高考数学真题专题五 平面向量第十四讲 向量的应用
文科数学2010-2019高考真题分类训练专题五 平面向量第十四讲 向量的应用
（Ⅰ）求 A ；
（Ⅱ）若 a = 7 ， b = 2 ，求△ABC 的面积．
28．(2015
四川)如图，椭圆 E
：
x2 a2
+
y2 b2
= 1（ a > b >0）的离心率是
2 ，点 P(0,1) 在短 2
轴 CD 上，且 PC PD = −1． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A, B 两点．是否存在常数 ，使
，
最大值是 ．
15．（2017 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，A(−12, 0) ，B(0, 6) ，点 P 在圆 O ：x2 + y2 = 50
上，若 PA PB ≤ 20 ，则点 P 的横坐标的取值范围是
．
16．（2016 年浙江）已知向量 a, b ， | a |= 1，| b |= 2 ，若对任意单位向量 e ，均有
三、解答题
26．（2017 浙江）已知向量 a = (cos x,sin x) ， b = (3, − 3) ， x [0, ] ． （1）若 a ∥ b ，求 x 的值； （2）记 f (x) = a b ，求 f (x) 的最大值和最小值以及对应的 x 的值．
27．（2015 陕西）△ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ，向量 m = (a, 3b) 与 n = (cos A,sin B) 平行．
R ．若 BQ CP = −2 ，则 =
A． 1
B． 2
C． 4
D．2
3
3
3
9．(2012 安徽)在平面直角坐标系中，O(0, 0), P(6,8) ，将向量 OP 绕点 O 按逆时针旋转 3 4
习题第14讲 向量的应用--高考数学习题和答案
uuur uuuur uuuur uuuuur
DB ⋅ DC = DC ⋅ DA = − 2，动点 P，M 满足 AP =1， PM = MC ，则 BM 2 的最大值
是
43
A．
4
49
B．
4
37 + 6 3
C．
4
37 + 2 33
D．
4
uuur uuur 7．(2015 山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a ， ∠ABC = 60o，则 BD ⋅ CD ＝
1
uuur uuur uuur DC ，则 AE ⋅ AF 的
9λ
最小值为
．
∑ 24．（2015 江= 苏）设向量 ak
(cos kπ ,sin kπ + cos kπ= ) (k
66
6
12
0,1, 2,⋅⋅⋅,12) ，则 (ak ⋅ ak+1)
k =0
的值为
．
25．（2014 天津）已知菱形 ABCD 的边长为 2 ， ∠BAD =120° ，点 E ， F 分别在边 BC 、 uuur uuur
13．（2014 天津）已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD 120o，点 E, F 分别在边 BC, DC
uuur uuur
uuur uuur 2
上， BE λBC ， DF μDC .若 AE AF 1， CE CF ，则 λ μ
3
1
A．
2
B．
5
C．
7
D．
2
3
6
12
uuur uuur uuur
专题五 平面向量
第十四讲 向量的应用
2019 年
2010-2018高考真题分类训练：第十四讲 向量的应用答案
专题五 平面向量第十四讲 向量的应用答案部分1．A 【解析】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD 中，1AB AD ==，120BAD ∠=︒， 所以(0,0)A ，(1,0)B，1(,22D -，设(1,)C m ,(,)E x y ，所以3(,2DC m =，1(2AD =- ，因为AD CD ⊥，所以31(,(022m ⋅-=，即31()022m ⨯-+=，解得m，即(1C ， 因为E 在CD上，所以2y CE CD k k =，2112=+，即2x =-， 因为(,)AE x y = ，(1,)BE x y =-，所以2222(,)(1,)2)2AE BE x y x y x x y y ⋅=⋅-=-+=-++246y =-+，令2()46f y y =-+，y ∈．因为函数2()46f y y =-+在[28上单调递减，在[8上单调递增，所以2min 21()4(68816f y =⨯-+=． 所以⋅uu u r uu r AE BE 的最小值为2116，故选A ．2．A 【解析】解法一 设O 为坐标原点，OA = a ，(,)OB x y ==b ，=(1,0)e ，由2430-⋅+=b e b 得22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，所以点B 的轨迹是以(2,0)C 为圆心，l 为半径的圆．因为a 与e 的夹角为3π，所以不妨令点A在射线y (0x >)上，如图，数形结合可知min ||||||1CA CB -=-a b ．故选A ．解法二 由2430-⋅+=b e b 得2243()(3)0-⋅+=-⋅-=b e b e b e b e ．设OB = b ，OE = e ，3OF = e ，所以EB -= b e ，3FB - b e =，所以0EB FB ⋅=，取EF 的中点为C ．则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设OA = a ，作射线OA ，使得3AOE π∠=，所以|||(2)(2)|-=-+-≥a b a e e b|(2)||(2)|||||1CA BC ---=-a e eb ．故选A ．3．A 【解析】如图建立直角坐标系，则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)P x y 所以圆的方程为224(2)5x y -+=， 所以(,1)AP x y =- ，(0,1)AB =- ，(2,0)AD =，由AP AB AD λμ=+，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=， 点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3， 即λμ+的最大值为3，选A ．4．B 【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则 ()A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以()P A y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =-- ，所以 (2,2)P B P C x y +=-- ，22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-23322--≥，当(0,2P 时，所求的最小值为32-，故选B ．5．C 【解析】如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO AF <，而90AFB ∠= ，∴AOB ∠与COD ∠为钝角，AOD ∠与BOC ∠为锐角．根据题意12()I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA -=⋅-⋅=⋅-=⋅=||||cos 0OB CA AOB ∠<，∴12I I <，同理23I I >．做AG BD ⊥于G ，又AB AD =．∴OB BG GD OD <=<，而OA AF FC OC <=<，∴||||||||OA OB OC OD ⋅<⋅，而cos cos 0AOB COD ∠=∠<， ∴OA OB OC OD ⋅>⋅，即13I I >，∴312I I I <<，选C ．6．B 【解析】由2DA DB DC === 知,D 为ABC ∆的外心．由DA DB ⋅ =DB DC ⋅=DC DA ⋅知D为ABC ∆的内心，所以ABC ∆为正三角形，易知其边长为取AC 的中点E ，因为M 是PC 的中点，所以1122EM AP ==， 所以max 17||||22BM BE =+= ，则2max 49||4BM = ．故选B ．7．D 【解析】由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=可知18060120BAD ∠=-=，2223()()cos1202BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ⋅=-⋅-=-⋅+=-⋅+= ．8．A 【解析】由题意得111333=+=+=+-AD AC CD AC BC AC AC AB1433=-+AB AC ．9．A 【解析】以题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点(1,4)P ，1(,0)B t，(0,)C t ，所以11(1,4)(1,4)(1)(1)4(4)PB PC t t t t⋅=----=-⨯--⨯-=1174t t --1713-=≤（当且仅当14t t =，即12t =时取等号）， 所以PB PC ⋅的最大值为13．故选A ．10．