《一元二次不等式及其解法》高考复习参考课件2
即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或
解得－3≤a≤1.
以选择题或填空题的形式直接考查一元二次不 等式的解法或以集合运算为载体考查一元二次不等式 的解法是高考对本节内容的常规考法.09年天津高考 则以含参不等式的解法为载体，考查了参数取值范围
的求解问题，是高考一个新的考查方向.
[考题印证] (文)(2009· 天津高考)若关于x的不等式(2x－1)2＜ax2的 解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是________．
(2)若a＝0，则原不等式等价于－x＋1<0⇒x>1；若a<0， 则原不等式等价于 若a>0，则原不等式等价于 (x－1)>0⇒x< ，或x>1；
(x－1)<0.(*)
①当a＝1时， ＝1，所以不等式(*)解集为∅； ②当a>1时， <1，所以(*)⇒ <x<1； .
③当0<a<1时， >1，所以(*)⇒1<x<
＝0的两根为x1＝ ＜x＜2}． 答案：A ，x2＝2，又函数f(x)＝3x2－7x＋2的
图象开口向上，所以不等式3x2－7x＋2＜0的解集是{x|
3．设二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－1<x<
}，
则 a· b的值为
A．－6 C．6 B．－5 D．5
(
)
解析：因x＝－1， 是方程ax2＋bx＋1＝0的两根， ∴ 又－1· ＝ ，
即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．
注意讨论m＝0时的情况． 当m＝0时，1－2x<0， 即当x> 时，不等式恒成立；
当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满
足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，
即 ，则m无解．
综上可知不存在这样的m.
(2)从形式上看，这是一个关于x 的一元二次不等式，可
【解析】
原不等式转化为：
[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]>0.
(1)a≤1，结合不等式解集形式知不符合题意． (2)a>1.此时－ 由题意0< <x< <1， ，
要使原不等式解集中的整数解恰有3个． 知－3≤－ <－2.整理得：2a－2<b≤3a－3.
结合题意b<1＋a，有2a－2<1＋a.
法求解．
2．不等式应用题一般可按如下四步进行： (1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不
等关系．
(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)解不等式． (4)回归实际问题．
国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产 品m吨，按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳 税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负 担，决定降低税率．根据市场规律，税率降低x个百分
解析：根据题意得：x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2) ＝x2＋x－2，∴解x2＋x－2＜0，得－2＜x＜1. 答案：B
3．设A＝{x|x2－2x－3＞0}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若
A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，则a＋b等于 A．7 C．13，＋∞)，
(4)判断二次不等式两根的大小．
解下列不等式： (1)－x2＋2x－ >0；
(2)ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)两边都乘以－3，得3x2－6x＋2<0，因为 3>0，且方程3x2－6x＋2＝0的解是 x1＝1－ ，x2＝1＋ ， <x<1＋ }．
所以原不等式的解集是{x|1－
Δ＜0
{x|x<x1或x>x2} {x|x≠－
}
R
ax2＋bx＋c＜0 {x|x1＜x＜x2} (a＞0)的解集
∅
∅
2．用一个程序框图来表示一元二次不等式ax2＋bx＋
c>0(a>0)的求解过程：
1．设集合A＝
，B＝{x|x2≤1}，则A∪B＝
( )
A．{x|－1≤x<2}
C．{x|x<2}
B.
5．若a<0，则不等式x2－2ax－3a2<0的解集为______． 解析：令x2－2ax－3a2＝0，则x1＝3a，x2＝－a， 又∵a<0，
∴3a<－a，
∴不等式的解集为{x|3a<x<－a}． 答案：{x|3a<x<－a}
1.解一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2 ＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋c<0(a>0)；
故a＝2.
＝1，
又f(x)开口向下，所以当x∈[－1,1]时f(x)为增函数， f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2， f(x)＞0恒成立，即f(x)min＝b2－b－2＞0恒成立， 解得b＜－1或b＞2. 答案：C
1．(2010· 大连模拟)设函数f(x)＝ 式f(x)＞f(1)的解集是 A．(－3,1)∪(3，＋∞) C．(－1,1)∪(3，＋∞)
二次函数
y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
一元二次方
程 ax2＋bx＋c ＝0 (a＞0)的根 有两相异实 根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
判别式 Δ＝b2－ 4ac ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集
Δ＞0
Δ＝0
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，解得－3≤a<－1； (2)当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2， 由2－a2≥a，解得－2≤a≤1，∴－1≤a≤1. 综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1. 法二：由已知得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
Δ＝4a2－4a－3＜0，
解得－ 答案：(－ ＜a＜ ， ) .
