选修2-3第二章随机变量及其分布知识点总结
高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布 本章高效整合
[说明]识别条件概率的关键是看已知事件的发生与否会 不会影响所求事件的概率．
(2)条件概率的性质： ①0≤P(B|A)≤1； ②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为 0； ③如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋ P(C|A)．
(3)事件的相互独立性：设A，B为两个事件，如果P(BA) ＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．如果事件A与B 相互独立，那么A与 B ， A 与B， A 与 B 也都相互独立．
3．离散型随机变量的均值与方差 (1)均值、方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列 为：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均 水平．
n
称D(X)＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差， DX
(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n(Ω) ＝A52＝20.
根据分步乘法计数原理，n(A)＝A13×A14＝12. 于是P(A)＝nnΩA＝1220＝35.
(2)因为n(AB)＝A23＝6，
所以P(AB)＝nnAΩB＝260＝130.
(3)方法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件
将产品编号1,2,3号为一等品，4号为二等品，以(i，j)表 示第一次，第二次分别取到第i号、第j号产品，则试验的样 本空间为：
Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，…， (4,1)，(4,2)，(4,3)}
高中数学选修2-3(人教B版)第二章随机变量及其分布2.1知识点总结含同步练习题及答案
描述：例题：高中数学选修2-3(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列一、学习任务1. 了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；会求某些简单的离散型随机变量的分布列．2. 通过实例理解两点分布、超几何分布，理解其公式的推导过程，并能简单的运用．二、知识清单离散型随机变量的概念离散型随机变量的分布列三、知识讲解1.离散型随机变量的概念在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这种对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable）．随机变量常用字母 ，，，， 表示．如果随机变量 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称为离散型随机变量．X Y ξη⋯X 投掷均匀硬币一次，随机变量为（ ）A．出现正面的次数 B．出现正面或反面的次数C．掷硬币的次数 D．出现正、反面次数之和解：A掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述一个随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量 ， 的取值是 ，，故选 A．而 B 中的事件是必然事件，C 中掷硬币次数是 ，不是随机变量，D 中对应的事件是必然事件，故选 A．ξξ011下列所述：①某座大桥一天经过的车辆数 ；②某无线电寻呼台一天内收到寻呼次数 ；③一天之内的温度 ；④一位射手对目标进行射击，击中目标得 分，未击中目标得 分，用 表示该射手在一次射击中的得分．其中 是离散型随机变量的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④解：B根据离散型随机变量的定义，判断一个随机变量是不是离散型随机变量，就是看这一变量的所有可能的取值是否可以一一列出．①②④中的 可能取的值，可以一一列举出来，而③中的 可以取某一区间内的一切值，不可以一一列出．X X X 10X X X X。
高中数学选修2-3知识点汇编
随机变量及其分布知识点1.什么是随机变量？答：在某试验中，可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量。
离散型随机变量：如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量。
2.什么是概率分布列？答：要掌握一个离散型随机变量X 的取值规律，必须知道：（1）X 所有可能取的值n x x x ,,,21 ； （2）X 取每一个值i x 的概率n p p p ,,,21 ； 我们可以把这些信息列成表格（如此）：X1x 2x …i x …n xP1p 2p …i p…np上表为离散型随机变量X 的概率分布，或称为离散型随机变量X 的分布列。
3.什么是二点分布？ 答：X1 0Ppq其中p q p -=<<1,10，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布。
4.什么是超几何分布？答：一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取()N n n ≤件，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为()nNmn MN m M C C C m X P --==（l m ≤≤0，l 为n 和M 中较小的一个）。
我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为n M N ,,的超几何分布。
5.什么是条件概率？答：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号()A B P 来表示。
6．什么是事件的交（积）？答：事件A 和B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 和B 的交（积）。
