2016年浙江省赛试题及答案
2016年浙江卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)理科数学本试卷共20题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∪(C R Q)=A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(−∞,−2]∪[1,+∞)2.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m,n满足m∥α，n⊥β，则A. m∥lB. m∥nC. n⊥lD. m⊥n3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域{x−2≤0 x+y≥0x−3y+4≥0中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=A.2√2B.4C. 3√2D.64.命题“∀x∈R，∃n∈N∗，使得n≥x2”的否定形式是A. ∀x∈R，∃n∈N∗，使得n<x2B. ∀x∈R，∀n∈N∗，使得n<x2C. ∃x∈R，∃n∈N∗，使得n<x2D. ∃x∈R，∀n∈N∗，使得n<x25.设函数f(x)=sin2x+bsinx+c，则f(x)的最小正周期A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关6.如图，点列{An}、{B n}分别在某锐角的两边上，且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|，A n≠A n+1，n∈N∗，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|，B n≠B n+1，n∈N∗.（P≠Q表示点P与Q不重合）若d n=|A n B n|，S n为∆A n B n B n+1的面积，则A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列C.{d n}是等差数列D.{d n2}是等差数列7.已知椭圆C1：x2m2+y2=1(m>1)与双曲线C2：x2n2−y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1C.m<n且e1e2>1D.m<n且e1e2<18.已知实数a，b，c.A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a+b2−c|≤1，则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b−c2|≤1，则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2−c|≤1，则a2+b2+c2<100二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2016年浙江省职业院校技能大赛暨全国选拔赛
2016年浙江省职业院校技能大赛暨全国选拔赛“工业机器人技术应用”（高职组）赛项规程一、赛项名称赛项编号：G-05赛项名称：工业机器人技术应用赛项组别：高职组赛项归属大类：制造类二、竞赛目的通过技能大赛,展示参赛选手维护、调试、操控机器人的技能，检阅参赛队组织管理、团队协作、工作效率、质量与成本控制、安全意识等职业素养；引导职业学校关注行业在“工业机器人技术应用”方面的发展趋势及新技术的应用；促进工学结合人才培养和课程的改革与创新；促进智能机器人技术（机器人设备安装、调试、维护、使用）的普及；提升高职学院专业教师的指导水平。
三、竞赛内容本赛项内容分为正式比赛和表演赛两个阶段，正式比赛由所有参赛队全部参加，计入大赛成绩并排名。
参赛选手在规定时间（2.5小时）内，以现场操作的方式，根据赛场提供的有关资料和赛项任务书，完成食品包装的赛项任务：1.多关节机器人和视觉系统调试。
2.参赛选手将放置小包装食品的托盘手动放置在磁导AGV上，磁导AGV每次可以携带3个托盘，参赛选手手动启动AGV。
3.磁导AGV沿着地上铺设的磁导线运动对接到托盘流水线，将托盘放入托盘流水线上。
4.托盘流水线上设置了视觉检测系统，通过对托盘上的各种食品进行图案或外形识别，区分出不同的小包装食品。
5.参赛选手通过工业网络程序操控多关节机器人抓取托盘上不同规格的小包装食品，根据赛项任务书的要求，放入位于礼品盒流水线上的礼品盒中指定格子完成分类包装。
每个礼品盒分为多个小格，每小格从下往上可以叠加放置2-4个同类食品；不同小格放置的食品种类是不同的（同一小格叠加放置的食品是同一种类的），具体在赛项任务书中有明确规定。
比赛共需要完成3个礼品盒的包装。
四、竞赛方式（一）正式比赛采用团体赛方式，不计选手个人成绩，统计参赛队的总成绩进行排序。
（二）正式比赛队伍组成：每支参赛队由3名比赛选手组成，3名选手须为同校在籍学生，其中队长1名，性别不限。
每队可配2名指导教师。
[浙江卷]2016年浙江卷理科数学(全解析)
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(
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b ,又 n ^ b ,所以 n ^ l .
ì x - 2 £ 0 ï 3. 在平面上,过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影.由区域 í x + y ³ 0 中的 ï x - 3 y + 4 ³ 0 î
点在直线 x + y - 2 = 0 上的投影构成的线段记为 AB ,则 AB = ( A. 2 2 B . 4 C. 3 2 D. 6 )
é 1 ù -b Î ê - , 6ú Í [ -6, 6 ] ,于是 -13 £ 2c £ 13 ,从而 c Î [ -7, 7 ] ,此时必然有 a2 + b2 + c 2 £ 2 2 + 22 + 72 ë 4 û < 100 ,命题得证. 第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分.
