江苏省南京市2020年中考数学一模试卷解析版
中考数学一模试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 6 小题，共 12.0 分） 1. 如图，数轴上的 A、B、C、D 四点中，与数- 表示的点最接近的是（ ）
A. 点 A
B. 点 B
C. 点 C
D. 点 D
2. 根据制定中的通州区总体规划，将通过控制人口总量上限的方式，努力让副中心远 离“城市病”．预计到 2035 年，副中心的常住人口规模将控制在 130 万人以内，
于点 D，交 AC 于点 E，则△BCE 的周长是______．
12. 某商店今年 6 月初销售纯净水的数量如下表所示：
日期
1
2
3
4
数量（瓶）
120
125
130
135
观察此表，利用所学函数知识预测今年 6 月 7 日该商店销售纯净水的数量约为 ______瓶． 13. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，分别以点 A 和点 B
17. 计算：
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18. 先化简，再求值：（
）
，其中 x 是整数且-3＜x＜1．
19. 如图，在矩形 ABCD 中，F 是 CD 的中点，连接 AF 交 BC 延 长线于点 E．求证：BC=EC．
20. 进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息解决下列 问题：
初步建成国际一流的和谐宜居现代化城区．130 万用科学记数法表示为（ ）
A. 1.3×106
B. 130×104
C. 13×105
D. 1.3×105
3. 如图是由 5 个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是
（ ）
A.
B.
D.
4. 如图所示，将含有 30°角的三角板（∠A=30°）的直角顶点 放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=38°，则∠2 的度数（ ）
（1）这次学校抽查的学生人数是______； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果该校共有 1000 名学生，请你估计该校报 D 的学生约有多少人？
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21. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥AD， BC=CD，BE⊥CD，垂足为点 E，点 F 在 BD 上，连 结 AF、EF． （1）求证：AD=ED； （2）如果 AF∥CD，判断四边形 ADEF 是什么特殊四 边形．证明你的结论．
为圆心，以相同的长（大于 AB）为半径作弧，两弧相
交于点 M 和点 N，作直线 MN 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E．若 AC=3，AB=5，则 DE 等于______．
14. 关于 x 的一元二次方程 kx2+3x-1=0 有实数根，则 k 的取值范围是______．
15. 如图，在矩形 ABCD 中，M 为 BC 边上一点，连接 AM，过点 D
25. 如图，在 Rt△ABC 中，以 BC 为直径的⊙O 交 AC 于点 D，过点 D 作⊙O 的切线交 AB 于点 M，交 CB 延长线于点 N，连接 OM，OC=1． （1）求证：AM=MD； （2）填空： ①若 DN= ，则△ABC 的面积为______； ②当四边形 COMD 为平行四边形时，∠C 的度数为______．
A. y=-（x-1）2+3 B. y=（x+1）2+3 C. y=（x-1）2-3 D. y=-（x-1）2-3
二、填空题（本大题共 10 小题，共 20.0 分）
7. 分解因式：x4-16=______．
8.
-（ ）-2=______．
9. 实数 ， ，-7， 中，无理数有______．
10. 已知 2+ 是关于 x 的方程 x2-4x+m=0 的一个根，则 m=______． 11. 如图，在△ABC 中，AC=10，BC=6，AB 的垂直平分线交 AB
A. 28° B. 22° C. 32° D. 38°
5. 某校九年级模拟考试中，2 班的五名学生的数学成绩如下：85，95，110，100，110 ．下列说法不正确的是（ ）
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A. 众数是 110
B. 中位数是 110 C. 平均数是 100 D. 中位数是 100
6. 抛物线 y=（x-1）2+3 关于 x 轴对称的抛物线的解析式是（ ）
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24. 某工厂有甲种原料 130kg，乙种原料 144kg．现用这两种原料生产出 A，B 两种产品 共 30 件．已知生产每件 A 产品需甲种原料 5kg，乙种原料 4kg，且每件 A 产品可获 利 700 元；生产每件 B 产品需甲种原料 3kg，乙种原料 6kg，且每件 B 产品可获利 900 元．设生产 A 产品 x 件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题： （1）生产 A，B 两种产品的方案有哪几种； （2）设生产这 30 件产品可获利 y 元，写出 y 关于 x 的函数解析式，写出（1）中 利润最大的方案，并求出最大利润．
作 DE⊥AM，垂足为 E.若 DE＝DC＝1，AE＝2EM，则 BM 的长
为
.
16. 已知整数 a1，a2，a3，a4…满足下列条件：a1=0，a2=-|a1+1|，a3=-|a2+2|，a4=-|a3+3|， …，依此类推，则 a2019 的值为______．
三、解答题（本大题共 11 小题，共 88.0 分）
22. 图 1 是一台实物投影仪，图 2 是它的示意图，折线 O-A-B-C 表示支架，支架的一部 分 O-A-B 是固定的，另一部分 BC 是可旋转的，线段 CD 表示投影探头，OM 表示 水平桌面，AO⊥OM，垂足为点 O，且 AO=7cm，∠BAO=160°，BC∥OM，CD=8cm．
将图 2 中的 BC 绕点 B 向下旋转 45°，使得 BCD 落在 BC′D′的位置（如图 3 所 示），此时 C′D′⊥OM，AD′∥OM，AD′=16cm，求点 B 到水平桌面 OM 的距 离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到 1cm）
南京市2020版数学中考一模试卷(I)卷
南京市2020版数学中考一模试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019七下·合肥期中) 下列各数：，，，-0.34，，，0.101001（每两个1之间的0增加一个）中，无理数有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （2分）下面四个几何体中，其左视图为圆的是（）A .B .C .D .3. （2分）如图，直线l1∥l2 ，∠1=50°，∠2=23°20′，则∠3的度数为（）A . 26°40′B . 27°20′C . 27°40′D . 73°20′4. （2分） (2015八下·农安期中) 如果分式的值为0，那么x为（）A . ﹣2B . 0C . 1D . 25. （2分）下列运算正确的是（）A . a6÷a2=a3B . a6+a2=a8C . （a2）3=a6D . 2a×3a=6a6. （2分） (2017·天等模拟) 某市今年参加中考的学生人数大约为2.08×104人，对于这个用科学记数表示的近似数，下列说法中正确的是（）A . 精确到百分位B . 精确到十分位C . 精确到个位D . 精确到百位7. （2分）(2019·凤翔模拟) 如图，⨀O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC的长为（）A . 2B . 2C . 4D . 68. （2分）不等式组的整数解的个数是（）A . 3B . 5C . 7D . 无数个9. （2分）下列各选项的两个图形（实线部分），不属于位似图形的是（）A .B .C .D .10. （2分）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（）A . mB . mC . mD . m二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2019八下·端州月考) 计算的结果是________．12. （1分） (2018八上·重庆期末) 如图，在四边形ABCD中，，，将AD、BC 分别平移到EF和EG的位置若，，，则AB的长是________cm．13. （1分）(2019·通辽) 如图，是我市6月份某7天的最高气温折线统计图，则这些最高气温的中位数是________℃．14. （1分） (2018九上·杭州期中) 若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如796就是一个“中高数”．若十位上的数字为6，则从3，4，5，7，8中任选两数（不重复），与6组成“中高数”的概率是为________．三、解答题 (共10题；共64分)15. （5分）计算：（1）（x+3）2+x（x﹣6）（2）（x+1﹣）÷ ．16. （5分） (2017九上·肇源期末) 解方程：．17. （2分） (2019八上·港南期中) 已知为的内角平分线，，，，请画出图形，（必须保留作图痕迹）.18. （2分）每年5月的第二个星期日是“母亲节”，为了解同学们今年母亲节是怎样陪妈妈过的，随机对校园里的同学进行了调查，调查结果有以下几种：“给妈妈买礼物”，“帮妈妈做家务”，“陪妈妈看电影”，“今年忘了”，分别记为“A”，“B”，“C”，“D”．根据调查统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：（1）这次共调查了________名同学，扇形统计图中表示“C”的扇形的圆心角的度数为________度，请补全折线统计图；（2）现在要从选择“B”的同学和选择“D”的同学中分别选一位同学来谈谈各自对“母亲节”的感想，请用画树状图或列表法求选中的两人刚好是一位女同学和一位男同学的概率．19. （10分） (2017八上·乐清期中) 育英学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金．20. （2分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，延长AB至E，使AE=AC，过E作EF⊥AC于F，EF交BC于G．（1）求证：AG平分∠BAC；（2）若∠E=40°，求∠AGB的度数．21. （2分）(2018·南京) 如图，为了测量建筑物的高度，在处树立标杆，标杆的高是 .在上选取观测点、，从测得标杆和建筑物的顶部、的仰角分别为、，从测得、的仰角分别为、 .求建筑物的高度（精确到） .（参考数据：，， .）22. （10分）(2018·兰州) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）请直接写出时，x的取值范围；（3）过点B作轴，于点D，点C是直线BE上一点，若，求点C的坐标．23. （15分）(2018·宜宾) 在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点 .如图，直线与抛物线交于点两点，直线为 .（1）求抛物线的解析式；（2）在上是否存在一点，使取得最小值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）已知为平面内一定点，为抛物线上一动点，且点到直线的距离与点到点的距离总是相等，求定点的坐标.24. （11分）(2016·嘉兴) 我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共10题；共64分)15-1、15-2、16-1、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、。
2020年江苏省南京市中考数学全真模拟试卷附解析
2020年江苏省南京市中考数学全真模拟试卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．已知⊙O 的半径为 r ，圆心0到直线l 的距离为 d. 若直线l 与⊙O 有交点，则下列结论正确的是（ ）A ．d=rB ．d ≤rC ． d ≥rD ． d <r 2．甲、乙两袋均有红、黄色球各一个，分别从两袋中任意取出一球，那么所取出的两球是同色球的概率为（ ）A ．23B ．12C ．13D ．163． 两个相似三角形的相似比是 2：3，其中较大的三角形的面积为 36 cm 2，则较小的三 角形的面积是（ ）A ．16cm 2B ． 18 cm 2C ．2O cm 2D ．24 cm 2 4．已知□ABCD 的周长是8 cm ，△ABC 的周长是7 cm ，则对角线AC 的长是（ ）A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm 5．在频率分布直方图中，下列结论成立的是（ ）A ．各小组频率之和等于nB ．各小组频数之和等于1C ．各小组频数之和等于nD ．各小组长方形高的和等于l6．一组数据共40个，分为6组，第一组到第四组的频数分别为l0，5，7，6，第五组的频 率为0．1，则第六组的频数为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．10 7．把0.000295用科学计数法表示并保留两个有效数字的结果是（ ）A ．43.010-⨯B ．53010-⨯C ．42.910-⨯D ．53.010-⨯ 8． 已知222220a a b b ++++=，则1b a+的值是（ ） A ．2B ．1C ．0D ．-1 9．若2416()x x x ⋅⋅=，则括号内的代数式应为（ ）A ． 2xB ．4xC ． 8xD ．10x 10．赵师傅透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的菱形图案的一角（如图所示），那么∠A 与放大镜中的∠C 的大小关系是（ ）A ．∠A=∠CB ．∠A ＞∠CC ．∠A ＜∠CD ．∠A 与∠C 的大小无法比较11．如图所示，△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可直接判定（）A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACE C．△BED≌△CED D．以上答案都不对12．如果三角形的两边长分别为7和2，且它的周长为偶数，那么，第三边的长为（）A．5 B．6 C．7 D．813．由图，可知销售量最大的一年是（）A． 2005年B． 2006年C．2007年D．无法确定14．张颖同学把自己一周的支出情况，用如图所示的统计图来表示．则从图中可以看出（）A．一周支出的总金额B．一周各项支出的金额C．一周内各项支出金额占总支出的百分比D．各项支出金额在一周中的变化情况15．如图是条跳棋棋盘．其中格点上的黑色为棋子．剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行．跳行一次称为一步．已知点A 为乙方一枚棋子．欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为（）A ．2步B ．3步C ．4步D ．5步二、填空题16．已知：若432z y x ==，则=+--+z y x z y x 22 ． 17．若一条弧长等于l ，它的圆心角等于n °，则这条弧的半径R= ．18．如图所示，水平放置的圆柱形油桶的截面半径是 R ，油面高为截面上有油的弓形(阴影部分)的面积为 ．19．如果一个三角形的三边长分别为1，k ，3，则化简7－4k 2－36k ＋81 －∣2k －3∣的结果为 .20．数x 的2倍比3要大；数x 与3的和不大于5，则可以得到关于 x 的不等式组 ．21．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，则图中共有等腰直角三角形 个．22．