第二章 杆件的内力.截面法(第1、2、3节)
第二章内力与内力图详解
例：如左图，求n-n面的内力。 左半部分
Fx 0
FN FP
右半部分：
Fx 0 FN FP
左右两部分的力方向相反，但是同一内力， 因此规定内力由变形确定正负号，是标量。
§2-1 横截面上内力与内力分量
P2
P1
m
P4
P1
P2
m
P3 P2
P3
m P5
(a)
P1
y FR
m
M
C x
zm
(c)
P3
m
(b)
第二章 内力与内力图
§2-1 横截面上内力与内力分量 §2-2 轴向拉压杆的内力与内力图 §2-3 扭转圆轴的内力与内力图 §2-4 平面弯曲梁的内力与内力图 §2-5 平面刚架和曲杆的内力图
横截面上内力计算--截面法
截面法求内力步骤
❖ 将杆件在欲求内力的截面处假想的截断，取其中任一部分； ❖ 画出其受力图。所有外力，并在断面上画出相应内力； ❖ 由静平衡条件确定内力大小。
传动轴的扭矩图。
解：1)计算外力偶
MA
9549
PA n
9549 36 300
1146N.m
M B MC 350N.m；M D 446N.m
2)由外力偶分段，用截面法分别求每段
轴的扭矩即为1-，由
Mx 0
M B M x1 0 M x1 350N.m
B
C
A
350
700
446 x
D
扭矩图例2
10kN 30kN.m 20kN.m
A
2m B
10kN.m
D C
M x (kN.m)
10
A
B
20
C
截面法求杆件的内力
截面法求杆件的内力教学目标：1、理解和掌握求杆件内力的方法——截面法；2、熟练运用截面法求不同杆件受到拉伸时的内力。
教学重点：截面法求杆件内力的步骤。
教学难点：如何运用截面法求内力的方法解决工程力学中求内力的实际问题。
教学方法：提出问题——实例演示——练习点拨——归纳总结教学过程：一、复习旧知1、杆件有哪几种基本变形？2、拉伸和压缩的受力特点是什么？3、拉伸和压缩的变形特点是什么？二、新课讲解思考：当杆件受到拉伸、压缩时，就会在杆件内部产生力的作用，怎样才能确定杆件的内部会产生多大的力？（引出课题）出示本节课的学习目标。
（一）、教学什么是杆件的内力？内力：杆件在外力作用下产生变形，其内部相互间的作用力称为内力。
一般情况下，内力将随外力增加而增大。
当内力增大到一定限度时，杆件就会发生破坏。
内力是与构件的强度密切相关的，拉压杆上的内力又称为轴力。
（二）、教学截面法求杆件的内力。
1、什么是截面法？截面法：将受外力作用的杆件假想地切开，用以显示内力的大小，并以平衡条件确定其合力的方法，称为截面法。
它是分析杆件内力的唯一方法。
2、实例演示：如图AB 杆受两个力，一个向左，一个向右，大小均为F 。
作用点分别为A 和B 。
①、确定要截开的次数和位置（要根据杆件的受力情况而定） ②、选取一半截面为研究对象（一般选取受力较少的一段作为研究对象）③、假设出截面上的内力（取左段内力向右设，取右段内力向左设，方向跟坐标轴方向一致，左负右正、下负上正）④、用平衡方程求出截面上的内力（求出的内力为正值为拉力，负值为压力）取左段 ∑Fx=O －F ＋FN ＝0 取右段 ∑Fx=O F －FN ＝0FN ＝F FN ＝F 3、总结截面法求杆件内力的步骤：（1）截：在需求内力的截面处，沿该截面假想地把构件切开。
（2）取：选取其中一部分为研究对象。
（3）代：将截去部分对研究对象的作用，以截面上的未知内力F F N来代替。
（4）平：根据研究对象的平衡条件，建立平衡方程，以确定未知内力的大小和方向。
第二章杆件的内力截面法
扭矩图
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§5-3 弯曲的概念.剪力与弯矩
一、弯曲的概念
受力特点：在包含杆轴的纵向平面内作用一对大小相等、方向相反 的力偶或在垂直于杆件轴线方向作用横向力。 变形特点：杆件轴线由直线变为曲线。 梁
以 弯曲变形 为主要变形的杆件。
对称弯曲：
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工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根对称轴，因而整个杆件有一个 包含轴线的纵向对称面。若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变 形后的轴线将是位于该平面内的一条曲线，这种弯曲形式称为对称弯曲（或 平面弯曲）。
