2018新课标2卷理科数学word版
2018年全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．1+2i1-2i=( ) A ．- 45 - 35iB ．- 45 + 35iC ．- 35 - 45iD ．- 35 + 45i解析：选D2．已知集合A={(x,y)|x 2+y 2≤3,x ∈Z,y ∈Z }，则A 中元素的个数为 ( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 解析：选A 问题为确定圆面内整点个数 3．函数f(x)= e x-e-xx2的图像大致为 ( )解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)= e 2-e-24>1,故选B4．已知向量a ，b 满足|a|=1，a ·b=-1，则a ·(2a-b)= ( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0解析：选B a ·(2a-b)=2a 2-a ·b=2+1=35．双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y=±2xB ．y=±3xC ．y=±22x D ．y=±32x 解析：选A e= 3 c 2=3a 2b=2a6．在ΔABC 中，cos C 2=55，BC=1，AC=5，则AB= ( )A ．4 2B ．30C ．29D ．2 5解析：选A cosC=2cos 2C 2 -1= - 35AB 2=AC 2+BC 2-2AB ·BC ·cosC=32 AB=4 27．为计算S=1- 12 + 13 - 14 +……+ 199 - 1100，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i=i+1B ．i=i+2C ．i=i+3D ．i=i+4 解析：选B 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) A ．112B ．114C ．115D ．118解析：选C 不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个其和为30的为7+23，11+19，13+17，共3种情形，所求概率为P=3C 102=1159．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A ．15 B ．56 C ．55 D ．22解析：选C 建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。
2018年全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版)
1．1+2i=()5555555542D．y=±3C．y=±2x6．在ΔABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=()252018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1-2i43A．--i43B．-+i34C．--i34D．-+i解析：选D2．已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4解析：选A问题为确定圆面内整点个数3．函数f(x)=e x-e-xx2的图像大致为()e2-e-2解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)=>1,故选B4．已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)=()A．4B．3C．2D．0解析：选B a·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=3x2y25．双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y=±2x B．y=±3x2x解析：选A e=3c2=3a2b=2aC525A．42B．30C．29D．25C3解析：选A cosC=2cos2-1=-AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32AB=422 3 4 99 100 12 B ． 1 14 C ． 1 15 D ． 1A ． 1 C 102 155 6 5 24 B ．π2 C ．3πA ．π解析：选 A f(x)= 2cos(x+ π 4 4 4 ＋ 2＝1（a>b>0）的左，右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为b 61 1 1 1 17．为计算 S=1- + - +……+ - ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入()开始N = 0, T = 0i = 1是i < 100否N = N +1iS = N - TT = T +1i + 1输出 S结束A ．i=i+1B ．i=i+2C ．i=i+3D ．i=i+4 解析：选 B8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数 可以表示为两个素数的和”，如 30=7+23．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的 概率是( )18解析：选 C 不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29 共 10 个，从中选 2 个其和为 30 的3 1为 7+23，11+19，13+17，共 3 种情形，所求概率为 P= =9．在长方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，AB=BC=1，AA 1= 3，则异面直线 AD 1 与 DB 1 所成角的余弦值为( )1 5 52A ．B ．C ．D ．解析：选 C 建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。
2018年高考理数真题试题(全国Ⅱ卷)(Word版+答案+解析)
