2020-2021学年贵州省凯里市第一中学高一上学期期末考试数学试题及答案解析
2020-2021高一数学上期末试卷带答案(2)
2020-2021高一数学上期末试卷带答案(2)一、选择题1．已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>3．已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >> B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>4．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．函数()2sin f x x x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33x x f x -=+的“上界值”为（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－17．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦8．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：x1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 ()f x-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.99．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(3)0f x f x ++-=，且(1)0f ≠，若函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，则(2019)f =（ ）A ．1B ．-1C ．-3D ．310．设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 （ ）A ．()1,2B ．()2,+∞C ．()31,4D ．()34,211．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos 12xf x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,5B ．()2,4C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫⎪⎝⎭12．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知幂函数(2)my m x =-在(0,)+∞上是减函数，则m =__________．14．函数22log (56)y x x =--单调递减区间是 ．15．求值： 233125128100log lg += ________ 16．已知函数()21311log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，()()2ln 21xg x a x x =+++()a R ∈，若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__________．17．已知常数a R +∈，函数()()22log f x x a =+，()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦，若()f x 与()g x 有相同的值域，则a 的取值范围为__________.18．函数{}()min 2,2f x x x =-，其中{},min ,{,a a b a b b a b≤=>，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是______________.19．已知11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a的取值集合为______.20．已知sin ()(1)x f x f x π⎧=⎨-⎩(0)(0)x x <>则1111()()66f f -+为_____三、解答题21．已知函数()10()mf x x x x=+-≠. （1）若对任意(1)x ∈+∞，，不等式()2log 0f x >恒成立，求m 的取值范围. （2）讨论()f x 零点的个数.22．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）当[]2,4x ∈时，求该函数的值域；（2）求()f x 在区间[]2,t （2t >)上的最小值()g t .23．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-.（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.24．王久良导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过23的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：（1）有下列函数模型：①2016x y a b -=⋅；②sin2016xy a b π=+；③lg()y a x b =+.(0,1)a b >>试从以上函数模型中，选择模型________（填模型序号），近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y （万吨）与年份x 的函数关系，并直接写出所选函数模型解析式；（2）若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从哪年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨？（参考数据：lg 20.3010,=lg30.4771=） 25．已知函数()22xxf x k -=+⋅，()()log ()2xa g x f x =-（0a >且1a ≠），且(0)4f =.（1）求k 的值；（2）求关于x 的不等式()0>g x 的解集； （3）若()82xtf x ≥+对x ∈R 恒成立，求t 的取值范围. 26．某支上市股票在30天内每股的交易价格P （单位：元）与时间t （单位：天）组成有序数对(),t P ，点．(),t P 落在．．如图所示的两条线段上.该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q （单位：万股）与时间t （单位：天）的部分数据如下表所示：（Ⅰ）根据所提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P 与时间t 所满足的函数解析式；（Ⅱ）根据表中数据确定日交易量Q 与时间t 的一次函数解析式；（Ⅲ）若用y （万元）表示该股票日交易额，请写出y 关于时间t 的函数解析式，并求出在这30天中，第几天的日交易额最大，最大值是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1xg x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f x g x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B. 考点：1、函数图象；2、对数函数的性质. 2．A解析：A 【解析】 【分析】构造函数()log 2x xf x =，利用单调性比较大小即可. 【详解】构造函数()21log 1log 212log xx x f x x==-=-，则()f x 在()1,+∞上是增函数， 又()6a f =，()10b f =，()14c f =，故a b c <<. 故选A 【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.3．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接比较. 【详解】解：0.1x 1.1 1.11=>=Q ， 1.100y 0.90.91<=<=，22334z log log 103=<<，x ∴，y ，z 的大小关系为x y z >>． 故选A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．C解析：C 【解析】当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-； 当12x <≤时，()23224f x x x x =⋅-⨯=-；所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()34f x x =-在(]1,2单调递增，且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，则()f x 在[]22-,上单调递增， 所以()()13f m f m +≤得：21223213m m m m-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得1223m ≤≤，故选C ．点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，通过单调性分析，得到()f x 在[]22-,上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得答案．5．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数()2sin f x x x =是奇函数，且函数过点[],0π，从而得出结论．【详解】由于函数()2sin f x x x =是奇函数，故它的图象关于原点轴对称，可以排除B 和D ；又函数过点(),0π，可以排除A ，所以只有C 符合． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查奇函数的图象和性质，正弦函数与x 轴的交点，属于基础题．6．C解析：C 【解析】 【分析】利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”. 【详解】 令3,0xt t => 则361133t y t t -==-<++ 故函数()f x 的“上界值”是1； 故选C 【点睛】本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或 通过换元法求解函数的值域.7．C解析：C 【解析】分析：由题意分别确定函数f (x )的图象性质和函数h (x )图象的性质，然后数形结合得到关于k 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线()()2log 1f x x =+右移一个单位，得()21log y f x x =-=， 所以g (x )=2x ，h (x -1)=h (-x -1)=h (x +1)，则函数h (x )的周期为2. 当x ∈[0,1]时，()21xh x =-，y =kf (x )-h (x )有五个零点，等价于函数y =kf (x )与函数y =h (x )的图象有五个公共点. 绘制函数图像如图所示，由图像知kf （3）<1且kf （5）>1，即：22log 41log 61k k <⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log 22k <<. 即k 的取值范围是612,2log ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C解析：C 【解析】 【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解. 【详解】根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C.【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.9．C解析：C 【解析】 【分析】由(1)(3)0f x f x ++-=结合()f x 为奇函数可得()f x 为周期为4的周期函数，则(2019)(1)f f =-，要使函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，结合图像可得(1)3f =，即可得到答案．【详解】Q ()f x 为定义在R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，又Q (1)(3)0(13)(33)0f x f x f x f x ++-=⇔+++--=，(4)()0(4)()()f x f x f x f x f x ++-=⇔+=--=∴， ∴()f x 在R 上为周期函数，周期为4， ∴(2019)(50541)(1)(1)f f f f =⨯-=-=-Q 函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，令6()m x x = ，则5()6m x x '=，所以(,0)x ∈-∞为函数6()m x x =减区间，(0,)x ∈+∞为函数6()m x x =增区间，令()(1)cos 43x f x ϕ=⋅-，则()x ϕ为余弦函数，由此可得函数()m x 与函数()x ϕ的大致图像如下：由图分析要使函数()m x 与函数()x ϕ只有唯一交点，则(0)(0)m ϕ=，解得(1)3f =∴(2019)(1)3f f =-=-，故答案选C ． 【点睛】本题主要考查奇函数、周期函数的性质以及函数的零点问题，解题的关键是周期函数的判定以及函数唯一零点的条件，属于中档题．10．D解析：D 【解析】∵对于任意的x ∈R ,都有f (x −2)=f (2+x ),∴函数f (x )是一个周期函数，且T =4.又∵当x ∈[−2,0]时,f (x )=1 2x⎛⎫ ⎪⎝⎭−1,且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若在区间(−2,6]内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有3个不同的实数解， 则函数y =f (x )与y =()log 2a x +在区间(−2,6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f (−2)=f (2)=3，则对于函数y =()log 2a x +，由题意可得，当x =2时的函数值小于3，当x =6时的函数值大于3，即4a log <3,且8a log >3,由此解得：34<a <2， 故答案为(34,2).点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解11．D解析：D 【解析】试题分析：由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，0111{log 31,53log 51a a a a <<>-⇒<<<-，故D 正确. 考点：函数零点【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．12．A解析：A 【解析】 由选项可知，项均不是偶函数，故排除，项是偶函数，但项与轴没有交点，即项的函数不存在零点，故选A. 考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.二、填空题13．-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m 再根据函数是减函数知故可求出m 【详解】因为函数是幂函数所以解得或当时在上是增函数；当时在上是减函数所以【点睛】本题主要考查了幂函数的概念幂函数的增减性属于 解析：-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m,再根据函数是减函数知0m <，故可求出m.【详解】因为函数是幂函数所以||21m -=，解得3m =-或3m =.当3m =时，3y x =在(0,)+∞上是增函数；当3m =-时，y x =在(0,)+∞上是减函数，所以3m =-.【点睛】本题主要考查了幂函数的概念，幂函数的增减性，属于中档题. 14．【解析】【分析】先求出函数的定义域找出内外函数根据同增异减即可求出【详解】由解得或所以函数的定义域为令则函数在上单调递减在上单调递增又为增函数则根据同增异减得函数单调递减区间为【点睛】复合函数法：复 解析：(,1)-∞-【解析】【分析】先求出函数的定义域，找出内外函数，根据同增异减即可求出.【详解】由2560x x -->，解得6x >或1x <-，所以函数22log (56)y x x =--的定义域为(,1)(6,)-∞-+∞U .