几个重要的随机变量分布
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连续型随机变量常见的几种分布
)
29
◆ 对任意区间 ( x1 , x2 ], 则有： x1 X x2 ) P ( x1 X x2 ) P ( x2 x1 ( )
(
)
30
(6) 3 原则 由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时，
6
解： 设以7:00为起点0，以分为单位 从上午7时起， 每15分钟来 依题意， X ～ U ( 0, 30 ) 一班车，即 1 7:00，7:15， 0 x 30 f ( x ) 30 7:30 其 它 等时刻有汽 0 车到达汽站 为使候车时间X 少于 5 分钟， 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 故所求概率为：
2( 2) 1 2 0.9772 1 0.9544
33
例4. 从旅馆到飞机场沿 A 路走(路程短，交通拥挤)
所需时间(分钟) X ~ N (27,52 ), 沿 B 路走（路程 长，阻塞少)所需时间(分钟)Y～N (30,22 ) 若现在只有 30分钟. 问：分别选择哪一条路为好? 解: 依题意，选择所需时间超过规定时间的概率较 小的路线为好. 当只有30分钟可用时: 30 27 ) A 路: P ( X 30) 1 P ( X 30) 1 ( 5 1 (0.6) 1 0.7257 0.2743
P{10 X 15} P{25 X 30} 15 1 30 1 1 dx dx 10 30 25 30 3
7
候车时间超过10分钟,则乘客必须在7:00到7:05或 7:15到7:20之间到达车间
P (0 x 5) P (15 x 20)
概率论-随机变量的几种重要分布及数字特征
2. 若X 是随机变量，若C是常数，则 E(CX ) CE( X );
3. 若 ( X ,Y )是二维随机向量，则
E( X Y ) E( X ) E(Y );
注： 推广到 n 维随机向量，有
n
n
E( Xi ) E(Xi )
i 1
ห้องสมุดไป่ตู้
i 1
数学期望的性质
4. 若 ( X ,Y ) 是二维随机向量，且 X ,Y相互独立,
E( X )E(Y ) E( XY ) E( X )E(Y ).
特别地，当X与Y 独立时，有 cov( X ,Y ) 0.
协方差的性质 1. 协方差的基本性质
(1) cov( X , X ) D( X ); (2) cov( X ,Y ) cov(Y , X ); (3) cov(aX ,bY ) abcov( X ,Y ), 其中 a,b 是
定理1 设 X 是一个随机变量，Y g( X ), 且E(X ) 存
在, 于是
(1) 若X 为离散型随机变量，其概率分布为
P{ X xi } pi , i 1,2,
若 g(xi ) pi 绝对收敛，则Y的数学期望为
i 1
E(Y ) E[g( X )] g(xi ) pi;
cov( X ,Y )
[x E( X )][ y E(Y )] f ( x, y)dxdy.
协方差的定义
利用数学期望的性质，易将协方差的计算化简.
