第讲正规子群与群论的基本课题第讲正规子群与群论的基本
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
证明 1) 设H◁G,则
定理 设HG,则
1) H◁G [ (b,h) b1h
b∈G, h∈H有 b1hb∈H
b ∈H ] 2) (b) bH=Hb
4) (b∈G) b1HbH
4
第10讲 正规子群与群论的基本课题
定理1.8.2 如果H是群G的正规子群,则陪集空间{G/H}关于运算 aH bH＝(ab)H
构成一个群,称为G对H的商群,记为 G/H. 证明: 结合律显然,有单位元 eH=H, 有逆元
(bH)1 = b1 H. ■ 如果H是群G的正规子群,则问题２的答案是肯定的：
aH ={ah: h∈H}
即 ahbl =abt b1hb(=tl1)∈H.
(*)
注意: 1、c =ah ∈aH的任意性等价于h∈H的任意性;
2、运算对象是所有的左陪集，要求运算与代表元的选择无关, 故(*)应对b∈G都对.
结论：运算aH bH＝(ab)H与代表元的选择无关当且仅当
h∈H, b∈G有 b1hb∈H.
例3 设n∈N, 在整数加群(Z,+)中,由 n 生成的子
3)
(b) b1 Hb=H
群是
nZ= {kn: k∈Z}.
4) (b◁Z,商群 Z nZ {0+ nZ, 1+nZ ,…, (n1)+nZ}.
Z对nZ的陪集称为模 n 的同余类或剩余类.
设m是|G|的任一正因数,由有限循环群的性质知,|G|有m
阶子群H. 由H◁G H={e}或G m =|H|=1或|G|.
所以, |G|是素数. ■
10
第10讲 正规子群与群论的基本课题 作业
P53 1, 3, 10, 11
11
空间｛Ｇ／Ｈ｝l ＝｛aH: a∈I｝上定义运算的自然方式是 问题1: 这个“运a算Hb”H是＝由(ab陪)H集. 的代(1表) 元来体现的，它必
须与代表元的选择无关，即 c∈aH, d ∈bH 有 (ab)H=(cd)H.
G的每个子群都满足这个要求吗？ 这叫“运算”(1)的定义的合理性. 问题2: 由陪集的意义: aH ={ah: h∈H}, 自然会想到
3) (b) b1 Hb=H 4) (b) b1 Hb H
(b∈G) HbHb1 (当b遍历G时, b1也遍历G )
(b∈G) Hb1 Hb
3) (b∈G) H=b1 Hb, (两边左乘b)
2) (b∈G) bH = Hb,
(b∈G,h∈H) 由 hb∈Hb = bH 有k ∈H 使 hb=bk
aH bH＝{xy: x∈aH, y∈bH} 这样一个算式(称为群的子集的集合乘积). 上式右端一定是一个左陪集吗?
2
第10讲 正规子群与群论的基本课题
讨论问题1: c∈aH, d ∈bH 有 (ab)H=(cd)H.
设c =ah, d=bl, h,l ∈H. 则 (ab)H=(cd)H 有t∈H使cd=abt.
aH bH＝ a(Hb)H=a(bH)H= (ab)H. 例1 G/G是单位元群; G/{e} ≌G.
5
第10讲 正规子群与群论的基本课题 如果H是群G的正规子群,就可以得到与G密切相关的两个
群:子群H和商群G/H. 如果H或G/H也有非平凡的正规子群,则将得到与G密切相
关的一些更小的群. 如此等等,就可将群G化简为相对很小的一些群来研究. 但是,如果G没有非平凡的正规子群, 则如此美好的研究
1)(b∈G,h∈H) b1hb =k ∈H . ■
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
例2 交换群的每个子群都是正规子群.
