【华东师大版】九年级数学上册：24.3.1《锐角三角函数(第1课时)教案(含答案)
新华师版初中数学九年级上册精品教案24.3.1 第1课时 锐角三角函数
24.3 锐角三角函数1.锐角三角函数第1课时 锐角三角函数1．理解正弦、余弦、正切的概念；(重点)2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．(重点)一、情境导入牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站(点A )与水面(BC )的高度(AB )．斜坡与水面所成的角(∠C )可以用量角器测出来，水管的长度(AC )也能直接量得．二、合作探究探究点一：锐角三角函数【类型一】 正弦函数如图，sin A 等于( )A ．2 B.55 C.12D. 5 解析：根据正弦函数的定义可得sin A ＝12，故选C. 方法总结：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sin A .即sin A ＝∠A 的对边斜边＝a c .【类型二】 余弦函数在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，则cos A ＝( )A.513B.512C.1213D.125解析：∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，∴cos A ＝AC AB ＝1213.故选C. 方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值．【类型三】 正切函数如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan A ＝( )A.35B.45C.34D.43解析：在直角△ABC 中，∵∠ABC ＝90°，∴tan A ＝BC AB ＝43.故选D. 方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．探究点二：求三角函数值如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在BC 上，AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35，求sin B 的值．解析：先由AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35及勾股定理求出AC 及AB 的长，再由锐角三角函数的定义解答．解：∵AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35，∴CD ＝3.在Rt △ACD 中，∵AD ＝5，CD ＝3，∴AC ＝AD 2－CD 2＝52－32＝4.在Rt △ACB 中，∵AC ＝4，BC ＝5，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋52＝41，∴sin B ＝AC AB ＝441＝44141 . 方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC .(1)求证：AC ＝BD ；(2)若sin C ＝1213，BC ＝36，求AD 的长．解析：(1)根据高的定义得到∠ADB ＝∠ADC ＝90°，再分别利用正切和余弦的定义得到tan B ＝AD BD ，cos ∠DAC ＝AD AC ，再利用tan B ＝cos ∠DAC 得到AD BD ＝AD AC，所以AC ＝BD ；(2)在Rt △ACD 中，根据正弦的定义得sin C ＝AD AC ＝1213，可设AD ＝12k ，AC ＝13k ，再根据勾股定理计算出CD ＝5k ，由于BD ＝AC ＝13k ，于是利用BC ＝BD ＋CD 得到13k ＋5k ＝36，解得k ＝2，所以AD ＝24.(1)证明：∵AD 是BC 上的高，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.在Rt △ABD 中，tan B ＝AD BD，在Rt △ACD 中，cos ∠DAC ＝AD AC .∵tan B ＝cos ∠DAC ，∴AD BD ＝AD AC，∴AC ＝BD ； (2)解：在Rt △ACD 中，sin C ＝AD AC ＝1213.设AD ＝12k ，AC ＝13k ，∴CD ＝AC 2－AD 2＝5k .∵BD ＝AC ＝13k ，∴BC ＝BD ＋CD ＝13k ＋5k ＝36，解得k ＝2，∴AD ＝12×2＝24.三、板书设计锐角三角函数1．正弦的定义2．余弦的定义3．正切的定义4．求三角函数值本节课的教学设计以直角三角形为主线，力求体现生活化课堂的理念，让学生在经历“问题情境——形成概念——应用拓展——反思提高”的基本过程中，体验知识间的内在联系，让学生感受探究的乐趣，使学生在学中思，在思中学．在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.。
九年级数学上册 24.3 锐角三角函数教案 (新版)华东师大版