7.什么是相互独立事件？答：事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即()()B P A B P =，这时我们称两个事件A 和B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件。
一般地，当事件A 和B 相互独时，A 和B ，A 和B ，A 和B 也相互独立。
选修2-3离散型随机变量及其分布知识点
离散型随机变量及其分布知识点一：离散型随机变量的相关概念；随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为12i x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅、ξ取每一个值()1,2,i x i =⋅⋅⋅的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质；任何随机事件发生的概率都满足:0()1P A ≤≤，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：(1) 01,2,i p i ≥=⋅⋅⋅，；12(2) 1P P ++=特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即1()()()k k k P x P x P x ξξξ+≥==+=+知识点二：两点分布：若随机变量X 的分布列: 则称X 的分布列为两点分布列.特别提醒：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.(2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布(3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究.知识点三：超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则(),0,1,,min{,},,,.k n kM N MnNC C P X k k m m M n n N M N C --===⋅⋅⋅=≤≤其中称超几何分布列.为超几何分布列，知识点四：离散型随机变量的二项分布；在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（0,1,2,3,k =…， p q -=1）于是得到随机变量ξ的概率分布如下：由于k k n knC p q -恰好是二项式展开式： 00111()n n n k k n kn n n n n n p q C p q C p q C p q C p q --+=+++++中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作(,)B n p ξ，其中n ，p 为参数，并记(,,)k k n kn C p q b k n p -=知识点五：离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()k p A p =，(), (1)k p A q q p ==-，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p ξ---====(0,1,2,k =…，p q -=1)于是得到随机变量ξ的概率分布如下：称这样的随机变量ξ服从几何分布， 记作1(,),0,1,2,,1.k g k p q p k q p -===-其中知识点六：求离散型随机变量分布列的步骤；(1)要确定随机变量ξ的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义；(2)分清概率类型，计算ξ取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样；(3)列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证. 几种常见的分布列的求法：(1)取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算.所用方法主要有划归法、数形结合法、对应法等对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.(2)射击问题：若是一人连续射击，且限制在n 次射击中发生k 次，则往往与二项分布联系起来；若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算.(3)对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解. 知识点六：期望数学期望:则称=ξE +11p x 22p x n n 数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
数学选修2-3知识点总结
第二章概率总结一、知识结构二、知识点1.随机试验的特点:①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个 ③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．2.分类随机变量（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母ξ、η等表示。
）离散型随机变量在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．连续型随机变量对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.连续型随机变量的结果不可以一一列出.3.离散型随机变量的分布列一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为 x 1,x 2,,x i ,,x nX 取每一个值xi(i=1,2, ）的概率 P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列性质：①pi ≥0,i=1，2，… ； ②p 1+p 2+…+p n =1．③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