2018年高考理数真题试卷（全国Ⅱ卷）一、选择题1.1+2i1−2i=( )A. −45−35i B. −45+35i C. −35−45i D. −35+45i2.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z}.则A中元素的个数为（）A. 9B. 8C. 5D. 43.函数f(x)=e x−e−xx2的图像大致为( )A. B.C. D.4.已知向量a→，b→满足|a→|=1, a→⋅b→=−1 ，则a→·(2a→-b→)=（）A. 4B. 3C. 2D. 05.双曲线x2a2−y2b2=1（a>0,b>0）的离心率为√3，则其渐近线方程为（）A. y=±√2xB. y=±√3xC. y=±√22x D. y=±√32x6.在ΔABC中，cos C2=√55,BC=1,AC=5则AB=（）A. 4√2B. √30C. √29D. 2√57.为计算S=1−12+13−14+⋅⋅⋅+199−1100,设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）A. i=i+1B. i=i+2C. i=i+3D. i=i+48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )A. 112 B. 114 C. 115 D. 1189.在长方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1= √3 ,则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A. 15 B. √56C. √55D. √2210.若 f(x)=cosx −sinx 在 [−a,a] 是减函数，则a 的最大值是( ) A. π4 B. π2 C. 3π4 D. π11.已知 f(x) 是定义为 (−∞,+∞) 的奇函数，满足 f(1−x)=f(1+x) 。
(完整word版)2018年全国2卷理科数学试卷及答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试全国2卷数学（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的。
1．1212ii+=-（ ） A ．4355i --B ．4355i -+C ．3455i --D ．3455i -+2．已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．9B ．8C ．5D ．43．函数()2x xe ef x x --=的图象大致是（ ）4．已知向量a b ，满足，1a =，1a b ⋅=-，则()2a a b ⋅-=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞ ）A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y x =6．在ABC △中，cos 2C =，1BC =，5AC =，则AB =（ ）A ．B C D ．7．为计算11111123499100S =-+-+⋅⋅⋅+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（ ） A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A ．112B ．114C ．115D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为（ ） A ．15B ．56C ．55D ．2210．若()cos sin f x x x =-在[]a a -，是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．4π B ．2π C ．43πD ．π11．已知()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()()12350f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．50-B ．0C ．2D ．5012．已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞的左、右焦点交点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．14二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线()2ln 1y x =+在点()00，处的切线方程为__________．14．若x y ，满足约束条件25023050x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤，则z x y =+的最大值为_________．15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+=__________．16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45︒．若SAB △的面积为_________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2018全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．1+2i1-2i=( ) A ．- 45 - 35iB ．- 45 + 35iC ．- 35 - 45iD ．- 35 + 45i解析：选D2．已知集合A={(x,y)|x 2+y 2≤3,x ∈Z,y ∈Z }，则A 中元素的个数为 ( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4解析：选A 问题为确定圆面内整点个数 3．函数f(x)=ex-e-xx2的图像大致为 ( )解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)= e2-e-24>1,故选B 4．已知向量a ，b 满足|a|=1，a ·b=-1，则a ·(2a-b)= ( ) A ．4 B ．3C ．2D ．0解析：选B a ·(2a-b)=2a 2-a ·b=2+1=35．双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y=±2xB ．y=±3xC ．y=±22x D ．y=±32x 解析：选A e= 3 c 2=3a 2b=2a6．在ΔABC 中，cos C 2=55，BC=1，AC=5，则AB= ( )A ．4 2B ．30C ．29D ．2 5解析：选A cosC=2cos 2C 2 -1= - 35AB 2=AC 2+BC 2-2AB ·BC ·cosC=32 AB=4 27．为计算S=1- 12 + 13 - 14 +……+ 199 - 1100，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i=i+1B ．i=i+2C ．i=i+3D ．i=i+4 解析：选B8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) A ．112B ．114C ．115D ．118解析：选C 不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个其和为30的为7+23，11+19，13+17，共3种情形，所求概率为P=3C102=1159．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A ．15B ．56C ．55D ．22解析：选C 建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。
