选修2-3随机变量及其分布知识点总结典型例题
选修2-3随机变量及其分布知识点总结典型例题
2-3随机变量及其分布离散型随机变量及其分布列(1)随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．通常用字母X ，Y ，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．(3)离散型随机变量的分布列：要点归纳一、1．一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2…，x i ，…x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：X x 1x 2…x i …x n Pp 1p 2…p i…p n我们将上表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．有时为了简单起见，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(4)离散型随机变量的分布列的性质：①p i ≥0，i ＝1，2，…，n ；② i ＝1np i ＝1.(5)常见的分布列：两点分布：如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，则称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率.X 01P1－pp两点分布又称0－1分布，伯努利分布．超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为P (X ＝k )＝C k M C n －kN －M C n N，k ＝0，1，2，…，m ，即X 01…mP…C 0M C n －N －MC n NC 1M C n －1N －MC n NC m M C n －mN －MC nN其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．二项分布及其应用2．(1)条件概率：一般地，设A 和B 是两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝P （AB ）P （A ）为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率．(2)条件概率的性质：①0≤P (B |A )≤1；②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0；(4)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．(5)二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为③如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．(3)事件的相互独立性：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立．P (X ＝k )＝C p k (1－p )n －k ，k ＝0，1，2，…，n .此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．两点分布是当n ＝1时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式．离散型随机变量的均值与方差(1)均值、方差：一般地，若离散型随机变量X 的分布列为3．Xx 1x 2…x i…x nPp 1p 2…p i…p n则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)均值与方差的性质：若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 是常数，X是随机变量，则Y 也是随机变量，且E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(3)常见分布的均值和方差公式：①两点分布：若随机变量X 服从参数为p 的两点分布，则均值E (X )＝p ，方差D (X )＝p (1－p )．②二项分布：若随机变量X ～B (n ，p )，则均值E (X )＝np ，方差D (X )＝np (1－p )．称D (X )＝ i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，D （X ）为随机变量X 的标准差．④曲线与x 轴之间的面积为1.(3)μ和σ对正态曲线的影响：①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；②当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(2)正态曲线的特点：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； (4)正态分布的3σ原则：若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N (μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．专题一条件概率1．条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P (A )和P (AB )，解得P (B |A )＝ P （AB ）P （A ）.(2)借助古典概型公式，先求事件A 包含的基本事件数 n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事 件数n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合”(1)求概率的步骤是：第一步，确定事件性质；第二步，判断事件的运算；第三步，运用公式．(2)概率问题常常与排列、组合知识相结合．2．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解设“第1次抽到理科题”为事件A ，“第2次抽到理科题”为事件B ，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB .【例1】(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n (Ω)＝A 25＝20.根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 13×A 14＝12.于是P (A )＝n （A ）n （Ω）＝1220＝35.求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在些基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解．特别注意以下两公式的使用前提(1)若A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，反之不成立．(2)若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )，反之成立．专题二相互独立事件的概率1．2．【例2】甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求出甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广泛，故在高考中对该知识点的考查相对较灵活，常与期望、方差融合在一起，横向考查．对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法，计算时可能会用到等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式等．均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差是建立在均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高考中是一个热点问题．专题三离散型随机变量的分布列、均值与方差1．2．3．(1)求该学生考上大学的概率；(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．【例3】 某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试时间间隔恰当．每次测试通过与否互相独立．X 2345PP (X ＝5)＝C 14·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1627. 故X 的分布列为：E (X )＝2×19＋3×427＋4×427＋5×1627＝389.194274271627(1)写出ξ的概率分布列(不要求计算过程)，并求出E (ξ)，E (η)；(2)求D (ξ)，D (η)．