随机变量及分布列习题
高三数学随机变量的分布列试题
高三数学随机变量的分布列试题1.随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(<X<)的值为()A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，＋＋＋＝1，解得a＝．于是P(<X<)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝a＝，故选D．2. [2014·四川模拟]在四次独立重复试验中，事件A在每次试验中出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为()A．B．C．D．【答案】C【解析】设事件A在每次试验中发生的概率为p，则事件A在4次独立重复试验中，恰好发生k 次的概率为pk＝p k(1－p)4－k(k＝0,1,2,3,4)，∴p0＝p0(1－p)4＝(1－p)4，由条件知1－p＝，∴(1－p)4＝，∴1－p＝，∴p＝.∴p1＝p·(1－p)3＝4××()3＝，故选C.3.[2014·唐山检测]2013年高考分数公布之后，一个班的3个同学都达到一本线，都填了一本志愿，设Y为被录取一本的人数，则关于随机变量Y的描述，错误的是()A．Y的取值为0,1,2,3B．P(Y＝0)＋P(Y＝1)＋P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝1C．若每录取1人学校奖励300元给班主任，没有录取不奖励，则班主任得奖金数为300Y D．若每不录取1人学校就扣班主任300元，录取不奖励，则班主任得奖金数为－300Y【答案】D【解析】由题意知A、B正确．易知C正确．对于D，若每不录取1人学校就扣班主任300元奖金，录取不奖励，则班主任得奖金数为－300(3－Y)＝300Y－900.4.设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此两球所得分数之和，求ξ分布列；(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，V(η)＝，求a∶b∶c.【答案】（1）ξ的分布列为（2）3∶2∶1【解析】(1)由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时ξ＝2，此时P(ξ＝2)＝＝；当两次摸到的球分别是黄黄、红蓝、蓝红时ξ＝4时，P(ξ＝4)＝＝；当两次摸到的球分别是红黄，黄红时ξ＝3时，P(ξ＝3)＝＝；当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时ξ＝5时，P(ξ＝5)＝＝；当两次摸到的球分别是蓝蓝时ξ＝6时，P(ξ＝6)＝＝.所以ξ的分布列为ξ23456由已知得到：η有三种取值即1，，所以η的分布列为所以，所以b＝2c，a＝3c，所以a∶b∶c＝3∶2∶1.5.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(3)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列．【答案】（1）0.5（2）0.8（3）ξ0123【解析】解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品；记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品；记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种；记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．(1)C＝A·B＋A·B，P(C)＝P(A·B＋A·B)＝P(A·B)＋P(A·B)＝P(A)·P(B)＋P()·P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.(2)D＝A·B，P(D)＝P(A·B)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.4＝0.2，P(D)＝1－P(D)＝0.8.(3)ξ～B(3，0.8)，故ξ的分布列P(ξ＝0)＝0.23＝0.008；P(ξ＝1)＝×0.8×0.22＝0.096；P(ξ＝2)＝×0.82×0.2＝0.384；P(ξ＝3)＝0.83＝0.512.6.甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列．【答案】（1）、、（2）X的分布列为【解析】(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A1)＝＝，P(A2)＝××＝，P(A3)＝××＝.所以，甲队以3∶0、3∶1、3∶2胜利的概率分别是、、；(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)＝××＝.由题意，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，根据事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，P(X＝1)＝P(A3)＝，P(X＝2)＝P(A)＝，4P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝.故X的分布列为7.一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4，黄球3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取4个小球（假设取到任一小球的可能性相等）.（1）求取出的小球中有相同编号的概率；（2）记取出的小球的最大编号为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1)；(2)随机变量的分布列为：346随机变量的数学期望 .【解析】(1)应用古典概型概率的计算公式，关键是利用组合知识，确定事件数；(2) 随机变量的可能取值为.计算相应概率即得随机变量的分布列为：数学期望 .试题解析：(1)：设取出的小球中有相同编号的事件为，编号相同可分成一个相同和两个相同 2分4分(2) 随机变量的可能取值为：3，4，6 6分， 7分， 8分9分所以随机变量的分布列为：346所以随机变量的数学期望 . 12分【考点】古典概型，互斥事件，离散型随机变量的分布列及数学期望.8.某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动，促销规则如下：到该商场购物消费满100元就可转动如图所示的转盘一次，进行抽奖(转盘为十二等分的圆盘)，满200元转两次，以此类推；在转动过程中，假定指针停在转盘的任一位置都是等可能的；若转盘的指针落在A区域，则顾客中一等奖，获得10元奖金；若转盘落在B区域或C区域，则顾客中二等奖，获得5元奖金；若转盘指针落在其他区域，则不中奖(若指针停到两区间的实线处，则重新转动)．若顾客在一次消费中多次中奖，则对其奖励进行累加．已知顾客甲到该商场购物消费了268元，并按照规则参与了促销活动．(1)求顾客甲中一等奖的概率；(2)记X为顾客甲所得的奖金数，求X的分布列及其数学期望．【答案】(1)(2)【解析】(1)设事件A表示该顾客中一等奖，P(A)＝×＋2××＝，所以该顾客中一等奖的概率是.(2)X的可能取值为20,15,10,5,0，P(X＝20)＝×＝，P(X＝15)＝2××＝，P(X＝10)＝×＋2××＝，P(X＝5)＝2××＝，P(X＝0)＝×＝.所以X的分布列为数学期望E(X)＝20×＋15×＋10×＋5×＝.9.辽宁某大学对参加全运会的志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X，求随机变量X的分布列．(3)求X的数学期望．【答案】（1）（2）（3）【解析】(1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.则P(E)＝1－P( )＝1－P()P()P( )＝1－××＝.(2)由题意，得X的可能取值是，2，，3.因为P(X＝)＝P()＝，P(X＝2)＝P(A )＋P(B)＋P(C )＝，P(X＝)＝P(AB)＋P(A C)＋P( B C)＝＝，P(X＝3)＝P(ABC)＝，所以X的分布列为：(3)由(2)知E(X)＝×＋2×＋×＋3×＝＝.10.随机变量的分布列如右：其中成等差数列，若，则的值是．【答案】.【解析】由题意，则.【考点】随机变量的期望和方差.11.一个盒子中装有分别标有数字1、2、3、4的4个大小、形状完全相同的小球，现从中有放回地随机抽取2个小球，抽取的球的编号分别记为、，记.（Ⅰ）求取最大值的概率；（Ⅱ）求的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）所以的分布列：数学期望.【解析】(1)随机变量的分布列问题,首先确定随机变量的所有可能值;(2))本题属古典概型,各随机变量所对应的事件包含的基本事件无法用公式求出,需一一列举出来.列举时要注意避免重复和遗漏，这是极易出错的地方试题解析：（Ⅰ）当时，最大。
随机变量及其分布列习题(含解析)
