线代12答案 线性代数试题库
线性代数试题及详细答案
线性代数试题及详细答案线性代数试题及详细答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：线性代数（试卷一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A(A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
(2021年整理)线性代数习题集(带答案)
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第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).（A ） 24315 （B) 14325 （C ） 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ )。
(A)k （B ）k n - (C)k n -2! （D ）k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有（ ）项。
（A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000（ ).（A ） 0 （B)1- （C) 1 (D) 25. =0001100000100100（ )。
（A) 0 (B ）1- （C) 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ）.(A ） 0 (B ）1- （C) 1 （D ） 27. 若21 333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ )。
（A) 4 （B) 4- （C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a （ ）.（A ）ka (B ）ka - （C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-， 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-， 则=x ( )。
线代参考答案(完整版)
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
线性代数练习题(有答案)
《线性代数》 练习题一、选择题1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………（ A ）A 、|AB |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵，则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定3、向量组)0,1,1(，)9,0,3(-，)3,2,1(，)6,1,1(--的秩为____2 ________4、向量组)1,3,1,2(-，)4,5,2,4(-，)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.5、设A 是n m ⨯阶矩阵，r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221021132B 求（1）32AB A -，（2）.T B A6、解（1）. A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2202212020-⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）. 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭222186240-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+，证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-8、设方阵A 满足0332=--E A A ，证明:A 可逆,并求1-A .8、解、由2330A A E --=有A (3A E -）=3E ，于是，A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆，且11(3)3A A E -=-.9、计算行列式:1014300211321221---=D9、69D =-.10、计算行列式D =4232002005250230---- 10、解：D =423200200525230----0205252304--=55208---=80-=11、计算n 阶行列式abbb b a bb b a D =11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。
线代近年考试题及答案doc
山东建筑大学《线性代数》近年试题及参考答案（内部资料）2008年1月06-07-1《线性代数》试题A一、选择题（每小题4分，共20分）1．设四阶矩阵()234,,,A αγγγ=，()234,,,B βγγγ=，其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量，且已知行列式4=A ，1=B ，则行列式=+B A （ ）（A ） 5； （B ） 4； （C ） 50； （D ） 40。
2．设A 为3×3矩阵，B 为4×4矩阵，且1=A ，2-=B ，则=A B （ ）。
（A ） 2-； （B ） 4-； （C ） 8-； （D ） 1。
3．设A 是n 阶方阵，且n r R <=)(A ，则在A 的n 个行向量中（ ）.（A ）必有r 个行向量线性无关 （B ）任意r 个行向量线性无关（C ）任意r 个行向量都构成极大线性无关组（D ）任意一个行向量都可以由其余1-r 个行向量线性表示4． 若齐次方程组0=AX 有无穷多解，则非齐次方程组B AX = ( )()A 必有无穷多解； ()B 可能有唯一解()C 必无解； ()D 有解时必有无穷多组解.5．设三阶方阵A 的三个特征值为λ10=, λ23=, λ36=-，对应于1λ的特征向量为 ()Tx 1011-=,,，对应2λ的特征向量为()Tx 1122,,=，记向量213x x x +=，则( ).()A 3x 是对应于特征值λ10=的特征向量. ()B 3x 是对应于特征值λ23= 的特征向量. ()C 3x 是对应于特征值λ36=-的特征向量. ()D 3x 不是A 的特征向量.二、填空题（每小题4分，共20分）1．设n 维向量组)(,,,,n s s s <+121αααα 线性无关， 则向量组s ααα,,, 21 的秩为 .2． 已知矩阵A 与2035B ⎛⎫=⎪-⎝⎭相似，则矩阵A 的特征值为 。
