陕西省咸阳市2017-2018届高三模拟考试(三模)数学文试题含答案

2018年咸阳市高考模拟考试试题（三）文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2,3,4A =，{}|03B x x =<<，则A B =（ ）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}1,2D ．{}2,3,42.复数21z i=-+，则（ ） A ．z 的虚部为1-B ．z 的实部为1C ．||2z =D ．z 的共轭复数为1i +3.在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机选取一个实数x ，则事件“sin 0x ≥”发生的概率为（ ） A ．1B ．12C ．13D ．1124.已知双曲线C 的方程为22149y x -=，则下列说法正确的是（ ） A ．焦点在x 轴上B ．虚轴长为4C ．渐近线方程为230x y ±=D 13 5.执行如图所示的程序框图，如果输入的6a =，4b =，5c =，那么输出的值为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．36.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≥时，3()log (6)3f x x a a =++-，则()f a =（ ） A ．9B ．6C ．3D ．17.已知x ，y 满足约束条件220,220,1,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．7B ．7-C ．2D ．18.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得（ ） A ．三分鹿之一B ．三分鹿之二C ．一鹿D ．一鹿、三分鹿之一9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．168π-B ．648π-C ．644π-D ．164π-10.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||ϕπ<）的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．()23sin()84x f x ππ=+B ．3()23)84x f x ππ=+ C ．()23sin()84x f x ππ=- D ．3()23)84x f x ππ=- 11.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，若2AB =，3BC =，4PA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．13πB ．20πC ．25πD ．29π12.已知函数22,2,()2,2,x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．28(,)e -∞ B ．28(,4]e C ．28(0,)e D ．28(,)[4,)e -∞+∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(1,2)a =-，(,2)b m =，若2a b ⋅=，则m = ．14.已知数列{}n a 为等比数列，且2311724a a a π+=，则113tan()a a 的值为 ． 15.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，||4AB =，则该抛物线的方程为 ．16.已知三次函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则'(0)'(1)f f = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos 0a c B b A ++=，5b =． （1）求角B ； （2）若ABC ∆的面积为1534，求ABC ∆的周长． 18.如图，已知四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，且PA AB ⊥，//AB DC ，PAD ∆是等边三角形，22AB AD DC ===，M 为PB 的中点.（1）求证：//CM 平面PAD ； （2）求三棱锥P ACM -的体积．19.某校为调查高一、高二学生周日在家学习用时情况，随机抽取了高一、高二各20人，对他们的学习时间进行了统计，分别得到了高一学生学习时间（单位：小时）的频数分布表和高二学生学习时间的频数分布直方图．高一学生学习时间的频数分布表（学习时间均在区间[]0,6内）：学习时间[0,1) [1,2) [2,3) [3,4) [4,5)[]5,6频数318422高二学生学习时间的频率分布直方图：（1）求高二学生学习时间在(3,5]内的人数；（2）利用分层抽样的方法，从高一学生学习时间在[2,3)，[3,4)的两组里抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求学习时间在[3,4)这一组中恰有1人被抽中的概率；（3）若周日学习时间不小于4小时为学习投入时间较多，否则为学习投入时间较少，依据上述样本研究学习投入时间与学生所在年级是否有关，完成下列22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．年级学习投入时间较多 学习投入时间较少 合计高一 高二 合计22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++． 20()P K k ≥0.025 0.010 0.005 0k5.0246.6357.87920.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点(2,1)，离心率为22．（1）求椭圆的方程；（2）过坐标原点作两条直线1l ，2l ，直线1l 交椭圆于A ，C ，直线2l 交椭圆于B ，D ，且2222||||||||24AB BC CD DA +++=，直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，求证：2212k k 为定值．21.已知函数2()2ln ()f x x ax a R =-∈． （1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 的图象始终在函数3()2g x x =图象的下方，求实数a 的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为1ρ=，曲线2C 的参数方程为2cos ,sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．