平面向量【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】(个人一流排版)
高一平面向量的知识点归纳总结
高一平面向量的知识点归纳总结平面向量是高中数学中一个重要的概念，也是数学建模中常用的工具。
在高一阶段，学生首次接触平面向量，并需要掌握其相关的计算方法和性质。
本文将对高一平面向量的知识点进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、平面向量的定义与表示方法平面向量是有大小和方向的量，可以用有向线段表示，用一个点与另一个点之间的坐标差表示。
一般用字母加箭头表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。
二、平面向量的运算1. 平面向量的相加减：向量的相加是指将一个向量的终点与另一个向量的起点相连，并以此线段为新向量的长度和方向。
向量的相减可以转换为向量的相加：A - B = A + (-B)。
2. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将向量的长度与一个实数相乘，得到一个新的向量，其方向与原向量相同（若实数为正）或相反（若实数为负）。
3. 向量的数量积：向量的数量积等于向量的长度乘积与两向量夹角的余弦值的乘积。
数量积具有交换律和分配律。
三、平面向量的基本性质1. 平移性质：可以将一个向量平移至另一个点，其大小和方向不变。
2. 平面向量的共线性：如果两个向量的方向相同或相反，那么它们是共线的；如果两个向量的方向互相垂直，那么它们是互相垂直的；如果两个向量不共线且不垂直，那么它们是不共线也不垂直的。
3. 向量共点性质：三个向量共点的充分必要条件是其中一个向量等于另外两个向量的和。
四、平面向量的几何应用平面向量在几何中具有广泛的应用。
其中，平面向量的模表示向量的长度，平面向量的方向角表示向量与坐标轴的夹角，平面向量的端点坐标可以确定向量在平面直角坐标系中的位置。
通过对平面向量的几何运算，可以解决平面上的定位、距离和角度等问题。
五、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个向量可以用其横坐标和纵坐标来表示。
具体地说，如果向量的起点在原点O(0, 0)，终点在A(x₁, y₁)，那么这个向量可以用[x₁, y₁]来表示。
平面向量题型归类及解题方法
平面向量题型归类及解题方法1. 平面向量的定义和性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头来表示。
平面向量通常用一个字母加上一个箭头（如a→）来表示。
平面向量有以下性质： - 零向量的方向是任意的，大小为0。
- 向量的大小等于其模长，记作∥a∥。
- 向量可以相等，相等的向量有相同的大小和方向。
- 向量可以相反，相反的向量大小相等，方向相反。
- 向量可以相加，向量相加满足三角形法则。
- 向量可以缩放，即乘以一个标量。
- 向量可以平移，即使原点发生变化。
2. 平面向量的基本运算2.1 向量的加法向量a和b的和记作a + b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的终点。
2.2 向量的减法向量a和b的差记作a - b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的起点。
2.3 向量的数乘向量a与一个实数k的积记作k a，其几何意义是将向量a的长度缩放为原来的k 倍，方向不变（当k>0时）或反向（当k<0时）。
2.4 平行向量和共线向量如果两个向量的方向相同（可能大小不同），那么它们是平行向量。
如果两个向量共线，即一个向量是另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。
2.5 两个向量的数量积（点积）设a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则向量a和b的数量积（点积）定义为：a·b= x1x2 + y1y2。
2.6 向量的模长和方向角设向量a = (x, y)，则向量a的模长定义为∥a∥= √(x^2 + y^2)。
向量a的方向角定义为与x轴的正方向之间的夹角θ，其中tanθ = y / x。
3. 平面向量的题型归类及解题方法平面向量的题型主要包括平面向量的加减法、数量积、平行向量和共线向量、模长和方向角等。
3.1 平面向量的加减法题型•已知两个向量，求其和或差向量。
•已知一个向量和其和或差向量，求另一个向量。
平面向量知识点学习技巧
平面向量知识点学习技巧平面向量是数学中的重要概念，它在解决几何问题和代数运算中都起到了重要的作用。
掌握平面向量的知识点对于学生来说至关重要，因此在学习过程中，合理的学习技巧和方法十分必要。
本文将介绍一些平面向量的基本知识点，并结合实际学习经验，分享一些学习平面向量的技巧。
一、平面向量的基本概念和性质1. 平面向量的定义及表示方法平面向量是具有大小和方向的量，它可以用有向线段来表示。
通常用字母加上→来表示一个平面向量，如AB→表示由点A指向点B的平面向量。
平面向量还可以用坐标表示，比如AB→ = (x2 - x1, y2 - y1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)分别是点A和点B的坐标。
2. 平面向量的运算法则平面向量的运算包括加法、减法和数乘。
加法运算满足平行四边形法则，即若有两个平面向量AB→和AC→，则它们的和等于AD→，其中D是平行四边形ABCD的对角线交点。
