01随机变量及其分布列(一).
第1课时 随机变量及其概率分布(1)
第1课时 随机变量及其概率分布（1）一、知识要点：1、一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做 通常用大写拉丁字母X,Y,Z （或小写希腊字母,,ξηζ）等表示，而用小写拉丁字母x,y,z （加上适当下标）等表示随机变量取的可能值2、假定随机变量X 有n 个不同的值，它们分别是12,...n x x x ,(),1,2...,i i P X x p i n ===① 则称①为随机变量X 的 ，简称为X 的分布列，也可以将其用表的形式来表示，我们称为随机变量X 的 ，它和①都叫做随机变量X 的3、随机变量X 只取两个可能值0和1，我们把这一类概率分布列称为 或 二、例题分析： 例1、（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用X 表示掷得正面的次数，则随机变量X 的可能取值有哪些？（2）一试验箱中装有标号1,2,3,3,4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为Y ，则随即变量Y 的可能取值有哪些？例2从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即10X ⎧=⎨⎩，当取到白球时，当取到红球时，求随机变量X 的概率分布例3、同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现的最大点数X 的概率分布，并求X 大于2小于5的概率P （25X <<）三、练习：课本P48 1,2,3（做在课本上）1、写出下列随即变量的可能取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果（1）从甲地到乙地有汽车、火车和飞机三种直达交通工具，旅费分别是100元、80元和400元，某人从甲地去乙地旅游，他的旅费为X ；（2）盒内装着标有1－4号的大小相同的4个小球，设随机抽取2个，所得的号码之和为Y（3）袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数Z2、设随机变量X 只能取5,6,7,…,16这12个值，且取每个值的机会是均等的，试求： （1）P （X>8）； （2）P （6<X ≤8）； （3）(10)P X ≥3、随机变量X 的分布列为(),1,2,3,4,515kP X k k ===，试求： (1)(3)P X <； 15(2)()22P X <<； （3）(24)P X ≤≤第1课时 随机变量及概率分布（1）作业感受·理解1、设随机变量X 等可能的取值1，2，3，…，n ，如果3.0)4(=<X P ，那么n=2、在含有5件次品的100件产品中，任取3件，则取到的次品数X 的分布列为 _______ ___3、设随机变量X 的概率分布是kak X P 5)(==，a 为常数，3,2,1=k ，则a =_________ 抛掷一颗骰子两次,定义随机变量⎩⎨⎧=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点ξ试写出随机变量ξ的分布列4、学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且107)0(P =>ξ，则文娱队的人数是5、设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次该项试验的成功次数，则)0(=ξP 等于思考·运用6、写出下列随即变量的可能取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果（1）从甲地到乙地有汽车、火车和飞机三种直达交通工具，旅费分别是100元、80元和400元，某人从甲地去乙地旅游，他的旅费为X ；（2）盒内装着标有1－4号的大小相同的4个小球，设随机抽取2个，所得的号码之和为Y ；（3）袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数Z 。
离散型随机变量及其分布列【新教材】人教A版高中数学选择性必修第三册课件1
4×3×2×1
1
P(X=4)=
= ,
5×4×3×2
5
4×3×2×1×1
1
P(X=5)=5×4×3×2×1 = 5.
所以 X 的分布列为
X
1
1
P
5
2
3
1
5
4
1
5
5
1
5
1
5
探究一
探究二
探究三
素养形成
离散型随机变量的分布列的性质
例2设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.2
0.1
0.1
0.3
当堂检测
输1元,取出黄球无输赢.
(1)以X表示赢得的钱数,求X的分布列;
(2)求出赢钱(即X>0时)的概率.
探究一
探究二
探究三
素养形成
解:(1)依题意,
当取到2个白球时,随机变量X=-2;
当取到1个白球,1个黄球时,随机变量X=-1;
当取到2个黄球时,随机变量X=0;
当取到1个白球,1个黑球时,随机变量X=1;
4
m
求2X+1的分布列.
解:由分布列的性质知,
0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3.
当X=0,1,2,3,4时,2X+1=1,3,5,7,9,
故2X+1的分布列为
2X+1
P
1
0.2
3
0.1
5
0.1
7
0.3
9
0.3
探究一
探究二
探究三
素养形成
第七章随机变量及其分布列章末总结-高二数学教材配套教学课件(人教A版2019选择性必修第三册)
=
=
2
.
3
=
4
,
15
典例分析
(2)因为有放回地依次取出3个球,每次取出之前暗箱的情况没有变化,所以每
次取球互不影响,
6
3
所以第 1 次取出的是白球,第 3 次取到黑球的概率为10 = 5.
4
2
2
(3)依题意,每次取到白球的概率为10 = 5,且每次互不影响,故ξ~B 3, 5 ,
例1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,求:
(1)第1次抽到理科题的概率;
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率;
(3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.
解: 设“第1次抽到理科题”为事件 A ，“第2次抽到理科题”为事件 B ，则“第1次和第2次都抽
这时称 X 服从二项分布，记为 X～B(n，p)．
当 X～B(n，p)时，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
知识梳理
要点四 超几何分布
(1) 若随机变量 X 服从超几何分布，则满足如下条件：
①该试验是不放回地抽取 n 次；
②随机变量 X 表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
(2)一般地，设有 N 件产品，其中次品的件数分别为 M，(M≤N)，从中任取 n(n≤N)
<
>
/m
<
>
/m
<
典例分析
（2）因为 n(AB) =
>
m
<
A23
= 6 ，所以 P(AB) =
>
/m
<
>
m
工程数学概率 第二章(一)
1
2
……
30
3 X ~ b(30, ) 4
设100件产品中有95件合格品，5件次品，先从中 例2、 随机抽取10件，每次取一件，X—10件产品中的次品数， (1)有放回的抽取，求 X的分布律； (2)无放回的抽取，求 X的分布律； (3)有放回的情况，求10件产品中至少有2件次品的概率。 解：(1) A — 取得次品， P(A)=0.05,
1/ 5e x / 5 f ( x) 0
x0 x 0,
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3、正态分布
定义1：若随机变量 X 的概率密度函数为
则称X 服从参数为 的正态分布或高斯分布， f (x)的图形：
特点：(52页）
(1) f (x)关于 (2) f (x)在 (3)
定义2、
解 由题意可知
，则
的分布律为
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将
带入可得 的分布律为
34页例2：几何分布
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二、常用的离散型随机变量及其分布
Ⅰ. (0—1)分布 定义1.如果随机变量
的分布律为
则称
服从参数为
的(0—1)分布。
（0 —1）分布的分布律也可写成 注：如果随机试验只有两个结果，总能定义一个服从 (0 —1)分布的随机变量。
1. 概率密度 定义1. 设 F(x) 是随机变量 X的分布函数，若存在非负 函数 f x x , ，使对任意实数 x 有
则称 X为连续型随机变量，称 f ( x)为 X 的概率密度函 数，简称概率密度或密度函数。
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高考数学复习考点题型专题讲解48 随机变量及其分布
高考数学复习考点题型专题讲解专题48 随机变量及其分布高考定位离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度.1.(2022·浙江卷)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________.答案16 35 127解析由题意知P(ξ＝2)＝C12C24＋C22C14C37＝1635.ξ的可能取值为1，2，3，4，P(ξ＝1)＝C26C37＝1535＝37，P(ξ＝3)＝C23C37＝335，P(ξ＝4)＝1C37＝135，所以ξ的分布列为E(ξ)＝1×37＋2×1635＋3×335＋4×135＝127.2.(2022·北京卷)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X)；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)解(1)甲在以往的10次比赛成绩中，有4次比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)，故由频率估计概率可得，甲获得优秀奖的概率为0.4.(2)设甲获得优秀奖为事件A1，乙获得优秀奖为事件A2，丙获得优秀奖为事件A3，则P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.5.X的可能取值为0，1，2，3，故P(X＝0)＝P(A－1A－2A－3)＝0.6×0.5×0.5＝320，P(X＝1)＝P(A1A－2A－3)＋P(A－1A2A－3)＋P(A－1A－2A3)＝0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝820＝25，P(X＝2)＝P(A1A2A－3)＋P(A1A－2A3)＋P(A－1A2A3)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝7 20，P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝0.4×0.5×0.5＝220＝110.∴X的分布列为∴E(X)＝0×320＋1×25＋2×720＋3×110＝75.