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第五章
杆件的内力
• §5-1 杆件的拉伸（压缩）内力 • §5-2 杆件的扭转内力 • §5-3 弯曲内力· 剪力与弯矩 • §5-4 剪力图和弯矩图 • §5-6 剪力、弯矩和载荷集度间的微分关系 ※§5-7 平面刚架与平面曲杆的弯矩内力
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§5-1 杆件的拉伸或压缩时的内力
Me
Me
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二、外力偶矩的计算
已知：P—传递的功率,（kw） n—转速,（r/min） 求：外力偶矩Me ( N· m) 解： P M e
Me
Me
n 30 n P 1000 M e 30
Me
由此求得外力偶矩：
P 1000 30 P 9549 (N . m) n n
材料力学电子课堂 注意
1、用截面法求轴力时，取留下的一部分作受力图时，在切开的截
面上建议假设正的轴力，由平衡方程得出的FN值为正，说明轴力 为正（拉力）； FN值为负，说明轴力为负（压力）。 2、在画轴力图时，填充为下画线或无填充，不要画剖面线形式； 并注上 符号 或 。
材料力学--第2章杆件的内力与内力图
轴力图的画法
画轴力图的步骤：求约束反力、求控制截面上的轴 力、画轴力图。 求任一横截面轴力的简便方法：任一横截面上的轴 力等于该截面一侧杆件上所有外力（包括反力）的代数和； 外力背离截面产生拉力，外力指向截面产生压力。 在分布轴向外力作用下，轴力图为斜直线或曲线。 没有分布轴向外力作用时，整个杆件轴力图为平行于杆件
外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上 的内力──扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截 面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心 的合力矩，称为扭矩（twist moment），用Mx表示。
Me Me
Me
Mx
n
－ 右手螺旋定则
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 扭矩与扭矩图
如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线 方向所有横截面上的扭矩都是相同的，并且都等于作用在 轴上的外力偶矩。 当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴
D
E
2
FA
40kN
FN2
F
x
0， FN2 FA 40 0， FN2 50kN(拉)
第2章 杆件的内力和内力图
求CD段内的轴力
◎ 轴力与轴力图
FA
A
40kN B
55kN
25kN
20kN
C
3
D
E
FN3
25kN
20kN
F
x
0， FN3 25 20 0， FN3 5kN(压)
第2章 杆件的内力和内力图
同理，求得AB、 BC、CD段内力分 别为： FN2 B FB FN3 C FC C FC FN4 FN 2F 5F
◎ 轴力与轴力图
第2章杆件的内力.
V 0
A
V YA
M YA a
M V
M F 0 : M Y
a 0
5）剪力、弯矩正负号规定
V V V V
（V 绕梁段顺时针转动，则为正） （V 绕梁段逆时针转动，则为负）
（M 使梁段上部受压，下部受拉，则为正）（M 使梁段下部受压，上部受拉，则为负）
【例 2.3】求图示外伸梁在 1－1 和 2－2 截面之内力。
第2章 杆件的内力
2.1 内力的概念 2.2 轴力与轴力图 2.3 梁的内力与内力图
第2章
问题引入
外力
（由表
杆件的内力
2.1 内力的概念
构件外部之力
如荷载、约束反力
内力
及里） 构件内部之力
?
