高中数学-函数的概念及表示练习

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高中数学必修一《3 1 函数的概念及其表示》课时练习09

课时分层作业(十五)函数的表示法(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为()A．y＝2x B．y＝2x(x∈R)C．y＝2x(x∈{1,2,3，…}) D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})D[题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}，故选D.]2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2，1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为()x 12 3f(x)230A．3 B．2C．1 D．0B[由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.]3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()C [距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.]4．如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x －1B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则有f (t )＝1t1－1t＝1t －1，故选B.] 5．若f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3 D ．2x －3 B [设f (x )＝ax ＋b ，由题设有 ⎩⎪⎨⎪⎧2(2a ＋b )－3(a ＋b )＝5，2(0·a ＋b )－(－a ＋b )＝1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.所以选B.]二、填空题6．已知f (2x ＋1)＝x 2－2x ，则f (3)＝________. －1 [由2x ＋1＝3得x ＝1，∴f (3)＝1－2＝－1.] 7．f (x )的图象如图所示，则f (x )的值域为________．[－4,3] [由函数的图象可知，f (x )的值域为[－2,3]∪[－4,2.7]，即[－4,3]．]8．若一个长方体的高为80 cm ，长比宽多10 cm ，则这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm)之间的表达式是________．y ＝80x (x ＋10)，x ∈(0，＋∞) [由题意可知，长方体的长为(x ＋10)cm ，从而长方体的体积y ＝80x (x ＋10)，x >0.]三、解答题9．画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)求函数f (x )的值域．[解] f (x )＝－(x －1)2＋4的图象如图所示：(1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (1)>f (0)>f (3)．(2)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4，则函数f (x )的值域为(－∞，4]．10．(1)已知f (x )是一次函数，且满足2f (x ＋3)－f (x －2)＝2x ＋21，求f (x )的解析式；(2)已知f (x )为二次函数，且满足f (0)＝1，f (x －1)－f (x )＝4x ，求f (x )的解析式； (3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＋1，求f (x )的解析式．[解] (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则2f (x ＋3)－f (x －2)＝2[a (x ＋3)＋b ]－[a (x －2)＋b ]＝2ax ＋6a ＋2b －ax ＋2a －b ＝ax ＋8a ＋b ＝2x ＋21，所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝2x ＋5. (2)因为f (x )为二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝1，得c ＝1. 又因为f (x －1)－f (x )＝4x ，所以a (x －1)2＋b (x －1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝4x ，整理，得－2ax ＋a －b ＝4x ，求得a ＝－2，b ＝－2，所以f (x )＝－2x 2－2x ＋1.(3)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋3.∴f (x )＝x 2＋3.[等级过关练]1．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝2，则a 的值为( ) A ．－1 B ．5 C ．1D ．8C [由3x ＋2＝2得x ＝0，所以a ＝2×0＋1＝1. 故选C.]2．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( )A ．y ＝20－2xB ．y ＝20－2x (0<x <10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5<x <10) D [由题意得y ＋2x ＝20，所以y ＝20－2x ，又2x >y ，即2x >20－2x ，即x >5，由y >0即20－2x >0得x <10，所以5<x <10.故选D.]3．已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，则f (x )的解析式为________．