高一习题 数学检测3.
北京市2023-2024学年高一下学期3月阶段测试数学试题含答案
高一数学学科（答案在最后）2024年3月姓名班级考号（考试时间90分钟满分100分）提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.下列量中是向量的为（）A.频率 B.拉力C.体积D.距离【答案】B 【解析】【分析】根据向量与数量的意义直接判断即可.【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.故选：B2.已知,a b是两个单位向量，则下列等式一定成立的是（）A.0a b -= B.1a b ⋅= C.a b= D.0a b ⋅= 【答案】C 【解析】【分析】由向量分减法法则和数量积以及模长逐一判断即可.【详解】A ：由向量减法法则可得,a b的差为向量，不等于数，故A 错误；B 、D ：11cos ,cos ,a b a b a b ⋅=⨯⨯=，由于夹角大小不定，故值不确定，故B 、D 错误；C ：单位向量的模长相等，故C 正确；故选：C.3.设()1i 1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则x y +的值为（）A.1B.C.D.2【答案】D【解析】【分析】根据复数相等的充要条件得到方程，即可得解.【详解】因为()1i 1i x y +=+，即i 1i x x y +=+，又x ，y 是实数，依据复数相等的条件得1x x y =⎧⎨=⎩，即1x y ==，故2x y +=.故选：D.4.已知向量a 与b是两个不平行的向量，若//a c 且//b c ，则c 等于（）A.0B.aC.bD.不存在这样的向量【答案】A 【解析】【分析】由零向量与任意向量共线再结合已知条件得出.【详解】因为向量a 与b是两个不平行的向量，且//a c 且//b c ，所以c 等于0 ，故选：A5.若复数()22i m m m -+是纯虚数，则实数m 的值为（）A.0B.2C.3D.0或2【答案】B 【解析】【分析】根据复数的概念列方程求解即可得实数m 的值.【详解】因为复数()22i m m m -+是纯虚数，所以220m m m ⎧-=⎨≠⎩，解得2m =.故选：B .6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 是函数sin y x =图象的最高点，Q 是sin y x =的图象与x 轴的交点，则OP PQ +的坐标是（）A.π,12⎛⎫⎪⎝⎭B.()π,0 C.()π,0- D.()2π,0【答案】B 【解析】【分析】由向量加法以及正弦函数对称中心（零点）即可得解.【详解】由题意以及题图可知()()π,0,0,0Q O ，所以()π,0O O P Q PQ ==+.故选：B.7.抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.现在“解放碑”是重庆的地标性建筑，吸引众多游客来此打卡拍照.如图甲所示，解放碑的底座外观呈正八棱柱形，记正八棱柱的底面是正八边形ABCDEFGH ，如图乙所示，若O 是正八边形ABCDEFGH 的中心，且(),AC xAB y AH x y =+∈R，则x y +=（）A.1+ B.1 C.2 D.3【答案】C 【解析】【分析】设正八边形的边长为1，作平行四边形AHCM ，则根据向量的平行四边形法则可以找到关系，即可求解.【详解】由图可知角度关系，外角45θ= ，作平行四边形AHCM ，180290BCM θ∠=-=oo，设八边形的边长为1，则BM =AC AM AH xAB y AH =+=+uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r，所以111AM x AB+===+，1y =，所以2x y +=+故选：C8.已知点O 为ABC 外接圆的圆心，且0OA OB CO =++，则ABC 的内角A 等于（）A.30B.60C.90D.120【答案】A 【解析】【分析】由题意可得OA OB OC +=，又因为OA OB OC == ，所以四边形OACB 为菱形，且60CAO ∠= ，即可得答案.【详解】由0OA OB CO =++ 得，OA OB OC +=，由O 为ABC 外接圆的圆心，所以OA OB OC ==，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB 为菱形，且60CAO ∠= ，故30CAB ∠= ，即ABC 的内角A 等于30 .故选：A.9.复数()i ,R z x y x y =+∈满足条件4i 2z z -=+，则24x y +的最小值为（）A.2 B.4 C. D.16【答案】C 【解析】【分析】根据复数的模整理得到23x y +=，再利用基本不等式计算可得.【详解】由()i ,R z x y x y =+∈且4i 2z z -=+，得()4i 2i x y x y +-=++，∴()()222242x y x y +-=++，整理得23x y +=，∴22422x y x y +=+≥，当且仅当222x y =，即32x =，34y =时，24x y +取得最小值.故选：C10.已知向量,,a b c 满足1,a b == 3,,302a b a c b c ⋅---==，则c r 的最大值等于（）A. B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】由150AOB ∠=︒，cos 30ACB ∠=︒即得到点,,,A O B C 共圆，再利用余弦定理和正弦定理求解即可.【详解】设OA a,OB b,OC c ===，因为1,a b == 32a b ⋅=- ，所以3cos 1502a b AOB AOB a b ⋅∠==-⇒∠=︒，又,30a c b c --=，所以cos 30ACB ∠=︒，所以点,,,A O B C 共圆，要使c 的最大，即OC 为直径，在AOB 中，由余弦定理可得2222cos 7AB OA OB OA OB AOB AB =+-⋅∠=⇒=，又由正弦定理2sin ABR AOB==∠，即c的最大值等于，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是由向量之间的夹角确定点,,,A O B C 共圆，再由正弦和余弦定理求解即可.二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11.复平面上，点()2,1-对应的复数z =______．【答案】2i-【解析】【分析】根据复数的坐标表示写出答案.【详解】由复数的几何意义知2i z =-故答案为：2iz =-12.已知平面向量,a b ，()()1,2,3,a b λ== ，若a b ⊥.则λ=_________.【答案】32-【解析】【分析】利用向量垂直的充分必要条件代入点的坐标求出即可.【详解】因为a b ⊥ ，所以()()31,23,3202a b λλλ⋅=⋅=+=⇒=- ，故答案为：32-.13.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa ±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）14.已知平面内的向量a 在向量b 上的投影向量为12b，且1a b == ，则2a b -= _________.【解析】【分析】由投影向量的公式求出12a b ⋅= ，再利用模长公式求出结果即可.【详解】因为向量a 在向量b 上的投影向量为12b，且1a b == ，所以1122a b b b a b bb ⋅⨯=⇒⋅=，所以2a b -===15.已知非零向量,a b ，满足a b a b ==- ，则,a b 的夹角为_____________.【答案】π3【解析】【分析】设1a b a b ==-=，再由模长的计算得到向量的数量积，最后代入夹角公式即可.【详解】设1a b a b ==-=，则()2221212a ba ab b a b -=-⋅+=⇒⋅= ，所以1cos ,2a b a b a b ⋅==⋅，所以,a b的夹角为π3，故答案为：π3.16.设复数z 满足2i 2i 4z z ++-=，则1i z --的取值范围是_________.【答案】⎡⎣【解析】【分析】由复数的几何意义确定复数z 复平面上的对应点的轨迹，结合图象确定可得结果.【详解】设复数z 在复平面上的对应点为Z ，复数1i +的在复平面上的对应点为(1,1)P ，由2i 2i 4z z ++-=，可知点Z 的轨迹为以()0,2A ，()0,2B -为端点的一条线段，又1i z --表示点Z 到点()1,1的距离，观察图象可知当i z =时，1i z --取最小值，最小值为1，当2i z =-时，1i z --取最，所以1i z --取值范围为⎡⎣.故答案为：⎡⎣.三、解答题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222a b ac c -=-．（1）求B ；（2）若5b =，2cos 10C =，求c ．【答案】（1）π4（2）7【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行求解；（2）先利用同角三角函数关系得到2sin 10C =，再使用正弦定理求解【小问1详解】2222a b ac c -=-变形为：2222a c b ac +-=，所以2222cos 22a cb B ac +-==，因为()0,πB ∈，所以π4B =，【小问2详解】因为2cos 10C =()0,πC ∈，所以272sin 1cos 10C C =-=由正弦定理得：sin sin b cB C =，即5π72sin 410=解得：7c =18.在①2c s 2o c A ab=-，②()cos 2cos b C a c B =-中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答.问题：在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知_________.（1）求B ；（2）若ABC 的外接圆半径为2，且1cos cos 8A C =-，求a c +.注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，π3B =（2）a c +=【解析】【分析】（1）根据正余弦定理边角互化，即可结合三角恒等变换求解，（2）根据余弦的和差角公式可得3sin sin 8A C =，进而利用率正弦定理可得6ac =，由余弦定理即可求解.【小问1详解】选择条件①：因为2c s 2o c A ab=-，在ABC 中，由余弦定理可得222222b c a c abc b+--=，由余弦定理可得222a c b ac +-=，则2221cos 222a cb ca B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.选择条件②：因为()cos 2cos b C a c B =-，由正弦定理得，sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=.即()sin 2sin cos B C A B +=，则sin 2sin cos A A B =，因为()0,π,sin 0A A ∈≠，所以1cos 2B =，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为π3B =，所以2π3A C +=，即()1cos 2A C +=-，即1cos cos sin sin 2A C A C -=-，又因为1cos cos 8A C =-，所以3sin sin 8A C =.由于ABC 的外接圆半径为2R =，由正弦定理可得sin sin 44a cA C =⋅，可得6ac =，所以2sin b R B ==，由余弦定理可得()2222cos 312b a c ac B a c ac =+-=+-=，所以a c +=.19.已知集合{}*12(,,),,1,2,(2)n n i S X X x x x x N i n n ==∈=≥ .对于()()1212,,,,,,,n n n A a a a B b b b S ==∈ ，给出如下定义：①()1122,,,n n AB b a b a b a =---；②()()1212,,,,,,()n n a a a a a a λλλλλ=∈R ；③A 与B 之间的距离为1(,)niii d A B a b==-∑.说明：()()1212,,,,,,n n a a a b b b = 的充要条件是(1,2,,)i i a b i n == .（1）当5n =时，设(1,2,1,2,5),(2,4,2,1,3)A B ==，求(,)d A B ；（2）若,,n A B C S ∈，且存在0λ>，使得AB BC λ=，求证：(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=；（3）记20(1,1,,1)I S =∈ .若20,A B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，求(,)d A B 的最大值.