请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？【例4】 (2012·枣庄检测)某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考查得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是23，且各题答对与否互不影响．设选手甲、选手乙答对的题数分别为ξ，η.解(1)ξ的概率分布列为ξ123P15 35 15所以E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.由题意，η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，E (η)＝3×23＝2，或者P (η＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127； P (η＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29； P (η＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝49；P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，专题四 正态分布某市去年高考考生成绩服从正态分布N (500，502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．【例5】解 ∵考生成绩X ～N (500，502)， ∴μ＝500，σ＝50， ∴P ＝(550＜X ≤600)＝12[P (500－2×50＜X ≤500＋2×50)－P (500－50＜X ≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 故考生成绩在550～600分的人数约为25 000×0.135 9 ≈3 398(人)．。
随机变量及其分布(高中数学选修2-3)范文
第二章随机变量及其分布A卷（课堂针对训练一）离散型随机变量双基再现1．★随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为 .试验结果的范围相当于函数的，随机变量的取值范围相当于函数的 .2．★从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能的取值有（）A.17个B.18个C.19个D.20个3．★下列叙述中，是随机变量的有（）①某工厂加工的零件，实际尺寸与规定尺寸之差;②标准状态下，水沸腾的温度;③某大桥一天经过的车辆数;④向平面上投掷一点，此点坐标.Ａ．②③Ｂ．①②Ｃ．①③④Ｄ．①③4．★★下列叙述中，是离散型随机变量的为（）A.某人早晨在车站等出租车的时间B.将一颗均匀硬币掷十次，出现正面或反面的次数C.连续不断的射击，首次命中目标所需要的次数D.袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性５．★★抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X>4”表示的实验结果是（）A. 第一枚6点，第二枚2点B. 第一枚5点，第二枚1点C. 第一枚1点，第二枚6点D. 第一枚6点，第二枚1点６．★★随机变量ξ的所有等可能取值为1,2…,n，若()40.3Pξ<=，则（）A．n=3B．n=4C．n=5D．不能确定变式活学7．★（教材2.1.152P练习1的变式）掷一枚硬币两次，可能出现几种结果？你能否用数量来表示这些结果？三次呢？8．★★★（教材2.1.152P练习1的变式）袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取球两次，设两次小球号码之和为Y，则Y 所有可能值的个数？｛Ｙ＝４｝的概率是多少？实践演练9．★长江南京下关高潮水位是一个随机变量，但取值可能是任何一个非负实数，不是离散型随机变量。
如果水位超过8.5米的警戒线，南京防汛全面进入实战状态.假设我们只关心水位是否超过警戒线，可以怎样定义一个离散型随机变量，方便我们研究？10．★★★某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足1km的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，（１）他收旅客的租车费η是否也是一个随机变量？如果是，找出租车费η与行车路程ξ的关系式；(２)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?这种情况下，停车累计时间是否也是一个随机变量？A卷（课堂针对训练二）离散型随机变量的分布列双基再现１．★★如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是（）A.X取每一个可能值的概率是非负实数B.X取所有可能值的概率和为1C.X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和D.X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和２．★★下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是A.B .C.D.３．★★已知随机变量X的分布列为,,2,1,21)(===kkXPk则=≤<)42(XP（）A.163B.41C.161D.165４．★★设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量Y 描述1次试验的成功次数,则P(Y=0)=( )A.0B.21 C.31 D.32５．★★设随机变量ξ只能取5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率相同，则)8(>ξP = .６．★★★设随机变量ξ的概率分布如表求：（1） P(ξ<1)，P(ξ≤1); （2）F(x)=P(ξ≤x)，x ∈R ．变式活学７．★★（教材2.1.257P 习题5的变式） 设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=(1)ck k +，k=1，2， 3，…,c 为常数，则P (21<ξ<25)= . ８．★★★（教材2.1.256P 习题4引例的变式）已知随机变量ξ只能取三个值：x 1,x 2,x 3,其概率依次成等差数列，求公差d 的取值范围.实践演练９．★★己知随机变量ξ的分布列如下表所示12布列.１０．★★★从1~10十个整数中一次取出4个数，并由小到大排列，以ξ表示这4个数中的第二个，求ξ的分布列.A 卷（课堂针对训练三） 离散型随机变量的分布列双基再现1．★★袋中有大小相同的5个号牌，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回的抽取条件下依次取出两个球，设两球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是（ ）A.5B.9C.10D.25 ２．★★一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个。
高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布 2-1-1离散型随机变量
一区间内的一切值，无法一一列出，故不是离散型随机变
量．
答案： B
2．某人练习射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完 则停止射击，射击次数为X，则“X＝5”表示的试验结果为 ()
A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标 C．前4次均未击中目标 D．前5次均未击中目标 解析： 射击次数X是一随机变量，“X＝5”表示试验 结果“前4次均未击中目标”． 答案： C
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长． [思路点拨] 要根据随机变量的定义考虑所有情况．
(1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2，…出现 哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(2)该运动员在某场比赛的上场时间在[0,48]内，是随机 的，故是随机变量．
(3)获得的奖次可能是1,2,3，出现哪一个结果都是随机 的，因此是随机变量．
人教版高中数学选修2-3 第二章 随机变量及其分布
第二章 随机变量及其分布
2．1 离散型随机变量及其分布列 2．1.1 离散型随机变量
课前预习
1．在一块地里种下10颗树苗，成活的树苗棵树为X. [问题1] X取什么数字？ [提示] X＝0,1,2…10.