一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．2．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．【解答】解：（1）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，每次取出次品的概率为：，相当于5次独立重复实验，ξ～B（5，），P（ξ＝0）＝＝0.59059，P（ξ＝1）＝＝0.32805，P（ξ＝2）＝＝0.07329，P（ξ＝3）＝＝0.0081，P（ξ＝4）＝＝0.00045，P（ξ＝5）＝＝0.00001，∴ξ的分布列为：ξ012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.00001（2）由题意知η的可能取值为0，1，2，3，4，5，且η～B（5，0.1），∴η的分布列为：η012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.000012．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．【解答】解：（1）由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为；（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中﹣人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次“为事件B，“这两人中﹣人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：X012P3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）由意可知，选出的3名同学全是男生的概率为＝，∴选出的3名同学中至少有1名女生的概率为P＝1﹣＝．（2）根据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ0123P4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．【解答】解：（I）从甲中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，从乙中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，故“两球颜色相同”的概率P＝．（II）由题意可得，ξ所有可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，故ξ的分布列为：ξ012P5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．【解答】解：（1）依题意，得，解得或（舍去），所以．（2）由（1）得，，所以，．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）设事件该射手第i次射击，击中目标为A i，i＝1，2，3，则，所以，事件射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标可表示为，因为事件，，A1A2A3互斥，所以又事件A1，A2，A3相互独立，所以＝＝；（2）事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次等于事件前3次中恰好击中两次目标且第四次击中目标，又各次击中目标的概率为，所以前3次中恰有两次击中目标的概率为，第四次击中目标的概率为，所以事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率；（3）由已知ξ的取值有3，4，5，⋅⋅⋅，n，⋅⋅⋅，又，，，⋅⋅⋅，，所以随机变量ξ的分布列为：ξ345…n…P……7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．【解答】解：（1）由题意可得，X可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，故X的分布列为：X0123P（2）设得分为Y，则得分Y可以取4，5，6，7，分别对应4个黑球，3黑1红，2黑2红，1黑3红四种情况，P（Y≥6）＝P（Y＝6）+P（Y＝7）＝，故得分不小于6分的概率为．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．【解答】解：（1）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴随机变量ξ的分布列为：ξ012P（2）事件“选出的2学生至少有一女生”的概率为：P＝P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝＝．。
离散型随机变量及其分布列33
离散型随机变量及其分布列命题人：王斌 审核人：1.袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为（ ） A.25B.10C.7D.62.下列表中能成为随机变量X 的分布列的是（ ） A.X -1 0 1P0.3 0.4 0.4 B.X 1 2 3 P0.4 0.7 -0.1 C.X -1 0 1 P0.30.40.3 D.X 1 2 3 P0.30.40.43.已知随机变量X 的分布列为P （X=i ）=a i2（i=1，2，3），则P （X=2）等于 （ ）A.91B.61C.31D.414.一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽两件，其中出现次品的概率是 .5.若X 的分布列为 则常数c= .6、将4封不同的信随机地投入到3个信箱里，记有信的信箱个数为ξ，试求ξ的分布列． X 0 1P 9c2-c 3-8c基础自测例1 一袋中装有编号为1，2，3，4，5，6的6个大小相同的球，现从中随机取出3个球，以X表示取出的最大号码.（1）求X的分布列；（2）求X＞4的概率.例2:某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列.例3 设离散型随机变量X的分布列为X 0 1 2 3 4P 0.2 0.1 0.1 0.3 m求：（1）2X+1的分布列；（2）|X-1|的分布列.1.袋中有3个白球，3个红球和5个黑球.从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分.求所得分数ξ的分布列.2.袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机地抽取4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分.（1）求得分X 的分布列； （2）求得分大于6的概率.3.已知随机变量ξ的分布列为ξ-2 -1123P121123 124121122121分别求出随机变量η1=ξ21，η2=2ξ的分布列.当堂巩固一、选择题1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25 2．设X则q 等于 )A ．1B ．1±22 C ．1－22 D ．1＋223．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2＜X ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.5164．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为( )A.1220B.2755C.27220D.21555．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为( )A.1220B.2755C.27220D.2125 答案：C6．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，a 、b 、c ∈(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为 ( ) 二、填空题7．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X ＜4)＝0.3，那么n ＝________.8．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布为91次试验的成功次数，则P (X ＝0)的值为________． 三、解答题10．某重点高校数学教育专业的三位毕业生甲、乙、丙参加了一所中学的招聘面试，面试合格者可以正式签约，毕业生甲表示只要面试合格就签约，毕业生乙和丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是13，且面试是否合格互不影响，求：(1)至少有1人面试合格的概率； (2)签约人数的分布列．一、填空题1.袋中有大小相同的红球6个、白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球次数为随机变量X ，则X 的可能值为 （ ） A.1，2，…，6 B.1，2，…，7C.1，2，…，11D. 1，2，3，…2.已知某离散型随机变量X 的分布列如下：X12 3 … n P k3 k 5 k…(2n-1)k则常数k 的值为（ ）A.21nB.n 1C.121-nD.)12(1-n n 3.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为X -1 0 1P211-2q q2 则q 的值为（ ）A.1B.1±22C.1+22D.1-224.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于10156847C C C 的是 （ ） A.P(X=2)B.P （X ≤2）C.P （X=4）D.P （X ≤4）5.一只袋内装有m 个白球，n-m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于32A A )(nmm n -的是 （ ） A.P(X=3)B.P （X ≥2）C.P （X ≤3）D.P （X=2）6.如果ξ～B ⎪⎭⎫ ⎝⎛41,15，则使P （ξ=k ）取最大值的k 值为 （ ）A.3B.4C.5D.3或4二、填空题7.若某一射手射击所得环数X 的分布列如下：X 4 5 6 7 8 9 10 P0.020.040.060.090.28 0.29 0.228.设随机变量X 的分布列为：X 1 2 3 … nP k 2k 4k … 2n-1·k则k = .三、解答题9.设离散型随机变量ξ的分布列P （ξ=5k）=ak ，k=1，2，3，4，5.（1）求常数a 的值；（2）求P （ξ≥53）；（3）求P （101＜ξ＜107）.10.从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X 表示赢得的钱数，则随机变量X 可以取哪些值？求X 的分布列.11.（2008·长沙检测）甲、乙两人轮流投篮直至某人投中为止，已知甲投篮每次投中的概率为0.4，乙每次投篮投中的概率为0.6，各次投篮互不影响.设甲投篮的次数为ξ,若乙先投，且两人投篮次数之和不超过4次，求ξ的分布列.12.某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学. （1）求X的分布列；（2）求去执行任务的同学中有男有女的概率.13．(2010·南通模拟)甲，乙两人射击，每次射击击中目标的概率分别是13，14.现两人玩射击游戏，规则如下：若某人某次射击击中目标，则由他继续射击，否则由对方接替射击．甲、乙两人共射击3次，且第一次由甲开始射击．假设每人每次射击击中目标与否均互不影响．(1)求3次射击的人依次是甲、甲、乙的概率；(2)若射击击中目标一次得1分，否则得0分(含未射击)．用X 表示乙的总得分，求X 的分布列。