C 【解析】311,443AM AB AD NM CM CN AD AB =+=-=-+，所以11(43)(43)412AM NM AB AD AB AD ⋅=+⋅-2211(169)(1636916)94848AB AD =-=⨯-⨯= ，选C ． 11．B 【解析】由题意得，AC 为圆的直径，故可设),(n m A ，),(n m C --，),(y x B ，∴(6,)PA PB PC x y ++=- ，而491237)6(22≤-=+-x y x ，∴PA PB PC ++的最大值为7，故选B ．12．A 【解析】设(1,0),(0,1)a b == ，则(cos ,sin )OP θθ= ，OQ =，所以曲线C 是单位元，区域Ω为圆环（如图）∵||2OQ =，∴13r R <<<．13．C 【解析】 因为120BAD? ，所以cos1202AB ADAB AD ?鬃=-.因为BE BC l =，所以AE AB AD l =+ ，AF AB AD m =+.因为1AE AF? ，所以()()1AB AD AB ADl m +?=，即3222l m l m +-=① 同理可得23l m l m --=- ②，①+②得56l m +=.14．B 【解析】如图，设,AB b AC c == ，则1,2,0b c b c ==∙=，CB又(1)BQ BA AQ b c λ=+=-+- ，CP CA AP c b λ=+=-+，由2-=∙得22[(1)]()(1)4(1)2b c c b c b λλλλλλ-+-∙-+=--=--=- ，即32,23==λλ，选B. 15．A 【解析】 【方法一】设34(10cos ,10sin )cos ,sin 55OP θθθθ=⇒==则33(10cos(),10sin())(44OQ ππθθ=++=- ． 【方法二】将向量(6,8)OP = 按逆时针旋转32π后，可知Q 点落在第三象限，则可排除B 、D ，代入A ，由向量的夹角公式可得cos 2QOP ∠=-，∴34QOP π∠=．16．C 【解析】首先观察集合113{|},1,,0,,1,,2,2222nn Z ⎧⎫∈=⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，从而分析a b和b a 的范围如下：因为(0,)4πθ∈，∴cos 12θ<<， 而||cos ||θ⋅==⋅ b a b b a a a a ，且||||0>…a b ，可得||0cos 1||θ<<b a ， 又∵∈ b a {|}2∈nn Z 中，∴||1cos ||2θ=b a ， 从而||1||2cos θ=b a ，∴2||cos 2cos ||θθ⋅===⋅ a b a a b b b b ， 所以12<< a b ．且a b 也在集合{|}2∈nn Z 中，故有32=a b ． 17．D 【解析】根据已知得(,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]c λ-=-，即(,0)(1,0)c λ=，从而得c λ=；(,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]d μ-=-，即(,0)(1,0)d μ=，得d μ=，根据112λμ+=，得112c d +=．线段AB 的方程是0y =，[0,1]x ∈．若C 是线段AB 的中点，则12c =，代入112c d +=，得10d=． 此等式不可能成立，故选项A 的说法不成立；同理选项B 的说法也不成立； 若,C D 同时在线段AB 上，则01c <≤，01d <≤， 此时11c ≥，11d≥，112c d +≥，若等号成立，则只能1c d ==，根据定义，,C D 是两个不同的点，故矛盾，故选项C 的说法也不正确，若,C D 同时在线段AB 的延长线上，若1c >，1d >，则112c d+<， 与112c d +=矛盾，若0,0c d <<，则11c d +是负值，与112c d+=矛盾， 若1c >，0d <，则11c <，10d <，此时111c d +<，与112c d+=矛盾，故选项D 的说法是正确的．18．3-【解析】设(0,)E t ，(0,2)±F t ，所以(1,)(2,2)⋅=⋅-±AE BF t t222(2)22(1)3=-+±=±-=±-t t t t t ，当1=±t 时，AE BF ⋅取得最小值3-．19．[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，得250x y -+≤，x如图由250x y -+≤可知，P 在 MN上， 由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得(1,7)M ，(5,5)N --， 所以P 点横坐标的取值范围为[-．20．311【解析】032cos603AB AC ⋅=⨯⨯= ，1233AD AB AC =+ ,则12212()()34934333333AD AE AB AC AC AB λλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=- ，311λ=．21．12【解析】由题意令(1,0)=e ，(cos ,sin )αα=a，(2cos ,2sin )ββ=b ，则由||||+…ae be 可得|cos |2|cos |αβ+… ①，令sin 2sin m αβ+= ②22①+②得24[|cos cos |sin sin ]1m αβαβ++…对一切实数,αβ恒成立，所以4[|cos cos |sin sin ]1αβαβ+…．故12(cos cos sin sin )2[|cos cos |sin sin ]2αβαβαβαβ⋅=++剟a b ．故最大值为12． 22．12 16- 【解析】由1111()3232MN MC CN AC CB AC AB AC =+=+=+-1126AB AC xAB y AC =-=+．所以12x =，16y =-． 23．2918 【解析】 因为19DF DC λ=，12DC AB = ， 119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-== ，AE AB BE AB BC λ=+=+ ，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+ ，()1918AE AF AB BC AB BC λλλ +⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭22191911818AB BC AB BC λλλλλλ++⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭ 19199421cos1201818λλλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥=当且仅当2192λλ=即23λ=时的最小值为2918． BA24．1(1)(1)(cos ,sin cos )(cos ,sin 66666k k k k k k k a a πππππ+++⋅=+⋅+(1)cos )6k π+2(1)2cos sincos cos sin 66666k k k k πππππππ+++=++=++1(21)cos26k π+，因此111012k k k a a +=⋅==∑ 25．2【解析】因为120BAD?，菱形的边长为2，所以2AB AD?-.因为113AE AFAB AD AD AB λ骣骣鼢珑?+?鼢珑鼢珑桫桫，由1AE AF? ，所以4412(1)133λλ+-+=，解得2λ=． 26．1(,)D x y ，由||1CD =，得22(3)1x y -+=，向量OA OB OD ++(1,x y =-，故||OA OB OC ++=的最大值为圆22(3)1x y -+=上的动点到点(1,距离的最大值，其最大值为圆22(3)1x y -+=的圆心(3,0)到点(1,的距离加上圆的半径，11=+27．2【解析】以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则B，E ，(0,2)D，C ．设(,2)F x (0≤x ≤2)，由1AB AF x ⋅=⇒= ，∴(1,2)F ，AE BF=()1,2⋅(1-2,2)=2．28．(2sin 2,1cos 2)--【解析】如图过P 作x 轴的垂线，垂足为E ，过C 作y 轴的垂线，垂足为A ，根据题意可知圆滚动了2个单位的弧长，BAC E∴2PCD ∠=，可知22PCB π∠=-，此时点P 的坐标为2cos(2)2sin 2,2P x π=--=-1sin(2)1cos 2,2P y π=+-=-另解1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，且223,2-==∠πθPCD ，则点P 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-+=2cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2ππy x ，即)2cos 1,2sin 2(--=.29．14-【解析】根据已知得1()2AD AB AC =+ ，23BE AC AB =- ，所以AD BE ⋅= 1()2AB AC +⋅ （23AC AB - ）=1211(1)2334AB AC --⋅=- ．30．