令256u x x =--，则函数256u x x =--在(),1-∞-上单调递减，在()6,+∞上单调递增，又2log y u =为增函数，则根据同增异减得，函数22log (56)y x x =--单调递减区间为(,1)-∞-.【点睛】复合函数法：复合函数[]()y f g x =的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =若具有相同的单调性，则[]()y f g x =为增函数，若具有不同的单调性，则[]()y f g x =必为减函数．15．【解析】由题意结合对数指数的运算法则有： 解析：32- 【解析】由题意结合对数、指数的运算法则有：()2log 31532lg 3210022=-+-=-. 16．【解析】【分析】若对任意的均有均有只需满足分别求出即可得出结论【详解】当当设当当当时等号成立同理当时若对任意的均有均有只需当时若若所以成立须实数的取值范围是故答案为;【点睛】本题考查不等式恒成立问题 解析：3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需满足 max min ()()f x g x ≤，分别求出max min (),()f x g x ，即可得出结论.【详解】当()221121()24x f x x x k x k -<≤=-++=--++， 16()4k f x k ∴-<≤+， 当()1311,log 122x x f x >=-<-+， ()()2ln 21x g x a x x =+++， 设21x y x =+，当0,0x y ==， 当21110,,01122x x y y x x x>==≤∴<≤++，当1x =时，等号成立 同理当20x -<<时，102y -≤<， 211[,]122x y x ∴=∈-+， 若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需max min ()()f x g x ≤，当2x >-时，ln(2)x R +∈，若0,2,()a x g x >→-→-∞，若0,,()a x g x <→+∞→-∞所以0a =，min 21(),()12x g x g x x ==-+， max min ()()f x g x ≤成立须，113,424k k +≤-≤-， 实数k 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 故答案为;3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，注意基本不等式的应用，考查分析问题解决问题能力，属于中档题.17．【解析】【分析】分别求出的值域对分类讨论即可求解【详解】的值域为当函数值域为此时的值域相同；当时当时当所以当时函数的值域不同故的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查对数型函数的值域要注意二次函数的值 解析：(]0,1【解析】【分析】分别求出(),()f x g x 的值域，对a 分类讨论，即可求解.【详解】()()222,log log a R f x x a a +∈=+≥，()f x 的值域为2[log ,)a +∞，()()22log ([()])g x f f x f x a ==+⎡⎤⎣⎦， 当22201,log 0,[()]0,()log a a f x g x a <≤<≥≥，函数()g x 值域为2[log ,)a +∞，此时(),()f x g x 的值域相同；当1a >时，2222log 0,[()](log )a f x a >≥，222()log [(log )]g x a a ≥+，当12a <<时，2222log 1,log (log )a a a a <∴<+当22222,log 1,(log )log a a a a ≥≥>，222log (log )a a a <+，所以当1a >时，函数(),()f x g x 的值域不同，故a 的取值范围为(]0,1.故答案为:(]0,1.【点睛】本题考查对数型函数的值域，要注意二次函数的值域，考查分类讨论思想，属于中档题. 18．【解析】【分析】【详解】试题分析：由可知是求两个函数中较小的一个分别画出两个函数的图象保留较小的部分即由可得x2﹣8x+4≤0解可得当时此时f （x ）＝|x ﹣2|当或时此时f （x ）＝2∵f （4﹣2）＝ 解析：0232m <<- 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：由{},min ,{,a a b a b b a b ≤=>可知{}()min 2,2f x x x =-是求两个函数中较小的一个，分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，即由22x x ≥-可得x 2﹣8x +4≤0，解可得423423x -≤≤+当423423x -≤≤+时，22x x ≥-，此时f （x ）＝|x ﹣2|当423x +＞或0433x ≤-＜时，22x x -＜，此时f （x ）＝2x∵f （4﹣23）＝232-其图象如图所示，0232m -＜＜时，y ＝m 与y ＝f （x ）的图象有3个交点故答案为0232m -＜＜考点：本小题主要考查新定义下函数的图象和性质的应用，考查学生分析问题、解决问题的能力和数形结合思想的应用.点评：本小题通过分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，可以很容易的得到函数的图象，从而数形结合可以轻松解题.19．【解析】【分析】由幂函数为奇函数且在上递减得到是奇数且由此能求出的值【详解】因为幂函数为奇函数且在上递减是奇数且故答案为：【点睛】本题主要考查幂函数的性质等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程思想 解析：{}1-【解析】【分析】由幂函数()af x x =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，得到a 是奇数，且0a <，由此能求出a 的值．【详解】 因为11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，幂函数为奇()a f x x =函数，且在(0,)+∞上递减， a ∴是奇数，且0a <，1a ∴=-．故答案为：1-．【点睛】本题主要考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20．0【解析】【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可求解【详解】因为则所以【点睛】本题主要考查了分段函数求值属于中档题解析：0【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入求值即可求解.【详解】因为sin ()(1)x f x f x π⎧=⎨-⎩(0)(0)x x <> 则11111()sin()sin 6662f ππ-=-==, 11511()()()sin()66662f f f π==-=-=-, 所以1111()()066f f -+=. 【点睛】本题主要考查了分段函数求值，属于中档题.三、解答题21．（1）14m >；（2）当14m >或14m <-时，有1个零点；当14m =或0m =或14m =-时，有2个零点；当104m <<或104m -<<时，有 3个零点【解析】【分析】（1）利用不等式恒成立，进行转化求解即可，（2）利用函数与方程的关系进行转化，利用参数分离法结合数形结合进行讨论即可．【详解】解：（1）由()20f log x >得，2210m log x log x +-> 当(1,)x ∈+∞时，20logx >变形为()2220log x log x m -+>，即()222m log x log x >-+ 而()222221412log x log x log x ⎛⎫+ ⎪-⎭--⎝+= 当212log x =即2x =时，()()2ma 22x 14log x log x =-+ 所以14m > （2）由()0f x =可得00()x x x m x -+=≠，变为()0m x x x x =-+≠令()222211,024,0,011,024x x x x x g x x x x x x x x x ⎧⎛⎫--+>⎪ ⎪⎧-+>⎪⎝⎭=-==⎨⎨+<⎩⎛⎫⎪+-< ⎪⎪⎝⎭⎩ 作()y g x =的图像及直线y m =，由图像可得:当14m >或14m <-时，()f x 有1个零点. 当14m =或0m =或14m =-时，()f x 有2个零点: 当104m <<或104m -<<时，()f x 有 3个零点.【点睛】本题考查不等式恒成立以及函数的单调性的应用，考查函数的零点的判断，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．22．（1）1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩ 【解析】【分析】(1)令4log m x =,则可利用换元法将题转化为二次函数值域问题求解;(2)根据二次函数的性质,分类讨论即可.【详解】(1)令4log m x =,则[]2,4x ∈时,1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 则()()22131()222312248f x h m m m m m m ⎛⎫⎛⎫==--=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故当34m =时,()f x 有最小值为18-,当12m =或1时,()f x 有最大值为0, ∴该函数的值域为1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦; (2)由(1)可知()2231()231248f x h m m m m ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭, []2,x t ∈Q ,41,log 2m t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦, 当413log 24t <<,即2t <<,函数()h m 在41,log 2t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减, ()()()4min log g t h m h t ==2442log 3log 1t t =-+, 当43log 4t ≥,即t ≥时, 函数()h m 在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在43,log 4t ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增, ()()min 3148g t h m h ⎛⎫===- ⎪⎝⎭, 综上所述:()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩. 【点睛】本题考查对数函数综合应用,需结合二次函数相关性质答题,属于中档题.23．（1）()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在R 上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即0x >时要是增函数，且端点处函数值不小于0.【详解】解：（1）因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x <时，0x ->，则()()()232f x x a x a -=-+-+-()232x ax a f x =-+-=-， 所以()()2320x ax a f x x =-+-+<， 所以()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩. （2）若()f x 是R 上的单调函数，且()00f =，则实数a 满足02320a a ⎧-≤⎪⎨⎪-≥⎩， 解得302a ≤≤， 故实数a 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系．24．（1）①，2016342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（2）2022年【解析】【分析】 （1）由题意可得函数单调递增，且增长速度越来越快，则选模型①，再结合题设数据求解即可；（2）由题意有201634402x -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭，再两边同时取对数求解即可.【详解】 解：（1）依题意，函数单调递增，且增长速度越来越快，故模型①符合，设2016x y a b -=⋅，将2016x =，4y =和2017x =，6y =代入得201620162017201646a b a b --⎧=⋅⎨=⋅⎩；解得432a b =⎧⎪⎨=⎪⎩. 故函数模型解析式为：2016342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭. 经检验，2018x =和2019x =也符合. 综上：2016342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭； （2）令201634402x -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭，解得20163102x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，两边同时取对数得： 20163lg lg102x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，3(2016)lg 12x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭， 11(2016)3lg 3lg 2lg 2x -≥=-⎛⎫ ⎪⎝⎭， 120162021.7lg3lg 2x ∴≥+≈-. 综上：从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨.【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了阅读能力及对数据的处理能力，属中档题. 25．(1) 3k =；(2) 当1a >时，()2,log 3x ∈-∞；当01a <<时，()2log 3,x ∈+∞；(3)(],13-∞-【解析】【分析】（1）由函数过点()0,4，待定系数求参数值；（2）求出()g x 的解析式，解对数不等式，对底数进行分类讨论即可.（3）换元，将指数型不等式转化为二次不等式，再转化为最值求解即可.【详解】（1）因为()22x x f x k -=+⋅且(0)4f =，故：14k +=， 解得3k =.（2）因为()()log ()2x a g x f x =-，由（1），将()f x 代入得：()log (32?)x a g x -=n ，则log (32?)0x a ->n ，等价于：当1a >时，321x ->n ，解得()2,log 3x ∈-∞当01a <<时，321x -<n ，解得()2log 3,x ∈+∞.（3）()82xt f x ≥+在R 上恒成立，等价于： ()()228230x x t --+≥n 恒成立； 令2x m =，则()0,m ∈+∞，则上式等价于：2830m m t --+≥，在区间()0,+∞恒成立.即：283t m m ≤-+，在区间()0,+∞恒成立，又()2283413m m m -+=--，故： 2(83)m m -+的最小值为：-13，故：只需13t ≤-即可.综上所述，(],13t ∈-∞-.【点睛】本题考查待定系数求参数值、解复杂对数不等式、由恒成立问题求参数范围，属函数综合问题. 26．（Ⅰ）12,020518,203010t t P t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩；（Ⅱ）40Q t =-+；（Ⅲ）第15天交易额最大，最大值为125万元．【解析】【分析】（Ⅰ）由一次函数解析式可得P 与时间t 所满足的函数解析式；（Ⅱ）设Q kt b =+，代入已知数据可得；（Ⅲ）由y QP =可得，再根据分段函数性质分段求得最大值，然后比较即得．【详解】（Ⅰ）当020t <≤时，设11P k t b =+，则1112206b k b =⎧⎨+=⎩，解得11215b k =⎧⎪⎨=⎪⎩， 当2030t ≤≤时，设22P k t b =+，则2222206305k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得228110b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以12,020518,203010t t P t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩．（Ⅱ）设Q kt b =+，由题意4361030k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得140k b =-⎧⎨=⎩， 所以40Q t =-+．（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得1(2)(40),02051(8)(40),203010t t t y t t t ⎧+-+<≤⎪⎪=⎨⎪-+-+<≤⎪⎩ 即221680,020*******,203010t t t y t t t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩， 当020t <≤时，2211680(15)12555y t t t =-++=--+，15t =时，max 125y =，当20t 30<≤时，221112320(60)401010y t t t =-+=--，它在(20,30]上是减函数， 所以21(2060)4012010y <⨯--=． 综上，第15天交易额最大，最大值为125万元．【点睛】本题考查函数模型应用，解题时只要根据所给函数模型求出函数解析式，然后由解析式求得最大值．只是要注意分段函数必须分段计算最大值，然后比较可得．。