概率计算练习题随机变量的分布函数与概率密度函数
概率计算练习题随机变量的分布函数与概率密度函数随机变量是概率论中的重要概念，它是一种随机现象的数值表示。
概率计算是概率论的核心内容之一，通过计算随机变量的分布函数和概率密度函数，我们可以更好地理解和分析随机事件的发生概率。
本文将通过一系列练习题来帮助读者巩固对随机变量的分布函数和概率密度函数的理解。
练习题一：离散型随机变量设随机变量X的分布列为：X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4----------------------------------P(X=x) | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.21. 求随机变量X的分布函数F(x)。
解析：分布函数F(x)定义为P(X≤x)，根据分布列可以求得如下分布函数：F(0) = P(X≤0) = 0.2F(1) = P(X≤1) = 0.2 + 0.3 = 0.5F(2) = P(X≤2) = 0.2 + 0.3 + 0.1 = 0.6F(3) = P(X≤3) = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 0.8F(4) = P(X≤4) = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.2 = 12. 求随机变量X的概率密度函数f(x)。
解析：概率密度函数f(x)只对连续型随机变量有意义，对于离散型随机变量，f(x)恒为0。
因此，对于该题中给定的随机变量X，概率密度函数f(x)不存在。
练习题二：连续型随机变量设随机变量Y的密度函数f(y)如下：f(y) = 0.5，0≤y≤2f(y) = 0，其他1. 求随机变量Y的分布函数F(y)。
解析：分布函数F(y)定义为P(Y≤y)，根据密度函数可以求得如下分布函数：F(y) = ∫[0, y] f(t)dt根据密度函数的定义域可知，在区间[0, y]上f(t)=0.5，因此：F(y) = ∫[0, y] 0.5dt = 0.5y，0≤y≤2F(y) = ∫[0, y] 0dt = 0，其他2. 求随机变量Y在区间[1, 2]上的概率P(1 ≤ Y ≤ 2)。
专题练 第22练 随机变量及其分布
第22练随机变量及其分布1．(2018·全国Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，则p 等于()A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3答案 B解析由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.又因为P(X＝4)<P(X＝6)，所以C410p4(1－p)6<C610p6(1－p)4，所以p>0.5，所以p＝0.6.2．(2019·浙江)设0<a<1，则随机变量X的分布列是X 0 a 1P 131313则当a在(0,1)内增大时，() A．D(X)增大B．D(X)减小C．D(X)先增大后减小D．D(X)先减小后增大答案 D解析由题意可知，E(X)＝13(a＋1)，所以D (X )＝(a ＋1)227＋(1－2a )227＋(a －2)227＝6a 2－6a ＋627＝29⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －122＋34，所以当a 在(0,1)内增大时，D (X )先减小后增大．3．(2021·新高考全国Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布N (10，σ2)，下列结论中不正确的是( )A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 答案 D解析 对于A ，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D 错误．4．(2013·湖北)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )A.126125B.65C.168125D.75 答案 B解析 125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X 的均值E (X )＝54125×1＋36125×2＋8125×3＝150125＝65.5．(2017·全国Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝________. 答案 1.96解析 由题意得X ～B (100,0.02)， ∴D (X )＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.6．(2022·浙江)现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P (ξ＝2)＝________，E (ξ)＝________. 答案1635 127解析 由题意知ξ的可能取值为1,2,3,4， P (ξ＝1)＝C 26C 37＝1535＝37，P (ξ＝2)＝C 12C 24＋C 22C 14C 37＝1635， P (ξ＝3)＝C 23C 37＝335，P (ξ＝4)＝1C 37＝135，所以ξ的分布列为E (ξ)＝1×37＋2×1635＋3×335＋4×135＝127.7．(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与均值． 解 (1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A ，B ，C ， 所以甲学校获得冠军的概率为P ＝P (ABC )＋P (A BC )＋P (A B C )＋P (AB C )＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2 ＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6.(2)依题可知，X 的可能取值为0,10,20,30， 所以P (X ＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P (X ＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44， P (X ＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34， P (X ＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06. 则X 的分布列为E (X )＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.8．(2017·山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与均值E (X )． 解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则 P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1425211021521142E (X )＝0＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2.9．(2022·温州模拟)已知随机变量X 的分布列是X －1 0 1 Pa13b若E (X )＝0，则D (X )等于( ) A ．0 B.13 C.23 D ．1答案 C解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋13＝1，E (X )＝－a ＋b ＝0，解得a ＝b ＝13，因此，D (X )＝13[(－1－0)2＋(0－0)2＋(1－0)2]＝23.10．(2022·常州模拟)俄国著名飞机设计师埃格·西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的.1992年，为了在远程性和安全性上与美国波音747竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了A340，是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的A310.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障相互独立．已知A340飞机至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；A310飞机需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行．