在一次质检抽测中，随机抽取某摊位20袋食盐，测得各袋的质量分别为(单位：g)： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据以上抽测结果，任买一袋该摊位的食盐，质量在497.5g ～501.5g 之间的概率为 ．23．如图,把五边形ABCD Ｏ变换到五边形CDEFO,应用了哪种图形变换?请完整地叙述这个变换: ．24．如图，AB+BC>AC ，其理由是 ．25．已知数a 为负数，且数轴上表示a 的点到原点的距离等于 3，将该点向右移动 6 个单位后得到的数的相反数是 ．三、解答题26．如图，正方形ABCD 的边长为l ，G 为CD 边上的一个动点(点G 与C ，D 不重合)，以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连结DE 交BG 的延长线于H ．(1)求证：①△BCG ≌△DCE ；②BH ⊥DE ．27．已知：a 是有理数，且a=0，b 是无理数，求证：ab 是无理数．28． 如图是一个正三角形的路标，若它的边长为22，试求出这个路标的面积.2329．已知3x y +=，1xy =，求22x y +，2()x y -的值.30．某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A 、B 两种型号的车可供调用，已知A 型车每辆可装20吨，B 型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A 型车的前提下至少还需调用B 型车多少辆？【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．B3．A4．C5．D6．D7．A8．A9．D10．A11．B12．C13．C14．C15．B二、填空题16．74 17． 180l n π18．2223R π19． 120．2335x x >⎧⎨+≤⎩21． 322．1423． 五边形ABCD Ｏ绕着点O 顺时针方向旋转90°得到五边形CDEFO 24．两点之间线段最短25．-3三、解答题26．(1)略；(2)距C 点1)处27．假设ab 是有理数．设ab=q ，则q b a=，∵q ，a 都是有理数，∴b 是有理数．这与已知相矛盾，假设不成立，ab 是无理数28．．222()27x y x y xy +=+-=，22()()45x y x y xy -=+-=30．解：设还需要B 型车x 辆，根据题意，得：20515300x ⨯+≥， 解得：1133x ≥．由于x 是车的数量，应为整数，所以x 的最小值为14． 答：至少需要14台B 型车．。
2020年江苏省南京市中考数学模拟检测试卷附解析
2020年江苏省南京市中考数学模拟检测试卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．∠A 是锐角，tanA>33，则∠A （ ） A ．小于30° B ．大于30° C ．小于60° D ．大于60°2．下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同一个圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三个点确定一个圆. 其中正确命题的个数为（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个 3．已知ABC △内接于⊙O ，OD AC ⊥于D ，如果32COD =∠，那么B ∠的度数为（ ）A ．16°B ．32°C ．16°或164°D ．32°或148°4．如图，一块等边三角形的木板，边长为 1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B 点从开始至结束所走过的路程长度为（ ）A ．32πB ．43πC ．4D ．322π+5．用反证法证明“a b >”时应假设（ ）A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a b ≤6．证明下列结论不能运用公理“同位角相等，两直线平行”的是 （ ）A ．同旁内角互补，两直线平行B ．内错角相等，两直线平行C ．对顶角相等D ．平行于同一直线的两条直线平行7．编织一副手套收费3．5元，则加工费y （元）与加工件数x （副）之间的函数解析式为 （ ）A ．y=3．5+xB ．y=3．5-xC ．y=3．5xD ． 3.5y x = 8．2421-可以被在60 和 70 之间的两个数整除，这两个数是（ ）A ．61，63B ．63，65C ． 65，67D ． 67，699．从1 到 20 的 20 个自然数中任取一个，既是2 的倍数，又是 3 的倍数的概率是（ ）A ．120B ．310C ． 12 D ．320 10．下列英文字母中是轴对称图形的是（ ）A ．SB ．HC ．PD ．Q二、填空题11．在一个有两层的书架中，上层放有语文、数学两本书，下层放有科学、英语、社会 3 本书，由于封面都被同样的纸包起来，无法辨认，现分别从上下层中各抽出一本书，恰好分别是数学和社会的概率是 ．12．已知矩形的面积为 24㎝2，那么矩形的长y(㎝)与宽 x(cm)之间的函数解析式为 ，比例系数是 ．13．已知223x x --与7x +的值相等，则x 的值是 .14．如图所示，□ABCD 中，AB=8 cm ，64ABCD S =cm 2，OE ⊥AB 于E ，则OE= cm ．15．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点：观察图中每一个正方形(实线)四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第l0个正方形(实线)四条边上的整点个数共有 个．16．在正数种运算“*”，其规则为a *b =11a b+，根据这个规则(1)*(1)0x x -+=的解为 . 17．（12a 3－8a 2+25a ）÷4a= ． 18．3227xy z -的次数是 ，系数是 ． 19．33亿精确到 位，有 个有效数字，它们是 ；26．5万精确到 位，有 个有效数字，它们是 ．三、解答题20．如图所示：大王站在墙前，小明站在墙后，大王不能让小明看见，请你画出小明的活动区域.21．已知：如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，(1) 求证：△CPB≌△AEB；(2) 求证：PB⊥BE；(3) 若PA∶PB＝1∶2，∠APB＝135°,求PA∶AE的值．22．若规定两数a，b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如 2※6=4×2×6 =48.(1)求3※5 的值；(2)求x※x+2※x-2※4=0中x的值.23．如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E．使AE=AB，求∠EBC的度数．24．解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来：(1）3(3)4(1)2y y-<++；（2）323 228x x-≥-25．阅读下列解题过程：已知：a、b、c为△ABC一的三边，且满足222244a cbc a b-=-，试判定△ABC的形状．解：∵222244a cbc a b-=-（A）∴2222222()()()c a b a b a b-=+-，(B)∴222c a b=+, （C）∴△ABC是直角三角形．问：(1)上述解题过程中，从哪一步开始出现错误?请你写出该步的代号：．(2)错误的原因为：．(3)本题正确的结论是：．26．如图，已知∠ABC = 50°，∠ACB = 80°，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点O．过点O 作BC 的平行线，分别交 AB、AC 于点D、E．求∠BOC的度数．27．探索发现：两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算，例如（7x+2+6x2）÷（2x+1）•，•仿照672÷21计算如下：F E D C B A 因此（7x+2+6x 2）÷（2x+1）=3x+2，阅读上述材料后，试判断x 3-x 2-5x-3能否被x+1•整除，说明理由．28．如图，BD ＝CD ，∠ABD ＝∠ACD ，DE 、DF 分别垂直于AB 及AC 交延长线于E 、F ． 求证：DE ＝DF ．29． 已知一个角的补角比这个角小 30°，求这个角的度数.30．如图，射线OC 和OD 把平角AOB 三等分，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ．(1)求∠COD 的度数；(2)写出图中所有的直角；(3)写出∠COD 的所有余角和补角．【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．C3．D4．B5．D6．C7．C8．B9．D10．B二、填空题11． 1612． 24y x=，24 13．5 或-214．415．4016．0x =17．85232+-a a 18． 4，87- 19．亿两；3，3；千，三；2，6，5三、解答题20．如图，阴影部分即为小明的活动区域.21．解（1） 正方形ABCD ，∴AB=BC ， ∠ABE ＝∠CBP ，BE ＝BP ，∴△CPB ≌△AEB(2） ∠ABC ＝∠CBP+∠ABP ＝90°，∠PBE ＝∠EBA+∠ABP而∠ABE ＝∠CBP ，∴∠ABC ＝∠PBE=90°，∴PB ⊥BE ．(3）连结PE ， △CPB ≌△AEB ∴PB=EB PB ⊥BE ，∴△EPB 为等腰直角三角形，∴∠BPE ＝∠BEP=45°，∠APB ＝135°，∴∠APE ＝90°，PA ∶PB ＝1∶2，设PA=x ，则PB=2x ，PE=x 22，∴由勾股定理得AE=22)22(x x +=3x ，∴PA ∶AE=x ∶3x =1∶3． 22．(1) 60 (2)12x =，24x =-23．15°24．(1)y>-15；(2)x ≤412图略 25．(1)C ；(2)220a b -=可能成立；(3)△ABC 为等腰三角形或直角三角形26．115°27．能，商式为322--x x ．28．∠ABD=∠ACD ，则∠E+∠BDE =∠F+∠CDF, 由于 ∠E=∠F ，∴∠BDE =∠CDF ，∴△BED ≌△CFD(AAS)，∴DE=DF ．29．105°30．(1)60° (2)∠DOE 与∠COF (2)∠COD 的余角：∠AOE 、∠EOC 、∠DOF 、∠FOB ；∠COD 的补角：∠AOD 、∠EOF 、∠BOC。
江苏省南京市2020年(春秋版)中考数学一模试卷(I)卷
江苏省南京市2020年（春秋版）中考数学一模试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·贺州) 在﹣1、1、、2这四个数中，最小的数是（）A . ﹣1B . 1C .D . 22. （2分）计算:(-2)2 015· 等于（）A . -2B . 2C . -D .3. （2分）(2018·河北模拟) 如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA等于（）A . 30°B . 36°C . 45°D . 32°4. （2分）假定有一排蜂房,形状如图,一只蜜蜂在左下角的蜂房中,由于受伤,只能爬,不能飞,而且只能永远向右方(包括右上、右下)爬行,从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去.则从最初位置爬到4号蜂房中,不同的爬法有（）A . 4种B . 6种C . 8种D . 10种5. （2分） (2016八上·唐山开学考) 在下列长度的四根木棒中，能与4cm、10cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（）A . 4cmB . 5cmC . 9cmD . 14cm6. （2分） (2019九上·张家港期末) 如图，已知等腰△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E，若CD＝4 ，CE＝8，则⊙O的半径是（）A .B . 5C . 6D .7. （2分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（）A .B .C .D .8. （2分）(2019·双柏模拟) 在一次数学测试中，某学校小组6名同学的成绩（单位：分）分别为65，82，86，82，76，95，关于这组数据，下列说法错误的是（）A . 众数是82B . 中位数是82C . 方差8.4D . 平均数是819. （2分） (2019九下·温州竞赛) 如图，平面直角坐标系中，已知点P(2，2)，C为y轴正半轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴。
江苏省南京市2020届中考数学仿真模拟试卷 (含解析)
江苏省南京市2020届中考数学仿真模拟试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.计算：−5−(−12)=()A. 17B. 7C. −17D. −72.(−5)2的平方根是()A. −5B. ±5C. 5D. 253.计算：(x4)2÷x2的结果是()A. x3B. x4C. x5D. x64.如图，所提供的信息正确的是()A. 七年级学生最多B. 九年级的男生是女生的两倍C. 九年级学生女生比男生多D. 八年级比九年级的学生多5.已知x1，x2是一元二次方程2x2−3x+1=0的两个根，下列结论正确的是()A. x1+x2=−32B. x1⋅x2=1C. x1，x2都是有理数D. x1，x2都是无理数6.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，经过A，D两点的⊙O与边BC相切于点E，则⊙O的半径为()A. 4B. 214C. 5 D. 254二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7.在−3、+(−3)、−|−4|、−(+2)、−a中，负数的个数有______个．8.若式子2x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．9. 被誉为“中国天眼”的FAST 望远镜，新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．用科学记数法表示0.00519是______．10. 计算√6−3√3的结果是______．11. 如果关于x 、y 的方程组{x +2y =6+k2x −y =9−2k 的解满足3x +y =5，则k 的值=______．12. 方程3x+1=2x 的解是 ．13. 若把一次函数y =kx +b 的图象先绕着原点旋转180°，再向左平移2个单位长度后，恰好经过点A(−4,0)和点B(0,2)，则原一次函数的表达式是______． 14. 在正六边形ABCDEF 中，若边长为3，则正六边形ABCDEF 的边心距为______．15. 如图，锐角三角形ABC 中，直线L 为BC 的垂直平分线，直线M为∠ABC 的角平分线，L 与M 相交于P 点，若∠A =60°，∠ACP =24°，则∠ABP = ______ ．16. 二次函数y =2x 2+mx +8的图象顶点在x 轴上，则m 的值是______． 三、计算题（本大题共2小题，共15.0分） 17. 解方程：x 2+8x −20=0．18. 如图，C 地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，由A 地到C 地需要绕行附近的B 地，已知B 地位于A 地的北偏东67°方向，距离A 地520km ，C 地位于B 地南偏西30°方向，若要打通穿山隧道建高铁，求线段AC 的长(结果保留整数)(参考数据：√3≈1.73，sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125)四、解答题（本大题共9小题，共73.0分） 19. 化简：(1+1a−1)÷aa 2−2a+1．20. 如图，点E 、F 在BC 上，BE =CF ，AB =DC ，AF =DE.求证：∠A =∠D ．21. 解不等式组：{2(6−x)>3(x −1),x 3−x−22≤1.，并把解集在数轴上表示出来．22.