3．行列式dc b a D 000321200503== . 4．设()T9753,,,=α，()T0251,,,-=β，向量γ满足βγα523=-，则=γ .5．设A 为n 阶方阵，且2=A ，则=*AA . 三、(8分) 计算1+n 阶行列式xxx x x a a a a D n n0000002101--=+四、(8分) 求解下面矩阵方程中的矩阵X⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X 五、（8分）设向量组321ααα,,线性相关，向量组432ααα,,线性无关，证明(1) 1α能由32αα,线性表示；(2)4α不能由321ααα,,线性表示.六、（10分）设⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ，问λ取何值时，此方程组有惟一解，无解或无穷多解？并且有无穷多解时，求通解。
(完整)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。
（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）。
(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。
(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。
(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。
若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（ ）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。
若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。
12线性代数试题参考答案
2000级线性代数试卷一、判断题（每小题2分，共14分）1．设方阵A 满足AA=A ，则必有A=O 或A=E2．设A ，B 是不可逆的同阶方阵，则B A =3．向量组)1,3(),5,1(),6,2(321===TT T ααα是线性相关的向量组4．齐次线性方程组0=AX 若有两个不同的解，它就有无穷多个解 5．方阵A 可逆的充分必要条件是A 的特征值不全为零 6．对称矩阵A 正定的充分必要条件是0>A7．若方阵A 与B 相似，则m A 与m B 也相似，其中m 为正整数. 二、填空题（每小题2分，共24分）1．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=003020100A ，则_____=A ；_____1=-A 2．0≠A ，且AB=C ，则____=B ；又若C=O ，则____=B 3．齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A 有非零解的充分必要条件是_______4．若方阵A 满足E A A T =，则称A 为_______；此时______=A 5．若P A P B n n n n ⨯-⨯=1，B 的特征值是1，2，3，则A 的特征值是_______6．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a A 10100001与设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ100010001相似，则其中______=a ；对称阵A 的二次型________),,(321=x x x f ；它经过正交变换X=PY 化为标准型是_______；二次型_______（是，不是）正定的三、设向量组)3,1,1,1(),1,,1,1(),1,1,3,1(),1,1,1,1(4321=-=-=-=TT T T k αααα，对参数k 的所有值求出向量组的秩及一个最大无关组（12分）四、已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛654321101110111A ，求矩阵A （10分）五、a ，b 取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++bx ax x x x x x x x 32132132132234123有唯一解，无解，有无穷多个解；并在有无穷多个解时求其通解（14分）六、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=011101110A ， 1.求正交阵P,使得Λ=-AP P 1为对角阵;2.设32)(23++=x x x f ,利用A 与Λ相似,求出矩阵E A A A f 32)(23++=;3. 求矩阵E A A A f 32)(23++=的特征值 （共16分） 七、证明题（10分）1．设向量组321,,ααα线性无关，且3233212211,2,44ααβαααβααβ-=+-=-=，证明：321,,βββ线性相关2．若A ，B 均为n 阶方矩，且A 可逆，证明：BA 与AB 相似2001级线性代数试题一、判断题(判断下列各命题是否正确，每小题3分, 共12分)1、 设*A 为n 阶方阵()2≥n A 的伴随矩阵，若A 为满秩方阵，则*A 也是满秩方阵.2、n 阶矩阵A 可逆的充要条件是：当X ≠0时,AX ≠0,其中.),,,(21T n x x x X =3、 已知向量组αα1,, m 的秩为r (r <m ),则该向量组中任意r 个向量线性无关.4、 设A 、B 为n 阶方阵，若A 、B 等价，则A 、B 相似.二、填空(将正确答案填在题中横线上，每空4分, 共24分) 1、 设A 、B 为n 阶方阵，若≠A 且AB =0, 则____=B.2、 设,100010011⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=AB 且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121112301B ,则=-1A ______. 3、 设向量组ααα123,,线性相关，而向量组ααα234,,线性无关，则向量组ααα123,,的最大线性无关组是______. 