高数期中试卷A类(2013)

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云南省昆明三中2013-2014学年高二数学上学期期中考试新人教A版

绝密 ★ 启用前昆明三中2013—2014学年度上学期高二年级期中考试数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

总分100分，考试时间120分钟。

注意事项1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的考号、姓名及科目，在规定的位置贴好条形码。

第I 卷答题区域使用2B 铅笔填涂，第II 卷答题区域用黑色碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚，按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效。

2．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱，第I 卷答题区域修改时用橡皮擦擦干净，第II 卷答题区域修改禁用涂改液及涂改胶条。

3．考试结束，监考人员将答题卡收回，试卷由考生妥善保管。

第I 卷（选择题共36分）一、选择题：本大题共12个小题, 每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为A 012=-+y xB 052=-+y xC 052=-+y xD 072=+-y x2．若直线30x y a ++=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．33．椭圆2214x y m +=的焦距是2，则m 的值为 A ．5或3 B ．8 C ．5 D ．164．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线0443=++y x 相切，则圆的方程是A ．0422=-+x y xB ．0422=++x y x C ．03222=--+x y x D ．03222=-++x y x 5．已知两点(2,0)M -，(2,0)N ，点P 为坐标平面内的动点，满足0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点(,)P x y 的轨迹方程是A ．28y x =B ．28y x =-C ．24y x =D ．24y x =- 6．设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a =A ．4B ．3C ．2D ．17．已知点M 到两个定点A （1-，0）和B （1，0）的距离之和是定值2，则动点M的轨迹是A ．一个椭圆B ．线段ABC ．线段AB 的垂直平分线D ．直线AB8．与椭圆2211612x y +=共焦点，且过点(1,的双曲线的标准方程是 A ．2213y x -= B ．2221y x -= C ．2213y x -= D ．22122y x -= 9．已知正数x 、y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则14()2x y z -=⋅的最小值为 A ．1 BC ．116D ．13210．若P 是双曲线1C ：22221x y a b-=(0a >，0)b >与圆2C ：2222x y a b +=+的一个交点，且 21122PF F PF F ∠=∠，其中1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，则双曲线的离心率为A1 B1 C ．2 D ．311．椭圆22143x y +=的离心率为e ，则过点(1,)e 且被圆224440x y x y +--+=截得的最长弦所在的直线的方程是A ．3240x y +-=B ．4670x y +-=C ．3220x y --=D ．4610x y --=12．已知点(,)P x y 满足条件202500x y x y y a --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，点(2,1)A ，且cos OP AOP ⋅∠的最大值为则a 的值等于A ．2-B ．1C ．1-D ．2昆明三中2013—2014学年度上学期高二年级期中考试数学试题第II 卷（非选择题共64分）二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上。

2013年秋期期中考试高三理科数学参考答案

2013年秋期期中考试高三理科数学参考答案一．选择题：二．填空题： 13. 725 14. -192 15.1544⎛⎤⎥⎝⎦， 16. ①③ 三、解答题：17.解：由题意可知：M ()10，()cos ,sin P x x ()1cos ,sin OQ x x ∴=+ ，1cos OM OQ x ⋅=+又sin ,()1cos 2sin()1,(0)6S x f x x x x x ππ=∴=++=++<<令22,262k x k πππππ-+≤+≤+∴222,()33k x k k z ππππ-+≤≤+∈ 又0x π<<，∴函数的单调递增区间为0,3π⎛⎤⎥⎦⎝18. 证明：（1）121+=+n n a a ，)1(211+=+∴+n n a a ，又11a =，∴11a +≠0，1n a +≠0，∴1121n n a a ++=+，∴数列}1{+n a 是首项为2，公比为2的等比数列. 12nn a +=即，因此12-=n n a ．（2）∵()nnb b b b a n 144441111321+=⋅⋅---- ，∴232124nn b b b b n=-++++ ， ∴()232122n n b b bb n=-++++ ，即()n n b b b b n 222321+=++++ ，∴21231==.2n nSb b b b n n +++++ 19.解：（I ）由已知条件： 20π≤≤x ，得：22)2sin 23(sin )2cos 23(cos )2sin 23sin ,2cos 23(cos x x x x x x x x b a -++=-+=+20. 解：（1）()2sin(2)16f x x m π=++-，2sin(2)16m x π∴=++在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有7022666x x ππππ≤≤∴≤+≤02sin(2)3,036x m π∴≤+≤∴≤≤ （2）3,()2sin(2)216m f A A π=∴=+-=- ，1sin(2),226266A A k ππππ∴+=∴+=+或522,()66A k k Z πππ+=+∈(0,)3A A ππ∈∴=,23A b c π∴=+=≥ ，当且仅当b c =时bc 有最大值1。

