第五章信号检测与估计理论(3)
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信号检测与估计理论
平方检测算法是一种简单而有效的信 号检测算法，它通过比较输入信号的 平方和与阈值来判断是否存在信号。
信号估计理论
02
信号估计的基本概念
信号估计
利用观测数据对未知信号或系统状态进行推断或预测 的过程。
信号估计的目的
通过对信号的处理和分析，提取有用的信息，并对未 知量进行估计和预测。
信号估计的应用
在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识别等领域有 广泛应用。
阈值设置
03
在信号检测中，阈值是一个关键参数，用于区分信号和噪声。
通过调整阈值，可以控制错误判断的概率。
信号检测的算法
最大后验概率算法
最大后验概率算法是一种常用的信号 检测算法，它基于贝叶斯决策准则， 通过计算后验概率来判断是否存在信 号。
平方检测算法
多重假设检验算法
多重假设检验算法是一种处理多个假 设的信号检测算法，它通过比较不同 假设下的似然比来确定最佳假设。
医学影像信号处理
X光影像处理
通过对X光影像进行去噪、增强、分割等处理，可以提取出 病变组织和器官的形态特征，为医生提供诊断依据。
MRI影像处理
磁共振成像（MRI）是一种无创的医学影像技术，通过对MRI 影像进行三维重建、分割、特征提取等技术处理，可以更准确
地诊断疾病。
超声影像处理
超声影像是一种实时、无创的医学影像技术，通过对超声影像 进行实时采集、动态分析、目标检测等技术处理，可以为临床
03
估计的精度和效率。
深度学习在信号检测与估计中的应用
01
深度学习是人工智能领域的一种重要技术，在信号检
测与估计中信号进行高效的特征
提取和分类，提高信号检测的准确性和稳定性。
信号检测与估计
信号检测与估计信号检测与估值理论是从 40 年代第二次世界大战中逐步形成和发展起来的。
整个40 年代是这个理论的初创和奠基时期。
在这期间，美国科学家维纳和苏联科学家柯尔莫格洛夫等作出了杰出的贡献。
他们将随机过程和数理统计的观点引入到通信和控制系统中来，揭示了信息传输和处理过程的统计本质，建立了最佳线性滤波理论，后人称之为维纳滤波理论。
这样，就把经典的统计判决理论和统计估值理论与通信工程紧密结合起来，为信号检测与估值理论奠定了基础。
信号检测:由于许多实际的通信和控制问题都具有二元的性质，可把收到的信号划分为1或0，所以信号检测问题主要就是根据收到的信号在两个假设之中选择其中一个假设的问题。
为了形成最优推断程序，应假定每个正确的或错误的推断代表接收端观察者的得益或损失，称为损失函数。
常用的信号检测方法有参数检测法、非参数检测法、鲁棒检测法和自适应检测法等。
信号估计:在通信和控制中常常需要利用受干扰的发送信号序列来尽可能精确地估计该发送信号的某些参量值。
信号估计问题主要是求最优估计算子，即设计一个能处理各种观察数据而产生最优估计的滤波器。
滤波器的期望输出就是信号的估值，它可以是信号本身，也可以是信号的延迟或导前，这就是滤波、平滑和预测问题。
通常把信号估计分为两大类，有条件的和无条件的。
无条件估计算子不需要利用发送信号先验概率的知识，即认为先验概率密度分布是均匀的。
条件估计算子则需要利用发送信号的概率密度分布的知识。
评价信号估计的准则最常用的是均方误差最小准则。
信号检测与估值理论是现代信息理论的一个重要分支，是以率论与数理统计为工具，综合系统理论与通信工程的一门学科。
它为通信、雷达、声纳、自动控制等技术领域提供理论基础。
此外，它在统计识模、射电天文学、雷达天文学、地震学、生物物理学以及医学等领域里，也获得了广泛的应用。