f(x)＝13x2－2x[以－x代替x得：f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.与f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x联立得：f(x)＝13x2－2x.]4．设f(x)＝2x＋a，g(x)＝14(x2＋3)，且g(f(x))＝x2－x＋1，则a的值为________．－1[因为g(x)＝14(x2＋3)，所以g(f(x))＝14[(2x＋a)2＋3]＝14(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1.]5．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域．[解](1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m，上底为(2＋2h)m，高为h m，∴水的面积A＝[2＋(2＋2h)]h2＝h2＋2h(m2)．(2)定义域为{h|0<h<1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0<h<1.8)求得．由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0<A<6.84.故值域为{A|0<A<6.84}．。

我的错题本之高中数学(一)集合与函数：专题二函数的概念及其表示(含答案解析)

专题三函数的观点及其表示雷区 1：函数定义理解不到位例 1：以下四个图象中，是函数图象的是（）A ．（1）（ 2）B ．（ 3）C．（2）（ 3）D．（ 3）（4）错解：（ 1）中的线条不连续，不是函数图象，（3）（4）中曲线比较对称，是函数图象，应选 D.上边的错解主假如对函数的定义没有透辟的理解，忽视函数定义中重点条件：在会合 A 中随意一个 x 在会合 B 中都有独一的 y 值对应 .1、关于会合 A ＝ {x|0 ≤ x≤，2}B＝ {y|0 ≤ y≤，3}则由以下图形给出的对应 f 中，能组成从A 到B 的函数的是（）【剖析】关于B， C 两图能够找到一个x 与两个 y 对应的情况，关于 A 图，当 x＝ 2 时，在B中找不到与之对应的元素．对函数定义理解抓住两点：（1）A，B为非空数集；（2）从会合 A 到会合 B 的元素对应必易爆警告须拥有独一性，判断给出的曲线是不是函数图象主假如考虑第二条.雷区2：求解函数值域忽视定义域优先的原则例 2：已知 f (x) 2 log3x, x[1,9] ，试求函数y[ f ( x)] 2 f ( x2 ) 的值域．错解：∵f ( ) 2 log3xy[ f ( x)]22)2＋ 2 ＋ log 2 ＝，∴ f (x＝ (2＋ log 3x)3xx(log 3x)2＋ 6log 3x＋ 6＝ (log 3x＋ 3)2－ 3.∵ x∈ 1， 9]，∴ 0≤log最小值＝ 6， y 最大值＝ 22.∴函数 f(x) 的值域是 6，22] ．3x≤2，∴ yf(x) 的定义域和 f(x 2 )的定义域是不一样的，只关注f(x) 的定义域为1，9]，而认为 f(x 2)的定义域也为1， 9]是产生错误的根来源因．2、函数 y＝ 2－－ x2＋ 4x的值域是（）A ．－ 2，2]B ．1， 2]C．0， 2]D．－ 2， 2]【剖析】∵－ x2＋ 4x＝－ (x－ 2)2＋ 4≤4，∴ 0≤ － x2＋ 4x≤2∴.0≤2－－ x2＋ 4x≤2，应选 C.3、奇函数f (x) )是定义在(1,1) 上的减函数，且 f (1a) f (2 a1)0 ，务实数的取值范围 .【剖析】由 f (1a) f (2 a1) 0，得 f (1a) f (2 a1)∵ f (x) 是奇函数，∴ f ( x) f (x) ，∴ f (1a) f (12a)11a1又∵ f ( x) 是定义在 (1,1) 上的减函数，∴112a1，解得 0a1．1a12a即所务实数的取值范围是0 a 1．求函数的值域，不只要重视对应法例的作用，并且还要特别注意定义域对值域的限制作易爆警告用，关于复合函数的定义域，应牢记： “内层函数的值域是外层函数的定义域 ”.雷区 3：对分段函数定义理解不透致误2x a, x 1例 3：已知实数 a0 ，函数 f (x)，若 f (1 a) f (1 a) ，则 a.x 2a, x 1错解一：，，由f (1 a) f (1 a)可得 1 a 2a 2 2a a，1 a 1 1 a 1解得 a3.4错解二：（ 1 ）当 a0 时， 1 a 1 ， 1 a 1 ，由 f (1 a ) f (1a 得)2 2a a1 a 2a ，解得 a3 a0 时， 1 a1 ， 1 a 1 ，由；（2）当23，综上所述，3f (1 a )得 1a 2a2 2a a ，解得或f (1 a )aa3 44a.2此题易出现的错误主要有两个方面：(1) 误认为 1 a 1， 1 a 1，没有对进行议论直接代入求解；(2) 求解过程中忘掉查验所求结果能否切合要求致误.(3a 1)x 4a, x 1) 上的减函数，那么的取值范围是（例 4：已知 f ( x)是 ( ,）log a x,( x 1)A ．(0，1)B. (0, 1 )C.[1, 1)D. [1 ,1)37 37错解：依题意应有 3a 1 0 1a ，解得 0 a，选 B.13此题的错误在于没有注意分段函数的特色，只保证了函数在每一段上是单一递减的，没有使函数 f(x) 在 (－ ∞， 1]上的最小值大于 (1，＋ ∞)上的最大值，进而得犯错误结果．【剖析】据题意要使原函数在定义域 R 上为减函数，要知足3a － 1＜0，且 0＜ a ＜ 1，及 x ＝1 时 (3a － 1) ×1＋ 4a ≥ log a 1，解得 a 的取值范围为 [ 1 , 1) ，应选 C.7 3例 5：已知函数 f x2 2 x , x 1,，不等式 f x 2 的解集为．2x 2, x1,错解:由22 x2 ，得 x1 ；由 2x2 2 ，得 x 0 ，所以 f x2 的解集为2(1] [0,)．2解第一个不等式时，忽视了“x 1”这个大前提．f (x)x, x 0f a ＝4x 2 , x 04、设函数，则实数 a，若（）A ．－4 或－ 2B ．－4或2C ．－2 或 4D ．