【答案】（1）(,)7d A B =（2）见解析（3）26【解析】【分析】（1）当5n =时，直接利用1(,)niii d A B a b==-∑求得(,)d A B 的值（2）设{}{}{}121212,,,,,,,n n n A a a a B b b b C c c c === ，则由题意可得0λ∃>，使得()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,i n = ，得出i i b a -与i i c b -同为非负数或同为负数，由此计算(,)(,)d A B d B C +的结果，计算(,)d A C 的结果，从而得出结论（3）设(1,2,20)i i b a i -= 中有(20)m m ≤项为非负数，20m -项为负数不妨设1,2i m = 时，0i i b a -≥，1,2,,20i m m =++ 时，0i i b a -<利用(,)(,)13d I A d I B ==，得到202011i ii i a b ==∴=∑∑得到()()2012121,2i i m m i d A B b ab b b a a a =⎡⎤=-=+++-+++⎣⎦∑ 求出12m a a a m +++≥ ，1213m b b b m +++≤+ ，即可得到(,)d A B 的最大值得到(,)26d A B ≤，再验证得到成立的条件即可；【小问1详解】解：由于1(,)n i i i d A B a b==-∑，(1,2,1,2,5),(2,4,2,1,3)A B ==则(,)12241221537d A B =-+-+-+-+-=故(,)7d A B =【小问2详解】解：设{}{}{}121212,,,,,,,n n n A a a a B b b b C c c c === 0,λ∃> 使AB BC λ= ，0,λ∴∃>使得：11221122(,,)(,)n n n n b a b a b a c b c b c b λ---=--- ，0λ∴∃>，使得()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,i n = ，i i b a ∴-与(1,2,)i i c b i n -= 同为非负数或同为负数，i i i i i ib ac b c a ∴-+-=-1111(,)(,)()(,)n n n ni i i i i i i i i i i i i i d A B d B C a b b c b a c b c a d A C ====∴+=-+-=-+-=-=∑∑∑∑，故得证；【小问3详解】解：201(,)i ii d A B b a==-∑设(1,2,20)i i b a i -= 中有(20)m m ≤项为非负数，20m -项为负数不妨设1,2i m = 时，0i i b a -≥1,2,,20i m m =++ 时，0i i b a -<所以201(,)i ii d A B b a==-∑121212201220[()()][()()]m m m m m m b b b a a a a a a b b b ++++=+++-++++++-++ (,)(,)13d I A d I B ==202011(1)(1)i i i i a b ==∴-=-∑∑，整理得202011i i i i a b ===∑∑201(,)i i i d A B b a =∴=-∑()()()()21212201220i m m m m m m b b b a a a a a a b b b ++++=+++-++⋯+++++-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 12122[()]m m b b b a a a =+++-+++ 1212201220()()m m m b b b b b b b b b +++++=+++-+++ (1320)(20)113m m ≤+--⨯=+又121m a a a m m +++≥⨯= 1212(,)2[()]2[(13)]26m m d A B b b b a a a m m ∴=+++-+++≤+-= 即(,)26d A B ≤对于(1,1,1,,14),(14,1,1,1)A B == 有20,A B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==(,)26d A B =综上所得，(,)d A B 的最大值为26。
高一数学测试试题及答案
高一数学测试试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = sin(x)2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B等于（）A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}3. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的对称轴是（）A. x = -2B. x = 2C. x = 0D. x = 44. 计算(2x - 1)^5的展开式中，x^3的系数是（）A. 10B. -10C. 20D. -205. 已知等差数列{a_n}的首项a_1=3，公差d=2，则a_5等于（）B. 11C. 9D. 76. 函数y = 2x + 3的图象与x轴的交点坐标是（）A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (-1.5, 0)D. (1.5, 0)7. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(-1)的值（）A. 6B. 4C. 2D. 08. 圆x^2 + y^2 = 4的圆心坐标是（）A. (0, 0)B. (2, 2)C. (-2, -2)D. (1, 1)9. 已知向量a = (3, 1)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的点积为（）A. -1B. 1C. 5D. -510. 计算sin(π/6)的值是（）B. √3/2C. 1/√2D. √2/2二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数y = x^2 - 6x + 9的最小值是______。
2. 已知等比数列{a_n}的首项a_1=2，公比q=3，则a_4等于______。
3. 函数f(x) = 3x - 5的反函数是______。
4. 已知向量a = (2, -3)，向量b = (4, -6)，则向量a与向量b平行，向量a与向量b的夹角是______。
5. 计算cos(π/3)的值是______。
高一数学测试题及答案
高一数学测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x + 1答案：B2. 计算下列极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\]A. 0B. 1C. 2D. -1答案：C3. 已知向量\(\vec{a} = (3, -2)\)和\(\vec{b} = (1, 2)\)，求这两个向量的点积。
A. 5B. -5C. 1D. -1答案：B4. 以下哪个不等式是正确的？A. \(\sqrt{2} < 1.5\)B. \(\sqrt{2} > 1.5\)C. \(\sqrt{2} = 1.5\)D. \(\sqrt{2} < 1\)答案：B5. 计算以下定积分：\[\int_{0}^{1} x^2 dx\]A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A6. 以下哪个是复数的共轭？A. \(z = 3 + 4i\)的共轭是\(3 - 4i\)B. \(z = 3 - 4i\)的共轭是\(3 + 4i\)C. \(z = -3 + 4i\)的共轭是\(-3 - 4i\)D. \(z = -3 - 4i\)的共轭是\(-3 + 4i\) 答案：A7. 以下哪个是二项式定理的应用？A. \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)B. \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)C. \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)D. \((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\) 答案：C8. 以下哪个是等差数列的通项公式？A. \(a_n = a_1 + (n - 1)d\)B. \(a_n = a_1 - (n - 1)d\)C. \(a_n = a_1 + nd\)D. \(a_n = a_1 - nd\)答案：A9. 以下哪个是等比数列的通项公式？A. \(a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\)B. \(a_n = a_1 \cdot r^n\)C. \(a_n = a_1 \cdot \frac{1}{r^{n-1}}\)D. \(a_n = a_1 \cdot \frac{1}{r^n}\)答案：A10. 以下哪个是三角恒等式？A. \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)B. \(\sin^2 x + \cos^2 x = 0\)C. \(\sin^2 x + \cos^2 x = 2\)D. \(\sin^2 x + \cos^2 x = x\)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知\(\sin \theta = \frac{1}{2}\)，求\(\cos \theta\)的值。
高一数学测试三答案详解
必修五模块测试三一．填空题。
1．在△ABC 中；角,A B 均为锐角；且,sin cos B A >则△ABC 的形状是 。
1. 钝角三角形。
提示：由提示知：sin()sin ,222A B A B A B πππ->⇒->+<即。
2．在△ABC 中；若B a b sin 2=；则A 等于 。
2.015030或。
提示：由题设以及正弦定理得：sinB=2sinAsinB ；sinA=12.3.一群羊中；每只羊的重量数均为整千克数；其总重量为65千克；已知最轻的一只羊重7千克；除去一只10千克的羊外；其余各只羊的千克数恰能组成一等差数列；则这群羊共有 .：设这群羊共有n+1只；公差为d （d ∈N *）. 由题意；得7n+d n n 2)1(-=55；整理；得14n+n （n-1）d=110. 分别把A 、B 、C 、D 代入验证；只有B 符合题意；此时n=5；d=2. 4.已知点P （x ；y ）满足x+2y=3；那么2x +4y 的最小值是 。
4.。
提示：可求AB 的直线方程为x+2y=3.∴2x +4y =2x +22y ≥242222222322=+=•+yx y x . 5.设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ；则z ＝2x ＋3y 的最大值为5．18 。
提示：由约束条件作出可行域如右图的△ABC ； 依题意得A （1；0）；B （0；1）；C （3；4）作直线l 0:2x ＋3y平移直线l 0；得目标函数z ＝2x ＋3y 在C 点处取得最大值； 最大值为18.6.在等差数列{}n a 中； 12008a =-；其前n 项的和为n S ；若20072005220072005S S -=；则2008_______S =.6.-2008.提示：设公差是d ；由20072005220072005S S -=；得()()11100310022a d a d +-+=；2d ∴=；20081200810042007S a d ∴=+⨯()1200820072008a =⨯+=-。
高一数学测试题及答案
高一数学测试题及答案# 高一数学测试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(-1)的值。
A. -2B. 0C. 2D. 42. 已知等差数列的前三项为3，7，11，求该数列的通项公式。
A. an = 2n + 1B. an = n^2 + 2C. an = 4n - 1D. an = 2n - 13. 函数y = ln(x)的定义域是：A. (0, +∞)B. (-∞, +∞)C. (-∞, 0)D. (-∞, 0] ∪ [0, +∞)4. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25，求圆心坐标。
A. (-2, -3)B. (2, 3)C. (-3, 2)D. (3, -2)5. 若sinθ = 3/5，且θ为锐角，求cosθ的值。
A. 4/5B. √(1 - (3/5)^2)C. -4/5D. √(1 - (4/5)^2)答案：1. C2. C3. A4. B5. B二、填空题（每空2分，共10分）1. 已知函数f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，若f(0) = 4，则d的值为______。
2. 根据题目，我们可以知道等差数列的公差d = 7 - 3 = 4，因此通项公式为an = a1 + (n-1)d，将a1 = 3代入，得到an = 3 + (n-1)* 4 = 4n - 1。
3. 对数函数的定义域是其内部参数大于0的范围，因此y = ln(x)的定义域为x > 0。
4. 圆的方程中，圆心坐标可以通过公式(a, b) = (2, 3)得到，其中a 和b分别是圆的方程中的常数项。
5. 根据三角函数的基本恒等式sin^2θ + cos^2θ = 1，我们可以解得cosθ = √(1 - sin^2θ) = √(1 - (3/5)^2)。
三、解答题（每题10分，共30分）1. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的极值点。
高一数学下学期三月检测试题含解析 试题
雅礼中学2021-2021学年高一数学下学期三月检测试题〔含解析〕时量：120分钟分值：150分一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.()f x =的定义域A ，函数()()ln 2g x x =-的定义域为B ，那么集合A B 为〔 〕 A. 〔2，3〕 B. (]2,3C. [)3,2-D. 〔-3，2〕【答案】C 【解析】 【分析】由函数的定义域，分别算出A 和B ，然后根据集合交集的定义，即可得到此题答案. 【详解】由290x -≥，得33x -≤≤，所以{|33}A x x =-≤≤， 又由20x ->，得2x <，所以{|2}B x x =<， 所以{|32}A B x x ⋂=-≤<. 应选：C【点睛】此题主要考察函数的定义域和集合的交集运算，属根底题.πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A. 向左平行挪动π3个单位长度B. 向右平行挪动π3个单位长度C. 向左平行挪动π6个单位长度D. 向右平行挪动π6个单位长度【答案】D 【解析】试题分析：由题意，为得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点向右平行挪动π6个单位长度，应选D. 【考点】三角函数图象的平移【名师点睛】此题考察三角函数图象的平移，在函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象平移变换中要注意“ω〞的影响，变换有两种顺序：一种sin y x =的图象向左平移ϕ个单位得sin()y x ϕ=+的图象，再把横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sin()y x ωϕ=+的图象，另一种是把sin y x =的图象横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sin y x ω=的图象，再向左平移ϕω个单位得sin()y x ωϕ=+的图象． ()23,6a k =-，()2,1b =，且a b ⊥，那么实数k =〔 〕A. 92-B. 0C. 3D.152【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量垂直的等价条件，列出方程求解，即可得到此题答案. 