2b = b 2 ,解得 b = 2 , a = 4 .
* 13.设数列 {a 的前 n 项和为 S , n Î N ,则 a1 = n } n .若 S 2 = 4 , an +1 = 2 S n + 1
, S5 =
.
【解析】1 , 121 ；依题意可得 a1 + a2 = 4 , a2 = 2a1 + 1 ,解得 a1 = 1 , a2 = 3 ；当 n ³ 2 时, an +1 = 2 S n + 1 ,
S 2 1 S
∙∙∙
S n
∙∙∙
1 hn Bn Bn +1 ,由题目中条件可知 Bn Bn +1 的长度为定值,那么 2
B 1 B 2 B 3 ∙∙∙ B n B n+1 ∙∙∙
浙江省杭州市萧山区2016届高三高考命题比赛数学试卷4 含答案
试卷设计说明本试卷设计是在《学科教学指导意见》的基础上，通过对《浙江考试2016第1期增刊高考考试说明》的学习与研究，精心编撰形成。
注重考查学生的基础知识的同时，注重考查对数学思想方法、数学本质的理解，考查涉及空间想象能力，抽象概括能力,推理论证能力，运算求解能力，数据图表处理能力以及应用意识和创新意识等。
同时也注重学生对通解通法的掌握，不追求解题的技巧。
题目基本上追求原创，部分题目进行了改编，每个题目都呈现出编者的意图,说明考查的知识点.整个试卷的结构、题型、分数的分布、内容的选择都力求与高考保持一致，同时也为了更适合本校学生的整体水平与现阶段的考查要求。
对知识点力求全面但不追求全面，做到突出主干知识,强化基础知识,着力于能力考查，对相关知识联系设问.从了解、理解、掌握三个层次要求学生。
对能力考查做到多层次、多方位，选题以能力立意，侧重对知识的理解与应用，考查他们知识的迁移及学生思维的广度与深度。
试卷结构和《考试说明》中2016年高考数学（文科）参考试卷保持一致，各题型赋分如下：选择题共8小题，每小题5分，共40分；填空题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分,共36分；解答题共5小题，共74分。
试卷命题双向细目表型及考点分布按照《2016考试说明》参考样卷.2016年高考模拟试卷 数学（文科)卷本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案写在答题纸上．参考公式：棱柱的体积公式: V =Sh （其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高）棱锥的体积公式: V =31Sh （其中S 表示棱锥的底面积， h 表示棱锥的高)棱台的体积公式:)2211(31S S S S h V ++=（其中S 1， S 2分别表示棱台的上、下底面积， h表示棱台的高 ）球的表面积公式： S = 4πR 2球的体积公式： V =34πR 3其中R 表示球的半径第I 卷(共40分）一、选择题: 本大题共8小题, 每小题5分，共40分．1．(原创题）已知a R ∈，则 “22aa <”是“2a <”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（命题意图:考查不等式以及充要条件的判定，属容易题） 2．（2014·广东一模改编）已知直线l 、m 与平面α、β，βα⊂⊂m l ,,则下列命题中正确的是A 。
2016年第十四届”走美杯“小学数学竞赛杭州赛区试卷(五年级初赛答案及解析)
2016年第十四届”走美杯“小学数学竞赛杭州赛区试卷（五年级初赛）-学生用卷一、填空题共5题，共40 分1、计算：（写成小数的形式，精确到小数点后两位）2、角硬币的正面与反面如图所示，拿三个角硬币一起投掷一次，得到两个正面一个反面的概率为。
3、大于的自然数，如果满足所有因数之和等于它自身的倍，则这样的数称为完美数或完全数。
比如，的所有因数为，，，，，就是最小的完美数，是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一，研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始。
那么的所有因数之和为。
4、某大型会议上，要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有种。
5、将从开始到的连续的自然数相乘，得到，记为（读作的阶乘）用除显然，被整除，得到一个商，再用除这个商，，这样一直用除下去，直到所得的商不能被整除为止。
那么，在这个过程中用整除了次。
二、填空题共5题，共50 分6、如图，已知正方形中，是边的中点，，是与的交点，四边形的面积与正方形的面积的比是。
7、如图所示，将一张纸沿着长边的个中点对折，得到个小长方形，小长方形的长与宽之比与纸相同。
如果设纸的长为厘米，那么，以纸的宽为边长的正方形面积为平方厘米（精确到小数点后一位）。
8、由一些顶点和边构成的图形称为一个图，对一个图用不同颜色给顶点染色，要求具有相同边的两个顶点染不同的颜色。
称为图的点染色，图的点染色通常要研究的问题是完成染色所需要的最少的颜色数，这个数称为图的色数。
如图的图称为彼特森图，彼特森图的色数为。
9、在平面上，用边长为的单位正方形构成正方形网格，顶点都落在单位正方形的顶点（又称为格点）上的简单多边形叫做格点多边形。
最简单的格点多边形是格点三角形，而除去三个顶点之外，内部或边上不含格点的格点三角形称为本原格点三角形，如图所示的本原格点三角形，每一个格点多边形都能够很容易地划分为若干个本原格点三角形。
2016年浙江省职业技能大赛
2016年浙江省职业技能大赛电子商务师技术文件主办单位：浙江省人力资源和社会保障厅浙江省经济和信息化委员会共青团浙江省委员会2016年11月2016年浙江省职业技能大赛电子商务师技术文件根据《浙江省人力资源和社会保障厅等6部门关于做好2016年浙江省职业技能大赛工作的通知》（浙人社发[2016]59号），经竞赛技术工作委员会讨论，制定本次竞赛的技术文件。
一、竞赛项目项目名称：电子商务师竞赛方式：个人参赛形式竞赛对象：从事电子商务相关职业（岗位）的企业一线在职职工，且年龄在35周岁以下，经各市选拔后的优秀选手。
二、竞赛内容本次竞赛命题以人力资源和社会保障部《电子商务师》国家职业标准（国家职业资格三级）应具备的理论知识和操作技能要求为主要依据，并适当增加部分技师（二级）的知识。
同时根据电子商务行业发展以及技术进步，增加相关新知识、新技术、新设备、新技能等内容。
比赛内容包括理论知识和技能操作两部分。
（一）理论知识理论知识考试采用书面闭卷笔试方式进行，时间为90分钟。
比赛内容范围见理论考试大纲，试题类型为单项选择题、判断正误题、多项选择题。
参赛选手使用水笔答题，不得使用红色笔、涂改液、胶带纸。
卷面字迹工整、清晰，不要在试卷上做任何与答题无关的标记。