6．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)当不等式f(x)>0的解集为(－1,3)时，求实数a，b 的值．
其解集为{x|0<x<2}，故0,2是方程x2＋(2m－4)x＝0的 两根，由一元二次方程根与系数的关系知，4－2m＝2， 所以m＝1. 答案：1
5．(2010· 开原模拟)在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若
不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则
a∈________. 解析：(x－a)⊗(x＋a)＜1， 即(x－a)(1－x－a)＜1， 整理成x2－x－a2＋a＋1＞0恒成立，
次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于
0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．
已知不等式mx2-2x-m+1<0.
(1)若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围 （2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立， 求x的取值范围.
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的两根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．
2．对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：
(1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二
次不等式； (2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0； (3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决 定所求不等式的不等号的方向；
点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税
率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
[思路点拨]
[课堂笔记] 设税率调低后的税收总收入为y元，
则y＝2 400m(1＋2x%)×(8－x)% ＝－ m(x2＋42x－400)． 由题意知，0<x≤8， 要使税收总收入不低于原计划的78%，
或x> . <x< .
，
．
若x∈[－1，＋∞)时，x2－2ax＋2≥a恒成立，试求a 的取值范围. 解：法一：令f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，＋∞) f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a.
(1)当a∈(－∞，－1)时，结合图象知，f(x)在[－1，
＋∞)
上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
须y≥2 400m×8%×78%，
即－ m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%， 整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2， 又0<x≤8，∴0<x≤2，所以，x的取值范围是(0,2].
1.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参 数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范 围，谁就是参数． 2．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二
∴a<3，从而有1<a<3.
【答案】 C
[自主体验] 已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)， 对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]
时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是
A．－1＜b＜0 B．b＞2
(
)
C．b＜－1或b＞2
D．不能确定
解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，知f(x)的对称轴为x＝
∴a＝－3，b＝－2，∴a· b＝6. 答案：C
4．不等式2≤x2－2x<8的解集是________． 解析：原不等式等价于
由x2－2x≥2，得x≥1＋
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高考一元二次不等式及其解法 课件(共51张PPT)
(4)根据对应二次函数的图象,写出不等
式的解集.
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
例1
解下列不等式：
(1)2x2＋4x＋3>0; (2)－3x2－2x＋8≥0;
(3)12x2－ax>a2(a∈R).
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
【思路分析】
首先将二次项系数转化
为正数,再看二次三项式能否因式分解, 若能,则可得方程的两根,大于号取两边, 小于号取中间;若不能,则再看“Δ”,利
法二比较简单.
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
【解】
(1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立,
若 m＝0,显然－1<0; 若 m≠0,
m<0 则 ⇒－4<m<0. 2 Δ＝m ＋4m<0
所以－4<m≤0.
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
(2)要使 f(x)<－m＋5 在[1,3]上恒成立,就是 12 3 要使 m(x－ ) ＋ m－6<0 在 x∈[1,3]上恒 2 4 成立. 有以下两种方法： 12 3 法一：令 g(x)＝m(x－ ) ＋ m－6,x∈[1,3]. 2 4 当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以 g(x)max＝g(3)＝7m－6<0, 6 6 所以 m< ,则 0<m< ; 7 7
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
－∞，－1 ∪(1,＋∞). ∴不等式的解集为 2
－∞，－1 ∪(1,＋∞) 答案： 2
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
5.已知(ax－1)(x－1)>0的解集是{x|x<1 或x>2},则实数a的值为________.