我们知道，在信息的传输与交换过程中，都是通过信号这一物理实体来实现的。
信号是信息的载荷者、传送者。
信号检测与估计理论
国家重点实验室
第2节 信号检测理论概述
假设信源分别以概率P 发送信号s 例1.假设信源分别以概率 1和P2发送信号 0和s1，经过高斯 假设信源分别以概率 信道到达接收端，接收信号为y，如何根据接收信号y的统计 信道到达接收端，接收信号为 ，如何根据接收信号 的统计 特性，判断信源发送的是s 还是s 特性，判断信源发送的是 0还是 1？ 假设信源发送s0，则接收信号 y=s0+n 假设信源发送s1，则接收信号 y=s1+n H0： y=s0+n H1： y=s1+n
贝叶斯检测
国家重点实验室
第2节 信号检测理论概述
P(− 1 y ) P(+ 1 y )
后验概率
似然函数
p( y − 1)
p( y + 1)
假设信源等概率发送信号+1和 ， 例1.假设信源等概率发送信号 和-1，经过高斯信道到达接 假设信源等概率发送信号 收端，接收信号为y 收端，接收信号为 。 y=1+n y=-1+n
国家重点实验室
第1节 信号随机性与统计处理方法
r(t) 信源 信道 干扰 信宿 接收机噪声 有无目标 参数 波形
通信系统 :
检测估计
判决 s(t) r(t) 处理 n(t) 估计
r (t ) = s (t ) + n(t )
国家重点实验室
第1节 信号随机性与统计处理方法
有无敌机？ 雷达系统 → 有无敌机？
一类问题→ 一类问题→ 检测 → 判断信号有无 敌机的位置？高度、方位、 敌机的位置？高度、方位、距离等 另一类问题 → 估计→ 估计→信号包含的参数 信号的波形 → 调制理论 提取 滤波
国家重点实验室
信号检测与估计理论 第五章 统计估计理论 ppt课件
PPT课件
7
5.1.2 数学模型和估计量构造
1
2
M
p(x )
x1
x
x2
xN
ˆ x g x g x1, x2,...xN
四个组成部分：参量空间、概率映射、观测空间和估计准则。 概率映射函数 p(x ) ，完整地描述了含有被估计矢量信息时观测 矢量的统计特性。
p( x
|
)
1
2
2 n
N
2
exp
N k 1
(xk
2
2 n
)2
ˆcon1 ˆmse
p( | x) p( x | ) p( ) p( x)
贝叶斯公式
1 1
p(
x)
2
2 n
N
2
1
2
2 θ
PPT课件
22
5.2.2 贝叶斯估计量的构造
2、条件中值估计（条件中值，代价函数参见图(b)）
令
C x 0
称为条件中值估计，或条件中位数估计
（Conditional Median Estimation），
估计量 med 是
P
1 2
的点。
PPT课件
23
5.2.2 贝叶斯估计量的构造
ln p(x | )
0
ˆml
对比（5.2.19）式，
相当于最大似然估计用于估计没有任何先验知识的随机参量 ， 假定 为均匀分布，上式第二项为零，最大后验概率估计转化
信号检测与估计理论(3)第三章 克拉美-罗下限
exp ⎧⎨− ⎩
1
2σ 2
N
−1
(
x[
n]
−
s[n;θ
])2
⎫ ⎬
n=0
⎭
3.3 WGN中信号的CRLB
一阶偏导
∑ ∂ ln
p(x;θ ) ∂θ
=
1
σ2
N −1
( x[n] −
n=0
s[n;θ ])
∂s[n;θ ] ∂θ
二阶偏导 数学期望
∑ ∂2
ln p(x;θ ) ∂θ 2
=
1
σ2
N −1 ⎨⎧( x[n] −
ln p (x;θ ∂θ 2
)⎤ ⎥ ⎦
（3-16）
显然，当估计获得CRLB时，其方差就是Fisher 信息的倒数。下界越小，信息越多。Fisher信 息有如下性质：
1、Fisher信息是非负的（根据（3-11）式）。 2、对于独立的观测，Fisher信息满足可加性。