减法运算即加法的逆运算，即AB→ - AC→ = AB→ + (-AC→)。
数乘运算即将一个平面向量乘以一个实数，如kAB→ = k(x2 - x1,y2 - y1) = (kx2 - kx1, ky2 - ky1)。
3. 平面向量的数量积和向量积数量积又称点积或内积，用来衡量两个向量之间的夹角和方向关系。
它的计算公式为AB·AC = |AB| |AC| cosθ，其中θ为AB→和AC→之间的夹角。
向量积又称叉积或外积，其结果为一个向量，用来衡量两个向量之间的平行关系和面积大小。
计算公式为AB×AC = |AB| |AC| sinθ n，其中θ为AB→和AC→之间的夹角，n为单位向量。
二、学习平面向量的技巧1. 深刻理解基本概念在学习平面向量的过程中，首先要对平面向量的定义和表示方法有一个深刻的理解，这对于后续的学习非常重要。
要善于画图，通过图示化的方法来理解和表示平面向量，可以更清晰地把握其概念和性质。
2. 熟练掌握运算法则平面向量的运算是学习的重点和难点之一。
平面向量复习基本知识点及经典结论总结
平面向量复习基本知识点及经典结论总结平面向量是数学中常见的概念，它是一种具有大小和方向的量。
本文将对平面向量的基本知识点及经典结论进行总结，以帮助读者复习和理解。
一、基本知识点1.定义：平面向量是具有大小和方向的量，可用有向线段来表示。
通常用字母a、b、c等表示向量，用小写字母表示有向线段的长度，用大写字母表示向量的大小。
2.向量的表示方法：在平面直角坐标系中，可以用坐标表示一个向量。
设平面向量a的起点为原点O(0,0)，终点为点A(x,y)，则向量a的表示为a=(x,y)。
3.向量的加法：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a+b可以表示为(a,b)=(x1+x2,y1+y2)。
4.向量的数量积：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a和b的数量积为a·b=x1×x2+y1×y25.向量的模长：向量a的模长表示为，a，可通过勾股定理求得，即，a，=√(x^2+y^2)。
二、经典结论1.平面向量共线：如果有两个向量a和b，且b与a同方向或反方向，那么向量a和b共线；如果b与a不同方向，那么向量a和b不共线。
2. 平面向量定比分点：如果有两个向量a = (x1,y1)和b = (x2,y2)，且存在一个实数k，使得x2 = kx1，y2 = ky1，则向量a和b的终点共线，并且b在a的延长线上（如k>1）或b在a的连线上（如0<k<1）。
3.向量共线定理：如果有三个向量a，b，c，且c=λa+μb，则向量c与向量a和b共线。
4.平面向量的线性运算：设有三个向量a，b，c，和两个实数λ、μ，那么有以下性质成立：(1)a+b=b+a（交换律）(2)(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）(3)λ(μa)=(λμ)a=μ(λa)=λ(μa)（乘法结合律）(4)λ(a+b)=λa+λb（分配律）(5)(λ+μ)a=λa+μa（分配律）5.向量共线的判定方法：(1)数量积：如果两个向量a和b的数量积a·b=0，则向量a和b垂直；如果a·b>0，则向量a和b夹角小于90°；如果a·b<0，则向量a和b夹角大于90°。
第六章平面向量知识点总结
第六章平面向量知识点总结一、平面向量的概念平面向量是指平面上具有大小和方向的量。
它是由起点和终点确定的有向线段。
在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为一个有序数对(a, b)，其中a表示横坐标的增量，b表示纵坐标的增量。
二、平面向量的表示1. 平面向量的概念平面向量是由两个向量确定的，即它的坐标是有序对(x, y)。
例如平面向量a=(1, 2)，其中1表示横坐标的增量，2表示纵坐标的增量。
2. 平面向量的运算（1）平面向量的加法平面向量的加法是指将两个平面向量的对应坐标相加，即(a, b)+(c, d)=(a+c, b+d)。
（2）数乘对于平面向量a=(x, y)和实数k，数乘ka=(kx, ky)。
三、平面向量的运算平面向量的运算包括：平面向量的加法、数乘、模长和方向角。
1. 平面向量的加法设平面向量a=(x₁, y₁)，b=(x₂, y₂)，则a+b=(x₁+x₂, y₁+y₂)。
2. 数乘设平面向量a=(x, y)，实数k，则ka=(kx, ky)。
3. 模长平面向量的模长表示向量的长度，它的计算公式是：|a| = √(x² + y²)。
4. 方向角平面向量的方向角表示向量与x轴的夹角。
它的计算公式是：θ = arctan(y/x)。
四、平面向量的线性运算1. 向量的共线如果平面向量a=λb，则a和b共线。
2. 向量的线性组合设有向量a、b，向量a' = λa，b' = μb，如果a' + b' = 0，那么向量a和b线性无关。
也就是说，向量a和向量b不是平行的，且不是共线的。
3. 平面向量线性运算的性质（1）结合律(a+b)+c=a+(b+c)（2）交换律a+b=b+a（3）数乘结合律k(la)=(kl)a五、平面向量的坐标位置关系1. 向量的平行平面向量a和b平行的充要条件是a=λb。
2. 向量的垂直平面向量a和b垂直的充要条件是a·b=0。
平面向量的解题技巧
平面向量的解题技巧简介平面向量是高中数学中的重要内容，也是解题过程中经常会遇到的知识点。
掌握平面向量的解题技巧对于提高解题效率和准确性非常关键。
本文将介绍几种常见的解题技巧，帮助读者更好地理解和应用平面向量。