今年我市体育中考的现场选测项目中有一项是“排球30秒对墙垫球”，为了了解某学校九年级学生此项目平时的训练情况，随机抽取了该校部分九年级学生进行测试，根据测试结果，制作了如下尚不完整的频数分布表：(1)填空：a=，b=；(2)这个样本数据的中位数在第组；(3)下表为《体育与健康》中考察“排球30秒对墙垫球”的中考评分标准，若该校九年级有500名学生，请你估计该校九年级学生在这一项目中得分在7分以上(包括7分)学生约有多少人？23.清明小长假，小明和小华准备到泰兴公园(记为A)、黄桥古镇(记为B)、古银杏森林公园(记为C)中的一个景点去游玩，他们各自在这三个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．(1)小明选择去古银杏森林公园游玩的概率为______；(2)用树状图或列表的方法求小明和小华选择去同一个地方游玩的概率．24.如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AB，BC上，ED//BC，EF//AC.求证：BE=CF．25.某学生购进一批单价为20元的T恤进行义卖，并将所得利润捐给贫困山区．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数．(1)求y与x满足的函数表达式(不要求写出x的取值范围)．(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润p最大？26.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，CE⊥CD，且CDCB =35，CEAC=35.求证：△ACD∽△ECF．27.已知长方形ABCD中，AD=10cm，AB=6cm，点M在边CD上，由C往D运动，速度为1cm/s，运动时间为t秒，将△ADM沿着AM翻折至△AD′M，点D对应点为D′，AD′所在直线与边BC交于点P．(1)如图1，当t=0时，求证：PA=PC；(2)如图2，当t为何值时，点D′恰好落在边BC上；(3)如图3，当t=3时，求CP的长．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题主要考查的是有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键．先将减法转化为加法，然后再进行计算即可．解：原式=−5+12=7．故选B．2.答案：B解析：解：∵(−5)2=25=(±5)2，∴(−5)2的平方根是±5．故选：B．根据平方根的定义进行计算即可得解．本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．3.答案：D解析：先运用幂的乘方化简，再进行同底数幂的除法运算，根据同底数幂的除法，底数不变指数相减，可得答案．本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法，按照运算顺序进行计算是解题关键．解：原式=x8÷x2=x8−2=x6．故选：D．4.答案：B解析：本题考查从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，根据图中数据进行正确计算．根据条形图，可读出各年级的男生和女生人数，进而求出各年级的总人数，根据所得数值，可对四个选项进行判断．解：根据图中数据计算：七年级人数是8+13=21；八年级人数是14+16=30；九年级人数是10+ 20=30．所以A和D错误；根据统计图的高低，显然C 错误；B 中，九年级的男生20人是女生10人的两倍，正确． 故选：B ．5.答案：C解析：解：x 1+x 2=32，x 1x 2=12，所以A 、B 选项错误， 因为△=(−3)2−4×2×1=1，所以x 1，x 2都是有理数，则A 选项正确，D 选项错误． 故选：C ．利用根与系数的关系对A 、B 进行判断；根据根的判别式对C 、D 进行判断．本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−ba，x 1x 2=ca .也考查了根的判别式的意义．6.答案：D解析：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和矩形的性质．解决本题的关键是构建直角三角形，利用勾股定理建立关于半径的方程．连结EO 并延长交AD 于F ，连接AO ，由切线的性质得OE ⊥BC ，再利用平行线的性质得到OF ⊥AD ，则根据垂径定理得到AF =DF =12AD =6，由题意可证四边形ABEF 为矩形，则EF =AB =8，设⊙O 的半径为r ，则OA =r ，OF =8−r ，然后在Rt △AOF 中利用勾股定理得到(8−r)2+62=r 2，再解方程求出r 即可．解：如图，连结EO 并延长交AD 于F ，连接AO ，∵⊙O 与BC 边相切于点E ， ∴OE ⊥BC ，∵四边形ABCD 为矩形， ∴BC//AD ， ∴OF ⊥AD ，∴AF =DF =12AD =6，。
2020年南京市数学中考模拟试卷及答案
∴在 Rt△AOB 中，AB= 22 +32 = 13 ，
∴菱形的周长为 4 13 ．
故选 C．
8．D
解析：D 【解析】 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一 条直线上，那么这两个图形叫做位似图形。把一个图形变换成与之位似的图形是位似变 换。因此， ∵矩形 OA′B′C′与矩形 OABC 关于点 O 位似，∴矩形 OA′B′C′∽矩形 OABC。
17．口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的 概率是 0.2，摸出白球的概率是 0.5，那么摸出黑球的概率是 ． 18．如图，在平行四边形 ABCD 中，连接 BD，且 BD＝CD，过点 A 作 AM⊥BD 于点
M，过点 D 作 DN⊥AB 于点 N，且 DN＝ 3 2 ，在 DB 的延长线上取一点 P，满足∠ABD
x2
2x
解得 x＝ 2 ， 2a
∵关于 x 的分式方程 1 ax 2 1 有整数解，且 a 为整数
x2
2x
∴a＝0、3、4
关于
x
的不等式组
x x
3
a 2
0 2(
x
1)
整理得
x x
a 4
∵不等式组
x
3
a
0
的解集为 x＞4
x 2 2(x 1)
∴a≤4
于是符合条件的所有整数 a 的值之和为：0+3+4＝7
【详解】
由折叠性质得：△ANM≌△ADM，
∴∠MAN=∠DAM，
∵AN 平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，
∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，
∵四边形 ABCD 是矩形，
2023年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷【答案版】
2023年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1．下列计算结果是正数的是（ ） A ．2+（﹣3）B ．2﹣（﹣3）C ．2×（﹣3）D ．﹣322．64的立方根是（ ） A ．±8B ．±4C ．8D ．43．某校用标准视力表检查全校学生的视力，并将全校学生的视力情况会制成如图的扇形统计图，则该校学生视力的中位数可能是（ ）A ．4.5B ．4.7C ．4.9D ．5.14．在三边长分别为a ，b ，c （a ＜b ＜c ）的直角三角形中，下列数量关系不成立的是（ ） A ．a +b ＞cB ．a +b ＜2cC ．√a +√b ＜√cD ．a 2+b 2＝c 25．如图，用长为21m 的栅栏围成一个面积为30m 2的矩形花圃ABCD ．为方便进出，在边AB 上留有一个宽1m 的小门EF ．设AD 的长为x m ，根据题意可得方程（ ）A ．x ⋅21−2x2=30 B ．x ⋅21−2x+12=30C ．x ⋅21−2x−12=30 D ．x ⋅21−x+12=30 6．如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M 到点N 的所有路径中，最短路径的长是（ ）A．5B．√5+2√2C．2√5+1D．2+√2+√5二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上）7．“兔年报新春，金陵呈祥瑞”，2023年春节假日期间，南京市组织开展了丰富多彩的文化旅游活动，据初步统计测算，全市共接待游客6173600人次．用科学记数法表示6173600是．8．计算a3•a4÷（a2）3（a≠0）的结果是．9．不等式﹣2x+1≥5的解集是．10．计算√6×√8−√27的结果是．11．方程2x+3=1x−1的解是．12．已知y是x的反比例函数，其部分对应值如表：若a＞b，则m n．（填“＞”“＜”或“＝”）13．如图是一个直角三角形纸片的一部分，测得∠A＝90°，∠B＝76°，AB＝10cm，则原来的三角形纸片的面积是cm2．（结果精确到1cm2，参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01．）14．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，AE分别相切于点M，N，且经过点C，D．若⊙O的半径为2，则MN̂的长是．（结果保留π）15．如图，在四边形ABCD 中，CB ＝CD ，对角线AC 平分∠BAD ．若∠ACB ＝90°，∠ACD ＝40°，则∠B 的度数是 ．16．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其顶点为C ，连接AC ，若AB ＝6，AC ＝5，则a 的值是 ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解方程组{x +2y =52x +y =−2．18．计算m 2−1m÷(m +2m+1m)．19．（8分）如图，在菱形ABCD 中，AC 是对角线，E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，连接EF ，交AC 于点G ．（1）求证EF ⊥AC ；（2）若∠DAC ＝30°，AB ＝2，则EF 的长为 ．20．（8分）2022年4月，教育部印发了新的《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某校据此开展了“布艺”，“烹饪”，“家居美化”三门课．甲，乙，丙三名同学分别从中随机选择一门学习．（1）求甲，乙选择的课相同的概率；（2）甲，乙，丙选择的课均不相同的概率是 ．21．（8分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？22．（8分）已知二次函数y＝a（x﹣m）2﹣a（a，m为自然数，且a≠0）．（1）求证：不论a，m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）将该函数的图象绕原点旋转180°，则所得到的图象对应的函数表达式为．23．（8分）截止到2022年12月，南京市已经开通了两类地铁钱——市区地铁线（1号，2号，3号，4号，10号）和市域地铁线（S1，S3，S6，S7，S8，S9）．经过长期统计，其日客运量有一定规律性．如图是某月连续13天两类地铁线日客运量的折线统计图．（1）在这13天中，全市两类地铁线日客运量最多的一天总人数是万人，最少的一天总人数是万人；（2）关于这13天的描述：①对同一类地铁线而言，周六、周日的日客运量不超过工作日（周一到周五）的日客运量；②市区地铁线平均日客运量是市域地铁线的6～7倍；③市区地铁线日客运量比市域地铁线日客运量波动大．其中正确的是；（填序号）（3）若该月20日市域地铁线客运量为21.8万人，试根据你发现的规律，估计当日市区地铁线客运量人数，并说明理由．24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l与△ABC的外接圆相切于点B，D是l上一点，DC＝DB．（1）求证：DC与△ABC的外接圆相切；（2）若DC＝AB＝4，则BC的长是．25．（8分）如图，已知线段a．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝AC，且分别满足下列条件：（1）BC＝a．（2）△ABC的周长等于a．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）26．（10分）慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发0.2h后快车也从甲地出发，匀速行驶，到达乙地后保持原速沿原路返回甲地．已知快车出发0.4h时第1次追上慢车．在整个行程中，慢车离甲地的距离y1（单位：km）与时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示．（1）在图中画出快车离甲地的距离y2（单位：km）与时间t之间的函数图象；（2）若快车出发2.2h时与慢车第2次相遇．①求快车从出发到返回甲地所用的时间；②当两车第2次相遇的地点距离甲地240km时，s的值为．27．（10分）如图①～⑧是课本上的折纸活动．【重温旧知】上述活动，有的是为了折出特殊图形，如图①、③和⑧；有的是为了发现或证明定理，如图④和⑦；有的是计算角度，如图②；有的是计算长度，如图⑤和⑥．（1）图③中的△ABC的形状是，图④的活动发现了定理“”（注：填写定理完整的表述），图⑤中的BF的长是．【新的发现】（2）图⑧中，在第3次折后，点D落在点D′处，直接写出点D'的位置特点．【换种折法】（3）图⑧中，在第1次折后，再次折叠，如图⑨，使点A与点F重合，折痕为MN，点D落在点D″处，FD″与CD交于点P．说明P为CD的三等分点．【继续探索】（4）如何折叠正方形纸片ABCD得到边AD的五等分点？请画出示意图，简述折叠过程，并说明理由．2023年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．下列计算结果是正数的是（）A．2+（﹣3）B．2﹣（﹣3）C．2×（﹣3）D．﹣32解：A、2+（﹣3）＝﹣1，B、2﹣（﹣3）＝5，C、2×（﹣3）＝﹣6，D、﹣32＝﹣9，结果是正数的是5；故选：B．2．64的立方根是（）A．±8B．±4C．8D．43=4，∴64的立方根是4．解：∵√64故选：D．3．某校用标准视力表检查全校学生的视力，并将全校学生的视力情况会制成如图的扇形统计图，则该校学生视力的中位数可能是（）A．4.5B．4.7C．4.9D．5.1解：把全校学生的视力从低到高排列，排在中间的数在4.6﹣4.7，所以该校学生视力的中位数可能是4.7．故选：B．4．在三边长分别为a，b，c（a＜b＜c）的直角三角形中，下列数量关系不成立的是（）A．a+b＞c B．a+b＜2c C．√a+√b＜√c D．a2+b2＝c2解：A 、a +b ＞c ，正确，故A 不符合题意；B 、由a ＜c ，b ＜c ，得到a +b ＜2c ，故B 不符合题意；C 、由a +b ＞c ；a ，b ，c 是正数，得到(√a)2+(√b)2＞(√c)2，因此(√a)2+(√b)2+2√ab ＞(√c)2，所以(√a +√b)2＞(√c)2，得到√a +√b ＞√c ，故C 符合题意；D 、由勾股定理得：a 2+b 2＝c 2，故D 不符合题意． 故选：C ．5．如图，用长为21m 的栅栏围成一个面积为30m 2的矩形花圃ABCD ．为方便进出，在边AB 上留有一个宽1m 的小门EF ．设AD 的长为x m ，根据题意可得方程（ ）A ．x ⋅21−2x2=30 B ．x ⋅21−2x+12=30C ．x ⋅21−2x−12=30 D ．x ⋅21−x+12=30 解：设AD 的长为x m ，那么另一边AB 的长为21−2x+12m ，由题意得：x •21−2x+12=30．故选：B ．6．如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M 到点N 的所有路径中，最短路径的长是（ ）A ．5B ．√5+2√2C ．2√5+1D ．2+√2+√5解：将第一层小正方形的顶面和正面，以及第二层小正方形的顶面和正面展开， 如图，连接MN ，则MN =√42+32=5，故选：A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上）7．“兔年报新春，金陵呈祥瑞”，2023年春节假日期间，南京市组织开展了丰富多彩的文化旅游活动，据初步统计测算，全市共接待游客6173600人次．用科学记数法表示6173600是 6.1736×106．解：6173600＝6.1736×106．故答案为：6.1736×106．8．计算a3•a4÷（a2）3（a≠0）的结果是a．