由此，可以得出如下结论：对N个IID观测的 CRLB是单次观测的1/N倍。
3.3 WGN中信号的CRLB
(3-5)
与 p(x[0]; A) 有关，仅是A的函数。上式值越大，估计量的方差 就越小。
3.2 克拉美-罗下界（CRLB）
定理3-1（标量形式的CRLB）假设PDF p(x;θ ) 对
所有可能的 θ 满足“正则”条件
E
⎡ ⎢⎣
∂
ln
p(x;θ ∂θ
)
⎤ ⎥⎦
=
0
那么任何无偏估计 θˆ 的方差一定满足
−
1
2σ 2
N −1
(x[n] −
n=0
A)2
⎤ ⎥
⎦
第五章 (2) 信号检测与估计
2 n
的独立同分布高斯随机噪声；被
估计量 是未知非随机参量。求 函数 exp 的最大似
然估计量ˆml 。
5.3.3 最大似然估计的不变性
解：根据观测方程与假设条件，似然函数为
p( x
|)
1
2
2 n
N /2
exp
N
k 1
xk
2
2 n
2
该函数中含有，因为在函数=exp()中， 是的一对一变
0
ˆml
解的，该方程称为最大似然方程。
最大似然估计也适用于概率密度函数未知的随机参量 的
估计，这时可假设 服从均匀分布。
最大后验估计方程
为均匀分布，p()为常数
ln
p(x | )
ln p( )
ˆmap
0
最大后验估计转化为最大似然估计
由于最大似然估计没有或不能利用被估计量的先验知识，其性能一般 比贝叶斯估计差。
将上式对求偏导
( -ˆ)p(x | )dx
-
=
p(x | )dx+
p(x | ) ( -ˆ)dx=0
-
-
p(x | )dx=1 -
p(x | ) = ln p(x | ) p(x | )
非随机参量情况
( -ˆ)p(x | )dx
-
=
p(x | )dx+
p(x | ) ( -ˆ)dx=0
利用先验概率的贝叶斯估计量的均方误差为（例5.2.1求得）
E
ˆb
2
2
2 n
N
2
2 n
N
1
2 n
/
2
2 n
由于
2 n
《信号检测与估计》课件
,
汇报人：
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
信号检测：从含有噪声的信号中提 取有用信号的过程
信号检测与估计的目的：提高信号 传输的可靠性和准确性
添加标题
添加标题添加标题添来自标题信号估计：根据已知信号模型，估 计信号参数的过程
信号检测与估计的应用：通信、雷 达、声呐等领域
通信领域：检测和 估计信号，提高通 信质量
汇报人：
PART THREE
信号检测：通过测量信号的强度、 频率、相位等信息，判断信号是否 存在
信号检测方法：包括能量检测、匹 配滤波、相关检测等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
信号分类：根据信号的性质，可以 分为连续信号和离散信号
信号检测性能：包括检测概率、虚 警概率、检测延迟等指标
基于统计的方法：如最大 似然估计、贝叶斯估计等
雷达领域：检测和 估计目标信号，提 高雷达性能
医疗领域：检测和 估计生理信号，辅 助疾病诊断和治疗
工业领域：检测和 估计设备信号，提 高生产效率和安全 性
信号检测与估计是通信、雷达、导航等系统的核心 信号检测与估计可以提高系统的性能和可靠性 信号检测与估计可以降低系统的成本和功耗 信号检测与估计可以增强系统的安全性和保密性
信号检测与估计的鲁棒性研 究
信号检测与估计的实时性研 究
5G通信：提高通信速度和质量，实现高速数据传输 自动驾驶：提高车辆感知能力，实现智能驾驶 医疗健康：提高疾病诊断和治疗水平，实现精准医疗 工业自动化：提高生产效率和质量，实现智能制造 航空航天：提高飞行器导航和定位精度，实现安全飞行 军事应用：提高战场感知和决策能力，实现精确打击