(3)丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为1 4，甲获得9.80的概率为1 10，乙获得9.78的概率为1 6 .并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.热点一分布列的性质及应用离散型随机变量X的分布列为则(1)p i≥0，i＝1，2，…，n.(2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.(3)E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n .(4)D (X )＝∑n i ＝1[x i－E (X )]2p i .(5)若Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X ). 例1 (1)(多选)设离散型随机变量X 的分布列如下表：若离散型随机变量Y ＝－3X ＋1，且E (X )＝3，则( ) A.m ＝0.1 B.n ＝0.1 C.E (Y )＝－8 D.D (Y )＝－7.8(2)已知随机变量ξ的分布列如表所示，若E (ξ)＝D (ξ)，则下列结论中不可能成立的是( )A.a ＝13B.a ＝23C.k ＝12D.k ＝32答案 (1)BC (2)D解析 (1)由E (X )＝1×m ＋2×0.1＋3×0.2＋4×n ＋5×0.3＝3，得m ＋4n ＝0.7， 又由m ＋0.1＋0.2＋n ＋0.3＝1， 得m ＋n ＝0.4，从而得m ＝0.3，n ＝0.1，故A 选项错误，B 选项正确；E (Y )＝－3E (X )＋1＝－8，故C 选项正确；因为D (X )＝0.3×(1－3)2＋0.1×(2－3)2＋0.1×(4－3)2＋0.3×(5－3)2＝2.6， 所以D (Y )＝(－3)2D (X )＝23.4，故D 选项错误. (2)由题意得E (ξ)＝ka ＋(k －1)(1－a )＝k －1＋a ，D (ξ)＝[k －(k －1＋a )]2·a ＋[k －1－(k －1＋a )]2·(1－a )＝a (1－a ). 因为E (ξ)＝D (ξ)， 所以k －1＋a ＝a (1－a )， 所以k ＝1－a 2，又⎩⎨⎧a ≥0，1－a ≥0，所以0≤a ≤1， 所以k ＝1－a 2∈[0，1]，故k ＝32不成立.规律方法 分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性. (2)随机变量X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.训练1 (1)(2022·温州模拟)已知随机变量X ，Y 的分布列如下：则( )A.D(X)＝3D(Y)B.D(Y)＝3D(X)C.D(X)＝9D(Y)D.D(Y)＝9D(X)(2)(2022·长沙模拟)设a>0，若随机变量ξ的分布列如下：则下列方差值中最大的是( )A.D(ξ)B.D(|ξ|)C.D(2ξ－1)D.D(2|ξ|＋1)答案(1)D (2)C解析(1)从表中可知Y＝3X－1，∴D(Y)＝D(3X－1)，∴D(Y)＝9D(X)，故选D.(2)由题意知a＋2a＋3a＝1，a＝1 6，E(ξ)＝－1×16＋0×13＋2×12＝56，E(|ξ|)＝1×16＋0×13＋2×12＝76，D(ξ)＝16×⎝⎛⎭⎪⎫－1－562＋13×⎝⎛⎭⎪⎫0－562＋12×⎝⎛⎭⎪⎫2－562＝5336，D(|ξ|)＝16×⎝⎛⎭⎪⎫1－762＋13×⎝⎛⎭⎪⎫0－762＋12×⎝⎛⎭⎪⎫2－762＝2936.D(ξ)>1>D(|ξ|)，D(2ξ－1)＝4×5336＝539，D(2|ξ|＋1)＝4×2936＝299.所以D(2ξ－1)最大.热点二随机变量的分布列1.二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).2.超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，E(X)＝n·M N .考向1 二项分布例2 (2022·南昌模拟)接种新冠疫苗可以有效降低感染新冠肺炎的概率.某地区有A，B，C三种新冠疫苗可供居民接种.假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足.为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A，B，C三种号码(产生每个号码的可能性都相等)，前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗(例如：取到号码A，就接种A种疫苗，以此类推).若甲，乙，丙，丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗.(1)求这四个人中恰有一个人接种A 种疫苗的概率；(2)记甲，乙，丙，丁四个人中接种A 种疫苗的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.解 (1)记四个人中恰有一个人接种A 种疫苗的事件为M ， 则P (M )＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，所以四个人中恰有一个人接种A 种疫苗的概率为3281. (2)由题意可知，X 的取值依次为0，1，2，3，4，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，P (X ＝k )＝C k4⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－k(k ＝0，1，2，3，4)，故随机变量X 的分布列：故E (X )＝4×13＝43.考向2 超几何分布例3(2022·烟台模拟)2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京成功举办.某学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况(单位：分钟)，并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值，并估计样本数据的85%分位数；(2)采用样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在[200，280]的学生中抽取6人.若从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，设抽取的3人中观看时长在[200，240)的人数为X，求X的分布列和数学期望.解(1)由题意，40×(0.000 5＋0.002×2＋2a＋0.006＋0.006 5)＝1，解得a＝0.004. 由频率分布直方图知，观看时长在200分钟以下占比为40×(0.000 5＋0.002＋0.004＋0.006＋0.006 5)＝0.76.观看时长在240分钟以下占比为0.76＋40×0.004＝0.92.所以85%分位数位于[200，240)内，85%分位数为200＋40×0.85－0.760.92－0.76＝222.5.(2)由题意，观看时长[200，240)、[240，280]对应的频率分别为0.16和0.08，所以采用分层随机抽样的方式在两个区间中应分别抽取4人和2人.于是抽取的3人中观看时长在[200，240)中的人数X的所有可能取值为1，2，3.所以，P(X＝1)＝C14·C22C36＝15，P(X＝2)＝C24·C12C36＝35，P(X＝3)＝C34C36＝15.X的分布列为所以，E(X)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.规律方法求随机变量X的均值与方差的方法及步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；(2)求X取每个值对应的概率，写出随机变量X的分布列；(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解.训练2(2022·茂名二模)冰壶是冬季奥运会的比赛项目之一.冰壶比赛的场地如图所示，其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分.已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为13，14；甲、乙得2分的概率分别为25，12；甲、乙得1分的概率分别为15，16.(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X ，求X 的分布列和期望. 解 (1)由题意知，甲得0分的概率为1－13－25－15＝115，乙得0分的概率为1－14－12－16＝112，所以甲、乙两人所得分数相同的概率为 13×14＋25×12＋15×16＋115×112＝2990. (2)X 可能取值为0，1，2，3，4，5，6， 则P (X ＝0)＝115×112＝1180，P (X ＝1)＝115×16＋15×112＝136，P (X ＝2)＝115×12＋15×16＋25×112＝110，P (X ＝3)＝115×14＋15×12＋25×16＋13×112＝1990，P (X ＝4)＝15×14＋25×12＋13×16＝1136， P (X ＝5)＝25×14＋13×12＝415，P(X＝6)＝13×14＝112，所以，随机变量X的分布列为所以E(X)＝0×1180＋1×136＋2×110＋3×1990＋4×1136＋5×415＋6×112＝4712.热点三正态分布解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x＝μ.(2)样本标准差σ.(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间.例4 (1)(2022·滨州二模)设随机变量X～N(μ，σ2)，则“μ≥1”是“P(X＜2)＜1 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(多选)(2022·沈阳模拟)已知某种袋装食品每袋质量(单位：g)X～N(500，16).P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 3，则下面结论正确的是( )A.σ＝4B.P(496≤X≤504)＝0.954 5C.随机抽取10 000袋这种食品，袋装质量在区间[492，504]的约8 186袋D.随机抽取10 000袋这种食品，袋装质量小于488 g的一定不多于14袋答案(1)B (2)AC解析(1)当μ＝1时，根据正态曲线的对称性可知P(X＜2)＞1 2，故μ≥1不是P(X＜2)＜12的充分条件；反之，若P(X＜2)＜1 2，由对称性可知μ≥1，故μ≥1是P(X＜2)＜12的必要条件；故μ≥1是P(X＜2)＜12的必要不充分条件.故选B.(2)对于A，∵袋装食品每袋质量(单位：g)X～N(500，16)，∴σ＝4，故A正确；对于B，P(496≤X≤504)＝P(500－4≤X≤500＋4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，故B错误；对于C，∵P(500≤X≤504)＝12P(496≤X≤504)＝12×0.682 7＝0.341 35，P(492≤X≤500)＝12P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝12×0.954 5＝0.477 25，∴P(492≤X≤504)＝P(492≤X≤500)＋P(500≤X≤504)＝0.818 6，10 000×0.818 6＝8 186，故随机抽取10 000袋这种食品，袋装质量在区间[492，504]的约8 186袋，故C正确；对于D，P(X≤488)＝12[1－P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)]＝12(1－0.997 3)＝0.001 35，10 000×0.001 35＝13.5，故随机抽取10 000袋这种食品，袋装质量小于488 g的约为13.5袋，但抽取时有可能多于14袋，故D错误.