圆锥曲线的切点弦方程培训资料
圆锥曲线的切点弦方程培训资料
2011年江西高考一道试题解法的推广一圆锥曲线的切点弦方程圆锥曲线问题是高考的重点，曲线的切线又是近几年的热点，这类题对学生的要求比较高，充分考查学生的逻辑思维能力，本文在对江西高考试题分析的基础上归纳总结出圆、椭圆、抛物线、双曲线的切点弦方程的求法。
背景知识I I 2 2 2已知圆C:x y r r 0 ,点A x o,y o是圆C上一点，求以点A为切点的切线方程.分析：易知以A x o, y o为切点的直线方程为：xx o yy o r2r 0（2oii年江西高考理科第14题）2 2 i问题1：若椭圆笃爲1的焦点在x轴上，过点1,丄作圆x2 y21的切线，切a b 2点分别为A B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___________ .解：设A x1,y1 ,B x2, y2•••点A B在圆x2 y21上,则过点A为，屮的切线方程为L「X1X y1y 1.过点B x2,y2的切线方程为L2: x2x y2y 1.1 1 1由于L1, L2经过点1, 则捲y1 1x y 1.2 2 21故刘，如,x2,y2均为方程x y 1的解。
1经过A、B两点的直线方程AB : x — y 1 .22 2设椭圆务与1的右焦点为c,o，上顶点为o,b .a b由于直线AB经过椭圆右焦点和上顶点。
Kc 1,- 1 即b 222,22a b c 52 2故椭圆方程为—1.5 4由此题的解题方法，可得到如下推广: 结论一：（圆的切点弦方程）线MN 的方程为：ax by r 2.x 2问题2 :过椭圆一42y1外一点P 1,2作椭圆的两切线，切点为M 、N 求直线MN3的方程.1 a b 0外一点P X o ,y 0作椭圆的两切线，切点为M 、N 则直线MN 的方程为：Xo 2X耳 1a b2问题3：过抛物线y 4x 外一点P 1, 2作抛物线两切线，切点分别为 M 、N , 求直线MN 的方程。
课题∶圆锥曲线的切线方程和切点弦方程
课题：圆锥曲线的切线方程和切点弦方程主讲人： 安庆一中 李治国 教学目标：（1）.掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。
（2）.会用切线方程及切点弦方程解决一些问题。
（3）通过复习渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。
(4) 掌握曲线与方程的关系。
教学重点：切线方程及切点弦方程的应用教学难点：如何恰当使用切线方程及切点弦方程教学过程：1. 引入：通过09年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。
2. 知识点回顾：1.2. 3.4. 圆锥曲线切线的几个性质：性质1 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线，则切点弦长等于该椭圆的通径．同理:双曲线,抛物线也有类似的性质性质2 过椭圆的焦点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，过A ，B 两点作椭圆的切线交于点P ，则P 点的轨迹是焦点 的对应的准线，并且同理:双曲线,抛物线也有类似的性质3. 例题精讲：练习1：抛物线 与直线 围成的封闭的图形的面积为 ，若直线l 与抛物线相切，且平行于直线 ，则直线l 的方程为例1： 设抛物线 的焦点为F ，动点P 在直线22200(,)x y r M x y +=过圆 上一点 的切线方程:200xx yy r +=00221xx yy a b +=220022(,)1x y P x y a b +=设为椭圆上的点，则过该点的切线方程为：220022(,)1x y P x y a b -=设为双曲线上的点，则过该点的切线方程为：00221xx yy a b -=00(,)2P x y px =2设为抛物线y 上的点，则过该点的切线方程为：00()yy p x x =+1PF AB ⊥1F :20l x y --=2:C y x =2(0)y ax a =>1x =43260x y -+=上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.求△APB 的重心G 的轨迹方程.4. 圆锥曲线的切点弦方程:1.2.3.4. 练习2：例题3：5.小结: 1．判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；2. 掌握求曲线方程的方法：3. 两种方程两种思想作业： 6. 反思220022(,)1x y P x y a b +=设为椭圆外一点，过该点作椭圆的两条切线，切点为A ，B 则弦AB 的方程为：22200(,)P x y x y r +=设为圆外一点，则切点弦的方程为：200xx yy r +=220022(,)1x y P x y a b -=过为双曲线的两支作两条切线，则切点弦方程为：00221xx yy a b -=00(,)2P x y px =2设为抛物线y 开口外一点，则切点弦的方程为：00()yy p x x =+22221(,0). x y P m a bA B AB ±=≠对于圆锥曲线，过点，（m 0）作两条切线，切点为，则直线恒过定点22x 21,4312A,B AB OMN y P x y +=+=已知椭圆是在直线位于第一象限上一点，由P 向已知椭圆作两切线，切点分别为，问当直线与两坐标轴围成的三角形面积最小，最小值为多少？2l y x+3P y 2A,B.PAB P x ==∆已知是直线：上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为求面积的最小值。
圆锥曲线的切线切点弦总结归纳(转换坐标系法)
圆锥曲线的切线、切点弦推论总结归纳1、椭圆切线推论：已知椭圆C 方程22221x y a b+=（a>b>0），C 上一点P （00,y x ），过点P 且与C 相切的切线L 方程为：12020=+byy a x x 。