2．掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结 果．
3．一个袋中装有5个白球和5个红球，从中任取3个．其 中所含白球的个数记为ξ，则随机变量ξ的值域为________．
解析： 依题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，故ξ的 值域为{0,1,2,3}．
答案： {0,1,2,3}
4．写出下列随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量ξ ＝4所表示的随机试验的结果．
[问题2] 这种试验的结果能用数字表示吗？ [提示] 可以，用数1和0分别表示正面向上和反面向 上． [问题3] 10件产品中有3件次品，从中任取2件，所含次 品个数为x，试写出x的值． [提示] x＝0,1,2.
选修2-3随机变量及其分布知识点总结材料典型例题
2-3随机变量及其分布离散型随机变量及其分布列(1)随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．通常用字母X ，Y ，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．(3)离散型随机变量的分布列：要点归纳一、1．一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2…，x i ，…x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：X x 1x 2…x i …x n Pp 1p 2…p i…p n我们将上表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．有时为了简单起见，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(4)离散型随机变量的分布列的性质：①p i ≥0，i ＝1，2，…，n ；② i ＝1np i ＝1.(5)常见的分布列：两点分布：如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，则称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率.X 01P1－pp两点分布又称0－1分布，伯努利分布．超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为P (X ＝k )＝C k M C n －kN －M C n N，k ＝0，1，2，…，m ，即X 01…mP…C 0M C n －N －MC n NC 1M C n －1N －MC n NC m M C n －mN －MC nN其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．二项分布及其应用2．(1)条件概率：一般地，设A 和B 是两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝P （AB ）P （A ）为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率．(2)条件概率的性质：①0≤P (B |A )≤1；②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0；(4)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．(5)二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为③如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．(3)事件的相互独立性：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立．P (X ＝k )＝C p k (1－p )n －k ，k ＝0，1，2，…，n .此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．两点分布是当n ＝1时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式．离散型随机变量的均值与方差(1)均值、方差：一般地，若离散型随机变量X 的分布列为3．Xx 1x 2…x i…x nPp 1p 2…p i…p n则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)均值与方差的性质：若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 是常数，X是随机变量，则Y 也是随机变量，且E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(3)常见分布的均值和方差公式：①两点分布：若随机变量X 服从参数为p 的两点分布，则均值E (X )＝p ，方差D (X )＝p (1－p )．②二项分布：若随机变量X ～B (n ，p )，则均值E (X )＝np ，方差D (X )＝np (1－p )．称D (X )＝ i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，D （X ）为随机变量X 的标准差．④曲线与x 轴之间的面积为1.(3)μ和σ对正态曲线的影响：①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；②当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(2)正态曲线的特点：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；(4)正态分布的3σ原则：若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N (μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．专题一条件概率1．条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P (A )和P (AB )，解得P (B |A )＝ P （AB ）P （A ）.(2)借助古典概型公式，先求事件A 包含的基本事件数 n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事 件数n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合”(1)求概率的步骤是：第一步，确定事件性质；第二步，判断事件的运算；第三步，运用公式．(2)概率问题常常与排列、组合知识相结合．2．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解设“第1次抽到理科题”为事件A ，“第2次抽到理科题”为事件B ，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB .【例1】(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n (Ω)＝A 25＝20.根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 13×A 14＝12.于是P (A )＝n （A ）n （Ω）＝1220＝35.求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在些基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解．特别注意以下两公式的使用前提(1)若A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，反之不成立．(2)若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )，反之成立．专题二相互独立事件的概率1．2．【例2】甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求出甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广泛，故在高考中对该知识点的考查相对较灵活，常与期望、方差融合在一起，横向考查．对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法，计算时可能会用到等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式等．