【解析】(1)∵⊥m n ，∴0⋅=m n，故022x x -=，∴tan 1x =． （2）∵m 与n 的夹角为3π，∴122cos ,112x x-⋅<>===⨯m n m n |m ||n |， 故1sin()42x π-=，又(0,)2x π∈，∴(,)444x πππ-∈-，46x ππ-=，即512x π=． 故x 的值为512π．31．【解析】（Ⅰ）已知()sin2cos2f x m x n x =⋅=+a b ，)(x f 过点)2,32(),3,12(-ππ，∴()sin cos 1266f m n πππ=+= 234cos 34sin )32(-=+=πππn m f∴121222m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩解得⎩⎨⎧==13n m（Ⅱ）由（Ⅰ）知)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f由题意知()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++设()y g x =的图象上符合题意的最高点为0(,2)x由题意知2011x +=．所以00x =，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入()y g x =得sin 216πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又∵0ϕπ<<，所以6πϕ=，因此()2sin 22cos 22g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭由222,k x k k Z πππ-+≤≤∈， 得z k k x k ∈≤≤+-,2πππ∴()f x 的单调增区间为[,],2k k k πππ-+∈Z ．32．【解析】（Ⅰ）∵1cos ,3,cos 233acB b BA BC ca B ==⋅=== ， 且222-cos 2a c b B ac+=，∴c 6,5a a c =+=，∵a c >，∴解得3,2a c ==．所以3,2a c ==．（Ⅱ）∵1cos 3B =，∴sin 3B =，∵3,3,2a b c ===， 222-c 7cos 29a bC ab +==，sin C =∴23cos(-)cos cos sin sin 27B C B C B C =+=，故23cos(-)27B C =． 33．【解析】（1）-a b ＝(cos cos ,sin sin )αβαβ--，2||-a b ＝22(cos cos )(sin sin )αβαβ-+-＝22(cos cos sin sin )2αβαβ-⋅+⋅=．所以，cos cos sin sin 0αβαβ⋅+⋅=，所以，b a ⊥．（2）⎩⎨⎧=+=+②1sin sin ①0cos cos βαβα，①2＋②2得：1cos()2αβ-=-．所以，αβ-＝π32，α＝π32＋β， 带入②得：sin (π32＋β)＋sin β＝23cos β＋12sin β＝sin (3π＋β)＝1，所以，3π＋β＝2π．所以，α＝65π，β＝6π．34．【解析】由题意，抛物线E 的焦点为(0,)2p F ，直线1l 的方程为12py k x =+．由1222p y k x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22120x pk x p --=．设A ，B 两点的坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1x 、2x 是上述方程的两个实数根．从而1212x x pk +=，212121()2y y k x x p pk p +=++=+．所以点M 的坐标为211(,)2ppk pk +，211(,)FM pk pk = ． 同理可得点N 的坐标为222(,)2p pk pk +，222(,)FN pk pk = ．于是2221212()FM FN p k k k k ⋅=+ ．由题设，有k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2， 所以212120()12k k k k +<<=． 故222(11)2FM FN p p ⋅<+=．(2)【解析】由抛物线的定义得1||2p FA y =+，2||2pFB y =+， 所以2121||22AB y y p pk p =++=+，从而圆M 的半径211r pk p =+．故圆M 的方程为22222111()()()2p x pk y pk pk p -+--=+． 化简得22221132(21)04x y pk x p k y p +--+-=． 同理可得圆N 的方程为22222232(21)04x y pk x p k y p +--+-=． 于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为222121()()0k k x k k y -+-=．又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0. 因为p >0，所以点M 到直线l 的距离222117[2()]p k d ++===故当114k =-时，d．8p =．故所求的抛物线E 的方程为216x y =． 35．【解析】（I）由2222)(sin )4sin ax x x =+=，222(cos )(sin )1b x x =+=，及2,4sin 1a b x ==得又1[0,],sin 22x x π∈=从而，所以6x π=.（II）2()cos sin f x a b x x x =⋅⋅+1112cos 2sin(2)2262x x x π-+=-+. 当[0.]sin 2- 1.326x x πππ=∈时，（）取最大值所以3().2f x 的最大值为 36．【解析】（1）由(2,1)MA x y =--- ，(2,1)MB x y =--，MA MB += ()(,)(0,2)2OM OA OB x y y ⋅+=⋅= ，=22y +．化简得曲线C 的方程：24x y =．（2）假设存在点(0,)(0)P t t >满足条件，则直线PA 的方程是12t y x t -=+，PB 的方程是12ty x t -=+． 曲线C 在Q 处的切线l 的方程是20024x x y x =-，它与y 轴的交点为2(0,)4x F - 由于022x -<<，因此0112x -<<． ①当10t -<<时，11122t --<<-，存在0(2,2)x ∈-，使得0122x t -=．即l 与直线PA平行，故当10t -<<时不符合题意． ②1t -…时，011,22x t --< (01122)x t ->…，所以l 与直线,PA PB 一定相交． 分别联立方程组0201224t y x t x x y x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得,D E 的横坐标分别是20042(1)D x t x x t +=+-，20042(1)E x t x x t +=+-，则202204(1)(1)E D x tx x t x t +-=--- 又204x FP t =--，有220220(4)1128(1)PDE E D x t t S FP x x t x ∆+-=⋅⋅-=⋅--，又2200414(1)242QABx x S ∆-=⋅⋅-=， 于是22200220(4)(1)41(4)QAB PDEx x t S S t x t ∆∆⎡⎤---⎣⎦=⋅-+=422200422004(1)4(1)41816x t x t t x tx t⎡⎤-+-+-⎣⎦⋅-++， 对任意0(2,2)x ∈-，要使QAB PDE S S ∆∆为常数，即只需t 满足2224(1)84(1)16t tt t⎧---=⎨-=⎩，解得1t =-，此时2QAB PDES S ∆∆=，故存在1t =-，使得QAB ∆与PDE ∆的面积之比是常数2．37．【解析】由λ=知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设 .)1(),(),,(),,(),,(2020220y x y x y y x x x M y x Q y x P λλλ-+=-=-则则 ①再设),1,1().(,),,(010111y x y y x x y x B --=--=λλ即由解得⎩⎨⎧-+=-+=.)1(,)1(011λλλλy y x x ②将①式代入②式，消去0y ，得⎩⎨⎧-+-+=-+=.)1()1(,)1(2211λλλλλλy x y x x ③ 又点B 在抛物线2x y =上，所以211x y =，再将③式代入211x y =，得.012),1(,0.0)1()1()1(2,)1(2)1()1()1(,))1(()1()1(22222222=--+>=+-+-+++-+=-+-+-+=-+-+y x y x x x y x x y x 得两边同除以因λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ故所求点P 的轨迹方程为.12-=x y38．【解析】（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=所以|||AB AC AB AC +=-=故所求的两条对角线的长分别为．（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则:E 为B 、C 的中点，E （0，1）又E （0，1）为A 、D 的中点，所以D （1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC =AD =；（2）由题设知：OC =(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++．由(OC t AB -)·OC =0，得：(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=， 从而511,t =-所以115t =-． 或者：2· AB OC tOC = ，(3,5),AB =2115||AB OC t OC ⋅==- ．。