12222=+by a x'2'2()()1x y +=推导：如图所示，当切线'L 斜率存在且不为0时（即切线L 斜率存在且不为0），设'OP 、'L 的斜率分别为1k ，2k ，0010000y ay b k x bx a-==-，由圆的切线性质易知'OP ⊥'L ，即121k k ⋅=-，∴02101bx k k ay -==-，∴由点斜式易得'L 方程为：''0000()y bx xy x b ay a -=--，又'',x yx y a b ==，∴ 0000()y bx x y x b b ay a a-=--，即为椭圆切线L 方程，化简如下：0000y y bx x x b ay a --=-⋅，000022()()y y y x x x b a --=-，2200002222x x y y x y a b a b +=+，又点P(00,y x )是椭圆上一点，∴2200221x y a b +=，即切线L 方程化简后为：0022x x y ya b+=1；易知当切线L 斜率为0时，P （0,b ±），切线L 方程为：y b =±，满足上式；当切线L 斜率不存在时，P （,0a ±）切线L 方程为：x a =±，也满足上式。
综上，推导完毕。
2、直线与椭圆位置关系判定推论：已知椭圆C 方程12222=+by a x （a>b>0），一直线L 方程为：0Ax By C ++=,则L 与C 相交⇔2222A a B b +>2C ；L 与C 相切⇔2222A a B b +=2C ；L 与C 相离⇔2222A a B b +<2C 。
专题14 圆锥曲线的切线问题
专题14 圆锥曲线的切线问题一、结论圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据0∆=来求解；比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据0∆=来求解； 对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解. 而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式：1.过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.2.过椭圆22221x y a b+=上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y ya b +=.3.已知点00(,)M x y ,抛物线C :22(0)y px p =≠和直线l :00()y y p x x =+.(1)当点00(,)M x y 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线. (2)当点00(,)M x y 在抛物线C 外时,直线l 与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l 为切点弦所在的直线.(3)当点00(,)M x y 在抛物线C 内时,直线l 与抛物线C 相离.二、典型例题1．（2021·安徽·六安一中高二期末（文））已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，则椭圆在其上一点()00,A x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y +=，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（ ）A ．1 BCD ．2【答案】C 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y >>，由题意得，过点B 的切线l 的方程为：1112x xy y +=， 令0y =，可得12(,0)C x ，令0x =，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y =⨯⨯=，又点B 在椭圆上，所以221112x y +=，所以121111121111122x y S x y x y x x y y +===+≥=当且仅当11112x yy x =，即111,x y = 所以OCD故选：C【反思】过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()00,A x y 作切线，切线方程为：00221x x y ya b+=，该结论可以在小题中直接使用，但是在解答题中，需先证后用，所以在解答题中不建议直接使用该公式.2．（2020·江西吉安·高二期末（文））已知过圆锥曲线221x y m n+=上一点()00,P x y 的切线方程为001x x y y m n +=.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A −作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y −−= B ．-20x y += C ．2330x y +−= D ．3100x y −−=【答案】B 【详解】过椭圆221124x y +=上的点()3, 1A −的切线l 的方程为()31124y x −+=，即40x y −−=，切线l的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为()13y x +=−−，即20x y +−=. 故选：B【反思】根据题中信息，直接代入公式，但是在代入切线方程为001x x y ym n+=注意不要带错，通过对比本题信息，12m =，4n =，03x =，01y =−，将这些数字代入公式，可求出切线l ，再利用直线垂直的性质求解.3．（2022·江苏南通·一模）过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线交坐标轴于点A 、B ，则PA PB ⋅=_________.