4、设A 为5阶方阵，且3-=A ，则=-1A；=*A；=A25、设A 、B 为n 阶可逆方阵，且满足B A AB 2+=，则B 可用A 表示为B =6、 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=-+)4)(3()2)(1(22)3(42332321λλλλλx x x x x x 有唯一解,则___λ.7、 设四元非齐次线性方程组AX =b 的系数矩阵秩为2,已知ηηηη1234,,,为它的四个解向量,且T T T )1,1,0,1(,)4,3,2,1(,)1,0,1,1(4211==+=ηηηη,则其通解为___.三、求向量组),7,4,1,0,0(),4,3,0,1,0(),5,2,0,0,1(321===ααα )12,11,4,3,2(4-=α的最大线性无关组（10分）. 四、当k取何值时,方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++156453423321321321x x x k x x x x x x 有无穷多解,并求出此时的一般解（15分）.五、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300021012A ，求正交矩阵P ，使AP P T 为对角阵，并写出对角阵(15分). 六、写出二次型f x x x x x x x x x (,,)12312221223244=+--在正交变换下所化成的标准形,并指出f 是否为正定的(8分).七、若A B ,都是n 阶可逆矩阵,证明:AB 也是n 阶可逆矩阵,且111)(---=A B AB(7分).八、设A 是n 阶方阵,E AA T =，且1-=A ，求EA + (6分).2002级线性代数试题一、 填空题（每小题3分，共36分）1． 行列式24013002201001的值是_______2． 设A 是5阶方阵，且1=A ，则______2=-A3． 设A 是p ⨯5阶矩阵，B 是m ⨯4阶矩阵，AB 是7⨯q 阶矩阵，则p ，q ，m的值分别是__________,_____, 4．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，则A 的伴随矩阵是_______5． 若向量组)1,0,0(),0,2,1(),0,1,1(2321+==+=t t T T T ααα线性相关，则实数t=_______6． 设A 是3阶实对称矩阵，21,ββ是属于A 的不同特征值的特征向量，则3阶方阵)3,,(221βββ=B 的秩_____)(=B R ，_____21=ββT7． 实对称矩阵tA 222002=正定，则t 的取值范围是_______ 8． 若n 阶方阵A 满足E A A =-2则_____)(1=--E A9． 设A ，B ，C 都是3阶可逆矩阵，2,1=-=B A ，则_____)(22!!=--C B A C T10． 设0=AX 为n 元齐次线性方程组，n r A R <=)(，则方程组有_______个解向量线性无关11． 向量组)7,6,5,4(),6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(4321====TT T T αααα 的秩是_______12． 设⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++00041321432x x x x x x x x ，则它的一个基础解系是_______二、 计算行列式43214321432143211111a a a a a a a a a a a a a a a a D ++++=（6分）三、 设X A AX 3=-，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=401132111A ，求矩阵X （10分） 四、 设向量组)6,5,1,2(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(4321===-=T T T T αααα求向量组的秩及一个最大无关组，并将其余向量由该最大无关组线性表示（10分）五、 λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解，无解，有无穷多个解；并在有无穷多个解时求其通解（14分）六、 用正交变换法化二次型为标准形，并写出正交变换（14分）322322212334x x x x x f +++=七、 证明题（10分）1．若向量组321,,ααα线性无关，证明322113,2,ααααα++也线性无关 2． 设A 为n 阶方阵，若有正整数k ，使0=k A ，则A 称为幂零矩阵，证明幂零矩阵的特征值只能是零2003级线性代数试题一．填空题（每空2分,共16分）1) 设A 为33⨯矩阵, B 为44⨯矩阵, 且2,1-==B A , 则=A B . 2) 设A 为3阶方阵且2=A ,则=-12A . =*A .3) 已知 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=252321100001A , 则=-1A . 4) 设s ηηη,,,21 是方程b AX =的解, 若s s k k k ηηη+++ 2211也是b AX =的解, 则=+++s k k k 21 .5) 三阶矩阵A 的三个特征值为1,2,3, 则=A ,1-A 的特征值为 . 6) 二次型222465),,(z y x z y x f ++=是正定还是负定: .二.单项选择题（每小题2分,共16分）.1) 设B A ,是)2(≥n n 阶方阵, 则必有( ). (a) B A B A +=+; (b) A B B A =; (c) BA AB =; (d) A B B A -=-. 2) 设A 是n 阶方阵, 则0=A 的必要条件是( ). (a) 两行(列)元素对应成比例;(b) 必有一行为其余行的线性组合; (c) A 中有一行元素全为零;(d) 任一行为其余行的线性组合.3) 设B A ,是n 阶方阵, 0≠A 且0=AB , 则( ). (a) 0=B 或0=A ; (b) 0=B ;(c) 0=BA ; (d) 222)(B A B A +=+. 4) 设A 为n 阶可逆矩阵, 则( ). (a) 若CB AB =, 则C A =; (b) 对矩阵()E A施行若干次初等变换, 当A 变为E 时, 相应地E 变为1-A;(c) A 总可以经过初等变换化为单位矩阵E ; (d) 以上都不对.5) 设s ααα,,,21 是一组n 维向量, 则下列正确的是( ). (a) 若s ααα,,,21 不线性相关, 就一定线性无关; (b)如果存在s个不全为零的数sk k k ,,,21 使02211=+++s s k k k ααα ,则sααα,,,21 线性无关;(c) 若向量组s ααα,,,21 线性相关, 则1α可由s αα,,2线性表示;(d) 向量组s ααα,,,21 线性无关的充要条件是1α不能由其余1-s 个向量线性表示.6) 矩阵A ( )时可能改变其秩.