贵州省凯里市第一中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题及答案
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贵州省凯里高一上学期期末检测模拟数学试题-12-30
高一上学期期末检测（八）（必修1、必修4）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()U AB =ð( )A ．{}2B ．{}0C ．{}2,3,4D ．{}1,2,3,42．函数()12sin()24f x x π=+的最小正周期是( ) A ．4πB ．2πC ．πD ．4π3．下列函数在区间()0,π上为减函数的是( )A ．()23y x =-B ．sin y x =C ．cos y x =D ．tan y x =4．()sin 240-的值等于 ( )A ．12-B ．-C ．12D 5．在平行四边形ABCD 中，若||||AB AD AB AD +=-，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形6． 已知函数()1xy aa =>在区间[]1,2上的最大值与最小值之差为2，则实数a 的值为( )AB ．2C ．3D ． 47．已知向量()()1,2,2,a b m ==-，若//a b ，则23a b +=( )A ．()2,4--B ．()3,6--C ．()4,8--D ．()5,10--8．已知0.852,2log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<9．将函数sin y x =的图象上所有的点向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象的函数解析式是( ) A ．sin(2)3y x π=+B ．1sin()212y x π=+C ．1sin()26y x π=+D ．sin(2)6y x π=+ 10．函数122013()2014xy x =-的零点的个数为( )A ．2B ．0C ．1D ．311．函数sin()2y x x π=⋅+的部分图象是()12．若函数()()()()2,12log 1aa a x x f x x x ⎧--<⎪=⎨⎪≥⎩在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．()1,2B ．4(1,]3C ．4[,2)3D ．()0,1第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．计算：138lg 5lg 2()27-+-= ．14．已知3cos ,5θθ=-为第二象限角，则sin()4πθ+的值等于 ．15．在边长为4的等边ABC ∆中，若向量,a AB b BC ==，则a b ⋅的值等于 ． 16．已知偶函数()f x 满足()()4f x f x +=，且当[]3,0x ∈-时，()()33log 1f x x =-， 则()10f = ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知集合{}(){}2|2232,|log 3xA xB x y x =≤≤==-．（Ⅰ）求A B ；（Ⅱ）若{}|1C x x a =≥+，且()A B C ⊆，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知幂函数()f x 的图象经过点1(2,)4． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性，并用单调性的定义证明．19．（本小题满分12分）已知向量(3,2)a =-，(1,0)b =-，设a 与b 的夹角为θ． （Ⅰ）求cos θ；（Ⅱ）若()(2)a b a b λ+⊥-，求λ的值．20．（本小题满分12分）已知tan()24πα+=．（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求22sin sin 21tan ααα++的值．21．（本小题满分12分）某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （单位：微克）与时间t （单位：小时）之间近似满足如图所示的曲线． （Ⅰ）写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式()y f t =；（Ⅱ）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于1微克时，治疗有效．问：服药多少小时开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0．1）（参考数据：lg 20.301=）．22．（本小题满分12分）已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =⋅+-． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若关于x 的方程()f x m =在区间[,]122ππ上有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围．高一上学期期末检测（八）参考答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题1． ( B ) 2． ( A ) 3． ( C ) 4． ( D ) 5． ( A ) 6． ( B ) 7． ( C ) 8．( B ) 9． ( D ) 10． ( C ) 11． ( B ) 12． ( C )第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题13． 12-．14．10． 15． 8- ． 16． 2 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由2232x≤≤得15222x ≤≤，即有15x ≤≤所以{}|15,A x x =≤≤ ········································································ 3' 令30x ->得3x <，所以{}|3B x x =< ················································· 6' 所以AB ={}|13x x ≤<. ····································································· 8'（Ⅱ）因为()A B C ⊆，所以11a +≤，于是0a ≤………………….10'18． 解：（Ⅰ）()f x 是幂函数，设()f x x α=（α是常数）由题()212224f α-===，所以2α=- ························································ 3'所以()2f x x -=，即()()210f x x x =≠ ························································ 5' （Ⅱ）()f x 在区间(0,)+∞上是减函数.证明如下： ·········································· 7'设12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则 ································································· 8'()()222121211222222212121211()()x x x x x x f x f x x x x x x x +⋅---=-==⋅⋅ ···························· 10' 120(0,)x x <<∈+∞210x x ∴->，2221120,0x x x x +>⋅>12()()0f x f x ∴-> 即12()()f x f x > ··················································· 11' ()f x ∴在区间(0,)+∞上是减函数. 12'19． 解：（Ⅰ）(3,2)a =-，(1,0)b =-所以2(3)a =-=2101b =+=3(1)203a b ⋅=-⨯-+⨯= ········································································ 3'因此cos 1313a b a bθ⋅===⋅ ································································· 5'（Ⅱ）(3,2)(1,0)(31,2)a b λλλλ+=-+-=-- ······················································ 7' 2(3,2)2(1,0)(1,2)a b -=---=- ························································ 9' 由()(2)a b a b λ+⊥-得 (31)(1)220λλ--⨯-+⨯= 11'解得：17λ=- ……………12'20．解：（Ⅰ）因为tantan 4tan()41tantan 4παπαπα++=-⋅ ··························································· 2'1tan 211tan αα+==-⋅·························································· 3'于是1tan 3α= ···················································································· 5'(另解：tan()tan144tan tan ()431tan()tan 44ππαπαααππα+-⎡⎤=+-==⎢⎥⎣⎦++⋅)（Ⅱ） 222sin sin 22sin 2sin cos 1tan 1tan ααααααα++=++ ··········································· 7'()()2222sin 2sin cos 1tan sin cos αααααα+=++ ································································· 9' ()()222tan 2tan 1tan tan 1αααα+=++ ······································································ 11' 22112()2333115(1)(()1)33⨯+⨯==++ ·········································································· 12' (另解：22sin sin 21tan ααα++22sin 2sin cos sin 1cos ααααα+=+22sin 2sin cos 2sin cos cos sin cos αααααααα+==+ 222sin cos sin cos αααα=+22tan 3tan 15αα==+) （请根据答题步骤酌情给分） 21．解：（Ⅰ）根据图象知：当01t ≤<时，4y t =； ······················································ 2' 当1t ≥时，0.8ty a =⋅，由1t =时，4y =得40.8a =⋅所以5a =，即50.8t y =⋅………………..5'因此()4,0150.8,1tt t y f t t <<⎧==⎨⋅≥⎩…………………6' （Ⅱ）根据题意知： 当41y t =≥时，10.254t ≥=；………………….7' 当50.81ty =⋅≥时，0.80.2t≥所以lg 0.2lg 21lg 217.21lg 0.8lg813lg 21t --≤==≈--………………10' 所以0.257.21t ≤≤，7.210.25 6.967.0-=≈因此服药0.25小时（即15分钟）开始有治疗效果，治疗效果能持续7.0小时. 12'22．解：（Ⅰ）()2cos 2cos 1f x x x x =+-2cos 2x x =+ ··································································· 2'2sin(2)6x π=+··········································································· 3'由222262k x k πππππ-+≤+≤+解得 ···················································· 4' 36k x k ππππ-+≤≤+································································· 5' 所以()f x 的递增区间是：,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦··································· 6' （Ⅱ）因为122x ππ≤≤，所以72366x πππ≤+≤令26t x π=+ “关于x 的方程()f x m =在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的实数根”等价于“函数sin y t =，7,36t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和2my =的图象有两个不同的交点”. ·········································································· 8' 在同一直角坐标系中作出函数sin y t =，7,36t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和y m =的图象如下：···································· 10'由图象可知：要使“函数sin y t =，7,36t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和2m y =的图象有两个不同的交点”，必有122m≤<2m ≤< 因此m 的取值范围是2). ····································································· 12'。
贵州省凯里市一中2022-2023学年高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析
17、（1）当 时， （2） ，
【解析】（1）根据函数的奇偶性 ，求解解析式即可；
（2）根据题意，结合函数单调性，将问题转化为 是方程 的两个根的问题，进而解方程即可得答案.
【详解】（1）当 时， ，于是 .
因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，即 .