2013-2014学年度上学期期中考试(高一数学)附答案

2013-2014学年度上学期期中考试高一数学试卷时间：120分钟分值：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 集合{}{}2,,(,)2,,A y y x x R B x y y x x R ==∈==+∈⋂则A B=( )A ．{（-1,2），(2，4) } B. {( -1 , 1)} C. {( 2, 4)} D. φ2. 某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离，则较符合该学生走法的图是（）3. 定义集合运算A ◇B =|,,c c a b a A b B =+∈∈，设0,1,2A =，3,4,5B =，则集合A ◇B 的子集个数为（）A .32B .31C .30D .144. 已知函数1232(2)()log (1)(2)x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩ ，则))2((f f 的值为 A. 2 B. 1 C. 0 D.35. 已知0.312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20.3b -=，12log 2c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >> 6. 已知21)21(x x f =-，那么12f ⎛⎫⎪⎝⎭= A ．4 B ．41 C ．16 D ．1617. 已知函数()=f x 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是（）A.0<m ≤4B.0≤m ≤1C.m ≥4D.0≤m ≤48. 函数212()log (32)f x x x =-+的递增区间是A ． (,1)-∞B ． (2,)+∞C ． 3(,)2-∞ D ．3(,)2+∞　9. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(),0-∞上单调递减，且有()3=0f ，则使得()0<f x 的x 的范围为（）A.(),3-∞B. ()3,+∞C.()(),33,-∞+∞D.()3,3-10.对实数a 和b 定义运算“⊗”：,1,,1a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩．设函数22()(2)()f x x x x =-⊗-，x ∈R ，若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（）A ．3(,2](1,)2-∞--B ．3(,2](1,)4-∞---C ．11(1,)(,)44-+∞D ．31(1,)[,)44--+∞二、填空题（每题5分，共25分） 11．函数)12(log 741)(2++-=x x x f 的定义域为 .12．幂函数()22211m m y m m x--=--在()0,x ∈+∞时为减函数，则m= ．13. 已知2510m n==，则11m n+= ． 14. 如果函数()f x 满足：对任意实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=,且()11f =，则()()()()()()()()()()2342011201212320102011f f f f f f f f f f +++++= _________．15. 给出下列命题：①()f x 既是奇函数，又是偶函数；②()f x x =和2()x f x x=为同一函数；③已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；④函数y =[0,4) 其中正确命题的序号是 .三、解答题（共75分）16.（本小题满分12分）⑴计算：0.25-2-25.0log 10log 2)161(85575.032----⑵已知函数)(x f 是定义域为R 的奇函数，当x ≤0时，)(x f =x(1+x).求函数)(x f 的解析式并画出函数)(x f 的图象.17.（本小题满分12分）已知集合{}|5239A x x =-≤+≤，{}|131B x m x m =+≤≤- （1）求集合A ；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分12分）某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关20,025,,100,2530,.t t t N p t t t N +<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是40+-=t Q ),300(N t t ∈≤<，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？19．（本小题满分12分）定义运算：a bad bc c d=- （1）若已知1k =,求解关于x 的不等式101x x k< -（2）若已知1()1x f x k x=- -，求函数()f x 在[1,1]-上的最大值。

2013-2014学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案.docx

2013-2014 学年度第一学期期中考试高一年级数学（满分 160 分，考试时间 120 分钟）一、填空题1 、设集合 A {1,3} ，集合 B {1,2,4,5} ，则集合 AB2 、若 f ( x) x 1 ，则 f (3)3 、函数 f (x) (k 1)x 3 在 R 上是增函数，则 k 的取值范围是4 、指数函数 y a x 的图像经过点（ 2 ，16 ）则 a 的值是5 、幂函数 yx 2在区间 [ 1,2] 上的最大值是26 、已知1 3 ，则1aaaa1 7 、函数 f (x)2 x 3的定义域是 ________．8 、化简式子 log 8 9的值为log 2 39 、已知函数 y f ( x) 是定义在 R 上的单调减函数，且 f (a 1)f (2 a) ，则 a 的取值范围是10、下列各个对应中, 从 A 到 B 构成映射的是（填序号）A B ABAB A B1 4 1 1 3 1 a 22 54 2 b 3536253c（ 1 ）（ 2 ）（3 ）（ 4 ）11 、满足 2 x 8 的实数 x 的取值范围12 、设 f x 为定义在 ,上的偶函数，且 f x 在 0, 上为增函数，则 f2 ， f， f 3 的大小顺序是 ____________13 、当 a 0 且 a 1 时，函数 f ( x) a x3 的图像必过定点x 2 2x ( x 0) 3, 则 x14 、已知 f (x)1(x若 f ( x) x0)二、解答题15 、全集 UR ,若集合 A { x | 3 x 10}, B { x | 2 x 7} ，则（结果用区间表示）（1）求 AB, A B,(C U A)(C U B)；（2 ）若集合C{ x | x a},A C ，求a的取值范围16 、对于二次函数y4x28x 3 ，（1 ）求函数在区间[ 2,2]上的最大值和最小值；（2 ）指出函数的单调区间17、化简或求值：211115（1 ）(3a3b2)( 4a2b3)( 3a 6 b 6 ) ；（2 ）lg500lg 81 lg 64 50 lg2 lg5 2 5 218 、已知某皮鞋厂一天的生产成本c(元)与生产数量 n (双)之间的函数关系是 c 400050 n（1 ）求一天生产 1000 双皮鞋的成本；（2）如果某天的生产成本是 48000 元，那么这一天生产了多少双皮鞋？（3）若每双皮鞋的售价为 90 元，且生产的皮鞋全部售出，试写出这一天的利润 P 关于这一天生产数量 n 的函数关系式，并求出每天至少生产多少双皮鞋，才能不亏本？1x19 、已知f (x) log21x（1 ）求f (x)的定义域；（2 ）求证：f ( x)为奇函数（3 ）判断f ( x)的单调性，并求使 f (x)0 的x的取值范围。

