选修2-3随机变量及其分布知识点总结典型例题

2-3随机变量及其分布

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要点归纳

一、离散型随机变量及其分布列

1.⑴随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关

系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示•在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量•通常用字母X, Y, E, n等表示.

(2) 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随

机变量.

(3) 离散型随机变量的分布列：

一般地，若离散型随机变量 X可能取的不同值为X i,

X2…，X i，…X n，X取每一个值X i(i = 1，2，…，n)的概率

P(X= X)= p i，以表格的形式表示如下：

X的分布列.有时为了简单起见，也用等式P(X = X i) = p i，

i = 1，2，…，n表示X的分布列.

(4)离散型随机变量的分布列的性质：

①P i>0，i = 1，2，…，n；

n

②P i = 1.

i = 1

(5)常见的分布列：

两点分布：如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，则 称X 服从两点分布，并称p = P(X = 1)为成功概率.

两点分布又称 0- 1分布，伯努利分布. 超几何分布：一般地，在含有

M 件次品的N 件产品中，任取

X 件次品，则事件｛X = k ｝发生的概率为 P(X =

其中 m= min ｛ M , n ｝，且 n W N , M < N , n , M , N € N *.如 果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X

服从超几何分布. 2 .二项分布及其应用

(1)条件概率：一般地，设 A 和B 是两个事件，且 P(A)>0,

p / AB)

称P(BA) = P ((A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生 的条件概率.P(B|A)读作A 发生的条件下B 发生的概率.

⑵条件概率的性质： ① 0 < P(BA)< 1；

② 必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0; ③ 如果 B 和C 是两个互斥事件，则

P(B U C|A)= P(B|A) +

P(C|A).

(3) 事件的相互独立性：设 A, B 为两个事件，如果 P(AB)= P(A)P(B)，则

称事件 A 与事件B 相互独立•如果事件 A 与B 相互独立，那么 A 与-,-与B ,-与-也都相互独立.

(4) 独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的

n 次试

验称为n 次独立重复试验.

c M c N-/i

c N

k = 0, 1, 2,

,m,即

n 件，其中恰有 k)=

(5) 二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为

P(X= k) = Cp k(1 — p)n-k, k= 0, 1, 2,…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作 X〜B(n, p)，并称p为成功概率.两点分布是当n = 1时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式.

3.离散型随机变量的均值与方差

(1)

则称 E(X) = X i p i + X2P2+ •" + X i p i + …+ X n P n为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

n

称D(X)= (X i — E(X))2p i为随机变量 X的方差， D ( X)为

i = 1

随机变量X的标准差.

(2) 均值与方差的性质：若Y= aX+ b,其中a, b是常数，X 是随机变量，

则Y也是随机变量，且E(aX + b) = aE(X) +

b,

D(aX + b)= a2D(X).

(3) 常见分布的均值和方差公式：①两点分布：若随机变量

X服从参数为p的两点分布，贝吐匀值E(X) = p,方差D(X) = p(1 —p).

②二项分布：若随机变量X〜B(n, p),则均值E(X) = np, 方差D(X)= np(1

—p).

4.止态分布

⑴正态曲线与正杰分布;

①正态曲线：我n把函数烈.©= £. 厂（歸），戈亡（一8, +-o（其中川是样本

均值，疔是样本标准差〉的團象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线，正态曲线呈钟形, 即中间高・两边低.

②止态分布；一般地，如果对于任何实敷附蚱rVQ）,随机变量A譎足I\u

心）归，则称廈机变量A服

a

从正态分布.正态分布完全由参数知亦确定，因此正态分布常记作N^h

（2）正态曲线的特点：

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线 x= 口对称；

1

③曲线在x = 口处达到峰值2n；

④曲线与x轴之间的面积为1.

⑶丽0对正态曲线的影响：

①当（一定时，曲线的位置由砸定，曲线随着曲勺变化而沿x

轴平移；

②当「定时，曲线的形状由（确定，o越小，曲线越瘦高” 表示总体的分布越集中；（越大，曲线越矮胖”表示总体的分布越分散.

⑷正态分布的3（原则：若随机变量X〜N（仏0）,则P（卩

—（r< X w 卩+ o）= 0.682 6, P（卩一2 oV X w 卩+ 2 o）—0.954 4, Pg—3oV X w + 30 —0.997 4.

在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（y, 0）的随机

变量X只取（卩―3 o,叶3 0之间的值，并简称之为3 o原则.