24．3 锐角三角函数24．3.1 锐角三角函数第1课时锐角三角函数(1)【知识与技能】了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sin A、cos A、tan A表示直角三角形中两边的比．【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的作用．【情感态度】1．通过学习培养学生的合作意识．2．通过探究提高学生学习数学的兴趣．【教学重点】锐角三角函数的概念．【教学难点】锐角三角函数的概念的理解．一、创设情景，导入新知如图(1)、图(2)都可以用来测量物体的高度．这两个问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．直角三角形中，它的边与角有什么关系？通过本节的学习，你就会明白其中的道理，并能应用所学知识解决相关的问题．二、合作探究，理解新知1．在Rt△ABC中，介绍某个角的对边、邻边的概念．2．做一做：(1)画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝30°，那么∠A的对边与斜边的比值是多少？量一量、算一算．(2)你画的三角形与你同伴画的三角形全等吗？不全等时，比值有什么关系？和你的同伴交流一下．(3)若∠A ＝45°、60°时，则∠A 对边与斜边之比＝______．说明：学生独立思考后回答．教师强调：在Rt △ABC 中，只要一个锐角的大小不变(如∠A ＝30°)，那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值．思考：一般情况下，在Rt △ABC 中，当锐角A 取其他固定值时，∠A 的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？先由学生发表意见，然后再引导学生观察几何画板演示的过程．明确：在Rt △ABC 中，对于锐角固定的一个值，它的对边与斜边的比都是一个固定不变的值，与Rt △ABC 的大小无关．为什么是这样呢？下面我们用相似形的知识来说明．观察图中的Rt △AB 1C 1、Rt △AB 2C 2和Rt △AB 3C 3，易知Rt △AB 1C 1∽Rt △________∽Rt △________．∴B 1C 1AB 1＝B 2C 2AB 2＝B 3C 3AB 3… 可见，在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边的比值是唯一确定的．同样，其对边与邻边，邻边与斜边的比值也是唯一确定的． 3．锐角三角函数的定义板书：在△ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A ＝∠A 的对边斜边＝BC AB ＝ac.同样可得出锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即cos A ＝∠A 的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan A ＝∠A 的对边邻边.我们把锐角A 的正弦、余弦、正切统称为锐角A 的三角函数．想一想：当0°<∠A <90°时，sin A 、cos A 的值会在什么范围内？为什么？这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，教师可适当点拨：直角三角形中斜边大于直角边．在学生充分讨论的基础上，得结论0<sin A <1，0<cos A <1(∠A 为锐角)． 例题讲解例1：求出如图所示的Rt △ABC 中，∠A 的三个三角函数值． 解：Rt △ABC 中，AB ＝BC 2＋AC 2＝152＋82＝17.∴sin A ＝BC AB ＝817，cos A ＝AC AB ＝1517，tan A ＝BC AC ＝815.【教学说明】例1的设置是为了巩固三角函数的概念，通过教师示范，使学生会求三角函数值，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点．变式训练：(1)如果将题中的条件变为AB ＝15，BC ＝8或AC ∶BC ＝1∶2，你能求出∠A 的三个三角函数值吗？(2)若将条件AB ＝15，BC ＝8改为tan A ＝2，你能求出∠A 的其余三角函数值及∠B 的三个三角函数值吗？【教学说明】通过变式训练让学生明确这类题的解法：设比值法．例2：已知：在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝23，BC ＝3，求AB 、AC 的值．(学生独立思考，小组交流解题思路，师生共同寻求解题方法)分析：本题已知直角三角形中锐角A 的正弦值及直角边BC 的长，要求斜边AB 的长，可利用正弦函数的定义sin A ＝∠A 的对边斜边求出；AC 的长可利用勾股定理求出．解：∵sin A ＝BC AB，∴AB ＝BCsin A ＝3 23＝92.∴AC ＝AB 2－BC 2＝（92）2－32＝325. 变式训练：已知：在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝23，求sin B 的值．【教学说明】通过以上两题和变式训练的教学，使学生会用方程思想和设参数法解题，进一步明确锐角的三角函数值只与角的有关边的比值有关，而与它们的长度没有关系．思考：你能根据三角函数的定义得出sin 2A ＋cos 2A ＝1吗？ 引导学生利用三角函数定义及勾股定理解决． 三、尝试练习，掌握新知1.在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦值 ( ) A ．没有变化 B ．扩大2倍 C ．缩小2倍 D ．不能确定2.如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AB ＝13，那么sin A 的值等于 ( )A.1213B.135C.512D.5133.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝1，c ＝4，则sin B 的值是( ) A.1515 B.14 C.13 D.1544.