定理 设HG,则
1) H◁G [ (b,h)
因为, bH={bh: h∈H}, 显然有bH = Hb.
b1h b ∈H ] 2) (b) bH=Hb
第10讲 正规子群与群论的基本课题
研究群论的基本思想
分解群Ｇ
子群Ｈ 陪集空间
｛Ｇ／Ｈ｝
弄清楚局部性质 组合
需要考察不同陪集的元素之 间的运算关系,最佳愿望是
怎样组 合？
１、能在陪集空间中建立运算； ２、运算具有继承性。
1
第10讲 正规子群与群论的基本课题
设Ｈ是群Ｇ的一个子群，I是G关于H的左陪集代表系, 在左陪集
思路就成了天空中的雨后彩虹—--仅供欣赏! 于是,人们就把这样的群叫做单群. 研究单群就是群论的基本课题之一. (有限单群的分类问题)
6
第10讲 正规子群与群论的基本课题 反之,如果已知群G的正规子群H和相应的商群G/H≌N, 问: 能否由H和N来确定G的结构?
或者说: 已知两个群H和N,是否有一个群G使得 H◁G 且 G/H≌N?
9
第10讲 正规子群与群论的基本课题
例4 交换群G是单群|G|是素数, 或者|G|=1.
证明 设交换群G是单群,且|G| ≠1, 则有a∈G, a≠e. 即a≠{e}. 由例2知a◁G. 而G是单群 a=G. 如果 a2 =e, 则|G|=2. 如果 a2≠e, 同理有a2=G. 于是有 a=(a2)k =a2k G是有限群.
(*)
3
第10讲 正规子群与群论的基本课题 定义1.8.1 设H是群G的子群,如果
(*) b1 hb∈H. (h∈H, b∈G) 则称H是G的正规子群(也叫不变子群),记H◁G。
每个群都有两个正规子群:{e}和G,这两个称为G的平凡正规子群.
定理1.8.1 设H是群G的子群,则 (1) H◁G (2) (b∈G) bH=Hb (因此,对正规子群不区分左右陪集) (3) (b∈G) b1 Hb=H (4) (b∈G) b1 HbH
第10讲正规子群与群论的基本课题.ppt
空间｛Ｇ／Ｈ｝l ＝｛aH: a∈I｝上定义运算的自然方式是 问题1: 这个“运a算Hb”H是＝由(ab陪)H集. 的代(1表) 元来体现的，它必
须与代表元的选择无关，即 c∈aH, d ∈bH 有 (ab)H=(cd)H.
G的每个子群都满足这个要求吗？ 这叫“运算”(1)的定义的合理性. 问题2: 由陪集的意义: aH ={ah: h∈H}, 自然会想到
如果有, 问: 有多少个? 这个问题叫群的扩张问题,也是群论的基本课题之一.
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
证明 1) 设H◁G,则
定理 设HG,则
1) H◁G [ (b,h) b1h
b∈G, h∈H有 b1hb∈H
b ∈H ] 2) (b) bH=Hb
4) (b∈G) b1HbH
第10讲 正规子群与群论的基本课题 第10讲 正规子群与群论的基本课题
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
研究群论的基本思想
分解群Ｇ
子群Ｈ 陪集空间
｛Ｇ／Ｈ｝
弄清楚局部性质 组合
需要考察不同陪集的元素之 间的运算关系,最佳愿望是
怎样组 合？
１、能在陪集空间中建立运算； ２、运算具有继承性。
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
aH bH＝{xy: x∈aH, y∈bH} 这样一个算式(称为群的子集的集合乘积). 上式右端一定是一个左陪集吗?
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
讨论问题1: c∈aH, d ∈bH 有 (ab)H=(cd)H.
设c =ah, d=bl, h,l ∈H. 则 (ab)H=(cd)H 有t∈H使cd=abt.