理论考试大纲如下：1.职业道德1.1职业道德基本知识1.2职业守则（1）遵纪守法，敬业爱岗，严守保密制度；（2）实事求是，工作认真，精研业务，尽职尽责，具有团队精神。
2.基础知识2.1计算机与网络应用知识（1）计算机的系统组成（2）计算机硬件基本组成（3）计算机软件基本组成（4）计算机操作系统应用基础知识（5）数据处理基础知识（6）计算机网络(因特网)基础知识（7）通信技术2.2电子商务基础知识（1）电子商务的基本概念（2）电子商务的分类（3）电子商务的基本组成（4）电子商务的基本应用模式（5）企业电子商务的基本框架（6）EDI与电子商务2.3电子商务常用技术（1）电子商务网络技术（2）WEB技术（3）数据库技术（4）网页制作技术（5）图像动画技术2.4 网络营销基础知识（1）网络营销基础知识（2）网络营销策略（3）网络营销的主要方法；（4）网络商务信息的收集与整理（5）网络信息中介商（6）网络消费者2.5电子商务支付及安全基础知识（1）电子支付概念及方式（2）支付工具及操作（3）电子商务安全概念及各类问题（4）电子商务安全制度（5）防火墙技术、病毒、数据加密技术、认证技术2.6物流基础知识（1）物流的概念（2）电子商务与物流（3）企业物流2.7电子商务法律法规基本常识（1）电子商务立法范围（2）电子商务参与各方的法律关系（3）电子商务的相关法律问题（4）典型的电子商务法律法规2.8理解常用电子商务操作过程中用到的英语单词和缩写的含义2.9了解电子商务新知识、新技术、新模式、新设备及发展趋势（二）技能操作技能操作竞赛主要考核选手根据给定的环境与素材，综合运用商务网页设计、互联网推广的能力。
2016年浙江省高中数学竞赛含答案
2016年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题（每题6分，共48分）1. A .2. .3. .4. D .5. D.6. B.7. B.8. A .二、填空题（每题7分，12题9分，共51分）9. 36−2017201520162.b b +=− ==11. 2.a = = ==12. 245,,.999x y z =−=== 13. 14. [1,2]£® 15. 8.三、解答题（本大题共有3小题，16题15分，17、18每题18分，共51分）16.设函数22()(53)7f x x k ak x =−−++（,R a k ∈）.已知对于任意的[0,2]k ∈，若12,x x 满足1[,],x k k a ∈+2[2,4]x k a k a ∈++，则12()()f x f x ≥， 求正实数a 的最大值. ½â´ð£ºÓÉÓÚ¶þ´Îº¯Êý22()(53)7f x x k ak x =−−++2532k ak x −+=,¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-£¨3·Ö£©¹ÊÌâÉèÌõ¼þµÈ¼ÛÓÚ¶ÔÈÎÒâµÄ[0,2]k ∈ 2535.22k ak k a −+≥+……………………① 6·Ö£© ¼´¶ÔÈÎÒâµÄ[0,2]k ∈ 22351k k a k −+≤+ £¬202235min 1k k k a k ≤≤ −+≤ +9·Ö£©又2236(1)44411k k k k k −+=++−≥−=++，……………（12分）当且仅当1k =−时取等号，故20223min 41k k k k ≤≤ −+=− +.……………………（15分）所以，正实数a17. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >> ），经过点16(3,)5P ，离心率为35. 过椭圆C 的右焦点作斜率为k 的直线l ，交椭圆于,A B 两点，记,PA PB 的斜率为12,k k . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若120k k +=，求实数k .22222925691,925a b a b a −+== 2225,16a b == = 2212516x y += == 0k <<∞ l µÄ·½³ÌΪ(3)y k x =− (3),221,2516y k x x y =−+= 2222(1625)1502254000k x k x k +−+−== 1122(,),(,)A x y B x y £¬Ôò22121222150225400,.16251625k k x x x x k k −+==++= 121212161655,,33y y k k x x −−==−− 122112121616()(3)()(3)55(3)(3)y x y x k k x x −−+−−+=−−= 1122(3),(3)y k x y k x =−=− =12212153625600,5(1625)(3)(3)kk k k x x −+==+−− 35k = =0k = 1228,,55k k ==− 12605k k +=−≠ =k ²»´æÔÚʱ£¬´ËʱбÂÊ12,k k ¾ù²»´æÔÚ£¬²»ºÏÌâÒâ. ËùÒÔ£¬35k = =18. 给定数列{}n x ，证明: 存在唯一分解nn n x y z =−，其中数列{}n y 非负，{}n z 单调不减，并且1()0n n n y z z −−=，00z =.证明：我们只需证明对任意的正整数n ， 满足110()0000n n n n n n n n n x y z y z z y z z z −−=− −= ≥ −≥=, ………(*)………………（6分） 的(),n n y z 存在且唯一。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学试题 (理科)解析版
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R ð（ ） A ．[2,3] B ．( -2,3 ] C ．[1,2) D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞ 【答案】B考点：1、一元二次不等式；2、集合的并集、补集．【易错点睛】解一元二次不等式时，2x 的系数一定要保证为正数，若2x 的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出错．2. 已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥， 则（ ）A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n 【答案】C 【解析】试题分析：由题意知,l l αββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．故选C ．考点：空间点、线、面的位置关系．