高考讲一元二次不等式及其解法课件理
总结词
直接套用公式，简单快捷，但适用范围有限。
详细描述
在解决一元二次不等式问题时，公式法是一种直接套用公式的解题方法。这种方法简单快捷，但适用范围有限 。对于一些简单的一元二次不等式，如2x²-4x<0，可以直接通过套用公式得到答案。然而，对于一些复杂的 一元二次不等式，如x²-6x+9>0，则需要通过其他方法进行求解。
图像法
总结词
直观形象，易于理解，但计算量大。
详细描述
图像法是通过画出函数的图像来直观地解决一元二次 不等式问题的方法。这种方法直观形象，易于理解， 但计算量较大。通过观察图像，我们可以迅速得到一 元二次不等式的解集。例如，对于二次函数 y=ax²+bx+c，可以通过画出其图像来直观地得到一 元二次不等式的解集。然而，对于一些复杂的一元二 次不等式，如x²-6x+9>0，则需要通过其他方法进行 求解。
开口方向与判别式
开口方向
一元二次不等式的函数图像的开口方向与二 次项系数 $a$ 的符号有关，如果 $a > 0$， 则图像开口向上，如果 $a < 0$，则图像开 口向下。
判别式
一元二次不等式的判别式 $\Delta = b^2 4ac$，当 $\Delta > 0$ 时，函数有两个实 根；当 $\Delta = 0$ 时，函数有一个实根
一元二次不等式可以用于估计一个变量的 取值范围。
VS
详细描述
在一些问题中，我们需要确定一个变量的 取值范围，这时可以使用一元二次不等式 来帮助我们进行估计。通过将已知条件代 入不等式并求解，可以得到变量的取值范 围。
优化问题
总结词
一元二次不等式可以用于解决一些优化问 题。
直接套用公式，简单快捷，但适用范围有限。
详细描述
在解决一元二次不等式问题时，公式法是一种直接套用公式的解题方法。这种方法简单快捷，但适用范围有限 。对于一些简单的一元二次不等式，如2x²-4x<0，可以直接通过套用公式得到答案。然而，对于一些复杂的 一元二次不等式，如x²-6x+9>0，则需要通过其他方法进行求解。
图像法
总结词
直观形象，易于理解，但计算量大。
详细描述
图像法是通过画出函数的图像来直观地解决一元二次 不等式问题的方法。这种方法直观形象，易于理解， 但计算量较大。通过观察图像，我们可以迅速得到一 元二次不等式的解集。例如，对于二次函数 y=ax²+bx+c，可以通过画出其图像来直观地得到一 元二次不等式的解集。然而，对于一些复杂的一元二 次不等式，如x²-6x+9>0，则需要通过其他方法进行 求解。
开口方向与判别式
开口方向
一元二次不等式的函数图像的开口方向与二 次项系数 $a$ 的符号有关，如果 $a > 0$， 则图像开口向上，如果 $a < 0$，则图像开 口向下。
判别式
一元二次不等式的判别式 $\Delta = b^2 4ac$，当 $\Delta > 0$ 时，函数有两个实 根；当 $\Delta = 0$ 时，函数有一个实根
一元二次不等式可以用于估计一个变量的 取值范围。
VS
详细描述
在一些问题中，我们需要确定一个变量的 取值范围，这时可以使用一元二次不等式 来帮助我们进行估计。通过将已知条件代 入不等式并求解，可以得到变量的取值范 围。
优化问题
总结词
一元二次不等式可以用于解决一些优化问 题。
不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt
最大/最小值问题
一元二次不等式可以用于解决概率统计问题，如计算一个随机变量的期望值和方差。
概率统计问题
03
组合数学
组合数学中经常出现与一元二次不等式相关的问题，如利用不等式进行计数、排序等。
在数学竞赛中的应用
01
代数竞赛
一元二次不等式是代数竞赛中常见的考点之一，常常与方程、函数等知识结合考查。
02
2023
《不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt》
CATALOGUE
目录
不等式的基本概念一元二次不等式的概念一元二次不等式的解法典型例题解析解题技巧与注意事项一元二次不等式的应用
不等式的基本概念
01
不等式的定义
用不等号连接两Байду номын сангаас代数式，表示它们之间的关系。
不等式的性质
不等式具有传递性、加法单调性、乘法单调性等性质。
详细描述
带有绝对值的不等式
总结词
与一元二次方程相关的不等式通常形式为 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。解这类不等式的方法是先求解一元二次方程，再根据方程的根求解不等式。
详细描述
对于与一元二次方程相关的不等式，首先需要求解一元二次方程。根据一元二次方程的求根公式 x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)，求出两个根 x1 和 x2。然后，根据不等式的形式和根的大小关系，判断不等式的解集。例如，不等式 x^2 - 2x - 3 > 0 的解集为 (-inf, -1) U (3, inf)。