【详解】因为向量()23,6a k =-，()2,1b =，且a b ⊥， 所以(23)2610k -⨯+⨯=，解得0k =. 应选：B【点睛】此题主要考察平面向量垂直的等价条件的应用，属根底题.()()21sin ,10,2,0.x x x f x x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩那么满足()1f a =的a 的值是〔 〕A. 1，2±B. 1，2-C. 2-D. 1，2【答案】B【解析】 【分析】分10a -<<和0a ≥两种情况考虑，解得对应方程的结果，即可得到此题答案.【详解】假设10a -<<，那么()2()sin1f a a π==，得2a =-或者2a =〔舍去〕； 假设0a ≥，那么1()21a f a -==，得1a =.综上，2a =-或者1a =. 应选：B【点睛】此题主要考察分段函数的应用，表达了分类讨论的数学思想.α的终边经过点()3,P t ，且()()3sin 25k k Z πα+=-∈，那么t 等于〔 〕 A. 916-B. 94-C. 34- D. 94【答案】B 【解析】 【分析】35=-，求得方程的解，即可得到此题答案.【详解】因为角α的终边经过点()3,P t ，所以sin α=又3sin(2)sin 5k παα+==-，35=-，解得94t =-. 应选：B【点睛】此题主要考察利用三角函数的定义求参数.{}n a 的前n 项和n S ，假设12a =，312S =，那么6a =〔 〕A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】D 【解析】 【分析】由12a =，312S =，可算得d ，然后利用数列的通项公式，即可得到此题答案. 【详解】因为313312S a d =+=，又12a =， 所以2d =，所以61512a a d =+=. 应选：D【点睛】此题主要考察等差数列的通项公式和求和公式的应用，属根底题. 7.0θπ<<，且1sin cos 5θθ-=，那么tan θ的值等于〔 〕 A.43B.34 C. 34-D. 43-【答案】A 【解析】 【分析】由1sin cos 5θθ-=和22sin cos 1θθ+=，联立消cos θ，即可求得此题答案. 【详解】因为1sin cos 5θθ-=，又22sin cos 1θθ+=，联立消cos θ，得225sin 5sin 120θθ--=，解得4sin 5θ=或者3sin 5θ=-〔舍去〕，所以3cos 5θ=，sin 4tan cos 3θθθ==.应选：A【点睛】此题主要考察同角三角函数的根本关系的应用，考察学生的运算求解才能.ABC ∆中，的三边a 、b 、c 成等比数列，且c =2a ，那么cos B 等于〔 〕A.23B.12C.24D.34【答案】D 【解析】 【分析】由三边a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，得2b a =，然后直接套入余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，即可得到此题答案. 【详解】因为三边a 、b 、c 成等比数列，所以2b ac =，又2c a =，那么2b a =，所以222222423cos 2224a cb a a a B ac a a +-+-===⋅.应选：D【点睛】此题主要考察等比数列与余弦定理的综合应用，考察学生的运算求解才能. 9.如图，AB 是的O 的直径，且半径为1，点C 、D 是半圆弧AB 上的两个等三分点，那么向量AD 在向量CA 上的投影等于〔 〕A.323 C. 3 D. 32-【答案】D 【解析】 【分析】求得AD 与CA 的夹角和||AD 的大小，套用公式即可得到此题答案. 【详解】由题，得30CAD BAD ︒∠=∠=， 连接BD ，易得90ADB ︒∠=， 在Rt ABD ∆中，2AB =，所以3AD =，所以向量AD 在向量CA 上的投影33||cos150322AD ︒⎛⎫==⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭. 应选：D【点睛】此题主要考察向量a 在b 方向上的投影公式的应用.ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，假设ABC ∆的面为S ，且()2243S a b c =+-，那么sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔 〕A. 1B.22C.624D.62+【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理进展化简求出C 的值，然后利用两角和差的正弦公式进展求解即可．【详解】解：由()22a b c =+-，得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，∵ 2222cos a b c ab C +-=，∴ sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=即2sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵ 0C π<<， ∴ 5666C πππ-<-<， ∴ 66C ππ-=，即3C π=，那么sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1222+⨯=应选D ．【点睛】此题主要考察解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进展计算是解决此题的关键．ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，假设1AE AF ⋅=，那么λ的值是〔 〕A .3B. 2C.32D.52【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用向量数量积的定义和平面向量根本定理整理计算即可确定λ的值.【详解】由题意可得：()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+113AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭，且：224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-， 故()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭，解得：2λ=. 应选B .【点睛】此题主要考察平面向量数量积的定义与运算法那么，平面向量根本定理及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.{}n a 满足118a =，12n n a a n +-=，那么na n的最小值为〔 〕A.294B. 1C. 152D.385【答案】C 【解析】 【分析】由累加法，可得218n a n n =-+，然后借助函数的单调性，即可确定na n的最小值. 【详解】由题，得()()()()11112211n n n n n n n a a a a a a a a a a ++---=-+-+-++-+22(1)2(2)2118n n n =+-+-++⨯+(1)2182n n +=⨯+ 218n n =++，所以218n a n n =-+，218181n a n n n n n n-+==+-，因为双勾函数18()f x x x=+在递减，在)+∞递增， 且541538,4255a a ==， 所以n a n 的最小值为152.应选：C【点睛】此题主要考察利用累加法求通项公式以及借助函数的单调性确定数列的最小项，考察学生的分析问题与解决问题的才能.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分. 13.2233cossin 88ππ-=____【答案】2-【解析】 解答：2233cos sin 88ππ-=cos 6π8=−cos π4=−2， 故答案为−2. ()sin sin f x x x =+有如下四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；③()f x 最大值为2；④()f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______．【答案】①③ 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义断定函数()y f x =的奇偶性，可判断出命题①的正误；在,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，去绝对值，化简函数()y f x =的解析式，可判断函数()y f x =在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，可判断命题②的正误；由22f π⎛⎫=⎪⎝⎭以及()2f x ≤可判断出命题③的正误；化简函数()y f x =在区间[],ππ-上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误.【详解】对于命题①，函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，且()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，该函数为偶函数，命题①正确；对于命题②，当2x ππ<<时，sin 0x >，那么()sin sin 2sin f x x x x =+=，那么函数()y f x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，命题②错误；对于命题③，sin 1x ∴≤，sin 1x ≤，()2f x ∴≤，又22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =的最大值为2，命题③正确；对于命题④，当0πx <<时，sin 0x >，()sin sin 2sin 0f x x x x =+=>， 由于该函数为偶函数，当0x π-<<时，()0f x >， 又()()()00f f f ππ=-==，所以，该函数在区间[],ππ-上有且只有三个零点.因此，正确命题的序号为①③. 故答案为：①③.【点睛】此题考察与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考察推理才能，属于中等题.15.πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 【答案】45【解析】 【分析】利用和差公式恒等变换，即可得到此题答案.【详解】因为13cos sin cos sin sin sin 62222πααααααα⎛⎫-+=++=+ ⎪⎝⎭6πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 故答案为：45【点睛】此题主要考察利用和差公式恒等变换求值，考察学生的运算求解才能.n S 是数列{}n a 的前项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，那么n a =______.【答案】()1,11,21n n n n -=⎧⎪⎨≥⎪-⎩【解析】 【分析】将11n n n a S S ++=转化为11n n n n S S S S ++-=，两边除以1n n S S +转化为等差数列，先求得n S 的表达式，再利用1n n n a S S -=-求得n a 的表达式..【详解】.由11n n n a S S ++=得11n n n n S S S S ++-=，两边除以1n n S S +得1111n nS S +-=-，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11111S a ==-为首项，公差为1-的等差数列，故1n n S =-.即1n S n =-.当2n ≥时，()111111n n n a S S n n n n -⎛⎫=-=---= ⎪--⎝⎭，1a 不符合上式，故()1,11,21n n a n n n -=⎧⎪=⎨≥⎪-⎩. 11n n n a S S ++=，通过将1n a +转化为1n n S S +-，可将题目所给条件配成有关1,n n S S +的等差数列的形式，由此求得n S 的表达式，在根据()12n n n a S S n -=-≥这个常用的关系式，求得n a 1n =时是否符合，不符合的话要写成分段的形式.三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.()sin ,cos a x x =，()3,1b =-，[]0,πx ∈.〔1〕假设a 与b 一共线，求x 的值；〔2〕记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值以及对应的x 的值. 【答案】〔1〕23x π=；〔2〕()f x 的最大值为2以及对应的x 为22()3k k Z ππ+∈. 【解析】 【分析】〔1〕由平行向量的等价条件，列出方程求解即可得到此题答案；〔2〕由题，得()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令2()62x k k Z πππ-=+∈，即可得到此题答案.【详解】〔1〕因为向量()sin ,cos a x x =，()3,1b =-，且a 与b 一共线，所以sin 0x x --=，化简得tan x =23x π=；〔2〕由题，得()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令2()62x k k Z πππ-=+∈，得22()3x k k Z ππ=+∈，所以()f x 的最大值为2，以及对应的x 的值是22()3k k Z ππ+∈.【点睛】此题主要考察平面向量与三角函数的图象与性质的综合应用，属根底题.{}n a 是等比数列，其中51a =，且2a ，31a +，4a 成等差数列.〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕数列{}n a 的前n 项和记为n S ，证明：32n S <.【答案】〔1〕512n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；〔2〕证明见解析【解析】 【分析】〔1〕由51a =，且2a ，31a +，4a 成等差数列，可得()()23112211q q q q q -----+=+=+，解方程可得q ，从而可以得到此题答案；〔2〕由〔1〕得()11132112nnn a q S q-⎡⎤⎛⎫==-⎢⎥⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦，从而可以得到此题答案.