代数学基础课件群和子群的基本概念
课件群的概念
课件群是指在特定运算下满足群运算性质的集合。
课件群的例子
常见的课件群包括整数集合和实数集合。
子群
1 子群的定义
子群是群的一个子集，且在相同的运算下也构成一个群。
2 子群的性质
子群继承了群的运算性质，同时具有自身的特性。
3 子群的例子
在整数集合中，偶数集合是一个子群。
直积群
直积群的概念
代数学基础课件群和子群 的基本概念
代数学基础课件群和子群的基本概念。探索代数学定义、代数系统、群的概 念、群运算性质以及课件群和子群的例子。
代数学基础
代数学的定义和代数系统的介绍。
课件群
群的定义
群是一种代数结构，包含一组操作和一组运算规 则。
群运算的性质
群运算满足封闭性、结合律、单位元、逆元等性 质。
结论
本节课的总结
学习了代数学基础、课件群和子群的定义以及直积群和同构的概念。
拓展阅读
深入了解群论的应用以及其他高级代数学概念。
问题与讨论
探讨群的运算性质和子群的判定方法。
直积群是由多个群的元素按照一 定方式组合而成的群。
直积群的性质
直积群的运算满足封闭性、结合 律等性质。
直积群的例子
两个整数集合的直积可构成一个 直积群。
群的同构
1
同构的定义
同构是指两个群之间存在一一对应的映
同构的性质
2
射，保持群运算。
同构保持群的基本性质，如单位元和数乘法群是同构的。
北大群论讲义
北大群论讲义群论作为数学中的一个重要分支，对于数学和其他领域都具有重要的影响。
北大群论讲义作为一份权威的讲义资料，系统地介绍了群论的基本概念、性质和定理，是学习群论的重要参考资料之一。
首先，群论的基本概念是群的定义，群的运算，群的性质等。
群论讲义详细介绍了群的定义，即满足封闭性、结合律、单位元、逆元四个性质的代数结构。
讲义还介绍了群的运算，包括群的加法和乘法运算，以及群的性质，如群的阶、子群、同态等重要性质。
其次，群论讲义还介绍了群的基本定理，如拉格朗日定理、群的同态基本定理、群的同态基本定理等。
这些定理是群论的基础，对于理解群的结构和性质至关重要。
拉格朗日定理是群论中的重要定理之一，它说明了群的子群的阶必须能整除群的阶。
群的同态基本定理则说明了群的同态的核和像的性质，是群同态的基本定理之一。
另外，群论讲义还介绍了群的群同态、群的同构、群的正规子群等概念。
群的群同态是群论中的重要概念，它描述了群之间的映射，保持群的结构和运算的映射。
群的同构是群的同态的特殊情况，即群之间的双射同态。
群的正规子群是群的特殊的子群，它的左陪集和右陪集相等，具有重要的性质和应用。
总的来说，北大群论讲义系统地介绍了群论的基本概念、性质和定理，是群论的重要参考资料之一。
群论作为数学的一个重要分支，对于数学的发展和应用有重要的影响。
群论的概念和定理不仅在数学中具有重要的地位，还在物理、化学、计算机等领域有着广泛的应用。
希望学习群论的同学可以通过学习北大群论讲义，深入理解群论的基本概念和定理，为将来的学习和研究奠定坚实的基础。
群论的学习不仅可以提高学生的抽象思维能力，还可以培养学生的逻辑推理能力，是数学学习的重要内容之一。
浅谈正规子群与理想毕业论文
浅谈正规子群与理想一、正规子群是群论的核心部分，对刻画群的性质有十分重要的作用.下面给出正规子群的定义：定义：一个群G 的一个子群N 叫做一个正规子群，假如对G 的每一个元a 来说，都有N a aN =.例1、交换群G 的任意子群H 都是G 的正规子群。