基本概念回顾在介绍解题技巧之前，我们先来回顾一些平面向量的基本概念。
定义1：平面向量是具有大小和方向的量。
在平面直角坐标系中，平面向量可以用坐标表示为(x, y)。
其中，x表示向量在x轴上的分量，y表示向量在y轴上的分量。
定义2：平面向量的模是指向量的长度，用∥a∥表示。
定义3：平面向量的方向是指向量的指向，用角度表示。
定义4：平面向量的加法是指将两个向量首尾相连所得到的向量，用a + b表示。
定义5：平面向量的乘法是指将向量的模与一个标量相乘所得到的向量，用k * a表示。
解题技巧接下来，我们将介绍几种常见的平面向量解题技巧。
投影投影是指将一个向量在某个方向上的分量分解出来。
在解题过程中，我们常常需要求解一个向量在另一个向量上的投影。
例如，已知向量a = (3, 4)，向量b = (1, 2)，我们要求解向量a在向量b上的投影。
首先，我们需要计算向量a与向量b的夹角θ，然后计算a在b方向上的分量，即可得到投影的结果。
单位向量单位向量是指模为1的向量。
在平面向量的解题中，单位向量常常用来表示方向。
使用单位向量可以简化计算，消除向量的模的影响。
例如，已知向量a = (3, 4)，我们要求解向量a的方向。
我们可以通过计算向量a的单位向量a’ = (3/∥a∥,4/∥a∥)，得到向量a的方向。
平移平移是指将所有向量沿着同一方向移动相同的距离。
平移不改变向量的方向和模。
在解题中，平移常常用来简化计算。
例如，已知向量a = (3, 4)，向量b = (1, 2)，我们要求解向量a + b。
可以将向量a平移到原点，得到向量a’ = (-3, -4)，然后计算a’ + b，最后将结果平移回去，即可得到a + b的结果。
平面向量知识点梳理
平面向量知识点梳理平面向量是向量的一种特殊情况，它在平面上进行运算和表示。
平面向量的学习是解决平面几何问题的重要基础，同时也是向量的一个重要应用领域。
下面进行平面向量的知识点梳理:一、平面向量的定义和表示方法1. 平面向量的定义：平面上的向量是由两个有序数对(a,b)组成。
其中a称为向量的横坐标，b称为向量的纵坐标。
2. 平面向量的表示方法：平面向量可以用有向线段或点表示。
有向线段的起点和终点表示出向量的方向和大小。
二、平面向量的运算法则1. 平面向量的加法：两个向量的加法是将它们的对应坐标相加。
即(A, B) + (C, D) = (A+C, B+D)。
2. 平面向量的减法：两个向量的减法是将它们的对应坐标相减。
即(A, B) - (C, D) = (A-C, B-D)。
3. 常数与向量的乘法：将一个向量的每个坐标与一个常数相乘。
即k(A, B) = (kA, kB)。
4. 向量的数量积：向量的数量积等于它们的模长相乘再乘以夹角的余弦值。
设两个向量为(A, B)和(C, D)，则数量积为AC+BD cosθ，其中θ为两个向量顺时针夹角。
5. 向量的叉积：向量的叉积是一个向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积。
设两个向量为(A, B)和(C, D)，则叉积为AD-BC。
三、平面向量的基本性质1. 平面向量的模长：设向量为(A, B)，则向量的模长为|AB| = √(A² + B²)。
2. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
3. 垂直向量：如果两个向量的数量积等于0，则它们是垂直向量。
4. 向量共线：如果一个向量与另一个向量的数量积为0，则它们共线。
5. 向量的方向角：向量的方向角是与x轴的夹角，它可以根据向量的坐标来计算。
四、平面向量的应用1. 向量的分解：将一个向量分解为两个与坐标轴平行的向量，以方便计算。
2. 向量的平移：通过平移向量的起点和终点，将向量沿着平行线移动。
平面向量知识点梳理
平面向量知识点梳理第一篇：一、平面向量的基本概念及表示方法1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
2. 平面向量的表示方法：平面向量通常用有向线段来表示，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
二、平面向量的运算法则1. 向量的加法：将两个向量的起点放在一起，然后将两个箭头相连，连接结果的箭头即为两个向量相加的结果。
2. 向量的减法：将两个向量的起点放在一起，然后将第二个向量取反，再按向量加法的法则进行运算。
3. 向量的数乘：将向量的长度与一个数相乘，结果的方向保持不变，只改变了大小。
三、平面向量的性质1. 平面向量的相等：两个向量的大小和方向完全相同，则它们是相等的。
2. 平面向量的负向量：具有相同大小但方向相反的向量称为原向量的负向量。
3. 平面向量的数量积：两个向量的数量积等于两个向量的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
4. 平面向量的夹角：两个向量的夹角是一个锐角，它与它们的余弦值有关。
5. 平面向量的线性相关与线性无关：若存在不全为零的实数使得向量的线性组合等于零向量，则称这些向量线性相关；否则称这些向量线性无关。
四、平面向量的坐标表示1. 平面向量的坐标表示方法：平面向量可以用有序数对或者列向量来表示。
2. 平面向量的坐标运算：平面向量的加法、减法和数乘运算可以通过对应元素之间的运算来进行。
五、平面向量的标准表示1. 平面向量的标准表示方法：平面向量可以表示为单位向量与它的长度的乘积。
2. 平面向量的标准化：将向量除以它的模长，使其成为单位向量。
六、平面向量的数量积1. 平面向量的数量积的计算：将两个向量的对应坐标相乘，再将相乘结果相加。
