆周运动；当外力矩变化时，刚体的运动轨迹也会发生变化。
数据分析
根据实验结果，可以计算出刚体的运动轨迹方程、角速度、线速度等参数，并分析这些参数与外力矩之间的关系 。通过对比理论值与实验值，可以验证刚体平面运动的规律。同时，还可以分析实验误差产生的原因，提高实验 的精度和可靠性。
力对刚体平面运动的影响
力的定义
力是物体之间的相互作用，表示为矢量，具有大小和方向。
力的作用效果
力可以改变物体的运动状态，包括速度大小、方向和加速度大小 、方向。
力的分解与合成
力在平面内可以分解为水平和垂直两个分量，两个力等效于它们 的合力。
力矩对刚体平面运动的影响
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变更三者之一都将改变力对物体的作用效果
作用在刚体上的力是滑移矢量(sliding vector):
将力
F
的作用点沿着其作用线由A移动到B：
F
F
F
MO
dLO dt
F maC
C A F
O
B
• 不改变对刚体质心运动的影响
• 对参考点O的力矩不变 对刚体转动的影响不变
均质物体
rC
rdV
V
dV
V
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
2
力学(Mechanics)
第七章 刚体平面动力学
Planar Kinetics Of Rigid Bodies
7.2 刚体的动量和质心运动定理
7.2.1 刚体的质心 7.2.2 基本动力学方程 7.2.3 力的可传递性 7.2.4 力偶和力偶矩 7.2.5 力系的简化
角动量定理:
(MOi )ext
dLO dt
(O: 固定点或刚体质心)
外力的力矩使刚体 绕空间某点转动
适用于刚体 的一般运动
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
5
7.2.2 基本动力学方程
2. 内力对刚体运动的影响
• 不影响刚体质心的运动和刚体的角动量； • 内力所作的总功为零
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
9
7.2.4 力偶和力偶矩
1. 力偶(couple):
大小相等、方向相反、彼此平行且非共线的一对力.
合力为零不影响刚体的平动 只影响刚体的转动 力偶矩
Plane of couple
B
F
rA
2. 力偶矩(Moment of a couple)
将作用于刚体上的力沿其作用线移动，不改变力 对刚体的作用效果.
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
8
力学(Mechanics)
第七章 刚体平面动力学
Planar Kinetics Of Rigid Bodies
7.2 刚体的动量和质心运动定理
7.2.1 刚体的质心 7.2.2 基本动力学方程 7.2.3 力的可传递性 7.2.4 力偶和力偶矩 7.2.5 力系的简化
2011年12月7日 8:00-9:50
7.2 刚体的动量和质心运动定理
14
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
12
7.2.5 力系的简化
将力F由A点平移到O点需附加一个力偶矩
F
A
Or
=
F
F
A
MO
F
AHale Waihona Puke O r=O
F
力F
对刚体的作用效果可等效于一个作用于O点的力
F
和一个力偶矩
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7.2.4 力偶和力偶矩
2. 力偶矩(Moment of a couple) •力偶矩的大小:
MO rF sin Fd
d 是两力作用线间的垂直距离 力偶臂
M
Plane of
couple
F
r
-F d
•力偶矩的方向: 与力偶中的二力构成右手螺旋
M
r
F
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O
dA f ji dr 0
在研究刚体的动力学时，只需考虑外力的作用
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
6
力学(Mechanics)
第七章 刚体平面动力学
Planar Kinetics Of Rigid Bodies
7.2 刚体的动量和质心运动定理
7.2 刚体的动量和质心运动定理
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力学(Mechanics)
第七章 刚体平面动力学
Planar Kinetics Of Rigid Bodies
7.2 刚体的动量和质心运动定理
7.2.1 刚体的质心 7.2.2 基本动力学方程 7.2.3 力的可传递性 7.2.4 力偶和力偶矩 7.2.5 力系的简化
F
N1
N2
大小 方向
作用点
作用在刚体上的力使刚体作平动和转动
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
4
7.2.2 基本动力学方程
1. 描述刚体运动的基本动力学方程
质心运动定理:
Fi
d (mvC
dt
)
maC
p mvC
外力的合力使刚 体随其质心平动
7.2 刚体的动量和质心运动定理
13
7.2.5 力系的简化 如果有多个力作用于刚体的不同点上：
将每个力都平移到O点并附加一个与之对应的力偶矩；
平移到O点的力可合成为一个合力，对应的力偶矩也可 合成为一个合力偶矩
R F
MOR
r F
作用在刚体上的任何力系都可等效为一个作用于 刚体上某一点的力和一个力偶
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
3
质点(Particles):
mg F
N
7.2.2 基本动力学方程
• 忽略物体的大小和形状 • 忽略物体的转动, 只考虑平动
所有的力都作用于一点上。
刚体(Rigid Bodies):
mg
• 必须考虑物体的大小和形状 • 物体既作平动又作转动. • 力对刚体运动的影响依赖于
MO
rA F
rA
rB
rB
F
F
r F
-F rB
rA
o
r
:
A相对于B的位置矢量
力偶矩与参考点O的选择无关 是自由矢量，可施加在任意点上而不改变其作用效果.