因为对任意a G ∈,有{|}{|}aH ah h H ha h H Ha=∈=∈=.由于正规子群仅要求G 的两个形如aH 与H a 的子集相等，这与G 中任何两个元素a ,b 可交换，即ab ba =，是有区别的，关于这一点，要引起我们的注意.理想的定义：设I 是环R 的一个非空子集，如果 (1)对任意,a b I ∈,有a b I -∈(2)对任意a I ∈,任意r R ∈,有,ar ra R ∈ 则称I 是环R 的一个理想.由于（1），一个理想是一个加群。
由于（2），I 对于乘法来说是闭的，所以一个理想一定是一个子环，但（2）不仅要求I 的两个元的乘积必须在I 里，而且进一步要求，I 的一个任意元同R 的一个任意元的乘积都必须在I 里.例1、 在整数环Z 中1{2|}2I n n Z Z =∈=，2{|}I an n Z aZ =∈=, ()a Z ∈,则1I ,2I 是Z的理想.二、下面我们给出正规子群与理想性质的比较（一）性质1：设H 是G 的子群，则以下几个命题是互相等价的： (1)对任意a G ∈,有aH H a = (2)对任意a G ∈,任意的h H ∈,有1aha H -∈ (3)对任意a G ∈,有1aHa H -⊆ (4)对任意a G ∈有1aHa H -=. 证明：(1)⇒(2)：对任意a G∈,任意的h H ∈,有111ah H a ah h a ahah H-∈⇒=⇒=∈(2)⇒ (3):1aha H -∈，推出1aha H -⊆(3)⇒ (4) 由对任意的a G ∈，有1aha H -⊆，因而也有，即1a Ha H -⊆.故对任意的h H ∈，有11a ha h -=,所以111h ah a aH a --=∈，得1H aha -⊆，故1aHa H -= (4) ⇒(1) 所以11()aH a H aH a a H a aH H a --=⇒=⇒=.例：设{|,,0}01rs G r s Q r⎛⎫=∈≠⎪⎝⎭，则G 对于矩阵的乘运算做成一个群，且1110101r s r r s ---⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1{|}01t H t Q ⎛⎫=∈⎪⎝⎭,容易验证H 是G 的一个子群。
第三章 正规子群和群的同态与同构
_
_
_
G ~ G，
_
例 令 G = {全体正负奇数 }，代数运算为数的普通 乘法；
G = {1,−1}关于数的普通乘法 作成群， _ _ 令 ϕ : 正奇数 → 1, G ~ G , G 是群，但 G不是！ 负奇数 → − 1.
结论: 如果 G与G 为各有一个代数运算的 代数系统，
为素数.
∴ a = n,
从而 G =< a > 为循环群，
由G为单群知n为素数. 练习 设G = Z , N = mZ < G , （1）写出商群的全部元素；（2）商群是否为循环群？
作 业
习题3.2 第91页 2，3，4，5
3.3
群同态基本定理
一、复习 二、 群同态基本定理 三、应用
一、复习
1、正规子群：
在 ϕ之下的所有逆象作成的 集合，叫做 ϕ的核 ，记为 ker ϕ .
_
_
G中所有元素在 ϕ之下的象作成的集合， 叫做
ϕ的象集 ，记为 Im ϕ .
结论： 设 ϕ为群 G到群 G 的一个同态映射， K = ker ϕ ,
.
_
则 : (1) ker ϕ
<G , Im ϕ < G; ( 2) ϕ (a ) = ϕ (b ) ⇔ ∀a , b ∈ G , 有 aK = bK . (3）一个同态 ϕ 是单同态 ⇔ Kerϕ = {e } ⊆ G
设N是G的一个正规子群，任取二陪集aN与bN,有
(aN )(bN ) = a ( Nb) N = a (bN ) N = (ab) NN = (ab) N ,
即(aN )(bN ) = (ab) N , 称此为陪集的乘法.