若要使A340飞机比A310飞机更安全，则A340飞机引擎的故障率应控制的范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1B.⎝⎛⎭⎫13，1C.⎝⎛⎭⎫0，23D.⎝⎛⎭⎫0，13 答案 C解析 由题意得，飞机引擎正常运行的概率为p ，则A310飞机能成功飞行的概率为C 22p 2＝p 2，A340飞机能成功飞行的概率为C 34p 3(1－p )＋C 44p 4＝－3p 4＋4p 3， 令－3p 4＋4p 3>p 2，即－3p 2＋4p >1， 解得13<p <1.所以0<1－p <23，所以A340飞机引擎的故障率应控制的范围是⎝⎛⎭⎫0，23. 11．(多选)(2022·重庆质检)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．袁老领衔的科研团队成功攻破水稻超高产育种难题，不断刷新亩产产量的纪录，目前超级稻计划亩产量已经实现1 100公斤．现有甲、乙两个试验田，根据数据统计，甲、乙试验田超级稻亩产量(分别记为ξ，η)均服从正态分布，其中ξ～N (μ1，σ21)，η～N (μ2，σ22)．如图，已知μ1＝1 150，μ2＝1 130，σ21＝2 500，σ22＝1 600，两正态密度曲线在直线x ＝μ2左侧交于点M (x 0，y 0)，则下列说法正确的是( )A ．P (ξ<μ1)<P (ξ<μ2)B ．P (η<μ1)>P (η<μ2)C ．P (ξ>x 0)<P (η>x 0)D ．P (ξ>1 250)>P (η<1 050) 答案 BC解析 由图可知P (ξ<μ1)>P (ξ<μ2)，故A 错误； 由图可知P (η<μ1)>P (η<μ2)，故B 正确； ∵P (ξ>x 0)＝1－P (ξ≤x 0)，P (η>x 0)＝1－P (η≤x 0)， 由图可知P (ξ≤x 0)>P (η≤x 0)， ∴P (ξ>x 0)<P (η>x 0)，故C 正确； μ1＝1 150，σ1＝50，μ2＝1 130，σ2＝40， P (ξ>1 250)＝P (ξ>μ1＋2σ1)， P (η<1 050)＝P (η<μ2－2σ2) ＝P (η>μ2＋2σ2)，根据正态密度曲线的性质和3σ原则，应该有P (ξ>1 250)＝P (η<1 050)，故D 错误． 12．(多选)(2022·唐山模拟)下列说法正确的是( )A ．某投掷类游戏闯关规则是参加游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为12，则闯关成功的概率为3132B ．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有1名女生的概率为C 15C 314C 415C ．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝a i (i ＋1)(i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)＝29D ．若随机变量η～N (2，σ2)，且δ＝3η＋1，则P (η<2)＝0.5，E (δ)＝6 答案 AC解析 选项A,5次都没投中的概率为⎝⎛⎭⎫125＝132.所以闯关成功的概率为1－132＝3132，故A 正确； 选项B ，从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有1名女生分为1名女生、3名男生，2名女生、2名男生，3名女生、1名男生，4名都是女生4种情况．共有C 15C 310＋C 25C 210＋C 35C 110＋C 45＝1 155(种)情况．而C 15C 314＝1 820，所以其中至少有1名女生的概率为C 15C 310＋C 25C 210＋C 35C 110＋C 45C 415≠C 15C 314C 415，故B 不正确； 选项C ，由P (X ＝i )＝ai (i ＋1)(i ＝1,2,3)， 则a ⎝⎛⎭⎫12＋16＋112＝1，解得a ＝43， 所以P (X ＝2)＝43×12×3＝29，故C 正确；选项D ，随机变量η～N (2，σ2)，则P (η<2)＝0.5，E (η)＝2，所以E (δ)＝E (3η＋1)＝3E (η)＋1＝7，故D 不正确．13．(2022·咸阳模拟)经统计，某校高三学生期末数学成绩服从正态分布，X ～N (85，σ2)，且P (80<X <90)＝0.3，则从该校任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率为________． 答案 0.35解析 ∵学生成绩X 服从正态分布X ～N (85，σ2)，且P (80<X <90)＝0.3， ∵P (X ≥90)＝12[1－P (80<X <90)]＝12(1－0.3)＝0.35， ∴从该校任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是0.35.14．(2022·绍兴模拟)袋子中有3个白球，2个红球，现从中有放回地随机取2个球，每次取1个，且各次取球间相互独立．设此过程中取到红球的个数为ξ，则P (ξ＝1)＝______，E (ξ)＝______. 答案1225 45解析 有放回地取球，每次取一球， 则每次取到红球的概率为C 12C 15＝25，P (ξ＝1)＝C 12×25×35＝1225， 在此过程中取到的红球个数为ξ，ξ的可能取值为0,1,2. 则ξ～B ⎝⎛⎭⎫2，25，则E (ξ)＝2×25＝45. 15．(2022·武汉模拟)某校高三年级非常重视学生课余时间的管理，进入高三以来，倡导学生利用中午午休前40分钟，晚餐后30分钟各做一套试卷．小红、小明两位同学都选择做数学或物理试卷，对两位同学过去100天的安排统计如下：假设小红、小明选择科目相互独立，用频率估计概率：(1)请预测在今后的5天中小红恰有3天中午和晚上都选数学的概率；(2)记X 为两位同学在一天中选择科目的个数，求X 的分布列和均值E (X )；(3)试判断小红、小明在晚上做物理试卷的条件下，哪位同学更有可能中午选择做数学试卷，并说明理由．解 (1)由表格数据知，小红中午和晚上都选数学的概率为25100＝14，∴今后的5天中小红恰有3天中午和晚上都选数学的概率P ＝C 35×⎝⎛⎭⎫143×⎝⎛⎭⎫342＝45512. (2)由表格数据知，小红选择0科的概率为110；选择数学1科的概率为14，选择物理1科的概率为110；选择2科的概率为1120；小明选择0科的概率为110；选择数学1科的概率为15，选择物理1科的概率为310；选择2科的概率为25；则X 所有可能的取值为0,1,2， ∴P (X ＝0)＝110×110＝1100，P (X ＝1)＝110×⎝⎛⎭⎫15＋310＋110×⎝⎛⎭⎫14＋110＋14×15＋110×310＝33200， P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝1－1100－33200＝3340，∴X 的分布列为E (X )＝0×1100＋1×33200＋2×3340＝363200.(3)记事件A 1：小红晚上做物理试卷；事件A 2：小明晚上做物理试卷； 事件B 1：小红中午做数学试卷； 事件B 2：小明中午做数学试卷； 由表格数据可得 P (A 1)＝30100＝310，P (A 2)＝55100＝1120，P (A 1B 1)＝20100＝15，P (A 2B 2)＝25100＝14；∴P (B 1|A 1)＝P (A 1B 1)P (A 1)＝15310＝23，P (B 2|A 2)＝P (A 2B 2)P (A 2)＝141120＝511，∵23>511，即P (B 1|A 1)>P (B 2|A 2)， ∴在晚上做物理试卷的条件下，小红更有可能中午选择做数学试卷．16．(2022·桂林模拟)某农业大学的学生利用专业技能指导葡萄种植大户，对葡萄实施科学化、精细化管理，使得葡萄产量有较大提高．葡萄采摘并去掉残次品后，随机按每箱10串装箱，现从中随机抽取5箱，称得每串葡萄的质量(单位：kg)，将称量结果分成5组：[1.0，1.2)，[1.2,1.4)，[1.4,1.6)，[1.6,1.8)，[1.8，2.0]，并绘制出如图所示的频率分布直方图．(1)求a 的值，并估计这批葡萄每串葡萄质量的平均值x (残次品除外，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值代表)；(2)若这批葡萄每串葡萄的质量X 服从正态分布N (μ，0,04)，其中μ的近似值为每串葡萄质量的平均值x ，请估计10 000箱葡萄中质量位于(1.124,1.724)内的葡萄的串数；(3)规定这批葡萄中一串葡萄的质量超过1.8 kg 的为优等品，视频率为概率，随机打开一箱，记优等品的串数为ξ，求ξ的均值．附：若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.954 5. 解 (1)由频率分布直方图可知，0.2(0.4＋1.0＋2a ＋2.0)＝1，解得a ＝0.8. 估计这批葡萄每串葡萄质量的平均值x ＝1.1×0.4×0.2＋1.3×1.0×0.2＋1.5×2.0×0.2＋1.7×0.8×0.2＋1.9×0.8×0.2＝1.524. (2)由题意可知，μ＝1.524，σ＝0.2， 所以μ－2σ＝1.124，μ＋2σ＝1.924， μ－σ＝1.324，μ＋σ＝1.724.所以P (1.124<X <1.724)＝P (μ－2σ≤X ≤μ＋σ)＝12[P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)＋P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)]≈0.818 6. 所以10 000箱葡萄中质量位于(1.124,1.724)内的葡萄的串数的估计值为 10 000×0.818 6×10＝81 860.(3)在这批葡萄中随机抽取一串，葡萄的质量超过1.8 kg 的频率为0.8×0.2＝0.16， 因此随机打开一箱，再从中随机抽取一串，这串葡萄为优等品的概率为P ＝0.16＝425，依题意，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，…，10，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫10，425， 所以ξ的均值为E (ξ)＝10×425＝85.