【详解】〔1〕由4511a a q =⋅=，得41a q -=，从而321a a q q -==，2231a a q q -==，3141a a q q -==，又2a ，31a +，4a 成等差数列， 所以()32421a a a +=+即()()23112211qq q q q -----+=+=+，解得12q =，所以4116a q -==，1511111622n n n n a a q ---⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；〔2〕由〔1〕得，()111611213213211212n nn na q S q⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪-⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦===-<⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.【点睛】此题主要考察等差数列和等比数列的综合应用，考察学生的运算求解才能.ABC ∆中，三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，三内角A ，B ，C 成等差数列.〔1〕求角B 的值；〔2〕假设2b =，且ABC ∆a ，c ； 〔3〕假设b =L 的范围.【答案】〔1〕3B π=；〔2〕2a =，2c =；〔3〕L ∈【解析】 【分析】〔1〕由题得，2B A C =+，结合A B C π++=，即可求得角B ；〔2〕由面积公式，得4ac =，由余弦定理，得228a c +=，结合两个式子即可得到此题答案；〔3〕利用正弦定理、三角形内角和等于π，和差公式，恒等变形得6L A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭再结合A 的取值范围，即可得到此题得到.【详解】〔1〕因为三内角A ，B ，C 成等差数列，所以2B A C =+，又A B C π++=，所以3B π=；〔2〕因为ABC ∆1sin 2ac B =4ac =①， 又2222cos b a c ac B =+-，所以224a c ac =+-，得228a c +=②， 综合①②得，2a =，2c =； 〔3〕由题，得2sin sin sin a b cA B C===，所以2sin ,2sin a A b B ==，所以周长22sin 2sin 2sin 2sin 3L a b c A B A A π⎛⎫=++=+=+- ⎪⎝⎭3sin 6A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为203A π<<，所以5666A πππ<+<， 所以1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以6L A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【点睛】此题主要考察正余弦定理、三角形面积公式以及三角函数的图象与性质的综合问题，主要考察学生的转化才能和运算才能. 20.下表是一个“数阵〞：其中每行都是公差不为0等差数列，每列都是等比数列，ij a 表示位于第i 行第j 列的数. 〔1〕写出45a 的值：〔2〕写出ij a 的计算公式，以及第2021个1所在“数阵〞中所在的位置.【答案】〔1〕58；〔2〕第2021个1所在“数阵〞中所在的位置是第2021行20192列 【解析】 【分析】〔1〕设第一、二、三行的公差分别为,,d m n ，由题得22(1)13(1)(12)1(12)13m n d n m d ⎧-=-⎪+-=⎨⎪+=+⎩，求出,,d m n 的值，即可得到此题答案；〔2〕令1112i ij a j -⎛⎫== ⎪⎝⎭，2020i =，求j ，即可得到此题答案.【详解】〔1〕设第一、二、三行的公差分别为,,d m n ，那么可得到前三行前四列的表如下：1-3n 1-2n 1-n 1由每列都是等比数列，得22(1)13(1)(12)1(12)13m n d n m d⎧-=-⎪+-=⎨⎪+=+⎩，化简得22102m m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由题知，0m ≠，所以11,,124m n d ===，代入表中，可得，每列的公比为12，且第i 行的公差为11()2i -，所以34111128a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，3454115(51)28a a ⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭；〔2〕由〔1〕得，111111122i i i a a --⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以111111111(1)(1)2222i i i i ij i a a j j j ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令1112i ij a j -⎛⎫== ⎪⎝⎭，当1i =时，012j ==，当2i =时，122j ==，当3i =时，242j ==，2020i =时，20192j =.所以第2021个1所在“数阵〞中所在的位置是第2021行20192列.【点睛】此题主要考察数列的创新应用问题，考察学生的逻辑思维才能，分析问题和解决问题的才能.21.如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .〔1〕设BO x AB y AC =+，求x y +的值； 〔2〕假设6AB AC AO EC ⋅=⋅，求ABAC的值.【答案】〔1〕12-；〔2【解析】 【分析】〔1〕由,,E O C 三点一共线，得1(1)(1)3AO t AE t AC tAB t AC =+-=+-，又由AO mAD =，得()222m m mAO AB AC AB AC =+=+，由此解得3412t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即可得到此题答案；〔2〕根据平面向量数量积的运算，逐步化简，即可得到此题答案. 【详解】〔1〕因为,,E O C 三点一共线，所以1(1)(1)3AO t AE t AC tAB t AC =+-=+-， 设AO mAD =，所以()222m m mAO AB AC AB AC =+=+， 所以13212m t m t ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3412t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；所以1144AO AB AC =+，11314444BO BA AO AB AB AC AB AC =+=-++=-+， 所以12x y +=-；〔2〕因为1166()43AO EC AB AC AB AC ⎛⎫⋅=⨯+-+ ⎪⎝⎭22312233AB AB AC AC ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭2213||||22AB AB AC AC =-+⋅+又6AB AC AO EC ⋅=⋅， 所以2213||||022AB AC -+=， 得||3||AB AC =，即ABAC=【点睛】此题主要考察平面向的数量积和平面向量的线性运算，考察学生的分析问题和解决问题的才能以及运算求解才能.{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，*N n ∈.〔1〕假设21n a n =+，且11b =，求数列{}n b 的通项公式；〔2〕设10a t =<，()*N n n b t n =∈，求t 的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()M2,2m∈-. 【答案】〔1〕n b n =；〔2〕1,02t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 〔1〕由()11112n n n n b b a a ++-=-=，11b =，即可得到此题答案； 〔2〕由累加法，得2nn a t t =-，然后分1t <-，1t =-和10t -<<考虑，即可得到此题答案.【详解】〔1〕由题，得()11112n n n n b b a a ++-=-=， 所以{}n b 为等差数列，且11b =， 所以n b n =； 〔2〕()()111,22n n n n n n n n b t a a b b t t +++=∴-=-=-当2n ≥时，()()()()()()11221111222222n n n n n n n n n n a a a a a a a a t t t t t t t t t------=-+-+⋯+-+=-+-+⋯+-+=-，当1n =时，1a t =合适上式，22212120,22n n n n n n a t tt a t t t a t t t--∴=-∴<∴=->-=-<- ①1t <-时，由指数函数的单调性知数列{}n a 不存在最大值和最小值； ②1t =-时，数列{}n a 的最大值为3，最小值为-1，33(2,2)1=-∉--； ③10t -<<时，由指数函数的单调性知，数列{}n a 的最大值222M a t t ==-，最小值为1m a t ==.由210222t t tt -<<⎧⎪⎨--<<⎪⎩，解得102t -<<， 综上所述，1,02t ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时满足条件. 【点睛】此题主要考察数列与函数的综合问题，涉及到分类讨论思想的应用，考察学生的逻辑思维才能，以及分析问题和解决问题的才能.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
2019-2020学年高一数学下学期三月检测试题(含解析)
2019-2020学年高一数学下学期三月检测试题（含解析）时量：120分钟分值：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数的定义域A，函数的定义域为B，则集合为（）A. （2，3）B.C.D. （-3，2）【答案】C【解析】【分析】由函数的定义域，分别算出A和B，然后根据集合交集的定义，即可得到本题答案.【详解】由，得，所以，又由，得，所以，所以.故选：C【点睛】本题主要考查函数的定义域和集合的交集运算，属基础题.2.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点A. 向左平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】试题分析：由题意，为得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，故选D.【考点】三角函数图象的平移【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，在函数的图象平移变换中要注意“”的影响，变换有两种顺序：一种的图象向左平移个单位得的图象，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，另一种是把的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，再向左平移个单位得的图象．3.已知向量，，且，则实数（）A. B. 0 C. 3 D.【答案】B【解析】【分析】由平面向量垂直的等价条件，列出方程求解，即可得到本题答案.【详解】因为向量，，且，所以，解得.故选：B【点睛】本题主要考查平面向量垂直的等价条件的应用，属基础题.4.函数则满足的a的值为（）A. ，B. ，C.D. 1，【答案】B【解析】【分析】分和两种情况考虑，解得对应方程的结果，即可得到本题答案.【详解】若，则，得或（舍去）；若，则，得.综上，或.故选：B【点睛】本题主要考查分段函数的应用，体现了分类讨论的数学思想.5.已知角的终边经过点，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题，可得，求得方程的解，即可得到本题答案.【详解】因为角的终边经过点，所以，又，所以，故选：B【点睛】本题主要考查利用三角函数的定义求参数.6.等差数列的前n项和，若，，则（）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】D【解析】【分析】由，，可算得d，然后利用数列的通项公式，即可得到本题答案.【详解】因为，又，所以，所以.故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和求和公式的应用，属基础题.7.已知，且，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由和，联立消，即可求得本题答案.【详解】因为，又，联立消，得，解得或（舍去），所以，.故选：A【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，考查学生的运算求解能力.8.在中，已知的三边a、b、c成等比数列，且c=2a，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由三边a、b、c成等比数列，且，得，然后直接套入余弦定理，即可得到本题答案.【详解】因为三边a、b、c成等比数列，所以，又，则，所以.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列与余弦定理的综合应用，考查学生的运算求解能力.9.如图，AB是的直径，且半径为1，点C、D是半圆弧AB上的两个等三分点，则向量在向量上的投影等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得与的夹角和的大小，套用公式即可得到本题答案.【详解】由题，得，连接BD，易得，在中，，所以，所以向量在向量上的投影.故选：D【点睛】本题主要考查向量在方向上的投影公式的应用. 10.在中，，，分别为角，，的对边，若的面为，且，则（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据三角形面积公式以及余弦定理进行化简求出的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【详解】解：由，得，∵，∴，即即，则，∵，∴，∴，即，则，故选D．