－2或 2f a ＝4a 4, a4; a 2 4, a 2, a 2（舍去），即 a【剖析】由知，a 0 a1f (x)( a 1) x 3 a 4,( x 0)a x,( x 0)B4或，选.x 1 x 25、已知且，函数知足对随意实数，都有f ( x 2 ) f (x 1)x 2x 1建立，则的取值范围是（）0,11,（ C ） (1, 5]（ D ） [5,2)（ A ）（ B ）33yf ( x)a 1 0a 1【剖析】由已知得函数在 R 上单一递加，故知足3a41，解得的取值范围是(1,5].36、设函数 fx 2 x ， x 0,2 ，则实数 t 的取值范围是（x2, x 0, 若 f f t）xA..2B.2.C.. 2D.2.办理分段函数的求值问题，重要紧切记 “对号入坐 ”原则，即一定考虑自变量的取值所在区间，易爆警告假如取值不太明确时，经常要利用分类议论的思想进行办理 .①分类议论思想在求函数值中的应用：关于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确立，应分状况求解 .②查验所求自变量的值或范围能否切合题意：求解过程中，求出的参数的值或范围其实不一定切合题意，所以要查验结果能否切合要求 .1、以下图像中不可以作为函数图像的是（）【剖析】 B 项中的图像与垂直于 x 轴的直线可能有两个交点，明显不知足函数的定义．应选B.2x1， x] 表示不超出 x 的最大整数，则函数 y ＝ f(x)] 的值域为（2、设函数 f(x) ＝ 1＋ 2 x － 2 ）A ．{0}B ．{ －1，0}C ． {－1，0， 1}D ．{ －2，0}【剖析】 ∵ f(x) ＝ 1－ x 1 1 1 1 x1 1 ＋1 －＝－ x，又 2 ＞ 0，∴－ 2＜f(x) ＜ .∴ y ＝ f(x)] 的值域为 { －2 2 2 2 ＋ 121，0} ．3、函数 y 16 4x 的值域是（）A ．0，＋∞)B ． 0， 4]C ． 0， 4)D ． (0， 4)【剖析】由已知得 0≤16－ 4x ＜16， 0≤ 16－ 4x ＜ 16＝ 4，即函数 y ＝16－4x 的值域是 0，4)．答案： C4、设函数 f (x)x, x，若 f ( a)f ( 1) 2 ，则 a（）x , xA ． 3B ． 3C ． 1D ．15、已知函数 f(x) ＝2x － 3， x ∈{x ∈N|1 ≤ x ≤，5}则函数 f (x) 的值域为 ________．【剖析】∵ x ∈ {x ∈ N|1≤x ≤5}＝ {1 ， 2， 3， 4， 5} ，∴ x ＝1 时 y ＝－ 1； x ＝ 2 时 y ＝ 1； x ＝ 3 时， y ＝ 3；x ＝ 4 时， y ＝ 5； x ＝ 5 时， y ＝ 7，∴ y ∈ { － 1， 1， 3， 5， 7} ．答案： { － 1，1，3， 5， 7}a, (a b) 6 、对任意两实数 a 、 b ，定义运算 “ * ”如下： a bb) ，则函数b, (af ( x) l o 1g(3x 2) * l o 2gx 的值域为 ________．21【剖析】f ( x) log23x 2 , ( x 1)1log 1 (3x 2) * log 2 x2，∴当 x ≥1时，≤1，2log 2 x, ( x 1)3x － 232x2＜ f(x) ＜0.∴ f(x) 的值域为 (－ ∞， 0]．f(x) ≤0；当 3 1时， log 23ax 2＋1， x 0，（ a 2－） ax ，＜7、函数 f ( x)1 e x 0________．在(－∞，＋ ∞)上单一，则的取值范围是e x－，2k x（－， 08、已知函数f ( x) 1 k ) x．是 R 上的增函数，则实数的取值范围是e 0 2k1－，2（－ k )解得【剖析】由题意得 1 ≤<1. 9、设函数 f ( x)2 x 21,( x 1) f (a)1a，若，则．log 2 (1 x), (x1)【剖析】f (4)2 42 131f ( f (4)) f (31) log 2 32 5a1 ，；当时，2a 111 2a 11时， log 2 (1 a)1 ， aa1，；当 a，综上 1或 a .2210、已知函数 f ( x)3x , x [0,1] ，当 t[ 0,1] 时， f [ f (t )] [ 0,1] ，则实数的取值范93x, x(1,3]2 2围是 .【剖析】当 t [ 0,1] 时， f (t )3t [1,3] ，故当 3t 1，即 t 0 时， f [ f (t)]33t3 [0,1] ，当 3t(1,3] ，即t (0,1]时， f [ f (t )]9 3 3t[ 0,1] ，解得t[log 3 71,1] ．2211、已知函数 f ( x)log 2 x(x0)x2，则不等式 f (x ) 0 的解集为．1( x0)【剖析】当 x 0 时，log2 x0log2 1，解得 0x 1; 当 x0时， 1x2＞0 ，解得1x0 ，所以不等式 f (x )0 的解集为 ( 1,1)．12、设 O为坐标原点，给定一个定点A(4 ， 3)，而点 B(x ， 0)在 x 轴的正半轴上挪动， l(x)表示线段 AB 的长度，求函数yx的值域．l (x)。

高中数学第三章函数概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 3.1.2 第2课时分段函数精品练习

第2课时分段函数必备知识基础练知识点一分段函数求值1.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x ≥1，1，x <1，则f {f [f (2)]}＝( )A ．0B ．1C ．2 D. 22．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >0，x －1，x <－1，则函数f (x )的定义域是( )A ．(0，＋∞) B．(－∞，－1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，1－x 2，x >1，若f (x )＝－3，则x ＝________.知识点二分段函数的图象4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈0，1]，则函数f (x )的图象是( )5．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )6．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式是________．