故选AC.规律方法利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的活用：(1)对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a).(2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0).(3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a).训练3 (1)设随机变量ξ～N(μ，1)，函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，则P(0≤ξ≤1)等于( )(附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5)A.0.158 7B.0.135 9C.0.271 8D.0.341 3(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________.答案(1)B (2)0.14解析(1)∵函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点，即一元二次方程x2＋2x－ξ＝0无实根，∴Δ＝4＋4ξ＜0，即ξ＜－1，又f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，∴P (ξ＜－1)＝0.5，由正态曲线的对称性知μ＝－1， ∴ξ～N (－1，1)，∴μ＝－1，σ＝1，∴μ－σ＝－2，μ＋σ＝0，μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝1， ∴P (－2≤ξ≤0)≈0.682 7，P (－3≤ξ≤1)≈0.954 5，∴P (0≤ξ≤1)＝12[P (－3≤ξ≤1)－P (－2≤ξ≤0)]≈0.954 5－0.682 72＝0.135 9.(2)因为X ～N (2，σ2)， 所以P (X >2)＝0.5，所以P (X >2.5)＝P (X >2)－P (2<X ≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.一、基本技能练1.(2022·金华模拟)已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则数学期望E (ξ)为( ) A.45B.910 C.1 D.65答案 D解析 ξ可取0，1，2， P (ξ＝0)＝C 22C 25＝110，P (ξ＝1)＝C 12C 13C 25＝610，P (ξ＝2)＝C 23C 25＝310，∴E(ξ)＝0×110＋1×610＋2×310＝65，故选D.2.(2022·海南模拟)已知随机变量X～N(3，σ2)，且P(X＜0)·P(X＞6)＝0.04，则P(0＜X＜3)＝( )A.0.2B.0.3C.0.4D.0.1答案 B解析因为随机变量X～N(3，σ2)，所以曲线关于x＝3对称，且令P(X＜0)＝P(X＞6)＝t，∴t2＝0.04，∴t＝0.2，即P(X＜0)＝P(X＞6)＝0.2，∴P(0＜X＜3)＝0.5－P(X＜0)＝0.3，故选B.3.设随机变量X，Y满足Y＝3X－1，X～B(2，p)，若P(X≥1)＝59，则D(Y)等于( )A.4B.5C.6D.7 答案 A解析由题意可得，P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C02(1－p)2＝5 9，解得p＝1 3，则D(X)＝np(1－p)＝2×13×23＝49，D (Y )＝32D (X )＝4.故选A.4.(2022·武汉模拟)已知随机变量X ～N (1，σ2)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a )，则⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6的展开式中常数项为( ) A.－240 B.－60 C.240 D.60 答案 D解析 根据正态分布曲线关于直线x ＝1对称，且P (X ≤0)＝P (X ≥a )，可得a ＝2，则⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6，通项为T r ＋1＝C r 6(x )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 6x6－3r 2，若此项为常数项，则6－3r ＝0，解得r ＝2， 所以常数项为(－2)2C 26＝60，故选D.5.(2022·广州二模)某种包装的大米质量ξ(单位：kg)服从正态分布ξ～N (10，σ2)，根据检测结果可知P (9.98≤ξ≤10.02)＝0.98，某公司购买该种包装的大米2 000袋，则大米质量在10.02 kg 以上的袋数大约为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 答案 B解析 因为大米质量ξ～N (10，σ2)，且P (9.98≤ξ≤10.02)＝0.98， 则P (ξ＞10.02)＝1－P （9.98≤ξ≤10.02）2＝0.01，所以大米质量在10.02 kg 以上的袋数大约为2 000×0.01＝20.故选B.6.(多选)若随机变量X 服从两点分布，其中P (X ＝0)＝13，E (X )，D (X )分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( ) A.P (X ＝1)＝23B.E (3X ＋2)＝4C.D (3X ＋2)＝2D.D (X )＝49答案 ABC解析 ∵随机变量X 服从两点分布，其中P (X ＝0)＝13，∴P (X ＝1)＝23，E (X )＝0×13＋1×23＝23，D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×23＝29，在A 中，P (X ＝1)＝23，故A 正确；在B 中，E (3X ＋2)＝3E (X )＋2＝3×23＋2＝4，故B 正确；在C 中，D (3X ＋2)＝9D (X )＝9×29＝2，故C 正确；在D 中，D (X )＝29，故D 错误.7.已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，P (ξ≤6)＝0.84，则P (ξ≤0)＝________. 答案 0.16解析 因为随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)， 所以P (ξ≤0)＝P (ξ≥6)，又P(ξ≤6)＝0.84，所以P(ξ≤0)＝1－P(ξ≤6)＝1－0.84＝0.16.8.已知某小组7人中有4人未接种疫苗，3人接种了疫苗.从这7人中随机抽取3人，用X表示抽取的3人中未接种疫苗的人数，则随机变量X的数学期望为________；记“抽取的3人中，既有接种疫苗的人，也有未接种疫苗的人”为事件A，则P(A)＝________.答案12 7 6 7解析由题意可得X的可能取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝C33C37＝135，P(X＝1)＝C14C23C37＝1235，P(X＝2)＝C24C13C37＝1835，P(X＝3)＝C34C37＝435，∴E(X)＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.P(A)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝1235＋1835＝67.9.(2022·宁波二模)一个袋中装有大小质地完全相同的m个红球和2m个白球(m∈N*)，从中任取3个球.记取出的白球个数为ξ，若P(ξ＝1)＝15，则m＝________，E(ξ)＝________. 答案 2 2解析根据题意，取出的三个球中恰好有一个白球的概率为P(ξ＝1)＝C12mC2mC33m＝15，解得m＝2.所以袋中有2个红球，4个白球，则取出的三个球中白球个数ξ的可能取值为1，2，3，所以P(ξ＝1)＝15，P(ξ＝2)＝C24C12C36＝35，P(ξ＝3)＝C34C36＝15，∴E(ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.10.甲、乙两个球队进行篮球决赛，采取五局三胜制(共赢得三场比赛的队伍获胜，最多比赛五局)，每场球赛无平局.根据前期比赛成绩，甲队的主场安排为“主客主主客”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以3∶2获胜的概率为________.答案0.18解析由题意知，甲队以3∶2获胜，则甲队第五场必胜，前四场“主客主主”中胜两局，有两种情况：一种为三个主场胜两场，一种为客场胜一场主场胜一场，其概率为C23×0.62×0.4×0.5×0.5＋C13×0.6×0.42×0.5×0.5＝0.18.11.(2022·唐山模拟)甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制.根据以往数据，在决胜局(在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛)中，甲、乙两队获胜的概率均为0.5；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4.(1)若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了ξ局比赛，求随机变量ξ的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大；(2)如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？解(1)由题意知：ξ的可能取值为3，4，5.则P(ξ＝3)＝0.63＋0.43＝0.28；P(ξ＝4)＝C13×0.4×0.63＋C13×0.6×0.43＝0.374 4；P(ξ＝5)＝C24×0.42×0.62＝0.345 6. 则ξ的分布列为∵0.374 4＞0.345 6＞0.28，∴进行四局比赛的可能性最大.(2)作为甲队领队，希望甲队最终获胜，若采用五局三胜制，甲队获胜的概率为p 1＝0.63＋C13×0.4×0.63＋C24×0.42×0.62×0.5＝0.648；若采用三局两胜制，甲队获胜的概率为p 2＝0.62＋C12×0.4×0.6×0.5＝0.6；∵p1＞p2，∴作为甲队领队，希望采用五局三胜制.12.(2022·济宁模拟)血液检测是诊断是否患疾病的重要依据，通过提取病人的血液样本进行检测，样本的某一指标会呈现阳性或阴性.若样本指标呈阳性，说明该样本携带病毒；若样本指标呈阴性，说明该样本不携带病毒.根据统计发现，每个疑似病例的样本呈阳性(即样本携带病毒)的概率均为p(0＜p＜1).