2013届高三上册数学文科期中考试卷(含答案)

2013届高三上册数学文科期中考试卷(含答案)包三十三中2012-2013学年第一学期期中Ⅱ考试高三年级数学（文科）试卷命题：杨翠梅审题：教科室2012.11.14本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

本卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一.选择题：本卷共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域是（）A．B．C．D．2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A.B.C.D.3.已知直线的倾斜角为，则=（）A.B.C.D.4.曲线在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.-9B.-3C.9D.155.公比为的等比数列的各项都是正数，且，则（）A.B.C.D.6.已知变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是()A.B.C.D.7.设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．12πB.45πC.57πD.81π9.△ABC中，AB边的高为CD，若，则（）A.B.C.D.10.已知，(0，π)，则=（）A.1B.C.D.111.设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）A.B.C.D.12.函数则()A.在单调递增，其图象关于直线对称B.在单调递增，其图象关于直线对称C.在单调递减，其图象关于直线对称D.在单调递减，其图象关于直线对称第Ⅱ卷二.填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13.已知是等差数列，，表示的前项和，则使得达到最大值的是_______.14.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是15.在中，.若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率_______.16.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是_______.三.解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在中，角的对边分别是.已知，⑴求的值；⑵若，求边的值.18.已知为圆：的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值.19.如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.⑴求证：平面；⑵当，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.20.等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．21.设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，.⑴求椭圆的离心率；⑵如果，求椭圆的方程.22.设函数，曲线在点处的切线方程为．⑴求的解析式；⑵证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．包三十三中2012-2013学年第一学期期中Ⅱ考试高三年级数学（文科）参考答案123456789101112CDBCBAACDACD13.2014.15.16.17.解⑴：由已知得由，得，即，两边平方得5分⑵由>0,得即由，得由，得则.由余弦定理得所以10分18.设分别是到的距离，则，当且仅当时上式取等号，即时上式取等号.19.⑴∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，平面.6分⑵设AC∩BD=O，连接OE，由⑴知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE//PD，，又∵，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，，∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.12分20.解：设数列的公差为，则，，．3分由成等比数列得，即，整理得，解得或．7分当时，．9分当时，，于是．12分21.解：设，由题意知＜0，＞0.（Ⅰ）直线的方程为，其中.联立得解得因为，所以.即得离心率.……6分（Ⅱ）因为，所以.由得.所以，得a=3，.椭圆C的方程为.……12分22.解：⑴方程可化为．当时，．2分又，于是解得故．6分⑵设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为，即．令得，从而得切线与直线的交点坐标为．令得，从而得切线与直线的交点坐标为．10分所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为．故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，此定值为．12分。