知识点三分段函数的实际应用7.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水量为( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米8．电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟后，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计费．通话收费S (元)与通话时间t (分钟)的函数图象可表示为下图中的( )关键能力综合练一、选择题1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，则f [f (－7)]的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－1002．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >0，x 2，x ≤0，则满足f (a )＝1的实数a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．23．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )4．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于( ) A ．－13 B.13 C ．－23 D.235．函数f (x )＝x ＋|x |x的图象是( )6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f x ＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43等于( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4 二、填空题7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，2－x ，－2≤x <0的值域是________．8．(易错题)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2＜x ＜4，3x ，x ≥4，若f (a )＜－3，则a 的取值X 围是________．三、解答题10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ∈[－1，0]，－12x ，x ∈0，2，3，x ∈[2，＋∞.(1)求f (－1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (4)的值； (2)求函数的定义域、值域．学科素养升级练1．(多选题)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2若f (x )＝1，则x 的值是( )A ．－1 B.12C ．－ 3D ．12．(情境命题—生活情境)某商贸公司售卖某种水果．经市场调研可知：在未来20天内，这种水果每箱的销售利润r (单位：元)与时间t (1≤t ≤20，t ∈N ，单位：天)之间的函数关系式为r ＝14t ＋10，且日销售量y (单位：箱)与时间t 之间的函数关系式为y ＝120－2t①第4天的销售利润为________元；②在未来的这20天中，公司决定每销售1箱该水果就捐赠m (m ∈N *)元给“精准扶贫”对象．为保证销售积极性，要求捐赠之后每天的利润随时间t 的增大而增大，则m 的最小值是________．3．某市出租车的现行计价标准是：路程在2 km 以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km 后的路程按1.9元/km 收取，但超过10 km 后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85元/km)．(1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f (x )(单位：元)表示为行程x (0<x ≤60，单位：km)的分段函数；(2)某乘客的行程为16 km，他准备先乘一辆出租车行驶8 km后，再换乘另一辆出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？(现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑)第2课时分段函数必备知识基础练1．解析：由题意，f(2)＝2－1＝1，f[f(2)]＝f(1)＝1－1＝0，f{f[f(2)]}＝f(0)＝1，故选B.答案：B2．解析：分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，即(0，＋∞)∪(－∞，－1)，选D.答案：D3．解析：若x≤1，由x＋1＝－3得x＝－4.若x>1，由1－x2＝－3得x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)．综上可得，所求x的值为－4或2.答案：－4或24．解析：当x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1,0)，D错；当x＝0时，y＝1，即图象过点(0,1)，C错；当x＝1时，y＝2，即图象过点(1,2)，B错．故选A.答案：A5．解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，分别画出y ＝x 2(取x ≥0部分)及y ＝－x 2(取x <0部分)即可．答案：D6．解析：由图可知，图象由两条线段(其中一条不含右端点)组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.∴f (x )＝x ＋1.当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx (k ≠0)，将(1，－1)代入，则k ＝－1.∴f (x )＝－x .即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤17．