cov( X ,Y ) E{[ X E( X )][Y E(Y )]} E( XY ) E( X )E(Y ) E(Y )E( X )
x0
六个常用分布的数学期望和方差
即
12
若随机变量X~U( a , b ),则
ab
(b a)2
E(X)
, D( X )
2
12
五.指数分布
随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度为：
f
(
x)
1
θ
e
x θ
0
x0 x0
E(X )
xf ( x)dx
x
1
e
x θ
dx
x
（ x）de θ
0
θ
0
（
x）e
x
x
e dx
X X1 X2 Xn
E( X ) E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ) np
D( X ) D( X1 ) D( X 2 ) D( X n ) np(1 p)
即： 若随机变量X~B( n , p ),则
E( X ) np，D( X ) np(1 p)
E[3( X 2 1)] 3E( X 2 ) 3
3{D( X ) [E( X )]2 } 3 33
例2.已知X和Y相互独立，且X在区间(1，5)上服从
均匀分布， Y ~ N (1,求9)(1, ) (X,Y)的联合概率密度;(2)
E(3X 4Y 2) , D(3X 4Y 2)
E( X ) xf ( x)dx
b
x
1
dx
a ba
1 x2 b
ba 2 a
ab 2
E( X 2 ) b x 2
1
b3 a3 dx
a 2 ab b2
a ba
3(b a)
3
D( X )
E( X 2 ) [E( X )]2
六个常用分布的数学期望和方差
2
例1.已知 X ~ (3) , Y 2 X 1 , 求E (Y ) , D(Y ) , E[3( X 2 1)] 解：X ~ (3) , 则 E ( X ) 3 , D( X ) 3
E (Y ) E ( 2 X 1) 2 E ( X ) 1 5
D(Y ) D( 2 X 1) 4 D( X ) 12
xf ( x )dx
b
x
1 ba
dx
a
1 ba
x
2
b
ab 2
2 a
E( X )
2
b
x
2
1 ba
dx
b a
3
3
a
3(b a )
a ab b
2 2
a ab b
2
2
3
a 2ab b
2 2
D( X ) E ( X ) [ E ( X )]
即： 若随机变量X~B( n , p ),则
E ( X ) np，D( X ) np(1 p)
三.泊松分布
随机变量
P{ X k }
X ~ ( ) ，其分布律为：
λ e
k λ
,
k 0,1,2, ,
k!
E( X )
k
k 0
e
k
e
k!
(k 1)!
xf ( x )dx
x
1 2
e
dx （令 t
t
2
x
）
例1.已知 X ~ (3) , Y 2 X 1 , 求E (Y ) , D(Y ) , E[3( X 2 1)] 解：X ~ (3) , 则 E ( X ) 3 , D( X ) 3
E (Y ) E ( 2 X 1) 2 E ( X ) 1 5
D(Y ) D( 2 X 1) 4 D( X ) 12
xf ( x )dx
b
x
1 ba
dx
a
1 ba
x
2
b
ab 2
2 a
E( X )
2
b
x
2
1 ba
dx
b a
3
3
a
3(b a )
a ab b
2 2
a ab b
2
2
3
a 2ab b
2 2
D( X ) E ( X ) [ E ( X )]
即： 若随机变量X~B( n , p ),则
E ( X ) np，D( X ) np(1 p)
三.泊松分布
随机变量
P{ X k }
X ~ ( ) ，其分布律为：
λ e
k λ
,
k 0,1,2, ,
k!
E( X )
k
k 0
e
k
e
k!
(k 1)!
xf ( x )dx
x
1 2
e
dx （令 t
t
2
x
）
概率论与数理统计-随机变量及其分布
解
直接对上式求导有
二、连续型随机变量函数的分布
81
例 18
解
二、连续型随机变量函数的分布
82
定理 1
定理 2
83
总结/summary
离散型随机变量：分布律
分 二项分布、泊松分布、几何
随 布 分布
机 变
函 数
连续型随机变量：密度函数
量 均匀分布、指数分布、正态
分布
随机变量函数的分布
84
谢谢观赏
46
47
目录/Contents
2.1 随机变量及其分布 2.2 常用的离散型随机变量 2.3 常用的连续型随机变量 2.4 随机变量函数的分布
48
目录/Contents
2.3 常用的连续型随机变量
一、均匀分布 二、指数分布 三、正态分布
一、均匀分布
49
一、均匀分布
50
一、均匀分布
51
一、均匀分布
15
定义3
（1）非负性 （2）规范性
三、离散型随机变量及其分布律
16
换句话说，如果一个随机变量只可能取有限个 值或可列无限个值, 那么称这个随机变量为（一维） 离散型随机变量.