【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．3. 在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=（ ） A ．B ．4C ．D ．6 【答案】C 【解析】考点：线性规划．【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定AB 的值．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．4. 命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x < C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x < D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x < 【答案】D 【解析】试题分析：∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 考点：全称命题与特称命题的否定．【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．5. 设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B考点：1、降幂公式；2、三角函数的最小正周期．【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数()f x ，再判断b 和c 的取值是否影响函数()f x 的最小正周期．6. 如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ，1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则（ ）A ．{}n S 是等差数列B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列【答案】A 【解析】试题分析：n S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度一半，即112n n n n S h B B +=，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，过1A 作垂直得到初始距离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了等腰梯形，那么11tan n n n h h A A θ+=+⋅，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么1111(tan )2n n n n S h A A B B θ+=+⋅，111111(tan )2n n n n S h A A B B θ+++=+⋅，作差后：1111(tan )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅，都为定值，所以1n n S S +-为定值．故选A ．考点：等差数列的定义．【思路点睛】先求出1n n n +∆A B B 的高，再求出1n n n +∆A B B 和112n n n +++∆A B B 的面积n S 和1n S +，进而根据等差数列的定义可得1n n S S +-为定值，即可得{}n S 是等差数列．7. 已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A考点：1、椭圆的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质．【易错点睛】计算椭圆1C 的焦点时，要注意222c a b =-；计算双曲线2C 的焦点时，要注意222c a b =+．否则很容易出现错误．8. 已知实数a ，b ，c （ ）A ．若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100B ．若|a 2+b +c |+|a 2+b –c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100C ．若|a +b +c 2|+|a +b –c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2<100D ．若|a 2+b +c |+|a +b 2–c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100 【答案】D 【解析】试题分析：举反例排除法：A.令10,110===-a b c ，排除此选项，B.令10,100,0==-=a b c ，排除此选项，C.令100,100,0==-=a b c ，排除此选项，故选D ． 考点：不等式的性质．【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9.若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______． 【答案】9 【解析】试题分析：1109M M x x +=⇒= 考点：抛物线的定义．【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y 轴的距离．10. 已知2cos 2x +sin 2x =Asin(ωx +φ)+b (A >0)，则A =______，b =________．1考点：1、降幂公式；2、辅助角公式．【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简2cos x ，再用辅助角公式化简cos 2sin 21x x ++，进而对照()sin x b ωϕA ++可得A 和b ．11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3.【答案】72 32 【解析】试题分析：几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为2(224)32⨯⨯⨯=，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为2(222244)2(22)72⨯⨯+⨯⨯-⨯=考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积与体积．【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积．