如 轴力、剪力、弯矩 等
2.1.1 内力的概念 荷载 作用 结构处于平衡 结构发生变形 ＋ ＋ 约束反力 附加内力 力的外效应 力的内效应
2.2.1 轴力与轴力图
与杆轴线重合之内力，称之为轴向内力，简称轴力。
Ⅰ m Ⅱ Ⅰ mⅡ
m
m
轴力 N 正负号规定：拉为正（＋），压为负（－）。
Ⅰ m
P
m
Ⅰ
m
N
P
m
N
当轴向外力多于两个时，其轴力将沿轴线变化 —— 轴力图。
2.2.2
举例
【例 2.1 】现有一等直杆，试求各截面的 轴力并作出轴力图。 【解 】
用一平面截杆
暴露内力
确定
内力
截断杆
两部分Ⅰ和Ⅱ
若取Ⅰ为研究对象，则弃掉Ⅱ，反之亦然。 2）代替 Ⅰ对Ⅱ的作用力 分布内力（合力 N ） Ⅱ对Ⅰ的反作用力
3）平衡
X 0: N P 0
工程力学 第二章 轴向拉伸与压缩.
2 sin ( 2 cos 1 )ctg 3.9 103 m
B1 B B1 B3 B3 B
B B
B B12 B1 B 2 4.45 10 3 m
[例2-11] 薄壁管壁厚为,求壁厚变化和直径变化D。
解：1）求横截面上的正应力
dx
N ( x) l dx EA( x) l
例[2-4] 图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆，2 段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。 已知2段杆内的应力σ 2=-30MPa，E=210GPa，求整个 杆的伸长△L
解: P 2 A2
30 25 18.75KN
N 1l Pl l1 l2 EA 2 EA cos l1 Pl cos 2 EA
[例2-8]求图示结构结点A 的垂直位移和水平位移。
解:
N1 P, N 2 0
Pl l1 , l2 0 EA Pl y l1 EA
N1
N2
Pl x l1ctg ctg EA
F
FN
FN F
F
F
CL2TU2
2.实验现象：
平截面假设
截面变形前后一直保持为平面，两个平行的截面之 间的纤维伸长相同。 3.平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面。 4.应力的计算 轴力垂直于横截面，所以其应力也仅仅是正应力。按 胡克定律：变形与力成正比。同一截面上各点变形相 同，其应力必然也相同。 FN （2-1） A 式中： A横截面的面积；FN该截面的轴力。 应力的符号：拉应力为正值应力，压缩应力为负 值应力。
1. 截面法的三个步骤 切: 代: 平:
F F F F
2第二章 杆件的基本变形
杆件在外力作用下产生变形时，其内部产生的相互作用力称为内力。
内力随外力的增大而增加，但内力的增加是有一定限度的，超过某一限度，杆件就会被破坏。
2．截面法①概念：将受外力作用的杆件假想地切开用以显示内力，并以平衡条件来确定其合力的方法，称为截面法。
②用截面法求内力的步骤截面法是分析杆件内力的唯一方法。
一般可分为“截、取、代、平”四个步骤：a．截：在需求内力的截面处，沿该截面假想地把构件切开；b．取：选取其中一部分为研究对象；c．代：将去掉部分对研究对象的作用以截面上的内力来代替；d．平：根据研究对象的平衡条件，建立平衡方程，以确定内力的大小和方向。
3．轴力和轴力图（1）轴力：由于内力的作用线与杆件的轴线重合，故内力也称轴力。
轴力的符号规定：当杆件受拉伸时，即轴力背离横截面时，取正号；反之，当杆件受压缩时，即轴力指向横截面时，取负号。
（2）轴力图：为了表示轴力随截面位置的变化情况，取平行于杆轴线的x轴的坐标表示横截面的位置，再取垂直于x轴坐标表示横截面的轴力，一般把正的轴力图画在x轴的上方，负的轴力图画在x轴的下方，这样会出的线图称为轴力图。
注：截面上的内力是分布在整个截面上的，利用截面只能求出这些分力的合力。
（3）例题：如图示等截面杆，A、C、B点分别由F1=10N，F2=30N，F3=20N三力作用而平衡，求杆的轴力。
解：由于杆上有三个外力，因此在AC段和CB段的截面上将有不同的轴力。
（1）求截面1—1上的轴力①沿1—1截面假想把直杆切为两部分；②取右端为研究对象；③在截面上以F N1轴力代替舍去部分对研究部分的作用；④对研究对象列出平衡方程式∑F x＝0 F2－F3－F N1＝0F N1＝F2－F3＝（30－20）N＝10N（2）用上述方法可以求出截面2—2的轴力F N2＝－20N注：解题时不论选取那一部分为研究对象，都可得到同样的结果。