2. 平面向量的数量积与夹角：两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
以上是平面向量的一些基本概念、运算法则、性质和表示方法的梳理。
通过学习平面向量，我们可以更好地理解和应用向量的概念，并在几何问题中进行计算和推导。
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平面向量一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如：已知A （1,2），B （4,2），则把向量A B按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与A B共线的单位向量是||A B A B ± )；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ A B A C、共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
的相反向量是－。
如下列命题：（1）若a b = ，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若A B D C = ，则A B C D 是平行四边形。
（4）若A B C D 是平行四边形，则A B DC = 。
（5）若,a b b c == ，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c。
其中正确的是_______（答：（4）（5））二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a x i y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
如（1）若(1,1),a b == (1,1),(1,2)c -=- ，则c =______（答：1322a b -）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. 12(0,0),(1,2)e e ==-B. 12(1,2),(5,7)e e =-=C. 12(3,5),(6,10)e e ==D. 1213(2,3),(,)24e e =-=-（答：B ）；（3）已知,A D B E 分别是A B C ∆的边,B C A C 上的中线,且,A D a B E b == ,则B C可用向量,a b 表示为_____（答：2433a b +）；（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___ （答：0） 四．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。
五．平面向量的数量积：1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作,O A a O B b ==，A O B θ∠=()0θπ≤≤称为向量a ，b的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝2π时，，垂直。
2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a ∙b ，即a ∙b ＝co s a b θ。
规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
如（1）△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅BC AB _________（答：－9）；（2）已知11(1,),(0,),,22a b c a k b d a b ==-=+=- ，c 与d 的夹角为4π，则k 等于____（答：1）；（3）已知2,5,3a b a b ===- ，则a b +等于____）；（4）已知,a b是两个非零向量，且a b a b ==- ，则与a a b + 的夹角为____ （答：30）3．b 在a 上的投影为||co s b θ，它是一个实数，但不一定大于0。
如已知3||=→a ，5||=→b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为______（答：512）4．∙的几何意义：数量积∙等于的模||a与在上的投影的积。
5．向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则：①0a b a b ⊥⇔∙=；②当，同向时，∙＝a b，特别地，22,a a a a a =∙== ；当与反向时，∙＝－a b；当θ为锐角时，∙＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅> 是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a ∙b ＜0，且 a b 、不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件；③非零向量，夹角θ的计算公式：co s a ba bθ∙=；④||||||a b a b ∙≤ 。