[考情分析] 高考常考内容，考查离散型随机变量的分布列、均值和方差，以及利用分布列、均值、方差进行决策或分析，多与概率结合考查综合题型，试题阅读量大，常以解答题的形式出现，难度中档偏上．一、分布列的性质及应用 核心提炼1．离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x n Pp 1p 2…p n离散型随机变量X 的分布列具有两个性质： (1)p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； (2)∑i ＝1np i ＝1(i ＝1,2,3，…，n )．2．E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ＝∑i ＝1nx i p i ；D (X )＝(x 1－E (X ))2p 1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x n －E (X ))2p n ＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i .3．均值、方差的性质(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )． (2)X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． (3)X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． 练后反馈题目 2 4 7 9 正误错题整理：二、随机变量的分布列 核心提炼1．n 重伯努利试验与二项分布X ～B (n ，p )，P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n . 2．超几何分布一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品．从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝m ，m ＋1，m＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ， m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }． 练后反馈题目 1 5 6 8 10 12 14 15 正误错题整理：三、正态分布 核心提炼 正态曲线的特点(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交．(2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称，曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π.(3)曲线与x 轴之间的区域的面积总为1.(4)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移．(5)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 练后反馈题目 3 11 13 16 正误错题整理：1．[T2补偿](2022·金华模拟)随机变量ξ的分布列如下表：ξ 1 a 9 Pb1－2bb其中1<a <9,0<b <12，则下列说法正确的是( )A ．若a ＝5，则当0<b <12时，E (ξ)随b 的增大而增大B ．若a ＝5，则当0<b <12时，E (ξ)随b 的增大而减小C ．若b ＝13，则当a ＝5时，D (ξ)有最小值D ．若b ＝13，则当a ＝5时，D (ξ)有最大值答案 C解析 若a ＝5，则E (ξ)＝1×b ＋5×(1－2b )＋9b ＝5，故A ，B 均错误； 若b ＝13，则E (ξ)＝1×13＋a ×13＋9×13＝a ＋103，D (ξ)＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋1032＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1032＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫9－a ＋1032＝127(6a 2－60a ＋438)， 其对称轴为直线a ＝6012＝5，则a ＝5时，D (ξ)有最小值，故C 正确，D 错误．2．[T12补偿]某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的应聘者才可通过面试．已知应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确完成，2道题不能完成，则小王正确完成面试题数的均值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 设小王正确完成的面试题数为X ，则X 的可能取值为1,2,3. P (X ＝1)＝C 22·C 14C 36＝420＝15；P (X ＝2)＝C 12·C 24C 36＝1220＝35；P (X ＝3)＝C 02·C 34C 36＝420＝15.∴E (X )＝1×15＋2×35＋3×15＝2.3．[T10补偿](2022·重庆模拟)通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检．单检是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本．混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等．调查研究显示，在群体总阳性率较低(低于0.1%)时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本．根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为0.000 5.若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X 次，采用“5合1”混检方式共需检测Y 次，已知当0<p <0.001时，(1－p )n ≈1－np (n ∈N *)，据此计算E (X )∶E (Y )的近似值为( ) A.12 B.1427 C.611 D.59 答案 B解析 由于一个城市的总人口数很大，而总体阳性率较低，所以我们可以认为阳性个体均匀分布，若进行“10合1”混检，对任意一个10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次， 概率分别为(1－p )10和1－(1－p )10，故10人组检测次数的均值为11－10(1－p )10，相当于每个个体平均检测[1.1－(1－p )10]次， 同理，采用“5合1”混检，每个个体平均检测 [1.2－(1－p )5]次，∴E (X )∶E (Y )＝1.1－(1－p )101.2－(1－p )5≈1.1－(1－10p )1.2－(1－5p )＝0.1＋10p 0.2＋5p ＝0.1＋0.0050.2＋0.002 5＝1427.4．[T6补偿]盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P (ξ＝0)＝________，E (ξ)＝________. 答案 131解析 当ξ＝0时，有两种情况： 第一种为第一次拿到红球，第二种为第一次拿到绿球，第二次拿到红球， 故P (ξ＝0)＝14＋14×13＝13.当ξ＝1时，有三种情况，即黄红、绿黄红、黄绿红， 故P (ξ＝1)＝24×13＋14×23×12＋24×13×12＝13.当ξ＝2时，有四种情况，即黄黄红、黄绿黄红、绿黄黄红、黄黄绿红， 故P (ξ＝2)＝24×13×12＋24×13×12＋14×23×12＋24×13×12＝13.所以E (ξ)＝0×13＋1×13＋2×13＝1.5．[T8补偿]某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为12，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p ，假设每道题答对与否互不影响． (1)当p ＝15时，①若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；②甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量X ，求X 的分布列和均值；(2)乙答对每道题的概率为23(含亲友团)，现甲、乙两人各答2道题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于1536，求甲的亲友团每道题答对的概率p (0<p <1)的最小值．解 (1)①记事件A 为“甲答对了某道题”，事件B 为“甲自己答对”， 则P (A )＝12＋12×15＝35，P (AB )＝12，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1235＝56.②根据题意得，X 的可能取值为0,1,2,3,4， 甲答对某道题的概率P (A )＝12＋12×15＝35，则X ～B ⎝⎛⎭⎫4，35， P (X ＝k )＝C k 4×⎝⎛⎭⎫35k ×⎝⎛⎭⎫254－k (k ＝0,1,2,3,4)， 故随机变量X 的分布列为E (X )＝4×35＝125.(2)记事件A i 为“甲答对了i (i ＝0,1,2)道题”， 事件B i 为“乙答对了i (i ＝0,1,2)道题”， 其中甲答对某道题的概率为12＋12p ＝12(1＋p )，答错某道题的概率为1－12(1＋p )＝12(1－p )，则P (A 1)＝C 12×12(1＋p )×12(1－p ) ＝12(1－p 2)， P (A 2)＝⎣⎡⎦⎤12(1＋p )2＝14(1＋p )2， P (B 0)＝⎝⎛⎭⎫132＝19， P (B 1)＝C 12×23×13＝49， 所以P (A 1B 0∪A 2B 1∪A 2B 0)＝12(1－p 2)×19＋14(1＋p )2×49＋14(1＋p )2×19＝136×(3p 2＋10p ＋7)≥1536， 又0<p <1，所以23≤p <1，则p 的最小值为23.。