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
Proof:
一对内力作的功只依赖于两质点的相对位移.
dA f ji d(rj ri ) f ji dr
对于刚体：
r2
=
r
r
=
constant
r
dr
0
i fij
dri
ri
r
f ji
drj
rj
j
fij // r
力学(Mechanics)
第七章 刚体平面动力学
Planar Kinetics Of Rigid Bodies
7.2 刚体的动量和质心运动定理
7.2.1 刚体的质心 7.2.2 基本动力学方程 7.2.3 力的可传递性 7.2.4 力偶和力偶矩 7.2.5 力系的简化
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
1
质心计算公式
7.2.1 刚体的质心
质量分立分布：
rC
mi ri mi
m4
r3
m3
r4
C
rC
m2
r1
m1
O
质量连续分布：
rC
rdm
V
dm
V
引入体密度
rC
r dV
V
dV
V
O rC
C
r dm
dm dV
7.2.1 刚体的质心 7.2.2 基本动力学方程 7.2.3 力的可传递性 7.2.4 力偶和力偶矩 7.2.5 力系的简化
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
7
7.2.3 力的可传递性 力的三要素: 大小、方向、作用点(point of application)
作用在刚体上的力是滑移矢量(sliding vector):
将力
F
的作用点沿着其作用线由A移动到B：
F
F
F
MO
dLO dt
F maC
C A F
O
B
• 不改变对刚体质心运动的影响
• 对参考点O的力矩不变 对刚体转动的影响不变
均质物体
rC
rdV
V
dV
V
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
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力学(Mechanics)
第七章 刚体平面动力学
Planar Kinetics Of Rigid Bodies
7.2 刚体的动量和质心运动定理
7.2.1 刚体的质心 7.2.2 基本动力学方程 7.2.3 力的可传递性 7.2.4 力偶和力偶矩 7.2.5 力系的简化
角动量定理:
(MOi )ext
dLO dt
(O: 固定点或刚体质心)
外力的力矩使刚体 绕空间某点转动
适用于刚体 的一般运动
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7.2.2 基本动力学方程
2. 内力对刚体运动的影响
• 不影响刚体质心的运动和刚体的角动量； • 内力所作的总功为零
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7.2.4 力偶和力偶矩
1. 力偶(couple):
大小相等、方向相反、彼此平行且非共线的一对力.
合力为零不影响刚体的平动 只影响刚体的转动 力偶矩
Plane of couple
B
F
rA
2. 力偶矩(Moment of a couple)
将作用于刚体上的力沿其作用线移动，不改变力 对刚体的作用效果.
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7.2.1 刚体的质心 7.2.2 基本动力学方程 7.2.3 力的可传递性 7.2.4 力偶和力偶矩 7.2.5 力系的简化
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7.2.5 力系的简化
将力F由A点平移到O点需附加一个力偶矩
F
A
Or
=
F
F
A
MO
F
AHale Waihona Puke O r=O
F
力F
对刚体的作用效果可等效于一个作用于O点的力
F
和一个力偶矩
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7.2.4 力偶和力偶矩
2. 力偶矩(Moment of a couple) •力偶矩的大小:
MO rF sin Fd
d 是两力作用线间的垂直距离 力偶臂
M
Plane of
couple
F
r
-F d
•力偶矩的方向: 与力偶中的二力构成右手螺旋
M
r
F
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O
dA f ji dr 0
在研究刚体的动力学时，只需考虑外力的作用
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
7.2.1 刚体的质心 7.2.2 基本动力学方程 7.2.3 力的可传递性 7.2.4 力偶和力偶矩 7.2.5 力系的简化
F
N1
N2
大小 方向
作用点
作用在刚体上的力使刚体作平动和转动
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7.2.2 基本动力学方程
1. 描述刚体运动的基本动力学方程
质心运动定理:
Fi
d (mvC
dt
)
maC
p mvC
外力的合力使刚 体随其质心平动
7.2 刚体的动量和质心运动定理
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7.2.5 力系的简化 如果有多个力作用于刚体的不同点上：
将每个力都平移到O点并附加一个与之对应的力偶矩；
平移到O点的力可合成为一个合力，对应的力偶矩也可 合成为一个合力偶矩
R F
MOR
r F
作用在刚体上的任何力系都可等效为一个作用于 刚体上某一点的力和一个力偶
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质点(Particles):
mg F
N
7.2.2 基本动力学方程
• 忽略物体的大小和形状 • 忽略物体的转动, 只考虑平动
所有的力都作用于一点上。
刚体(Rigid Bodies):
mg
• 必须考虑物体的大小和形状 • 物体既作平动又作转动. • 力对刚体运动的影响依赖于
MO
rA F
rA
rB
rB
F
F
r F
-F rB
rA
o
r
:
A相对于B的位置矢量
力偶矩与参考点O的选择无关 是自由矢量，可施加在任意点上而不改变其作用效果.
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
Proof:
一对内力作的功只依赖于两质点的相对位移.
dA f ji d(rj ri ) f ji dr
对于刚体：
r2
=
r
r
=
constant
r
dr
0
i fij
dri
ri
r
f ji
drj
rj
j
fij // r
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
7.2.1 刚体的质心 7.2.2 基本动力学方程 7.2.3 力的可传递性 7.2.4 力偶和力偶矩 7.2.5 力系的简化
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
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质心计算公式
7.2.1 刚体的质心
质量分立分布：
rC
mi ri mi
m4
r3
m3
r4
C
rC
m2
r1
m1
O
质量连续分布：
rC
rdm
V
dm
V
引入体密度
rC
r dV
V
dV
V
O rC
C
r dm
dm dV
7.2.1 刚体的质心 7.2.2 基本动力学方程 7.2.3 力的可传递性 7.2.4 力偶和力偶矩 7.2.5 力系的简化
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
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7.2.3 力的可传递性 力的三要素: 大小、方向、作用点(point of application)