现有4例疑似病例，分别对其进行血液样本检测.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要携带病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性.若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下两种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：平均分成两组化验.在该疾病爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”. (1)若p ＝13，求这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X 的分布列；(2)若将该4例疑似病例样本进行化验，且方案二比方案一更“优”，求p 的取值范围. 解 (1)由题意知，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则P (X ＝0)＝C 04⎝⎛⎭⎪⎫1－134＝1681；P (X ＝1)＝C 14×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝3281；P (X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝⎛⎭⎪⎫1－132＝2481＝827；P (X ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝881；P (X ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181.则这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X 的分布列为(2)方案一中，逐个化验，化验次数为4，期望为4.方案二中，设化验次数为Y ，则Y 的所有可能取值为2，4，6. 每组两个样本化验呈阴性的概率为(1－p )2，设x ＝(1－p )2. 则P (Y ＝2)＝x 2；P (Y ＝4)＝C 12x (1－x )； P (Y ＝6)＝(1－x )2.所以E (Y )＝2×x 2＋4×C 12x (1－x )＋6×(1－x )2＝6－4x .若方案二比方案一更“优”，则E (Y )＝6－4x ＜4，解得x ＞12，即x ＝(1－p )2＞12，解得0＜p ＜1－22.所以当0＜p ＜1－22时，方案二比方案一更“优”. 二、创新拓展练13.(多选)(2022·苏州模拟)已知随机变量X 服从二项分布B (4，p )，其数学期望E (X )＝2，随机变量Y 服从正态分布N (p ，4)，且P (X ＝3)＋P (Y ＜a )＝1，则( ) A.p ＝14B.p ＝12C.P (Y ＞1－a )＝14D.P (Y ＞1－a )＝34答案 BD解析 由题意知E (X )＝np ＝4p ＝2，即p ＝12，P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫124－3＝14，∴P (Y ＜a )＝34，由于Y ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，对称轴x ＝12，所以P (Y ＞1－a )＝P (Y ＜a )＝34.故选BD.14.(多选)(2022·南京模拟)下列命题中，正确的命题的选项为( ) A.已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝23B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C.设随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，若P (ξ＞1)＝p ，则P (－1＜ξ≤0)＝12－pD.某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，X ～B (10，0.8)，则当X ＝8时概率最大 答案 BCD解析 对于A ，⎩⎨⎧E （X ）＝np ＝30，D （X ）＝np （1－p ）＝20，解得⎩⎨⎧p ＝13，n ＝90，A 错误； 对于B ，方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，B 正确；对于C ，ξ服从正态分布N (0，1)，P (－1＜ξ≤0)＝P (0≤ξ＜1)＝12－P (ξ＞1)＝12－p ，C 正确；对于D ，X ～B (10，0.8)，则P (X ＝k )＝C k 100.8k ×0.210－k， 由⎩⎨⎧C k 100.8k ×0.210－k ≥C k －1100.8k －1×0.211－k，C k 100.8k ×0.210－k ≥C k ＋1100.8k ＋1×0.29－k，解得395≤k≤445，因为k∈N*，所以k＝8.D正确.15.(多选)(2022·福州模拟)在某独立重复试验中，事件A，B相互独立，且在一次试验中，事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为1－p，其中p∈(0，1).若进行n次试验，记事件A发生的次数为X，事件B发生的次数为Y，事件AB发生的次数为Z，则下列说法正确的是( )A.E(X)＝E(Y)B.D(X)＝D(Y)C.E(Z)＝D(X)D.n·D(Z)＝D(X)·D(Y)答案BC解析因为E(X)＝np，E(Y)＝n(1－p)，即A错误；因为D(X)＝np(1－p)，D(Y)＝n(1－p)p，即B正确；因为A，B相互独立，所以P(AB)＝p(1－p)，所以E(Z)＝np(1－p)＝D(X)，即C正确；因为nD(Z)＝n2p(1－p)[1－p(1－p)]，D(X)D(Y)＝n2p2(1－p)2，即D错误.故选BC.16.(2022·徐州模拟)在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量X～B(n，p)，记p k＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.在研究p k的最大值时，小组同学发现：若(n＋1)p为正整数，则k＝(n＋1)p时，p k＝p k－1，此时这两项概率均为最大值；若(n＋1)p为非整数，当k取(n＋1)p的整数部分时，则p k是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为________的概率最大.答案 18解析 继续再进行80次投掷试验，出现点数为1的次数X 服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫80，16，由k ＝(n ＋1)p ＝81×16＝272＝13.5，结合题中的结论可知，当k ＝13时，概率最大，即后面80次中出现13次点数1的概率最大，加上前面20次中的5次， 所以出现18次的概率最大.17.(2022·日照模拟)春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20～10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9：20～9：40记作区间[20，40)，9：40～10：00记作[40，60)，10：00～10：20记作[60，80)，10：20～10：40记作[80，100]，例如：10点04分，记作时刻64.(1)估计这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)为了对数据进行分析，现采用分层随机抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X 为9：20～10：00之间通过的车辆数，求X 的分布列与数学期望；(3)由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ可用这600辆车在9：20～10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，已知大年初五全天共有1 000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数(结果保留到整数).参考数据：若T～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤T≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤T≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ≤T≤μ＋3σ)＝0.997 3.解(1)这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为(30×0.005＋50×0.015＋70×0.020＋90×0.010)×20＝64，即10：04.(2)结合频率分布直方图和分层随机抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20，60)这一区间内的车辆数，即(0.005＋0.015)×20×10＝4，所以X的可能取值为0，1，2，3，4.所以P(X＝0)＝C46C410＝114，P(X＝1)＝C14C36C410＝821，P(X＝2)＝C24C26C410＝37，P(X＝3)＝C34C16C410＝435，P(X＝4)＝C44C410＝1210.所以X的分布列为所以E(X)＝0×114＋1×821＋2×37＋3×435＋4×1210＝85.(3)由(1)得μ＝64，σ2＝(30－64)2×0.1＋(50－64)2×0.3＋(70－64)2×0.4＋(90－64)2×0.2＝324，所以σ＝18，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数也就是在[46，100)通过的车辆数，由T～N(64，182)，得P(64－18≤T≤64＋2×18)＝P（μ－σ≤T≤μ＋σ）2＋P（μ－2σ≤T≤μ＋2σ）2＝0.818 6，所以估计在9：46～10：40之间通过的车辆数为1 000×0.818 6≈819(辆).。
《概率论与数理统计》课件-第2章随机变量及其分布 (1)
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概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次 数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数， 原子放射的粒子数，保险公司在一定时期内被索赔的次 数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
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第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义： 设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在 上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)
专题01 离散型随机变量分布列(解析版)