参数估计：通过建立信号模型，估计模 型参数
汇报人：
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PART ONE
PART TWO
信号检测：从含有噪声的信号中提 取有用信号的过程
信号检测与估计的目的：提高信号 传输的可靠性和准确性
添加标题
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信号检测与估计的应用：通信、雷 达、声呐等领域
通信领域：检测和 估计信号，提高通 信质量
汇报人：
PART THREE
信号检测：通过测量信号的强度、 频率、相位等信息，判断信号是否 存在
信号检测方法：包括能量检测、匹 配滤波、相关检测等
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信号分类：根据信号的性质，可以 分为连续信号和离散信号
信号检测性能：包括检测概率、虚 警概率、检测延迟等指标
基于统计的方法：如最大 似然估计、贝叶斯估计等
雷达领域：检测和 估计目标信号，提 高雷达性能
医疗领域：检测和 估计生理信号，辅 助疾病诊断和治疗
工业领域：检测和 估计设备信号，提 高生产效率和安全 性
信号检测与估计是通信、雷达、导航等系统的核心 信号检测与估计可以提高系统的性能和可靠性 信号检测与估计可以降低系统的成本和功耗 信号检测与估计可以增强系统的安全性和保密性
信号检测与估计的鲁棒性研 究
信号检测与估计的实时性研 究
5G通信：提高通信速度和质量，实现高速数据传输 自动驾驶：提高车辆感知能力，实现智能驾驶 医疗健康：提高疾病诊断和治疗水平，实现精准医疗 工业自动化：提高生产效率和质量，实现智能制造 航空航天：提高飞行器导航和定位精度，实现安全飞行 军事应用：提高战场感知和决策能力，实现精确打击
参数估计：通过建立信号模型，估计模 型参数
信号检测与估计理论(3)第三章 克拉美-罗下限
假设信号是正弦信号，s[n; f0 ] = Acos(2π f0n + φ)
0<
f0
<
1 2
其幅值和相位已知，估计 f 0 的CRLB。根据式（3-14）有
var( fˆ0 ) ≥ N −1
σ2
∑ A2 [2π n sin(2π f0 + φ )]2
n=0
（3-15）
图3-3给出了CRLB与频率的关系，这里信噪比SN为 A2 σ 2 = 1，
Aˆ = x[0] 是一个无偏估计，且方差为 σ 2，因此，随 着 σ 2的减少，估计的准确性得到提高。
3.1 估计的准确性
对于2个不同方差的PDF，它们是给定x[0]下的关 于A的函数。
pi ( x[0]; A) =
1
2πσ
2 i
exp ⎡⎢− ⎣
1
2σ
2 i
(x[0] −
A)
2
⎤ ⎥
⎦
i=(1 2) (3-1)
3-1（a）范围宽。
3.1 估计的准确性
对于给定的x，PDF看作未知参量的函数时，PDF称为似然函 数。图3-1中可以看出似然函数的锐度（sharpness）决定着估 计的精度。
为了证明这一点，用峰值处的2阶导数的负数来有效地测量这 个锐度。这就是似然函数的曲率。我们考虑图3-1中的PDF的自 然对数
var(θˆ) ≥
1
−
E
⎡ ⎢⎣
∂
2
ln p(x;θ ∂θ 2
)
⎤ ⎥⎦
(3-6)
3.2 克拉美-罗下界（CRLB）
这里导数值是真值 θ 下的值。对所有可能
的 θ ，对于某个函数g和I，当且仅当
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5.8.4 线性最小二乘递推估计
线性最小二乘递推估计的问题类似于线性最小均方误 差递推估计。加权递推估计公式为
Mk
1 M k 1
1 T H k Wk H k