历年高考文科数学真题分离专题训练专题五平面向量第十四讲向量的应用
专题五 平面向量 第十四讲 向量的应用 2019 2019年 1.（2019全国Ⅰ文8）已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62.（2019全国Ⅱ文3）已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |=A ．2B ．2C ．52D ．503. （2019全国Ⅲ13）已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,<>=a b ___________.4.（2019北京文9）已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．5.（2019天津文14）在四边形ABCD 中，AD BC ∥，23AB = ，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________.6.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则AB AC的值是 .7.（2019浙江17）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时， 123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________，最大值是_______.2010-2018一、选择题1．(2018浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430-⋅+=b e b ，则||-a b 的最小值是A1 B1 C ．2 D．2 2．（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB =⋅，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则 OAB CDA ．1I <2I <3IB ．1I <3I <2IC ．3I < 1I <2ID ．2I <1I <3I3．（2016年四川）已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足||1AP =,PM MC =，则2||BM 的最大值是A ．443 B ．449 C ．43637+ D ．433237+ 4．（2015广东）在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形ΑΒCD 是平行四边形，()1,2ΑΒ=-，()2,1ΑD =，则ΑD ΑC ⋅=A ．5B ．4C ．3D ．25．（2015湖南）已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2,0)，则||PA PB PC ++的最大值为A ．6B ．7C ．8D ．96．（2014安徽）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+．曲线{|cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{|0||,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<．若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则A ．13r R <<<B ．13r R <<≤C ．13r R ≤<<D ．13r R <<<7．（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC ，DF DC .若1AE AF ，23CE CF ，则A ．12B ．23C ．56D ．7128．（2012天津）在△ABC 中，90A ∠=，AB =1，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，R λ∈．若2BQ CP ⋅=-，则λ=A ．13B ．23C ．43 D ．29．(2012安徽)在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 绕点O 按逆时针旋转34π 后得向量OQ ，则点Q 的坐标是A ．(-B ．(-C ．(2)--D ．(2)-10．（2012广东）对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足||||0>a b ，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合{|}2∈n n Z 中，则a b =A ．12B ．1C ．32D ．5211．(2011山东) 设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=(λ∈R )，1412A A A A μ=(μ∈R )，且112λμ+=，则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ，已知点(,0)C c ，(,0)D d ，(,c d ∈R )调和分割 点(0,0)A ，(1,0)B ，则下面说法正确的是A ．C 可能是线段AB 的中点B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上二、填空题12．(2018上海)在平面直角坐标系中，已知点(10)A -，，(2,0)B ，E ，F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为______．13．（2017北京）已知点P 在圆22=1x y +上，点A 的坐标为(2,0)-，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为_______．14．（2017浙江）已知向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，则||||++-a b a b 的最小值是 ，最大值是 ．15．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．16．（2016年浙江）已知向量,a b ，||1=a ，||2=b ，若对任意单位向量e ，均有 ||||6+ae be ，则⋅a b 的最大值是 ．17．（2015山东）过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，则PA PB ⋅= ．18．（2015江苏）已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b （,m n ∈R ），则m n -的值为______．19．（2015天津）在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=，点E 和点F 分别在线段BC 和DC 上，且23BE BC =，16DF DC =则AE AF ⋅的值为________．20．（2015安徽）ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足2AB =a ，2AC =+a b ，则下列结论中正确的是 ．（写出所有正确结论得编号） ①a 为单位向量；②b 为单位向量；③⊥a b ；④BC ∥b ；⑤(4)BC +⊥a b ．21．（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=．若1AE AF ⋅=，则λ的值为________．22．（2014湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(0,3),(3,0),A B C -动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的最大值是23．（2012江苏）如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ．24．（2012山东）如图，在平面直角坐标系xoy 中，一单位圆的圆心的初始位置在()1,0，此时圆上一点P 的位置在()0,0，圆在x 轴上沿正向滚动。
数学研讨 专题五 平面向量第十四讲 向量的应用
林老师网络编辑整理 林老师网络编辑整理 专题五 平面向量 第十四讲 向量的应用 2019年 1.（2019江苏12）如图，在ABC△中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若6ABACAOECuuuruuuruuuruuur，则ABAC的值是 .
