悬臂梁固有频率的计算之令狐采学创编
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
悬臂梁固有频率的计算
令狐采学
试求在0x =处固定、x l =处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率(求解前五阶)。 解:法一:欧拉伯努利梁理论
悬臂梁的运动微分方程为:4242
(,)(,)
+0w x t w x t EI A x t ρ∂∂=∂∂;
悬臂梁的边界条件为:
2222(0)0(1),(0)0(2)0(3),(EI )0(4)x l x l
dw w w
w x x dx x x x ==∂∂∂======∂∂∂,;
该偏微分方程的自由振动解为(x,t)W(x)T(t)w =,将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到
1234(x)C cos sin cosh sinh W x C x C x C x ββββ=+++,
(t)Acos t Bsin t T w w =+;其中2
4
A EI
ρωβ=
将边界条件(1)、(2)带入上式可得13C 0C +=,24C 0C +=;进一步整理可得12(x)C (cos cosh )(sin sinh )W x x C x x ββββ=-+-;再将边界条件(3)、(4)带入可得
12(cos cosh )C (sin sinh )0C l l l l ββββ-+-+=;
12(sin sinh )C (cos cosh )0C l l l l ββββ--+-+=要求12C C 和有非零解,则
它们的系数行列式必为零,即
(cos cosh )(sin sinh )
=0(sin sinh )
(cos cosh )
l l l l l l l l ββββββββ-+-+--+-+
所以得到频率方程为:cos()cosh()1n
n
l l ββ=-;该方程的根n
l β表示振
动系统的固有频率:1
2
24()(),1,2,...n n EI w l n Al
βρ==满足上式中的各n l
β(1,2,...n =)的值在书P443表8.4中给出,现罗列如下:
123451.875104 4.6940917.85475710.99554114.1372
l l l l l βββββ=====,,,,;若相对于n β的2C 值表示为2n C ,根据式中的1n C ,2n C 可以表示为21cos cosh (
)sin sinh n n n n n n l l
C C l l
ββββ+=-+;因此
1cos cosh (x)C (cos x cosh x)(sin x sinh x),1,2,...
sin sinh n n n n n n n n n n l l
W n l l ββββββββ⎡⎤+=---=⎢⎥+⎣⎦
由此可得到悬臂梁的前五阶固有频率,分别将n=1,2,3,4,5带入可得:
1112
2222
2123444
1.875104() 4.694091()7.854757()EI EI EI Al Al Al
ωωωρρρ===,,, 11
2
2
224544
10.995541()14.1372()EI EI Al Al
ωωρρ==,; 法二、铁摩辛柯梁梁理论 1.悬臂梁的自由振动微分方程:
4242442224(,)(,)(1)0w x t w x t E w I w
EI A I kG kG x t x t t ρρρ∂∂∂∂+-++=∂∂∂∂∂;
边界条件:(0)(0)0w x x φ====(1),0x l
x l
w
x
x
φ
φ
==∂∂-=
=∂∂(2);
设方程的通解为:(,)Csin cos n n x w x t w t l
π=;易知边界条件(1)满
足此通解,将通解带入上面的微分方程可得到频率方程为:
4
222222244
42224
r ()(1)0n
n
n r n r E n w w kG l l kG l ρππαπ-+++=;其中22I EI r A A
αρ=
=,;若转动惯量与剪切变形的影响均忽略,上式的
频率方程简化为22
2n n w l
απ=;当n=1,2,3,4,5时可分别求
得固有频率为:
12345w w w w w =====
多自由度系统频率的计算方法
等效质量:连续系统悬臂梁简化为5个相等的集中质量
12345m
5
m m m m m =====
。 1.邓克莱法 邓克莱公式为:
1112225552
11
a a a m m m ω≈++
+,其中
33333
11223344558964,,,,3753751253753l l l l l a a a a a EI EI EI EI EI
=====
,
12345m
5
m m m m m =====;将其代入上式可求得系统的基频为:1
21
4
2.887()EI w Al
ρ,此基频比用伯努利欧拉梁求得的一阶固有频