△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，则BC ∶AC 等于( )A ．3∶4 B．4∶3 C．3∶5 D．4∶55.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ∶b ＝1：3，则c ＝______a ，sin A ＝______，sin B ＝______．6．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分． 四、课堂小结，梳理新知本节课你学会了什么？还有什么疑问？你还想知道什么？ 引导学生从知识和方法上总结． 五、深入练习，巩固新知请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．1.教材习题24.3第1、2题．2.已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝13，求∠A 的其余三角函数值．3.等腰△ABC ，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，求∠B 的三个三角函数值． 第2课时 锐角三角函数(2)【知识与技能】1．熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数． 2．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【过程与方法】逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力． 【情感态度】经历观察、操作、归纳等学习数学过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学、严谨的学习态度．【教学重点】特殊角的三角函数值． 【教学难点】与特殊角的三角函数值有关的计算．一、创设情境，导入新知1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，AB ＝2，求∠A 、∠B 的三角函数值． 2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2，求∠A 、∠B 的三角函数值．说明：回顾锐角三角函数的定义；直角三角形的性质． 二、合作探究，理解新知问题1：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，你能借助于常用的两块三角板或直接通过计算，根据锐角三角函数的定义，分别求出下列∠A 的三角函数值吗？(1)∠A ＝30°；(2)∠A ＝45°；(3)∠A ＝60°.分析：利用三角函数的定义及等腰直角三角形的两直角边相等，可求出45°角的各三角函数值；利用在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半可求出30°、60°角的各三角函数值．思考：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的多少？若设30°所对的直角边是1，则斜边是多少？另一条直角边是多少？解：如图，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠B ＝60°，则AB ＝2BC ，由勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝3BC ，所以sin30°＝sin A ＝BC AB ＝BC 2BC ＝12；cos30°＝cos A ＝AC AB ＝3BC 2BC ＝32； tan30°＝tan A ＝BC AC＝BC 3BC ＝33. 同理可求得：sin60°＝32，cos60°＝12，tan60°＝ 3. 你能仿照上面的解法，利用下图，求出45°的各三角函数值吗？试试看．(答案：sin45°＝22，cos45°＝22，tan45°＝1，提示：在此三角形中，BC ＝AC ＝22AB .)练一练：1．计算sin30°·tan45°的值为( A ) A.12 B.32 C.36 D.242．tan30°的值等于__33__． 3．等边三角形中，一个锐角的正切值是__3__． 问题2：在Rt △ABC 中，若sin A ＝32，则cos A2＝______． 分析：逆用特殊角的三角函数值，已知三角函数值，可求出相应的特殊角． 解：由sin A ＝32，得∠A ＝60°，所以cos A 2＝cos30°＝32.练一练：已知α是锐角，cos α2＝32，则α等于( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°问题3：你能求出tan15°的值吗？如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至D ，使BD ＝AB ，则∠D ＝15°.设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝3k ，所以CD ＝BC ＋BD ＝BC ＋AB ＝(2＋3)k ，所以tan15°＝AC CD＝k（2＋3）k ＝12＋3＝2－ 3.仿照上面的解题方法，你能求出tan22.5°的值吗？分析：构造含22.5°的直角三角形，利用三角函数的定义求．解：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝CB ，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，则∠D ＝12∠ABC ＝22.5°.