均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差是建立在均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高考中是一个热点问题．专题三离散型随机变量的分布列、均值与方差1．2．3．(1)求该学生考上大学的概率；(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．【例3】 某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试时间间隔恰当．每次测试通过与否互相独立．X 2345PP (X ＝5)＝C 14·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1627. 故X 的分布列为：E (X )＝2×19＋3×427＋4×427＋5×1627＝389.194274271627(1)写出ξ的概率分布列(不要求计算过程)，并求出E (ξ)，E (η)；(2)求D (ξ)，D (η)．请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？【例4】 (2012·枣庄检测)某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考查得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是23，且各题答对与否互不影响．设选手甲、选手乙答对的题数分别为ξ，η.解(1)ξ的概率分布列为ξ123P15 35 15所以E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.由题意，η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，E (η)＝3×23＝2，或者P (η＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127； P (η＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29； P (η＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝49；P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，专题四 正态分布某市去年高考考生成绩服从正态分布N (500，502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．【例5】解 ∵考生成绩X ～N (500，502)， ∴μ＝500，σ＝50， ∴P ＝(550＜X ≤600)＝12[P (500－2×50＜X ≤500＋2×50)－P (500－50＜X ≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 故考生成绩在550～600分的人数约为25 000×0.135 9 ≈3 398(人)．。
高二数学选修2-3离散型随机变量及分布列(一)
〔1〕求常数a;〔2〕求P(1<ξ<4)
例3：一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、
6，现从中随机取出3个小球，以 表示取出球的最大号码，
求 的分布 列．
解： 的所有取值为：3、4、5、6．
“ 3” 表示其中一个球号码等于 “3〞，另两个都比“3〞小
“ 4” 表示其中一个球号码等于“4
Y=
0,掷出奇数点 1,掷出偶数点
思考2：
随机变量与函数有类似的地方吗？
随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随 机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数。在 这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定 义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。我 们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域。
例如，在含有10件次品的100件产品中，任意抽取 4件，可能含有的次品件数X将随着抽取结果的变化而 变化，是一个随机变量。其值域是{0,1,2,3,4}.
〔4〕接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数 ．
Байду номын сангаас（ ＝1、2、3、···、n、···）
连
〔5〕某一自动装置无故障运转的时间 ．
续
（ 取0,内的一切值）
型
〔6〕某林场树木最高达50米，此林场树木的高度 ．
（ 取0,50内的一切值）
注1：随机变量分为离散型随机变量和连续型 随机变量。
注2：某些随机试验的结果不具备数量性质， 但仍可以用数量来表示它。
P1
2
1 1 …1
48
2 n1
P
1 3
1 2 33
1 3
2 3
2
…
1 3
2 3
n
2、设随机变量的分布列为 P( i) a1i, i 1,2,3
高中数学选修2-3(人教B版)第二章随机变量及其分布2.4知识点总结含同步练习题及答案
f (x) =
相应的曲线称为标准正态曲线．
1 − x2 e 2 , x ∈ (−∞， + ∞) √− 2− π
正态分布 （1）正态分布的定义： 一般地，如果对于任何实数 a ，b ，随机变量 X 满足
P ( a < X ⩽ b) = ∫
b a
φμ,σ (x)dx
则称随机变量 X 服从正态分布（normal distribution）．正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定， 因此正态分布常记作 N (μ, σ 2 )．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 X ∼ N (μ, σ 2 ) ．
2.正态分布 描述： 正态曲线的定义 如果随机变量 X 的概率密度函数为
φμ,σ (x) =
(x−μ) 1 − 2σ 2 , x ∈ (−∞， + ∞) e √− 2− πσ 2
其中实数 μ 和 σ （ σ > 0 ）为参数．我们称 φμ,σ (x) 的图象为正态分布密度曲线，简称正态 曲线．
当 μ = 0 ， σ = 1 时，函数表达式是
1. 对于标准正态分布 N (0, 1) 的概率密度函数 f (x) = A．f (x) 为偶函数 B．f (x) 最大值为
)
C．f (x) 在 x > 0 时是单调减函数，在 x ⩽ 0 时是单调增函数 D．f (x) 关于 x = 1 对称
答案： D 解析：
1 √− 2− π
f (x) 关于 x = 0 对称． )
2
σ = √2 ，不正确．
(x−μ) 1 − （x ∈ R ），从系数部分看 σ = 2，可是从指数部分看 2σ 2 e √− 2− π ⋅σ
D 错在指数部分缺少一个负号．
2 )（σ > 0）和 N (μ , σ 2 )（σ > 0）的分布密度函数图象如图，则有 设两个正态分布 N (μ1 , σ 1 1 2 2 2 （ ）
高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布 2-1-2离散型随机变量的分布列
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ3
4
5
6
P
1 20
3 20
3 10
1 2
[规律方法] 1.确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是 要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组 合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多或 无穷多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过 程．
2．一般分布列的求法分三步：(1)首先确定随机变量ξ的 取值有哪些；(2)求出每种取值下的随机事件的概率；(3)列 表对应，即为分布列．
人教版高中数学选修2-3 第二章 随机变量及其分布
2.1.2 离散型随机变量的分布列
课前预习
1．抛掷一个骰子，用X表示骰子向上一面的点数． [问题1] X的可能取值是什么？ [提示] X＝1、2、3、4、5、6. [问题2] X取不同值时，其概率分别是多少？ [提示] 都等于16.