第二章随机变量及其分布习题
第二章随机变量及其分布习题(1)随机变量及其分布1.一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律2.分析下列函数是否是分布函数.若是分布函数，判断是哪类随机变量的分布函数.（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=.0,1,02,21,2,0)(x x x x F （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,0,sin ,0,0)(ππx x x x x F （3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=.21,1,210,21,0,0)(x x x x x F 3.盒中装有大小相等的球10个，编号分别为0、1、2、…、9.从中任取1个，观察号码是“小于5”、“等于5”、“大于5”的情况.试定义一个随机变量，求其分布律和分布函数.4.已知随机变量X 的概率密度为||1()2x f x e -=，x -∞<<+∞.求X 的分布函数.5.设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它,01,1)(2x x c x f ，试求：（1）常数c ；（2）}210{≤≤X P ；（3）X 的分布函数.6.设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F X ，求（1）P (X<2),P {0<X ≤3},P (2<X<25)；（2）求概率密度f X (x ).7.设随机变量X 的概率密度)(x f 为（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它01112)(2x x x f π，（2）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=其他021210)(x x x x x f 求X 的分布函数F (x )，并作出（2）中的f (x )与F (x )的图形。
8.设随机变量X 的分布律为（0>α为参数）2,1,1)(===k ak X P k 求（1）(5)P X ≥；（2）(3)P X 为的倍数。
(完整版)离散型随机变量及其分布列测试题
离散型随机变量及其分布列测试题一、选择题：1、如果X 是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. X 取每一个可能值的概率都是非负数；B. X 取所有可能值的概率之和为1；C. X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D . X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2、甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响.设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则==)(k P ξA.4.06.01⨯-k B.76.024.01⨯-k C.6.04.01⨯-k D.24.076.01⨯-k3、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（ ）A. 4B. 6 C . 10 D. 无法确定4、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（ ）A. 一枚是3点，一枚是1点B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点 D . 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点5．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的6. 如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为A.3 B .5 C.6 D.107.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹角为θ，则⎥⎦⎤ ⎝⎛π∈θ20，的概率是A.125 B.21 C .127 D.65 8.设随机变量ξ的分布列为)5,4,3,2,1(15)(===k k k P ξ，则)2521(<<ξP 等于（ ）A.21B.91C. 61D.51 9.一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为: A.41004901C C -B.4100390110490010C C C C C + C.4100110C C D.4100390110C C C .10.位于坐标原点的一个质点P ，其移动规则是：质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是21．质点P 移动5次后位于点（2，3）的概率是： A.5)21( B .525)21(C C.335)21(C D.53525)21(C C11.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是A. 0．216B.0．36C.0．432 D .0．648 5.把一枚质地不均匀．．．．．的硬币连掷5次，若恰有一次正面向上的概率和恰有两次正面向上的概率相同（均不为0也不为1），则恰有三次正面向上的概率是: A ．40243 B ．1027C ．516 D ．1024312.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于: A9160 B 21 C 185 D 2169113.从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是:A ．95B ．94 C ．2111 D ．2110 14.从甲口袋摸出一个红球的概率是31，从乙口袋中摸出一个红球的概率是21，则32是A ．2个球不都是红球的概率 B. 2个球都是红球的概率C ．至少有一个个红球的概率 D. 2个球中恰好有1个红球的概率 15.通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定接收一个信号时发生错误的概率是101，为减少错误，采取每一个信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为: A ．1001 B ．2507 C ．2501 D ．10001 16. .已知随机变量ξ的分布列为：若12)(2=<x P ξ，则实数x 的取值范围是（ ）A.94≤<xB.94<≤xC.94≥<x x 或D.94>≤x x 或17. 12.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则==)12(ξP （ ）A.2101012)85()83(⋅C B .83)85()83(29911⨯C C.29911)83()85(⋅C D. 29911)85()83(⋅C18. 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）（A ）175 （B ） 275 （C ）375 （D ）475二、填空题：19.若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_____20. 如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________．解：由题，因为()p n B ,~ξ且ξ取不同值时事件互斥，所以，[][]n n n n n n n n n p p q p q q p C q p C q p C P P P P )21(121)()(21)4()2()0(44422200-+=-++=+++=+=+=+==-- ξξξ．（因为1=+q p ，所以p p q 21-=-）21.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9 .她连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是30.90.1⨯；③他至少击中目标1次的概率是410.1-.其中正确结论的序号是 ①③ __（写出所有正确结论的序号）. 22.对有n (n ≥4)个元素的总体{}1,2,,n 进行抽样，先将总体分成两个子总体{}1,2,,m 和{}1,2,,m m n ++ (m 是给定的正整数，且2≤m ≤n -2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P = ;4()m n m -三、解答题：23、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．24.一个口袋中装有n 个红球（5n ≥且n N ∈）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（Ⅰ）试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；（Ⅱ）若5n =，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ．当n 取多少时，P 最大？24.