福建省师大附中2013届高三数学上学期期中试题文新人教A版

福建师大附中2013届高三上学期期中考试数学（文）试题(总分150分。

考试时间120分钟。

)第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共１2小题，每小题５分，共6０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}{}R x x y y N M ∈==-=,cos ,1,0,1，则M N =I ( ***) A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{1,01}-2.已知()()0,1,2,3-=-=，向量+λ与2-垂直，则实数λ的值为（***）A.17-B.17C.16-D.163．在△ABC 中“0AB AC •=u u u r u u u r”是“△ABC 为直角三角形”的（***）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为可为(***) A.)322sin(2π+=x y B.)32sin(2π+=x y C.)32sin(2π-=x y D.)32sin(2π-=x y5．如右图所示，已知ABC V 是等腰直角三角形，090C ∠=，22,AB =则AB BC •=u u u r u u u r（***）A ．4B ．4-C ．2D ．8-6.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是(*** ).A.cos 2y x =B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =7.给出命题：已知a 、b 为实数，若1a b +=，则14ab ≤．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（***） A ．3 B ．2 C ．1D ．0CBA8．设向量,,，满足=++，且⊥2,===（***） A ．1 BC ．2D9．偶函数)0](,0[)(>a a x f 在上是单调函数，且0)(,0)()0(=<⋅x f a f f 则方程在],[a a -内根的个数是（***） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个10．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若1n S +，n S ，2n S +成等差数列，则公比q 为（***）A ．1q =B ．2q =-C ．2q =-或1q =D ．2q =或1q =-11. 已知数列{}n a 中，13a =，111n n a a +=-+（*n ∈N ），能使3n a =的n 可以等于（***） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 12．如果对于函数()f x 定义域内任意的x ，都有()f x M ≥（M 为常数），称M 为()f x 的下界，下界M 中的最大值叫做()f x 的下确界.下列函数中，有下确界的函数是(***).①()sin f x x = ②()lg f x x = ③()xf x e = ④1,0;()0,0;1,0;x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩A ．①②B ．①③C ．②③④D ．①③④第Ⅱ卷（非选择题共9０分）二、填空题：本大题共7小题，每小题４分，共28分．把答案填在答题卡的相应位置．13．直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该定点的坐标是 ***14．以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是 *** 15.直线03--sin 2=y x α ( ⎪⎭⎫⎝⎛∈36ππα， )的倾斜角的变化范围是 *** 16. 已知数列{}n a 的通项公式为112n a n =-，则数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中数值最大的项是第*** 项 17.已知点A (-2，－3)，B (3，2)，直线l 过点P (-1,5)且与线段AB 有交点，设直线l 的斜率为k ，则k 的取值范围是 ***18．定义新运算a b *为：()()aa b a b ba b ≤⎧⎪*=⎨>⎪⎩，例如121,322*=*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为 ***19. 如下图，它满足：（1）第n 行首尾两数均为n ；（2）表中的递推关系类似杨辉三角，则第n 行（n ≥2）第2个数是________***_______.12 23 4 34 7 7 45 11 14 11 56 16 25 25 16 6三、解答题：本大题共5小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20. （本题满分12分）已知函数f(x)=3cos 2x+sinxcosx 23-. （1）求函数f （x ）的单调递增区间； (2)若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数f （x ）的取值范围；21．（本题满分12分）已知数列{}n a 的通项公式为12-=n a n ，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且满足n n b T -=1 （1）求}{n b 的通项公式；（2）在{}n a 中是否存在使得125n a +是}{n b 中的项，若存在，请写出满足题意的一项（不要求写出所有的项）；若不存在，请说明理由．22．(本题满分12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？23． (本题满分12分)已知函数()ln a f x x x=-；（1）当0a >时，判断()f x 在定义域上的单调性；（2）求()f x 在[1,]e 上的最小值．24.（本小题满分14分）已知点（1，31）是函数,0()(>=a a x f x 且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足11--+=-n n n n S S S S （2n ≥）.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）若数列{}11+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >20091000的最小正整数n 是多少?参考答案1-12 DAAAB BCDBB CD13、（-2，1）；14、3x+y+4=0；15、⎥⎦⎤⎢⎣⎡34ππ，；16、6；17、843-≥≤k k 或；18、⎡-⎢⎣⎦19、22-2+n n20．解：(1)232sin 21)22cos 1(3)(-++=x x x f1cos 2sin 2sin(2)22352222321212x x x k x k k x k ππππππππππ=+=+∴-+≤+≤+-+≤≤+由得所以)(x f 的单调递增区间为Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ12,125max min 5(2)0,2,43362()132125112()()136422x x x x f x x x f x f x ππππππππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+===+===∴≤≤Q 当即时当即时21．解：（I ）当1=n 时，2111111=∴-==b b T b Θ………………………………………2分当2≥n 时，1111---=∴-=n n n n b T b T Θ两式相减得：n n n b b b -=-1，即：121-=n n b b …………………………………………6分故{n b }为首项和公比均为21的等比数列，n n b )21(=∴……………………………8分（II ）设{}n a 中第m 项m a 满足题意，即11()252n m a =+，即21252n m -+=所以1212n m -=-()45,,,**==∈∈m n N n N m 则取47a = (其它形如1212n m -=-()**,N n N m ∈∈的数均可)……………………12分22．解：如图，连结12A B ，22102A B =， 122030210260A A =⨯=，又12218012060A A B ∠=︒-︒=︒∴122A A B ∆是等边三角形， ∴1212102A B A A ==在121A B B ∆中，1121056045B A B ∠=︒-︒=︒，1120A B = 由余弦定理得2221211121112222cos 45220(102)2201022002B B A B A B A B A B =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯= ∴12102B B = 因此乙船的速度的大小为1026030220⨯= 答：乙船每小时航行302海里。

2013高三理科上册数学期中试卷(带答案)

2013高三理科上册数学期中试卷（带答案）2012-2013学年度第一学期高三级数学科（理科）期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后，有2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分选择题(共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若，，，则（）A．{2，4}B．{1，3}C．{1，2，3，4}D．{1，2，3，4，5}2．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数（）A.B.C.0D.13．等差数列的前n项和为，且9，3，成等比数列.若=3，则=()A.6B.4C.3D.54.设是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程有两个不相等的实数根的概率为（）ABCD5.已知变量x、y满足条件则的最大值是()A.2B.5C.6D.86.下列各命题中正确的命题是（）①命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题；②命题“”的否定是“”；③“函数最小正周期为”是“”的必要不充分条件；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”．A．②③B．①②③C．①②④D．③④7.把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（）A.B.C.D.8.点为双曲线：和圆：的一个交点，且，其中为双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第二部分非选择题(共110分)二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。