定义与性质
只含有一个未知数的不等式。
一元二次不等式可以用于解决概率统计问题，如计算一个随机变量的期望值和方差。
概率统计问题
03
组合数学
组合数学中经常出现与一元二次不等式相关的问题，如利用不等式进行计数、排序等。
在数学竞赛中的应用
01
代数竞赛
一元二次不等式是代数竞赛中常见的考点之一，常常与方程、函数等知识结合考查。
02
2023
《不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt》
CATALOGUE
目录
不等式的基本概念一元二次不等式的概念一元二次不等式的解法典型例题解析解题技巧与注意事项一元二次不等式的应用
不等式的基本概念
01
不等式的定义
用不等号连接两Байду номын сангаас代数式，表示它们之间的关系。
不等式的性质
不等式具有传递性、加法单调性、乘法单调性等性质。
详细描述
带有绝对值的不等式
总结词
与一元二次方程相关的不等式通常形式为 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。解这类不等式的方法是先求解一元二次方程，再根据方程的根求解不等式。
详细描述
对于与一元二次方程相关的不等式，首先需要求解一元二次方程。根据一元二次方程的求根公式 x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)，求出两个根 x1 和 x2。然后，根据不等式的形式和根的大小关系，判断不等式的解集。例如，不等式 x^2 - 2x - 3 > 0 的解集为 (-inf, -1) U (3, inf)。
定义与性质
只含有一个未知数的不等式。
第二章考点一元二次不等式及其解法完整版课件
(x－1)·(3x－2)≥0⇒x≤
∴原不等式的解集为
x
|23x或 23x≥或x1，1
.
第19页，共54页
典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5
(2)2x(x＋1)>3x2－3； 解：2x(x＋1)>3x2－3⇒x2－2x－3<0⇒(x－3)(x＋1)<0⇒ －1<x<3， ∴原不等式的解集为{x|－1<x<3}．
2．不等式x2－2 022x－2 023>0的解集为( D )
A．x |－2 023＜x＜1
B．x | x 1或x 2023
C．x | 1 x 2023
D．x | x 1或x 2023
【提示】 x2－2 022x－2 023>0⇒(x＋1)(x－2 023)>0⇒x<－1或 x>2 023.
(4)(x－2)(3－x)≥3－x. 解：原不等式可化为(x－3)(3－x)≥0，即(x－3)2≤0，解 得x＝3， ∴原不等式的解集为{3}．
第22页，共54页
典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5
例3 已知关于x的不等式ax2＋4x＋b＜0的解集为 (－∞，－2)∪(6，＋∞)，求实数a，b的值． 【思路点拨】 此类题一般通过“构造方程”或“构造不等式 ”来求解．
解：由题意得，方程ax2－bx＋3＝0的两个根为x1＝1，
x2＝
3 2
，根据韦达定理得
1
3 2
b a
,
1
3 2
3 a
,
解得
a 2, b 5.
第25页，共54页
典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5
高中数学课件：3.2-2《一元二次不等式及其解法》
(2)若 a2－1≠0，即 a≠±1 时，原不等式解集为 R 的条件 是 a2－1<0 Δ＝a－12＋4a2－1<0 解得－35<a<1. 综上所述，当－35<a≤1 时，原不等式解集为全体实数．
[点评] (1)不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是全体实数(或恒成 立)的条件是当 a＝0 时，b＝0，c>0；
②logaf(x)>logaφ(x)⇔f(x)>φ(x)>0(a>1)； 或0<f(x)<φ(x)(0<a<1)．
2．不等式(x2－7x＋12)(x2＋x＋1)>0的解
集为
()
A．(－∞，－4)∪(－3，＋∞)
B．(－∞，3)∪(4，＋∞)
C．(－4，－3)
D．(3,4)
解析：∵x2＋x＋1>0恒成立，∴原不等式等 价于x2－7x＋12>0，∴x<3或x>4.故选B.
答案：B
3．若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－ 4<0的 解 为 一 切 实 数 ， 则 a 的 取 值 范 围 为 ()
即 k>23或k<－4， k>2或k<－4，
解得 k<－4 或 k>2. 故所求的实数 k 的取值范围是 k<－4 或 k>2.