(完整word版)正规子群
§3.4 正规子群同态基本定理在本节中讨论群的同态基本定理。
首先考虑一种特殊的等价关系。
3.4.1 定理H是G的子群，在G上定义二元关系~如下：a ~ b当且仅当ab-1∈H，则~是G上等价关系。
证(1) 任给a∈G，都有aa-1 = e∈H，所以a ~ a；(2) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则ab-1∈H，所以ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1∈H，因此b ~ a；(3) 任给a, b, c∈G，如果a ~ b且b ~ c，则ab-1, bc-1∈H，所以ac-1 = aec-1 = a(b-1b)c-1 = (ab-1)(bc-1)∈H，因此a ~ c。
■这种等价关系记为~H，称为由H生成的等价关系。
由H生成的等价关系中的等价类有一个明显的表示。
3.4.2 定理H是G的子群，~H是由H生成的等价关系。
(1) 任给a∈G，都有a= Ha = {ha | h∈H}。
特别地，e= He = H。
(2) 任给a∈G，都有|a|= |H|。
证(1) 任给x∈a，都有x ~H a，由~H的定义得xa-1∈H，设xa-1 = h∈H，则x = xe = x(a-1a) =(xa-1)a = ha，因此y∈Ha。
任给x∈Ha，都存在h∈H，使得x = ha，所以xa-1 = (ha)a-1 = h(aa-1) = he = h∈H，由~H的定义得x ~H a，因此x∈|a|。
(2) 取H到a的映射F：H→a F(h) = ha。
显然F是满射。
任给x, y∈H，如果F(x) = F(y)，则xa = ya，由消去律得x = y，所以F是单射。
因为F是双射，所以|a| = |H|。
■因为e= H，所以a~H b当且仅当ab-1∈H=e当且仅当ab-1~H e。
1定理3.4.2的(2)告诉我们，商集G/~H中每个元素（作为G的子集）的基数都是|H|，这样的元素共有|G/~H|个，所以有：3.4.3 定理如果H是G的子群，则| G | = |H|⋅|G/~H|。
代数学基础课件群和子群的基本概念
a*b=b*a=e，其中e为单位元 。
群的例子
01
02
03
整数加法群
整数集合和加法运算，单 位元为0，逆元为-a。
矩阵乘法群
n阶矩阵集合和乘法运算 ，单位元为单位矩阵，逆 元为矩阵的逆。
置换群
n个元素的集合和所有可 能的置换，单位元为恒等 置换，逆元为元素的逆置 置换。
要点一
总结词
向量表示法是将群中的元素表示为向量，利用向量的加法 、数乘和向量的模等性质来描述群的结构和性质。
要点二
详细描述
向量表示法适用于连续群或无限群，通过将群中的元素表 示为向量，可以更好地描述群的连续性和无穷性。这种方 法在物理学、工程学等领域有广泛应用。
符号表示法
总结词
符号表示法是一种简洁的表示群和子群的方法，通过 符号的组合和运算规则来描述群的结构和性质。
群具有单位元和逆元，满足结合 律、交换律和幺半群的定义。
群的基本性质
01
02
03
04
封闭性
群中的任意两个元素通过二元 运算得到的仍然是群中的元素
。
结合律
群中的任意三个元素按照任意 顺序进行二元运算，结果都相
等。
单位元存在
存在一个元素e，使得对于群 中的任意元素a，都有 e*a=a*e=a。
逆元存在
单位元
群中存在一个单位元e，使 得对于群中任意元素a，都 有ea=a和ae=a。
逆元
群中任意元素a都存在一个 逆元a'，使得aa'=e和 a'a=e。
子群的运算规则
子群必须是封闭的
子群必须具有逆元
子群中的元素按照群中的运算规则进 行组合时，结果仍属于子群。
近世代数--正规子群与商群
1 1
三、例题分析
例1 证明
设H G, N G, 证明: HN G
e ee HN HN h1 , h2 H , n1 , n2 N
第八节
• • • •
正规子群与商群
正规子群的定义 正规子群的等价性命题 商群 小结
设H G, 若
一、正规子群的定义
定义
设N G , 若a G , 有aN Na, 则称N是G的正规子群, 记作N G. 正规子群也称不变子群
例1
任意一个群G都有两个正规子群e与G , 这两个正规子群称为G的平凡正规子群. 若N G , 且N e, N G , 称N是G的非 平凡正规子群
证明
(1) (2)an aN Na an n1a, n1 N ana n1 N
1
(2) (3)显然
(3) (4)由(3)知a 1 Na N n N , a 1na N 于是n a (a na)a aNa
1 1 1
N aNa1 aNa1 N
二、正规子群的等价性命题
定理
设 N G, 则下述命题等价
(1) N G, (aN Na, a G (2)ana N , a G, n N (3)aNa1 N , a G (4)aNa1 N , a G (5) N的每一个左陪集也是右陪集.