辽宁省沈阳市四校联考2013届高三数学上学期期中试题文新人教A版

2012-2013学年某某省某某市四校联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题．（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．1．（5分）已知A={x|x＜3}，B={x|﹣1＜x＜5}，则A∪B等于（）A．{x|x＜5} B．{x|x≤﹣1或x≥3}C．{x|x＜﹣1或x≥3}D．{x|x≤5}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，由集合A、B，结合并集的含义，求出A∪B，即可得答案．解答：解：根据题意，A={x|x＜3}，B={x|﹣1＜x＜5}，则A∪B={x|x＜5}；故选A．点评：本题考查集合的并集的运算，关键是理解并集的含义．2．（5分）下列说法中错误的个数是（）①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②命题“∀x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x≥0”；③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题；④“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件．A．1B．2C．3D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析：①由四种命题之间的关系即可选出；②命题“∀x∈R，p（x）”的否定应是“∃x0∈R，￢p（x0）”，故判断②的真假；③对其逆命题可举出反例“对角线相等的四边形可以是等腰梯形”；④可举出反例．解答：解：①∵一个命题的逆命题和否命题是逆否的关系，故一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真，故①正确；②命题“∀x∈R，x2﹣x≤0”的否定应是“∃x∈R，x2﹣x＞0”，故②不正确；③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是“对角线相等的四边形是矩形”不是真命题，因为对角线相等的四边形可以是等腰梯形，故③不正确；④当x≠3时，取x=﹣3，则|x|=3，所以“x≠3”不是“|x|≠3”成立的充分条件，故④不正确．综上可知：不正确的是②③④．故选C．点评：正确理解四种命题之间的关系和充分必要条件的意义是解题的关键．3．（5分）（2013•某某模拟）若实数x，y满足条件则z=2x﹣y的最大值为（）A．9B．3C．0D．﹣3考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：画出不等式表示的平面区域，z=2x﹣y的几何意义是直线y=2x﹣z的纵截距的相反数，根据图形可得结论．解答：解：画出不等式表示的平面区域z=2x﹣y的几何意义是直线y=2x﹣z的纵截距的相反数，由可得交点坐标为（3，﹣3），根据图形可知在点（3，﹣3）处，z=2x﹣y取得最大值，最大值为9故选A．点评：本题考查线性规划知识的运用，解题的关键是正确画出不等式组表示的平面区域，明确目标函数的几何意义．4．（5分）（2012•某某模拟）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．考点：奇函数；函数的周期性．专题：计算题．分析：由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．解答：解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选 A．点评：本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．5．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，若，则角A的大小为（）A．B．C．D．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：直接向量，计算，求出三角形的三边的关系，利用余弦定理求出A的大小．解答：解：因为，所以，即：b2﹣bc+c2﹣a2=0即：b2﹣bc+c2=a2；，所以cosA=，A=故选B．点评：本题是基础题，考查向量的数量积，两个向量垂直条件的应用，余弦定理求角，考查计算能力．6．（5分）（2009•某某二模）在等比数列{a n}中，a n＞0，a2=1﹣a1，a4=9﹣a3，则a4+a5=（）A．16 B．27 C．36 D．81考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：首先根据等比数列的性质求出q=3和a1=的值，然后代入a4+a5=a1q3+a1q4=即可求出结果．解答：解：∵a2=1﹣a1，a4=9﹣a3∴a1q+a1=1 ①a1q3+a1q2=9 ②两式相除得，q=±3∵a n＞0∴q=3 a1=∴a4+a5=a1q3+a1q4=27故选B．点评：本题考查了等比数列的性质，熟练掌握性质是解题的关键，属于基础题．7．（5分）下列四个命题：①如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行．那么另一条直线也与这个平面平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面；③如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面，则这两个平面平行．则真命题是（）A．①②B．②④C．①③D．②③考点：平面的基本性质及推论．专题：计算题．分析：如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行或在这个平面内；若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面，这是平面平行的性质定理；如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交；如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面，则这两个平面平行．这是平面平行的定义．解答：解：如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行或在这个平面内，故①不正确；若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面，这是平面平行的性质定理，故②正确；如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故③不正确；如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面，则这两个平面平行．这是平面平行的定义，故④正确．故选B．点评：本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8．（5分）（2013•某某一模）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：先根据图象确定A和T的值，进而根据三角函数最小正周期的求法求ω的值，再将特殊点代入求出φ值从而可确定函数f（x）的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可．解答：解：由图象可知A=1，T=π，∴ω==2∴f（x）=sin（2x+φ），又因为f（）=sin（+φ）=﹣1∴+φ=+2kπ，φ=（k∈Z）∵|φ|，∴φ=∴f（x）=sin（2x+）=sin（+2x﹣）=cos（2x﹣）∴将函数f（x）向左平移可得到cos[2（x+）﹣]=cos2x=y故选C．点评：本题主要考查根据图象求函数解析式和方法和三角函数的平移变换．根据图象求三角函数解析式时，一般先根据图象确定A的值和最小正周期的值，进而求出w的值，再将特殊点代入求φ的值．9．（5分）（2012•某某模拟）若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的倾斜角．分析：对函数求导y′=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，由0＜x＜2可求导数的X围，进而可求倾斜角的X围解答：解：y′=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1∵0＜x＜2∴当x=1时，y′最小﹣1，当x=0或2时，y′=0∴﹣1＜y′＜0即﹣1≤tanα＜0∴即倾斜角的最小值故选D．