2.（2019浙江17）已知正方形ABCD的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)ii取遍1时，123456||ABBCCDDAACBDuuuruuuruuuruuuruuuruuur的最小值是________，最大值是
_______. 3.（2019天津理14）在四边形ABCD中，,23,5,30ADBCABADA∥，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BDAEuuuruuur .
2010-2018年 一、选择题 1．(2018天津)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，120BAD， 1ABAD． 若点E为边CD上的动点，则uuuruurAEBE的最小值为
A．2116 B．32 C．2516 D．3
ED
C
BA 林老师网络编辑整理 林老师网络编辑整理 2．(2018浙江)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为3，向量b满足2430beb，则||ab的最小值是 A．31 B．31 C．2 D．23 3．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，1AB，2AD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若APABADuuuruuuruuur，则的最大值为 A．3 B．22 C．5 D．2 4．（2017新课标Ⅱ）已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPCuuuruuuruuur的最小值是
A．2 B．32 C．43 D．1 5．（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，2ABBCAD，3CD，AC与BD交于点O，记1IOAOBuuuruuur，2·IOBOCuuuruuur＝，3·IOCODuuuruuur＝，则
专题五 平面向量第十四讲 向量的应用
专题五平面向量第十四讲向量的应用2019 年1.（2019 江苏12）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE=2EA，AD 与CE交于点O .若AB ⋅AC = 6 A O ⋅EC ，则AB的值是.AC2.（2019 浙江17）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个λi (i =1, 2, 3, 4, 5, 6) 取遍±1时，| λ1 AB +λ2 BC +λ3 CD +λ4 DA +λ5 AC +λ6 BD | 的最小值是，最大值是.3.（2019 天津理14）在四边形ABCD 中，AD ∥BC, AB = 2 3,AD = 5,∠A = 30︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE =BE ，则BD ⋅AE = .2010-2018 年一、选择题1．(2018 天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD = 120︒，AB =AD = 1 ．若点E 为边CD 上的动点，则AE ⋅BE 的最小值为21 3A．B．16 2C．25D．316E 3 3 2 OCDBA2．(2018 浙江)已知a ， b ， e 是平面向量， e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为 π，3向量b 满足b 2- 4e ⋅ b + 3 = 0 ，则| a - b |的最小值是A ． -1B ． +1C ．2D ． 2 -3．（2017 新课标Ⅲ）在矩形 ABCD 中，AB = 1，AD = 2 ，动点 P 在以点C 为圆心且与 BD相切的圆上．若 AP = λ AB + μ AD ，则λ + μ 的最大值为A ．3B ． 2C ．D ．24．（2017 新课标Ⅱ）已知∆ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则PA ⋅ (PB + PC ) 的最小值是A ． -2B ． - 32 C ． - 43D ． -15．（2017 浙江）如图，已知平面四边形 ABCD ，AB ⊥ BC ，AB = BC = AD = 2 ，CD = 3 ，u u u r u u u ru u u r u u u rDABCA ． I 1 < I 2 < I 3B ． I 1 < I 3 < I 2C ． I 3 < uuur I 1 < I 2 uuuru u u r D ． I 2 < I 1 < I 36．（2016 四川）在平面内，定点 A ，B ，C ，D 满足 DA = DB = DC ， DA ⋅ DB =3537 + 6 3 1 uuurDB ⋅ DC = DC ⋅ DA = - 2，动点 P ，M 满足 AP =1， PM = MC ，则 BM 2 的最大值是A ．43 4B ．49 C ．D ．4447．(2015 山东)已知菱形 ABCD 的边长为a ， ∠ABC = 60o，则 BD ⋅ CD ＝A ． - 3a22 B ． - 3a24 C ． 3a24 D ． 3a228．（2015 新课标）设 D 为∆ABC 所在平面内一点， BC = 3CD ，则uuurA ． AD = - 1 uuur AB + 4 u u u r ACuuur B ． AD = 1 uuur AB - 4 u u u rAC3 33 3 uuur C ． AD =4 uuur AB + 1 u u u r ACuuur D ． AD = 4 uuur AB - 1 u u u r AC3 33 39．（2015 福建）已知 AB ⊥ AC ， uuur AB = ， tu u u rAC = t ，若点 P 是∆ABC 所在平面内一uuur 点，且 = AB + 4 AC ，则 PB ⋅ PC 的最大值等于 AP u u u r u u u rAB ACA ．13B ．15C ．19D ．21u u u r u u u r10．（2015 四川）设四边形 ABCD 为平行四边形， AB = 6 ， AD = 4 ．若点 M , N 满足BM = 3MC ， DN = 2NC ，则 AM ⋅ NM =A ．20B ．15C ．9D ．611．（2015 湖南）已知点 A , B , C 在圆 x 2+ y 2= 1上运动，且 AB ⊥ BC ．若点 P 的坐标为u u u r u u u r u u u r(2, 0) ，则 PA + PB + PC 的最大值为A ．6B ．7C ．8D ．912．（2014 安徽）在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量a , b ，| a |=| b |= 1， a ⋅ b = 0 ，点Q满足OQ = 2(a + b ) ．曲线C = {P | OP = a cos θ + b s in θ , 0 ≤θ ≤ 2π} ，区域Ω = {P | 0 < r ≤| PQ |≤ R , r < R }．若C I Ω 为两段分离的曲线，则A ．1 < r < R < 3B ．1 < r < 3≤ R C ． r ≤ 1 < R < 3 D ．1 < r < 3 < R37 + 2 33上， BE = λBC ， DF =u u u r u u u r- 2，则 λ+ μ = 3 1 2 5 7A ．B ．C ．D ．2361214．