2．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3 只，以ξ表示取出的3只球中的最小号码．
特别提醒： 两点分布的试验结果只有两个可能性，且 其概率之和为1.
2．解决超几何分布问题的关注点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公 式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求 解，但不能机械地记忆； (2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式 求出X取不同m的概率P(X＝m)，从而求出X的分布列．
课堂练习
1．下列表中能成为随机变量X的分布列的是( )
A. X －1
0
1
P －0.1 0.5 0.6
B. X －1
0
1
P 0.3 0.7 －0.1
C. X
－1
0
选修2-3--随机变量及其分布--复习
绵阳市开元中学高2013级高二（下）数学期末复习选修2—3 第二章 随机变量及其分布题卷设计：绵阳市开元中学 王小凤老师 学生姓名一．知识归纳1．离散型随机变量的相关概念（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用字母X 、Y 、ξ、η等表示；》（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
若ξ是随机变量，a b ηξ=+（a 、b 是常数），则η也是随机变量。
（3）离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量X 可能取的值为12i x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅、，X 取每一个值()1,2,i x i =⋅⋅⋅的概率为()i i p x X P ==，则称表为随机变量X 的概率分布，简称X 的分布列。
》（4）离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：(1) 01,2,i p i ≥=⋅⋅⋅，； 12(2) 1P P ++=2．两点分布：若随机变量X 的分布列为:()1==X P p 为则称随机变量X 服从两点分布. 而称成功概率.3．超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则 &().P X k N =≤即$若随机变量X 的分布列如上表，则称随机变量X 服从超几何分布.4．条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率， 叫做条件概率。
记作()A B P ，读作A 发生的条件下B 发生的概率. 条件概率计算公式()()()()()A P AB P A n AB n A B P ==性质：（1）()10≤≤A B P （2）若B 与C 为互斥事件，则()()()A C P AB P AC B P +=5．相互独立事件定义：事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响,这样的两个事件^叫做相互独立事件注：（1）判断两事件A 、B 是否为相互独立事件，关键是看A （或B ）发生与否对 B （或A ）发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立.（2）互斥事件是指不可能同时发生的两个事件；相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响.（3）如果A 、B 是相互独立事件，则A 与B 、A 与B 、A 与B 也都相互独立.（4）两个相互独立事件A 、B 同时发生的概率()()()B P A P AB P =(此公式可推广到多个相互独立事件)6．独立重复试验及二项分布 （定义：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数X 是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是()k k n kn P X k C p q -==，(0,1,2,,1)k q p ==-由于k k n kn C p q -恰好是二项式展开式：00111()n n n k k n kn n n n n n p q C p q Cp q C p q C p q --+=+++++中的各项的值，所以称这样的随机变量X 服从二项分布，记作(,)X B n p .7．期望数学期望: 则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为X 的数学期望，简称期望数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
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2-3随机变量及其分布-- HW)T数字特征11 ….--- L-W Array「(两点分布〕5店殊分布列)--憊几何分祠-(二项分利十［并件相互独立性)一価立重复试劇5J ~(条件概率)”、r<正态分布密度曲绚f正态分布)一要点归纳一、离散型随机变量及其分布列1.⑴随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示•在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量•通常用字母X, Y, E, n等表示.(2) 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量.(3) 离散型随机变量的分布列：一般地，若离散型随机变量 X可能取的不同值为X i,X2…，X i，…X n，X取每一个值X i(i = 1，2，…，n)的概率P(X= X)= p i，以表格的形式表示如下：X的分布列.有时为了简单起见，也用等式P(X = X i) = p i，i = 1，2，…，n表示X的分布列.