【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．11.已知菱形的边长为2，，点，分别在边，上，，，若，则的值为（）A 3 B. 2 C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用向量数量积定义和平面向量基本定理整理计算即可确定的值.【详解】由题意可得：，且：，故，解得：.故选B.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知数列满足，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由累加法，可得，然后借助函数的单调性，即可确定的最小值.【详解】由题，得，所以，，因为双勾函数在递减，在递增，且，所以的最小值为.故选：C【点睛】本题主要考查利用累加法求通项公式以及借助函数的单调性确定数列的最小项，考查学生的分析问题与解决问题的能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.____【答案】【解析】解答：=cos=−cos=−，故答案为−.14.关于函数有如下四个结论：①是偶函数；②在区间上单调递增；③最大值为；④在上有四个零点，其中正确命题的序号是_______．【答案】①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性，可判断出命题①的正误；在时，去绝对值，化简函数的解析式，可判断函数在区间上的单调性，可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误.【详解】对于命题①，函数的定义域为，关于原点对称，且，该函数为偶函数，命题①正确；对于命题②，当时，，则，则函数在上单调递减，命题②错误；对于命题③，，，，又，所以，函数的最大值为，命题③正确；对于命题④，当时，，，由于该函数为偶函数，当时，，又，所以，该函数在区间上有且只有三个零点.因此，正确命题的序号为①③.故答案为：①③.【点睛】本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.15.已知，则________.【答案】【解析】【分析】利用和差公式恒等变换，即可得到本题答案.【详解】因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变换求值，考查学生的运算求解能力.16.设是数列的前项和，且，，则______.【答案】【解析】【分析】将转化为，两边除以转化为等差数列，先求得的表达式，再利用求得的表达式..【详解】.由，两边除以得，故数列是以为首项，公差为的等差数列，故.即.当时，，不符合上式，故.【点睛】本小题考查利用递推数列求数列的通项公式.题目所给已知条件是，通过将转化为，可将题目所给已知条件配成有关的等差数列的形式，由此求得的表达式，在根据这个常用的关系式，求得的表达式.最后要注意验证时是否符合，不符合的话要写成分段的形式.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，，.（1）若与共线，求的值；（2）记，求的最大值以及对应的的值.【答案】（1）；（2）的最大值为2以及对应的x为.【解析】【分析】（1）由平行向量的等价条件，列出方程求解即可得到本题答案；（2）由题，得，令，即可得到本题答案.【详解】（1）因为向量，，且与共线，所以，化简得，解得；（2）由题，得，令，得，所以的最大值为2，以及对应的x的值为.【点睛】本题主要考查平面向量与三角函数的图象与性质的综合应用，属基础题.18.已知实数列是等比数列，其中，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）数列的前n项和记为，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由，且，，成等差数列，可得，解方程可得q，从而可以得到本题答案；（2）由（1）得，从而可以得到本题答案.【详解】（1）由，得，从而，，，又，，成等差数列，所以即，解得，所以，；（2）由（1）得，.【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，考查学生的运算求解能力.19.在中，三内角A，B，C所对的边分别是，，，已知三内角A，B，C成等差数列.（1）求角B的值；（2）若，且的面积等于，求，；（3）若，求三角形的周长L的范围.【答案】（1）；（2），；（3）【解析】【分析】（1）由题得，，结合，即可求得角B；（2）由面积公式，得，由余弦定理，得，结合两个式子即可得到本题答案；（3）利用正弦定理、三角形内角和等于，和差公式，恒等变形得，再结合A的取值范围，即可得到本题得到.【详解】（1）因为三内角A，B，C成等差数列，所以，又，所以；（2）因为的面积等于，所以，得①，又，所以，得②，综合①②得，，；（3）由题，得，所以，所以周长，因为，所以，所以，所以.【点睛】本题主要考查正余弦定理、三角形面积公式以及三角函数的图象与性质的综合问题，主要考查学生的转化能力和运算能力.20.下表是一个“数阵”：…其中每行都是公差不为0等差数列，每列都是等比数列，表示位于第i行第j列的数.（1）写出的值：（2）写出的计算公式，以及第2020个1所在“数阵”中所在的位置.【答案】（1）；（2）第2020个1所在“数阵”中所在的位置是第2020行列【解析】【分析】（1）设第一、二、三行的公差分别为，由题得，求出的值，即可得到本题答案；（2）令，，求j，即可得到本题答案.【详解】（1）设第一、二、三行的公差分别为，则可得到前三行前四列的表如下：由每列都是等比数列，得，化简得，由题知，，所以，代入表中，可得，每列的公比为，且第i行的公差为，所以，；（2）由（1）得，，所以，令，当时，，当时，，当时，，时，.所以第2020个1所在“数阵”中所在的位置是第2020行列.【点睛】本题主要考查数列的创新应用问题，考查学生的逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力.21.如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.（1）设，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由三点共线，得，又由，得，由此解得，即可得到本题答案；（2）根据平面向量数量积的运算，逐步化简，即可得到本题答案.【详解】（1）因为三点共线，所以，设，所以，所以，解得；所以，，所以；（2）因为又，所以，得，即.【点睛】本题主要考查平面向的数量积和平面向量的线性运算，考查学生的分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力.22.已知数列与满足，.（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设，，求t的取值范围，使得有最大值M与最小值m，且.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，，即可得到本题答案；（2）由累加法，得，然后分，和考虑，即可得到本题答案【详解】（1）由题，得，所以为等差数列，且，所以；（2）当时，，当时，适合上式，①时，由指数函数的单调性知数列不存在最大值和最小值；②时，数列的最大值为3，最小值为-1，；③时，由指数函数的单调性知，数列的最大值，最小值为.由，解得，综上所述，时满足条件.【点睛】本题主要考查数列与函数的综合问题，涉及到分类讨论思想的应用，考查学生的逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力.2019-2020学年高一数学下学期三月检测试题（含解析）时量：120分钟分值：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数的定义域A，函数的定义域为B，则集合为（）A. （2，3）B.C.D. （-3，2）【答案】C【解析】【分析】由函数的定义域，分别算出A和B，然后根据集合交集的定义，即可得到本题答案.【详解】由，得，所以，又由，得，所以，所以.故选：C【点睛】本题主要考查函数的定义域和集合的交集运算，属基础题.2.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点A. 向左平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】试题分析：由题意，为得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，故选D.【考点】三角函数图象的平移【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，在函数的图象平移变换中要注意“”的影响，变换有两种顺序：一种的图象向左平移个单位得的图象，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，另一种是把的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，再向左平移个单位得的图象．3.已知向量，，且，则实数（）A. B. 0 C. 3 D.【答案】B【解析】【分析】由平面向量垂直的等价条件，列出方程求解，即可得到本题答案.【详解】因为向量，，且，所以，解得.故选：B【点睛】本题主要考查平面向量垂直的等价条件的应用，属基础题.4.函数则满足的a的值为（）A. ，B. ，C.D. 1，【答案】B【解析】【分析】分和两种情况考虑，解得对应方程的结果，即可得到本题答案.【详解】若，则，得或（舍去）；若，则，得.综上，或.故选：B【点睛】本题主要考查分段函数的应用，体现了分类讨论的数学思想.5.已知角的终边经过点，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题，可得，求得方程的解，即可得到本题答案.【详解】因为角的终边经过点，所以，又，所以，解得.故选：B【点睛】本题主要考查利用三角函数的定义求参数.6.等差数列的前n项和，若，，则（）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】D【解析】【分析】由，，可算得d，然后利用数列的通项公式，即可得到本题答案.【详解】因为，又，所以，所以.故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和求和公式的应用，属基础题.7.已知，且，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由和，联立消，即可求得本题答案.【详解】因为，又，联立消，得，解得或（舍去），所以，.故选：A【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，考查学生的运算求解能力.8.在中，已知的三边a、b、c成等比数列，且c=2a，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由三边a、b、c成等比数列，且，得，然后直接套入余弦定理，即可得到本题答案.【详解】因为三边a、b、c成等比数列，所以，又，则，所以.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列与余弦定理的综合应用，考查学生的运算求解能力.9.如图，AB是的直径，且半径为1，点C、D是半圆弧AB上的两个等三分点，则向量在向量上的投影等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得与的夹角和的大小，套用公式即可得到本题答案.【详解】由题，得，连接BD，易得，在中，，所以，所以向量在向量上的投影.故选：D【点睛】本题主要考查向量在方向上的投影公式的应用.10.在中，，，分别为角，，的对边，若的面为，且，则（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据三角形面积公式以及余弦定理进行化简求出的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【详解】解：由，得，∵，∴，即即，则，∵，∴，∴，即，则，故选D．【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．11.已知菱形的边长为2，，点，分别在边，上，，，若，则的值为（）A 3 B. 2 C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用向量数量积定义和平面向量基本定理整理计算即可确定的值.【详解】由题意可得：，且：，故，解得：.故选B.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知数列满足，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由累加法，可得，然后借助函数的单调性，即可确定的最小值.【详解】由题，得，所以，，因为双勾函数在递减，在递增，且，所以的最小值为.故选：C【点睛】本题主要考查利用累加法求通项公式以及借助函数的单调性确定数列的最小项，考查学生的分析问题与解决问题的能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.____【答案】【解析】解答：=cos=−cos=−，故答案为−.14.关于函数有如下四个结论：①是偶函数；②在区间上单调递增；③最大值为；④在上有四个零点，其中正确命题的序号是_______．【答案】①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性，可判断出命题①的正误；在时，去绝对值，化简函数的解析式，可判断函数在区间上的单调性，可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误.【详解】对于命题①，函数的定义域为，关于原点对称，且，该函数为偶函数，命题①正确；对于命题②，当时，，则，则函数在上单调递减，命题②错误；对于命题③，，，，又，所以，函数的最大值为，命题③正确；对于命题④，当时，，，由于该函数为偶函数，当时，，又，所以，该函数在区间上有且只有三个零点.因此，正确命题的序号为①③.故答案为：①③.【点睛】本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.15.已知，则________.【答案】【解析】【分析】利用和差公式恒等变换，即可得到本题答案.【详解】因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变换求值，考查学生的运算求解能力.16.设是数列的前项和，且，，则______.