概率与统计专题01 离散型随机变量分布列常见考点考点一 离散型随机变量分布列典例1．某校组织“百年党史”知识比赛，每组有两名同学进行比赛，有2道抢答题目．已知甲、乙两位同学进行同一组比赛，每人抢到每道题的机会相等．抢到题目且回答正确者得100分，没回答者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，没抢到者得50分，2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲答对每道题目的概率为45．乙答对每道题目的概率为35，且两人各道题目是否回答正确相互独立．(1)求乙同学得100分的概率；(2)记X 为甲同学的累计得分，求X 的分布列和数学期望． 【答案】(1)37100； (2)分布列见解析，()100E X =. 【解析】 【分析】（1）应用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法，求乙同学得100分的概率；（2）由题意知X 可能值为{0,50,100,150,200}，分别求出对应概率，写出分布列，进而求期望. (1)由题意，乙同学得100分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误}、{甲乙各抢到一题都回答正确}、{甲抢到两题且回答错误}，所以乙同学得100分的概率为1312141311113722252525252525100⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. (2)由题意，甲同学的累计得分X 可能值为{0,50,100,150,200}，1111111313134(0)225252525252525P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=；121112134(50)222525252525P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=；1212111414139(100)2225252525252525P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=；14124(150)2252525P X ==⨯⨯⨯⨯=；14144 (200)252525P X==⨯⨯⨯=；分布列如下：所以期望44944()050100150200100 2525252525E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.变式1-1．第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为34；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为45和58；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和32p-，其中34p<<．(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进人决赛的概率为2972，求p的值；(3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列．【答案】(1)甲进入决赛可能性最大(2)23 p=(3)分布列见解析【解析】【分析】（1）分别求出甲、乙、丙三人初赛的两轮均获胜的概率，然后比较即可；（2）利用相互独立事件的概率的求法分别求出甲和乙进入决赛的概率、乙和丙进入决赛的概率、甲和丙进入决赛的概率，即可通过甲、乙、丙三人中恰有两人进人决赛的概率为2972，列方程求解；（3）先确定进入决赛的人数为ξ的取值，依次求出每一个ξ值所对应的概率，列表即可.(1)甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：13394416P =⨯= 乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：2451582P =⨯=丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：233322P P P P P ⎛⎫=⋅-=-+ ⎪⎝⎭∵3043012p p ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∵1324p <<，∵2339941616P P ⎛⎫=--+< ⎪⎝⎭ ∵甲进入决赛可能性最大． (2)()()()123132231111P P P PP P P P P P =⨯++⨯---222913931139111162216222216p p p p p p ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯--+⨯-⨯-+⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2972=整理得21827100p p -+=，解得23p =或56p =，又∵1324p <<，∵23p =； (3)由（2）得，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：345199P =-=， 进入决赛的人数为ξ可能取值为0，1 ，2，3，71417(0)162972P ξ==⨯⨯=， 71591471411(1)16291629162932P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 91495171529(2)16291692162972P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 9155(3)162932P ξ==⨯⨯=， ∵ξ的分布列为变式1-2．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14．(1)若有一辆车独立地从甲地到乙地，求这一辆车未遇到红灯的概率；(2)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【答案】(1)14(2)分布列见解析，1312【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.（2）结合相互独立事件概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望. (1)设“一辆车未遇到红灯”为事件A ， 则()11111112344P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(2)随机变量X 的所以可能的取值为0,1,2,3， 则(0)P X ==1111(1)(1)(1)2344-⋅-⋅-=(1)P X ==1111111111111111123423423424⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-+-⋅⋅-+-⋅-⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)P X ==11111111111112342342344⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅-⋅+-⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (3)P X ==111123424⋅⋅=. 随机变量X 的分布列：随机变量X 的数学期望：1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 变式1-3．对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为∵，∵，∵三个部分.要击落飞机，必须在∵部分命中一次，或在∵部分命中两次，或在∵部分命中三次.设炮弹击落飞机时，命中∵部分的概率是16，命中∵部分的概率是13，命中∵部分的概率是12，射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立. (1)求恰好在第二次射击后击落飞机的概率； (2)求击落飞机的命中次数X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)14； (2)分布列见解析，83. 【解析】 【分析】(1)把恰好在第二次射击后击落飞机的事件拆成两个互斥事件的和，再利用独立事件概率公式计算作答.(2)求出X 的可能值，并求出每个取值的概率，列出分布列并求出期望作答. (1)设恰好第二次射击后击落飞机为事件A 是第一次未击中∵部分，在第二次击中∵部分的事件与两次都击中∵部分的事件的和，它们互斥，所以25111()()6634P A =⨯+=.(2)依题意，X 的可能取值为1，2，3，4，1X =的事件是射击一次击中∵部分的事件，1(1)6P X ==，由(1)知，1(2)4P X ==， 3X =的事件是前两次射击击中∵部分、∵部分各一次，第三次射击击中∵部分或∵部分的事件，与前两次射击击中∵部分，第三次射击击中∵部分或∵部分的事件的和，它们互斥，12211111111(3)C ()()()32632623P X ==⨯⨯⨯++⨯+=， 4X =的事件是前三次射击击中∵部分一次，∵部分两次，第四次射击的事件，123111(4)C ()1324P X ==⨯⨯⨯=，所以X的分布列为：X的数学期望()11118 123464343E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.典例2．高三学生甲、乙为缓解紧张的学习压力，相约本星期日进行“某竞技体育项目”比赛．比赛采用三局二胜制，先胜二局者获胜．商定每局比赛(决胜局第三局除外)胜者得3分，败者得1分，决胜局胜者得2分，败者得0分．已知每局比赛甲获胜的概率为23，各局比赛相互独立．(1)求比赛结束，乙得4分的概率；(2)设比赛结束，甲得X分，求X的概率分布与数学期望．【答案】(1)827；(2)分布列见解析，()14227E X=.【解析】【分析】（1）根据题意，求得得4分的事件，即可求得其概率；（2）根据题意，求得X的取值，再求概率从而求得分布列，再根据分布列求得数学期望即可.(1)若比赛结束，乙得4分，则比赛结果是甲以2:1获胜，故前两局比赛，甲胜1场，败1场，最后一局比赛，甲胜.则比赛结束，乙得4分的概率为122128 33327C⨯⨯⨯=.(2)若甲连胜2局结束比赛，甲得6分，其概率为224 39⎛⎫=⎪⎝⎭；若甲连败2局结束比赛，甲得2分，其概率为21139⎛⎫= ⎪⎝⎭；若甲以2:1结束比赛，甲得6分，其概率为12212833327C ⨯⨯⨯=； 若乙以2:1结束比赛，甲得4分，其概率为12211433327C ⨯⨯⨯=； 故X 的分布列如下所示：故()14201422469272727E X =⨯+⨯+⨯=. 变式2-1．现有甲、乙、丙三道多选题，某同学独立做这三道题，根据以往成绩，该同学多选题的得分只有2分和0分两种情况．已知该同学做甲题得2分的概率为34，分别做乙、丙两题得2分的概率均为23．假设该同学做完了以上三道题目，且做每题的结果相互独立． (1)求该同学做完了以上三题恰好得2分的概率； (2)求该同学的总得分X 的分布列和数学期望()E X ． 