（1）求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）直线l ：y x =与曲线1C 交于A ，B 两点，P 是曲线2C 上的动点，求PAB ∆的面积的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲（1）已知a ，b R ∈，且||1a <，||1b <，求证：22221a b a b +>+．（2）若关于x 的不等式|1|2|2|x x m -+-≤有解，求实数m 的取值范围．2018年咸阳市高考模拟考试试题（三）文科数学答案一、选择题1-5:CABCC 6-10:BAACD 11、12：DC 二、填空题13.6322y x = 16.1 三、解答题17.解：（1）∵(2)cos cos 0a c B b A ++=，由正弦定理可得：sin cos 2sin cos sin cos 0A B C B B A ++=，即1cos 2B =-，又(0,)B π∈，则23B π=． （2）由ABC ∆153，∴1153sin 2ac B =，则15ac =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-2()22cos a c ac ac B =+--，得210a c +=则周长2105a b c ++=．18.（1）证明：取PA 的中点N ，连接MN ，DN . 由于M ，N 分别为PB ，PA 的中点，由题意知//MN 1//2AB CD ， 则四边形CMND 为平行四边形，所以//CM DN ， 又CM ⊄平面PAD ，DN ⊂平面PAD ， 所以//CM 平面PAD ．（2）解：由（1）知//CM DN ，PAD ∆是等边三角形，所以DN PA ⊥， 因为AB AD ⊥，且PA AB ⊥，且AD PA A =，AD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ， 又因为DN ⊂平面PAD ， 所以DN AB ⊥， 又因为ABAP A =，AB ⊂平面ABP ，AP ⊂平面ABP ，则DN ⊥平面ABP ，即CM ⊥平面ABP ，CM 为三棱锥C APM -的高，3CM DN ==111221222PAM PAB S S ∆∆==⨯⨯⨯=， 133P ACM C PAM PAM V V S CM --∆==⨯=． 19.解：（1）高二学生学习时间在(3,5]内的人数为20(0.250.3)11⨯+=（人）．（2）根据分层抽样，从高一学生学习时间在[2,3)中抽取4人，从高一学生学习时间在[3,4)中抽取2人． 设从高一学生学习时间在[2,3)上抽的4人分别为A ，B ，C ，D ，在[3,4)上抽的2人分别为a ，b ，则在6人中任抽2人的所有情况有：(,)A B ，(,)A C ，(,)A D ，(,)A a ，(,)A b ，(,)B C ，(,)B D ，(,)B a ，(,)B b ，(,)C D ，(,)C a ，(,)C b ，(,)D a ，(,)D b ，(,)a b 共计15种，其中[3,4)这一组中恰有1人被抽中的情况包含(,)A a ，(,)A b ，(,)B a ，(,)B b ，(,)C a ，(,)C b ，(,)D a ，(,)D b 共计8种，因此这一组中恰有1被抽中的概率为158． （3）年级 学习投入时间较多学习投入时间较少合计 高一 4 16 20 高二 9 11 20 合计1327402240(411169) 2.849 6.63520201327K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关． 20.解：（1）2c e a ==，又222a b c =+，将点(2,1)代入椭圆M 方程22211a b +=得到2a =，b =c =M 的方程为22142x y +=． （2）由对称性可知，四边形ABCD 是平行四边形， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)C x y --，22(,)D x y --，由22142x y +=，得2222x y =-， 222222||||||||2(||||)AB BC CD DA AB DA +++=+2222121212122()()()()x x y y x x y y ⎡⎤=-+-++++⎣⎦222212124()x x y y =+++222212124(22)2422x x x x =+-++-=， 所以22124x x +=，222222122212122212122222221212121(2)(2)4()12244x x x x x x y y k k x x x x x x ---++====，故2212k k 为定值14．21.解：（1）当1a =时，2()2ln f x x x =-，定义域为(0,)+∞．2'()2f x x x =-2(1)(1)x x x-+=，令'()0f x =，则1x =， ∵(0,1)x ∈时，'()0f x >；(1,)x ∈+∞时，'()0f x <， ∴1x =时，()(1)1f x f ==-极大值；无极小值．（2）令32()()()22ln F x g x f x x x ax =-=-+，由题意，函数()f x 的图象始终在函数3()2g x x =图象的下方，等价于()0F x >在(0,)+∞恒成立，即3222ln 0x ax x +->恒成立，得到max 22ln (2)xa x x >-((0,))x ∈+∞． 令22ln ()2xh x x x =-（0x >），33324ln 224ln '()2x x x h x x x---=-=， 显然'(1)0h =，又函数3224ln y x x =--在(0,)+∞上单调递减； 所以当(0,1)x ∈时，'()0h x >；(1,)x ∈+∞时，'()0h x <， 则()(1)2h x h ≤=-，因此2a >-， 所以(2,)a ∈-+∞．22.解：（1）因为曲线1C 的极坐标方程为1ρ=，则直角坐标方程为221x y +=；曲线2C 的参数方程为2cos ,sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），则普通方程为2214x y +=． （2）由题意知||2AB =，设(2cos ,sin )P ϕϕ，点P 到直线y x =2所以111010||2|sin()|222PAB S AB d ϕθ∆=⨯=⨯=+≤23.（1）证明：∵2222222221(1)(1)(1)(1)a b a b a b b b a +--=-+-=--，又a ，b R ∈，且||1a <，||1b <，∴210a -<，210b -<，∴22(1)(1)0b a -->，即22221a b a b +>+．（2）解：|1|2|2|x x m -+-≤有解等价于min (|1|2|2|)m x x ≥-+-，53,1,|1|2|2|3,12,35,2,x x x x x x x x -<⎧⎪-+-=-≤<⎨⎪-≥⎩由单调性知:|1|2|2|1x x -+-≥，所以1m ≥．。