（2012 天津）在△ABC 中，∠ A =90°，AB =1，设点P ，Q 满足 AP = λ AB ，AQ = (1- λ) AC ，λ ∈ R ．若 BQ ⋅ CP = -2 ，则λ =A ． 13B ． 23C ． 43D ．215．(2012 安徽)在平面直角坐标系中，O (0, 0), P (6,8) ，将向量OP 绕点 O 按逆时针旋转3π4后得向量OQ ，则点Q 的坐标是A ． (-7 2, - 2)B ． (-7 2, 2)C ． (-4 6, -2)D ． (-4 6, 2)α ⋅ β 16．（2012 广东）对任意两个非零的平面向量 α 和 β，定义α o β =β ⋅ β．若平面向量a , b满足| a |…| b |> 0 ， a 与b 的夹角θ ∈则a o b = π (0, ) 4，且a o b 和b o a 都在集合 n { | n 2 ∈ Z } 中，A ． 12B ．1C ． 32 D ． 5217．（2011 山东）设 A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 A A = λ A A ( λ ∈ R )， A A = μ A A ( μ ∈ R )，且 1 + 1= 2 ，则1 31 21 41 2λ μ称 A 3 ， A 4 调和分割 A 1 ， A 2 ，已知点C (c , 0) ， D (d , 0) ，( c , d ∈ R )调和分割点 A (0, 0) ， B (1, 0) ，则下面说法正确的是 A ． C 可能是线段 AB 的中点 B ． D 可能是线段 AB 的中点 C ． C ， D 可能同时在线段 AB 上 D ． C ， D 不可能同时在线段 AB 的延长线上二、填空题18．(2018 上海)在平面直角坐标系中，已知点 A (-1，0) ， B (2, 0) ， E ， F 是 y 轴上的两个6 ∑ 动点，且| EF |= 2 ，则 AE ⋅ BF 的最小值为 ．19．（2017 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，A (-12, 0) ，B (0, 6) ，点 P 在圆O ：x 2+ y 2= 50上，若 PA ⋅ PB ≤ 20 ，则点 P 的横坐标的取值范围是．20．（2017 天津）在△ABC 中，∠A = 60︒ ， AB = 3 ， AC = 2 ．若 BD = 2DC ，AE = λ AC - AB (λ ∈ R ) ，且 AD ⋅ AE = -4 ，则λ 的值为 ．21．（2016 年浙江）已知向量a , b ，| a |= 1， | b |= 2 ，若对任意单位向量e ，均有| ae | + | be |… ，则a ⋅ b 的最大值是．u u u u r u u u u r u u u r u u u r 22．(2015 北京)在△ABC 中，点 M ， N 满足 AM = 2MC ， BN = NC ．u u u u ru u u ru u u r若 MN = x AB + y AC ，则 x = ； y = ．23．（2015 天津）在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB ∥ DC , AB = 2 , BC = 1, ∠ABC = 60o．动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 BE = λ BCuuur = 1 u uu r ，则 AE ⋅ AF 的最小值为．24．（2015 江苏）设向量a k ，DF DC9λ= (cos k π , sin k π + cos k π) (k = 0,1, 2,⋅⋅⋅,12) ， 则 12(a 6 6 6 k =0⋅ a k +1)的值为 ．25．（2014 天津）已知菱形ABCD 的边长为2 ， ∠BAD = 120︒ ，点 E ， F 分别在边 BC 、DC 上， BC = 3BE ， DC = λ D F ．若 AE ⋅ AF = 1，则λ 的值为．26．（2014 湖南）在平面直角坐标系中， O 为原点， A (-1, 0), B (0, 3), C (3, 0), 动点 D 满足| CD |= 1 ，则| OA + OB + OD | 的最大值是．27．（2012 江苏）如图，在矩形 ABCD 中， AB = 2 ，BC = 2 ，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边CD 上，若 AB g AF = 2 ，则 AE g BF 的值是．k⎫2⎛ ⎫28．（2012 山东）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点 P 的位置在(0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动。
高考文科数学专题五 平面向量第十四讲 向量的应用
专题五 平面向量第十四讲 向量的应用一、选择题1．(2018浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430-⋅+=b e b ，则||-a b 的最小值是A1B 31C ．2D ．232．（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB =⋅，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则OABCDA ．1I <2I <3IB ．1I <3I <2IC ．3I < 1I <2ID ．2I <1I <3I3．（2016年四川）已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足||1AP =,PM MC =，则2||BM 的最大值是A ．443 B ．449 C ．43637+ D ．433237+4．（2015广东）在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形ΑΒCD 是平行四边形，()1,2ΑΒ=-，()2,1ΑD =，则ΑD ΑC ⋅=A ．5B ．4C ．3D ．25．（2015湖南）已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2,0)，则||PA PB PC ++的最大值为A ．6B ．7C ．8D ．96．（2014安徽）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+．曲线{|cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{|0||,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<．若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则A ．13r R <<<B ．13r R <<≤C ．13r R ≤<<D ．13r R <<< 7．（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =.若1AE AF ?，23CE CF ?-，则+=l m A ．12 B ．23 C ．56 D ．7128．（2012天津）在△ABC 中，90A ∠=，AB =1，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，R λ∈．若2B Q C P ⋅=-，则λ=A ．13B ．23C ．43D ．29．(2012安徽)在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 绕点O 按逆时针旋转34π后得向量OQ ，则点Q 的坐标是A ．