【答案】(1)736(2)分布列见解析，数学期望()256E X = 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式进行求解即可；（2）写出随机变量X 的所有可能取值，求出对应概率，从而可求出分布列，再根据期望公式即可求出期望. (1)解：记“该同学做完了以上三题恰好得2分”为事件A ，“该同学做甲题得2分”为事件B ，“该同学做乙题得2分”为事件C ．“该同学做丙题得2分”为事件D ，由题意知32(),()()43P B P C P D ===， 因为A BCD BCD BCD =++，所以()()P A P BCD BCD BCD =++()()()P BCD P BCD P BCD =++()()()()()P B P C P D P B P C =+⋅()()()()P D P B P C P D +322322322711111143343343336⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2)解：根据题意，X 的可能取值为0，2，4，6， 所以3221(0)11143336P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由（1）知7(2)36P X ==， 322121(6)433363P X ==⨯⨯==4(4)1(0)(2)(6)9P X P X P X P X ==-=-=-==， 故X 的分布列为所以174125()024********E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 变式2-2．某运动会中，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目，比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球（机会均等），此后均由每个球的赢球者发下一个球，对于每一个球，若发球者贏此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分.当有一人累计得分超过5分时，比赛就结束，得分高者获胜.已知在选手甲和乙的对垒中，发球一方赢得此球的概率都是0.6，各球结果相互独立.(1)假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求比赛出现比分2:2的概率；(2)已知现在比分3:3，接下来由甲发球，两人又打了X 个球后比赛结束，求X 的分布列及数学期望.【答案】(1)0.304；(2)分布列见解析，() 2.904E X =. 【解析】 【分析】(1)把比赛出现比分2:2的事件拆成两个互斥的和，再分别求出每个事件的概率即可得解. (2)求出X 的所有可能值，再分析计算求出各个值的概率，列出分布列，求出期望作答.(1)比赛出现比分2:2的事件A 是甲发三球，前两球甲赢，第三球乙赢的事件1A 与甲发球乙赢、乙发球甲赢的事件2A 的和，事件1A 与2A 互斥，1()0.60.60.40.144P A =⨯⨯=，2()0.40.40.16P A =⨯=， 因此，12()()0.1440.160.304P A P A A =+=+=， 所以比赛出现比分2:2的概率为0.304. (2)X 的所有可能值为：2，3，4，因比分已是3:3，接下来由甲发球，且有一人累计得分超过5分时，比赛就结束，2X =的事件是甲发球乙赢，乙发球乙赢比赛结束的事件，(2)0.40.60.24P X ==⨯=，3X =的事件是以下3个互斥事件的和：甲发三球甲赢，比赛结束的事件；甲发第一球甲赢，发第二球乙赢，乙发球比赛结束的事件；甲发第一球乙赢，乙发第二球甲赢，甲发球比赛结束的事件，3(3)0.60.60.410.40.410.616P X ==+⨯⨯+⨯⨯=，4X =的事件是甲发前两球甲赢，发第三球乙赢，乙再发球比赛结束的事件，2(4)0.60.410.144P X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为：X 的数学期望：()20.2430.61640.144 2.904E X =⨯+⨯+⨯=.变式2-3．为进一步加强未成年人心理健康教育，如皋市教育局决定在全市深入开展“东皋大讲堂”进校园心理健康教育宣讲活动，为了缓解高三学生压力，高三年级某班级学生在开展“东皋大讲堂”过程中，同座两个学生之间进行了一个游戏，甲盒子中装有2个黑球1个白球，乙盒子中装有3个白球，现同座的两个学生相互配合，从甲、乙两个盒子中各取一个球，交换后放入另一个盒子中，重复进行n 次这样的操作，记甲盒子中黑球的个数为n X ，恰好有2个黑球的概率为n a ，恰好有1个黑球的概率为n b .(1)求第二次操作后，甲盒子中没有黑球的概率； (2)求3X 的概率分布和数学期望()3E X .【答案】(1)427； (2)答案见解析，()32827E X = 【解析】 【分析】（1）由题意得1112,33a b ==，然后分析第二次操作后，甲盒子中没有黑球的情况，从而求解出对应概率；（2）先计算22,a b ，判断3X 的取值为0,1,2，分别计算对应的概率，列出分布列，利用期望公式求解()3E X . (1)由题意知，1112,33a b ==，两次后甲盒子没有黑球时，必须第一次甲盒子中取出一个黑球，第二次甲盒子（黑1白2）再取出一个黑球，乙盒子中（黑1白2）取出一个白球，则11243327P b =⨯⨯= (2)211121733327b a a =⨯+⨯⨯=，21121122163333327b a b ⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，由题意，3X 的取值为0,1,2，则32124144(0)33273243P X b ==⨯⨯+⨯=，3222112242146(1)33333273243P X a b ⎛⎫==⨯+⨯+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，32212153(2)333243P X a b ==⨯+⨯⨯=所以3X 的分布列为所以()314653281224324327E X =⨯+⨯= 【点睛】求解分布列的问题时，一般需要先判断变量的可能取值，然后分析题目中的情况计算每个取值对应的概率，从而列出分布列，代入期望公式求解期望.巩固练习练习一 离散型随机变量分布列1．暑假里大学二年级的H 同学去他家附近的某个大型水果超市打工．他发现该超市每天以10元/千克的价格从中心仓库购进若干A 水果，然后以15元/千克的价格出售；若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回中心仓库．H 同学记录了打工期间A 水果最近50天的日需求量（单位：千克），整理得下表：以上表中各日需求量的频率作为各日需求量的概率，解答下面的两个问题．(1)若超市明天购进A 水果150千克，求超市明天获得利润X （单位：元）的分布列及期望； (2)若超市明天可以购进A 水果150千克或160千克，以超市明天获得利润的期望为决策依据，在150千克与160千克之中应当选择哪一个？若受市场影响，剩余的水果只能以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？请说明理由． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为743元 (2)超市应购进160千克，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）求出X 的可能取值及相应的概率，进而得到分布列及数学期望；（2）设该超市一天购进水果160千克，当天利润为Y 元，求出Y 的可能取值及相应的概率，求出数学期望，与第一问求出的期望值相比，得到结论. (1)若A 水果日需求量为140千克，则()()()1401510150140108680X =⨯---⨯-=，且()56800.150P X ===， 若A 水果日需求量不少于150千克，则()1501510750X =⨯-=，且()75010.10.9P X ==-=，故X 的分布列为：()6800.17500.9743E X =⨯+⨯=元(2)设该超市一天购进水果160千克，当天利润为Y 元，则Y 的可能取值为140×5-20×2，150×5-10×2,160×5，即660,730,800 且()56600.150P Y ===，()107300.250P Y ===，()358000.750P Y ===，则()6600.17300.28000.7772E Y =⨯+⨯+⨯=，因为772>743，所以超市应购进160千克.2．某工厂生产一种产品，由第一､第二两道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有A ，B 两个等级.两道工序的加工结果直接决定该产品的等级：两道工序的加工结果均为A 级时，产品为一等品；两道工序恰有一道.工序加工结果为B 级时，产品为二等品；其余均为三等品.每一道工序加工结果为A 级的概率如表一所示，一件产品的利润（单位：万元）如表二所示： 表一表二(1)用η（万元）表示一件产品的利润，求η的分布列和均值；(2)工厂对于原来的生产线进行技术升级，计划通过增加检测成本对第二工序进行改良，假如在改良过程中，每件产品检测成本增加()04x x ≤≤万元（即每件产品利润相应减少x 万元）时，第二工序加工结果为A 级的概率增加0.1x ，问该改良方案对一件产品的利润的均值是否会产生影响？并说明理由.【答案】(1)分布列答案见解析，()33.6E η=(2)该改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响，理由见解析【解析】 【分析】（1）由题意η的可能取值为50，20，10，分别求出其概率得分布列，再由期望公式计算出期望； （2）设改良后一件产品的利润为ξ，同（1）求出ξ的各可能取值的概率，计算出期望，由期望函数()E ξ与()E η比较可得结论． (1)由题意可知，η的可能取值为50，20，10， 产品为一等品的概率为0.8×0.6=0.48， 产品为二等品的概率为0.8×0.4+0.2×0.6=0.44， 产品为三等品的概率为1-0.48-0.44=0.08， 所以η的分布列为()500.48200.44100.0833.6E η=⨯+⨯+⨯=.(2)改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响，理由如下：由题意可知，改良过程中，每件产品检测成本增加()04x x ≤≤万元时，第二工序加工结果为A 级的概率增加0.1x ，设改良后一件产品的利润为ξ，则ξ可能的取值为50x -，20x -，10x -， 所以一等品的概率为()0.80.10.60.480.08x x ⨯+=+，二等品的概率为()()()0.810.60.110.80.60.10.440.06x x x ⨯-++-⨯+=-⎡⎤⎣⎦， 三等品的概率为()()10.480.080.440.060.080.02x x x -+--=-， 所以()()()()()()()0.480.08500.440.06200.080.0210 1.633.6E x x x x x x x ξ=+⨯-+-⨯-+-⨯-=+，因为()E ξ在[]0,4上单调递增，故当4x =时，()E ξ取到最大值为40， 又因为()()E E ξη≥，所以该改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响.3．