在Rt △ACD 中，设AC ＝BC ＝1，则BD ＝AB ＝2，DC ＝1＋ 2.所以tan ∠ADC ＝AC DC ＝11＋2＝2－1.探究：下列式子成立吗？1．sin75°＝sin45°＋sin30°； 2．sin60°＝2sin30°. (答案：都不成立．)3．计算：sin30°＋cos 245°＋tan60°.4．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝2∠A ，求sin A 的值． 三、尝试练习，掌握新知1．化简（tan30°－1）2等于( ) A ．1－33B.3－1C.33－1 D.3＋1 2．点M (－sin60°，cos60°)关于x 轴对称的点的坐标是( ) A ．(32，12) B ．(－32，－12) C ．(－32，12) D ．(－12，－32)3．在△ABC 中，若cos A ＝22，tan B ＝3，则此三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．计算sin60°cos30°－tan45°的值是______．5．已知△ABC 中，(1)若∠C ＝90°，∠B ＝60°，a ＋b ＝6，求S △ABC ； (2)若tan A ＝33，∠B －∠C ＝90°，求∠B 、∠C 的度数． 6．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分． 四、课堂小结，梳理新知通过本节课的学习，你有什么收获？ 五、深入练习，巩固新知请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．1．计算：tan30°＝________． 2．△ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝32，a ＝3，则b ＝________． 3．计算：sin45°＋cos30°·tan60°－（－3）2.(应有必要的运算步骤)4．若α为锐角，且3tan 2α－(1＋3)tan α＋1＝0，求α的度数． 5．教材第109页练习第3题，第111页习题24.3第3题． 24．3.2 用计算器求锐角三角函数值【知识与技能】1．会使用计算器求锐角三角函数的值．2．会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角． 【过程与方法】在做题、计算的过程中，逐步熟练计算器的使用． 【情感态度】经历计算器的使用过程，熟悉其按键顺序．【教学重点】利用计算器求锐角三角函数的值． 【教学难点】计算器的按键顺序．一、创设情境，导入新知 填表：三角函数锐角α sin αcos αtan α从这张表格中你看出了什么？由上表我们可以直接写出30°、45°、60°角的三角函数值及由特殊值写出相应的锐角．对一些非特殊的角(如32°)，怎样求它的四个三角函数值？这一节课我们就学习用计算器来完成这个任务．二、合作探究，理解新知1．求锐角三角函数值(1)例题讲解例1：求sin63°52′41″的值(精确到0.0001)．分析：由于计算器在计算角的三角函数值时，角的单位用的是度，所以我们必须先把角63°52′41″转换为“度”．解：如下方法将角度单位状态设定为“度”：SHIFT菜单(设置)2(角度单位)1(度)，屏幕显示D再按下列顺序依次按键：sin63°′″52°′″41°′″＝，显示结果为0.897859012.∴sin63°52′41″≈0.8979.例2：求tan19°15′的值(精确到0.0001)．解：在角度单位状态为“度”的情况下(屏幕显示出D)，按下列顺序依次按键：tan19°′″15°′″＝，显示结果为0.3492156334.∴tan19°15′≈0.3492.以下部分学生完成．(2)针对练习教材练习第1题．2．由锐角三角函数值求锐角(1)例题讲解例3：已知tan x＝0.7410，求锐角x.(精确到1′)解：在角度单位状态为“度”的情况下(屏幕显示出D)，按下列顺序依次按键：SHIFT tan－10·7410＝，显示结果为36.53844577.再按键SHIFT°′″，显示结果为36□32□18.4.∴x≈36°32′.注意：由角x的三角函数值求角x，按键的次序有所不同，它与求角x的三角函数值是一个“互逆”的过程．(2)针对练习教材练习第2题．三、尝试练习，掌握新知1．已知tan A＝3.1478，利用计算器求锐角A.(精确到1′)2．求下列各式的值：(1)sin23°；(2)cos56°31′；(3)tan29°34′54″；(4)tan35°25′.3．用计算器求下式的值．sin81°32′17″＋cos38°43′47″.4．等腰△ABC中，顶角∠ACB＝108°，腰AC＝10 cm，求底边AB的长及△ABC的面积．5．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．四、课堂小结，梳理新知通过本节课的学习，你有什么收获？(让学生说出：怎样运用自己的计算器求出已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角．)利用计算器求出任意一个锐角的三角函数值，同时已知一个锐角函数值可求出这个锐角．五、深入练习，巩固新知请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．1．教材习题24.3第4、5题．2．比较大小cos25°______cos32°，tan29°______tan39°.3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝29，AC＝25，求∠A的度数．。