点评：本题考查导数的几何意义：导数在切点处的值是曲线的切线斜率．10．（5分）（2006•某某）在各项均不为零的等差数列{a n}中，若a n+1﹣a n2+a n﹣1=0（n≥2），则S2n﹣1﹣4n=（）A．﹣2 B．0C．1D．2考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由等差数列的性质可得a n+1+a n﹣1=2a n，结合已知，可求出a n，又因为s2n﹣1=（2n﹣1）a n，故本题可解．解答：解：设公差为d，则a n+1=a n+d，a n﹣1=a n﹣d，由a n+1﹣a n2+a n﹣1=0（n≥2）可得2a n﹣a n2=0，解得a n=2（零解舍去），故S2n﹣1﹣4n=2×（2n﹣1）﹣4n=﹣2，故选A．点评：本题考查了等差数列的前n项和公式与等差数列性质的综合应用，是高考重点考查的内容．11．（5分）（2007•某某）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）A．a f（b）≤bf（a）B．b f（a）≤af（b） C．a f（a）≤f（b）D．b f（b）≤f（a）考点：导数的运算；利用导数研究函数的单调性．专题：压轴题．分析：先构造函数，再由导数与原函数的单调性的关系解决．解答：解：xf′（x）+f（x）≤0⇒[xf（x）]′≤0⇒函数F（x）=xf（x）在（0，+∞）上为常函数或递减，又0＜a＜b且f（x）非负，于是有：af（a）≥bf（b）≥0①②①②两式相乘得：⇒af（b）≤bf（a），故选A．点评：本题的难点在对不等式②的设计，需要经验更需要灵感．12．（5分）（2012•平遥县模拟）已知，且函数y=f（x）﹣2x恰有3个不同的零点，则实数a 的取值X围是（）A．[﹣4，0] B．[﹣8，+∞）C．[﹣4，+∞）D．（0，+∞）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用．分析：当x≥0时，f（x）=f（x﹣2），可得当x≥0时，f（x）在[﹣2，0）重复的周期函数，根据x∈[﹣2，0）时，y=a﹣x2﹣4x=4+a﹣（x+2）2，对称轴x=﹣2，顶点（﹣2，4+a），进而可进行分类某某数a的取值X围．解答：解：因为当x≥0的时候，f（x）=f（x﹣2），当x∈[0，2）时，x﹣2∈[﹣2，0），此时f（x）=f（x﹣2）=a﹣（x﹣2）2﹣4（x﹣2）当x∈[2，4）时，x﹣4∈[﹣2，0），此时f（x）=f（x﹣2）=f（x﹣4）=a﹣（x﹣4）2﹣4（x﹣4）依此类推，f（x）在x＜0时为二次函数a﹣x2﹣4x=﹣（x+2）2+a+4，在x≥0上为周期为2的函数，重复部分为a﹣x2﹣4x=﹣（x+2）2+a+4在区间[﹣2，0）上的部分．二次函数a﹣x2﹣4x=﹣（x+2）2+a+4顶点为（﹣2，a+4），y=f（x）﹣2x恰有3个不同的零点，即f（x）与y=2x恰有3个不同的交点，需满足f（x）与y=2x在x＜0时有两个交点且0≤a+4≤4或f（x）与y=2x在x＜0时有两个交点且a+4＞4∴﹣4≤a≤0或a＞0综上可得a≥﹣4故选C点评：本题重点考查函数的零点与方程根的关系，考查函数的周期性，有一定的难度．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．（5分）如图所示是一个几何体的三视图（单位：cm），则这个几何体的表面积16+16 cm2．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原的几何体是正四棱锥，底面边长为4，斜高为，求出几何体的表面积即可．解答：解：三视图复原的几何体是正四棱锥，它的底面边长为4cm，斜高为cm，所以正四棱锥的底面积为：4×4=16（cm2），侧面积为：=（cm2）所以表面积：16+16 cm2故答案为：16+16点评：本题是基础题，考查三视图复原几何体的形状的判断，几何体的侧面积的求法，考查计算能力，空间想象能力．14．（5分）已知向量=（1，2），=（x，4），且⊥，则x= ﹣8 ．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由两向量垂直的坐标表示直接代入坐标求解．解答：解：由向量=（1，2），=（x，4），且⊥，则1×x+2×4=0，所以x=﹣8．故答案为﹣8．点评：本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系，若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，此题是基础题．15．（5分）若函数y=2tanωx的最小正周期为2π，则函数y=sin的最小正周期为4π．考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：利用函数y=2tanωx的最小正周期为2π，求出ω，然后化简函数的表达式，利用周期公式求出函数的周期即可．解答：解：因为函数y=2ta nωx的最小正周期为2π，所以ω==，所以函数y=sin=2sin（x+）的最小正周期T==4π．故答案为：4π．点评：本题考查三角函数的周期的应用，两角和的正弦函数的应用，考查计算能力．16．（5分）在△ABC中，A=30°，BC=2，D是AB边上的一点，CD=2，△BCD的面积为4，则AC的长为4或2．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；压轴题．分析：由△BCD的面积为4，求得sin∠BCD 的值，进而求得cos∠BCD 的值，△BCD中，由余弦定理可得BD 的值，△BCD中，由正弦定理求得sinB 的值．再在△ABC中，由正弦定理求得AC的长．解答：解：由题意可得CB•CD•sin∠BCD=4，即×2×2 sin∠BCD=4，解得sin∠BCD=．①当∠BCD 为锐角时，cos∠BCD=．△BCD中，由余弦定理可得 BD==4．△BCD中，由正弦定理可得，即，故 sinB=．在△ABC中，由正弦定理可得，即，解得 AC=4．②当∠BCD 为钝角时，cos∠BCD=﹣．△BCD中，由余弦定理可得 BD==4 ．△BCD中，由正弦定理可得，即，故 sinB=．在△ABC中，由正弦定理可得，即，解得 AC=2．综上可得 AC=4或2，故答案为 4或2．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，判断三角形的形状的方法，体现了分类讨论的数学思想，讨论∠BCD 为锐角和钝角两种情况，是解题的易错点，是一个中档题目．三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．（12分）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1）且∥．（Ⅰ）求锐角B的大小；（Ⅱ）如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．考点：解三角形；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由两向量的坐标及两向量平行，利用平面向量平行时满足的条件列出关系式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，求出tan2B的值，由B为锐角，得到2B的X围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（Ⅱ）由B的度数求出sinB及cosB的值，进而由b及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式化简求出ac的最大值，再由ac的最大值及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）∵=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1）且∥，∴2sinB（2cos2﹣1）=﹣cos2B，∴2sinBcosB=﹣cos2B，即sin2B=﹣cos2B，∴tan2B=﹣，又B为锐角，∴2B∈（0，π），∴2B=，则B=；…（6分）（Ⅱ）∵B=，b=2，∴由余弦定理cosB=得：a2+c2﹣ac﹣4=0，又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立），∴S△ABC=acsinB=ac≤（当且仅当a=c=2时等号成立），则S△ABC的最大值为．…（12分）点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，余弦定理，基本不等式的运用，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．