12. 已知a >b >1.若log a b +log b a =52，a b =b a ，则a = ，b = . 【答案】4 2考点：1、指数运算；2、对数运算． 【易错点睛】在解方程5log log 2a b b a +=时，要注意log 1b a >，若没注意到log 1b a >，方程5log log 2a b b a +=的根有两个，由于增根导致错误．13.设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 【解析】试题分析：1221124,211,3a a a a a a +==+⇒==，再由111121,21(2)23(2)n n n n n n n n n a S a S n a a a a a n +-++=+=+≥⇒-=⇒=≥，又213a a =，所以515133(1),S 121.13n n a a n +-=≥==- 考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前n 项和．【易错点睛】由121n n a S +=+转化为13n n a a +=的过程中，一定要检验当1n =时是否满足13n n a a +=，否则很容易出现错误．14. 如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .【答案】12由余弦定理可得222cos 2PD PB BD BPD PD PB +-∠===⋅， 所以30BPD ∠=.EDCBAP过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d = 则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠，12sin 302d x =⋅，解得d .而BCD ∆的面积111sin )2sin 30)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=.（2x ≤|x x ==故x =此时，16V t=21414()66t t t t-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12. 考点：1、空间几何体的体积；2、用导数研究函数的最值．【思路点睛】先根据已知条件求出四面体的体积，再对x 的取值范围讨论，用导数研究函数的单调性，进而可得四面体的体积的最大值．15. 已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤,则a ·b 的最大值是 ． 【答案】12考点：平面向量的数量积．【易错点睛】在6a b +≤两边同时平方，转化为2226a b a b ++⋅≤的过程中，很容易三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B.（I ）证明：A =2B ；（II ）若△ABC 的面积2=4a S ，求角A 的大小.【答案】（I ）证明见解析；（II ）2π或4π． 试题分析：（I ）先由正弦定理可得sin sin C 2sin cos B +=A B ，进而由两角和的正弦公式可得()sin sin B =A-B ，再判断A -B 的取值范围，进而可证2A =B ；（II ）先由三角形的面积公式可得21sin C 24a ab =，进而由二倍角公式可得sin C cos =B ，再利用三角形的内角和可得角A 的大小．试题解析：（I ）由正弦定理得sin sin C 2sin cos B +=A B ，故()2sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B =B+A+B =B+A B+A B ， 于是()sin sin B =A-B ．又A ，()0,πB∈，故0π<A -B <，所以()πB =-A-B 或B =A -B ，因此πA =（舍去）或2A =B ，所以，2A =B ．考点：1、正弦定理；2、两角和的正弦公式；3、三角形的面积公式；4、二倍角的正弦公式． 【思路点睛】（I ）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有A ，B 的式子，根据角的范围可证2A =B ；（II ）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得含有B ，C 的式子，再利用三角形的内角和可得角A 的大小．17. (本题满分15分)如图,在三棱台ABC DEF -中,平面BCFE ⊥平面ABC ,=90ACB ∠,BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3.(I)求证：EF ⊥平面ACFD ；(II)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值.【答案】（I ）证明见解析；（II 【解析】试题分析：（I ）先证F C B ⊥A ，再证F C B ⊥K ，进而可证F B ⊥平面CFD A ；（II ）方法一：先找二面角D F B -A -的平面角，再在Rt QF ∆B 中计算，即可得二面角D F B -A -的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面C A K 和平面ABK 的法向量，进而可得二面角D F B -A -的平面角的余弦值．（II ）方法一：过点F 作FQ ⊥AK ，连结Q B ．因为F B ⊥平面C A K ，所以F B ⊥AK ，则AK ⊥平面QF B ，所以Q B ⊥AK ． 所以，QF ∠B 是二面角D F B -A -的平面角．在Rt C ∆A K 中，C 3A =，C 2K =，得FQ 13=．在Rt QF ∆B 中，FQ =，F B =cos QF ∠B =．所以，二面角D F B -A - 方法二：如图，延长D A ，BE ，CF 相交于一点K ，则C ∆B K 为等边三角形．取C B 的中点O ，则C KO ⊥B ，又平面CF B E ⊥平面C AB ，所以，KO ⊥平面C AB ． 以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x ，z 的正方向，建立空间直角坐标系xyz O ．由题意得()1,0,0B ，()C 1,0,0-，(K ，()1,3,0A --，12⎛E ⎝⎭，1F 2⎛- ⎝⎭． 因此， ()C 0,3,0A =，(AK =，()2,3,0AB =．考点：1、线面垂直；2、二面角．【方法点睛】解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．