（Ⅰ）一次摸奖从5n +个球中任选两个，有25n C +种，它们等可能，其中两球不同色有115n C C 种，一次摸奖中奖的概率10(5)(4)np n n =++．（Ⅱ）若5n =，一次摸奖中奖的概率59p =,三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是:123380(1)(1)243P C p p =⋅⋅-=． （Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为123233(1)(1)363P P C p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<，2'91233(1)(31)P p p p p =-+=--，知在1(0,)3上P 为增函数，在1(,1)3上P 为减函数，当13p =时P 取得最大值．又101(5)(4)3n p n n ==++,解得20n =．25. 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31.(1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.•（1）X 的分布列为P （X=k ）=·，k=0，1，2，3，4，5，6.（2）Y 的概率分布为：Y 0 1 2 3P·· ·Y 4 5 6P··（3）0.912 解析:（1）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，故X～B（6，）， 2分所以X的分布列为P（X=k）=·，k=0，1，2，3，4，5，6. 5分（2）由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5.其中：{Y=k}（k=0，1，2，3，4，5）表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k+1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算.P（Y=k）=·（k=0，1，2，3，4，5），而{Y=6}表示一路没有遇上红灯，故其概率为P（Y=6）=.8分因此Y的概率分布为：Y 0 1 2 3P···Y 4 5 6P··12分（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为 {X≥1}={X=1或X=2或…或X=6}， 14分 所以其概率为P （X≥1）==1-=≈0.912. 16分20．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为多少21、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是n21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求(10)P X .22．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求X 的分布列．高中数学系列2—3单元测试题（2.1）参考答案一、选择题：1、D2、B3、C4、D5、C6、B7、C8、B二、填空题： 18、 20三、解答题：18、解：设黄球的个数为n ，由题意知 绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴ 44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==． 所以从该盒中随机取出一球所得分数X 的分布列为X 10 －1 P74 71 72 19、解从总数为10的门票中任取3张，总的基本事件数是C 310=120，而“至少有2张价格相同”则包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”，即C 25+C 9033351822172315=++⋅+⋅⋅C C C C C C （种）.所以，所求概率为.4312090= 20解P （A ）=112211122232562122326=⨯⨯-⨯=-C C C .21、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为X 24 8 16 ．．．n 2 ．．． P21 4181 161 ．．． n 21 ．．．∴ (10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==8842=++．22. [解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140.即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (X ＝1)＝1－P (X ＝2)＝34，X 的分布列为： X 1 2 P3414。
离散型随机变量及其分布列练习题和答案
离散型变量强化1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 4．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率为152，既刮风又下雨的概率为101，则在下雨天里，刮风的概率为（ ）A.2258 B.21 C.83 D.43 5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( )．6．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则==)12(ξP （ ） A.2101012)85()83(⋅C B.83)85()83(29911⨯C C.29911)83()85(⋅C D. 29911)85()83(⋅C 7．袋中有5个球，3个白球，2个黑球，现每次取一个，无放回地抽取两次，第二次抽到白球的概率为（ ） A.53 B.43 C.21 D. 1038．6位同学参加百米短跑初赛，赛场有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率（ ） A 52 B.51 C.92 D. 73 9．一个袋中有9张标有1,2,3，…，9的票，从中依次取两张，则在第一张是奇数的条件下第二张也是奇数的概率（ ） A.52 B.51 C.21 D. 7310.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上向右的概率都是21，质点P 移动5次后位于点（2,3）的概率是（ ）A.3)21( B.525)21(C C.335)21(C D.53525)21(C C 11.若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）3212.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则)0(=ξP 等于（ ） B. 21 C. 31 D.32 解答题13．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率14．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．15.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）． 试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；（2）求按比赛规则甲获胜的概率．16.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列.。
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随机变量及分布列1．已知随机变量()20,X N σ~，若(2)P X a <=，则(2)P X >的值为（ ） A.12a - B. 2a C. 1a - D. 12a+2．已知随机变量，若，则的值为（ ）A. 0.4B. 0.2C. 0.1D. 0.6 3．已知，，则的值为（ ）A. 10B. 7C. 3D. 64．集装箱有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖.若有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（ ） A.B.C.D.5．甲袋中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球为1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球2个.从袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，则另一个标号也是1的概率为__________．6．设随机变量服从正态分布，，则__________．7．某人通过普通话二级测试的概率是，他连线测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（ ） A.B.C.D.8．从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为奇数”，则（ ） A.B.C.D.9．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析.（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，求样本中男生、女生人数分别是多少；（Ⅱ）随机抽取8位同学，数学成绩由低到高依次为：6065707580859095，，，，，，，；物理成绩由低到高依次为：7277808488909395，，，，，，，，若规定90分（含90分）以上为优秀，记ξ为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求ξ的分布列和数学期望.10．某品牌汽车的4S店，对最近100份分期付款购车情况进行统计，统计情况如下表所示.