解：a3•a4÷（a2）3（a≠0）＝a3•a4÷a6＝a7÷a6＝a．故答案为：a．9．不等式﹣2x+1≥5的解集是x≤﹣2．解：﹣2x+1≥5，移项，得：﹣2x≥5﹣1，合并同类项，得：﹣2x≥4，系数化为1，得：x≤﹣2．故答案为：x≤﹣2．10．计算√6×√8−√27的结果是√3．解：√6×√8−√27=√6×8−3√3＝4√3−3√3=√3，故答案为：√3．11．方程2x+3=1x−1的解是x＝5．解：在方程两侧同时乘以最简公分母（x+3）（x﹣1）去分母得，2x﹣2＝x+3，解得x＝5，经检验x＝5是分式方程的解．故答案为：x＝5．12．已知y是x的反比例函数，其部分对应值如表：若a＞b，则m＞n．（填“＞”“＜”或“＝”）解：∵﹣2＜﹣1，a＞b，∴每个象限内，y随x的增大而减小，∵1＜2，∴m＞n．故答案为：＞．13．如图是一个直角三角形纸片的一部分，测得∠A ＝90°，∠B ＝76°，AB ＝10cm ，则原来的三角形纸片的面积是 201 cm 2．（结果精确到1cm 2，参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01．）解：设直角三角形的另一直角边为AC ， ∵∠A ＝90°，∠B ＝76°，AB ＝10cm ， ∴tan B =ACAB， 即tan76°=AC 10， 解得：AC ≈40.1cm ，∴原来的三角形纸片的面积是：12AC ⋅BC =12×40.1×10≈201cm 2．故答案为：201．14．如图，⊙O 与正五边形ABCDE 的边AB ，AE 分别相切于点M ，N ，且经过点C ，D ．若⊙O 的半径为2，则MN̂的长是 45π ．（结果保留π）解：∵⊙O 与正五边形ABCDE 的边AB 、AE 相切于点M 、N ， ∴OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，∠A ＝（5﹣2）×180÷5＝108°， ∴∠AMO ＝∠ANO ＝90°， ∴∠MON ＝180°﹣∠A ＝72°， ∵⊙O 的半径为2，∴劣弧MN ̂的长度为：72π×2180=45π．15．如图，在四边形ABCD 中，CB ＝CD ，对角线AC 平分∠BAD ．若∠ACB ＝90°，∠ACD ＝40°，则∠B 的度数是 65° ．解：如图，过C 作CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，∵对角线AC 平分∠BAD ，∴CE ＝CF ，∠CAE ＝∠CAD ，∵∠F ＝∠AEC ＝90°，∴∠ACE ＝∠ACF ，在Rt △CBE 与Rt △CDF 中，{CE =CF CB =CD， ∴Rt △CBE ≌Rt △CDF （HL ），∴∠DCF ＝∠BCE ，设∠DCF ＝α，则∠BCE ＝α，∵∠ACD ＝40°，∠ACB ＝90°，∴40°+α+α＝90°，∴α＝25°，∴∠B ＝90°﹣25°＝65°．故答案为：65°．16．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其顶点为C ，连接AC ，若AB ＝6，AC ＝5，则a 的值是 49 ．解：过C 作CD ⊥x 轴于点D ．由题意可知AD ＝DB =12AB =12×6=3， ∵AC ＝5，∴CD ＝4，设A （m ，0），则B （m +6，0），C （m +3，﹣4），方法一：抛物线解析式为y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣m ﹣6），把C （m +3，﹣4）代入得：﹣4＝a （m +3﹣m ）（m +3﹣m ﹣6），解得a =49；方法二：将A （m ，0），B （m +6，0），C （m +3，﹣4）代入y ＝ax 2+bx +c 得：{0=am 2+bm +c①0=a(m +6)2+b(m +6)+c②−4=a(m +3)2+b(m +3)+c③，②化简得：m 2a +12ma +36a +mb +6b +c ＝0④，③化简得：m 2a +6ma +9a +mb +3b +c ＝﹣4⑤，④﹣①得：12ma +36a +6b ＝0⑥，⑤﹣①得：6ma +9a +3b ＝﹣4⑦，⑦×2得：12ma +18a +6b ＝﹣8⑧，⑥﹣⑧得：18a ＝8，解得：a =49，故答案为：49．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解方程组{x +2y =52x +y =−2． 解：代入消元法求解，由①，得x ＝5﹣2y ．③将③代入②，得2（5﹣2y ）+y ＝﹣2．解这个一元一次方程，得y ＝4．将y ＝4代入③，得x ＝﹣3．所以原方程组的解是{x =−3y =4． 方法二加减消元法求解：解：①×2，得2x +4y ＝10．③③﹣②，得3y ＝12．解这个一元一次方程，得y ＝4．将y ＝4代入①，得x ＝﹣3．所以原方程组的解是{x =−3y =4． 18．计算m 2−1m ÷(m +2m+1m )． 解：m 2−1m ÷(m +2m+1m )=m 2−1m ÷(m 2m +2m+1m ) =m 2−1m ÷m 2+2m+1m =(m+1)(m−1)m •m (m+1)2=m−1m+1．19．（8分）如图，在菱形ABCD 中，AC 是对角线，E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，连接EF ，交AC 于点G ．（1）求证EF ⊥AC ；（2）若∠DAC ＝30°，AB ＝2，则EF 的长为 1 ．（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝DC ＝AB ，AB ∥DC ，∴∠DAC ＝∠DCA ，∠DCA ＝∠BAC ，∴∠DAC ＝∠BAC ，∵E 为边AB 的中点，∴AE =12AB ．同理AF =12AD ，∴AE ＝AF ，∵AE ＝AF ，∠DAC ＝∠BAC ，∴AC ⊥EF ；（2）解：连接BD ，∵∠DAC ＝30°，四边形ABCD 是菱形，∴∠DAB ＝60°，AD ＝AB ，∴△ABD 是等边三角形，∴BD ＝AB ＝2，∵E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，∴EF =12BD ＝1，故答案为：1．20．（8分）2022年4月，教育部印发了新的《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某校据此开展了“布艺”，“烹饪”，“家居美化”三门课．甲，乙，丙三名同学分别从中随机选择一门学习．（1）求甲，乙选择的课相同的概率；（2）甲，乙，丙选择的课均不相同的概率是 29 ．解：（1）把“布艺”，“烹饪”，“家居美化”三门课分别记为A 、B 、C ，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中甲，乙选择的课相同的结果有3种，∴甲，乙选择的课相同的概率为39=13； （2）画树状图如下：共有27种等可能的结果，其中甲，乙，丙选择的课均不相同的结果有6种，∴甲，乙，丙选择的课均不相同的概率是627=29， 故答案为：29． 21．（8分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？解：设衬衫的单价降了x 元．根据题意，得（20+2x ）（40﹣x ）＝1250，解得：x 1＝x 2＝15，答：衬衫的单价降了15元．22．（8分）已知二次函数y ＝a （x ﹣m ）2﹣a （a ，m 为自然数，且a ≠0）．（1）求证：不论a ，m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；（2）将该函数的图象绕原点旋转180°，则所得到的图象对应的函数表达式为 y ＝﹣a （x +m ）2+a ．（1）证明：方法一，令y ＝0，得方程ax 2﹣2amx +am 2﹣a ＝0，∵一元二次方程ax 2﹣2amx +am 2﹣a ＝0的根的判别式Δ＝（﹣2am ）2﹣4a （am 2﹣a ）＝4a 2，a ≠0， ∴4a 2＞0，∴方程ax 2﹣2amx +am 2﹣a ＝0有两个不相等的实数根，∴不论a ，m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；方法二，令y ＝0，得方程a （x ﹣m +1）（x ﹣m ﹣1）＝0，∵a ≠0，∴x 1＝m ﹣1，x 2＝m +1，∵m ﹣1≠m +1，∴方程a （x ﹣m +1）（x ﹣m ﹣1）＝0有两个不相等的实数根，∴不论a，m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；方法三，令y＝0，得方程a（x﹣m）2﹣a＝0，∵a≠0，∴原方程可化为（x﹣m）2＝1，∵1＞0，∴方程a（x﹣m）2﹣a＝0有两个不相等的实数根，∴不论a，m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）∵二次函数y＝a（x﹣m）2﹣a的顶点坐标为（m，﹣a），∴将该函数的图象绕原点旋转180°，则所得到的图象对应的函数表达式为y＝﹣a（x+m）2+a，故答案为：y＝﹣a（x+m）2+a．23．（8分）截止到2022年12月，南京市已经开通了两类地铁钱——市区地铁线（1号，2号，3号，4号，10号）和市域地铁线（S1，S3，S6，S7，S8，S9）．经过长期统计，其日客运量有一定规律性．如图是某月连续13天两类地铁线日客运量的折线统计图．（1）在这13天中，全市两类地铁线日客运量最多的一天总人数是262.8万人，最少的一天总人数是165.4万人；（2）关于这13天的描述：①对同一类地铁线而言，周六、周日的日客运量不超过工作日（周一到周五）的日客运量；②市区地铁线平均日客运量是市域地铁线的6～7倍；③市区地铁线日客运量比市域地铁线日客运量波动大．其中正确的是①③；（填序号）（3）若该月20日市域地铁线客运量为21.8万人，试根据你发现的规律，估计当日市区地铁线客运量人数，并说明理由．解：（1）由统计图可知：在这13天中，全市两类地铁线日客运量最多的一天总人数是232.9+29.9＝262.8（万人），最少的一天总人数是143.5+21.9＝165.4（万人），故答案为：262.8；165.4；（2）关于这13天的描述：①对同一类地铁线而言，周六、周日的日客运量不超过工作日（周一到周五）的日客运量，正确；②市区地铁线平均日客运量不一定是市域地铁线的6﹣7倍，比如周三应当是201+25＝8倍，错误；③市区地铁线日客运量比市域地铁线日客运量波动大，正确．其中正确的是①③，故答案为：①③；（3）该月12日（周六）市区地铁线和市域地铁线客运量的差为171.6﹣24.2＝147.4（万人），该月19日（周六）市区地铁线和市域地铁线客运量的差为171.5﹣24.1＝147.4（万人），由此可知，周六市区地铁线和市域地铁线客运量的差基本一致．因为该月13日（周日）市区地铁线和市域地铁线客运量的差为143.5﹣21.9＝121.6（万人），推测该月20日（周日）市区地铁线客运量为21.8+121＝143.4（万人）．24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l与△ABC的外接圆相切于点B，D是l上一点，DC ＝DB．（1）求证：DC与△ABC的外接圆相切；（2）若DC＝AB＝4，则BC的长是8√55．（1）证明：设AB中点为O，连接OC，如图，∵∠ACB＝90°，∴AB是△ABC的外接圆的直径，即点O 为△ABC 的外接圆的圆心．∵直线l 与⊙O 相切于点B ，∴AB ⊥BD ，∴∠ABD ＝90°，∵DC ＝DB ，∴∠DBC ＝∠DCB ，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ．∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ．∴∠OCD ＝∠OCB +∠DCB ＝∠OBC +∠DBC ＝∠OBD ＝90°，即OC ⊥DC ，又∵点C 在⊙O 上，∴DC 与⊙O 相切，即DC 与△ABC 的外接圆相切；（2）解：连接OD 交BC 于E 点，如图，∵DC ＝AB ＝4，∴OB ＝2，BD ＝4，∴OD =√22+42=2√5，∵OB ＝OC ，DB ＝DC ，∴OD 垂直平分BC ，∴BE ＝CE ，∵12BE •OD =12OB •BD ， ∴BE =2×42√5=4√55， ∴BC ＝2BE =8√55． 故答案为：8√55．25．（8分）如图，已知线段a．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝AC，且分别满足下列条件：（1）BC＝a．（2）△ABC的周长等于a．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）解：（1）如图，△ABC即为所求；（2）如图，△ABC为所作．26．（10分）慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发0.2h后快车也从甲地出发，匀速行驶，到达乙地后保持原速沿原路返回甲地．已知快车出发0.4h时第1次追上慢车．在整个行程中，慢车离甲地的距离y1（单位：km）与时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示．（1）在图中画出快车离甲地的距离y2（单位：km）与时间t之间的函数图象；（2）若快车出发2.2h时与慢车第2次相遇．①求快车从出发到返回甲地所用的时间；②当两车第2次相遇的地点距离甲地240km时，s的值为285．解：（1）y2与t之间的函数图象如图所示：（2）①设慢车速度为v1km/h，快车速度为v2km/h，根据题意，得0.6v1＝（0.6﹣0.2）v2，∴v2＝1.5v1，根据题意得y1＝v1t，∵2.2+0.2＝2.4，∴点E的坐标为（2.4，2.4v1），设CD的函数表达式为y2＝﹣1.5v1t+n，将（2.4，2.4v1）代入得：2.4v1＝﹣1.5v1×2.4+n，∴n＝6v1，∴CD的函数表达式为y2＝﹣1.5v1t+6v1，令y2＝0，得t＝4，∵4﹣0.2＝3.8（h），∴快车从出发到返回甲地所用的时间为3.8h；②由①知，两车第2次相遇后快车再行驶4﹣2.4＝1.6（h）可返回甲地，∵两车第2次相遇的地点距离甲地240km，∴快车速度v2＝240÷1.6＝150（km/h），而快车从出发到返回甲地所用的时间为3.8h，∴s＝150×3.82=285（km），故答案为：285．27．（10分）如图①～⑧是课本上的折纸活动．【重温旧知】上述活动，有的是为了折出特殊图形，如图①、③和⑧；有的是为了发现或证明定理，如图④和⑦；有的是计算角度，如图②；有的是计算长度，如图⑤和⑥．（1）图③中的△ABC的形状是等腰三角形，图④的活动发现了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”（注：填写定理完整的表述），图⑤中的BF的长是254．【新的发现】（2）图⑧中，在第3次折后，点D落在点D′处，直接写出点D'的位置特点．【换种折法】（3）图⑧中，在第1次折后，再次折叠，如图⑨，使点A与点F重合，折痕为MN，点D落在点D″处，FD″与CD交于点P．说明P为CD的三等分点．【继续探索】（4）如何折叠正方形纸片ABCD得到边AD的五等分点？请画出示意图，简述折叠过程，并说明理由．（1）解：图③中，由矩形的性质可知，AK∥BC，∴∠CBA＝∠BAK，由折叠的性质得：∠BAK＝∠BAC，∴∠CBA＝∠BAC，∴AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形；图④中，由折叠的性质得：GM ＝GT ，GN ＝GT ，∴GT ＝GM ＝GN =12MN ，发现了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半“；图⑤中，同③得：∠BDE ＝∠ADB ＝∠DBC ，∴BF ＝DF ，设BF ＝x ，则DF ＝x ，CF ＝8﹣x ，在Rt △CDF 中，由勾股定理得：DF 2＝CF 2+CD 2，即x 2＝（8﹣x ）2+62，解得：x =254，∴BF =254；故答案为：等腰三角形；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；254；（2）解：点D '是BG 的中点，理由如下：如图，延长HD 交CB 的延长线于N ，由折叠的性质可得：A 'B ＝AB ＝BC ，∵A 'F 垂直平分BC ，∴A 'C ＝A 'B ，∴A 'B ＝BA ＝BC ，∴△A 'BC 是的等边三角形，∴∠A 'CB ＝60°，∴∠DCH ＝∠D 'CH ＝30°，∴∠D 'CH ＝∠D 'CN ＝30°，又∵CD '＝CD '，∠CD 'H ＝∠CD 'N ＝90°，∴△CD 'H ≌△CD 'N （ASA ），∴HD '＝ND '，∵HG ∥BC ，∴∠G＝∠NBD'，∠N＝∠GHD'，∴△D'GH≌△D'BN（AAS），∴D'G＝D'B，∴点D'是BG的中点；（3）证明：∵折叠正方形ABC，使点A与点F重合，∴AM＝MF，设BF＝CF＝a，则BC＝AB＝2a＝CD，∵MF2＝MB2+BF2，∴（2a﹣BM）2＝MB2+a2，∴BM=34 a，∵∠PFM＝90°，∴∠BFM+∠PFC＝90°＝∠PFC+∠FPC，∴∠CPF＝∠BFM，∴tan∠CPF＝tan∠BFM=BMBF=CFCP，∴CP=43 a，∴P为CD的三等分点；（4）解：如图，将正方形纸片ABCD对折3次并展开后，可得AE：EM：BM＝4：1：3，再次折叠，使得折痕为DG并且点A落在MN上，落点记为A'，A'D交EF于点K，则K为A'D（AD）的五等分点．理由如下：∵AD∥EF∥MN，∴A'K：KD＝EM：AE＝1：4，∴A'K：A'D＝1：5，∴K是A'D（AD）的五等分点．。