一维离散型随机变量的分布律也可表示为：
三、离散型随机变量及其分布律
17
例2
求
三、离散型随机变量及其分布律
18
解
四、连续型随机变量及其密度函数
2.1 随机变量及其分布 2.2 常用的离散型随机变量 2.3 常用的连续型随机变量 2.4 随机变量函数的分布
73
目录/Contents
2.4 随机变量函数的分布 一、离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布
概率论-2-3 常见离散型随机变量的分布
回顾： 随机变量的分类 随机变量
离散型 连续型
随机变量所取的可能值是有限多个或无限 可列个, 叫做离散型随机变量.
随机变量所取的可能值可以连续地充满某个 区间,叫做连续型随机变量.
引入分布的原因
以认识离散随机变量为例, 我们不仅 要知道 X 取哪些值,而且还要知道它 取这些值的概率各是多少,这就需要 分布的概念.有没有分布是区分一般 变量与随机变量的主要标志.
例 某服装商店经理根据以往经验估计每名顾客购买 服装的概率是0.25，在10个顾客中有3个及3个以上顾 客购买服装的概率是多少？最可能有几个顾客购买服 装？
解 设X 表示购买服装的顾客数目，
则 X ~ B(10,0.25)，所以有 3 个及 3 个以上顾客购买服装的概率为
2
P{X 3} 1 P{X k} 2 k0 1 C1k0 (0.25)k (0.75)10k 0.4744 k 0
k 1, 2,
q 1 p
其中，0<p<1，则称X服从参数为p的几何分布，记做
X G( p).
几何分布可作为描述某个试验 “首次成功”的概率模型.
5、超几何分布
如果随机变量X的概率分布为
P{X
k}
CMk
Cnk N M
CNn
(k 0,1, , min(M , n))
其中N,M,n 均为自然数,则称随机变量X服从超几何分 布，记做 X H (M , N, n).
或
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 0-1 分布或两点分布.
例 200件产品中,有190件合格品，10件不合格 品，现从中随机抽取一件，若规定
X
离散型 连续型
随机变量所取的可能值是有限多个或无限 可列个, 叫做离散型随机变量.
随机变量所取的可能值可以连续地充满某个 区间,叫做连续型随机变量.
引入分布的原因
以认识离散随机变量为例, 我们不仅 要知道 X 取哪些值,而且还要知道它 取这些值的概率各是多少,这就需要 分布的概念.有没有分布是区分一般 变量与随机变量的主要标志.
例 某服装商店经理根据以往经验估计每名顾客购买 服装的概率是0.25，在10个顾客中有3个及3个以上顾 客购买服装的概率是多少？最可能有几个顾客购买服 装？
解 设X 表示购买服装的顾客数目，
则 X ~ B(10,0.25)，所以有 3 个及 3 个以上顾客购买服装的概率为
2
P{X 3} 1 P{X k} 2 k0 1 C1k0 (0.25)k (0.75)10k 0.4744 k 0
k 1, 2,
q 1 p
其中，0<p<1，则称X服从参数为p的几何分布，记做
X G( p).
几何分布可作为描述某个试验 “首次成功”的概率模型.
5、超几何分布
如果随机变量X的概率分布为
P{X
k}
CMk
Cnk N M
CNn
(k 0,1, , min(M , n))
其中N,M,n 均为自然数,则称随机变量X服从超几何分 布，记做 X H (M , N, n).
或
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 0-1 分布或两点分布.
例 200件产品中,有190件合格品，10件不合格 品，现从中随机抽取一件，若规定
X
概率论中几种常用重要分布
概率论中几种常用的重要的分布摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。
其在实际中的应用。
关键词1 一维随机变量分布随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论．随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。
它是一种“定性”类型的概念。
为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。
称这种变数为随机变数。
本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。
定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P Xx x=∈-∞=-∞+∞.这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。
它是一个普通的函数。
成这个函数为随机函数X 的分布函数。
有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。
更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈=称这样的随机变数为离散型随机变数。
称它的分布为离散型分布。
【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。
（1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。
称这种随机变数的分布为退化分布。
一个退化分布可以用一个常数a 来确定。
（2）X 可能取的值只有两个。
确切地说，存在着两个常数a ，b ，使([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。
如果([])P X b p ==，那么，([])1P X a p ===-。
因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。
特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。
随机变量及其分布
f ( x) lim
x 0
xLeabharlann x xlim P{x X x x} lim x
f (x)dx .