[点评] 解决这类一元二次方程两实根正负 性的讨论问题，只需抓住判别式和韦达定 理，由它们构建关于参数的一元二次不等 式组，解之即可．
迁移变式3 m为何值时，关于x的方程(m ＋1)x2＋2(2m＋1)x＋(1－3m)＝0有两个异 号的实根．
[分析] 由A∩B＝A⇒A⊆B，又因为B是可解 集合，因此可以求出B集合．对于A集合， 要明确不等式的解集，需判断对应方程两 根的大小，故要就两根的大小对参数a加以 讨论，再借助数轴由A，B两集合的关系， 求出a的具体取值范围．
高中数学第三章不等式32一元二次不等式及其解法第2课时一元二次不等式的解法的应用课件新人教A版必修
2．含参数一元二次不等式有解的讨论方法 (1)当二次项系数不确定时，要分二次项系数_等__于__零_、 _大__于__零___、_小__于__零___三种情况进行讨论． (2)判别式不确定时，要分判别式大于零、等于零、小 于零三种情况进行讨论． (3)判别式大于零时，只需讨论两根大小．
1．若集合
它的同解不等式为xx－－22≠x0－，5≥0， ∴x＜2 或 x≥5. ∴原不等式的解集为{x|x＜2 或 x≥5}．
【方法规律】1.对于比较简单的分式不等式，可直接转 化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母 不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先 移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后 再用上述方法求解．
【答案】B
3．不等式x＋x 1≤3 的解集为________． 【答案】x|x＜0或x≥12
4．若函数f(x)＝log2(x2－2ax－a)的定义域为R，则a的 取值范围为________．
【答案】(－1,0) 【解析】已知函数定义域为R，即x2－2ax－a＞0对任意 x∈R恒成立，∴Δ＝(－2a)2＋4a＜0，解得－1＜a＜0.
y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝215a(50＋x)(10－x)(0＜x＜10)． (2)原计划税收为 200a·10%＝20a(万元)．依题意得215a(50
＋ x)(10 － x)≥20a×83.2% ， 化 简 得 x2 ＋ 40x － 84≤0 ， ∴ － 42≤x≤2.又 0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x 的取值范围是{x|0＜ x≤2}．
)
A．x|1t ＜x＜t
B．x|x＞1t 或x＜t
C．x|x＜1t 或x＞t
D．x|t＜x＜1t
《一元二次不等式及其解法》用 (2)
＝1，故a＝2. 又f(x)开口向下，所以当x∈[－1,1]时f(x)为增函
数，
f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2， f(x)＞0恒成立，即f(x)min＝b2－b－2＞0恒成立， 解得b＜－1或b＞2.
答案：C
1．(2010· 大连模拟)设函数f(x)＝ 则不等 式f(x)＞f(1)的解集是 ( )
足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，
即 ，则m无解．
综上可知不存在这样的m.
(2)从形式上看，这是一个关于x 的一元二次不等式，可
以换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式，并且
已知它的解集为[－2,2]，求参数x的范围． 设f(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)， 则其为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线， 由题意知该直线当－2≤m≤2时线段在x轴下方，
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的两根；
(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解
集．
2．对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺
序是：
(1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是
否为二 次不等式；
(2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0；
(3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，
【答案】 C
[自主体验] 已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，
b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，
若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范 围是 ( A．－1＜b＜0 C．b＜－1或b＞2 ) B．b＞2 D．不能确定
解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，知f(x)的对称轴为x＝
数，
f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2， f(x)＞0恒成立，即f(x)min＝b2－b－2＞0恒成立， 解得b＜－1或b＞2.
答案：C
1．(2010· 大连模拟)设函数f(x)＝ 则不等 式f(x)＞f(1)的解集是 ( )
足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，
即 ，则m无解．
综上可知不存在这样的m.
(2)从形式上看，这是一个关于x 的一元二次不等式，可
以换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式，并且
已知它的解集为[－2,2]，求参数x的范围． 设f(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)， 则其为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线， 由题意知该直线当－2≤m≤2时线段在x轴下方，
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的两根；
(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解
集．
2．对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺
序是：
(1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是
否为二 次不等式；
(2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0；
(3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，
【答案】 C
[自主体验] 已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，
b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，
若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范 围是 ( A．－1＜b＜0 C．b＜－1或b＞2 ) B．b＞2 D．不能确定
解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，知f(x)的对称轴为x＝
《一元二次不等式及其解法》ppt课件
>0,解得 a<0 或 a>2,
������ ������
∴当 a<0 时,- >-1,不等式的解集为(-1,- ); 当 0<a<2 时,- <-1,不等式的解集为(-∞,- )∪(-1,+∞);
������ ������ ������ ������ ������ ������
������
当 a=2 时,-������=-1, 不等式的解集为 {x ������ ≠ - ������};
.. 导. 学 固思
求下列一元二次不等式的解集. 2 2 2 (1)4x -4x+1≤0;(2)-x +7x>6;(3)-x +6x-9>0.