2024年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷及答案解析
2024年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（2分）计算（a2+a2）2的结果是（）A．4a2B．2a4C．4a4D．a82．（2分）根据《2024年南京市政府工作报告》，我市2023年全市地区生产总值增长4.7%左右，总量1.75万亿元左右，继续保持全国前十．将1.75万亿用科学记数法表示为（）A．1.75×109B．1.75×1010C．1.75×1011D．1.75×10123．（2分）如图，实数m在数轴上对应的点M到原点的距离为5．下列各数中，与m最接近的是（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣4．（2分）点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，下列说法正确的是（）A．若x1＜x2，则y1＜y2B．若x1＜x2，则y1＞y2C．若x1+x2＝0，则y1+y2＝0D．若x1•x2＝1，则y1•y2＝15．（2分）有12个棱长相等的小正方体，用其中6个小正方体粘合成了如图的几何体，在剩下的小正方体粘合成的下列几何体中，能够和这个几何体拼成一个长方体的是（）A．B．C．D．6．（2分）如图，AB，CD分别垂直BD，垂足分别为B，D，连接AD，BC交于点E，作EF⊥BD，垂足为F ．设AB ＝a ，CD ＝b ，EF ＝c ，若﹣＝1，则下列等式：①a +c ＝b ；②b +c ＝2a ；③a 2＝b •c ，其中一定成立的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上）7．（2分）27的立方根为．8．（2分）计算30﹣2﹣1的结果是．9．（2分）化简分式：＝．10．（2分）若m +n ﹣1＝0，则﹣2m ﹣2n +1的值是．11．（2分）若关于x 的方程（x ﹣1）（x +a ）＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是．12．（2分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，将AD 绕点A 顺时针旋转，使点D 落在边BC 上（记为D ′），则点D 运动的路径长是.（答案保留π）13．（2分）如图，正八边形ABCDEFGH 的对角线AF ，HD 交于点M ，则∠AMH 的度数是°．14．（2分）甲、乙两名同学进行了5轮投篮比赛，得分情况如表（单位：分）：第1轮第2轮第3轮第4轮第5轮甲810101012乙1410121212设甲、乙同学得分的方差分别是S 甲2，S 乙2，则S 甲2S 乙2．（填“＞”“＜”或“＝”）15．（2分）物理学告诉我们，当光从空气斜射入介质时会发生折射，其中入射角的正弦值和折射角的正弦值之比叫做这种介质的折射率．如图，入射光线AO在点O处斜射入某一高度为3cm，折射率为的长方体介质（其中α为入射角，β为折射角，MN过点O且垂直于介质的上表面），若α＝53°，则折射光线在该介质中传播的距离（即OB的长度）约是cm．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）16．（2分）二次函数y＝ax2+2x+3（a为常数，a≠0）的图象的顶点与原点O的距离的最小值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解不等式组，并写出它的整数解．18．（6分）以下是某同学解分式方程＝﹣3的部分过程：解：整理，得＝﹣3．去分母，得…（1）该同学解法中第一步的依据是；（2）将该同学的解答过程补充完整．19．（8分）新“龟兔赛跑”故事兔子和乌龟从同一起点同时出发，匀速奔向终点．兔子的速度是乌龟速度的50倍，一段时间后，兔子到达途中某处，睡了70min，醒来后，它保持原速奔跑，恰好和乌龟同时到达终点．（1）设乌龟的速度为x m/min，其奔跑的时间为tmin，则由虚线框内的文字可知兔子的速度是_____m/min，由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为min．（2）求（1）中t的值．20．（8分）如图，已知矩形ABCD，点E，F分别在CB的延长线和AD的延长线上，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）已知AB＝4，BC＝3．当BE的长为时，四边形AECF是菱形．21．（8分）如图是“飞行棋”棋盘的一部分，其游戏规则如下：在某局游戏的过程中，一枚棋子刚好停在A处．（1）掷1次骰子，移动后该棋子到D处的概率是；（2）掷2次骰子，求移动后该棋子恰好到E处的概率．22．（8分）市场调研公司对某饮品店一个销售周期内A，B，C，D四种饮品的销售情况进行了调查，绘制了如下统计图．（1）在扇形统计图中，“B饮品”所对应的圆心角的度数是°；（2）若A，B，C，D四种饮品的单位成本分别是9元、14元、10元、15元，求该饮品店这个销售周期内四种饮品的平均利润率．（注：平均利润率＝×100%）23．（8分）已知周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm）之间的函数图象如图所示．（1）a的值为；（2）当x为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？24．（8分）如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，AD平分∠BAC交半圆O于点D，DE∥AB交射线AC于点E．（1）求证：DE＝AB；（2）若AB＝4，当DB＝AE时，四边形EABD的面积为．25．（8分）点A（﹣1，y1）和点B（2，y2）在二次函数y＝x2+mx+n2（m，n是常数）的图象上．（1）当y1＝y2时，求m的值；（2）当y1＜2时，求证y2＞y1．26．（8分）如图，已知线段a，b，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．（1）△ABC的底边长为a，底边上的中线为b；（2）△ABC的底边长为a，腰上的中线为b．27．（12分）数学概念若以四边形一边为直径的圆与这条边的对边相切，且切点在边上，我们把这样的圆叫做四边形的径切圆．如图①，以四边形ABCD的边AB为直径的⊙O与CD相切，切点P在边CD上，因此⊙O是四边形ABCD的径切圆．初步理解（1）以下四边形：①对角互补的四边形；②对角线相等的四边形；③相邻两边长为1：2的矩形，其中，一定存在径切圆的是（填序号）．性质初探（2）在图①中，连接AP，BP，求证∠APD＝∠ABP．深入研究（3）如图②，⊙O与⊙M均是四边形ABCD的径切圆，其切点分别为P，N，判断AD与BC的位置关系并说明理由．（4）在（3）中，若点O和点N恰好重合，AD＝a，BC＝b，直接写出⊙O和⊙M的半径长（用含a，b的代数式表示）．2024年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．【分析】根据完全平方公式，求出（a2+a2）2的结果即可．【解答】解：（a2+a2）2＝a4+2a4+a4＝4a4．故选：C．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，解答此题的关键是要明确：（a±b）2＝a2±2ab+b2．2．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：1.75万亿＝1750000000000＝1.75×1012．故选：D．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．3．【分析】根据算术平方根的定义估算无理数﹣4，﹣3的大小，再利用数轴上两点距离的计算方法求出数轴上表示数m与数﹣4的距离，数m与数﹣3的距离，由这两个距离的大小得出结论．【解答】解：由题意可知，m＝﹣5＝﹣，∵﹣4＝﹣，﹣3＝﹣，﹣2＝﹣，∴﹣＜﹣5＜﹣＜﹣，∵|﹣+5|﹣|﹣5+|＝﹣5﹣5+＝7﹣10＝﹣＜0，∴数轴上表示数m与数﹣4的距离小于数m与数﹣3的距离，即﹣4与数m比较接近，故选：A．【点评】本题考查估算无理数的大小，理解数轴表示数的方法，掌握数轴上两点距离的计算方法以及算术平方根的定义是正确解答的关键．4．【分析】根据反比例函数的增减性和图象的中心对称性质逐项分析判断即可．【解答】解：A、k值正负不确定，无法判断增减性，选项错误，不符合题意；B、k值正负不确定，无法判断增减性，选项错误，不符合题意；C、反比例函数是中心对称图形，若x1+x2＝0，则y1+y2＝0，正确，符合题意；D、若x1•x2＝1则有＝1，即y1•y2＝k2，选项错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是关键．5．【分析】将图形进行翻折逐一判断即可．【解答】解：将A选项中的几何体向后面连续翻折两次即可原图组成一个长方体．故选：A．【点评】本题主要考查立体图形，结合实物想象是解题的关键．6．【分析】由AB⊥BD，EF⊥BD，CD⊥BD，AB∥EF∥CD，则△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，所以＝，＝，则+＝＝1，所以+＝1，则＝，a（b﹣c）＝bc，由﹣＝1，得＝1，所以＝1，则a+c＝b，可判断①符合题意；由a+c＝b得b+c＝a+2c，因为a+2c不一定等于2a，所以b+c与2a不一定相等，可判断②不符合题意；由a（b﹣c）＝bc，且a＝b ﹣c，得a2＝b•c，可判断③符合题意，于是得到问题的答案．【解答】解：∵AB⊥BD，EF⊥BD，CD⊥BD，AB＝a，CD＝b，EF＝c，∴AB∥EF∥CD，∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，∴＝，∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD，∴＝，∴+＝+＝＝1，∴+＝1，∴＝，a（b﹣c）＝bc，∵﹣＝1，∴＝1，∴＝1，∴a+c＝b，故①符合题意；由a+c＝b得b+c＝a+2c，∵a与2c不一定相等，∴a+2c不一定等于2a，∴b+c与2a不一定相等，故②不符合题意；∵a（b﹣c）＝bc，且a＝b﹣c，∴a2＝b•c，故③符合题意，故选：B．【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、等式的性质、乘法公式等知识，证明△DEF∽△DAB 及△BEF∽△BCD是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上）7．【分析】找到立方等于27的数即可．【解答】解：∵33＝27，∴27的立方根是3，故答案为：3．【点评】考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算．8．【分析】根据负整数指数幂法则和零指数幂法则进行解题即可．【解答】解：30﹣2﹣1＝1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．9．【分析】将分式的分子、分母分别因式分解后约去相同的因式即可．【解答】解：＝＝；故答案为：．【点评】本题考查了约分的知识，解题的关键是对分式的分子与分母分别因式分解，然后约去公因式，分式的约分是分式运算的基础，应重点掌握．10．【分析】由已知条件得m+n＝1，将原式变形后代入数值计算即可．【解答】解：∵m+n﹣1＝0，∴m+n＝1，∴﹣2m﹣2n+1＝﹣2（m+n）+1＝﹣2×1+1＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．11．【分析】根据Δ＞0，构建不等式求解．【解答】解：（x﹣1）（x+a）＝0x2+（a﹣1）x﹣a＝0，∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，∴（a﹣1）2+4a＞0，∴（a+1）2＞0，∴a≠﹣1．故答案为：a≠﹣1．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是学会构建不等式解决问题．12．【分析】由旋转可得，AD'＝AD＝4，在Rt△AD'B中，根据边的数量关系可得∠AD'B＝30°，再由AD∥BC得∠DAD'＝∠AD'B＝30°，最后根据弧长公式即可得出答案．【解答】解：由旋转可得，AD'＝AD＝4，∵AB＝2，∠B＝90°，∴∠AD'B＝30°，∵AD∥BC，∴∠DAD'＝∠AD'B＝30°，∴点D运动的路径长是＝．故答案为：．【点评】本题主要考查轨迹，根据已知条件求出∠DAD'＝30°是解题的关键．13．【分析】先求出∠AHG＝∠HAB＝135°，再根据正八边形的性质求出∠AHD和∠MAH，最后根据三角形的内角和即可求得．【解答】解：∵八边形ABCDEFGH为正八边形，∵∠AHG＝∠HAB＝180°﹣360°÷8＝135°，∵正八边形ABCDEFGH的对角线AF，HD，∴∠AHD＝∠AHG＝67.5°，∠FAB＝90°，∴∠MAH＝135°﹣90°＝45°，∴∠AMH＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°．故答案为：67.5．【点评】本题主要考查多边形内角和外角，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质．14．【分析】根据方差的定义列式计算即可得出答案．【解答】解：甲的平均数为×（8+10+10+10+12）＝10，方差S甲2＝×[（8﹣10）2+3×（10﹣10）2+（12﹣10）2]＝1.6，乙的平均数为×（14+10+12+12+12）＝12，方差S乙2＝×[（14﹣12）2+3×（12﹣12）2+（10﹣12）2]＝1.6，∴S甲2＝S乙2，故答案为：＝．【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义．15．【分析】过点O作OC⊥BC于点C，由折射率的定义得，＝，进而求出sinβ，设OB＝x cm，在Rt△OBC中，根据勾股定理即可作答．【解答】解：过点O作OC⊥BC于点C，由折射率的定义得，＝，α＝53°，∴sinα＝sin53°≈0.8，∴sinβ＝0.6，设OB＝x cm，则sinβ＝，∴BC＝0.6x cm，在Rt△OBC中，根据勾股定理，OB2＝BC2+OB2，即x2＝（0.6x）2+32，解得x＝3.75，∴故答案为：3.75．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线．16．【分析】利用顶点公式求得抛物线的顶点坐标，利用两点间距离公式可得到OP2关于的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP2的取值范围，从而可求得OP的取值范围．【解答】解：∵y＝ax2+2x+3，∴顶点P为（﹣，），即（﹣，3﹣），∴OP2＝（﹣）2+（3﹣）2＝（）2+9﹣+（）2＝2（﹣）2+，∵2＞0，∴当＝，OP2有最小值，∴OP的最小值为：＝．【点评】本题考查二次函数的性质，勾股定理，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】求出各个不等式的解，寻找解集的公共解，可得结论．