18. （本小题15分）已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x −1|，x 2−2ax +4a −2}，其中min{p ，q }=,>p p q q p q.≤⎧⎨⎩，， （I ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax +4a −2成立的x 的取值范围；（II ）（i ）求F （x ）的最小值m （a ）；（ii ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）.【答案】（I ）[]2,2a ；（II ）（i ）()20,3242,2a m a a a a ⎧≤≤+⎪=⎨-+->+⎪⎩（ii ）()348,342,4a a a a -≤<⎧M =⎨≥⎩．（II ）（i ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，则 ()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即 ()20,3242,2a m a a a a ⎧≤≤⎪=⎨-+->+⎪⎩ （ii ）当02x ≤≤时，()()()(){}()F max 0,22F 2x f x f f ≤≤==，当26x ≤≤时，()()()(){}{}()(){}F max 2,6max 2,348max F 2,F 6x g x g g a ≤≤=-=．所以，()348,342,4a a a a -≤<⎧M =⎨≥⎩．考点：1、函数的单调性与最值；2、分段函数；3、不等式．【思路点睛】（I ）根据x 的取值范围化简()F x ，即可得使得等式()2F 242x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（II ）（i ）先求函数()f x 和()g x 的最小值，再根据()F x 的定义可得()m a ；（ii ）根据x 的取值范围求出()F x 的最大值，进而可得()a M ．19. （本题满分15分）如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）. （I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（I ）22221a k a k +（II ）02e <≤．（II ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足Q AP =A ．记直线AP ，Q A 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．由（I ）知，1AP =，2Q A =， 故12=， 所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦． 由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，因此()222212111112a a k k ⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ①因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是()22121a a +->，所以a >因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为12a <≤，由c e a a==得，所求离心率的取值范围为02e <≤． 考点：1、弦长；2、圆与椭圆的位置关系；3、椭圆的离心率．【思路点睛】（I ）先联立1y kx =+和2221x y a+=，可得交点的横坐标，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（II ）利用对称性及已知条件可得任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时，a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．20.（本题满分15分）设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ． （I ）证明：()1122n n a a -≥-，n *∈N ； （II ）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ． 【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析．（II ）任取n *∈N ，由（I ）知，对于任意m n >， 1121112122222222nm n n n n m m nm n n n n m m a a a a a a a a +++-+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111222n n m +-≤++⋅⋅⋅+ 112n -<， 故11222m n n n m a a -⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭ 11132222m n n m -⎡⎤⎛⎫≤+⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 3224m n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭． 从而对于任意m n >，均有3224mn n a ⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭．考点：1、数列；2、累加法；3、证明不等式．【思路点睛】（I ）先利用三角形不等式及变形得111222n n n n n a a ++-≤，再用累加法可得1122n n a a -<，进而可证()1122n n a a -≥-；（II ）由（I ）的结论及已知条件可得3224mn n a ⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭，再利用m 的任意性可证2n a ≤．。
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k 2 5ak 3 ,故题设条 2
k 2 5ak 3 5 k a. ……………………① 2 2
即对任意的 k [0, 2] 均有 5a
k 2 2k 3 k 2 2k 3 ， 5a min 0 k 2 k 1 k 1
12
ED DC 的最小值为 EC 的值，即等于 26.故正确答案为 B.