三、小结通过本节的学习，同学们应：1．掌握材料的基本变形形式。
建筑力学与结构第2章 杆件的内力
23
1 设横截面沿梁轴线的位置用x轴表示，并以垂 直于x轴的纵坐标表示剪力值或弯矩值的大小。把 剪力V的坐标设成向上为正，而把弯矩的坐标设成 向下为正，如图2.28
24
图2.28
剪力图与弯矩图的坐标轴之假设
25
2 既然剪力和弯矩都将随着x（横截面位置）的 变化而变化，那么两者均可以表示为坐标x的函数 ，即
图2.13
截面法求内力
12
截面上的内力与杆的轴线重合者，称之为轴向 内力，简称轴力。当杆受到轴向拉伸或轴向压缩时， 其内力N都是轴力，如图2.15
图2.15
拉、压的轴力
13
既然杆有轴向受拉或受压，其轴力理应有所区 拉杆的变形是沿轴向伸长，即杆长增加，其轴 压杆的变形是沿轴向缩短，即杆长减少，其轴 从截开的横截面上看，拉力的指向是背离截面
26
27
28
29
三、叠加法作梁的内力图 之前的第1.4节，曾用叠加法求支座反力。此 法的方便之处，大家已有所感受，现在用它来作梁
30
现以图2.36为例来阐述其叠加原理。在A处作 用有一集中荷载P，在AB跨内作用有均布荷载q。 在距A端为x的任意横截面上，其剪力方程和弯矩
31
图2.36
叠加原理求于构件的长度远大于横截 面尺寸，所以构件大多抽象成“杆”。这是对构件 形状的简化，在第4.2节中将会详细讨论
3
图2.1
杆的横截面和轴线
4
图2.2
杆的形式
5
2 杆件的变形不但与外力大小有关，还与外力作 用方式有关。由于外力是多种多样的，因此，杆的 变形也是各种各样的。根据外力的作用方式，可以 把变形分为以下4种基本形式： （1 （2）剪切 （3）扭转 （4）弯曲
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外 无外力段
力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
P C
集中力偶
m
C
水平直线
斜直线
自左向右突变 无变化
FS 图
FS
特
征
x
FS >0
FS
FS
x
x
FS <0 增函数
FS
FS FS1
C
x
FS2
x
降函数 FS1–FS2=P
FS
C x
M
斜直线
曲线
自左向右折角 自左向右突变
图M
M
M
M
M
与 M M1
特
x
x
x
x
xm
x
求：外力偶矩Me ( N·m)
解：PMe
n 30
P1000Me3n0
由此求得外力偶矩：
Me
Me
P103 00 P
M e
n
954 (N .9 m) n
若传递功率单位为马力（PS)时, 由于PS=735.5N·m/s
Me
702P4(N.m) n
杆件的内力.截面法
对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根对称 轴，因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面。 若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变 形后的轴线将是位于该平面内的一条曲线，这种弯 曲形式称为对称弯曲。
注意 1、用截面法求轴力时，在切开的截面上建议假设正 的轴力，由平衡方程得出的FN值为正，说明轴力为正 （拉力）； FN值为负，说明轴力为负（压力）。
2、在画轴力图时，填充为下画线或无填充，不要画剖 面线形式；并注上 符号 或 。
杆件的内力.截面法
二、外力偶矩的计算
已知：P—传递的功率,（kw）
n—转速,（r/min）
F C
集中力偶 m处有突变 斜的直线 斜的直线
在C处无变化 C
弯矩图 的特征
一般斜直线 下凸的二 上凸的二 次抛物线 次抛物线
或
最大弯矩 所在截面 可能位置
在FS=0的.截面
在C处有尖角 在C处有突变
m
与
或
m
同
在剪力突变 在紧靠C的某
的截面
一侧截面
剪力、弯矩与外力间的关系
征 增函数 降函数 盆状
同 M2 伞. 状 折向与P反向 M1M2m
直线、二次直线）； 3．求控制截面内力，并采用同一比例的纵坐标注明在图上；
4．用正确的曲线（注意形状、凹向、变化趋势）将这些控制点连接起来。
4．确定
FS
和
max
M。 max
.