【解答】解：，由①得，x＜2，由②得，3x﹣3≤4x，∴x≥﹣3，∴﹣3≤x＜2，∴不等式的整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0，1．【点评】本题考查一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是掌握解不等式组的方法．18．【分析】（1）根据等式的性质得出答案即可；（2）方程的两边都乘x﹣2得出1＝﹣（1﹣x）﹣3（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：（1）根据等式的性质2：等式两边都乘x﹣2．故答案为：等式的性质2（等式的两边都乘同一个数，等式仍成立）；（2）＝﹣3，方程的两边都乘x﹣2，得1＝﹣（1﹣x）﹣3（x﹣2），1＝﹣1+x﹣3x+6，3x﹣x＝﹣1+6﹣1，2x＝4，x＝2，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，所以x＝2是增根，即分式方程无解．【点评】本题考查了解分式方程和等式的性质，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．19．【分析】（1）由兔子的速度是乌龟速度的50倍，可得出兔子的速度是50x m/min，利用兔子奔跑的时间＝乌龟奔跑的时间﹣70，即可用含t的代数式表示出兔子奔跑的时间；（2）利用路程＝速度×时间，结合乌龟、兔子奔跑的路程相等，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设乌龟的速度为x m/min，其奔跑的时间为t min，则由虚线框内的文字可知兔子的速度是50x m/min，由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为（t﹣70）min．故答案为：50x，（t﹣70）；（2）根据题意得：x•t＝50x•（t﹣70），即t＝50（t﹣70），解得：t＝．答：（1）中t的值为．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x（t）代数式表示出兔子的速度（兔子奔跑的时间）；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．20．【分析】（1）由矩形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，可得AF＝EC，可得结论；（2）由菱形的性质可得AE＝EC，由勾股定理可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE＝DF，∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，（2）解：若四边形AECF是菱形，∴AE＝EC，∵AE2＝AB2+EB2，∴（BE+3）2＝16+BE2，∴BE＝，∴当BE的长为时，四边形AECF是菱形．【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．21．【分析】（1）由题意知，掷1次骰子，当点数为4时，移动后该棋子到D处，利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的结果数以及移动后该棋子恰好到E处的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由题意知，掷1次骰子，当点数为4时，移动后该棋子到D处，∴掷1次骰子，移动后该棋子到D处的概率是．故答案为：．（2）列表如下：1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）共有36种等可能的结果，其中移动后该棋子恰好到E处的结果有：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），共5种，∴移动后该棋子恰好到E处的概率为．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．22．【分析】（1）将扇形统计图中，“B饮品”所占百分比乘以360°即可得到“B饮品”所对应的圆心角的度数；（2）根据平均利润率公式计算即可得到该饮品店这个销售周期内四种饮品的平均利润率．【解答】解：（1）30%×360°＝108°，故答案为：108；（2）设总销售量为a，则A饮品销售量为20%a，B饮品销售量为30%a，C饮品销售量为30%a，D饮品销售量为20%a，∴A饮品成本为20%a×9＝1.8a（元），B饮品成本为30%a×14＝4.2a（元），C饮品成本为30%a×10＝3a（元），D饮品成本为20%a×15＝3a（元），∴A饮品利润为1.8a×25%＝0.45a（元），B饮品利润为4.2a×20%＝0.84a（元），C饮品利润为3a×15%＝0.45a（元），D饮品利润为3a×30%＝0.9a（元），∴该饮品店这个销售周期内四种饮品的平均利润率为：＝0.22＝22%，答：该饮品店这个销售周期内四种饮品的平均利润率为22%．【点评】本题考查扇形统计图，条形统计图，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．23．【分析】（1）根据矩形的周长公式得出a＝2（x+y），再把P（12，10）代入求出a的值即可；与x的函数关系式，求出（2）根据（1）中a的值，用x表示出y的值，利用矩形的面积公式得出S矩形S的最大与最小值即可．【解答】解：（1）∵周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm），∴a＝2（x+y），∵当x＝12时，y＝10，∴a＝2（12+10）＝44（cm）．故答案为：44cm；（2）∵由（1）知，a＝44cm，a＝2（x+y），∴y＝22﹣x，＝xy＝x（22﹣x）＝﹣x2+22x（x＞0），∴S矩形＝﹣112+22×11＝121（cm2）．∴当x＝﹣＝11时，S矩形最大答：当x＝11cm时，该矩形的面积最大，最大面积是121cm2．与x之间的函数关系式是解题的关键．【点评】本题考查的是二次函数的最值，根据题意得出S矩形24．【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得OD∥AE，从而可得四边形AODE 是平行四边形，进而可得四边形AODE是菱形，然后利用菱形的性质可得AE＝DE＝DO＝AO，从而可得AE＝DE＝AB，即可解答；（2）利用（1）的结论可得DB＝2，再根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ADB＝90°，从而在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AD＝2，然后利用三角形的面积公式可得：△ABD的面积＝2，从而可得△AOD的面积＝△BOD的面积＝，再根据菱形的性质可得菱形AODE的面积＝2△AOD的面积＝2，最后根据四边形EABD的面积＝菱形AODE的面积+△DOB的面积进行计算，即可解答．【解答】（1）证明：连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵OA＝OD，∴∠4＝∠2，∴∠1＝∠4，∴OD∥AE，∵DE∥AB，∴四边形AODE是平行四边形，∵OA＝OD，∴四边形AODE是菱形，∴AE＝DE＝DO＝AO，∵AO＝AB，∴AE＝DE＝AB；（2）解：∵DB＝AE，AE＝AB，∴DB＝AB＝2，∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝＝＝2，∴△ABD的面积＝AD•BD＝×2×2＝2，∵AO＝BO，∴△AOD的面积＝△BOD的面积＝△ABD的面积＝，∵四边形AODE是菱形，∴菱形AODE的面积＝2△AOD的面积＝2，∴四边形EABD的面积＝菱形AODE的面积+△DOB的面积＝2+＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）代入坐标得到y1＝1﹣m+n2，y2＝4+2m+n2，根据y1＝y2，列出方程解出m值即可；（2）根据y1＝1﹣m+n2＜2得到2m＞2n2﹣2，代入y2，y2＝4+2m+n2＞4+2n2﹣2+n2＝2+3n2即可得以证明．【解答】（1）解：∵y1＝1﹣m+n2，y2＝4+2m+n2，且y1＝y2，∴1﹣m+n2＝4+2m+n2，∴m＝﹣1，（2）证明：∵y1＜2，∴y1＝1﹣m+n2＜2，∴﹣m+n2＜1，∴m＞n2﹣1，∴2m＞2n2﹣2，∴，y2＝4+2m+n2＞4+2n2﹣2+n2＝2+3n2，∵n2≥0，∴2+3n2≥2，∴y2＞2+3n2≥2＞y1．∴y2＞y1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标特征是关键．26．【分析】（1）先作线段BC＝a，再作BC的垂直平分线l，垂足为O点，然后在直线l上截取OA＝b，从而得到△ABC；（2）如图2，先作线段BC＝a，再作BC的垂直平分线l，垂足为O点，接着作OB的垂直平分线m，以C点为圆心，b为半径画弧交直线m于D点，延长BD交直线l于A点，从而得到△ABC．【解答】解：（1）如图1，先在射线BP截取BC＝a，再作BC的垂直平分线l，垂足为O点，然后在直线l上截取OA＝b，则△ABC为所作；（2）如图2，先在射线BP截取BC＝a，再作BC的垂直平分线l，垂足为O点，接着作OB的垂直平分线m，然后以C点为圆心，b为半径画弧交直线m于D点，于是延长BD交直线l于A点，连接AC，则△ABC为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定．27．【分析】（1）利用圆的切线的判定与性质和矩形的性质以及径切圆定义解答即可；（2）连接OP，利用圆的切线的性质定理，圆周角定理，直角三角形的性质解答即可；（3）连接AP，BP，DN，CN，OP，MN，设AP与DN交于点E，MN与OP交于点G，BP与CN交于点F，利用（2）的结论，圆周角定理，三角形的内角和定理得到∠ABP＝∠APD＝∠AND＝∠DCN，则AP∥CN，ND∥BP，进而得到四边形ENFP为矩形；再利用相似三角形的判定与性质和平行线的判定定理解答即可；（4）利用（3）的结论和梯形的中位线的性质求得⊙M的半径长；利用圆的切线的性质定理，平行线的性质和相似三角形的判定与性质即可得出⊙O的半径长．【解答】（1）解：相邻两边长为1：2的矩形，一定存在径切圆．理由：∵矩形的相邻两边长为1：2，∴矩形的长边的中点到对边的距离等于这边的一半，∴以矩形的长边为直径的圆与对边相切，∴相邻两边长为1：2的矩形，一定存在径切圆．而①②不一定存在径切圆．故答案为：③；（2）证明：连接OP，如图，∵⊙O与CD相切，∴OP⊥CD，∴∠OPD＝90°，∴∠APO+∠APD＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∴∠APO+∠BPO＝90°．∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠ABP，∴∠APO+∠ABP＝90°，∴∠APD＝∠ABP；（3）解：AD与BC的位置关系为：AD∥BC，理由：连接AP，BP，DN，CN，OP，MN，设AP与DN交于点E，MN与OP交于点G，BP与CN交于点F，如图，由（2）知：∠APD＝∠ABP，∠APB＝90°，设∠APD＝∠ABP＝m°，则∠AOP＝2m°．同理可得：∠AND＝∠DCN，设∠AND＝∠DCN＝n°，则∠NMD＝2n°．∵⊙O与⊙M均是四边形ABCD的径切圆，其切点分别为P，N，∴OP⊥CD，MN⊥AB，∴∠OPM＝∠MNO＝90°，∵∠PGM＝∠NGO，∴∠AOP＝∠NMD，∴2m＝2n，∴m＝n，∴∠ABP＝∠APD＝∠AND＝∠DCN，∴AP∥CN，ND∥BP．∴四边形ENFP为平行四边形，∵∠APB＝90°，∴四边形ENFP为矩形，∴∠NEP＝∠NFP＝90°，NE＝FP，NF＝EP．∴∠AED＝∠BFC＝90°，∵∠AND＝∠APD，∠AEN＝∠DEP，∴△AEN∽△DEP，∴．同理：△NFB∽△PFC，∴，∴，∵∠AED＝∠BFC＝90°，∴△AED∽△CFB，∴∠DAE＝∠FCB．∵∠EAD+∠ADP+∠APD＝180°，∴∠FCB+∠DCN+∠ADP＝180°，∴∠ADP+∠BCP＝180°，∴AD∥BC．（4）解：点O和点N恰好重合，如图，由（3）知：AD∥BC．∵点O，M分别为AB，CD的中点，∴MO为梯形ABCD的中位线，∴OM＝（AD+BC）＝（a+b），∴⊙M的半径长＝（a+b），∵AB与⊙M相切于点N，点O和点N恰好重合，∴MO⊥AB，∵MO为梯形ABCD的中位线，∴AD⊥AB，BC⊥AB，∴∠DAO＝∠OBC＝90°．∵CD为⊙M的直径，∴∠COD＝90°，∴∠AOD+∠BOC＝90°，∵∠BOC+∠BCO＝90°，∴∠AOD＝∠BCO，∴△AOD∽△BCO，∴，∵OA＝OB，∴OA2＝AD•BC＝ab，∴OA＝．∴⊙O的半径长为．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，梯形的中位线，等腰三角形的性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键。
2019-2020南京市中考数学一模试卷(及答案)
参考答案】
、选择题
1．B
解析：B
【解析】
解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．故选B．
CD
A
10． 下列图形是轴对称图形的有（）
D．5个k
ABCD的顶点A，B在反比例函数y（k x
x 0）的图象上，横坐标分别为1，
4，对角线
BD∥x轴．若菱形
ABCD的面积为
45
2
4
4
12． 下列命题中，真命题的是（ ）
C．
D．5
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形
③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子．其中合理的是（只填序号）．
AB 2
18．如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果，那么
BC 3tan∠DCF的值是．
19．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是．
A．200米B．2003米
7．有31位学生参加学校举行的 “最强大脑 后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定 不发生变化的是( )
A．中位数B．平均数C．众数D．方差
8．将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图摆放，两个三角板的一直角边重合，含 角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含
种子数量
2023年江苏省南京市联合体学校中考一模数学试题(含答案解析)