（2）假设存在正实数 ，当 时， 且 的值域为 ，
20、（1）1.7（2）4
【解析】（2）根据表中数据，由 求解；
（2）根据2016年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的 ，由 求解.
【小问1详解】
解：由表中数据得： ；
【小问2详解】
因为2016年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的 ，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以该环是这个城市的4环.
21、（1）
【详解】当 时， ，
所以函数 的图像恒过定点
记 ，则有 ，解得
所以 .
故选：A
5、D
【解析】作出函数 的图象，结合图象即可求出 的取值范围.
【详解】作函数 和 的图象，如图所示，可知 的取值范围是 ，
故选D．
6、C
【解析】应用集合的补运算求 即可.
【详解】∵ ， ，
∴ .
故选：C
7、A
【解析】利用半径之和与圆心距的关系可得正确的选项.
故四边形 为平行四边形，
所以 ，又 ，
∴ ，同理 ，且 ，
所以过 ， ， 三点 平面截正四棱柱 所得的截面为菱形 ，
所以该菱形 的面积为 .
故选：D
2、D
【解析】由集合的概念可知方程 只有一个解，且解为 ，分为二次项系数为0和不为0两种情形，即可得结果.
学高一上学期期末考试数学试题Word版含解析
2021～ 2021 年度高一上学期期末考试数学试卷第一卷一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 集合，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】 D【解析】,所以，应选 D.2. 角的终边过点，假设，那么〔〕A. -10B. 10C.D.【答案】 A【解析】因为角的终边过点，所以，得，应选 A.3. 将红、黑、蓝、白 5 张纸牌〔其中白纸牌有 2 张〕随机分发给甲、乙、丙、丁 4 个人，每人至少分得 1 张，那么以下两个事件为互斥事件的是〔〕A. 事件“甲分得 1 张白牌〞与事件“乙分得 1 张红牌〞B. 事件“甲分得 1 张红牌〞与事件“乙分得 1 张蓝牌〞C. 事件“甲分得 1 张白牌〞与事件“乙分得 2 张白牌〞D. 事件“甲分得 2 张白牌〞与事件“乙分得 1 张黑牌〞【答案】 C【解析】对于，事件“甲分得 1 张白牌〞与事件“乙分得 1 张红牌〞可以同时发生，不是互斥事件；对于事件“甲分得 1 张红牌〞与事件“乙分得 1 张蓝牌〞可能同时发生，不是互斥事件；对于，事件“甲分得 2 张白牌〞与事件“乙分得 1 张黑牌〞能同时发生，不是互斥事件；但中的两个事件不可能发生，是互斥事件，应选 C.4. ，，现要将，两个数交换，使，，下面语句正确的选项是〔〕A.，B.，，C.，D.，，【答案】 D【解析】通过赋值语句，可得，应选D................5.甲、乙两人在相同的条件下各打靶6 次，每次打靶的情况如下面的折线图所示〔虚线为甲的折线图〕，那么以下说法错误的选项是〔〕A. 甲、乙两人打靶的平均环数相等B.甲的环数的中位数比乙的大C. 甲的环数的众数比乙的大D.甲打靶的成绩比乙的更稳定【答案】 C【解析】甲：8,6,8,6,9,8，平均数为7.5 ，中位数为8，众数为8；乙： 4,6,8,7,10,10，平均数为7.5 ，中位数7.5 ，众数为10；所以可知错误的选项是C。
2021-2022学年黔东南州凯里一中高一上学期期末数学复习卷 (2)(含解析)
2021-2022学年黔东南州凯里一中高一上学期期末数学复习卷 (2)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知函数f(x)={2x+1x 2,x <−12ln(x +1),x ≥−12，g(x)=x 2−4x −4，设b 为实数，若存在实数a 使f(a)+g(b)=0，则b 的取值范围( )A. [−1,5]B. (−1,5)C. (−∞,−1)∪(5,+∞)D. (−∞,−1]∪[5,+∞)2.设tan(π+α)=2，则sin(α−π)+cos(π−α)sin(π+α)−cos(π+α)=( )A. 3B. 13C. 1D. −13.设集合，，则等于( )A.B.C.D.4.已知α∈(π4,π2)，a =log 3sinα，b =2sinα，c =2cosα( )A. c >a >bB. b >a >cC. a >c >bD. b >c >a5.已知函数f(x)=e x −ax 有两个零点x 1，x 2，x 1<x 2，则下面说法正确的是( )A. x 1+x 2<2B. a <eC. x 1x 2>1D. 有极小值点x 0，且x 1+x 2<2x 06.已知AB ⇀=(1,k )，AC ⇀=(4,2)，|AB ⇀|≤5，k ∈Z 则△ABC 是钝角三角形的概率为( )A. 19B. 49C. 59D. 237.若α，β为锐角，tan(α+β)=3，tanβ=12，则α的值为( )A. π3B. π4C. π6D. π128.已知函数与函数的图象关于轴对称，若存在，使时，成立，则的最大值为( )A.B. C. D.9.已知tan140°=k ，则cos50°的值为( )A. √1+k 2√1+k 2C. √1+k 2√1+k 210. 设若f(x)={lgx,x >0x +∫3a 0t 2dt,x ≤0，f(f(1))=8，则a 的值是( )A. −1B. 2C. 1D. −211. 已知函数f(x)=sin(ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π，则f(π8)=( )A. 1B. 12C. −1D. −1212. 函数f(x)=√16−x 2|x+8|−8( )A. 是奇函数不是偶函数B. 是偶函数，不是奇函数C. 既是奇函数，又是偶函数D. 既不是奇函数，又不是偶函数二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数y =cos 2(x +π4)+sin 2(x −π4)的单调递增区间是______ ．14. 已知f(x)=√12−x 4+x2x3+4，(x ∈[−1,0)∪(0,1])的最大值为A ，最小值为B ，则A +B = ______ ． 15. 已知函数f(x)={e x −2(1−2a)x +2a x ≤0,x >0对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x2>0成立，则实数a 的取值范围是．______ ．16. 已知平面单位向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 满足e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =12，且a ⃗ =x e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，x ∈R ，b ⃗ =2λe 1⃗⃗⃗ +(1−λ)e 2⃗⃗⃗ ，若使|b ⃗ −a ⃗ |=1成立的正数λ有且只有一个，则x 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={y|y =(12)x ,x ≥0}，B ={x|y =lg(ax −x 2)}． (1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； (2)若A ∩B =⌀，求实数a 的取值范围．18. 已知tanβ=−13，tanα=2，α，β∈(0,π)，求： (1)求：α+β；(2)求：tan(β−2α)的值．19. 已知函数f(x)=12sin2x −√3cos 2x (1)求f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)若将f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，当x∈[π2,π]时，求函数g(x)的值域．20.已知幂函数f(x)=(m2−m−1)·x−2m−1在(0,+∞)上单调递增，又函数g(x)=2x+m2x．(1)求实数m的值，并说明函数g(x)的单调性；(2)若不等式g(1−3t)+g(1+t)≥0恒成立，求实数t的取值范围．21. 已知函数f(x)=2√3sinxcosx+2cos2x−1．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求f(x)的对称中心的坐标；(Ⅲ)求函数f(x)在的区间[−π6,π4]上的最大值和最小值．22. 已知a∈R，讨论函数f(x)=x+ax(x>0)的单调性(写出过程)．参考答案及解析1.答案：A解析：解：当x <−12，f(x)=2x +(1x )2=(1x +1)2−1， ∵x <−12，−2<1x <0，则−1≤f(x)<0，当x ≥−12时，x +1≥12，则ln(x +32)∈[−ln2,+∞)， 综上f(x)≥−1，若存在a ∈R 使得f(a)+g(b)=0， 则g(b)=b 2−4b −4≤1， 即b 2−4b −5≤0， 解得b ∈[−1,5]， 故选：A利用二次函数的性质和对数函数的单调性，求出函数f(x)值域，进而根据存在a ∈R 使得f(a)+g(b)=0，得到g(b)=b 2−4b −4≤1，解不等式可得实数b 的取值范围．本题考查的知识点是分段函数，函数的值域，基本不等式，对数函数的性质，存在性问题，二次不等式，是函数和不等式较为综合的应用，难度中档．2.答案：A解析：本题考查诱导公式及同角三角函数的基本关系，属于中档题．由已知得tan(π+α)=tanα=2，然后利用诱导公式及同角关系式，把要求代数式转化为tanα的代数式即可求解．解：由tan(π+α)=2，得tanα=2， 则sin(α−π)+cos(π−α)sin(π+α)−cos(π+α)=−sinα−cosα−sinα−(−cosα) =sinα+cosαsinα−cosα=tanα+1tanα−1=3． 故选A ．3.答案：C解析：试题分析：，，．考点：1.分式不等式的解法；2.函数的定义域；3.集合的交集运算．4.答案：D解析：解：∵α∈(π4,π2)，∴0<cosα<√22<sinα<1，∴b=2sinα>2cosα=c>0>log3sinα=a．∴b>c>a．故选：D．由α∈(π4,π2)，可得√22<0<cosα<√22<sinα<1，再利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．5.答案：D解析：本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性，属于中档题目．对于A：根据对数的运算性质判断即可，对于B：利用导数判断函数的单调性，以及结合零点定理即可求出a>e；对于C：f(0)=1>0，0<x1<1，x1x2>1不一定，对于D：f(x)在(−∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增即可得出结论．解：∵x1+x2=ln(a2x1x2)=2lna+ln(x1x2)>2+ln(x1x2)，取a=e22，f(2)=e2−2a=0，∴x2=2，f(0)=1>0，∴0<x1<1，∴x1+x2>2，A不正确；∵f(x)=e x−ax，∴f′(x)=e x−a，令f′(x)=e x−a>0，①当a≤0时，f′(x)=e x−a>0在x∈R上恒成立，∴f(x)在R上单调递增，f(x)只有一个零点，不符合题意．