2022年北京冬奥会有包括中国队在内的12支男子冰球队参加比赛，12支参赛队分为三组，每组四队，2月9号至13号将进行小组赛，小组赛采取单循环赛制，即每个小组的四支参赛队在比赛中均能相遇一次，最后按各队在比赛中的得分多少来排列名次．小组赛结果的确定规则如下： ∵在常规时间里，获得最多进球的队为获胜者，获胜者得3分；∵在常规时间里，如果双方进球相等，每队各得1分．比赛继续进行，以突然死亡法（即在规定的时间内有一方进球）加时赛决出胜负，突然死亡法加时赛中获胜的队将额外获得1分；∵在突然死亡法加时赛中，如果双方都没有得分，那么进行点球赛，直至决出胜负，在点球赛中获胜的队将额外获得1分．若在小组赛中，甲队与乙队相遇，在常规时间里甲队获胜的概率为12，进球数相同的概率为14；在突然死亡法加时赛中，甲队获胜的概率为23，双方都没有得分的概率为16；在点球赛中，甲队获胜的概率为23，假设各比赛结果相互独立．(1)在甲队与乙队的比赛中，求甲队得2分获胜的概率；(2)在甲队与乙队的比赛中，求甲队得分X 的分布列及数学期望． 【答案】(1)736； (2)分布列见解析；3518. 【解析】 【分析】（1）由题可得甲队得2分获胜有两种情况，甲在加时赛中获胜或甲在点球赛中获胜，分别计算概率即得；（2）由题可得X 可取0,1,2,3，分别计算概率即得分布列，然后利用期望计算公式即得. (1)设甲在加时赛中获胜为事件A ，甲在点球赛中获胜为事件B ， 则()(),121112143646336P A P B =⨯==⨯⨯=， ∵甲队得2分获胜的概率为()()11763636P P A P B =+=+=. (2)甲队得分X 可取0,1,2,3，()11101244P X ==--=，()121112111143646318P X ⎛⎫⎛⎫==⨯--+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()7236P X ==， ()132P X ==， ∵X 的分布列为∵甲队得分X 的数学期望为()117135012341836218E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 4．为进一步完善公共出行方式，倡导“绿色出行”和“低碳生活”，某市建立了公共自行车服务系统，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时希望市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每次的租用时间进行缴费，具体缴费标准如下：∵租用时间不超过1小时，免费；∵超出一小时后每小时1元（不足一小时按一小时计算），一天24小时最高收费10元.某日甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5，0.4；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.2，0.4. (1)求甲比乙付费多的概率；(2)设甲、乙两人付费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望. 【答案】(1)0.32 (2)分布列见解析，1.6 【解析】 【分析】（1）用合适的字母表达每个事件，并按照题意搞清楚事件之间的关系以及每个事件的概率即可; (2)求分布列和数学期望就是要搞清楚随机变量的可能取值范围，以及每个值都是由那些事件构成的. (1)根据题意，记“甲付费为0元、1元、2元、”为事件1A ，2A ，3A它们彼此互斥，且()10.5p A =，()20.2p A =，()()()31210.3p A P A P A =-+=⎡⎤⎣⎦， 同理，记“乙付费为0元、1元、2元”为事件1B ，2B ，3B它们彼此互斥，且()10.4p B =，()20.4p B =，()()()31110.2p B P B P B =-+=⎡⎤⎣⎦， 由题知，事件1A ，2A ，3A 与事件1B ，2B ，3B相互独立记，甲比乙付费多为事件M ，则有：213132M A B A B A B =++可得：()()()()()()()2131320.20.40.30.40.30.40.32P M P A P B P A P B P A P B =++=⨯+⨯+⨯= 故：甲比乙付费多的概率为：0.32； (2)由题知，ξ的可能取值为：0，1，2，3，4 则有：()()()1100.50.40.2P P A P B ξ===⨯=，()()()()()122110.50.40.20.40.28P P A P B P A P B ξ==+=⨯+⨯=，()()()()()()()13312220.50.20.30.40.20.40.3P P A P B P A P B P A P B ξ==++=⨯+⨯+⨯=， ()()()()()233230.20.20.30.40.16P P A P B P A P B ξ==+=⨯+⨯=， ()()()3340.30.20.06P P A P B ξ===⨯=；所以ξ的分布列为：ξ的数学期望：()00.210.2820.330.1640.06 1.6E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为：0.32，1.6.5．随着2022年北京冬季奥运会的如火如茶的进行.2022年北京冬季奥运会吉祥物“冰墩墩”受到人们的青睐，现某特许商品专卖店每天均进货一次，卖一个吉祥物“冰墩墩”可获利50元，若供大于求，则每天剩余的吉祥物“冰墩墩”需交保管费10元/个；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时调剂的每一个吉祥物“冰墩墩”该店仅获利20元．该店调查上届冬季奥运会吉祥物每天(共计20天)的需求量(单位：个)，统计数据得到下表：以上述20天吉祥物的需求量的频率作为各需求量发生的概率．记X表示每天吉祥物“冰墩墩”的需求量．(1)求X的分布列；(2)若该店某一天购进164个吉祥物“冰墩墩”，则当天的平均利润为多少元．【答案】(1)(2)8187（元）【解析】【分析】（1）X可取162，163，164，165，166，求出对应概率，然后再写出分布列即可；（2）设Y表示每天的利润，求出所有Y的取值，再根据期望公式即可得解.(1)解：X可取162，163，164，165，166，()21P X===，1622010()41P X===，163205()63P X===，1642010()51P X===，165204()3P X==，16620所以分布列为：(2)设Y 表示每天的利润，当162X =时，162502108080Y =⨯-⨯=， 当163X =时，16350108140Y =⨯-=， 当164X =时，164508200Y =⨯=， 当165X =时，16450208220Y =⨯+=， 当166X =时，164502208240Y =⨯+⨯=， 所以平均利润为1131380808140820082208240818710510420⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. 6．在中国共产党的正确领导下，我国顺利实现了第一个百年奋斗目标——全面建成小康社会.某地为了巩固扶贫成果，决定继续对甲、乙两家乡镇企业进行指导.指导方式有两种，一种是精准指导，一种是综合指导.已知对甲企业采用精准指导时，投资50万元，增加100万元收入的概率为0.2，增加200万元收入的概率为0.8，采用综合指导时，投资100万元，增加200万元收入的概率为0.6，增加400万收入的概率为0.4；对乙企业采用精准指导时，投资50万元，增加100万元收入的概率为0.3，增加200万元收入的概率为0.7，采用综合指导时，投资100万元，增加200万元收入的概率为0.7，增加400万元收入的概率为0.3.指导结果在两家企业之间互不影响.(1)若决策部门对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导，设两家企业增加的总收入为X 万元，求X 的分布列；(2)若有150万元无息贷款可供甲、乙两家企业使用，对两家企业应分别进行哪种指导总收入最高？请说明理由.【答案】(1)分布列见解析；(2)对甲企业进行综合指导、对乙企业进行精准指导总收入最高，理由见解析. 【解析】 【分析】(1)根据题意确定随机变量X 的所有可能取值，再求出每个取值对应事件的概率并列出分布列即可； (2)由条件知指导方案共有三种：对两家企业均进行精准指导；对甲企业精准指导、对乙企业综合指导；对甲企业综合指导、对乙企业精准指导，然后求出每种方案增加的总收入的数学期望，比较它们大小即可.(1)由题意知X 可能取值为300，400，500，600，则()3000.20.70.14P X ==⨯=，()4000.80.70.56P X ==⨯=，()5000.20.30.06P X ==⨯=，()6000.80.30.24P X ==⨯=，∵当决策部门对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导时，两家企业增加的总收入X 的分布列为(2)指导方案1：对甲、乙两家企业均进行精准指导.设两家企业增加的总收入为Y 万元，则Y 可能取值为200，300，400，且()2000.20.30.06P Y ==⨯=，()3000.20.70.80.30.38P Y ==⨯+⨯=，()4000.80.70.56P Y ==⨯=，()2000.063000.384000.56350E Y =⨯+⨯+⨯=(万元)；指导方案2：对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导. 由(1)得()3000.144000.565000.066000.24440E X =⨯+⨯+⨯+⨯=(万元)； 指导方案3：对甲企业进行综合指导、对乙企业进行精准指导.设两家企业增加的总收入为Z ，则Z 的可能取值为300，400，500，600， 且()3000.60.30.18P Z ==⨯=，()4000.70.60.42P Z ==⨯=，()5000.40.30.12P Z ==⨯=，()6000.40.70.28P Z ==⨯=， ()3000.184000.425000.126000.28450E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=(万元).∵350440450<<，∵指导方案3：对甲企业进行综合指导、对乙企业进行精准指导总收入最高.7．2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的红球个数记为该轮得分X ，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与完成第n 轮游戏，且其前n 轮的累计得分恰好为2n 时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮后仍未过关，则游戏也结束．