华东师大版数学九年级上册24.3.1锐角三角函数教学设计
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生的学习热情，增强学生的学习自信心。
2.引导学生认识到数学在科学技术、社会发展中的重要作用，树立正确的数学价值观。
3.培养学生的耐心、细心和毅力，让学生在解决问题的过程中，体会克服困难、解决问题的喜悦。
1.教学方法：
（1）采用情境导入法，通过生活中的实例引出锐角三角函数的概念，激发学生的学习兴趣。
（2）运用启发式教学法，引导学生观察、猜想、归纳、验证特殊角的三角函数值，培养学生的探究能力和逻辑思维能力。
（3）采用任务驱动法，设计具有挑战性的任务，让学生在实践中掌握三角函数的应用。
（4）利用信息技术手段，如多媒体课件、网络资源等，丰富教学手段，提高教学效果。
2.教学方法：
采用总结归纳法，帮助学生梳理所学知识，形成知识体系。
3.教学内容：
（1）锐角三角函数的定义及正弦、余弦、正切函数的概念。
（2）特殊角的三角函数值。
（3）锐角三角函数在实际问题中的应用。
五、作业布置
为了巩固学生对锐角三角函数的理解和应用，以及检验学生的学习效果，特布置以下作业：
1.基础知识巩固：
4.通过对锐角三角函数的学习，提高学生的数学运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力。
（二）过程与方法
1.引导学生通过观察、猜想、归纳、验证等方法，探索特殊角的三角函数值，培养学生的观察力和归纳能力。
2.利用实际问题，激发学生的探究欲望，引导学生运用三角函数知识解决问题，提高学生的问题解决能力。
3.采用小组合作、讨论交流等形式，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
新华师大版九年级上册初中数学 24-3-1课时2 特殊角的三角函数值 教案
24.3.1课时2 特殊角的三角函数值【知识与技能】1.熟记30°、45°、60°角的三角函数值.2.让学生经历30°、45°、60°角的三角函数值推导过程，从而掌握特殊角的三角函数的运用方法.【过程与方法】学生经历30°、45°、60°角的三角函数值推导过程，发展学生的推理能力和计算能力.【情感态度与价值观】通过本节课的学习了让学生体会锐角三角函数的数学美，从而培养学生的数学应用意识.熟记30°、45°、60°角的三角函数值.根据函数值说出对应的锐角度数.多媒体课件.上节课我们学习了锐角三角函数的定义.复习如图所示Rt△DEC，∠E=90°,DE=6,CD=10,求∠D的三个三角函数值.(sinD=4/5,cosD=3/5,tanD=4/3)一、思考探究，获取新知你能否根据锐角三角函数的定义求出30°角的三个三角函数值？1.探究3.填表思考：(1)sinα随着α的增大而增大；（2）cosα随着α的增大而减小；（3）tanα随着α的增大而增大.例1 求值：sin30°·tan30°+cos60°·tan60°解：原式1312332323=⨯+⨯=.二、运用新知，深化理解2.直线y=kx-4与y轴相交所成的锐角的正切值为12，则k的值为_______.4.已知，如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°,AB=6,求BC的长.(结果保留根号）【教师点拨】第1题的计算，注意理清运算顺序；第2题可构造直角三角形再运用锐角三角函数的知识解决，注意两种情况；第3题先求出α的三角函数值，再根据其值求角的度数.1.知识回顾.2.谈谈这节课你有哪些收获？【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思路与方法.1.布置作业：从教材“习题24. 3”中选取.本节从复习锐角三角函数的定义入手，提出求解30°角的三角函数值，让学生动手探究45°、60°角的三角函数值，加以归纳总结，并学会应用.在教学上充分体现以学生为主体的思想，在教学中以调动学生的思维为主，充分培养学生的自主性和创造性.。
初中数学华师大版九年级上册《24.3.1锐角三角函数》教学设计
华师大版数学九年级上24.3.1锐角三角函数教学设计操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1.5米．然后他很快就算出旗杆的高度了。
如图师：你想知道小明怎样算出的吗？这节课，我们就来研究一下师：观察图中的Rt △AB 1C 1、Rt △AB 2C 2和Rt △AB 3C3，它们相似吗？生：Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2∽Rt △AB 3C 3所以B 1C 1AC 1=B 2C 2AC 2=B 3C3AC 3.师：可见，在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的.师：想一想，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的吗？生：我认为应该是确定的. 课件展示：sin A=∠A 的对边斜边=BC AB =ac ， sinA 叫做∠A 的正弦函数cos A=∠A 的邻边斜边=AC AB =bc ，cos A 叫做∠A 的余弦函数tan A=∠A 的对边∠A 的邻边=BC AC =ab ，tan A 叫做 ∠A 的余切函数师：正弦、余弦、正切统称为锐角∠A 的三角函数. 师：我们需要注意1. 我们研究的锐角三角函数都是在直角三角形中定义的.2.