【答案】2− 【详解】圆C 的圆心为()0,0C ，10110CP k −==−， 因为22112+=，则点P 在圆C 上，所以，PC AB ⊥，所以，直线AB 的斜率为1AB k =−，故直线AB 的方程为()11y x −=−−，即20x y +−=， 直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.另解：过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.可知01x =，01y =；0a b ==，22R =,代入计算得到过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线为：(10)(0)(10)(0)2x y −−+−−=，整理得：20x y +−=，直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法，特别提醒同学们，二级结论的公式代入数字时，最忌讳代入错误，所以需要特别仔细。
圆锥曲线切点弦方程一般推导
圆锥曲线切点弦方程一般推导本文将探讨圆锥曲线切点弦方程的一般推导方法。
首先，我们需要了解什么是圆锥曲线。
圆锥曲线是在圆锥上截取的平面曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
在平面几何中，圆锥曲线是非常重要的一类曲线，它们具有许多重要的性质和应用。
现在，我们来考虑圆锥曲线上的一个点P，以及通过该点的切线L。
假设切线L与圆锥曲线的交点为A，而曲线上另一点B与切线的交点为B。
我们要推导出点A和点B之间的弦AB的方程。
首先，我们需要求出点A和点B的坐标。
对于点A，我们可以利用切线的定义，即在该点处曲线的斜率等于切线的斜率。
因此，我们可以求出点P处曲线的斜率，然后利用切线的斜率求出切线的方程。
接着，我们求出切线与圆锥曲线的交点A的坐标。
对于点B，我们同样可以求出曲线在该点处的斜率，然后利用切线的斜率求出切线的方程。
但是，这样做很麻烦，我们可以采用另外一种方法。
我们知道，圆锥曲线是对称的，因此点A和点B关于切线的垂线中点O对称。
因此，我们可以利用点P和O的坐标求出点B的坐标。
现在，我们已经得到了点A和点B的坐标。
接着，我们可以利用两点式求出弦AB的方程。
具体来说，我们可以利用点A和点B的坐标，以及两点式的公式：y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)分别是弦AB的两个端点的坐标，x和y是任意一点的坐标。
将点A和点B的坐标代入上述公式，即可得到弦AB的方程。
综上所述，我们通过求出点P处曲线的斜率和点P和O的坐标，得到了点A和点B的坐标，进而求出了弦AB的方程。
这个推导方法可以适用于所有类型的圆锥曲线。
圆锥曲线的切点弦、中点弦、切线
圆锥曲线的切点弦、中点弦、切线
圆锥曲线中点弦公式：py-αx=pβ-α^2。
立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
旋转轴叫做圆锥的轴。
垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。
不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。
曲线，是微分几何学研究的主要对象之一。
直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。
微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。
为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。
这就要我们考虑可微曲线。
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圆锥曲线中的切点弦及其方程
圆锥曲线中的切点弦及其方程
切点弦是圆锥曲线中一种特殊的曲线，它与圆锥曲线的其余部分相交，一般用来描述圆锥曲线的结构。
换句话说，切点弦是一条交叉叉线，用以把圆锥曲线从上到下分开，这条交叉叉线有两个结束点，即切点，它们是圆锥曲线的拐点。
切点弦的方程为$y=\tan{\left(\frac{\pi}{2}-2\theta \right)}
\cot{\left(\frac{\pi}{2}-\theta \right)}$，其中$\theta$是圆锥曲线的拐点夹角。
可以看出，这条切点弦并不是一条匀速的曲线，而是在拐点处发生变化。
既然说到切点弦，就不得不提及它的应用。
切点弦可以用来测量圆锥曲线的拐点位置，可以测量圆锥曲线的斜率。
此外，它还可以用来模拟炮弹发射时的弹道，用来预测天气中的风向风速等。
从上述示例可以看出，切点弦对日常生活具有重要的意义，不仅可以应用在圆锥曲线的研究中，还可以应用在几何学、物理学以及数学模型等许多领域中。
而且，由于切点弦是一种简单的曲线，可以轻松计算出它的斜率，因此在分析圆锥曲线时非常有用。
总之，切点弦是一种详细地描述了圆锥曲线的曲线，它的方程式也清楚地表明，它是一条在拐点处的斜率发生变化的曲线，并且在研究圆锥曲线以及应用在几何学等领域中有着重要的意义。
切线与切点弦方程
高三 17 班数学一轮复习学案 序号 教师 代鹏 学生圆锥曲线的切线方程与切点弦方程学习目标1.掌握利用复合函数求导原理，求过圆锥曲线上任一点的切线方程2.了解切点弦的概念；3.掌握圆锥曲线切点弦方程的求法4.能够处理与切线有关的距离、面积等问题； 一．知识回顾 1.复合函数的求导法则 记()y f x =，22()z y f x ==则()x y f x ''=，()22()2()()x xxz yfx f x f x ''''⎡⎤===⎣⎦即：2x x z yy ''=2.圆锥曲线的切点弦：过圆锥曲线外一点，作圆锥曲线的切线，切点分别为A,B ，连接A,B ，则线段AB 称为此圆锥曲线的切点弦。
此时AB 所在直线方程称为切点弦方程。
3.求曲线上某点的切线方程：关键是切点坐标和切线斜率的求解。