一段梁 上的外 力情况
表 2-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征
无荷载
q=0
向下的均 向下的均
布荷载 布荷载
q>0
q<0
集中力
（2）取
m
取左部分部分作为研 F
F
究对象.
m
（3）代 弃去部分对研究对象 F
m FN
的作用以截开面上的内力 m
代替,合力为FN .
（4）平 对研究对象列平衡方程
式中：FN 为杆件任一横截面 mm上的内力.与杆的轴线重合， 即垂直于横截面并通过其形心,
FN = F
称为轴力(axial force)。
杆件的内力.截面法
由剪力方程和弯矩方程确定剪力图、弯矩图的一般步骤： （1）求支座反力。 （2）在梁上建立Ox坐标（原点O一般取在梁的左端点，x轴 自左至右为正）； （3）根据截荷情况分段列出FS(x)和M(x)方程。在集中力 （包括支座反力）、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力 方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和 弯矩方程的分段点。 （4）求控制截面内力，作FS、M图。一般情况下，每段的两 个端点截面为控制截面。在有分布载荷的段内，FS=0的截面 处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。将控制截面 的内力值标在坐标的相应位置处 。分段点之间的图形可根据 剪力方程和弯矩方程绘出。并注. 明FS max和M max数值。
杆件的内力.截面法
建议：求截面FS和M时，均按规定正向假设， 这样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为 正的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯 矩正负号也作同样判断。
1.截面法(Method of sections)
（1）截
m
在求内力的截面m-m 处,F
F
假想地将杆截为两部分.
m
杆件的内力.截面法
纵向对称面
变形后的轴线
轴线
杆件的内力.截面法
非对称弯曲 ：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内这种弯曲称 为非对称弯曲。
平面弯曲：梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相 重合，这种弯曲称为平面弯曲。
对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲。
杆件的内力.截面法
❖在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力偶的大小 而剪力图无改变。
.
杆件的内力.截面法
利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利 用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步 骤如下： 1．求支座反力；
2．根据外力作用情况，分段判断剪力图和弯矩图的曲线性质（常数、一次
杆件的内力.截面法 注意x取值范围等号的取法： 1.若载荷为集中力(剪力图中有突变)，剪力方程中x的取值没有等号； 2.若载荷为集中力偶(弯矩图中有突变)，弯矩方程中x的取值没有等号；
3.对于某一截面，在无限接近的范围内，左右相等才有“＝”,即 剪力图和弯矩图为连续时才有等号。
(0<x<l)
(0≤x≤a),(a≤x≤l)
.
杆件的内力.截面法
总结
❖以集中力、集中力偶作用处、分布荷载开始或结束处，及支座截面处 为界点将梁分段.分段写出剪力方程和弯矩方程，然后绘出剪力图和弯矩 图. ❖在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。 ❖在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。 且弯矩M最大值发生于FS=0处。 ❖集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小; 弯矩图上无突变，但斜率发生突变，弯矩图上为折角点。