18．（12分）（2010•）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．考点：等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（Ⅰ）设出等差数列的公差为d，然后根据第三项为﹣6，第六项为0利用等差数列的通项公式列出方程解出a1和d即可得到数列的通项公式；（Ⅱ）根据b2=a1+a2+a3和a n的通项公式求出b2，因为{b n}为等比数列，可用求出公比，然后利用首项和公比写出等比数列的前n项和的公式．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差d．因为a3=﹣6，a6=0所以解得a1=﹣10，d=2所以a n=﹣10+（n﹣1）•2=2n﹣12（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q因为b2=a1+a2+a3=﹣24，b1=﹣8，所以﹣8q=﹣24，即q=3，所以{b n}的前n项和公式为点评：考查学生会根据条件求出等差数列的通项公式和等比数列的前n项和的公式，此题是一道基础题．19．（12分）（2010•某某）已知函数f（x）=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin（+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，）．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g （x）的图象，求函数g（x）在[0，]上的最大值和最小值．考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（1）由已知中函数f（x）=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin（+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，）．我们将（，）代入函数的解析式，结合φ的取值X围，我们易示出φ的值．（2）由（1）的结论，我们可以求出y=f（x），结合函数图象的伸缩变换，我们可以得到函数y=g（x）的解析式，进而根据正弦型函数最值的求法，不难求出函数的最大值与最小值．解答：解：∵函数f（x）=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin（+φ）（0＜φ＜π），又因为其图象过点（，）．∴φ﹣解得：φ=（2）由（1）得φ=，∴f（x）=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin（+φ）=∴∵x∈[0，]∴4x+∈∴当4x+=时，g（x）取最大值；当4x+=时，g（x）取最小值﹣．点评：本题考查三角函数的诱导公式即二倍角等基本公式的灵活应用、图象变换及三角函数的最值问题、分析问题与解决问题的能力．已知函数图象求函数y=Asin（ωx+φ）（A ＞0，ω＞0）的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由图象求得的y=Asin （ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值X围，才能得出唯一解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．20．（12分）（2012•某某一模）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2，AB=1．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积V；（Ⅱ）若F为PC的中点，求证：平面PAC⊥平面AEF．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，故，由此能求出四棱锥P ﹣ABCD的体积V．（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，知PA⊥CD，由此能证明平面PAC⊥平面AEF．解答：解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴…（2分）在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，…（4分）∵，…（6分）证：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD…（7分）又AC⊥CD，PA∩AC=A∴CD⊥平面PAC，…（8分）∵E、F分别是PD、PC的中点，∴EF∥CD∴EF⊥平面PAC…（10分），∵EF⊂平面AEF，∴平面PAC⊥平面AEF…（12分）点评：本题考查棱锥的体积的求法，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意合理地化立体问题为平面问题．21．（10分）设函数f（x）=x（e x﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值X围．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（I）求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；（II）f（x）=x（e x﹣1﹣ax），令g（x）=e x﹣1﹣ax，分类讨论，确定g（x）的正负，即可求得a的取值X围．解答：解：（I）a=时，f（x）=x（e x﹣1）﹣x2，=（e x﹣1）（x+1）令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0；∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）；（II）f（x）=x（e x﹣1﹣ax）．令g（x）=e x﹣1﹣ax，则g'（x）=e x﹣a．若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，而g（0）=0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0．若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，而g（0）=0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．综合得a的取值X围为（﹣∞，1]．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx．（1）求f（x）在x=1处的切线方程；（2）设，对任意x∈（0，1），g（x）＜﹣2，某某数a的取值X围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．分析：（1）函数f（x）=（x+1）lnx定义域为（0，+∞），由，知f′（1）=2，且切点为（1，0，由此能求出f（x）在x=1处的切线方程．（2）由已知a≠0，因为x∈（0，1），所以．当a＜0时，g（x）＞0，不合题意．当a＞0时，x∈（0，1），由g（x）＜﹣2，得lnx+．由此能求出实数a的取值X围．解答：（本小题满分12分）解：（1）函数f（x）=（x+1）lnx定义域为（0，+∞），…（1分）∵，∴f′（1）=2，且切点为（1，0）…（4分）故f（x）在x=1处的切线方程y=2x﹣2．…﹣（6分）（2）由已知a≠0，因为x∈（0，1），所以．①当a＜0时，g（x）＞0，不合题意．…（8分）②当a＞0时，x∈（0，1），由g（x）＜﹣2，得lnx+．设，则x∈（0，1），h（x）＜0.．设m（x）=x2+（2﹣4a）x+1，方程m（x）=0的判别式△=16a（a﹣1）．若a∈（0，1]，△≤0，m（x）≥0，h′（x）≥0，h（x）在（0，1）上是增函数，又h（1）=0，所以x∈（0，1），h（x）＜0．…（10分）若a∈（1，+∞），△＞0，m（0）=1＞0，m（1）=4（1﹣a）＜0，所以存在x0∈（0，1），使得m（x0）=0，对任意x∈（x0，1），m（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）在（x0，1）上是减函数，又h（1）=0，所以x∈（x0，1），h（x）＞0．综上，实数a的取值X围是（0，1]．…（12分）点评：本题考查切线方程的求法和某某数的取值X围，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．。