【答案】【解析】【分析】将转化为，两边除以转化为等差数列，先求得的表达式，再利用求得的表达式..【详解】.由，两边除以得，故数列是以为首项，公差为的等差数列，故.即.当时，，不符合上式，故.【点睛】本小题考查利用递推数列求数列的通项公式.题目所给已知条件是，通过将转化为，可将题目所给已知条件配成有关的等差数列的形式，由此求得的表达式，在根据这个常用的关系式，求得的表达式.最后要注意验证时是否符合，不符合的话要写成分段的形式.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，，.（1）若与共线，求的值；（2）记，求的最大值以及对应的的值.【答案】（1）；（2）的最大值为2以及对应的x为.【解析】【分析】（1）由平行向量的等价条件，列出方程求解即可得到本题答案；（2）由题，得，令，即可得到本题答案.【详解】（1）因为向量，，且与共线，所以，化简得，解得；（2）由题，得，令，得，所以的最大值为2，以及对应的x的值为.【点睛】本题主要考查平面向量与三角函数的图象与性质的综合应用，属基础题.18.已知实数列是等比数列，其中，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）数列的前n项和记为，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由，且，，成等差数列，可得，解方程可得q，从而可以得到本题答案；（2）由（1）得，从而可以得到本题答案.【详解】（1）由，得，从而，，，又，，成等差数列，所以即，解得，所以，；（2）由（1）得，.【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，考查学生的运算求解能力.19.在中，三内角A，B，C所对的边分别是，，，已知三内角A，B，C成等差数列.（1）求角B的值；（2）若，且的面积等于，求，；（3）若，求三角形的周长L的范围.【答案】（1）；（2），；（3）【解析】【分析】（1）由题得，，结合，即可求得角B；（2）由面积公式，得，由余弦定理，得，结合两个式子即可得到本题答案；（3）利用正弦定理、三角形内角和等于，和差公式，恒等变形得，再结合A的取值范围，即可得到本题得到.【详解】（1）因为三内角A，B，C成等差数列，所以，又，所以；（2）因为的面积等于，所以，得①，又，所以，得②，综合①②得，，；（3）由题，得，所以，所以周长，因为，所以，所以，所以.【点睛】本题主要考查正余弦定理、三角形面积公式以及三角函数的图象与性质的综合问题，主要考查学生的转化能力和运算能力.20.下表是一个“数阵”：…其中每行都是公差不为0等差数列，每列都是等比数列，表示位于第i行第j列的数.（1）写出的值：（2）写出的计算公式，以及第2020个1所在“数阵”中所在的位置.【答案】（1）；（2）第2020个1所在“数阵”中所在的位置是第2020行列【解析】【分析】（1）设第一、二、三行的公差分别为，由题得，求出的值，即可得到本题答案；（2）令，，求j，即可得到本题答案.【详解】（1）设第一、二、三行的公差分别为，则可得到前三行前四列的表如下：由每列都是等比数列，得，化简得，由题知，，所以，代入表中，可得，每列的公比为，且第i行的公差为，所以，；（2）由（1）得，，所以，令，当时，，当时，，当时，，时，.所以第2020个1所在“数阵”中所在的位置是第2020行列.【点睛】本题主要考查数列的创新应用问题，考查学生的逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力.21.如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.（1）设，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由三点共线，得，又由，得，由此解得，即可得到本题答案；（2）根据平面向量数量积的运算，逐步化简，即可得到本题答案.【详解】（1）因为三点共线，所以，设，所以，所以，解得；所以，，所以；（2）因为又，所以，得，即.【点睛】本题主要考查平面向的数量积和平面向量的线性运算，考查学生的分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力.22.已知数列与满足，.（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设，，求t的取值范围，使得有最大值M与最小值m，且.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，，即可得到本题答案；（2）由累加法，得，然后分，和考虑，即可得到本题答案【详解】（1）由题，得，所以为等差数列，且，所以；（2）当时，，当时，适合上式，①时，由指数函数的单调性知数列不存在最大值和最小值；②时，数列的最大值为3，最小值为-1，；③时，由指数函数的单调性知，数列的最大值，最小值为.由，解得，综上所述，时满足条件.【点睛】本题主要考查数列与函数的综合问题，涉及到分类讨论思想的应用，考查学生的逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力.。
新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测题(含答案解析)(3)
一、选择题1．2017年5月，世界排名第一的围棋选手柯洁0：3败给了人工智能“阿法狗”.为什么人类的顶尖智慧战胜不了电脑呢？这是因为围棋本身也是一个数学游戏，而且复杂度非常高.围棋棋盘横竖各有19条线，共有1919361⨯=个落子点.每个落子点都有落白子､落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限3613M ≈.科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数8010N ≈.则下列各数中与MN最接近的是（ ）(参考数据：lg30.48≈) A ．3310B ．5310C ．7310D ．93102．若实数a ，b ，c 满足232log log ab c k ===，其中()1,2k ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．b c a b >B ．log log a b b c >C ．log b a c >D ．b a c b >3．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t （单位：天）与病情爆发系数()f t 之间，满足函数模型：0.22(50)11()t f t e--=+，当()0.1f t =时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时t 约为（ ）(参考数据： 1.13e ≈) A ．38B ．40C ．45D ．474．集合{}1002,x x x x R =∈的真子集的个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．75．已知实数1212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 3b =，4log 7c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<6．设0.34()5a =，0.254b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，125log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >>7．在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier ，1550-1617年）．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现． 比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字:64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=（ ） A ．134217728 B ．268435356C ．536870912D ．5137658028．函数2y 34x x =--+的定义域为（ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 9．已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．[]1,2D ．(]0,2 10．函数()log (2)a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,3上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)3,+∞ 11．已知奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+，且()g b a =，则()2f 的值为（ ）A ．2aB ．2C ．154D ．17412．函数()log 1a f x x =+（且）．当(1,0)x ∈-时，恒有()0f x >，有（ ）．A ．()f x 在(,0)-∞+上是减函数B ．()f x 在(,1)-∞-上是减函数C ．()f x 在(0,)+∞上是增函数D ．()f x 在(,1)-∞-上是增函数二、填空题13．已知(5)3,1()log ,1a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，则a 的取值范围为_________14．若函数()2log 12a a f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()0,1a a >≠没有最小值，则实数a 的取值范围是______.15．()()2lg 45f x x x =--+的单调递增区间为______.16．若3log 14a>（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围为________ 17．72log 2338log272lg 5lg 47-++++=______.18．已知函数2,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥恒成立，则a 的取值范围是________．19．已知函数()f x 满足()()1f x f x =-+，当()0,1x ∈时，函数()3xf x =，则13log 19f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 20．设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得00(1)()(1)f x f x f +=+，则称0x 为函数()f x 的“可拆点”.若函数22()log 1af x x =+在(0,)+∞上存在“可拆点”，则正实数a 的取值范围为____________.三、解答题21．如图，过函数()log c f x x =(1)c >的图像上的两点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M (,0)a ，(,0)N b (1)b a >>，线段BN 与函数()log m g x x =，(1)m c >>的图像交于点C ，且AC 与x 轴平行.（1）当2,4,3a b c ===时，求实数m 的值； （2）当2b a =时，求2m cb a-的最小值； （3）已知()x h x a =，()xx b ϕ=，若1x ，2x 为区间(),a b 内任意两个变量，且12x x <，求证：[][]21()()h f x f x ϕ<.22．已知函数()ln(32)f x x =+，()ln(32)g x x =-.设函数()()()F x f x g x =-. （1）求函数()F x 的定义域； （2）判断()F x 奇偶性并证明； （3）若()0F x >成立，求x 的取值范围.23．化简与求值： （1）2ln 43(0.125)e-++；（2）若1122x x -+=1x x --的值.24．化简下列各式：（1）22.531050.064π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）2lg 2lg3111lg 0.36lg1624++⋅+ 25．计算：(1)011327(0.064)0.258-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭； (2)22lg25lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+. 26．已知：2256x ≤且21log 2x ≥（1）求x 的取值范围；（2）求函数f （x）＝2log 22x ⎛⎛⎫⎪ ⎝⎭⎝⎭的最大值和最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】设36180310M x N ==，两边取对数，结合对数的运算性质进行整理，即可求出M N . 【详解】解：设36180310M x N ==，两边取对数36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，故选：D . 【点睛】本题考查了对数的运算，关键是结合方程的思想令36180310x =，两边取对数后进行化简整理.2．D解析：D 【分析】首先确定a ，b ，c 的取值范围，再根据指对互化得到2k b =，3k c =，再代入选项，比较大小. 【详解】由题意可知a ∈(0，1)，b ∈(2，4)，c ∈(3，9)，且23k k b c ==，，对于A 选项，01b a <<，1c b >可得到b c a b <，故选项A 错误；对于B 选项，log log 2log 20k a a a b k ==<，log log 3log 30k b b b c k ==>，所以log log a b b c <，故B 选项错误；对于C 选项，22log log 3log 31k kb c a ==>>，故C 选项错误；对于D 选项，1a b b b <=，1b c c c >=，而c >b ，所以b a c b >，故D 选项正确. 故选：D . 【点睛】关键点点睛：本题考查指对数比较大小，本题的关键是首先确定,,a b c 的大小，并结合指对数运算化简选项中的对数式，再和中间值0或1比较大小，本题属于中档题型.3．B解析：B 【分析】 根据()0.1f t =列式求解即可得答案.