(72,2)--B ．(72,2)-C ．(46,2)--D ．(46,2)- 10．（2012广东）对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足||||0>…a b ，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合{|}2∈nn Z 中，则a b =A ．12B ．1C ．32D ．5211．(2011山东) 设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=(λ∈R )，1412A A A A μ=(μ∈R )，且112λμ+=，则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ，已知点(,0)C c ，(,0)D d ，(,c d ∈R )调和分割 点(0,0)A ，(1,0)B ，则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上二、填空题12．(2018上海)在平面直角坐标系中，已知点(10)A -，，(2,0)B ，E ，F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为______．13．（2017北京）已知点P 在圆22=1x y +上，点A 的坐标为(2,0)-，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为_______． 14．（2017浙江）已知向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，则||||++-a b a b 的最小值是 ，最大值是 ． 15．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．16．（2016年浙江）已知向量,a b ，||1=a ，||2=b ，若对任意单位向量e ，均有||||6+…ae be ，则⋅a b 的最大值是 ．17．（2015山东）过点(13)P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，则PA PB ⋅= ．18．（2015江苏）已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b （,m n ∈R ），则m n -的值为______．19．（2015天津）在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=，点E 和点F 分别在线段BC 和DC 上，且23BE BC =，16DF DC =则AE AF ⋅的值为________． 20．（2015安徽）ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足2AB =a ，2AC =+a b ，则下列结论中正确的是 ．（写出所有正确结论得编号）①a 为单位向量；②b 为单位向量；③⊥a b ；④BC ∥b ；⑤(4)BC +⊥a b ．21．（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=．若1AE AF ⋅=，则λ的值为________．22．（2014湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),3),(3,0),A B C -动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的最大值是23．（2012江苏）如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ．24．（2012山东）如图，在平面直角坐标系xoy 中，一单位圆的圆心的初始位置在()1,0，此时圆上一点P 的位置在()0,0，圆在x 轴上沿正向滚动。
答案第14讲 向量的应用--高考数学习题和答案
t
t
t
2
uuur uuur 所以 PB ⋅ PC 的最大值为 13．故选 A．
10．C【解析】
uuuur AM
uuur = AB
−5
3 × 5 3 + 6 = 21 ．
8
16
所以 AE ⋅ BE 的最小值为 21 ，故选 A． 16
uuur
uuur
2．A【解析】解法一 设 O 为坐标原点， a = OA ，=b O=B (x, y) ， e = (1, 0) ，
由 b2 − 4e ⋅ b + 3 =0 得 x2 + y2 − 4x + 3 =0 ，即 (x − 2)2 + y2 = 1，所以点 B 的轨迹是 以 C(2, 0) 为圆心，l 为半径的圆．因为 a 与 e 的夹角为 π ，所以不妨令点 A 在射线
可取 λ2 = 1, λ4 = −1, λ5 = λ6 = 1, λ1 = 1, λ3 = −1, 可得所求最大值为 2 5 ．
3.解析 因为 AB = BE ，AD//BC ，∠A =30o，所以在等腰三角形 ABE 中，∠BEA = 120o，
又 AB = 2
3 ，所以
AE
uuur = 2 ，所以 BE
专题五 平面向量
第十四讲 向量的应用
答案部分
2019 年
1.解析
uuur 设= AO
uuur λ= AD
λ
uuur ( AB
+
uuur AC)
，
2
uuur AO
=
uuur AE
+
uuur EO
=
uuur AE
+
µ
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高考真题 专题五 平面向量 第十四讲 向量的应用 一、选择题 1．(2018天津)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，120BAD， 1ABAD． 若点E为边CD上的动点，则uuuruurAEBE的最小值为
A．2116 B．32 C．2516 D．3
ED
C
BA 2．(2018浙江)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为3，向量b满足2430beb，则||ab的最小值是 A．31 B．31 C．2 D．23 3．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，1AB，2AD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若APABADuuuruuuruuur，则的最大值为 A．3 B．22 C．5 D．2 4．（2017新课标Ⅱ）已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPCuuuruuuruuur的最小值是
A．2 B．32 C．43 D．1 5．（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，2ABBCAD，3CD，AC与BD交于点O，记1IOAOBuuuruuur，2·IOBOCuuuruuur＝，3·IOCODuuuruuur＝，则 高考真题 OABC
D
A．1I<2I<3I B．1I<3I<2I C．3I< 1I<2I D．2I<1I<3I 6．（2016四川）在平面内，定点A，B，C，D满足DAuuur =DBuuur=DCuuur，DADBuuuruuur= DBDCuuuruuur=DCDAuuuruuur=2，动点P，M满足APuuur=1，PMuuuur=MCuuuur，则2BMuuuuur的最大值
是
A．434 B．494 C．37634 D．372334