1
( h1n1 )( h2 n2 ) 1 h1n1n2 1h2 1 ( h1h2 1 )( h2 n1n2 1h2 1 ) HN
正规子群,商群与同态基本定理
（VIII ）正规子群，商群与同态基本定理一、正规子群（不变子群）GH G H Ha aH G a G H 的正规子群，记为为则称，有如果、定义：设=∈∀≤,,1·G 为交换群（Abel 群），G 的子群为正规子群。
·{e}，G 是平凡正规子群（trivial ） HaHa HaHa H h G a H aha G H G H =⊆∈∈∀∈⇔≤---111)3()2(,,)1(,2 则设、判法Eg1.)()(R GL R SL n nEg2.群的中心G G C G x xa ax a G C )(},,|{)(∈∀==Eg3.44S AEg4.)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(K 4=四元群，Klein ，44S K ，44A K 正规子群不具有传递性！如H={（1），（12）（34）}，H 左三角K4，K4左三角S4，但是H 不是S4的正规子群。
二、商群的商群关于称为是群则在上述条件下上定义代数运算：在、【商群】：设H G H G HG bH aH H ab bH aH H G G a aH H G G H ),/(/,,)(:/}|{/,1⋅∈∀=⋅∈= .||||/]:[/2H G H G H G G H H G 的阶是，且当时有限群时，中的指数在的阶是、商群 （当G 为加群时，则正规子群N 的陪集为a+N ，商群G/N 的运算为（a+N ）+(b+N)=(a+b)+N ）三、群同态基本定理1、同态的像、同态核设G G f →:是群同态，同态的像}|)({Im G a a f f ∈=，核})(|{ker e a f G a f =∈= 则有：（1）G f ≤Im（2）G f ker 2、群同态基本定理设G G f →:是群同态⇒群同构：f f G Im ker /≅ 特别地，当f 为满射时，G f =Im 则有G f G ≅ker /。
正规子群和商群
性质1 群 G 的任何两个不变子群的交还是 G 的不变子群.
证明：首先由前面可知它是子群；而且
a H I N , H , N是G的不变子群，则x G, xax1 H且xax1 N xax1 H I N 因此H I N是G的不变子群.
性质2 不变子群与子群的乘积是子群；
h1n1 1 h2n2 n11 h11h2 n2
n11h3n2
h3n3n2
h3 n3n2 HN
这一节里要讲到一种重要的子群，就是正规子群．
给了一个群 G ，一个子群 H ，那么 H的一个右陪 集 Ha 未必等于 H的左陪集 aH ，这一点我们在上一节 的例２里已经看到．
伽罗华在180年多前发现，对任意群G， H是G的任一子群，a为G中任一元，则aH与 Ha未必相等，但对于能使aH=Ha成立的子 群H则具有特别重要的意义，他把这类子群
叫做正规子群（也叫不变子群），由它可以 定义一种和G相关的新群—商群.
定义 1 N G, a G, 都有aN Na， 则称 N 是群 G 的一个正规子群（或不变子群）
记作 N G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是正规子群.
{e}: a G, a{e} {a} {e}a G : a G, aG G Ga
问：H G ，SL {aH | a G} 关于子集乘法做成群吗？
定理：N G，G / N {aN | a G} 关于乘法 aN bN (ab)N 做成群.
且称 G / N {aN | a G} 为 G 关于N 的商群.
证明：① N =eNG / N ，故非空；
② 乘法运算是封闭的（该乘法是代数运算）： aN aN ,bN bN ,(aN )(bN ) (ab)N ,(aN )(bN ) (ab)N n1, n2 N , a an1, b bn2 ab a(n1b)n2 a(bn3 )n2 abN abN abN