【解析】 (1)4x -4x+1≤0,即(2x-1) ≤0, ∴x= .∴4x -4x+1≤0 的解集为{x|x= }.
������
当 a>2 时,-������>-1,不等式的解集为(-∞,-1)∪(-������,+∞).
������
.. 导. 学 固思
一元二次不等式与函数的综合 已知函数 f(x)=log2(mx2+mx+3)的定义域为 R,求实数 m 的取 值范围. 2 【解析】依题意有 mx +mx+3>0 对任意 x∈R 都成立, 即 mx 2 +mx+3>0 的解集为 R, ∴m>0 且 Δ =m2-12m<0,解得:0<m<12. 2 [ 问题 ] 不等式 mx +mx+3>0 一定是一元二次不等式吗 ? [ 结论 ] 不一定是.要对字母 m 进行讨论 . 于是 , 正确解答如下: 依题意有 mx2+mx+3>0 对任意 x∈R 都成立, 即 mx 2 +mx+3>0 的解集为 R, 当 m=0 时,上述不等式恒成立,解集为 R, 当 m≠0 时,上述不等式是一元二次不等式, ∴m>0 且 Δ =m2-12m<0,解得:0<m<12, 综上 ,m 的取值范围是[0,12).
高考数学 第2节 一元二次不等式及其解法课件
(2)由上表知x1和x2担负三个角色：不等式解区间的端点，相应方程(fāngchéng)的两根、 相应函数图象与x轴交点的横坐标．
(3)对于ax2＋bx＋c>0(a≠0)(或ax2＋bx＋c<0(a≠0))恒成立问题，可结合函数图象解决．
第六页，共39页。
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3．用一个(yī ɡè)流程图来描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的算法是：
变式探究11：解不等式：
(1)8x－1≤16x2；
(2)x2－2ax－3a2<0(a<0)．
解：(1)原不等式⇔16x2－8x＋1≥0⇔(4x－1)2≥0， ∴x∈R，所以解集为R.
(2)原不等式⇔(x＋a)(x－3a)<0， ∵a<0，∴3a<－a，∴解集为{x|3a<x<－a}．
第十四页，共39页。
解：(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10000(1＋0.6x)(0<x<1)
整理得y＝－6000x2＋2000x＋20000.(0<x<1)
第二十一页，共39页。
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(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有
y－12－10×10000>0，
(A)－6 (B)－5 (C)6 (D)5 解析：依题意 a<0，则原不等式可化为－ax2－bx－1<0，
且－1，13是方程－ax2－bx－1＝0 的两根，
∴(－1)×13＝1a，－1＋13＝－ba，解得 a＝－3，b＝－2.
∴a·b＝6，故选 C. 4．已知不等式(k－1)x2＋2x＋1≥0 对一切 x∈R 恒成立，则实数 k 的取值范围是
(3)对于ax2＋bx＋c>0(a≠0)(或ax2＋bx＋c<0(a≠0))恒成立问题，可结合函数图象解决．
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3．用一个(yī ɡè)流程图来描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的算法是：
变式探究11：解不等式：
(1)8x－1≤16x2；
(2)x2－2ax－3a2<0(a<0)．
解：(1)原不等式⇔16x2－8x＋1≥0⇔(4x－1)2≥0， ∴x∈R，所以解集为R.
(2)原不等式⇔(x＋a)(x－3a)<0， ∵a<0，∴3a<－a，∴解集为{x|3a<x<－a}．
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解：(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10000(1＋0.6x)(0<x<1)
整理得y＝－6000x2＋2000x＋20000.(0<x<1)
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(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有
y－12－10×10000>0，
(A)－6 (B)－5 (C)6 (D)5 解析：依题意 a<0，则原不等式可化为－ax2－bx－1<0，
且－1，13是方程－ax2－bx－1＝0 的两根，
∴(－1)×13＝1a，－1＋13＝－ba，解得 a＝－3，b＝－2.
∴a·b＝6，故选 C. 4．已知不等式(k－1)x2＋2x＋1≥0 对一切 x∈R 恒成立，则实数 k 的取值范围是