4.求离散型随机变量分布列的解题步骤随机变量 条件概率 事件的独立性 正态分布超几何分布二项分布数学期望 方差离散型随机变量的数字特征 离散型随机变量连续性随机变例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列.解：用随机变量X 表示“每次罚球得的分值”，依题可知，X 可能的取值为：1,0 且P （X=1）=0.7，P （X=0）=0.3 因此所求分布列为：引出超几何分布 一般地,设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N MnN C C P X k k m C --===，其中{}min ,m M n =, 且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤则称随机变量X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布 注意：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是N 、M 、n ，其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量解题步骤：例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率解：设摸出红球的个数为X,则X 服从超几何分布,其中30,10,5N M n === X 可能的取值为0，1，2，3，4,5.由题目可知，至少摸到3个红球的概率为(3)(3)(4)(5)P X P X P X P X ==+=+=≥324150102010201020555303030C C C C C C C C C =++≈0.191 答：中奖概率为0.191.条件概率1.定义：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作读作A 发生的条件下B 的概率2.事件的交（积）:由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与事件B 的交（或积D=A ∩B 或D=AB3.条件概率计算公式: 二点分布如果随机变量X 的分布列为： 其中0<p<1，q=1-p ，则称离散型随机变量X 服从参数p 的二点分布二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.P(B|A)相当于把A 看作新的基本事件空间,求Ａ∩Ｂ发生的概率:解题步骤： 例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二到次品的概率. 解：设A={第一个取到次品}，B={第二个取到次品}，所以，P(B|A)=P(AB)/P(A)=2/9 答：第二个又取到次品的概率为2/9.相互独立事件1.定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立2.相互独立事件同时发生的概率公式 两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
高中数学选修2-3(人教B版)第二章随机变量及其分布2.4知识点总结含同步练习题及答案
f (x) =
相应的曲线称为标准正态曲线．
1 − x2 e 2 , x ∈ (−∞， + ∞) √− 2− π
正态分布 （1）正态分布的定义： 一般地，如果对于任何实数 a ，b ，随机变量 X 满足
P ( a < X ⩽ b) = ∫
b a
φμ,σ (x)dx
则称随机变量 X 服从正态分布（normal distribution）．正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定， 因此正态分布常记作 N (μ, σ 2 )．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 X ∼ N (μ, σ 2 ) ．
2.正态分布 描述： 正态曲线的定义 如果随机变量 X 的概率密度函数为
φμ,σ (x) =
(x−μ) 1 − 2σ 2 , x ∈ (−∞， + ∞) e √− 2− πσ 2
其中实数 μ 和 σ （ σ > 0 ）为参数．我们称 φμ,σ (x) 的图象为正态分布密度曲线，简称正态 曲线．
当 μ = 0 ， σ = 1 时，函数表达式是
1. 对于标准正态分布 N (0, 1) 的概率密度函数 f (x) = A．f (x) 为偶函数 B．f (x) 最大值为
)
C．f (x) 在 x > 0 时是单调减函数，在 x ⩽ 0 时是单调增函数 D．f (x) 关于 x = 1 对称
答案： D 解析：
1 √− 2− π
f (x) 关于 x = 0 对称． )
2
σ = √2 ，不正确．
(x−μ) 1 − （x ∈ R ），从系数部分看 σ = 2，可是从指数部分看 2σ 2 e √− 2− π ⋅σ
D 错在指数部分缺少一个负号．
2 )（σ > 0）和 N (μ , σ 2 )（σ > 0）的分布密度函数图象如图，则有 设两个正态分布 N (μ1 , σ 1 1 2 2 2 （ ）
数学人教A版选修2-3本章解说：第二章随机变量及其分布
第二章随机变量及其分布
本章解说
知识概要
概率论是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的规律的数学分支.本章主要讲了概率论的初步知识，随机变量、离散型随机变量及其分布列、期望、方差、均值等，其中二项分布、正态分布也是本章涉及的重要知识.
对于本章知识，教材借助于一些浅显、易懂的基本例题，帮助我们理解基本概念并建立起相关的知识网络，而随机变量又是概率论的一个重要的基本概念，是学好整章内容的基础.
随机变量及其分布是重要学习内容.随机变量是可取数值的，因此可对它进行各种数学运算.正因为如此，我们可用变量来刻画随机试验的结果以及随机事件，可借助数学工具对随机现象进行研究，完全可以这样说，随机变量的引入，使概率论的研究插上了翅膀.
本章的主要内容有
1.离散型随机变量及其分布列的概念.
2.超几何分布及其导出过程，以及简单的应用.
3.条件概率和两个事件相互独立的概念，几次独立重复试验的模型及二项分布.
4.离散型随机变量均值、方差的概念及其计算.
5.正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
学法指导
本章知识是整个概率论部分的基础，也是重点，知识与知识板块联系紧密，在学习过程中，要注意知识的前后沟通与相互应用，使整个知识成为一个有机整体.此外，在处理数据时，计算量较大且繁琐，注意用科学的方法与计算器来处理，使之简单化.