(4)离散型随机变量的分布列的性质：①P i>0，i = 1，2，…，n；n②P i = 1.i = 1(5)常见的分布列：两点分布：如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，则 称X 服从两点分布，并称p = P(X = 1)为成功概率.两点分布又称 0- 1分布，伯努利分布. 超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取X 件次品，则事件｛X = k ｝发生的概率为 P(X =其中 m= min ｛ M , n ｝，且 n W N , M < N , n , M , N € N *.如 果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X服从超几何分布. 2 .二项分布及其应用(1)条件概率：一般地，设 A 和B 是两个事件，且 P(A)>0,p / AB)称P(BA) = P ((A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生 的条件概率.P(B|A)读作A 发生的条件下B 发生的概率.⑵条件概率的性质： ① 0 < P(BA)< 1；② 必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0; ③ 如果 B 和C 是两个互斥事件，则P(B U C|A)= P(B|A) +P(C|A).(3) 事件的相互独立性：设 A, B 为两个事件，如果 P(AB)= P(A)P(B)，则称事件 A 与事件B 相互独立•如果事件 A 与B 相互独立，那么 A 与-,-与B ,-与-也都相互独立.(4) 独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.c M c N-/ic Nk = 0, 1, 2,,m,即n 件，其中恰有 k)=(5) 二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X= k) = Cp k(1 — p)n-k, k= 0, 1, 2,…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作 X〜B(n, p)，并称p为成功概率.两点分布是当n = 1时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式.3.离散型随机变量的均值与方差(1)则称 E(X) = X i p i + X2P2+ •" + X i p i + …+ X n P n为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.n称D(X)= (X i — E(X))2p i为随机变量 X的方差， D ( X)为i = 1随机变量X的标准差.(2) 均值与方差的性质：若Y= aX+ b,其中a, b是常数，X 是随机变量，则Y也是随机变量，且E(aX + b) = aE(X) +b,D(aX + b)= a2D(X).(3) 常见分布的均值和方差公式：①两点分布：若随机变量X服从参数为p的两点分布，贝吐匀值E(X) = p,方差D(X) = p(1 —p).②二项分布：若随机变量X〜B(n, p),则均值E(X) = np, 方差D(X)= np(1—p).4.止态分布⑴正态曲线与正杰分布;①正态曲线：我n把函数烈.©= £. 厂（歸），戈亡（一8, +-o（其中川是样本均值，疔是样本标准差〉的團象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线，正态曲线呈钟形, 即中间高・两边低.②止态分布；一般地，如果对于任何实敷附蚱rVQ）,随机变量A譎足I\u<X^b）“曲..心）归，则称廈机变量A服a从正态分布.正态分布完全由参数知亦确定，因此正态分布常记作N^h </）・（2）正态曲线的特点：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线 x= 口对称；1③曲线在x = 口处达到峰值2n；④曲线与x轴之间的面积为1.⑶丽0对正态曲线的影响：①当（一定时，曲线的位置由砸定，曲线随着曲勺变化而沿x轴平移；②当「定时，曲线的形状由（确定，o越小，曲线越瘦高” 表示总体的分布越集中；（越大，曲线越矮胖”表示总体的分布越分散.⑷正态分布的3（原则：若随机变量X〜N（仏0）,则P（卩—（r< X w 卩+ o）= 0.682 6, P（卩一2 oV X w 卩+ 2 o）—0.954 4, Pg—3oV X w + 30 —0.997 4.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（y, 0）的随机变量X只取（卩―3 o,叶3 0之间的值，并简称之为3 o原则.专题一 条件概率1 •条件概率的求法⑴利用定义，分别求出 P(A)和P(AB)，解得P(BA) =P (AB) P( A).(2)借助古典概型公式，先求事件A 包含的基本事件数n(A),再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数 n(AB),得 P(BA) =n (AB).n (A)2.解决概率问题要注意 三个步骤，一个结合 ”(1) 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质； 第二步，判断事件的运算； 第三步，运用公式.(2) 概率问题常常与排列、组合知识相结合.【例1】在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依 次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；⑵第1次和第2次都抽到理科题的概率；⑶在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率. 解 设 第1次抽到理科题”为事件A ，第2次抽到理科题”为 事件B ，则 第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.(1)从5道题中不放回地依次抽取 2道题的事件数为n(Q ) = A 5= 20.根据分步乘法计数原理，n(A)= A；x 12.于是P(A) =n (A)n ( Q) 12— 3 20= 5.