二．典型问题练习：尝试应用：1.在抛物线24y x =上找一点P ，使得P 到直线x+y+4=0的距离最小。
2.已知椭圆C:2214x y +=，过椭圆C 的右焦点F 且斜率为1的直线与椭圆交与AB 两点，在C 上找一点P ，使得三角形ABP 的面积最大。
圆锥曲线的切点弦方程 例 命题1 过圆x 2+y 2= r 2(r>0)，外一点P （a ，b ）作圆的两切线，切点为M 、N ，则直线MN 的方程为：ax+by=r 2证明：22220000(,)x y r M x y xx yy r +=+=例1 求证：过圆 上一点 的切线方程:2200220022(,)11x yP x y a b xx yy a b +=+=例2 设为椭圆上的点，则过该点的切线方程为：2200002222(,)11xx yy x y P x y a b a b -=-=设为双曲线上的点，求证：过该点的切线方程为：0000(,)2()P x y px yy p x x ==+2设为抛物线y 上的点，求证：过该点的切线方程为：命题2 过椭圆（a>b>0）外一点P （x 0，y 0）作椭圆的两切线，切点为M 、N 则直线MN 的方程为：证明：练习 将命题3补充完整并证明命题3 过抛物线22y px =外一点P （x 0，y 0）作抛物线的两切线，切点为M 、N 则直线MN 的方程为：尝试应用1.若椭圆的焦点在x 轴上，过点（1，）作圆x 2+y 2=1的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆方程。
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2011年江西高考一道试题解法的推广──圆锥曲线的切点弦方程
圆锥曲线问题是高考的重点，曲线的切线又是近几年的热点，这类题对学生的要求比较高，充分考查学生的逻辑思维能力，本文在对江西高考试题分析的基础上归纳总结出圆、椭圆、抛物线、双曲线的切点弦方程的求法。
背景知识
已知圆()222:0C x y r
r +=>,点()00,A x y 是圆C 上一点，求以点A 为切点的切线方程.
分析：易知以()00,A x y 为切点的直线方程为：()2000xx yy r
r +=>
（2011年江西高考理科第14题） 问题1：若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
作圆221x y +=的切线，切点分别为A B 、，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________. 解：设()()1122,,,A x y B x y
∵点A B 、在圆221x y +=上，则
过点()11,A x y 的切线方程为111:1L x x y y +=.
过点()22,B x y 的切线方程为222:1L x x y y +=.
由于12,L L 经过点11,2⎛⎫
⎪⎝⎭则1122111,122
x y x y +=+=. 故()()1122,,,x y x y 均为方程112
x y +
=的解。
∴经过A B 、两点的直线方程1:12AB x y +=. 设椭圆22
221x y a b
+=的右焦点为(),0c ,上顶点为()0,b . 由于直线AB 经过椭圆右焦点和上顶点。
1,12
b c ∴==即2b = 2225a b c ∴=+= 故椭圆方程为22
154
x y +=.
由此题的解题方法，可得到如下推广：
结论一：（圆的切点弦方程）
过圆()2220x y r r +=>，外一点(),P a b 作圆的两切线，切点为M N 、，则直
线MN 的方程为：2ax by r +=.
问题2：过椭圆22
143
x y +=外一点()1,2P 作椭圆的两切线，切点为M N 、求直线MN 的方程.
解：设()()1122,,,M x y N x y 则过M N 、的切线方程分别为；
11221,14343
x x y y x x y y +=+= 由于两切线都过()1,2P ，则11143x x y y +=① 22143
x x y y +=② 这两式表示直线2143x y +=经过M N 、，所以直线MN 的方程为：2143
x y +=。
结论二：（椭圆的切点弦方程） 过椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>外一点()00,P x y 作椭圆的两切线，切点为M N 、则直线MN 的方程为：
00221x x y y a b += 问题3：过抛物线24y x =外一点()1,2P --作抛物线两切线，切点分别为M N 、，
求直线MN 的方程。
解：设()()1122,,,M x y N x y 则过M N 、的切线方程为()()11222,2y y x x y y x x =+=+
由于过M N 、的切线都经过()1,2P --则()()1122221,221y x y x -=--=- ∴直线MN 的方程为()221y x -=-即10x y +-=
结论三：（抛物线的切点弦方程）
过抛物线()2
20y px p =>外一点()00,P x y 作两切线，切点为M N 、，则直线MN 的方程为()00yy p x x =+.
问题4：过双曲线22
154
x y -=外一点()3,3P 作双曲线两切线，切点分别为M N 、，求直线MN 的方程。
解：设两切点的坐标为()()1122,,,M x y N x y 则两切线方程为
11221,15454
x x y y x x y y -=-=， 由于两切线均过()3,3P 则112233331,15454
x y x y -=-= 故()()1122,,,x y x y 均为方程33154
x y -=的解， 则过M N 、的直线方程为：33154
x y -= 结论四：（双曲线的切点弦方程） 过双曲线22
221x y a b
-=外一点()00,P x y 作双曲线两切线，切点分别为M N 、则直线MN 的方程为：
00221x x y y a b -=.。