随机变量及其分布

（k = 0，1， 2 ，L ，n） 其中 pn 为
与 n 有关的数，又设 np n → λ > 0 （n = 1， 2 ，L ） 是常数，则有
n→∞
lim P{ X n = k } =
λk e − λ
k!
因此，当 n 很大， pn 很小时，有近似公式
k k Cn pn (1 − pn ) n − k ≈
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随机变量及其分布
函数的区别在于随机变量取某一个值或在某个区间内取值均为随机事件。
2．随机变量的分布函数：
设 X 为一随机变量， ∀x ∈ R ，令 F ( x ) = P{ X < x} ，则称 F ( x ) 为随机变量
X 的分布函数。显然，当 a < b 时， P{a ≤ X < b} = F (b) − F (a ) 。
1．随机变量：
设 E 是随机试验，它的样本空间为 Ω = {e} ，如果对于每一个 e ∈Ω ，都 有一个实数 X (e) 和它对应， 且对于任何实数 x ， 事件 { X (e) < x} 具有确定的概 率，则称 X (e) （简记为 X ）为随机变量。 需要注意的是：随机变量是定义在样本空间上的单值实函数，它与普通
⎧λe − λx ，x > 0 分布和指数分布（指数分布的概率密度为 f ( x ) = ⎨ )，并会查泊松 ⎩ 0, x≤0
分布、正态分布表。 6．了解多维随机变量的概念。理解二维随机变量的联合分布函数及其 性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随 机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 7．掌握二维随机变量的边缘分布以及与联合分布的关系，了解条件分 布。掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概 率意义。 8．理解随机变量独立性的概念，掌握离散型和连续型随机变量独立性 的条件，掌握应用随机变量独立性进行概率的计算。 9．会求简单随机变量函数的概率分布及两个独立随机变量的函数（和、 最大值、最小值）的分布。
3．离散型随机变量及概率分布
若随机变量 X 的所有可能取值仅有有限个或可列个， 我们称 X 为离散型 随机变量，记所有可能取值为 x k （k = 1， 2 ，L ） ，称
∞ $ p k （k = 1， 2 ，L ） 为 X 的概率分布（分布律），简记为 { pk }1 P{ X = x k } = 。 ∞ 显然概率分布 { pk }1 满足
分布函数 F ( x) 具有如下性质： （1） 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 ； （2） F ( x ) 是一个非降函数； （3） F ( x ) 左连续，即 lim− F ( x ) = F (a ) ；
x→a
（4） lim F ( x ) = 1 ， lim F ( x ) = 0 。
x →+∞ x →−∞
为顶点而位于左下方的无穷矩形区域内的 概率。仿照此解释，易得( X , Y )落在
( x1 ≤ X < x 2，y1 ≤ Y < y 2 ) 内的概率为
o 图（2-1）
x
P{ x1 ≤ X < x 2 ，y1 ≤ Y < y 2 } = F ( x 2 ，y 2 ) − F ( x 2 ，y1 ) − F ( x1 ，y 2 ) + F ( x1 ，y1 ) F ( x，y ) 有如下性质：
难点：
1．随机变量的分布函数、概率分布及其关系。 2．二维随机变量的边缘分布、条件分布及其计算。 3．随机变量的函数的分布及两个独立随机变量的函数的分布。
三 内 容 提 要
本章主要有随机变量、 随机变量的分布函数、 概率分布； 二维随机变量、 二维随机变量的联合分布函数、联合概率分布、边缘分布、条件分布、随机 变量的独立性和随机变量函数等概念及其相互关系所构成。学习本章主要是 掌握这些概念、性质及相互关系和有关计算。现将有关内容归纳如下：
10 f ( x ) 的图形关于 x = µ 对称； 2 0 当 x = µ 时， f ( µ ) = 1 2πσ
为最大值；
30 f ( x ) 以 x 轴为渐近线，其图形在 x = µ ± σ 处存在拐点，其分布函数为
F ( x) =
∫−∞
Hale Waihona Puke x1 2πσe
−
1 2σ 2
(t − µ )2
dt ( −∞ < x < +∞)
k k k k n− k Pn ( k ) = P{ X = k } = Cn p (1 − p) n − k = Cn p q
（k = 0，1) ，
（k = 0,1,2,L , n）
则称 X 服从参数为 n、p 的二项分布。记为 X ~ B（n，p） 。 特别当 n = 1 时，即为（0-1）分布。 （3）泊松分布：如果随机变量 X 的所有可能取值为 0，1， 2 ，L ，其
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随机变量及其分布
分布律为
P{ X = k } =
λk e − λ
k!