三角函数的实质是一个比值，没有单位，而且这个比值 只与锐角的大小有关与三角形边长无关.3. sin A 、cos A 、tan A 都是表达符号,它们是一个整体,不能拆开来理解4.sin A 、cos A 、tan A 中∠A 的角的记号“∠”∠习惯省略不写,但对于用三个大写字母和阿 拉伯数字表示的角,角的记号“∠” 不能省略.如sin ∠1不能写成sin1. 生：明白了师：思考，你能利用直角三角形的三边关系得到sinA 与 cosA 的取值范围吗？ 生：0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1=1师：tan A 与cot A 之间有什么关系？ 生：tan A•cot A=1 课件展示如图，在RtABC 中，∠C=90°，AC=15，BC=8.试求出∠A 的三个三角函数值.1.如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的 中线，已知CD =5，AC =6，则tan B 的值是( )A ．45B ．35C ．34D ．43答案：C2.三角形在方格纸中的位置如图所示，则cos α的值是( )A A 22cos sin答案：D3.已知等腰三角形的腰长为6 cm ，底边长为10 cm ，则底角的正切值为________． 答案：√1154.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3BC ，则sinA ＝__；cosA ＝__；tanA ＝____． 答案：√1010，3√1010，135.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，求cosA和cosB 的值． 答案：解：AB=√AC 2+BC 2=√22+12=√5 cosA=AC AB =2√5=2√55cosB=BCAB =1√5=√55拓展提升已知：如图，△ABC 中，AC =10，sin C = 45，sin B =13 ，求AB ．答案：解：作AD ⊥BC 于D 点，如图所示， 在Rt △ADC 中，AC =10，sin C =45 ， ∴AD =A Csin C =10×45=8， 在Rt △ABD 中，sin B =13 ，AD =8， 则AB =ADsinB =24． 中考链接1.【汕尾中考】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sinA ＝35，则cosB 的值是( )答案：B2.【桂林中考】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是________．答案：34。
【新华东师大版】九年级数学上册：24.3《锐角三角函数1》教案+导学案
24.3 锐角三角函数（1）教学目标：1.直角三角形可简记为 Rt △ABC2.理解Rt △中锐角的正弦、余弦、正切的概念. 教学重点：三种锐角三角函数的定义. 教学难点：理解锐角三角函数的定义. 教学过程：一．复习提问：1.什么叫Rt △？它的三边有何关系？2.Rt △中角、边之间的关系是：①∠A+∠B=90°②222c b a =+ 二．新课探究：1.Rt △ABC 中,某个角的对边、邻边的介绍.2.如图,由Rt △AB1C1∽Rt △AB2C2∽Rt △AB3C3得,333222111k AC C B AC C B C A C B === 可见,在Rt △ABC 中,对于锐角A 的每一 个确定的值,其对边与邻边的比值是唯一确定的.同样,其对边与斜边,邻边与斜边,邻边与对边的比值也是唯一确定的. 3.锐角三角函数.的邻边的对边，的斜边的邻边的斜边的对边A A A A A A A A A ∠∠=∠∠=∠∠=tan cos ,sin分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切,统称为锐角∠A 的三角函数.显然,锐角三角函数值都是正实数,并且0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0. 4.根据三角函数的定义,我们还可以得出 1cos sin 22=+A A三．四种三角函数值例1.①求出如图所示的Rt △ABC 中,∠A 的三个三角函数值. 解：Rt △ABC 中,AB=22AC BC +=22815+=17 ∴sinA=178=AB BC ,cosA=1715=AB ACtanA=158=AC BC 。
8 ②若图中AC ︰BC=4︰3呢？15ABCA BCCC 32111B B 1C B A解：设AC=4κ,BC=3κ,则AB=5κ ∴sinA=53,cosA=54,tanA=43。
③若图中tanA=43呢？（解法同上） 例2.△ABC 中,∠B=90°,a=5,b=13,求∠A 的三个三角函数值.解：Rt △ABC 中,c=22a b -=22513-=12∴sinA=135,cosA=1312,tanA=125。
华师大版数学九年级上24.3.1锐角三角函数教学设计
cos30°、cos45°、cos60°；
tan30°、tan45°、tan60°。
4.小组合作题：
（1）分组讨论：结合本节课所学内容，讨论锐角三角函数在实际问题中的应用，总结解题方法。
（2）小组交流：各小组分享讨论成果，相互学习，提高解题能力。
注意事项：
1.完成作业时，请认真审题，确保解答过程清晰、逻辑性强。
8.教学过程中，注重数学思想的渗透，让学生在掌握知识的同时，领悟数学方法，提高数学素养。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.创设情境：以学生生活中常见的景物或现象为例，如测量校园内旗杆的高度、远处建筑物的高度等，提出问题：“如何利用我们已学的数学知识来求解这些问题？”