2023年江苏省南京市联合体学校中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．9的算术平方根是（）A ．3B ．3-C ．3±D ．2．计算()32a b 的结果是（）A ．23a b B ．6a bC ．53a b D ．63a b 3．下列几何体中，主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）A ．球体B ．圆柱C ．三棱锥D ．三棱柱4πa <<，下列结论中正确的是（）A ．13a <<B ．14a <<C ．23a <<D ．24a <<5．若一组数据2，3，4，5，x 的方差比另一组数据5，6，7，8，9的方差大，则x 的值可能是（）A ．2B ．4C ．6D ．86．如图，A B C ''' 是由ABC 经过轴对称得到的，A B C ''' 还可以看作是ABC 经过怎样的图形变化得到？下列结论：①2次平移；②1次平移和1次轴对称；③2次旋转；④3次轴对称．其中所有正确结论的序号是（）A ．①④B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题7．计算：3-=________；22-=________．8．若式子1x x-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是___________．9．某粒子的直径约为0.00000021米，用科学记数法表示0.00000021是_____________．10的结果是________．11．分解因式2416x -的结果是_____________．12．设1x 、2x 是方程220x mx +-=的两个根，且12122x x x x +=，则m =________．13．若函数ky x=（k 为常数，且0k ≠）过点()1,2-，当1x ＞时，y 的取值范围是__________．14．如图，在正六边形ABCDEF 中，4AB =，顺次连接AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、FA 的中点1A 、1B 、1C 、1D 、1E 、1F ，则六边形111111A B C D E F 的周长是________．15．如图，在平面直角坐标系中，过()0,2A 、()1,4B 的直线AB 绕点B 逆时针旋转45︒，交x 轴于点C ，则点C 的坐标为__________．16．如图，四边形ABCD 中，10,20,90AB AD CB CD B D ====∠=∠=︒，E 是AD 的中点，过点E 作EF DC 交BC 于F ，则EF 的长为__________．三、解答题17．计算222111211a a aa a a a ⎛⎫-+-÷ ⎪--+-⎝⎭．18．解不等式组101123x x x --≤⎧⎪+⎨-<⎪⎩，并写出它的正整数解．19．“科技兴国”，科技企业在社会生产生活中的地位越来越重要．调查某科技企业五年以来的研发成本和年度利润率，将相关数据绘制成如下统计图和统计表：20182022年研发成本2018年2022 年利润率年份利润率2018年 6.3%2019年 5.2%2020年 6.7%2021年9.1%2022年17.4%(1)2022年度该企业总成本是亿元；(2)求该企业五年以来的年平均研发成本；(3)根据统计图和统计表中的信息，进行综合分析，写出两个不同类型的结论．20．某校举行秋季运动会，甲、乙两人报名参加100m 比赛，预赛分A 、B 、C 三组进行，运动员通过抽签决定分组．（1）甲分到A 组的概率为；（2）求甲、乙恰好分到同一组的概率．21．如图，在ABCD 中，AC 的垂直平分线分别交BC 、AD 于点E 、F ，垂足为O ，连接AE 、CF ．（1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）若AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝时，四边形AECF 为正方形．22．如图，在正方形网格中，ABC 的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺．．．．．．．．作图.(1)在图①中，作A ∠的角平分线；(2)在图②中，在AC 边上找一点D ，使得2AB AD AC =⋅．23．如图，河流的两岸PQ MN 、互相平行，河岸PQ 上A 、B 两处间的距离为50米，为了测量河流的宽度，某人在河岸MN 的C 处测得35BCN ∠=︒，然后沿河岸走了120米到达D 处，测得70ADN ∠=︒．求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：sin 350.57,cos 350.82,tan 350.70,sin 700.94,cos 700.34,tan 70 2.75︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈）24．某商店销售甲、乙两种商品，甲的成本为5元，乙的成本为7元．甲现在的售价为10元，每天卖出30个；售价每提高1元，每天少卖出2个．乙现在的售价为14元，每天卖出6个；售价每降低1元，每天多卖出4个．假定甲、乙两种商品每天卖出的数量和不变（和为36袋），且售价均为整数．(1)当甲的售价提高x 元，乙的售价为元；（用含x 的代数式表示）(2)当甲的售价提高多少元时，销售这两种商品当天的总利润是268元？25．二次函数23y ax bx a =+-（a 、b 为常数，且0a ≠）的图象经过点()1,0A -．(1)求证：该函数的图象与x 轴总有两个公共点；(2)已知点()()0,4,5,4B C ，若该函数图象与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．26．如图，在ABC 中，CA CB =，E 为AB 上一点，作EF BC ∥，与AC 交于点F ，经过点A 、E 、F 的O 与BC 相切于点D ，连接AD 、ED 、FD ．(1)求证BDE BAD ∽△△；(2)若10,8AE BE ==，求CD 的长．27．概念引入定义：平面直角坐标系中，若点()P x y ，满足：=4x y +，则点P 叫做“复兴点”．例如：图①中的()13P ，是“复兴点”．(1)在点()22A ，，3522B -⎛⎫⎪⎝⎭，()15C -，中，是“复兴点”的点为；初步探究(2)如图②，在平面直角坐标系中，画出所有“复兴点”的集合．深入探究(3)若反比例函数()0ky k x=≠的图像上存在4个“复兴点”，则k 的取值范围是．(4)若一次函数()230y kx k k =-+≠的图像上存在“复兴点”，直接写出“复兴点”的个数及对应的k 的取值范围．参考答案：1．A【分析】根据算术平方根的定义求解即可．【详解】解：9的算术平方根是3，故选：A ．【点睛】本题考查算术平方根的求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．2．D【分析】根据积的乘方运算法则进行计算即可．【详解】解：()()3322363==a a b a b b ⋅，故选：D ．【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握积的乘方要先把每个因式乘方，再把所得的积相乘是解题的关键．3．A【分析】根据简单几何体的三视图进行逐一判断即可．【详解】解：A 、球三视图都为相同的圆，故此选项符合题意；B 、圆柱主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图为圆，故此选项不符合题意；C 、三棱锥的三视图如下所示：故此选项不符合题意；D 、三棱柱的正视图为一个矩形里面有一条竖直的实线，左视图为一个矩形，俯视图为一个三角形，故此选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，理解几何体的特征并熟知三视图的定义是解题的关键．4．B【分析】对不等式进行适当的放缩，即可得到答案．【详解】解： πa <<，12<，3π4<<，∴14a <<．故选B ．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数的大小常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．5．D【分析】利用方差定义判断即可．【详解】5，6，7，8，9，这组数据的平均数为7，方差为2222211S 2101225=⨯++++=（）；数据2，3，4，5，x 的方差比这组数据方差大，则有2221S S 2=＞，当2x =时，2，3，4，5，2的平均数为3.2，方差为22222120.20.8 1.8 1.2 1.365⨯++++=（1.），不满足题意；当4x =时，2，3，4，5，4的平均数为3.6，方差为2222211.60.60.4 1.40.4 1.045⨯++++=（），不满足题意；当6x =时，2，3，4，5，6的平均数为4，方差为2222212101225⨯++++=（），不满足题意；当8x =时，2，3，4，5，8的平均数为4.4，方差为2222212.4 1.40.40.63.64.245⨯++++=（），满足题意．故选：D【点睛】本题考查了方差，熟练掌握方差的计算方法是解本题的关键．6．C【分析】利用平移，旋转，翻折的性质等知识一一判断即可．【详解】解：先将ABC 平移，使B 和C '，C 和B '重合，然后所得的三角形沿线段B C ''的垂直平分线翻折，即可得到A B C ''' ；先将ABC 沿着BC 的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着CC '的垂直平分线翻折，最后将所得的三角形沿着B C ''的垂直平分线翻折，即可得到A B C ''' ．而两次平移，两次旋转都不能将ABC 变换得到A B C ''' ．故选：C ．【点睛】本题考查平移，旋转，翻折等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．314【分析】根据绝对值的性质和负整数指数幂的运算法则进行计算即可．【详解】解：33-=；2211224-==，故答案为：3；14．【点睛】本题考查了绝对值的性质和负整数指数幂的运算法则，熟练掌握相关知识是解题的关键．8．0x ≠【分析】根据分式有意义的条件计算即可．【详解】解：∵式子1x x-在实数范围内有意义，∴0x ≠，故答案为：0x ≠．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零，是解题的关键．9．72.110-⨯【分析】根据科学计数法的表示形式进行解答即可．【详解】解：70.00000021=2.110-⨯，故答案为：72.110-⨯．【点睛】本题考查了用科学计数法表示较小的数，一般形式为10n a ⨯，010a ≤<，n 为整数，n 由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定．10．2【分析】先化简二次根式，然后根据二次根式的加法和除法计算法则求解即可．==2=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，正确计算是解题的关键．11．()()422x x +-【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．【详解】解：原式()244x =-()22=42x -()()=422x x -+，故答案为：()()422x x +-．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．12．4【分析】根据根与系数的关系，得出12x x m +=-，122x x ⋅=-，代入12122x x x x +=，即可求出m 的值．【详解】解：∵1x 、2x 是方程220x mx +-=的两个根，∴12x x m +=-，122x x ⋅=-，∵12122x x x x +=，∴()22m -=⨯-，∴4m =．故答案为：4．【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握1x 、2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根时，12b x x a+=-，12cx x a ⋅=．13．20y -<<##02y >>-【分析】先求出反比例函数解析式为：2y x=-，即可得反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大，问题随之得解．【详解】∵函数ky x=过点()1,2-，∴21k-=，2k =-，∴反比例函数解析式为：2y x=-，∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大，当1x =时，=2y -，∵1x >，∴20y x=-<，∴y 的取值范围是20y -<<，故答案为：20y -<<．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据函数解析式判断出反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大，是解答本题的关键．14．【分析】连接AC ，过点B 作11BM A B ⊥于点M ，先说明六边形111111A B C D E F 为正六边形，然后根据等腰三角形的性质，三角函数求出11A B =【详解】解：连接AC ，过点B 作11BM A B ⊥于点M ，如图所示：∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴4BC CD DE EF FA AB ======，3601801206ABC ︒∠=︒-=︒，∵1A 、1B 为AB 、BC 的中点，∴1112A B AC =，同理可得：1112B C BD =，1112C D CE =，1112D E DF =，1112E F AE =，1112F A FB =，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴AC BD CE DF EA FB =====，∴111111111111A B B C C D D E E F F A =====，∵1122A B AB ==，1122B B BC ==，∴11A B B B =，∵11BM A B ⊥，∴1111602A BM A BB ∠=∠=︒，11112A M A B =，∴11sin 6022A M AB =⨯︒==，∴11A B =∴六边形111111A B C D E F 的周长是6⨯=．故答案为：【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，三角函数的应用，三角形中位线的性质，解题的关键是作出辅助线，求出11A B =15．7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】设直线AB 与x 轴的交点为点D ，过点C 作CE AB ⊥于点E ，先利用待定系数法求出直线AB 的函数解析式为22y x =+，从而可得()1,0,1,2D OD AD BD -===，设点C 的坐标为(),0C m ，则1CD m =+，再根据相似三角形的判定可证CDE ADO ，根据相似三角形的性质可得,CE DE 的长，从而可得BE 的长，然后根据等腰三角形的判定可得BE CE =，由此建立方程，解方程即可得．【详解】解：如图，设直线AB 与x 轴的交点为点D ，过点C 作CE AB ⊥于点E ，设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，将点()0,2A 、()1,4B 代入得：42k b b +=⎧⎨=⎩，解得22k b =⎧⎨=⎩，则直线AB 的函数解析式为22y x =+，当0y =时，220x +=，解得=1x -，()1,0,1D OD ∴-=，BD ∴=()0,2A ，OA OD ⊥，2OA ∴=，AD =设点C 的坐标为(),0C m ，则OC m =，1CD OC OD m ∴=+=+，在CDE 和ADO △中，90CDE ADO CED AOD ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩，CDE ADO ∴ ，CE DE CDOA OD AD ∴==，即21CE DE ==解得))11,55m m CE DE ++==，5BE BD DE ∴=-=， 直线AB 绕点B 逆时针旋转45︒，交x 轴于点C ，45CBE ∴∠=︒，又CE AB ⊥ ，45BCE CBE ∴∠=∠=︒，BE CE ∴=，即)155m +=，解得73m =，则点C 的坐标为7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为：7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、旋转的定义、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．16．654【分析】过点E 作EH BC ⊥于点H ，过点D 作DG BC ⊥于点G ，过点A 作AP DG ⊥于点P ，则AB EH DG ∥∥，可得四边形ABGP 是矩形，设AP BG x ==，则20CG x =-，证明ADP DCG ∽ ，可得2DG x =，在Rt CDG △中，根据勾股定理可得8,12,16BG CG DG ===，再证得EH 是梯形ABGD 的中位线，可得()1132EH AB DG =+=，再由EFH DCG ∽ ，即可求解．