（k = 0，1， 2 ，L ；λ > 0）
则称 X 服从参数为 λ 的泊松分布，记为 X ~ P(λ ) 。 泊松（Poisson）定理：设随机变量 X n （n = 1， 2 ，L ） 服从二项分布，
k 其分布律为 P{ X n = k } = Cnk pn (1 − pn ) n − k
f ( x) = 1 2πσ e
− 1 2σ 2 ( x − µ )2
( −∞ < x < +∞) ，
其 中 µ，σ (σ > 0) 为 常 数 ， 则 称 X 服 从 参 数 为 µ，σ 的 正 态 分 布 ， 记 为
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随机变量及其分布
X ~ N ( µ，σ 2 ) 。
正态分布随机变量 X 的概率密度 f ( x ) 有如下性质：
∆x →0
lim F ( a − ∆x) = F (a)，故 lim P{a − ∆x ≤ X < a} = 0 ,即 P{ X = a} = 0 ）。
∆x →0
因此在计算连续型随机变量 X 落在某一区间上的概率时，可以不必区分 该区间是开、闭区间还是半开半闭区间。即对于任意的实数 a、b 有
P{a ≤ X < b} = P{a < X < b} = P{a < X ≤ b} = P{a ≤ X ≤ b}
6． n 维随机变量及其分布：
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随机变量及其分布
设 X 1 ，X 2 ，L ，X n 为 定 义 在 同 一 个 样 本 空 间 上 的 随 机 变 量 ， 称 （ X 1 ，X 2 ，L ，X n ）为 n 维随机向量或 n 维随机变量。 联合分布函数：设( X , Y )为二维随机变量，对于任意实数 x、y ,称
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随机变量及其分布
二 重 点 与 难 点
重点：
1．随机变量的分布函数 ( F ( x ) = P{ X < x}) 概念及性质。 2．概率分布（离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的概率密度） 的概念及性质。 3．概率分布与分布函数的关系及正态分布的有关计算。 4．二维随机变量的边缘分布以及与联合分布的关系。 5．随机变量独立性及应用。 6．简单随机变量函数的概率分布。
σ
<
σ
} = Φ( a−µ
σ
)
)
（2-4） （2-5） （2-6） （2-7）
P{a ≤ X < b} = Φ(
b−µ
σ σ −b − µ b−µ P{ X < b} = Φ( ) − Φ( ) σ σ −b − µ b+µ P{ X < −b} = Φ( ) = 1 − Φ( ) σ σ
) − Φ(
xk < x
∑ pk
（2-1）
其跃度为 F ( xi + 0) − F ( xi ) = pi (i = 1,2L ) 。 且可能取值 x k 是 F ( x ) 的跳跃间断点，
4．连续型随机变量及其概率分布
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随机变量及其分布
若随机变量 X 的分布函数 F ( x ) 可表示成 F ( x ) = ∫−∞ f (u)du ，其中 f ( x ) 为 一非负可积函数，则称 X 为连续型随机变量， f ( x ) 称为 X 的概率密度（或概 率分布、分布密度）。 注 1：连续型随机变量 X 的分布函数 F ( x ) 是连续函数。 注 2：概率密度 f ( x ) 具有如下性质： （1）非负性： f ( x ) ≥ 0 ； （2）归一性： ∫−∞ f ( x )dx = 1 ； （3） P{x1 ≤ X < x 2 } = F ( x 2 ) − F ( x1 ) = ∫x 2 f ( x )dx ；
在这里，事件 { X = a} 并非不可能事件。即零概率事件并非不可能事件， 也就是说，若 A 是不可能事件，则 P ( A) = 0 ，反之不然（小概率事件有可能 发生）
5．几种常用分布
（1） （0-1） 分布： 若 X 的概率分布为 P{ X = k } = p k (1 − p) 1− k 则称 X 服从参数为 p 的（0-1）分布。记为 X ~ B（1，p） 。 （2）二项分布：若 X 的概率分布为
x−µ
Φ( − x ) = 1 − Φ( x ) ， 且一般正态分布的分布函
数与标准正态分布的分布函数有如下关系：
F ( x ) = Φ(
σ
)
（2-3）
从而可利用标准正态分布表求出 X ~ N ( µ，σ 2 ) 落在任何区间内的概率， 如下 所示：
P{ X < x} = P{ X −µ x−µ x−µ
（1） 0 ≤ F ( x，y ) ≤ 1 ；且对任意固定的 y ， F ( −∞，y ) = 0； 对任意固定的 x ， F ( x， − ∞) = 0 ；及 F ( −∞， − ∞) = 0 ， F ( +∞， + ∞) = 1 。 （2） F ( x，y ) 是变量 x 和 y 的不减函数。 （3） F ( x，y ) 关于变量 x 和变量 y 左连续。 （4） ∀x1 < x 2 , y1 < y 2 有