2.引发思考：引导学生回顾直角三角形、勾股定理等知识，为新课的学习做好铺垫。
4.能够运用锐角三角函数的知识，解决一些简单的几何问题，如计算角度、边长等。
（二）过程与方法
在本章节的学习过程中，学生将经历以下过程与方法：
1.通过观察生活中的实例，引导学生发现锐角三角函数的概念，培养学生观察、思考、发现问题的能力。
2.通过小组合作、讨论交流等形式，让学生在自主探究和合作学习中发现问题、解决问题，提高学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.设计丰富的教学活动，如小组合作、讨论交流等，让学生在合作学习中掌握锐角三角函数的计算方法。同时，注重培养学生的动手操作能力，引导学生运用计算器或计算工具解决实际问题。
4.精选典型例题和练习题，分层设计，由浅入深，让学生在解答过程中逐步掌握解题方法。针对不同层次的学生，进行有针对性的指导，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
（1）请用定义证明：在直角三角形中，锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值，余弦值等于它的邻边与斜边的比值，正切值等于它的对边与邻边的比值。
【华东师大版】九年级数学上册：24.3.1《锐角三角函数(第1课时)教案(含答案)
24.3 锐角三角函数1.锐角三角函数第1课时锐角三角函数【知识与技能】1.使学生掌握锐角的四种三角函数的定义.2.使学生掌握锐角三角函数的取值范围.【过程与方法】1.使学生会利用三角函数的定义，表示出直角三角形中某个锐角的三角函数值.2.使学生会利用锐角三角函数的定义求三角函数值.3.使学生学会运用参数法求三角函数值.【情感态度】培养学生的数形结合的思想和探索的精神.【教学重点】三角函数的定义及三角函数值的求法.【教学难点】引入参数三角函数值.一、情境导入，初步认识1.含30°角的直角三角形，有什么性质？答：30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的比值为12.2.上述结论与所选取的直角三角形的大小有关吗？答：无关.3.含45°角的直角三角形中，45°角所对的直角边与斜边的比值为多少？这个比值与所选取的直角三角形的大小有关吗？答:22，无关.4.一般地，在Rt△ABC中，∠A为其一个锐角，当∠A取一个固定的值时，∠A所对的直角边和斜边的比值固定吗？答：固定不变.如下图我们把这个固定的比值，称为∠A的正弦，记作sinA,当∠A看作变量时,sinA常称为∠A的正弦函数，正弦函数是三角函数的一种，今天我们就来研究锐角三角函数.二、思考探究，获取新知（一）锐角三角函数的定义如图,在Rt△ABC中，∠C=90°∠A的正弦：A BC a sinAAB c∠===的对边斜边∠A的余弦：A AC b cosAAB c∠===的邻边斜边∠A的正切：A BC a tanAA AC b∠===∠的对边的邻边【教学说明】这三个三角函数的书写和含义，特别是不能看成是乘法的关系，另外角的符号也常常省略.提问：你能按定义写出∠B的三个三角函数来吗？(二）锐角三角函数的取值范围在Rt△ABC中，∠A为其一锐角，有0<a<c，0<b<c,∴0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0.(三)利用锐角三角函数定义求三角函数值1.直接利用定义求三角函数值例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8，试求出∠A的三个三角函数值.2.已知直角三角形的两边的比，求三角函数值例2 已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，a∶b=2∶3,求sinA、cosA.3.已知某锐角三角函数值，求三角函数值.例3 已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=23,求∠A的另外两个三角函数值.三、运用新知，深化理解1.在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2,4),O为原点，OP与x轴的夹角为α，则sin α=______.2.在Rt△ABC中，∠C=90°,ac=513,则cosA=______.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=13，则sinA=______,cosA=______.4.如图，在△ABC中，∠ABC=60°,AB∶BC=2∶5,求tanC的值.【教学说明】第4题教师适当点拨:过A点作AD⊥BC构造直角三角形.四、师生互动，课堂小结1.锐角三角函数的定义：∠α的正弦：sinα=α∠的对边斜边∠α的余弦:cosα=α∠的邻边斜边∠α的正切：tanα=αα∠∠的对边的邻边2.锐角三角函数的取值范围：当∠α为锐角时，0<sinα<1；0<cosα<1；tanα>0.3.利用定义求锐角三角函数值.1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.3中选取.”2.完成练习册中本课时练习.本课时遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.。
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24.3 锐角三角函数
1.锐角三角函数
第1课时锐角三角函数
【知识与技能】
1.使学生掌握锐角的四种三角函数的定义.