7. 设集合 M ( x, y )
1 1 1 , x, y N* ，则集合 M 中的元素个数为（ x y 45
C. 2 D. 3
）.
A. 0 解答：由于
B. 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ，故 + + ，这样 5 x 225 5 y 15 5 y x y 45 5x 5 y 15
பைடு நூலகம்
2 1 1 (OB OC ) (b c), 3 2 3
所以 AH OH OA
1 2 (b c 3a), 因此 AD 2 AH (b c 3a). 3 3
又 AM
1 2 1 1 ( AD AC ) (9a 2b 5c), 所以 OM OA AM (2b 5c). 9 3 2 9 2 1 1 1 ( BC BD) (OC OB AD AB) (3a 4b 5c), 3 2 3 9
同理， BN
1 ON OB BN (3a 5b 5c). 9
由 MP 2PN 得， 3OP OM 2ON ，所以 xa yb zc
1 (2a 4b 5c), 因此 9
2 4 5 x , y ,z . 9 9 9
13. 在△ ABC 中， B
3
A. 2
B.
2
x x cos ) 2 的最小正周期为（ 2 2 2 C. 3
）. D.
解答：化简得
f ( x) sin 3x 2 ，则函数 f ( x) 的最小正周期为
2 .故正确答案为 C. 3
3. 设双曲线
x2 y 2 1 （ a 0, b 0 ）的左右焦点分别为 F1 , F2 ，点 A 是过 F2 且倾斜角 a 2 b2
2 2
取值范围为 [1, 2] ． 15. 已知 a, b, c 为互不相等的整数，则 4(a 2 b2 c 2 ) (a b c)2 的最小值为 .
解答： 4(a2 b2 c2 ) (a b c)2 (a b)2 (b c)2 (c a)2 a 2 b2 c 2 ，其最小 值为 8. 三、解答题（本大题共有 3 小题，16 题 15 分，17、18 每题 18 分，共 51 分） 16.设函数 f ( x) x 2 (k 2 5ak 3) x 7（ a, k R ） .已知对于任意的 k [0, 2] ， 若 x1 , x2 满足 x1 [k , k a], x2 [k 2a, k 4a] ，则 f ( x1 ) f ( x2 ) ， 求正实数 a 的最大值. 解答： 由于二次函数 f ( x) x 2 (k 2 5ak 3) x 7 的对称轴为 x 件等价于对任意的 k [0, 2] 均有
12
的最小值为（ A. 2 193
）. B. 26 C. 24 2 D.24
解答：用数形结合方法求解，作正方形 OACB ，连对角线 AB ，则向量 t AB AO 等于向 量 OD( D 为对角线 AB 上一点） ，向量
EB 10 ） D D C ，O
5 BO (1 t ) BA 等于向量 ED( E 为 OB 边上一点， 12 ，所以 t AB AO 5 BO (1 t ) BA 等于 ED DC ，由几何意义可知
4
, C
5 ， AC 2 6 ， AC 的中点为 D . 若长度为 3 的线 12
.
段 PQ ( P 在 Q 的左侧)在直线 BC 上滑动，则 AP DQ 的最小值为
解 答 ： 由 已 知 求 得 BC 6 ， 过 D 做 直 线 DE 平 行 BC ， 交 AB 于 E 点 ， 则
集合 M 中的元素个数为 1. 故选 B. 8. 记 [ x] 为不超过 x 的最大整数. 若集合 S ( x, y) 所表示的平面区域的面积为（ A. ）. C.