每位参与者只能参加一次游戏． (1)求随机变量X 的分布列及数学期望；(2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为1.8 (2)0.696 【解析】 【分析】（1）先得出随机变量X 可取的，并求出相应概率，列出分布列，计算数学期望；（2）分别求出甲取球1次后、取球2次后、取球3次后可领取纪念的概率，再相加得出甲能够领到纪念品的概率． (1)由题意得，随机变量X 可取的值为1，2，3，易知()10.3P X ==，()20.6P X ==，所以()30.1P X ==， 则随机变量X 的分布列如下：所以()10.320.630.1 1.8E X =⨯+⨯+⨯= (2)由（1）可知，参与者每轮得1分，2分，3分的概率依次为0.3，0.6，0.1， 记参与者第i 轮的得分为i X ，则其前n 轮的累计得分为12n Y X X X =+++，若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得2分，则()20.6P Y ==；若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为4分，有“13+”、“31+”的情形， 则()420.30.10.06P Y ==⨯⨯=；若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分， 有“123++”、“321++”的情形，则()620.30.10.60.036P Y ==⨯⨯⨯=；记“参与者能够领取纪念品”为事件A ，则()()()()2460.60.060.0360.696P A P Y P Y P Y ==+=+==++=．8．为庆祝中国共产党建党100周年，某单位举办了以“听党召唤，使命在肩”为主题的知识竞赛活动，经过初赛､复赛，小张和小李进入决赛，决赛试题由3道小题组成，每道小题选手答对得1分，答错得0分，假设小张答对第一､第二､第三道小题的概率依次是45，34，12，小李答对每道小题的概率都是34.且他们每道小题解答正确与否相互之间没有影响，用X 表示小张在决赛中的得分，用Y 表示小李在决赛中的得分.(1)求随机变量X 的分布列和数学期望E （X ），并从概率与统计的角度分析小张和小李在决赛中谁的得分能力更强一些；(2)求在事件“4X Y +=”发生的条件下，事件“X Y >”的概率.【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：2.05，小李的得分能力更强一些 (2)431 【解析】【分析】（1）结合相互独立事件、独立重复试验的知识计算出X 的分布列以及()(),E X E Y ，由此作出判断. （2）利用条件概型概率计算公式，计算出事件“X Y >”的概率.(1)由题设知X 的可能取值为0，1，2，3所以()4311011154240P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ()431431431111111115425425425P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()43143143119211154254254240P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()4313354210P X ==⨯⨯=， 所以随机变量X 的分布列为。
新教材选择性必修二8.2.1随机变量及其分布列课件(60张)
2．概率分布列 (1)定义 一般地，随机变量 X 有 n 个不同的取值，它们分别是 x1，x2，…，xn，且 P(X＝xi)＝ pi，i＝1，2，…，n，① 称①为随机变量 X 的概率分布列，简称 X 的分布列．①也可以用下表的形式来表示．
X x1 x2 … xn P p1 P2 … pn 我们将上表称为随机变量 X 的概率分布表．它和①都叫作随机变量 X 的概率分布．
三、解答题 11．设 S 是不等式 x2－x－6≤0 的解集，整数 m，n∈S. (1)记“使得 m＋n＝0 成立的有序数组(m，n)”为事件 A，试列举 A 包含的基本事件； (2)设 X＝m2，求 X 的分布列．
【解析】(1)由 x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即 S＝{x|－2≤x≤3}．由于 m，n∈Z，m，n ∈S 且 m＋n＝0，所以 A 包含的基本事件为(－2，2)，(2，－2)，(－1，1)，(1，－1)， (0，0). (2)由于 m 的所有不同取值为－2，－1，0，1，2，3， 所以 X＝m2 的所有不同取值为 0，1，4，9， 且有 P(X＝0)＝61 ，P(X＝1)＝26 ＝13 ，
【解析】选 BCD.抛掷两枚骰子，点数之差满足小于等于－4 的只有三种情况，故第 一枚为 1 点、第二枚为 6 点，第一枚为 1 点、第二枚为 5 点，第一枚为 2 点、第二枚 为 6 点．
8．(多选题)(2021·成都高二检测)已知随机变量 X 的分布列如表(其中 a 为常数)：
X0 1 2 34 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的有( )
离散型随机变量及其分布列 随机变量及其分布列
基础认知·自主学习
1．随机变量 一般地，对于随机试验样本空间 Ω 中的每个样本点 ω 都有唯一的实数 X(ω)与之对应， 则称 X 为随机变量．通常用大写字母 X，Y，Z(或小写字母 ζ，η，ξ)等表示，而用小 写英文字母 x，y，z(加上适当下标)等表示随机变量的取值．
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(2)由38 2 2,得＝18，5 （18－15）＝15.
所以,出租车在途中因故停车累计最多15分钟.
对于一个随机试验,仅仅知道试验的可能结果是不够的， 还要能把握每一个结果发生的概率.
一、随机试验
我们学习了概率有关知识.知道概率是描述在一次 随机试验中的某个随机事件发生可能性大小的度量.
一般地，一个试验如果满足下列条件： 1．试验可以在相同的情况下重复进行； 2．试验的所有可能结果是明确可知道的,并且不只一个； 3．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在 一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
续
（,取0) ( 内的一值）
型 (6)某林场树木最高达例2.
(1).将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是( D ) (A)两次出现的点数之和 (B)两次掷出的最大点数 (C)第一次减去第二次的点数差 (D)抛掷的次数
(2).某人去商厦为所在公司购买玻璃水杯若干只,公司要 求至少要买50只,但不得超过80只.商厦有优惠规定：一 次购买小于或等于50只的不优惠.大于50只的，超出的 部分按原价格的7折优惠.已知水杯原来的价格是每只6 元.这个人一次购买水杯的只数ξ是一个随机变量，那么 他所付款η是否也为一个随机变量呢? ξ、η有什么关系
解：不是随机试验，因为它不可重复进行。
引例1：某人在射击训练中，射击一次，命中的环数. 若用ξ表示命中的环数，ξ有哪些取值？ ξ可取0环、1环、2环、···、10环,共11种结果
引例2：某纺织公司的某次产品检验，在可能含有次品 的100件产品中任意抽取4件，其中含有的次品件数.
若用η表示所含次品数，η有哪些取值？ η可取 0件、1件、2件、3件、4件,共5种结果
表格
1
(2)若ξ是随机变量,η＝aξ＋b，a、b是常数,则η也是随机变 量
附:随机变量ξ或η的特点：(1)可以用数表示；(2)试验之 前可以判断其可能出现的所有值;(3)在试验之前不可能确 定取何值。
例1:写出下列各随机变量可能的取值:
(1)从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，
被取出的卡片的号数 ． （ ＝1、2、3、···、10）
离 (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，
散 其中所含白球数 ．（ ＝0、1、2、3）
型 （3）抛掷两个骰子，所得点数之和 ．
,
8,
7, 6, 5, 4, 3, 2
(4)接连不断地射击,首次命中目标需要的射击次数
．
, 3, 2, 1
连 (5)某一自动装置无故障运转的时间 ．
思考:把一枚硬币向上抛，可能会出现哪几种结果？能 否用数字来刻划这种随机试验的结果呢？
ε=0，表示正面向上； ε=1，表示反面向上
说明：任何一个随机试验的结果我们可以进行数量化.
二、随机变量
定义:如果随机实验的结果可以用一个变量来表示，那么 这样的变量叫做随机变量。 随机变量常用字母X、Y、ξ、η等表示。
“ ”4 表示
．
“第一次抽1号、第二次抽3号，或者第一次抽3号、第 二次抽1号，或者第一次、第二次都抽2号．
例4.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与 第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问:
(1)“ξ>4”表示的试验结果是什么？
(2) P (ξ>4)=? 1 36
答:(1)因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种 结果之一,由已知得 -5≤ξ ≤5,也就是说“ξ＞4”就是 “ξ＝5”.所以，“ξ＞4”表示第一枚为6点,第二枚为1点．
引例：抛掷一枚骰子，所得的点数ξ有哪些值？ξ取每个 值的概率是多少？
解： 的取值有1、2、3、4、5、6
则 P( 1) 1 P( 2) 1 P( 3) 1
6
6
6
P( 4) 1 P( 5) 1 P( 6) 1
6
6
6
列成 1 2 3 4 5 6
练习:某城市出租汽车的起步价为10元,行驶路程不超出4km, 则 按 10 元 的 标 准 收 租 车 费 . 若 行 驶 路 程 超 出 4km, 则 按 每 超 出 1km加收2元计费(超出不足1km的部分按1km计).从这个城市的 民航机场到某宾馆的路程为15km.某司机常驾车在机场与此宾 馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转 换成行车路程(这个城市规定,每停车5分钟按1km路程计费), 这个司机一次接送旅客的行车路程多少是一个随机变量,他收 旅客的租车费也是一个随机变量． （Ⅰ）求租车费ξ 关于行车路程η的关系式； （Ⅱ）已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了 15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？
呢？ 50 6 ( 50) 6 0.7 4.2 90
[50,80], N
注:随机变量是随机试验的试验结果和实数之间的一种对 应关系.
例3.袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5
五个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个
小球号码之和为 ，则 所有可能值的个数是_9___ 个；
这种试验就是一个随机试验。
练习：判断下面问题是否构成随机试验
(1)、京广T15特快列车到达广州站是否正点。
解：是随机试验。因为它满足随机试验的三个条件： 即在相同的情况下可重复进行（每天一次）；所有可 能的结果是明确的（正点或误点）；试验之前不能肯 定会出现哪种结果。
(2)、1976年唐山大地震。
1.如果随机变量可能取的值可以按次序一一列出（可以是 无限个）这样的随机变量叫做离散型随机变量.
2.如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值，这样的 随机变量叫做连续型随机变量.
注:(1)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但也可 以用数量来表达。如投掷一枚硬币，ξ=0，表示正面向上， ξ=1，表示反面向上.