【详解】 解：因为()0.1f t =，0.22(50)11()t f t e --=+，所以0.22(50)()0.111t f t e--==+，即0.22(50)011t e --=+，所以0.22(50)9t e --=，由于 1.13e ≈，故()21.12.29e e =≈，所以0.222().250t e e --=，所以()0.2250 2.2t --=，解得40t =. 故选：B. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得0.22(50)9t e --=，再结合已知 1.13e ≈得()21.12.29e e =≈，进而根据0.222().250t e e --=解方程即可得答案，是基础题.4．D解析：D分析指数函数2xy =与幂函数100y x=的图像增长趋势，当0x <时，有1个交点；当0x >时，有2个交点；即集合{}1002,x x x x R =∈有3个元素，所以真子集个数为3217-=【详解】分析指数函数2xy =与幂函数100y x =的图像增长趋势，当0x <时，显然有一个交点；当0x >时，当1x =时，110021>；当2x =时，210022<；故()1,2x ∈时，有一个交点；分析数据发现，当x 较小时，100y x=比2xy =增长的快；当x 较大时，2xy =比100y x =增长的快，即2x y =是爆炸式增长，所以还有一个交点.即2xy =与100y x=的图像有三个交点，即集合{}1002,x x xx R =∈有3个元素，所以真子集个数为3217-= 故选：D. 【点睛】结论点睛：本题考查集合的子集个数，集合A 中含有n 个元素，则集合A 的子集有2n 个，真子集有()21n-个，非空真子集有()22n-个.5．D解析：D 【分析】本题首先可根据2log 3b =以及2log c =得出b c >，然后根据1a <以及1c >得出c a >，即可得出结果.【详解】 因为2log 3b =，42log 7log 7c ，函数2log y x =在()0,∞+上是增函数，所以b c >，因为01211122a <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，44log 7log 41c ， 所以c a >， 综上所述，a c b <<， 故选：D. 【点睛】指数、对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递，考查计算能力，是中档题.6．A【分析】根据指数函数、对数函数的 性质结合中间值0和1比较． 【详解】由指数函数性质得0.34015⎛⎫<< ⎪⎝⎭，0.2514⎛⎫> ⎪⎝⎭，由对数函数性质得125log 04<， ∴b a c >>． 故选：A ． 【点睛】本题考查比较幂与对数的，掌握指数函数与对数函数的性质是解题关键．解题方法是借助中间值比较大小．7．C解析：C 【分析】先找到16384与32768在第一行中的对应数字，进行相加运算，再找和对应第二行中的数字即可. 【详解】由已知可知，要计算16384×32768，先查第一行的对应数字: 16384对应14，32768对应15，然后再把第一行中的对应数字加起来：14＋15＝29，对应第二行中的536870912， 所以有：16384×32768＝536870912, 故选C. 【点睛】本题考查了指数运算的另外一种算法，关键是认真审题，理解题意，属于简单题.8．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C9．A解析：A 【分析】根据条件判断()f x 的奇偶性和单调性，把不等式212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+转化为2log 1a ≤进行求解即可.【详解】当0x <时，0x ->，则2()2()f x x x f x -=-=， 当0x >时，0x -<，则2()2()-=+=f x x x f x ，∴函数()f x 为偶函数，∴222122(log )(log )(log )(log )2(log )f a f a f a f a f a +=+-=.又当0x ≥时，函数()f x 单调递增，∴22(log )2(1)f a f ≤可转化为2((log 1))f a f ≤，则2log 1a ≤， ∴21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的性质，考查函数的单调性与奇偶性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.10．C解析：C 【分析】根据对数函数性质与复合函数的单调性求解． 【详解】因为0a >且1a ≠，令2t ax =-，所以函数2t ax =-在[]0,3上为减函数， 所以函数log a y t =应是减函数，()f x 才可能是增函数， ∴01a <<，因为函数()f x 在[]0,3上为增函数， 由对数函数性质知230a ->，即23<a ， 综上023a <<． 故选：C ． 【点睛】本题考查复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．11．C解析：C 【分析】根据奇函数()f x 与偶函数()g x ，由()()2x xf xg x a a -+=-+得到()()2﹣﹣﹣=+xx g x f x a a ，两式相加、相减并结合()g b a =求得()f x 即可.【详解】∵奇函数()f x 与偶函数()g x ，()()()(),-∴=-=f x f x g x g x .又()()2﹣+=+-x x f x g x a a ，①()()2﹣---∴+=+x x f x g x a a ，()()2﹣∴=--+x x g x f x a a .② +①②，得()24g x =，()2g x ∴=. (),2g b a a =∴=. ()22﹣-∴=x x f x . 22115(2)22444f -∴=-=-=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意，当(1,0)x ∈-时，1(0,1)x +∈，而此时log 10a x +>，所以有01a <<，从而能够确定函数在(,1)-∞-上是增函数，在区间(1,)-+∞上是减函数，故选D ．考点：函数的单调性．二、填空题13．【分析】根据在上单调递增列出不等式组求解即可【详解】解：在上单调递增即解得：即故答案为：【点睛】易错点点睛：在解决分段函数的单调性问题时要注意上下段端点值的问题解析：5,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据()f x 在R 上单调递增，列出不等式组，求解即可. 【详解】 解：(5)3,1()log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在R 上单调递增，即50153log 1a a a a a ->⎧⎪>⎨⎪--≤⎩，解得：554a ≤<， 即5,54a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故答案为：5,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】易错点点睛：在解决分段函数的单调性问题时，要注意上下段端点值的问题.14．【分析】讨论和两种情况结合对数函数的单调性可判断求解【详解】当时在单调递减没有最大值没有最小值符合题意；当时在单调递增则可得当有解时没有最小值解得综上的取值范围为故答案为：【点睛】关键点睛：结合对数 解析：(0,1)[4,)∞⋃+【分析】讨论01a <<和1a >两种情况结合对数函数的单调性可判断求解. 【详解】当01a <<时，log ay x =在(0,)+∞单调递减，212a y x x =-+没有最大值，()2log 12a a f x x x ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭没有最小值，符合题意；当1a >时，log ay x =在(0,)+∞单调递增，则可得当2102ax x -+≤有解时，()2log 12a a f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭没有最小值，2402a ⎛⎫∴∆=--≥ ⎪⎝⎭，解得4a ≥，综上，a 的取值范围为(0,1)[4,)∞⋃+. 故答案为：(0,1)[4,)∞⋃+. 【点睛】关键点睛：结合对数函数的单调性进行讨论求解，将题目转化为2102ax x -+≤有解进行求解.15．【分析】由复合函数的单调性只需求出的增区间即可【详解】令则由与复合而成因为在上单调递增且在上单调递增所以由复合函数的单调性知在上单调递增故答案为：【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性对数函数的单调 解析：(]5,2--【分析】由复合函数的单调性，只需求出245t x x =--+的增区间即可. 【详解】令245t x x =--+，则()()2lg 45f x x x =--+由lg y t =与245t x x =--+复合而成，因为lg y t =在(0,)t ∈+∞上单调递增，且245(0)t x x t =--+>在(5,2]x ∈--上单调递增，所以由复合函数的单调性知，()()2lg 45f x x x =--+在(5,2]x ∈--上单调递增.故答案为：(]5,2-- 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性，对数函数的单调性，二次函数的单调性，属于中档题.16．【分析】讨论和两种情况利用函数单调性解不等式得到答案【详解】当时满足不成立；当时综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式分类讨论是解题的关键解析：3,14⎛⎫⎪⎝⎭【分析】讨论1a >和01a <<两种情况，利用函数单调性解不等式得到答案. 【详解】3log 1log 4aa a >=，当1a >时，满足34a >，不成立；当01a <<时，34a >. 综上所述：3,14a ⎛⎫∈⎪⎝⎭. 故答案为：3,14⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，分类讨论是解题的关键.17．【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得【详解】故答案为：【点睛】此题考查指数对数的综合运算关键在于熟练掌握运算法则和相关公式准确化简求值解析：32【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得. 【详解】72log 2338log 2lg 5lg 47-+++()732log 232332log 32lg52lg 27=-++++34222=-+++32=故答案为：32【点睛】此题考查指数对数的综合运算，关键在于熟练掌握运算法则和相关公式，准确化简求值.18．【分析】分两种情况讨论当时结合图象可知；当时再分两种情况讨论分离参数后化为函数的最值可解得结果【详解】当时则恒成立等价于恒成立函数的图象如图：由图可知；当时所以恒成立等价于恒成立若则若则恒成立所以综 解析：10a -≤≤【分析】分0x >，0x ≤两种情况讨论，当0x >时，结合图象可知0a ≤；当0x ≤时，再分0x =，0x <两种情况讨论，分离参数后化为函数的最值可解得结果. 【详解】当0x >时，()ln(1)0f x x =+>，则|()|f x ax ≥恒成立等价于ln(1)x ax +≥恒成立， 函数ln(1)y x =+的图象如图：由图可知0a ≤；当0x ≤时，2()0f x x x =-+≤，所以|()|f x ax ≥恒成立等价于2x x ax -≥恒成立，若0x =，则a R ∈，若0x <，则1a x ≥-恒成立，所以1a ≥-， 综上所述：10a -≤≤. 故答案为：10a -≤≤ 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥； ②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤； ③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥；④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；19．【分析】由满足得到函数是以2为周期的周期函数结合对数的运算性质即可求解【详解】由题意函数满足化简可得所以函数是以2为周期的周期函数又由时函数且则故答案为：【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：求解 解析：2719-【分析】由()f x 满足()()1f x f x =-+，得到函数()f x 是以2为周期的周期函数，结合对数的运算性质，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 满足()()1f x f x =-+，化简可得()()2f x f x =+， 所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，又由()0,1x ∈时，函数()3xf x =，且()()1f x f x =-+，则133339(log 19)(log 19)(log 192)(log )19f f f f =-=-+= 327log 193392727(log 1)(log )3191919f f =-+=-=-=-.故答案为：2719- 【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期； 解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.20．【分析】首先根据定义列出的等式转化为再根据分离常数和换元法求的取值范围【详解】函数为可分拆函数存在实数使得且设当时等号成立即故答案为：【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题解析：[3【分析】首先根据定义，列出()()()0011f x f x f +=+的等式，转化为()()20202111x a x +=++，再根据分离常数和换元法，求a 的取值范围. 【详解】 函数()22log 1af x x =+为“可分拆函数”，∴存在实数00x >，使得()2222200log log log 1211aa a x x =++++且0a >，()()222002111a a x x ∴=+++，()()()2220000002222000000021*********222222211x x x x x x a x x x x x x x +++--++∴====-++++++++， 设0422x t +=>，024t x -∴=， 2161622204204t a t t t t∴=-=-++++ ，20444t t ++≥=，当t =即32a ≤<. 