[ x y] [ x y] 1 ，则集合 S
5 2
B. 3
9 2
D. 4
解答：当 0 x y 1 时， [ x y] 0, 所以 [ x y] 1 ，即 1 x y 2 ； 当 1 x y 2 时， [ x y] 1, 所以 [ x y] 0 ，即 0 x y 1 ； 当 1 x y 0 时， [ x y] 1, 所以 [ x y] 0 ，即 0 x y 1 ； 画出满足上述条件的区域，可知集合 S 所表示的平面区域的面积为
3 cos x m cos y
有实数解，则正实数 m 的取值范围为
解答：两式平方，消去 x 得 1=m (1
2
3 2 4 sin 2 y) ，故 sin 2 2 y = 1 m2 [0,1] 4 3
这样，1 m 2 。反之，当 1 m 2 时，也存在 x0 , y0 满足方程。因此，正实数 m 的
1 D E/ / B C, D E 2
PQDE 为平行四边形，即 DQ EP .这样问题就转化为 B C ，所以 3
在直线 BC 上找一点，使 AP EP 最小.计算得 AP EP 的最小值为
30 3 10 . 2
.
14. 若关于 x, y 的方程组
sin x m sin 3 y
b2015 b2016
解答：由已知
.
ai 1 bi , 得到 bi 2 2ai 1 3bi 1 ,
bi 2 bi 1 2(bi 1 bi ) (2)2 (bi bi 1 )
b2015 b2016 3 22015.
2016 年浙江省高中数学竞赛试卷
一、选择题（本大题共有 8 小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后
的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题 6 分，共 48 分） 1. 曲线 ( x 2 y a)( x y ) 0 为平面上交于一点的三条直线的充要条件是（
2 2
）.
A. C.
a0 a 1
B. a 1 D. a R
解答：若 a 0 ，则曲线表示的曲线是三条交于原点的直线，反之，由于直线 y
x 和直线
y x 交于原点，所以曲线要为平面上三条交于一点的直线，则直线 x 2 y a 0 过原
点，即 a 0 .故正确答案为 A. 2. 函数 f ( x) 4sin x sin x 2(sin
为 （ A.
的直线与双曲线的一个交点 . 若△ F1 F2 A 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 4
）.
3 1 2
B.
3 1
C.
2 1 2
D.
2 1
解答： 因为 AF1 AF2 2a, 要使△ F1 F2 A 为等腰直角三角形， 则 AF1 AF2 2a, 以及
AF2 F1F2 2c ，由勾股定理得 (2(a c))2 2(2c)2 ，解答
12. 已知两个底面重合的正四面体 A OBC 和 D OBC ， M , N 分别为△ ADC 与△ BDC 的重心.记 OA a ， OB b ， OC c ，若点 P 满足 OP xa yb zc ， MP 2PN ，则 实数 x ______, y _______, z ________. 解答：设点 A 在面 OBC 上的投影为 H ，则 OH
3a b 1 4u 2v 2 = 2 a 2b 2 3u v 4
样
4 3a b 1 2 10 ． ，由此即知 5 a 2b 2 7 5v 11 3 5u 3
正确答案为 D. 6. 已知向量 OA ，OB 垂直，且 OA OB 24 .若 t [0,1] ，则 t AB AO 5 BO ( 1 t ) BA
解答：由 f ( x 2) f ( x) 得 f ( x 4) f ( x) ，所以 f ( x) 的周期为 4.因此，
f (10 3) f (10 3 16) f (16 10 3) f (18 10 3) 36 20 3 .
10. 已知数列 {an },{bn } 满足： a1 1, b1 2, an1 bn , bn1 2an 3bn (n N*), 则
cos
5. 已知 a, b R ，函数 f ( x) ax b .若对任意 x [1,1] ，有 0 f ( x) 1 ，则 的取值范围为（ A. ）. B.
3a b 1 a 2b 2
1 [ ,0] 2
4 [ ,0] 5
C.
1 2 [ , ] 2 7
c 2 1 .故正确答案为 a
D. 4. 已知正三棱锥 S ABC ，底面是边长为 1 的正三角形，侧棱长为 2. 若过直线 AB 的截 面， 将正三棱锥的体积分成两个相等的部分， 则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为 ( ). A.
15 10
B.
4 15 15
C.
15 15
D.
2 15 15
D.
4 2 [ , ] 5 7
uv
a 0 f (1) 1 0 a b 1 u a b 2 ，这 解答：由题意得 .令 ，则 0 f (1) 1 1 a b 0 v a b b u v 2