(a) 转置; (b) 初等变换;(c) 乘以奇异矩阵; (d) 乘以非奇异矩阵.7) 设A 为可逆矩阵,0≠k , 则下述结论不正确的是( ). (a) ()()TT A A 11--=; (b) ()A A =--11;(c) ()11--=kA kA ; (d) ()111---=A k kA . 8) 若方阵A 与B 相似, 则有( ). (a) E B E A λλ-=-; (b) B A =;(c)对于相同的特征值λ,矩阵A 与B 有相同的特征向量; (d) A 与B 均与同一个对角矩阵相似.三.(8分) 计算.2111121111211112=D四.(12分) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3512B , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=130231C , 求矩阵X 使满足C AXB =.五.(12分) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=979634121121112A , 求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组, 并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.六.(15分). λ取何值时, 非齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=++.,,1321321321λλλλλx x x x x x x x x (1) 有唯一解; (2) 无解; (3) 有无穷多个解, 并求解.七.(15分)求一个正交变换PY X =,将二次型232231212642x x x x x f +++=化为标准形(要求：写出正交变换和标准形).八.(6分) 设A 为n 阶可逆矩阵, λ是A 的一个特征值, 证明A 的伴随矩阵*A 的特征值之一是A 1-λ.。
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苏州大学《线性代数》课程（第十二卷）答案 共3页 院系 专业
一、填空题：（30%）
1、21=x ，32=x ，44=x
2、=X ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--610115243 3、=-*1)(A A 31 4、=t 15 5、=--1)
2(E A )3(21E A + 6、8=t 7、=-1)(AB 61-
8、2)(=A r 9、=Λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00025或⎥⎦
⎤⎢⎣⎡25000 10、1=+E A
二、判断题：（10%）（1）√ （2） √ （3） × （4） × （5）× 三、（8%）解： A A 2
1])21[(11=
--， （2%） ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-02121102321121001100211101310,)21(1 E A （4%） =A 2=--11)]21[(A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-011031100 （2%） 四、（8%）解：⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000630321987654321321αααA 2)(=A r , 21,αα为极大无关组 （3%） 321211 , ,αααααα+++由321,,ααα线性表示
≤+++) , ,(321211ααααααr ),,(321αααr
又因21,αα为极大无关组，故211 ,ααα+也线性无关，
所以2) , ,(321211=+++ααααααr ，且211 ,ααα+是极大无关组（5%）
五、（10%）解：,)(T T T T B C BC AXB == 又,0≠B T B B ,都可逆，
T T C A X C AX 1-=⇒= （4%）
=-1A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100210121， =X ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----111211110 （6%） 六、（10%）解：[]⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--→→=000011001112a a
a b A A （2%） （1） 当,1≠a 且1-≠a ，方程组有无穷多组解，一般解为
,1121x a x -+= ( 1123x a
x +=为自由未知量） （4%） （2） 当,1=a 方程组有无穷组解，一般解为：
, ( 132321x x x x x --=是自由未知量） （4%）
七、（14%）解：（1） 3)-(1)( 2λλλ+=-A E ，,12,1-=λ33=λ （2%）
对,12,1-=λ得特征向量()T 0,1,11-=ξ， ()T
1,0,02=ξ 所有特征向量为 212211,( k k k k ξξ+为不全为零的任意常数）（2%） 对33=λ，得特征向量()T 0,1,13=ξ，
所有特征向量为 333( k k ξ是任意非零常数） （2%）
（2） λ是A 的特征值，X 是对应的特征向量，则122++λλ是E A A ++22的特
征值，且X 仍是对应的特征向量。
E A A ++22的特征值为,02,1=λ 163=λ （3%）
对应于02,1=λ的特征向量为 ,21ξξ
对应于163=λ的特征向量为 3ξ，且向量组成 ,21ξξ， 3ξ正交， 将其单位化：T
⎪⎭⎫ ⎝⎛-==0,21,211111ξξη，
T ⎪⎭⎫ ⎝⎛==0,21,2
11222ξξη，33ξη= 正交矩阵⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000212102121Q ，T Q （E A A ++22）⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1600Q （5%） 八、（10%）证明：（反证） 假设1α能由432,,ααα线性表示，
因为321,,ααα线性无关 ， 32,αα也线性无关，
因为432,,ααα线性相关，则4α可由32,αα线性表示。
即1α能由32,αα线性表示 ，321,,ααα线性相关 这与已知矛盾。
所以1α不能由432,,ααα线性表示。
（10%）。