(完整word版)2018年全国2卷理科数学试卷及答案(2),推荐文档
2018年普通高等学校招生全国统一考试全国2卷数学（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的。
1．1212ii+=-（ ） A ．4355i --B ．4355i -+C ．3455i --D ．3455i -+2．已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．9B ．8C ．5D ．43．函数()2x xe ef x x --=的图象大致是（ ）4．已知向量a b ，满足，1a =，1a b ⋅=-，则()2a a b ⋅-=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞ ）A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y x =6．在ABC △中，cos 2C =，1BC =，5AC =，则AB =（ ）A ．B C D ．7．为计算11111123499100S =-+-+⋅⋅⋅+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（ ） A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A ．112B ．114C ．115D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为（ ） A ．15B ．5 C ．5 D ．210．若()cos sin f x x x =-在[]a a -，是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．4π B ．2π C ．43πD ．π11．已知()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()()12350f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．50-B ．0C ．2D ．5012．已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞的左、右焦点交点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为3的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．14二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线()2ln 1y x =+在点()00，处的切线方程为__________．14．若x y ，满足约束条件25023050x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤，则z x y =+的最大值为_________．15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+=__________．16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45︒．若SAB △的面积为_________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2018年新课标2卷高考数学试卷文档解析版（理科）
2018年新课标2卷高考数学试卷文档解析版（理科）2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）=（）A．i B． C． D．【解答】解：==+．故选：D．2．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），则A中元素的个数为（）A．9 B．8 C．5 D．4【解答】解：当x=﹣1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，当x=0时，y2≤3，得y=﹣1，0，1，当x=1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，即集合A中元素有9个，故选：A．3．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（﹣x）==﹣=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x=1时，f（1）=e﹣＞0，排除D．当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，故选：B．4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则?（2）=（）A．4 B．3 C．2 D．0【解答】解：向量，满足||=1，=﹣1，则?（2）=2﹣=2+1=3，故选：B．5．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：∵双曲线的离心率为e==，则=====，即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，故选：A．6．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．7．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3D．i=i+4【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是S=N﹣T=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）；累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2．