5.8.31
T K k M k H k Wk
θ k θ k 1 K k xk H k θ k 1
20
补充例题1：用一台仪器对未知确定性标量X 做r次直接测量，测量值分别为Z1，Z2，... Zr，测量误差的均值为零，方差为R,求X的 ˆ 最小二乘估计X , 并计算估计的均方误差。
ls
21
补充例题2：用两台仪器对未知标量X各直接 测量一次，测量值分别为Z1，Z2 .仪器的测量
误差是均值为零，方差分别为r和4r的随机量, ˆ 求X的最小二乘估计X , 并计算估计的均方误差。
1992
1993
1994
1995
1996
例2. 利用慧星极坐标观察值确定慧星轨道问题 90
2.70 2.00 1.61 1.20
180 0
1.02
48 67
270
83
108 126
4
5.8 最小二乘估计
最小二乘估计不需要任何先验知识，只需要关于被估计 量的观测信号模型，就可实现信号参量的估计。虽然估计量的
2
高斯对这个问题产生兴趣，它决定解决这个捉摸
不到的星体轨迹的问题，高斯独创了只要三次观察，
就可以来计算星球轨道的方法。它可以及其准确的预
测行星的位置。果然，谷神星准确无误的在高斯预测
的地方出现。这个方法，就是最小二乘法。当时并没
有公布。1802年，他又准确预测了小行星二号，智神
星的位置，这时他声明远扬，荣誉滚滚而来。今年是
5
N J xk sk k 1
2
5.8.1
达到最小，即误差 xk sk 的平方和最小。所以我们把 def 这种估计称为最小二乘估计，估计量记为 ls x ls 。
ls
22
补充例题3：用两台仪器对未知标量X各直接 测量一次，测量值分别为Z1，Z2 .仪器的测量 采用马尔可夫估计，求X的最小二乘加权估计 ˆ X , 并计算估计的均方误差。
lsw
误差是均值为零，方差分别为r和4r的随机量,
23
例 5.8.2 如果对交流电压的两次测量结果为
216 n1 220 n2
取
Wopt C n1
lsw H
2
4 2 0
lsw
219.2V 1 H T C n1 H 3.2V 2
T 1 T 1 1 Cn H H Cn x
0 ，则有 2 2
取其它加权矩阵之结果，请结合习题5.35进行研究。
型为 sθ ，观测矢量为 x ，则构造的 θ 使
6
J θ x s θ
T
x s θ
5.8.2
最小，估计量记为 θ ls x θ ls 。
高斯诞辰235周年，我们学习的还是200年前的知识.
3
例1.我国人口数量预测问题(单位:亿)
年 数量
15 10
12
1991
1992
1993 11.85
1994 11.98
12.5
1995 12.11
1996 12.24
11.58 11.72
5 0
11.5 1991
1991 1992 1993 1994 1995 1996
的维数不一定相同，其维数分别记为N k，第k次的观测
8
构造的估计量 θ x 使
J θ x H θ x H θ
T
5.8.5
最小。估计量记为 θ ls x θ ls 。
def
1. 最小二乘估计量的构造公式 由
def
根据信号模型 sθ ，最小二乘估计可分为线性最小二 乘估计和非线性最小二乘估计。我们将首先讨论线性最小 二乘估计。
5.8.2 线性最小二乘估计
设 θ 是 M 维被估计矢量，线性观测方程为
xk Hk θ nk ， k 1， ，L 2，
表示成矩阵形式为
x Hθ n
5.8.4
10
M
θ ls
T E θ θ ls θ θ ls
H H
T
1
H Cn H H H
T
T
1
5.8.10
11
例5.8.1 根据对二维矢量 θ 的两次观测
2 1 1 x1 θ n1 1 0 1
x1 216 x x2 220
1 H 1
4 2 Cn 0
0 2 2
所以