x 0
x
x 0
x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 (x,x+△x] 上的概率与区间长度 △x之比的极限. 这里，如果把概率理解为质 量， f (x)相当于线密度.
f (x)
a
ba
当x b时，
x
a
b
x
F (x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt f (t)dt 1.
a
b
因此X ～ U(a, b)的分布函数为：
0
F ( x)
P( X
x)
x b
a
a 1
xa a xb
xb
例1 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发
车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随
解: 设X表示400次独立射击中命中的次数，则
X～B(400, 0.02)，故 P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399) ＝0.9972
例5 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障只能 由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法,其一 是由4人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护 30台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及 时维修的概率大小.
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
(4) 若x是f(x)的连续点，则 dF(x) F(x) f (x)
dx
设随机变量X的分布函数
F
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§4 连续型随机变量的概率密度
密度函数的验证(续)
下面验证：
f xdx
1
e
x 2
2s 2
dx
1
2 s
首先验证：
x dx
1
x2
e 2 dx 1
2
或验证：
x2
e 2 dx 2
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§4 连续型随机变量的概率密度
密度函数的验证(续)
为此，我们只需证明：
e
x2 2
0
3 0 3
所以，
c3 8
2
⑵．PX 1 f xdx f xdx f xdx
1
1
2
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§4 连续型随机变量的概率密度
例 1（续）
2 3 4x 2x2 dx 18
2
3 2x2 2 x3
8
3 1
1 2
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§4 连续型随机变量的概率密度
例2 某电子元件的寿命（单位：小时）是以
解：
X 的密度函数为
f
x
1 10
x
e 10
0
x0
x0
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§4 连续型随机变量的概率密度 例 7（续）
令：B={ 等待时间为10~20分钟 }
则 PB P10 X 20
20
1
x
e 10dx
1
x
e 10
20
10 10
10 10
e1 e2 0.2325
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§4 连续型随机变量的概率密度
0
x0
x2
Fx
x2
2 2x
1
0 x 1 1 x 2
2
1
2 x
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§4 连续型随机变量的概率密度
二.一些常用的连续型随机变量
1．均 匀 分 布 若随机变量 X 的密度函数为
f
x
b
1
a
a xb
0
其它
则称随机变量 X 服从区间a， b上的均匀分布．
记作 X ~ U [a , b]
3．正 态 分 布
如果连续型随机变量 X 的密度函数为
f x
1
x 2
e 2s 2
x
2 s 其中 ，s 0为参数，
则称随机变量 X 服从，参数为 ， s 2 的
正态分布．记作
f (x)
X ~ N， s 2
0
x
§4 连续型随机变量的概率密度 标准正态分布
若 0， s 1，我们称 N0， 1为标准正态分布．
形越平坦，这表明 X的取值越分散． f (x)
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1
x
§4 连续型随机变量的概率密度
正态分布的重要性 正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下 情形加以说明：
⑴．正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布 之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分 布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素 的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用， 则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．
指数分布的分布函数
若随机变量X 服从参数 指数分布，
则 X 的分布函数为
F
x
1
0 e
x
x0 x0
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§4 连续型随机变量的概率密度
例7 设打一次电话所用的时间 X（单位：分钟）是
以 1 为参数的指数随机变量．如果某人刚
10 好在你前面走进公用电话间，求你需等待10分 钟到20分钟之间的概率．
其它
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§4 连续型随机变量的概率密度 均匀分布的分布函数
若随机变量 X 服从区间a， b上的均匀分布，
则 X的分布函数为
0
F
x
x b
1
a a
xa a xb
bx
F (x) 1
a0
b
x