②当a>0时，∵f′(x)=e x−a>0，∴e x−a>0，解得x>lna，∴f(x)在(−∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增．∵函数f(x)=e x −ax 有两个零点x 1<x 2， ∴f(lna)<0，a >0， ∴e lna −alna <0， ∴a >e ，B 不正确； f(0)=1>0，∴0<x 1<1，x 1x 2>1不一定，C 不正确； f(x)在(−∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增， ∴有极小值点x 0=lna ，且x 1+x 2<2x 0=2lna ，D 正确． 故选：D ．6.答案：C解析：本题主要考查古典概型的概率，平面向量的数量积，平面向量的坐标运算． 解：因为|AB →|=√1+k 2≤5， 解得：−2√6≤k ≤2√6， 又因为k ∈z ，所以k =0，±1，±2，±3，，±4，共9种情况． 因为BC →=AC →−AB →=(3,2−k )， 若AB →·AC →<0，解得k <−2， 所以k =−3，−4；若BA →·BC →<0，解得−1<k <3， 所以k =0，1，2；若CA →·CB →<0，解得k >8(舍)．所以满足△ABC 是钝角三角形的k =0，1，2，−3，−4，共5种情况． 所以P =59． 故选C ．7.答案：B解析：解：因为tan(α+β)=3，tanβ=12，所以tanα=tan[(α+β)−β]=tan(α+β)−tanβ1+tan(α+β)tanβ =3−121+3×12=1，又α为锐角，则α=π4， 故选B ．由α=(α+β)−β和两角差的正切函数求出tanα的值，由α的范围和特殊角的正切函数值求出α． 本题考查两角差的正切函数，以及特殊角的正切函数值的应用，注意角的之间的关系，考查化简、变形能力．8.答案：C解析：:由于函数与函数的图象关于轴对称，因此，由得，把代入得，当时，，解之得，因此的最大值为．考点：函数图象的对称性．9.答案：A解析：解：tan140°=sin140°cos140∘=cos50°−sin50∘=−1tan50∘=k ⇒tan50°=−1k>0，即sin50°cos50∘=√1−cos250°cos50°=−1k，∴cos50°=√k 2+1，故选：A ．由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得cos50°的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．10.答案：B解析：解：f(x)={lgx,x >0x +∫3a 0t 2dt,x ≤0，f(f(1))=8，f(1)=lg1=0，f(f(1))=f(0)=0+∫3a0t 2dt =t 3|0a =a 3=8，解得a =2． 故选：B ．直接利用分段函数，以及方程求解即可．本题考查分段函数的应用，函数的零点以及定积分的运算，考查计算能力．11.答案：A解析：本题主要考查三角函数值的求解，根据函数的周期求出ω是解决本题的关键，根据三角函数的周期公式求出ω即可．解：∵函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为π，∴周期T=2πω=π，解得ω=2，即f(x)=sin(2x+π4)，则f(π8)=sin(2×π8+π4)=sin(π4+π4)=sinπ2=1，故选A．12.答案：A解析：首先求出函数f(x)的定义域为{x|−4≤x≤4,且x≠0}，进而可得将函数化简为f(x)=√16−x2x，进而分析可得f(−x)=−f(x)，即可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，注意要求奇偶性之前要先分析函数的定义域．解：对于函数f(x)=√16−x2|x+8|−8，有16−x2≥0且|x+8|−8≠0，解可得−4≤x≤4，且x≠0，则|x+8|−8=x，此时f(x)=√16−x2x ，有f(−x)=−√16−x2x=−f(x)，则f(x)是奇函数不是偶函数，故选A．13.答案：[kπ+π4,kπ+3π4],k∈Z解析：解：y=cos2(x+π4)+sin2(x−π4)=sin2(x−π4)+sin2(x−π4)=2sin2(x−π4)−1+1=1−cos(2x−π2)=1−sin2x．由2kπ+π2≤2x≤2kπ+3π2，k∈Z，可得x∈[kπ+π4,kπ+3π4],k∈Z．函数的单调增区间为：[kπ+π4,kπ+3π4],k∈Z．故答案为：[kπ+π4,kπ+3π4],k∈Z．利用诱导公式以及二倍角的余弦函数，化简函数的解析式，然后求解函数的单调增区间．本题考查二倍角公式的应用，三角函数的单调性的应用，考查计算能力．14.答案：8解析：解：设g(x)=√12−x4+x2x3，由于x∈[−1,0)∪(0,1]，则定义域关于原点对称．g(−x)=−g(x)，g(x)为奇函数，设g(x)的最大值为M，最小值为N，即有M+N=0，则f(x)的最大值为A=M+4，最小值为B=N+4，即有A+B=(M+N)+8=0+8=8．故答案为：8．设g(x)=√12−x4+x2x3，判断g(x)为奇函数，最值之和为0，即可得到f(x)的最值之和．本题考查函数的最值的求法，注意运用函数的奇偶性的性质，考查运算能力，属于中档题．15.答案：[−12,1 2 )解析：解：由题意知函数f(x)在R上单调递增；∴f(x)的两段函数在各自区间上单调递增；∴1−2a>0，即a<12；又e0−2≤(1−2a)⋅0+2a；∴−1≤2a；∴a≥−12；∴实数a的取值范围是[−12,1 2 ).故答案为：[−12,1 2 ).根据已知条件便知函数f(x)在R上为增函数，从而x≤0，和x>0时，f(x)都应为增函数，从而得到a<12，并且有e0−2a≤(1−2a)⋅0+2a，从而1−2a≤2a，解该不等式与前面a的范围求交集即可得出实数a的取值范围．考查增函数的定义，分段函数的单调性的判断方法，以及指数函数、一次函数的单调性，要掌握分段函数为单调函数时应满足的条件．16.答案：{2}解析：本题考查的知识要点：向量的数量积与向量的模，平面向量基本定理，考查了一元二次方程的根的应用，考查运算能力和转化能力，属于中档题．首先利用向量的减法和向量的数量积运算将|b⃗ −a⃗|=1整理成关于λ的一元二次方程，进一步利用根的判别式即可求出x的范围．解：a⃗=x e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ，x∈R，b⃗ =2λe1⃗⃗⃗ +(1−λ)e2⃗⃗⃗ ，则|b⃗ −a⃗|=|(2λ−x)e1⃗⃗⃗ +(1−λ−1)e2⃗⃗⃗ |=1，所以|(2λ−x)e1⃗⃗⃗ −λe2⃗⃗⃗ |2=1，所以(2λ−x)2−(2λ−x)λ+λ2=1，故3λ2−3λx+x2−1=0．由于使|b⃗ −a⃗|=1成立的正数λ有且只有一个，故关于以λ为未知数的一元二次方程有且只有一个正实数根，故△=9x2−12(x2−1)=0，解得x=±2．当x=−2时，λ<0故舍去，则x=2．故x的范围是唯一一个实数{2}．故答案为：{2}．17.答案：解：(1)A={y|y=(12)x,x≥0}=(0,1],B={x|y=lg(ax−x2)}={x|x(x−a)<0}．①a=0⇒B=⌀，②a<0⇒B=(a,0)，③a>0⇒B=(0,a)．∵A⊆B，∴a∈(1,+∞)．(2)∵A∩B=⌀，∴a∈(−∞,0]．解析：(1)分别求出集合A=(0,1]，B={x|y=lg(ax−x2)}={x|x(x−a)<0}.由此利用A⊆B，能求出a的取值范围．(2)由A∩B=⌀，能求出a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查交集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：(1)∵tanβ=−13，tanα=2，又∵α，β∈(0,π)，∴β∈(π2,π)，α∈(0,π2)，∴α+β∈(π2,3π2)由两角和的正切公式可得tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2−131+23=1，∴α+β=5π4;(2)∵tanα=2，∴tan2α=2tanα1−tan2α=−43，∴tan(β−2α)=tanβ−tan2α1+tanβtan2α=913．解析：(1)由已知数据可缩小角的范围，并可得tan(α+β)的值，可得结论；(2)由二倍角公式可得tan2α，再由两角差的正切公式可得tan(β−2α)本题考查两角和与差的正切函数公式以及二倍角的正切公式，注意缩小角的范围是解决问题的关键，属中档题．19.答案：解：(1)∵f(x)=12sin2x−√3cos2x=12sin2x−√32(1+cos2x)=12sin2x−√32cos2x−√32=sin(2x−π3)−√32，因此f(x)的最小正周期为2π2=π．令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2,k∈Z，解得kπ−π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z，所以，f(x)的单调增区间为[kπ−π12,kπ+5π12],k∈Z．(2)将f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)=sin(x−π3)−√32的图象，当x∈[π2,π]时，x−π3∈[π6,2π3]，sin(x−π3)∈[12,1]，即函数g(x)的值域为[1−√32,1−√32].解析：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论；(2)根据y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．20.答案：解：(1)因为f(x)是幂函数，所以m2−m−1=1，解得m=−1或m=2，又因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以−2m−1>0，即m<−12，即m=−1，则g(x)=2x−12x，因为y=2x与y=−12x均在R上单调递增，所以函数g(x)在R上单调递增．(2)因为g(−x)=2−x−12−x =−(2x−12x)=−g(x)，所以g(x)是奇函数，所以不等式g(1−3t)+g(1+t)≥0可变为g(1−3t)≥−g(1+t)=g(−1−t)，由(1)知g(x)在R上单调递增，所以1−3t≥−1−t，解得t≤1.故实数t的取值范围是(−∞,1]．解析：本题考查实数值的求法，考查函数的单调性的判断，考查实数的取值范围的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)由f(x)是幂函数，得到m2−m−1=1，再由f(x)在(0,+∞)上单调递增，得到−2m−1>0，从而求出m=−1，进而g(x)=2x−12x，由此能求出函数g(x)在R上单调递增．(2)由g(−x)=2−x−12−x =−(2x−12x)=−g(x)，得到g(x)是奇函数，从而不等式g(1−3t)+g(1+t)≥0可变为g(1−3t)≥−g(1+t)=g(−1−t)，由此能求出实数t的取值范围．21.