故答案为：)32⎡⎣ 【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题型，首先正确利用新定义，并正确表示()()20202111x a x +=++，利用01x >，转化为求函数的值域，即求a 的取值范围.三、解答题21．（1）9；（2）1-；（3）证明见解析. 【分析】（1）将2a =，4b =，3c =代入，然后分别得出点A ，C 的坐标，使点A 与点C 的纵坐标相等求解m 的值；（2）用含a ，b 的式子表示出点A ，B ，C 的坐标，再利用AC 与x 轴平行得到m 与a ，b ，c 的关系式，代入2m cb a-中，运用函数知识处理最值即可； （3）当12a x x b <<<，且1c >时可推出12log log log log c c c c a x x b <<<，则有2log log c c x b a a <，1log logcc a x b b <成立，又log log log log c c c c b a a b =即log log log log c c b a c c a b =，则可证明出log log c c b a a b =，则可证明出21log log c c x x a b <，即[][]21()()h f x f x ϕ<成立.【详解】解：（1）由题意得A 3(2,log 2)，B 3(4,log 4) ，C (4,log 4)m ， 因为AC 与x 轴平行，所以3log 4log 2m = 所以9m =.（2）由题意得A (,log )c a a ，B (,log )c b b ，C (,log )m b b因为AC 与x 轴平行，所以log log m c b a =， 因为2b a =，所以2m c =.所以22222(1)1m c c c cb a a a a-=-=--,所以1c a =时，达到最小值1-，（3）证明：因为12a x x b <<<，且1c >， 所以12log log log log c c c c a x x b <<<， 又因为1a >，1b >， 所以2log log c c x b a a <，1log logcc a x b b <，又因为log log log log c c c c b a a b =， 所以log log log log c c ba c c ab =，所以log logc c b a a b =，所以21log log c c x x a b <，即21[()][()]h f x f x ϕ<. 22．（1）33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）奇函数，证明见解析；（3）302x <<【分析】（1）由320320x x +>⎧⎨->⎩可解得结果；（2）()F x 是奇函数，根据奇函数的定义可证结论正确； （3）根据对数函数的单调性可解得结果. 【详解】（1）由320320x x +>⎧⎨->⎩，解得3322x -<<，所以函数()F x 的定义域为33(,)22-.（2）()F x 是奇函数. 证明如下：x ∀∈33(,)22-，都有x -∈33(,)22-，因为 ()ln(32)ln(32)()F x x x F x -=--+=-， ∴()F x 是奇函数.（3）由()0F x >可得()()0f x g x ->，得ln(32)ln(32)0x x +-->， 即ln(32)ln(32)x x +>-，由对数函数的单调性得32320x x ，解得302x <<.【点睛】易错点点睛：利用对数函数的单调性解对数不等式时，容易忽视函数的定义域.23．（1）14；（2） 【分析】（1）利用幂的运算法则和对数的运算法则计算；（2）利用完全平方公式求得1x x -+，再求得22x x -+，然后可求得1x x --． 【详解】(1)原式=236342464⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭++=++＝14;-(2)由1122x x -+=1+25x x -+=，所以13x x -+=所以2222+29=7x x x x --+=+， 则1222()2=5x x x x ---=-+ 所以1=x x -- 【点睛】幂的运算法则从整数范围推广到有理数范围，实数范围后，乘法公式也随之推广过来， 即公式222()2a b a ab b +=++，222()2a b a ab b -=-+，22()()a b a b a b +-=-中,a b 是是分数指数幂时，公式也适用，解题时要注意体会．24．（1）0；（2）1. 【分析】（1）根据指数幂的运算性质，准确运算，即可求解； （2）根据对数的运算性质，准确运算，即可求解. 【详解】（1）根据指数幂的运算性质，可得原式22.5311536427110008-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--⎨⎬ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭ 1521335233431102⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⨯⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦531022=--=. （2）由对数的运算性质，可得原式242lg 2lg32lg 2lg311231lg 0.6lg 21lg lg 22410++==⨯++++ 2lg 2lg 32lg 2lg 311lg 2lg 3lg10lg 22lg 2lg 3++===++-++. 【点睛】本题主要考查了指数幂和对数的运算性质的化简、求值，其中解答中熟记指数幂与对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 25．(1)10；(2)3. 【分析】（1）根据根式定义化根式为分数指数幂，再由幂的运算法则计算； （2）由对数运算法则计算． 【详解】 (1)解：原式()()1323120.410.5-=-+1321511218105222-⎛⎫=-++=-++= ⎪⎝⎭.(2)解：原式2322lg5lg2lg5(2lg2lg5)(lg2)3=++++ 222lg52lg 22lg5lg 2(lg5)(lg 2)=++++ 22(lg5lg 2)(lg5lg 2)213=+++=+=.【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化，考查幂和对数的运算法则，掌握幂与对数运算法则是解题关键．26．（18x ；（2）min max 1(),()24f x f x =-= 【分析】（1）利用指数与对数不等式求出x 的范围，求出交集即可．（2）通过x 的范围求出log 2x 的范围，化简函数表达式，通过二次函数的最值求出函数的最值即可． 【详解】（1）由2x ≤256得x≤8，21log 2x >得2,28x x ∴.（2）由（18x 得21log 32x ，f （x ）＝2log 22x ⎛⎛⎫⎪ ⎝⎭⎝⎭＝（log 2x ﹣log 22）()2=（log 2x ﹣1）（log 2x ﹣2）＝2231log 24x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当log 2x ＝32，f （x ）min ＝﹣14； 当log 2x ＝3，f （x ）max ＝2． 【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，考查换元，配方法，考查学生的计算能力，属于中档题．。
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③由y＝sinx在(0,0)处切线为y＝x，所以y＝sinx与y＝x图象只有一个交点，故③错．
④y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位得到y＝3sin[2(x－)＋]＝3sin2x，故④正确．
⑤y＝sin(x－)＝－cosx在[0，π]上为增函数，故⑤错．
()
A．2，πB．2,4π
C.，4πD.，π
解析：设P(x0，y0)，Q(x，f(x))，
则由已知得(x，f(x))＝，
即x＝2x0＋，∴x0＝x－.
f(x)＝y0，∴y0＝2f(x)．
又y0＝sinx0，∴2f(x)＝sin，
f(x)＝sin.
∴f(x)max＝，T＝＝4π.
答案：C
二、填空题
13.＝________.
把x＝0，y＝1代入上式得2sinθ＝1，即sinθ＝，
又|θ|<，∴θ＝.
答案：C
10．将y＝f(x)的图象上各点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变．然后再将图象向右平移个单位，所得图象恰与y＝3sin(x＋)重合，则f(x)等于
()
A．3sin(＋)B．3sin(2x＋)
C．3sin(－)D．3sin(2x－)
A．(－∞，－]∪[6，＋∞)
B．(－∞，－]∪[，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[6，＋∞)
D．(－∞，－]∪[，＋∞)
解析：当ω>0时，－ω≤ωx≤ω，
由题意知－ω≤－，即ω≥，
当ω<0时，ω≤ωx≤－ω，
由题意知－ω≥，即ω≤－，
综上知，ω的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．
答案：D
12．设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积：a⊗b＝(a1，a2)⊗(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知m＝，n＝，点P(x，y)在y＝sinx的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最大值A及最小正周期T分别为
最小正周期为π，当sin＝－1，取得最小值为2－.
答案：C
5．cos(α＋β)＝，sin＝，α，β∈，那么cos的值为
()
A.B.
C.D.
解析：∵α，β∈，cos(α＋β)＝>0，
sin＝>0，
∴sin(α＋β)＝，cos＝，
∴cos＝cosห้องสมุดไป่ตู้
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×＝.
解析：＝
＝＝＝.
答案：
14．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则三角形的形状是________．
解析：由a，b，c成等差数列得2b＝a＋c，
由sinA，sinB，sinC成等比数列得sin2B＝sinAsinC，
所以由正弦定理得b2＝ac，⇒a＝c.
综上知①④为真命题．
C.D.
解析：设函数f(x)的最小正周期为T，
由题意得＝，∴T＝.
答案：C
4．y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最小正周期和最小值为
()
A．π，0B．2π，0
C．π，2－D．2π，2－
解析：f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x
＝1＋sin2x＋(1＋cos2x)
＝2＋sin
()
A．－B．－1
C.D．1
解析：tanα＝＝2cos2θ＝2(2cos2θ－1)
＝4cos2θ－2＝4×()2－2＝－1.
答案：B
8．图是函数y＝sinx(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是
答案：C
6．将函数f(x)＝sin2x－cos2x的图象向右平移θ(θ>0)个单位，所得函数是奇函数，则实数θ的最小值为
()
A.B.
C.D.
解析：化简f(x)＝2sin，右移θ(θ>0)个单位得f(x)＝2sin为奇函数时，至少有2θ＋＝π，θ＝.
答案：D
7．已知钝角α的终边经过点P(sin2θ，sin4θ)，且cosθ＝，则α的正切值为
所以a＝b＝c，所以三角形ABC是等边三角形．
答案：等边三角形
15．函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
如下图所示，则k的取值范围是1<k<3.
答案：1<k<3
16．下面有五个命题：
①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；
单元质量检测(三)
一、选择题
1．已知sinαcosα＝，且α∈(0，)，则sinα－cosα等于
()
A.B．－
C.D．－
解析：(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，
又∵α∈(0，)，
∴sinα－cosα<0，∴sinα－cosα＝－.
答案：D
2．化简＋的结果是
()
A．－2sin5B．－2cos5
C．2cos5D．2sin5
解析：＋
＝＋
＝|sin5＋cos5|＋|sin5－cos5|
＝－(sin5＋cos5)－(sin5－cos5)
＝－2sin5.
答案：A
3．设点P是函数f(x)＝29sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是，则f(x)的最小正周期是
()
A．2πB．π
解析：把y＝3sin(x＋)的图象向左平移个单位，得到的图象解析式为y＝3sin(x＋＋)＝3sin(x＋)，然后再把得到的图象横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象解析式为y＝3sin(2x＋π)．
答案：B
11．已知函数f(x)＝2sinωx在区间[－，]上的最小值为－2，则ω的取值范围是
()
②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝，k∈Z}；
③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；
④把函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位得到y＝3sin2x的图象；
⑤函数y＝sin(x－)在[0，π]上是减函数．
其中真命题的序号是________．
解析：①y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，故最小正周期为π，①正确．
()
解析：根据题意，可得f(x)＝|π－x－x|＝|π－2x|，图象即为选项A.
答案：A
9．如下图所示，函数y＝2sin(ωx＋θ)(|θ|<)的图象，那么
()
A．ω＝，θ＝B．ω＝，θ＝－
C．ω＝2，θ＝D．ω＝2，θ＝－
解析：由图知周期T＝π－(－)＝π，
∴ω＝＝2，∴y＝2sin(2x＋θ)，