(2)因为所以化⑹弋:骼墙=赤⑶法一由⑴｛2｝可得，在第1次抽到埋科题的条件下，第2 次抽到厘科题的概牢法二因为 rt(JB)=6f nC4)=12f ”,n(仙)所以诃戸；C4)专题二相互独立事件的概率1 .求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进 行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在些基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事 件，并运用相应公式求解.2.特别注意以下两公式的使用前提(1) 若A, B 互斥，则P(A U B) = P(A) + P(B)，反之不成立. (2) 若A ，B 相互独立，则P(AB)= P(A)P(B)，反之成立.【例2】甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件， 甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的(1)分别求出甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品 的概率； (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一 等品的概率.概率为 丄 12,甲丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为2 9.P 3)P (.4)解a J. B. C 分别为甲r 厶內三台机床各自独立加工同 一种零件是一尊品的事件.依题意得p （』爭）-£ p （歩⑺一迈, P （.40 =|,得r?[HC ）F —创科G+腔=仇 解得珂。
=扌或HG=#｛舍）- 5旳弓砂=审刊°=彳即甲.乙.丙三台机床各口独立加工的零件是一等甜的概率ill分别为亍尹r⑴记D 为从甲.乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有 一—等品的事件.2尸（〃）=1 —尺心）=1 —（1—只』））-（1 —/VJ ））p —= h —寸X即从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的槪率为Ip U)即」P ⑻P <-4)• (1-P ⑻)-% ■ (1—p (c) > —轄P <c) =$专题三离散型随机变量的分布列、均值与方差1.离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广泛，故在高考中对该知识点的考查相对较灵活，常与期望、方差融合在一起，横向考查.2 •对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法，计算时可能会用到等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式等.3 •均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差是建立在均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的咼考中是一个热点问题.【例3】某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加1 5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是 3，每次测试时间间隔恰当.每次测试通过与否互相独立.(1) 求该学生考上大学的概率；(2) 如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求X的分布列及X的数学期望.解该牛考上大学”为事件乩其对立事件为则血円鮒+舒.g)=l-【幺餵陋)5］磊.⑴参加测试次敎K的可熊取值为2・3, 4. 5, flS 1P(X=2)=^f=-,呻_3)_生卜討—务p(m.；.gy•捋，P(x=5)= CA ：• 2 3+ 3 仁；6故X的分布列为:1 c 4 , 4 厂 16 38E（x）二 2X 9+ 3X 27+4X 27+ 5X 26= 38-【例4】(2012枣庄检测)某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加•为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题.通过考查得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错;2选手乙答对每题的概率都是3,且各题答对与否互不影响.设选手甲、选手乙答对的题数分别为 E n(1) 写出曲勺概率分布列(不要求计算过程)，并求出E( E ,E(n ；(2) 求D( E，D( n.请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？1 3 1所以E(8= 1 X _ + 2 X _ + 3 X _ = 2.5 5 52 2 由题意，n 〜B 3, 3，E(n = 3X 3= 2,或者P( n= 0)= C3 3 3= £；P(n= 1)=良3132= 9；p(n=2)=C2323=9；P(n= 3)=c3t3=27,12 O所以，£(I/)=OX—+1X-+2X-+3X —-2.1 3 1 1(2)Z)(i)=(l-2)2X- +(2-2/X-+(3-2)I X-=-!可见E(©=E(>/),因此建议该单位派甲参加竞赛.专题四正态分布【例5】某市去年高考考生成绩服从正态分布N(500, 502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在 550〜600分的人数.解•••考生成绩X〜N(500, 502),卩=500, o= 50,••• P = (550 v X< 600)1=2[P(500 - 2X 50v X W 500 + 2X 50)—P(500- 50v X< 500 +50)]1=2(0.954 4-0.682 6)= 0.135 9.故考生成绩在550〜600分的人数约为25 000 X 0.135 9〜3 398(人).解（1）的概率分布列为123P131555。