如（1）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（答：43λ<-或0λ>且13λ≠）；（2）已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→−−→−FQ OF ，若2321<<S ，则−→−−→−FQ OF ,夹角θ的取值范围是_________（答：(,)43ππ）；（3）已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),a x x b y y == a 与b之间有关系式,0k a b k b k +=->其中，①用k表示a b ⋅ ；②求a b ⋅ 的最小值，并求此时a 与b的夹角θ的大小（答：①21(0)4k a b k k +⋅=> ；②最小值为12，60θ=） 六．向量的运算：1．几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,A B a B C b == ，那么向量A C 叫做a 与b的和，即a b A B B C A C +=+= ；②向量的减法：用“三角形法则”：设,,A B a A C b a b A B A C C A ==-=-=那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。
注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
如（1）化简：①A B B C C D ++= ___；②A B A D D C --=____；③()()A B C D A C B D ---= _____（答：①A D ；②C B ；③0）；（2）若正方形A B C D 的边长为1，,,A B a B C b A C c === ，则||a b c ++＝_____（答：；（3）若O 是A B C 所在平面内一点，且满足2O B O C O B O C O A -=+-，则A B C 的形状为____（答：直角三角形）；（4）若D 为A B C ∆的边B C 的中点，A B C ∆所在平面内有一点P ，满足0P A B P C P ++=，设||||A P P D λ= ，则λ的值为___ （答：2）； （5）若点O 是ABC △的外心，且0O A O B C O ++=，则A B C △的内角C 为____（答：120）；2．坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则：①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。
如（1）已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()A P A B A C R λλ=+∈，则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上（答：12）；（2）已知1(2,3),(1,4),(sin ,co s )2A B A B x y = 且，,(,)22x y ππ∈-，则x y += （答：6π或2π-）；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-= ，则合力123F F F F =++的终点坐标是（答：（9,1））②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。
③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,A B x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
如设(2,3),(1,5)A B -，且13A C AB = ，3A D A B =，则C 、D 的坐标分别是__________（答：11(1,),(7,9)3-）；④平面向量数量积：1212a b x x y y ∙=+。
如已知向量＝（sinx ，cosx ）, ＝（sinx ，sinx ）, ＝（－1，0）。
（1）若x ＝3π，求向量、的夹角；（2）若x ∈]4,83[ππ-，函数b a x f ⋅=λ)(的最大值为21，求λ的值（答：1(1)150;(2)2或1）；⑤向量的模：2222||||a a a x y ===+。
如已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____；⑥两点间的距离：若()()1122,,,A x y B x y ，则||A B =。
如如图，在平面斜坐标系xO y 中，60xO y ∠=，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12O P x e y e =+ ，其中12,e e分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y 。
（1）若点P 的斜坐标为（2，－2），求P 到O 的距离｜PO ｜；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xO y 中的方程。
（答：（1）2；（2）2210x y xy ++-=）；七．向量的运算律：1．交换律：a b b a +=+ ，()()a a λμλμ=，a b b a ∙=∙ ；2．结合律：()(),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+ ，()()()a b a b a b λλλ∙=∙=∙；3．分配律：()(),a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+ ，()a b c a c b c +∙=∙+∙。