故选：B．8．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有=45种，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，则对应的概率P==，故选：C．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z 轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，∴A（1，0，0），D1（0，0，），D（0，0，0），B1（1，1，），=（﹣1，0，），=（1，1，），设异面直线AD1与DB1所成角为θ，则cosθ===，∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．故选：C．10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C． D．π【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f （1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C．12．（5分）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y=（x+a），由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，c），代入直线AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，∴题意的离心率e==．故选：D．。
2018年全国高考理科数学2卷---精美解析版.docx
2018 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）理科数学2018.6.29本试卷 4 页， 23 小题，满分150 分．考试用时120 分钟．一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．12i（）12iA ． 4 3 i B． 4 3 i C． 3 4 i D． 3 4 i555555551．【解析】12i112i 234i34i，故选 D．12i2i12i5552．已知集合A{( x, y) | x2y 23, x Z , y Z} ，则A中元素的个数为（）A ．9B ． 8C． 5D． 42．【解析】A{(1,1), ( 1,0), (1,1), (0,1), (0,0), (0,1),(1,1), (1,0), (1, 1)} ，元素的个数为9，故选 A ．3．函数f (x)e x e x的图像大致为（）x 2y yA ．1B ．1O1x O 1xy yC．1 D ．1O1x O 1xe x e xf ( x) ，即 f ( x) 为奇函数，排除 A ；由f (1) e 1D；由3．【解析】 f ( x)20 排除x ef (4)e4 e 41211)(e11f (1)排除 C，故选 B ．16(ee2 )(ee)e16e e4．已知向量a, b满足a 1 ， a b1，则a(2a b)（）A ．4B ． 3C． 2D． 04．【解析】a(2a b)2a b 2 1 3 ，故选B．2ax2y 21( a0, b0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为（）5．双曲线b2a2A ．y2x B．y3x C．y2x D．y3 2x25．【解析】离心率e c3c2 a 2b2b，渐近线方程为y 2 x ，故选A．a a 2a23 ，所以2a6．在ABC 中，cos C5， BC1， AC 5 ，则 AB（）25A ．4 2B ．30C．29D．2 56．【解析】cosC 2 cos2C13，开始25由余弦定理得AB BC 2AC22BC ACcos4 2 ，N0, T0C故选 A ．i17．为计算S11111，设计了右侧的是i100否1349921001程序框图，则在空白框中应填入（）N Ni S N TA ．i i11B ．i i2T T输出 Si 1C．i i3结束D ．i i47．【解析】依题意可知空白框中应填入i i 2 ．第1次循环： N1,T 1,i 3 ；第2次循环：2N 11,T11,i5；；第50 次循环：N111,T111, i101 ，结32439924100束循环得 S11111，所以选 B．1349910028．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723，在不超过30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）1B ．1C ．11A ．1415D ．12188．【解析】 不超过 30 的素数有： 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 ，共 10 个．从中选取两个不同的数， 其和等于 30的有： 7 与 23、 11与 19、 13 与 17 ，共 3 对．则所求概率为31，故选 C ．C 102159．在长方体 ABCD A 1B 1C 1 D 1 中， AB BC1， AA 13 ，则异面直线 AD 1 与 DB 1 所成角的余弦值为（）1B ． 5C ． 52A ．65D ．529．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，z则 A(1,1,0) ， D 1 (1,0, 3) ， D (1,0,0) ， B 1 (0,1, 3)C 1，1DA 1 B所以 AD 1(0, 1, 3) ， DB 1 ( 1,1, 3) ，1AD 1 DB 12 5DCBy则cosAD 1, DB 1，故选 C ．AAD 1 DB 12 55x10．若 f ( x)cos x sin x 在 [a,a] 上是减函数，则 a 的最大值是（）A ．B ．3D ．2C ．4410．【解析】 因为 f ( x)cos x sin x2 cos( x) 在区间 [ , 3 ，] 上是减函数， 所以 a 的最大值是44 44故选 A ．11 ． 已 知 f (x) 是 定 义 域 为 ( ,) 的 奇 函 数 ， 满 足 f (1 x)f (1 x) ． 若 f (1)2 ， 则f (1) f ( 2) f (3)f (50)（）A ．50 B ． 0C ． 2D ． 5011．【解析】因为 f ( x)f ( x) ，所以 f (1 x) f (x 1) ，则 f ( x1) f (x 1) ， f ( x) 的最小正周期 为 T4 ． 