2.使学生掌握锐角三角函数的取值范围.
【过程与方法】
1.使学生会利用三角函数的定义，表示出直角三角形中某个锐角的三角函数值.
2.使学生会利用锐角三角函数的定义求三角函数值.
3.使学生学会运用参数法求三角函数值.
【情感态度】
培养学生的数形结合的思想和探索的精神.
【教学重点】
三角函数的定义及三角函数值的求法.
【教学难点】
引入参数三角函数值.
一、情境导入，初步认识
1.含30°角的直角三角形，有什么性质？
答：30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的比值为1
2
.
2.上述结论与所选取的直角三角形的大小有关吗？
答：无关.
3.含45°角的直角三角形中，45°角所对的直角边与斜边的比值为多少？
这个比值与所选取的直角三角形的大小有关吗？
答.
4.一般地，在Rt△ABC中，∠A为其一个锐角，当∠A取一个固定的值时，∠A所对的直角边和斜边的比值固定吗？
答：固定不变.如下图
我们把这个固定的比值，称为∠A 的正弦，记作sinA,当∠A 看作变量时,sinA 常称为∠A 的正弦函数，正弦函数是三角函数的一种，今天我们就来研究锐角三角函数.
二、思考探究，获取新知
（一）锐角三角函数的定义
如图,在Rt △ABC 中，∠C=90°
∠A 的正弦： A BC a sinA AB c
∠===的对边斜边 ∠A 的余弦：A AC b cosA AB c
∠===的邻边斜边 ∠A 的正切：A BC a tanA A AC b ∠=
==∠的对边的邻边 【教学说明】这三个三角函数的书写和含义，特别是不能看成是乘法的关系，另外角的符号也常常省略.
提问：你能按定义写出∠B 的三个三角函数来吗？
(二）锐角三角函数的取值范围
在Rt △ABC 中，∠A 为其一锐角，有0<a<c ，0<b<c,∴0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0.
(三)利用锐角三角函数定义求三角函数值
1.直接利用定义求三角函数值
例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=15，BC=8，试求出∠A 的三个三角函数值.
2.已知直角三角形的两边的比，求三角函数值
例2 已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，a ∶b=2∶3,求sinA 、cosA.
3.已知某锐角三角函数值，求三角函数值.
例3 已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=23
,求∠A 的另外两个三角函数值.
三、运用新知，深化理解
1.在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（2,4),O 为原点，OP 与x 轴的夹角为α，则sin α=______.
2.在Rt △ABC 中，∠C=90°,ac=513
,则cosA=______. 3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=
13，则sinA=______,cosA=______. 4.如图，在△ABC 中，∠ABC=60°,AB ∶BC=2∶5,求tanC 的值.
【教学说明】第4题教师适当点拨:过A点作AD⊥BC构造直角三角形.
四、师生互动，课堂小结
1.锐角三角函数的定义：
∠α的正弦：sinα=
α
∠的对边
斜边
∠α的余弦:cosα=
α
∠的邻边
斜边
∠α的正切：tanα=
α
α
∠
∠
的对边
的邻边
2.锐角三角函数的取值范围：
当∠α为锐角时，0<sinα<1；0<cosα<1；tanα>0.
3.利用定义求锐角三角函数值.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.3中选取.”
2.完成练习册中本课时练习.
本课时遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.。