【详解】解：如图，过点E 作EH BC ⊥于点H ，过点D 作DG BC ⊥于点G ，过点A 作AP DG ⊥于点P ，则AB EH DG ∥∥，∴90APG DGB B ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABGP 是矩形，90DAP ADP ∠+∠=︒，∴10,AB PG AP BG ===，设AP BG x ==，则20CG x =-，∵90ADC ∠=︒，∴90ADP CDG ∠+∠=︒，∴DAP CDG ∠=∠，∵90APD CGD ∠=∠=︒，∴ADP DCG ∽ ，∴AD AP CD DG=，即1020x DG =，解得：2DG x =，在Rt CDG △中，222DG CG CD +=，∴()()22222020x x +-=，解得：8x =，∴8,12,16BG CG DG ===，∵AB EH DG ∥∥，E 是AD 的中点，∴1BH AE GH DE==，即BH GH =，∴EH 是梯形ABGD 的中位线，∴()1132EH AB DG =+=，∵EF DC ，∴EFH C ∠=∠，∵90EHF DGC ∠=∠=︒，∴EFH DCG ∽ ，∴EH EF DG CD =，即131620EF =，解得：654EF =．故答案为：654【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，梯形的中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，梯形的中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质是解题的关键．17．11a -+【分析】把分子、分母因式分解，进行约分；先算括号里，再把除法变成乘法计算即可．【详解】解：222111211a a a a a a a ⎛⎫-+-÷ ⎪--+-⎝⎭()111111a a a a a a ++⎛⎫=-÷ ⎪---⎝⎭()111a a a a a --=⋅-+11a =-+【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是能够对分式进行约分．18．原不等式组的解集为－1≤x ＜3，正整数解有：1，2．【分析】分别求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出解集内的整数解即可．【详解】解：10 1123x x x --≤⎧⎪⎨+-<⎪⎩①②解不等式①，得x ≥－1，解不等式②，得x ＜3．∴原不等式组的解集为－1≤x ＜3，正整数解有：1，2．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀是：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．19．(1)17(2)2.46亿元(3)见解析【分析】（1）用2022年研发成本除以研发成本占总成本的百分比可得；（2）根据算术平均数的定义求解可得；（3）根据统计图和统计表中的信息，进行综合分析，即可．【详解】（1）解：2022年度该企业总成本是()5.1170%17÷-=亿元；故答案为：17（2）解：()0.5 1.22 3.5 5.15 2.46++++÷=（亿元）．答：该企业五年以来的年平均研发成本为2.46亿元（3）解：①该企业2022年的总成本为17亿元，2022年的利润率是17.4%，所以2022年的利润是1717.4% 2.958⨯=亿元；②该企业近五年的研发成本分别是0.5亿元、1.2亿元、2亿元、3.5亿元、5.1亿元，年利润率分别是6.3%5.2%6.7%9.1%17.4%、、、、，可以看出增加研发成本短期会使得年利润率下降，但是长期能使得年利润率大幅上升．【点睛】本题主要考查扇形统计图、条形统计图、算术平均数，解题的关键是学握根据扇形统计图和条形统计图得出解题所需数据及算术平均数的求法．20．（1）13；（2）13【分析】（1）直接利用概率公式求出甲分到A 组的概率；（2）将所有情况列出，找出满足条件：甲、乙恰好分到同一组的情况有几种，计算出概率.【详解】解：（1）13（2）甲乙两人抽签分组所有可能出现的结果有：（A ，A ）、（A ，B ）、（A ，C ）、（B ，A ）、（B ，B）、（B，C）、（C，A）、（C，B）、（C，C）共有9种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“甲乙分到同一组”（记为事件A）的结果有3种，所以P(A)＝1 3．【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能并熟练掌握概率公式是解题关键．21．（1）见解析；（2）或【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形可得AD∥BC，进而可得∠1＝∠2，再根据EF垂直平分AC可得AF＝CF，AE＝CE，进而可得∠2＝∠3，再根据四边相等的四边形是菱形作出判定；（2）当∠AEC＝90°时，四边形AECF是正方形，设AE＝EC＝x，则BE＝7－x，AC，根据勾股定理列出方程求得x的值，进而得AC的长即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠2，∵EF垂直平分AC，∴AF＝CF，AE＝CE，∵AE＝CE，EF⊥AC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝CE＝CF，∴四边形AECF是菱形．（2）解：∵四边形AECF是菱形，∴当∠AEC＝90°时，四边形AECF是正方形，则∠AEB＝90°，设AE＝EC＝x，则BE＝7－x，AC，在Rt △ABE 中，222AE BE AB +=，∴222(7)5x x +-=，解得13x =，24x =，∴AC ＝故答案为：或【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定、正方形的判定以及勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关图形的性质与判定是解决本题的关键．22．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）延长AB 构造等腰三角形，根据等腰三角形的性质可知A ∠的角平分线过等腰三角形底边的中点，找出底边中点P 与点A 连接即可；（2）设网格边长为1，如图，取格点P 、Q 、M ，连接PQ 交网格于N ，连接MN ，交网格于E ，连接BE 交AC 于D ，可得~ABD ECD ，根据2AB AD AC =⋅可得169AD CD =，根据相似三角形的性质结合网格特征作出94CE =即可得答案．【详解】（1）解：如图，点射线AP 即为所求；（2）解：设网格边长为1，如图，取格点P 、Q 、M ，连接PQ 交网格于N ，连接MN ，交网格于E ，连接BE 交AC 于D ，∵2AB AD AC =⋅，45AB AC =，∴169AD CD =，∵CE AB ∥，∴~ABD ECD ，∴169AD AB CD CE ==，∴94CE =∴如图，点D 即为所求；【点睛】本题考查了无刻度的直尺作图、等腰三角形的性质、角平分线的定义和相似三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．23．160米【分析】过点A 作AE MN ⊥于点E ，过点B 作BF MN ⊥于点F ，设4DE x =米，则11AE x =米，再证得四边形AEFB 是矩形，可得50EF AB ==米，11BF AE x ==米，从而得到()1704CF CD DE EF x =++=+米，在Rt BCF 中，根据锐角三角函数可得59541x =，即可求解．【详解】解：过点A 作AE MN ⊥于点E ，过点B 作BF MN ⊥于点F ．在Rt ADE △中，90,70AED ADN ∠=︒∠=︒，∵tan AE ADN ED ∠=，∴11tan 70 2.754AE ED =︒≈=．设4DE x =米，则11AE x =米．∵90AEF BFE EAB ∠=∠=∠=︒∴四边形AEFB 是矩形，∴50EF AB ==米，11BF AE x ==米，∵120CD =米，∴()1704CF CD DE EF x =++=+米．在Rt BCF 中，90,35BFC BCN ∠=︒∠=︒，∵tan BF BCN FC ∠=，∴110.71704x x ≈+，解得：59541x =．∴595111116041AE x ==⨯≈（米）．答：河流的宽度为160米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．24．(1)1142x -(2)甲零食的售价提高4元时，销售这两种零食当天的总利润是268元【分析】（1）先计算甲的售价提高后乙的销售数量，再计算乙的售价；（2）设甲零食的售价提高x 元时，将两种商品的利润相加，可得方程，解之即可．【详解】（1）解：当甲的售价提高x 元，乙的售价为：()3630261141442x x ----=-；（2）设甲零食的售价提高x 元时，销售这两种零食当天的总利润是268元，由题意得，()()()1105302363021472682x x x x ⎛⎫-+-+----=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，解得：14x =，2193x =（不符合题意，舍去）．答：甲零食的售价提高4元时，销售这两种零食当天的总利润是268元．【点睛】本题考查了一元二次方程应用，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．25．(1)见解析(2)1a =-或43a <-或13a ≥【分析】（1）根据二次函数23y ax bx a =+-的图象经过点()1,0A -，可得2b a =-，可得抛物线解析式为223y ax ax a =--，当0y =时，可得2230x x --=，即可求解；（2）先求出抛物线与x 轴，y 轴的坐标，顶点坐标，然后分三种情况：当抛物线的顶点在线段BC 上时；当0a >时；当a<0时，即可求解．【详解】（1）证明：∵二次函数23y ax bx a =+-的图象经过点()1,0A -．∴30a b a --=，∴2b a =-，∴抛物线解析式为223y ax ax a =--，当0y =时，2230ax ax a --=，∵0a ≠∴2230x x --=，解得：121,3x x =-=，∴方程有两个不相等的实数根，∴该函数的图象与x 轴总有两个公共点；（2）解：由（1）抛物线与x 轴的交点为()1,0A -，()3,0，当0x =时，3y a =-，∴抛物线与y 轴的交点为()0,3a -，∵()222314y ax ax a a x a =--=--，∴抛物线的顶点坐标为()1,4a -，当5x =时，2510312y a a a a =--=，当抛物线的顶点在线段BC 上时，如图，∵点()()0,4,5,4B C ，∴44a -=，解得：1a =-；当0a >时，如图，此时有124a ≥，解得：13a ≥；当a<0时，如图，此时有34a ->，解得：43a <-；综上所述，a 的取值范围为1a =-或43a <-或13a ≥．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．26．(1)见解析(2)24【分析】（1）连接OD ，与EF 交于点M ，根据切线的性质和垂径定理，易得∠∠EAD FAD =，根据平行，得到FED EDB ∠=∠，进而推出EDB EAD ∠=∠，再根据B B ∠=∠，即可得到ABD DBE ∽；（2）根据ABD DBE ∽，求出BD 的长，利用ACD DCF ∽，得到2·CD CF CA =，设设5AF x =，则4CF x =，可得：6CD x =，利用CA CB =，列式求出x 的值，即可得解．【详解】（1）解：连接OD ，与EF 交于点M ．∵BC 与O 相切于点D ，∴OD BC ⊥，即90ODB ∠=︒．∵EF BC ∥，∴90OME ODB ∠=∠=︒．∴OD EF ⊥．又OD 经过圆心O ，∴ DEDF =．∴∠∠EAD FAD =，即AD 平分BAC ∠．∵EF BC ∥，∴FED EDB ∠=∠．又,EAD FAD FED FAD ∠=∠∠=∠，∴EDB EAD ∠=∠．又∵B B ∠=∠，∴ABD DBE ∽．（2）∵ABD DBE ∽，∴BD AB BE BD=，即2·BD BE BA =．∵10,8AE BE ==，∴12BD =．同理ACD DCF ∽．∴CD AC CF CD=，即2·CD CF CA =．∵EF BC ∥，∴54AE AF BE CF ==，设5AF x =，则4CF x =，∴6CD x =．又CA CB =，∴54126x x x +=+．解得4x =，∴24CD =．【点睛】本题考查切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键．27．(1)A ，B ；(2)见解析(3)40k -<<或04k <<(4)当3122k -<<-时，复兴点的个数为0；当32k =-或12k =-时，复兴点的个数为1；当102k -<<或0k >或32k <-时，复兴点的个数为2【分析】（1）根据“复兴点”的定义判断即可；（2）分0,0x y ≥≥，0,0x y ≤≥，0,0x y <<，0,0x y ><四种情形讨论即可；（3）分0k >，0k <两种情形讨论即可；（4）先判断一次函数()230y kx k k =-+≠的图像经过定点()2,3，然后分别求出一次函数()230y kx k k =-+≠的图像经过（2）中点M ，N ，P ，Q 时的k 值，最后结合图像解答即可．【详解】（1）解：根据题意，对()22A ，而言，224+=，故点A 是“复兴点”；对3522B -⎛⎫ ⎪⎝⎭而言，35422+-=，故点B 是“复兴点”；对()15C -，而言，156-+=，故点C 不是“复兴点”；故答案为：A ，B ；（2）解：当0,0x y ≥≥时，4x y +=∴4y x =-+，∴40x -+≥，∴4x ≤，∴()404y x x =-+≤≤；当0,0x y ≤≥时，4x y -+=∴4y x =+，∴40x +≥，∴4x ≥-，∴()440y x x =+-≤≤；当0,0x y <<时，4x y --=∴4y x =--，∴40x --<，∴4x >-，∴()440y x x =---<<；当0,0x y ><时，4x y -=∴4y x =-，∴40x -<，∴4x <，∴()404y x x =-<<；画图如下：（3）解：当0k >时，∵反比例函数()0k y k x=≠的图像上存在4个“复兴点”，∴反比例函数()0k y k x=≠的图像与()404y x x =-+≤≤，()440y x x =---<<的图像各有两个交点，联立方程组4k y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，4k y x y x ⎧=⎪⎨⎪=--⎩，化简得240x x k -+=，240x x k ++=，∴()21440k ∆=-->，22440k ∆=->解得4k <，∴04k <<；当0k <时，解：当0k >时，∵反比例函数()0k y k x =≠的图像上存在4个“复兴点”，∴反比例函数()0k y k x =≠的图像与()440y x x =+-≤≤，()404y x x =-<<的图像各有两个交点，联立方程组4k y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，4k y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，化简得240x x k +-=，240x x k --=，∴()21440k ∆=-⋅->，()()22440k ∆=--⋅->解得4k >-，∴40k -<<；综上，当04k <<或40k -<<时，反比例函数()0k y k x =≠的图像上存在4个“复兴点”；（4）解：当2x =时，3y =，∴一次函数()230y kx k k =-+≠的图像经过定点()2,3，当一次函数()230y kx k k =-+≠的图像经过（2）中函数图像的点()0,4M 时，234k -+=，解得12k =-；当一次函数()230y kx k k =-+≠的图像经过（2）中函数图像的点()4,0N -时，4230k k --+=，解得12k =；当一次函数()230y kx k k =-+≠的图像经过（2）中函数图像的点()0,4P -时，234k -+=-，解得72k =；当一次函数()230y kx k k =-+≠的图像经过（2）中函数图像的点()4,0Q 时，4230k k -+=，解得32k =-，如图，，结合函数图像可知：当3122k -<<-时，复兴点的个数为0；当32k =-或12k =-时，复兴点的个数为1；当102k -<<或0k >或32k <-时，复兴点的个数为2．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数图像等，理解题意，学会寻找特殊点解决问题是解题的关键．。