又 f (1) 2 ， f (2)f ( 0) 0 ， f (3)f (1)2 ， f (4) f (0)0 ， 所 以f (1)f ( 2)f (3)f (50) 12[ f (1) f (2) f (3)f ( 4)] f (49)f (50)f (1)f (2) 2 ，选 C ．x 2y 2 1( a b312．已知 F 1, F 2 是椭圆 C :2b 20) 的左、右焦点， A 是 C 的左顶点， 点 P 在过 A 且斜率为a6的直线上，PF 1F 2 为等腰三角形，F 1F 2 P 120 ，则 C 的离心率为（）2B ．11 1A ．2C ．D ．33412．【解析】如图，因为PF 1F 2 为等腰三角形， F 1 F 2 P 120 且 F 1F 2 2c ，所以 PF 1 F 2 30 ，则 P的坐标为 (2c,3c) ，故 k PA3c 3，化简得 4c a ，所以离心率e c1，故选 D ．2c a6a4yPA F1 O F 2x二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．曲线y2ln( x1)在点 (0,0)处的切线方程为．13．【解析】y2y|x 0 2 ，则曲线 y2ln( x1)在点 (0,0)处的切线方程为 y2x．x1x 2 y5014．若x, y满足约束条件x 2 y30 ，则z x y 的最大值为．x5014．【解析】可行域为ABC 及其内部，当直线y x z 经过点B(5,4)时，z max9 ．yBAC－3O5x15．已知sin cos1， cos sin0 ，则 sin()．15．【解析】sin cos2sin 2 2 sin cos cos21，cos sin2cos2 2 cos sin sin 20 ，则 sin 22sin cos cos2cos22cos sin sin 20 1 1 ，即2 2 sin cos2cos sin1sin()1．216．已知圆锥的顶点为S ，母线SA, SB所成角的余弦值为7， SA与圆锥底面所成角为45，若SAB的面8积为 515 ，则该圆锥的侧面积为．16．【解析】如图所示，因为cos ASB 7ASB15S ，所以 sin，88SSAB1SA SB sin ASB15SA2 5 15 ，所以 SA4 5 ．216又 SA与圆锥底面所成角为45，即SAO45 ，AO则底面圆的半径 OA210 ，圆锥的侧面积S OA SA40 2 ．B三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60 分．17．（ 12 分）记 S n 为等差数列 a n 的前 n 项和，已知 a 17 ， S 315 ．（ 1）求 a n 的通项公式；（ 2）求 S n ，并求 S n 的最小值．17．【解析】（ 1）设等差数列a n 的公差为 d ，则 由 1 7 ， S 3 3a 1 3d 15 得 d 2 ，a所以 a n7 (n 1) 22n 9，即 a n 的通项公式为 a n 2n 9 ；（ 2）由（ 1）知 S nn( 72n9) n 2 8n ，2因为 S n (n 4)2 16 ，所以 n4 时， S n 的最小值为 16 ．18．（ 12 分）下图是某地区2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．投资额240220220209200184180 171160148140 122 129120 1006053 568035374242 4740192514202000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 年份为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量 t 的两个线性回归模型，根据2000 年至 2016年的数据（时间变量 t 的值依次为 1,2, ,17y 30.4 13.5t ；根据 2010年至 2016）建立模型①： ?年的数据（时间变量 t 的值依次为 1,2, ,7 ）建立模型②： y 99 17.5t ．?（ 1）分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（ 2）你认为哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．18．【解析】（ 1）将t19代入模型①：?30.4 13.5 19 226.1（亿元），y所以根据模型①得该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为226.1亿元；将 t 9 代入模型②：?99 17.59256.5 （亿元），y所以根据模型②得该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为256.5亿元．（ 2）模型②得到的预测值更可靠．理由如下：答案一：从折现图可以看出，2010 年至 2016 年的数据对应的点并没有紧密地均分分布在回归直线y30.413.5t的上下，2009年至2010年的环境基础设施投资额出现了明显的大幅度增加，这说明模型?①不能很好的反应环境基础设施投资额呈线性增长．而2010 年至 2016年的数据对应的点紧密的分布在回归?17.5t 的附近，这说明模型②能更好地反应环境基础设施投资额呈线性增长，所以模型②得到的直线 y 99预测值更可靠．答案二：从计算结果来看，相对于2016 年的环境基础设施投资额为220 亿元，利用模型①得到的该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为256.5亿元的增幅明显更合理，所以模型②得到的预测值更可靠．19．（ 12 分）设抛物线 C : y24x的焦点为F，过F且斜率为k (k0) 的直线l 与 C 交于A, B两点，AB8 ．（1）求l的方程；（2）求过点A, B且与C的准线相切的圆的方程．19．【解析】（ 1）焦点F为 (1,0)，则直线 l :y k( x1) ，联立方程组y k( x1)，得22( 224)x 20，yy24x k x k k A令 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，则 x1x22k 24x1 x21．k2，－ 1O F x根据抛物线的定义得AB x1x2 2 8 ，B 即 2k 24 6 ，解得k 1 （舍去 k1），k 2所以 l 的方程为y x1；（ 2）设弦AB的中点为M，由（ 1）知x1x2 3 ，所以M的坐标为(3,2)，2则弦 AB 的垂直平分线为y x5，令所求圆的圆心为(m,5m) ，半径为 r ，2m5m12根据垂径定理得r AB221234 ，22m m由圆与准线相切得m 1221234，解得 m3或 m11 ．m m则所求圆的方程为：( x 3) 2( y 2) 216 或 ( x 11) 2( y 6) 214420．