已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌汽车，若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元.（1）若以上表计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3为顾客，求事件A：“至多有1位采用分6期付款“的概率()P A；（2）按分层抽样方式从这100为顾客中抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η，求η的分布列和数学期望()Eη.11．某公司有,,,,A B C D E五辆汽车，其中,A B两辆汽车的车牌尾号均为1. ,C D两辆汽车的车牌尾号均为2，E车的车牌尾号为6，已知在非限行日，每辆车可能出车或不出车，,,A B E三辆汽车每天出车的概率均为12，,C D两辆汽车每天出车的概率均为23，且五辆汽车是否出车相互独立，该公司所在地区汽车限行规定如下：（1）求该公司在星期一至少有2辆汽车出国的概率；（2）设X表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和，求X的分布列及期望.12．拖延症总是表现在各种小事上，但日积月累，特别影响个人发展．某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生进行“是否有明显拖延症”的调查中，随机发放了110份问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下22⨯列联表：有明显拖延症 无明显拖延症 合计 男 35 25 60 女 30 10 40 合计6535100（Ⅰ）按女生是否有明显拖延症进行分层，已经从40份女生问卷中抽取了8份问卷，现从这8份问卷中再随机抽取3份，并记其中无明显拖延症的问卷的份数为X ，试求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）若在犯错误的概率不超过P 的前提下认为无明显拖延症与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P 的值应为多少？请说明理由． 附：独立性检验统计量()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．独立性检验临界值表：()20P K k ≥ 0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0k1．3232．0722．7063．8415．02413．某高校数学系2016年高等代数试题有6个题库，其中3个是新题库（即没有用过的题库），3个是旧题库（即至少用过一次的题库），每次期末考试任意选择2个题库里的试题考试. （1）设2016年期末考试时选到的新题库个数为，求的分布列和数学期望；（2）已知2016年时用过的题库都当作旧题库，求2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率．14．某市举行的“国际马拉松赛”，举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动，抽奖盒中装有6个大小相同的小球，分别印有“快乐马拉松”和“美丽绿城行”两种标志，摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球（取出后不再放回），若抽到的两个球都印有“快乐马拉松”标志即可获奖．并停止取球；否则继续抽取，第一次取球就抽中获一等奖，第二次取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获奖．活动开始后，一位参赛者问：“盒中有几个印有‘快乐马拉松’的小球？”主持人说：“我只知道第一次从盒中同时抽两球，不都是‘美丽绿城行’标志的概率是（1）求盒中印有“快乐马拉松”小球的个数；（2）若用表示这位参加者抽取的次数，求的分布列及期望．15．为创建全国文明城市，某区向各事业行政单位征集“文明过马路”义务督导员.从符合条件的600名志愿者中随机抽取100名，按年龄作分组如下：[20,25) , [25,30) , [30,35)，[35,40) , [40,45] ，并得到如下频率分布直方图.(Ⅰ)求图中的值，并根据频率分布直方图统计这600名志愿者中年龄在[30.40)的人数；(Ⅱ)在抽取的100名志愿者中按年龄分层抽取10名参加区电视台“文明伴你行”节目录制，再从这10名志愿者中随机选取3名到现场分享劝导制止行人闯红灯的经历，记这3名志愿者中年龄不低于35岁的人数为,求的分布列及数学期望.16．一家医药研究所，从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为.现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”.（1）求一个试用组为“甲类组”的概率；（2）观察3个试用组，用表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望.17．某班为了提高学生学习英语的兴趣，在班内举行英语写、说、唱综合能力比赛，比赛分为预赛和决赛2个阶段，预赛为笔试，决赛为说英语、唱英语歌曲，将所有参加笔试的同学（成绩得分为整数，满分100分）进行统计，得到频率分布直方图，其中后三个矩形高度之比依次为4:2:1，落在的人数为12人．（Ⅰ）求此班级人数；（Ⅱ）按规定预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，已知甲乙两位选手已经取得决赛资格，参加决赛的选手按抽签方式决定出场顺序．（i）甲不排在第一位乙不排在最后一位的概率；（ii）记甲乙二人排在前三位的人数为，求的分布列和数学期望．18．2017年1月1日，作为贵阳市打造“千园之城”27个示范性公园之一的泉湖公园正式开园.元旦期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放.现从到公园游览的市民中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：（1）根据条件完成下列22列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关？愿意不愿意总计男生女生总计（2）水上挑战项目共有两关，主办方规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加每一关的每一次挑战通过的概率均为12，记甲通过的关数为X ，求X的分布列和数学期望. 参考公式与数据：()20P K k ≥0.1 0.05 0.025 0.010k2.7063.841 5.024 6.635()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.19．在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中，甲、乙两班各有6名选手参赛，在第一轮笔试环节中，评委将他们的笔试成绩作为样本数据，绘制成如图所示的茎叶图，为了增加结果的神秘感，主持人故意没有给出甲、乙两班最后一位选手的成绩，知识告知大家，如果某位选手的成绩高于90分（不含90分），则直接“晋级”．（1）求乙班总分超过甲班的概率；（2）主持人最后宣布：甲班第六位选手的得分是90分，乙班第六位选手的得分是97分， ①请你从平均分和方差的角度来分析两个班的选手的情况；②主持人从甲乙两班所有选手成绩中分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为，求的分布列及数学期望．20．一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个.求： （1）连续取两次都是红球的概率；（2）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，取球次数最多不超过4次，求取球次数的概率分布列及期望.21．甲乙两人下棋比赛，规定谁比对方先多胜两局谁就获胜，比赛立即结束；若比赛进行完6局还没有分出胜负则判第一局获胜者为最终获胜且结束比赛.比赛过程中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛相互独立.求：（1）比赛两局就结束且甲获胜的概率；（2）恰好比赛四局结束的概率；（3）在整个比赛过程中，甲获胜的概率.22．若随机变量()22,3X N ~，且()()1P X P X a ≤=≥，则()52x a ax x ⎛+- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数是__________．23．在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则__________．24．某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布,已知，估计该班学生数学成绩在120分以上的有______人.25．某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值的范围为________．26．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．27．若随机变量ξ的分布列如下表：ξ 01 xP15 p310且E （ξ）＝1.1，则D 28．设p 为非负实数，随机变量X X 012P12p - p 12则E （X ）的最大值为_______，D （X 29．12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，以ξ表示取出次品的个数，则ξ的期望值()E ξ=．参考答案1．A【解析】由题意有正态密度函数的图象关于直线0x =对称,正态密度函数的图象与x 轴围成的面积为1,所以有()1(2)(2)12P X P X a >=<-=-,选A . 2．B 【解析】。