答案：解：(Ⅰ)f(x)=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，则f(x)的最小正周期T=2π2=π，(Ⅱ)由2x+π6=kπ，k∈Z，得x=12kπ−π12，k∈Z，即f(x)的对称中心的坐标为(12kπ−π12,0)，k∈Z．(Ⅲ)当−π6≤x≤π4时，−π6≤2x+π6≤2π3，则当2x+π6=π2时，函数取得最大值，最大值为2sinπ2=2，当2x+π6=−π6时，函数取得最小值，最小值为2sin(−π6)=2×(−12)=−1．解析：(Ⅰ)利用辅助角公式进行化简，结合周期公式进行计算即可(Ⅱ)根据三角函数的对称性进行求解(Ⅲ)求出角的范围，结合三角函数的有界性以及最值性质进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行转化，结合三角函数的周期性，对称性以及最值的性质是解决本题的关键．难度不大．22.答案：解：f(x)=x+ax(x>0)，设x1>x2>0，则f(x1)−f(x2)=(x1+a x1)−(x2+ax2)=(x1−x2)(1−ax1x2)，当a>0时，若0<x2<x1≤√a，则恒有a x1x2>1，此时f(x1)−f(x2)<0，f(x)在(0,√a]上是减函数；若x1>x2≥√a，则恒有0<a x1x2<1，此时f(x1)−f(x2)>0，f(x)在[√a,+∞)上是增函数；当a≤0时，x1−x2>0，1−a x1x2>0，此时f(x1)−f(x2)>0，f(x)在(0,+∞)上是单调增函数；综上，a>0时，f(x)在(0,√a]上是减函数，在[√a,+∞)上是增函数；a≤0时，f(x)在(0,+∞)上是单调增函数．解析：利用单调性的定义，进行作差，对a的值进行讨论，即可判断函数f(x)的单调性．本题考查了函数的单调性的判断与证明问题，作差法是证明和判断单调性的最常用方法，是基础题目．。
2020-2021学年贵州省贵阳市高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{1}D．{0，1}2．圆心角弧度数和半径均为2的扇形的弧长为（）A．1B．2C．4D．83．已知向量，，且，是共线向量，则实数λ的值为（）A．﹣4B．C．D．04．化简sin x+cos x＝（）A．B．C．D．5．设函数f（x）＝，则f（10）＝（）A．0B．26﹣62C．1D．210﹣1026．设α为锐角，且，则tanα＝（）A．B．C．D．17．下列函数中，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上单调递减的是（）A．y＝e x B．y＝cos x C．y＝sin x D．y＝x28．函数f（x）＝的定义域是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．[2，+∞）D．（1，2）9．设a＝1.30.9，b＝log0.70.8，c＝log1.30.9，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a10．设函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+2cos x sin x，下列说法中，错误的是（）A．f（x）的最小值为B．f（x）在区间上单调递增C．函数y＝f（x）的图象可由函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）而得到D．将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，所得函数的图象关于y轴对称二、填空题（共5小题）11．若点在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（4）＝．12．计算2lg+lg50＝．13．设非零向量，满足，，则与的夹角为．14．sin+sin+sinπ+sin+sin+sin2π＝．sin+sin+sinπ+……+sin＝．15．以下条件，①a＞b＞1：②b＞a＞1；③1＞a＞b＞0；④1＞b＞a＞0；⑤a＞1，1＞b＞0：⑥b＞1，1＞a＞0．能够使得：log a2＜log b2（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1）成立的有．三、解答题（共4小题）.16．在平面直角坐标系中，已知角α，β的顶点都在坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，角α的终边上有一点A，坐标为（1，﹣1）．（1）求sin2α的值；（2）若角β满足下列三个条件之一．①锐角β满足tanβ＝2：②锐角β的终边在直线y＝2x上；③角β的终边与的终边相同．请从上述三个条件中任选一个，你的选择是_____．求cos（α﹣β）的值．17．设函数y＝f（x）为定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝2x．（1）求函数y＝f（x）（x＜0）的解析式，并作出函数y＝f（x）的大致图象；（2）判断函数g（x）＝f（x）﹣x2的零点个数（可结合图象判断）．18．三角形ABC中，D为BC上一点，BD＝2DC，设＝，，可以用，来表示出，方法如下：方法一：，∵，∴．方法二：，∵，∴．方法三：如图所示，过点D作AC的平行线，交AB于点E，过点D作AB的平行线，交AC于点F，则四边形AEDF为平行四边形．∵DF∥AB且BD＝2DC，∴，FD＝AE＝AB．∵ED∥AC，BD＝2DC．∴，得ED＝AF＝AC．∴．请参照上述方法之一（用其他方法也可），解决下列问题：（1）三角形ABC中，D为BC的中点，设，，试用，表示出；（2）设D为直线BC上任意一点（除B、C两点），．点A为直线BC外任意一点，AB＝，，证明：存在唯一实数对λ，μ，使得：，且λ+μ＝1．19．某市为了方便市民出行，缓解交通压力，引进甲、乙两家电动自行车营运商，在市政规定路段投放大量电动自行车供市民出行选择使用，两家收费标准分别如下：甲：每骑行一次，需交基本使用费2元，骑行时间不超过40分钟的，每分钟收费0.05元，超出40分钟的，超出部分按每分钟0.055元收费．（如：某人骑行1小时，则其应付费用为2+40×0.05+（60﹣40）×0.055＝5.1元）乙：不收取基本费，按实际骑行时间收费，每分钟收费0.08元．（1）写出选择骑行营运商甲的电动自行车的收费y与骑行时间t（单位：分钟）的函数解析式；（2）若某市民骑行营运商甲的电动自行车一次，花费7.3元，求该市民骑行的时间；（3）该市民的骑行时间t满足何条件时，选择甲营运商比乙营运商更划算．四、阅读与探究（本大题1个小题，共8分．解答应写出文字说明，条理清晰．）20．定义函数f（x）＝cos（sin x）为“正余弦”函数．结合学过的相关知识，我们可以得到该函数的性质：1．我们知道，正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的定义域均为R，故函数f（x）＝cos （sin x）的定义域为R．2．我们知道，正弦函数y＝sin x为奇函数，余弦函数y＝cos x为偶函数，对f（x）＝cos （sin x），f（﹣x）＝cos[sin（﹣x）]＝cos（﹣sin x）＝cos（sin x）＝f（x），可得：函数f（x）＝cos（sin x）为偶函数．3．我们知道，正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的最小正周期均为2π，对f（x）＝cos（sin x），f（x+2π）＝cos[sin（x+2π）]＝cos（sin x）＝f（x），可知2π为该函数的周期，是否是最小正周期呢？我们继续探究：f（x+π）＝cos[sin（x+π）]＝cos（﹣sin x）＝cos（sin x）＝f（x）．可得：π也为函数f（x）＝cos（sin x）的周期．但是否为该函数的最小正周期呢？我们来研究f（x）＝cos（sin x）在区间[0，π]上的单调性，在区间[0，π]上，余弦函数y＝cos x 单调递减，正弦函数y＝sin x在上单调递增，在上单调递减，故我们需要分这两个区间来讨论．当时，设，因正弦函数y＝sin x在上单调递增，故sin x1＜sin x2，令t1＝sin x1，t2＝sin x2，可得0≤t1＜t2≤1＜π，而在区间[0，π]上，余弦函数y＝cos x单调递减，故：cos t1＞cos t2即：cos（sin x1）＞cos（sin x2）从而，时，函数f（x）＝cos（sin x）单调递减．同理可证，时，函数f（x）＝cos（sin x）单调递增．可得，函数f（x）＝cos（sin x）在上单调递减，在上单调递增．结合f（x+π）＝f（x）．可以确定：f（x）＝cos（sin x）的最小正周期为π．这样，我们可以求出该函数的值域了：显然：，而f（0）＝1＝f（π）故f（x）＝cos（sin x）的值域为[cos1，1]定义函数f（x）＝sin（cos x）为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：（1）求该函数的定义域；（2）判断该函数的奇偶性；（3）探究该函数的单调性及最小正周期，并求其值域．参考答案一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{1}D．{0，1}解：A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2，3，4}，∴A∩B＝{1}．故选：C．2．圆心角弧度数和半径均为2的扇形的弧长为（）A．1B．2C．4D．8解：根据弧长公式得，l＝αr＝2×2＝4．故选：C．3．已知向量，，且，是共线向量，则实数λ的值为（）A．﹣4B．C．D．0解：∵向量，，且，是共线向量，∴，解得λ＝﹣．故选：B．4．化简sin x+cos x＝（）A．B．C．D．解：sin x+cos x＝2sin（x+）．故选：A．5．设函数f（x）＝，则f（10）＝（）A．0B．26﹣62C．1D．210﹣102解：因为函数f（x）＝，则f（10）＝f（4）＝24﹣42＝0．故选：A．6．设α为锐角，且，则tanα＝（）A．B．C．D．1解：∵α为锐角，且＝cosα，∴α＝，则tanα＝，故选：B．7．下列函数中，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上单调递减的是（）A．y＝e x B．y＝cos x C．y＝sin x D．y＝x2解：对于A，y＝e x为非奇非偶函数，不符合题意；对于B，y＝cos x为偶函数，但在区间（﹣∞，0）上不单调，不符合题意；对于C，y＝sin x为奇函数，不符合题意；对于D，y＝x2为偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，符合题意．故选：D．8．函数f（x）＝的定义域是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．[2，+∞）D．（1，2）解：要使函数有意义，则ln（x﹣1）≥0，即x﹣1≥1，∴x≥2，即函数的定义域为[2，+∞），故选：C．9．设a＝1.30.9，b＝log0.70.8，c＝log1.30.9，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a 解：∵1.30.9＞1.30＝1，∴a＞1，∵log0.71＜log0.70.8＜log0.70.7＝1，∴0＜b＜1，∵log1.30.9＜log1.31＝0，∴c＜0，∴c＜b＜a，故选：B．