（ 12 分）如图，在三棱锥P ABC 中，AB BC22 ，PA PB PC AC4， O 为 AC 的中点．（ 1）证明：PO平面 ABC ；（ 2）若点M在棱BC上，且二面角M PA C 为30，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值．P20．【解析】（ 1）证明：连接OB，PA PC ， O 为 AC 的中点，PO AC ，AB BC22, AC 4，AB 2BC 2AC 2，即AB BC ，OB 1AC 2 ，AOC 2又 PO23, PB 4 ，则 OB2PO 2PB 2，即 OP OB ，B MAC OB O ，PO平面 ABC ；（ 2）由（ 1）知OB,OC , OP两两互相垂直，z以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，P则 B(2,0,0) ， C (0,2,0) ， A(0,2,0) ， P(0,0,2 3) ，BC ( 2,2,0)， AP(0,2,23)， CP(0,2,23)令 BM BC ，[ 0,1] ．A OC y 则 OM OB BC(22,2,0) ， AM(22,22,0) ，M令平面 PAM 的法向量为 n(x, y, z) ，Bxn AP 2 y 2 3z0，取 x3 1 ，得n ( 3 1 , 3 1 ,1)由n AM(2 2 )x ( 22) y 0易知平面 PAC 的一个法向量为m(1,0,0) ，所以 cos n, mn m3(1)3(1)3，1) 21) 2) 27 2cos302n m3(3((127解得1（舍去3），即n( 43,23,2) ，3333n CP 83因为 cos n, CP333．8，所以PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为n CP444 321．（ 12 分）已知函数 f ( x)e x ax2．（ 1）若a1，证明：当 x0 时，f ( x)1；（ 2）若f ( x)在(0,) 只有一个零点，求 a ．21．【解析】（ 1）方法 1：欲证明当x0 时， f ( x)1，即证明e x1 ．x21令 g ( x)e x，则g ( x)e x (x 21)2xe x(x 1) 2 e x0，x 2x 2 1 2x2 1 2 1则 g ( x) 为增函数， g (x)g (0) 1 ，得证．方法 2：a1时， f ( x) e x x2，则 f ( x) e x2x ，令 f (x)g( x) ，则 g ( x)e x 2 ，x[0, ln 2) 时， g (x)0 ， g( x) 为减函数， x(ln 2,) 时， g ( x)0 ， g( x) 为增函数，所以 g( x) min g(ln 2)22ln 20，即当x0 时， f (x)0， f (x) 为增函数，所以 f ( x) f (0) 1 ，因此 a 1 ， x0 时， f (x) 1．（ 2）方法 1：若f ( x)在(0,) 只有一个零点，则方程e xa 只有一个实数根．x2令 h(x)e xh( x) 的图像与直线y a 只有一个公共点．x2，等价于函数y又 h ( x)x2e x2xe x x 2 e xx4x3，x(0,2) 时， h ( x)0 ， h( x) 为减函数， x (2,) 时， h ( x)0 ， h( x) 为增函数，所以 h( x) min h(2)e2， x0 时h(x)， x时 h( x)．4则 a e2) 只有一个零点．时， f ( x) 在 (0,4方法 2：若f ( x)在(0,) 只有一个零点，则方程e xax 只有一个实数根．x令 h(x)e xh(x) 的图像与直线y ax 只有一个公共点．，等价于函数 yx当直线 y ax 与曲线y h(x) 相切时，设切点为(x0, e x0) ，x0又 h ( x)xe x e x x 1 e x x0 1 e x0e x0x0 2 ，此时a h ( x0)e2 x2x 2，则 h ( x0 )x02x02．4又当 x(0,1) 时， h ( x)0 ， h( x) 为减函数，yx (1, ) 时， h ( x) 0 ， h(x) 为增函数，所以 h( x) min h(1) e ，且 x 0 时 h(x)， x 时 h( x)．根据 yh( x) 与 yax 的图像可知，O 1 2xe 2 时，函数 yh(x) 的图像与直线 yax 只有一个公共点，即f ( x) 在 (0,) 只有一个零点．a4（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、 23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22． [选修 4—4：坐标系与参数方程]（ 10 分）在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C 的 参 数 方 程 为x 2 cosy( 为 参 数 ) ， 直 线 l 的 参 数 方 程 为4sinx 1 t cos y2 (t 为参数 )t sin（ 1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（ 2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2) ，求 l 的斜率．22．【解析】（ 1）消去参数，得 C 的直角坐标方程为x 2 y 2 41；16消去参数 t ，得 l 的直角坐标方程为 sin x cos y sin2 cos0 ；（ l 的直角坐标方程也可写成：y tan (x 1)2() 或 x 1 ．）2（ 2）方法 1：将 l 的参数方程：x 1 t cos x 2 y 2y 2t sin(t 为参数 ) 代入 C :164 4 1 t cos22 t sin216 ，即 1 3 cos2t24 2 cossint由韦达定理得 t 14 2cossint 23 cos 2，1依题意，曲线 C 截直线 l 所得线段的中点对应t 1t 2 0，即 2 cossin2因此 l 的斜率为 2 ．方法 2：令曲线 C 与直线 l 的交点为 A( x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) ，x 1 2 y 1 2 1416x 2 x 1x 2y 1y 2 y 1y 2则由x 10 ，其中 x 1x 2 2 y 2 2 得4 1614161得：8 0 ，0 ，得 tan 2 ．x 2 2, y 1 y 2 4 ．所以x 1x2y 1 y 2y 1 y 2 2 ，即 l 的斜率为 2 ．24x 1 x 223． [选修 4—5：不等式选讲 ]（ 10 分）设函数f (x)5x ax 2 ．（ 1）当 a1时，求不等式f (x)0 的解集；（ 2）若 f ( x)1 ，求 a 的取值范围．23．【解析】（ 1） a1时， f ( x) 5 x 1x 2 ，x 1时， f( x) 5 x1 x2 2x 4 0 ，解得2 x 1 ； 1 x 2 时， f ( x) 5x1 x2 2 0，解得 1 x 2 ； x 2 时， f ( x)5 x 1 x22x6 0 ，解得 2 x3，综上所述，当 a 1 时，不等式 f (x) 0 的解集为 [ 2,3] ．（ 2） f (x)5 x ax2 1，即 xa x2 4 ，又 x a x 2 x a x 2 a 2 ，所以 a 24 ，等价于 a 2 4 或 a 24 ，解得 a 的取值范围为 { a | a2 或 a6} ．。