7．(2015山东)已知菱形ABCD 的边长为a，60ABCo，则BDCDuuuruuur＝ A．232a B．234a C．234a D．232a 8．（2015新课标）设D为ABC所在平面内一点，3BCCDuuuruuur，则 A．1433ADABACuuuruuuruuur B．1433ADABACuuuruuuruuur C．4133ADABACuuuruuuruuur D．4133ADABACuuuruuuruuur 9．（2015福建）已知ABACuuuruuur， 1ABtuuur， ACtuuur，若点P是ABC所在平面内一点，且4ABACAPABACuuuruuuruuuruuuruuur ，则PBPCuuuruuur 的最大值等于 A．13 B．15 C．19 D．21 10．（2015四川）设四边形ABCD为平行四边形，6ABuuur，4ADuuur．若点,MN满足
3BMMCuuuuruuuur，2DNNCuuuruuur，则AMNMuuuuruuuur
A．20 B．15 C．9 D．6 11．（2015湖南）已知点,,ABC在圆221xy上运动，且ABBC．若点P的坐标为高考真题 (2,0)，则PAPBPCuuuruuuruuur的最大值为
A．6 B．7 C．8 D．9 12．（2014安徽）在平面直角坐标系xOy中，已知向量,ab，||||1ab，0ab，点Q
满足2()OQuuurab．曲线{|cossin,02}CPOPuuurab≤≤，区域 {|0||,}PrPQRrRuuur≤≤．若CI为两段分离的曲线，则
A．13rR B．13rR C．13rR D．13rR 13．（2014天津）已知菱形ABCD的边长为2，120BAD?o，点,EF分别在边,BCDC
上，BEλBC=，DFμDC=.若1AEAF?uuuruuur，23CECF?-uuuruuur，则λμ+= A．12 B．23 C．56 D．712 14．（2012天津）在△ABC中，A=90°，AB=1，设点P，Q满足APABuuuruuur，(1)AQACuuuruuur，R．若2BQCPuuuruuur，则 A．13 B．23 C．43 D．2 15．(2012安徽)在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)OP，将向量OPuuur绕点O按逆时针旋转34
后得向量OQuuur，则点Q的坐标是 A．(72,2) B．(72,2) C．(46,2) D．(46,2) 16．（2012广东）对任意两个非零的平面向量α和β，定义
o
．若平面向量,ab
满足||||0…ab，a与b的夹角(0,)4，且abo和bao都在集合{|}2nnZ中，则abo= A．12 B．1 C．32 D．52 17．（2011山东）设1A，2A，3A，4A是平面直角坐标系中两两不同的四点，
若1312AAAAuuuuvuuuuv(∈R)，1412AAAAuuuuvuuuuv(μ∈R)，且112，则 称3A，4A调和分割1A，2A，已知点(,0)Cc，(,0)Dd，(,cd∈R)调和分割 高考真题 点(0,0)A，(1,0)B，则下面说法正确的是 A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点 C．C，D可能同时在线段AB上 D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上 二、填空题 18．(2018上海)在平面直角坐标系中，已知点(10)A，，(2,0)B，E，F是y轴上的两个
动点，且||2EFuuur，则AEBFuuuruuur的最小值为______． 19．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy中，(12,0)A，(0,6)B，点P在圆O：2250xy
上，若20PAPBuuuruuur≤，则点P的横坐标的取值范围是 ． 20．（2017天津）在ABC△中，60A∠，3AB，2AC．若2BDDCuuuruuur， AEACABuuuruuuruuur()R，且4ADAEuuuruuur，则的值为___________．
21．（2016年浙江）已知向量,ab，||1a，||2b，若对任意单位向量e，均有 ||||6„aebe，则ab的最大值是 ．
22．(2015北京)在ABC△中，点M，N满足2AMMCuuuuruuuur，BNNCuuuruuur． 若MNxAByACuuuuruuuruuur，则x ；y ． 23．（2015天津）在等腰梯形ABCD中,已知ABDC∥,2AB,1BC,60ABCo． 动点E和F分别在线段BC和DC上，且BEBCuuuruuur，19DFDCuuuruuur，则AEAFuuuruuur的最小值为 ．
24．（2015江苏）设向量(cos,sincos)666kkkka(0,1,2,,12)k，则1201)(kkkaa
的值为 ． 25．（2014天津）已知菱形ABCD的边长为2，120BAD，点E，F分别在边BC、DC上，3BCBE，DCDF．若1AEAFuuuruuur，则的值为________．
26．（2014湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，(1,0),(0,3),(3,0),ABC动点D满高考真题 足||1CD，则||OAOBODuuuruuuruuur的最大值是 ． 27．（2012江苏）如图，在矩形ABCD中，22ABBC，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若2ABAFuuuruuurg，则AEBFuuuruuurg的值是 ．
28．（2012山东）如图，在平面直角坐标系xoy中，一单位圆的圆心的初始位置在1,0，此时圆上一点P的位置在0,0，圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于1,2时，OP的坐标为 ．
29．（2010湖南）在边长为1的正三角形ABC中, 设2,3,BCBDCACEuuuvuuuuvuuuvuuuv 则ADBEuuuvuuuv______． 三、解答题
30．（2015广东）在平面直角坐标系xoy中，已知向量22(,)22m，(sin,cos)xxn， (0,)2x．
（1）若mn，求tanx的值； 高考真题 （2）若m与n的夹角为3，求x的值． 31．（2014山东）已知向量,cos2,sin2,mxxnab，函数fxab，且 yfx 的图像过点,312和点2,23．
（Ⅰ）求,mn的值； （Ⅱ）将yfx的图像向左平移0个单位后得到函数ygx
的图像，若ygx图像上各最高点到点0,3的距离的最小值为1， 求ygx的单调递增区间． 32．（2014辽宁）在ABC中，内角,,ABC的对边,,abc，且ac，已知2BABCuuuruuur， 1cos3B，3b，求：
（Ⅰ）a和c的值； （Ⅱ）cos()BC的值． 33．（2013江苏）已知(cos,sin)a，(cos,sin)b，0． (1) 若||2ab，求证：ab； (2) 设(0,1)c，若abc，求，的值． 34．（2013湖南）过抛物线2:2(0)Expyp的焦点F作斜率分别为12,kk的两条不同的直线12,ll，且122kk，1lE与相交于点A，B，2lE与相交于点C，D．以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为l． （I）若120,0kk，证明：22FMFNpuuuuruuur；
（II）若点M到直线l的距离的最小值为755，求抛物线E的方程． 35．（2013辽宁）设向量3sin,sin,cos,sinx,0,.2xxxxab （I）若||||ab，求x的值；