10．设函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+2cos x sin x，下列说法中，错误的是（）A．f（x）的最小值为B．f（x）在区间上单调递增C．函数y＝f（x）的图象可由函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）而得到D．将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，所得函数的图象关于y轴对称解：函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+2cos x sin x＝cos2x+sin2x＝．对于A：当（k∈Z）时，函数取得最小值﹣，故A正确；对于B：当x∈时，，所以函数在该区间上单调递增，故B正确；对于C：函数的图象先向左平移个单位，得到y＝，再将横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）而得到y＝，故C正确；对于D：函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，所得函数的关系式为g（x）＝，函数的图象不关于y轴对称，故D错误；故选：A．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分．）11．若点在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（4）＝2．解：∵点（2，）在幂函数y＝f（x）＝x a的图象上，∴2a＝，解得a＝，∴f（x）＝，f（4）＝＝2．故答案为：2．12．计算2lg+lg50＝2．解：原式＝lg2+lg50＝lg100＝2．故答案为：2．13．设非零向量，满足，，则与的夹角为．解：根据题意，设向量与的夹角为θ，又由，设||＝t≠0，则||＝t，又由，则•（﹣）＝﹣•＝t2﹣t2cosθ＝0，变形可得：cosθ＝；又由0≤θ≤π，则θ＝；故答案为：．14．sin+sin+sinπ+sin+sin+sin2π＝0．sin+sin+sinπ+……+sin＝．解：sin+sin+sinπ+sin+sin+sin2π＝++0﹣﹣+0＝0，由于函数y＝sin x是以6为周期的周期函数，要求的式子sin+sin+sinπ+……+sin共有2020项，故要求式子的值为336×0+（++0﹣）＝，故答案为：0；．15．以下条件，①a＞b＞1：②b＞a＞1；③1＞a＞b＞0；④1＞b＞a＞0；⑤a＞1，1＞b＞0：⑥b＞1，1＞a＞0．能够使得：log a2＜log b2（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1）成立的有①③⑥．解：对于①，a＞b＞1，故log2a＞log2b＞0，所以＜，由换底公式可得log a2＜log b2，故①满足题意；对于②，b＞a＞1，则log2b＞log2a＞0，所以＜，由换底公式可得log b2＜log a2，故②不满足题意；对于③，1＞a＞b＞0，故0＞log2a＞log2b，所以＜，由换底公式可得log a2＜log b2，故③满足题意；对于④，1＞b＞a＞0，故0＞log2b＞log2a，所以＜，由换底公式可得log b2＜log a2，故④不满足题意；对于⑤，a＞1，1＞b＞0，所以log a2＞0，log b2＜0，故log a2＞log b2，故⑤不满足题意；对于⑥，b＞1，1＞a＞0，所以log b2＞0，log a2＜0，故log a2＜log b2，故⑥满足题意．故能够使得：log a2＜log b2（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1）成立的有①③⑥．故答案为：①③⑥．三、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．在平面直角坐标系中，已知角α，β的顶点都在坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，角α的终边上有一点A，坐标为（1，﹣1）．（1）求sin2α的值；（2）若角β满足下列三个条件之一．①锐角β满足tanβ＝2：②锐角β的终边在直线y＝2x上；③角β的终边与的终边相同．请从上述三个条件中任选一个，你的选择是_____．求cos（α﹣β）的值．解：（1）已知角α始边与x轴非负半轴重合，顶点与原点重合，且角α的终边上有一点A，坐标为（1，﹣1），则sinα＝＝﹣，cosα＝＝，可得sin2α＝2sinαcosα＝2×＝﹣1；（2）若选①，锐角β满足tanβ＝＝2，可得sin2β+cos2β＝（2cosβ）2+cos2β＝5cos2β＝1，解得cosβ＝，sinβ＝，可得cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝+（﹣）×＝﹣；若选②，锐角β的终边在直线y＝2x上，可得tanβ＝2，由①可得cos（α﹣β）＝﹣；若选③，角β的终边与的终边相同，可得sinβ＝sin＝sin（673π+）＝﹣sin＝﹣，cosβ＝cos＝cos（673π+）＝﹣cos＝﹣，可得cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝×（﹣）+（﹣）×（﹣）＝．17．设函数y＝f（x）为定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝2x．（1）求函数y＝f（x）（x＜0）的解析式，并作出函数y＝f（x）的大致图象；（2）判断函数g（x）＝f（x）﹣x2的零点个数（可结合图象判断）．解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝2﹣x，由函数y＝f（x）为定义在R上的偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝2﹣x，所以x＜0时，f（x）＝2﹣x，作出函数图象如图所示：（2）函数g（x）＝f（x）﹣x2的零点个数等价于y＝x2与y＝f（x）图象交点的个数，如图可得交点的个数为4个，即g（±2）＝0，g（±4）＝0，所以函数g（x）＝f（x）﹣x2的零点个数为4个，分别为x＝±2，x＝±4．18．三角形ABC中，D为BC上一点，BD＝2DC，设＝，，可以用，来表示出，方法如下：方法一：，∵，∴．方法二：，∵，∴．方法三：如图所示，过点D作AC的平行线，交AB于点E，过点D作AB的平行线，交AC于点F，则四边形AEDF为平行四边形．∵DF∥AB且BD＝2DC，∴，FD＝AE＝AB．∵ED∥AC，BD＝2DC．∴，得ED＝AF＝AC．∴．请参照上述方法之一（用其他方法也可），解决下列问题：（1）三角形ABC中，D为BC的中点，设，，试用，表示出；（2）设D为直线BC上任意一点（除B、C两点），．点A为直线BC外任意一点，AB＝，，证明：存在唯一实数对λ，μ，使得：，且λ+μ＝1．【解答】（1）解：因为，，，所以；（2）证明：如图所示，，则，所以＝，＝，取，故λ+μ＝1且唯一，所以存在唯一实数对λ，μ，使得：，且λ+μ＝1．19．某市为了方便市民出行，缓解交通压力，引进甲、乙两家电动自行车营运商，在市政规定路段投放大量电动自行车供市民出行选择使用，两家收费标准分别如下：甲：每骑行一次，需交基本使用费2元，骑行时间不超过40分钟的，每分钟收费0.05元，超出40分钟的，超出部分按每分钟0.055元收费．（如：某人骑行1小时，则其应付费用为2+40×0.05+（60﹣40）×0.055＝5.1元）乙：不收取基本费，按实际骑行时间收费，每分钟收费0.08元．（1）写出选择骑行营运商甲的电动自行车的收费y与骑行时间t（单位：分钟）的函数解析式；（2）若某市民骑行营运商甲的电动自行车一次，花费7.3元，求该市民骑行的时间；（3）该市民的骑行时间t满足何条件时，选择甲营运商比乙营运商更划算．解：（1）根据题意可得，当0＜t≤40时，y＝2+0.05t，当t＞40时，y＝2+0.05×40+（t﹣40）×0.055＝0.055t+1.8．∴y＝；（2）∵0＜t≤40时，y＝2+0.05t，此时y max＝2+0.05×40＝4元，故该市民花费7.3元时，其骑行时间一定超过40分钟，令0.055t+1.8＝7.3，解得t＝100（分钟），故该市民骑行的时间为100分钟；（3）设骑行乙营运商的电动车费用y1，则由题意知，y1＝0.08t（t＞0），令f（t）＝y﹣y1，则f（t）＝＝．当0＜t≤40时，f（t）＝2﹣0.03t单调递减，∴f（t）min＝f（40）＝0.8＞0，故当0＜t≤40时，甲的费用大于乙的费用，当t＞40时，f（t）＝1.8﹣0.025t，令f（t）＜0，解得t＞72，此时甲的费用小于乙的费用．故当骑行时间大于72分钟时，甲的费用小于乙的费用，选择选择甲营运商比乙营运商更划算．四、阅读与探究（本大题1个小题，共8分．解答应写出文字说明，条理清晰．）20．定义函数f（x）＝cos（sin x）为“正余弦”函数．结合学过的相关知识，我们可以得到该函数的性质：1．我们知道，正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的定义域均为R，故函数f（x）＝cos （sin x）的定义域为R．2．我们知道，正弦函数y＝sin x为奇函数，余弦函数y＝cos x为偶函数，对f（x）＝cos （sin x），f（﹣x）＝cos[sin（﹣x）]＝cos（﹣sin x）＝cos（sin x）＝f（x），可得：函数f（x）＝cos（sin x）为偶函数．3．我们知道，正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的最小正周期均为2π，对f（x）＝cos（sin x），f（x+2π）＝cos[sin（x+2π）]＝cos（sin x）＝f（x），可知2π为该函数的周期，是否是最小正周期呢？我们继续探究：f（x+π）＝cos[sin（x+π）]＝cos（﹣sin x）＝cos（sin x）＝f（x）．可得：π也为函数f（x）＝cos（sin x）的周期．但是否为该函数的最小正周期呢？我们来研究f（x）＝cos（sin x）在区间[0，π]上的单调性，在区间[0，π]上，余弦函数y＝cos x 单调递减，正弦函数y＝sin x在上单调递增，在上单调递减，故我们需要分这两个区间来讨论．当时，设，因正弦函数y＝sin x在上单调递增，故sin x1＜sin x2，令t1＝sin x1，t2＝sin x2，可得0≤t1＜t2≤1＜π，而在区间[0，π]上，余弦函数y＝cos x单调递减，故：cos t1＞cos t2即：cos（sin x1）＞cos（sin x2）从而，时，函数f（x）＝cos（sin x）单调递减．同理可证，时，函数f（x）＝cos（sin x）单调递增．可得，函数f（x）＝cos（sin x）在上单调递减，在上单调递增．结合f（x+π）＝f（x）．可以确定：f（x）＝cos（sin x）的最小正周期为π．这样，我们可以求出该函数的值域了：显然：，而f（0）＝1＝f（π）故f（x）＝cos（sin x）的值域为[cos1，1]定义函数f（x）＝sin（cos x）为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：（1）求该函数的定义域；（2）判断该函数的奇偶性；（3）探究该函数的单调性及最小正周期，并求其值域．解：（1）因为y＝cos x的定义域为R，所以f（x）＝sin（cos x）的定义域为R；（2）f（x）在R上为偶函数，理由如下：f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）＝sin（cos（﹣x））＝sin（cos x）＝f（x），则f（x）为偶函数；（3）f（x）的最小正周期为T＝2π；当2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z时，y＝cos x递减，所以y＝sin（cos x）递减；当2kπ+π≤x≤2kπ+2π，k∈Z时，y＝cos x递增，所以y＝sin（cos x）递增．所以f（x）的减区间为[2kπ，2kπ+π]，k∈Z；增区间为[2kπ+π，2kπ+2π]，k∈Z；由x∈R，可得cos x∈[﹣1，1]，而[﹣1，1]⊆[﹣，]，所以sin（cos x）∈[sin（﹣1），sin1]＝[﹣sin1，sin1]，即f（x）的值域为[﹣sin1，sin1]；。