ls H T H
2
1 H T x 218V
1
H H
T
ls
H Cn H H H
T
T
1
5V2
25
性质不如前面讨论的方法，而且难以评价，但易于实现，且
能使估计误差的平方和达到最小，所以仍然是一种应用广泛 的估计方法。
5.8.1 最小二乘估计方法
如果关于被估计量 的信号模型为 sk （k 1,2,） ；由于 存在观测噪声，观测量为 xk （k 1,2,） 。如果进行了 N 次观 测， 的估计量 选择为使
5.8 最小二乘估计
高斯（1777—1855）德国数学家、物理学家、天 文学家、大地测量学家。他和牛顿、阿基米德被 认为是有史以来的三大数学家。最小二乘法发表
在1809年的著作《天体运行论》中。法国数学家
勒让德也于1806年独立发明最小二乘法。1829年 高斯给出了较其他证明方法更优的方法。但实际 上早在1794年高斯已经应用这种理论思想推算了 谷神星的轨道。
已知噪声的均值矢量和协方差矩阵分别为
n1 0 E n E n2 0
E nn
T
4 2 0
0 Cn 2 2
ls
求电压的最小二乘估计量 二乘加权估计量 lsw , 2
lsw
2 ,
ls
和最小
24
解 由题知
5.8.38
5.8.37
26
初始条件确定：利用第一次观测量 x1 ，有
T θ1 M1 H1 W1 x1
5.8.40
5.8.39
和
M1
线性最小二乘估计对每次观测量是同等对待的。 如果各次观测量精度是不一样的，理应给精度高的观 测量以较大的权值，而精度低的观测量权值较小，以 获得更精确的估计结果。从而引出了线性最小二乘加 权估计。
θ ls H H
T
1
HTx
5.8.7
15
5.8.3 线性最小二乘加权估计
其指标是使1Fra bibliotek在那个年代，当时的天文学界正在为火星和木星间 庞大的间隙烦恼不已，认为火星和木星间应该还有行星 未被发现。在1801年，意大利的天文学家Piazzi发现在 火星和木星间有一颗新星。它被命名为谷神星，现在我 们知道，它是火星和木星的小行星带中的一个，但当时 天文学界争论不休，有人说这是行星，有人说是彗星。 必须继续观察才能判决，但是 Piazzi只能观察到它9度 的轨道，再来，它便隐身到太阳后面去，因此，无法知 道它的轨道，也无法判别它是行星还是彗星。
θ lsw H C H H C x
T 1 n 1 T 1 n
Mθlsw H C H
5.8.18
T
1 n
1
5.8.19
19
说明：若
W I ，是非加权的线性最小二乘估计；
若
W Wopt ，是最佳加权的线性最小二乘估计；
若 W Wopt ，如果部分与观测量精度相适应，则估计 精度介于非加权与最佳加权精度之间；如果与观测量 精度不相适应，则估计精度还不如非加权的估计精度。
7
上式是把L次观测矢量xk (k 1, 2,...L)合成为如下一个 维数为N＝ N k的矢量。因此
k=1 L
x1 H1 n1 x H n x 2 ,H 2 ,n 2 xL HL nL 其中第k次观测矢量xk 与同次观测噪声同维，但每个xk 矩阵H k是N k M的矩阵。
说明：由观测方程知，观测结果是这样得到的，即
2 1 2 n11 1 2 n12 4 1 2 2 n2
这说明线性最小二乘估计的观测是有很大自由度的。
13
5.8.3 线性最小二乘加权估计
等精度测量 不等精度测量
不等精度测量广泛应用
14
5.8.3 线性最小二乘加权估计
T
性质3 若 E n 0 ，E nn C n ，则 θ lsw的均方误差阵为
M
θ lsw
H WH
T
1
H WC nWH H WH
T
T
1
5.8.14
最佳加权矩阵 Wopt
可以证明，最佳加权矩阵为
1 Wopt C n
18
此时有（通常称为马尔可夫估计。大家可 以尝试证明这一结论）