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cos x 2013 级《高等数学》第一学期期中考试试题（A 类）
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 当 x → 0 时，与 - 1等价的无穷小是
（
）
（A ） x 4 x 2 x 2 ；（B ） - ；（C ） 4 2 x 2
；（D ） - 。

2
2. 设a 是常数，则 lim e -a n
=
（）
n →∞
（A ） 0 ；（B ） e -1 ；（C ）不存在；（D ）以上选项都有可能。

3. 设数列{a } 满足 lim a
n +1 = A > 0 ，则（） n n →∞ a n
（A ）{a n } 有界；
（B ）{a n } 不存在极限；（C ）{a n } 自某项起同号；（D ）{a n } 自某项起单调。

4. 设 f ( x ) 在
x = x 0 不可导，则在 x = x 0 点一定不可导的是（）
（A ）e f ( x ) ；
（B ） f ( x ) ；
（C ） f 2 ( x ) ；（D ）cos f ( x ) 。

5. 设 f ( x ) 在闭区间[a , b ] ( a > 0 )上有定义且单调增加。

下列命题中（1）若对于 x 0 ∈(a , b ) ， lim x → x 0
f ( x ) 存在，则 f ( x ) 在 x = x 0 点连续；
（2）若 f ∈ C [a ,b ]，则∃x 0 ∈[a , b ] ，使得 f (b ) - f (a ) = 2 f ( x 0 ) ；（3）若 xf ( x ) 在[a , b ] 上单调减少，则 f ( x ) 在[a , b ] 上连续；正确命题的个数为
（
）
（A ） 0 ；（B ） 1 ；（C ） 2 ；
（D ） 3 。

二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
6. 若设函数 f ( x ) 满足2 f (3x ) + f (2 - 3x ) = 6x + 1，则 f ( x ) = 。

7. 设 y = x 3 + 3x + 1，则
= 。

y =1
8. 曲线r = cos 2θ 在θ = π 4
处的切线方程为:。

9. 已知
y = y ( x ) 由方程 x 2 y = e x - y 所确定，则 dy
= 。

dx 10. 若 y = (1 + x 2
)
arctan x
，则dy = 。

三、（每小题 8 分，共 24 分）
11. 用极限定义证明： lim x →+∞
1 + x
= 0 。

12. 设 f ( x ) 在 x = 1 点附近有定义，且在 x = 1 点可导， f (1) = 0 ，
f (
sin 2 x + cos x
)
f '(1) = 2 ，求 lim 。

x →0 x 2
dx
dy 2x + x -2
2
⎨
⎝ ⎭ ⎝
⎝ ⎭⎭ - - ) 5
13. 求 lim x →0
(1 + x ) x - e 2 (1 - ln (1 + x )) x
四、（每小题 8 分，共 16 分）
14. 已知函数 ⎧ f ( x ) = ⎪ sin x , x x > 0 ，试确定常数 a 和 b ，使得 ⎪⎩ax 2 + bx + 1, f ( x ) 二阶可导，并求 f ''( x ) 。

x ≤ 0 n k ⎛ x 2k x 2k +1 ⎫
15. 记 f n ( x ) = ∑ (-1) k =0 (2k )! + (2k + 1)! ⎪
⎛ x x 2 x 3 n ⎛ x n 2 x n 2+ 1⎫ ⎫ = 1 + 1 - 2! - 3! + + (-1) (2n )! + (2n + 1)! ⎪⎪ ，求( f n ( x )sin x )
(2n +1)
x =0
，这里n 是非负整数。

五、（本题 10 分）
16. 求 f ( x ) =
x
1 + x 2
在区间(-2, 3) 上的最值。

六、（本题 12 分） 2
1
17. 全面讨论函数 y = x 3 (1 - x )3 的性态，并作出它的图形。

（ y ' = 1 3 1 2 x 3 ( 1 - x - 3 2 - 3)x ， y ' '= -2 9
4 x 3 ( 1 - x )- 3 ）
七、（本题 8 分） 18. 已知函数 y = f ( x ) 在 R 上二阶可导，且有非零
x 0 ∈ R 使得
f ( x 0 ) = 0 。

证明：
(1) ∃η ∈ R ，使得η f '(η ) + f (η ) = 0 ； (2) 若 f ''( x ) 在R 上有界，则∃ξ ∈ R ，使得
ξ f ''(ξ ) + (2 + ξ ) f '(ξ ) + f (ξ ) = 0 。

( 。