我们要认真学好本章内容.本章知识内容对于开阔数学视野、丰富数学思想和方法，对于正确、灵活地解决有关实际问题将大有裨益.。
2.3.2 人教A版数学选修2-3 第2章 随机变量及其分布
2.3.2 离散型随机变量的方差、标准差填一填1.(1)定义：设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1,2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度，而D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．2．随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )； (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．4．离散型随机变量方差的线性运算性质设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X).判一判判断(1．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值．(×)2．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平．(×)3．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平．(√)4．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(×)5．若a是常数，则D(a)＝0.(√)6．若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则D(X)为0.5.(×)7．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于0.196.(√)8．若X为随机变量则D(X－D(X))＝D(X)．(√)想一想1.提示：随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定与波动，集中与离散的程度，D(X)(或D(X))越小，稳定性越好，波动越小，显然D(X)≥0(D(X)≥0)．2．离散型随机变量的方差与标准差的单位相同吗？提示：不同，方差的单位是随机变量单位的平方；标准差与随机变量本身有相同的单位．3．随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？提示：样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个变量，而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，因此它是一个常数(量)．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体的方差．4．决策问题中如何运用均值与方差？提示：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先计算均值，看谁的平均水平高，然后再计算方差，分析谁的水平发挥相对稳定．当然不同的情形要求不同，应视情况而定。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章概率总结
一、知识点
1.随机试验的特点:
①试验可以在相同的情形下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个
③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会
出现哪一个结果．
2.分类
随机变量
（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结
果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y等
或希腊字母ξ、η等表示。
）
离散型随机变量：连续型随机变量：
3.离散型随机变量的分布列
一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1, x2, ,x i , ,x n X取每一个值xi(i=1,2,）的概率P(ξ=x i）＝P i，则称表
为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列
性质：①----------------------------------------------
②-------------------------------------------------．
二点分布
如果随机变量X的分布列为：
其中0<p<1，q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p 的二点分布二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.
超几何分布
一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件, 这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，
则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M
n
N
C C P X k k m C --===，其中
则称随机变量X 的分布列
,
为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布 注意：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；
（2）超几何分布中的参数是N 、M 、n ，其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的
总数、样本容量
条件概率
1.定义：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，
叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率
2.事件的交（积）:由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与事件B
的交（或积）.记作D=A ∩B 或D=AB
3.条件概率计算公式:
例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，
求第二个又取到次品的概率.
相互独立事件
1.定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件
叫做相互独立事件
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
则有
如果事件A1，A2，…An 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积。
即： P （A1·A2·…·An ）=P （A1）·P （A2）·…·P(An)
3解题步骤
说明（1）判断两事件A 、B 是否为相互独立事件，关键是看A （或B ）发生与否对B （或A ）发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立. （2）互斥事件是指不可能同时发生的两个事件；相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响.
（3）如果A 、B 是相互独立事件，则A 的补集与B 的补集、A 与B 的补集、A 的补集与B 也都相互独立.
例题、一袋中有2个白球，2个黑球，做一次不放回抽样试验，从袋中连取2个球，观察球的颜色情况，记“第一个取出的是白球”为事件A，“第二个取出的是白球”
为事件B，试问A与B是不是相互独立事件？
独立重复试验
1.定义：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
2.说明：
①这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何
一次试验中发生的概率都是一样的
②每次试验是在同样条件下进行；
③每次试验间又是相互独立的，互不影响.
二项分布
1：设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中随机变量ξ的概率分布如下：
由于
k
n
k
k
n
q
p
C-
恰好是二项展开式
b
C
b
a
C
b
a
C
a
C
b
a n n
n
r
r
n
r
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
+
=-
-
+
1
1
1
)
(
中的第k+1 项，所以，称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ，
解题步骤
例题、某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．
离散型随机变量的期望和方差
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称Eξ＝为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．说明：（1）数学期望的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平（2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1=p2=…=pn，则有
p1=p2=…=pn = ，Eξ=(x1+x2+…+xn)，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值（3）随机变量的数学期望与样本的平均值的关系：前者是常数，不依赖样本抽取；
后者是一个随机变量.
D ξ= 叫随机变量ξ的均方差，简称方差。
说明：①、D ξ的算术平方根√D ξ—— 随机变量ξ的标准差，记作σξ； ②、标准差与随机变量的单位相同；
③、随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度。
若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线， 我们称此曲线为概率密度曲线．
正态分布
若概率密度曲线就是或近似地是函数
)
,(,21
)(2
22)(+∞-∞∈=
--
x e x f x σμσ
π的图像，
其中解析式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差． 则其分布叫正态分布，记作 f( x )的图象称为正态曲线
2,σξμξ==D E 基本性质：
①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交．
②曲线关于直线x=μ对称，且在x=μ时位于最高点.
③当时μ<x ，曲线上升；当时μ>x ，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时， 以x 轴为渐近线，向它无限靠近．
④当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． ⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定. ⑥正态曲线下的总面积等于1.
3σ原则表格
)
,(2σμN。