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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2． 作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．12i 12i
+=-
A ．43i 55--
B ．43i 55-+
C ．34i 55--
D ．34i 55
-+
2．已知集合22{(,)|3,,}A x y x y x y =+∈∈Z Z ≤，则A 中元素的个数为 A ．9 B ．8 C ．5 D ．4
3．函数2
e e
()x x f x
--=的图像大致为
A
B C D
4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
5．双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>
A
．y = B
．y =
C
．y = D
．y = 6．在ABC △
中，cos 2C 1BC =，5AC =，则AB = A
．B
C
D
． 7．为计算11111
123499100S =-+-++-L ，设计了右
侧的程序框图，则在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．
1
12
B ．
114
C ．
115
D ．
118
9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==
，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为
A ．15
B
C
D
10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是
A ．
π4
B ．
π2
C ．
3π4
D ．π
11．已知()f x 是定义域为(,)-+ゥ的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则
(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L
A ．50-
B ．0
C ．2
D ．50
12．已知1F ，2F 是椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在
过A
的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23
B ．
12 C ．13
D ．
14
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．
14．若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-⎧⎪
-+⎨⎪-⎩
≥≥≤ 则z x y =+的最大值为__________．
15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为
7
8
，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △
的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必
考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23为选考题。
考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分） 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．
18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．
20002001200220032004200520062007200820092010201120122013201420152016年份200
406080
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性
回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17L ）建立模型①：ˆ30.413.5y
t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7L ）建立模型②：ˆ9917.5y
t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12分）
设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
20．（12分） 如图，在三棱锥P ABC -
中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为
30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．
21．（12分）
已知函数2()e x f x ax =-． （1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；
（2）若()f x 在(0,)+¥只有一个零点，求a ．
（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做
的第一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,
4sin ,x θy θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数），直线l 的参数
方程为1cos ,
2sin ,x t αy t α=+⎧⎨=+⎩
（t 为参数）．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．。