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§4 连续型随机变量的概率密度
例5
设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车, 如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到7:30之间的 均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过5分钟 的概率．
连续型随机变量的一个重要特点
设 X 是连续型随机变量，则 对任意的实数 a，
有
PX a 0
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§4 连续型随机变量的概率密度
证明： 所以有
PX a
lim
Pa
1
X
a
n n
a
lim f xdx n
0
a
1 n
PX a 0
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§4 连续型随机变量的概率密度
说明
⑴．由上述性质可知，对于连续型随机变量，我
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§4 连续型随机变量的概率密度
密度函数的验证
设X ~ 参数为的指数分布， f x是其密度函数，则有：
⑴．对任意的 x，有 f x 0；
0
⑵． f xdx f xdx f xdx
由此可知，
0
exdx
ex
1．
0
0
f
x
e
x
0
x 0 确是一密度函数． x0பைடு நூலகம்
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§4 连续型随机变量的概率密度
25 30
3
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§4 连续型随机变量的概率密度
例6
设随机变量 服从区间 3， 6上的均匀分布，
试求方程
4x2 4 x 2 0
有实根的概率．
解：
随机变量 的密度函数为
f
x
1 9
3 x6
0 其它
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§4 连续型随机变量的概率密度
例 6（续）
设：A 方程4x2 4 x 2 0有实根
f x 1000
x2
x 100 x 100
为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元 件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率.
解： 设：A={ 某元件在使用的前 150 小时内需要更换}
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§4 连续型随机变量的概率密度
例 2（续）
150
则 PA PX 150 f xdx
例1
设 X 是连续型随机变量，其密度函数为
f
x
c
4x
2x2
0
0x2 其它
求：⑴．常数c； ⑵．PX 1．
解： ⑴．由密度函数的性质
f xdx 1
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§4 连续型随机变量的概率密度
例 1（续）
0
2
得 1 f xdx f xdx f xdx f xdx
0
2
2 c 4x 2x2 dx c 2x2 2 x3 2 8 c
2
0
1
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§4 连续型随机变量的概率密度
例 4（续）
x
当x 2时，Fx f tdt
0
1
2
x
f tdt f tdt f tdt f tdt
0
1
2
1
2
tdt 2 tdt
0
1
1
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§4 连续型随机变量的概率密度
例 4（续） 综上所述，可得随机变 量 X 的分布函数
2
1 e dx
1 2
x s
2
2
s
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§4 连续型随机变量的概率密度 密度函数的验证(续)
综上所述，
f x
1
e
x 2
2s 2
2 s
x
满足密度函数的两项基 本条件，因此 f x确
是一个密度函数．
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§4 连续型随机变量的概率密度 正态分布密度函数的图形性质
对于正态分布的密度函数
标准正态分布的密度函数为
x
1
x2
e2
2
x
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§4 连续型随机变量的概率密度 密度函数的验证
设X ~ N ， s 2 ，f x是其密度函数，则有：
f x
1
e
x 2
2s 2
0
2 s
下面验证：
x
f x dx
1
e
x 2
2s 2
dx
1
2 s
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2
dx
2
e
x2 2
dx
2
x2 y2
e 2 dx e 2 dy
x2 y2
e 2 e 2 dxdy
x2 y2
e 2 dxdy
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§4 连续型随机变量的概率密度
密度函数的验证(续)
作极坐标变换：x r cos ， y r sin ， 则有
e
150 100
100
x2
dx
1 3
检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5
重Bernoulli试验．
B={ 5 个元件中恰有 2 个的使用寿命不超过150
小时 }
则
PB
C52
1 3
2
2 3
3
80 243
返回主目录
§4 连续型随机变量的概率密度
例3
设连续型随机变量 X 的分布函数为
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§4 连续型随机变量的概率密度
密度函数的验证
设X ~ 区间a， b上的均匀分布， f x是其密度函数，
则有：
⑴．对任意的 x，有 f x 0；
a
b
⑵． f xdx f xdx f xdx f xdx
a
b
b
a
1 ba
dx
1．
由此可知，f
x