贵州省凯里市第一中学2020学年高一数学上学期期末考试试卷
凯里一中2020学年度第一学期期末考试高一数学试卷注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，本试卷共150分，考试时间为120分钟．2. 答卷前，考生务必在答题卡上相应的位置准确填写自己的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定的位置．3. 选择题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应的题目答案标号按要求涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号．非选择题直接用签字笔答在答题卡中对应的答题区域内．第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合则A.B.C.D.2.的值是A.B.C.D.3. 下列函数在区间为增函数的是A.B.C. D.4.已知，则的值是A.B.C. D.5. 函数的值域为A．B．C．D．6. 已知，则的大小关系是A. B.C.D.7. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，以下结论中正确的是A. 最大值为B. 有一条对称轴是C. 有一个对称中心是D.是奇函数8. 已知的外接圆半径为，圆心为，满足，且，则向量在向量方向上的投影为A. B.C.D.9. 函数的零点个数是A. B.C.D.10. 已知方程在区间有解，则实数的取值范围为A．B．C．D．11. 如图（1），是的重心，，是边上一点，且，则A．B．C．D．12. 已知函数的定义域是，与的图象关于点成中心对称，若在上有意义，则实数的取值范围是A. B.C.D.第II卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13. 计算___________14. 已知，是第三象限角，则________.15. 已知函数，则__________.16. 对于函数，如果同时满足下列三个条件中的两个，就称为“团结函数”.（i）在区间上为增函数，（ii）图象关于原点对称，（iii）是周期函数.给出下列五个函数：①；②；③；④；⑤.其中被称为“团结函数”的是____________________.（请将正确的编号填在横线上.）三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．(本小题10分)已知全集，集合．（I）当时，求；（II）若恰好包含了两个整数，写出这两个整数构成的集合的所有子集．18．(本小题12分)已知函数．（I）求的最小正周期及单调递增区间；（II）当时，求的值域．19．(本小题12分)如图（2），某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数，其中，，．（I）求这段曲线的函数解析式；（II）计算这天时的温度是多少．（参考数据：，）20．(本小题12分)平面内四个向量，，，=，且，．（I）求和的值；（II）若，，求的值．21．(本小题12分)已知函数．（I）判断函数的奇偶性，并用单调性定义证明：在区间。
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2020-2021学年贵州省凯里市第一中学高一上学期期末考
试数学试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．函数()f x = ）
A ．(],e -∞
B ．(]0,1
C ．(]0,e
D ．[),e +∞ 答案：C
被开方数必须为非负数，进而得出x 的取值范围．
解：由题意易得：1ln 0x -≥，即ln 1x ≤，解得：0x e <≤
∴函数()f x =(]0,e ．
故选：C ．
2．已知sin()πα+=，则sin α=（ ）
A B ．C D ． 答案：B
利用诱导公式即可求解.
解：解：sin()sin 4
παα+=-=，
sin 4
α∴=-
. 故选：B. 3．函数()()
22log 23f x x x =-+的值域为（ ） A ．[)0,+∞
B ．[)1,+∞
C ．R
D ．[)2,+∞
答案：B 求出223x x -+的取值范围，再利用对数函数的基本性质可求得函数()f x 的值域.
解：()2
223122x x x -+=-+≥，所以，()()222log 23log 21f x x x =-+≥=. 因此，函数()()
22log 23f x x x =-+的值域为[)1,+∞. 故选：B.
4
．已知232a ⎛⎫= ⎝⎭，1
345b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln3c =，则（ ） A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．b c a << 答案：
A 121
23333224a ⎡⎤⎛⎫⎛⎛⎫⎢⎥=== ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由函数13y x = 在()0+∞，上单调递增，可得1a b <<，又ln3ln 1c e =>=可得答案.
解：12123333224a ⎡⎤⎛⎫⎛⎛⎫⎢⎥=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦, 由函数1
3y x = 在()0+∞，上单调递增，则1334⎛⎫ ⎪⎝⎭13
451⎛⎫< ⎪⎭
<⎝ 所以1a b <<
又ln3ln 1c e =>=，所以a b c <<
故选：A
5．若()2x
f x x a =++的零点所在的区间为()2,1-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．32,4⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．73,4⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭
D ．50,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
答案：B 根据零点存在性定理，由题中条件列出不等式求解，即可得出结果.
解：因为()2x
f x x a =++的零点所在的区间为()2,1-， 所以只需()()210f f -⋅<， 即()121204a a ⎛⎫-+
++< ⎪⎝⎭，解得734
a -<<. 故选：B.
6．若单位向量a ，b 满足222a b +=，则向量a ，b 夹角的余弦值为（ ）
A ．34
B ．35
C ．34-
D ．35
答案：A 将222a b +=平方可得34a b ⋅=
，再利用向量夹角公式可求出. 解：a ，b 是单位向量，==1a b ∴， 222a b +=，228a b ∴+=，即2244=8a a b b +⋅+，
即548a b +⋅=，解得34a b ⋅=
， 则向量a ，b 夹角的余弦值为3
34=114
a b a b ⋅=⨯⋅.
故选：A.
7．若函数()sin cos cos sin ()0f x x x ϕϕϕπ=+≤≤为偶函数，则ϕ的取值为（ ）
A ．0
B ．2π
C ．4π
D ．π
答案：B 根据函数为偶函数有()()f x f x =-，化简得sin cos 0x ϕ=对任意x 恒成立，所以有()2k k Z π
ϕπ=+∈，结合0ϕπ≤≤可得出答案.
解：解：因为函数()sin cos cos sin ()0f x x x ϕϕϕπ=+≤≤为偶函数，则()()f x f x =- 所以sin cos cos sin sin()cos cos()sin x x x x ϕϕϕϕ+=-+-
等价于sin cos 0x ϕ=对任意x 恒成立，所以cos 0ϕ=，
所以()2k k Z π
ϕπ=+∈，
0ϕπ≤≤，所以常数ϕ的取值为π2
. 故选：B.
点评：应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；
（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇
偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；
（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；
（4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.
8．已知函数()(2log 0a f x x
a =>且)1a ≠在区间[]2,4上的最大值与最小值的差为1，则实数a 的值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．14或4
D ．12或2 答案：C
令2t x =，函数可化为log a y t =，[]4,16t ∈，进而分1a >和01a <<两种情况，分别讨论log a y t =的单调性，由最大值与最小值的差为1，可求出实数a 的值.
解：令2t x =，由[]2,4x ∈，得[]4,16t ∈，
函数可化为log a y t =，[]4,16t ∈.
①当1a >时，函数log a y t =在[]4,16上单调递增，其最大值与最小值的差为log 16log 4log 41a a a -==，解得4a =；
②当01a <<时，函数log a y t =在[]4,16上单调递减，其最大值与最小值的差为
log 4log 16lo 1g 14a a a
-==，解得14
a =. 所以实数a 的值为4或14. 故选：C.
9．已知sin cos 2x x +=，则1tan tan x x +=（ ） A ．6-
B ．7-
C ．8-
D ．9- 答案：C
将等式sin cos x x +=两边平方可求得sin cos x x 的值，利用切化弦可求得1tan tan x x +的值.
解：由sin cos x x +=，可得()23sin cos 12sin cos 4x x x x +=+=，得1sin cos 8x x =-，。