解析：该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10.由y ＝16m ，可知x ＞10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13.答案：A8．解析：结合题意，易知B 正确，故选B. 答案：B关键能力综合练1．解析：因为f (－7)＝10，所以f [f (－7)]＝f (10)＝10×10＝100，故选A. 答案：A2．解析：当a ＞0时，f (a )＝2不符合，当a ≤0时，a 2＝1， ∴a ＝－1，故选A. 答案：A3．解析：根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A ，D ，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C ，故选B.答案：B4．解析：由图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，0<x <1，x ＋1，－1<x <0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.答案：B5．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0，故选C.答案：C6．解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f x ＋1，x ≤0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23×2＝43，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝43＋83＝4. 答案：B7．解析：当x ≥0时，f (x )≥1；当－2≤x ＜0时，2＜f (x )≤4. ∴值域为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)8．易错分析：题目中f (x )为分段函数，在求值时需要根据定义域取值X 围不同代入不同的解析式，本题极易误以为1－a <1＋a 而忘记分类讨论导致结果错误．解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不符合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，满足题意．答案：－349．解析：当a ≤－2时，f (a )＝a ＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；当－2＜a ＜4时，f (a )＝a ＋1＜－3，此时不等式无解；当a ≥4时，f (a )＝3a ＜－3，此时不等式无解．所以a 的取值X 围是(－∞，－3)．答案：(－∞，－3)10．解析：(1)易知f (－1)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－12×32＝－34，f (4)＝3. (2)作出图象如图所示．利用“数形结合”，易知f (x )的定义域为[－1，＋∞)，值域为(－1,2]∪{3}．学科素养升级练1．解析：根据题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2若f (x )＝1，分3种情况讨论：①当x ≤－1时，f (x )＝x ＋2＝1，解可得x ＝－1； ②当－1<x <2时，f (x )＝x 2＝1，解可得x ＝±1，又由－1<x <2，则x ＝1；③当x ≥2时，f (x )＝2x ＝1，解可得x ＝12，舍去．综合可得：x ＝1或－1；故选AD. 答案：AD2．解析：①因为r (4)＝14×4＋10＝11，y (4)＝120－2×4＝112，所以该天的销售利润为11×112＝1 232；②设捐赠后的利润为W 元，则W ＝y (r －m )＝(120－2t )⎝ ⎛⎭⎪⎫14t ＋10－m ，化简可得，W ＝－12t 2＋(2m ＋10)t ＋1 200－120m .令W ＝f (t )，因为二次函数的开口向下，对称轴为t ＝2m ＋10，为满足题意，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋10≥20，f 1>0，n ∈N *解得m ≥5，故答案为：①1232；②5. 答案：①1232 ②53．解析：(1)由题意得，车费f (x )关于路程x 的函数为： f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8，0<x ≤2，8＋1.9x －2，2<x ≤10，8＋1.9×8＋2.85x －10，10<x ≤60＝⎩⎪⎨⎪⎧8，0<x ≤2，4.2＋1.9x ，2<x ≤10，2.85x －5.3，10<x ≤60.(2)只乘一辆车的车费为：f (16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)；换乘2辆车的车费为：2f (8)＝2×(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)．∵40.3>38.8，∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱.。

(精选试题附答案)高中数学第三章函数的概念与性质全部重要知识点

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第三章函数的概念与性质全部重要知识点单选题1、定义在R 上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(2)=0，则不等式x ⋅f(x)>0的解集为（）A ．(−∞,−2)∪(2,+∞)B ．(−2,0)∪(0,2)C ．(−2,0)∪(2,+∞)D ．(−∞,−2)∪(0,2)答案：C分析：结合函数的单调性与奇偶性解不等式即可.义在R 上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(2)=0，所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(−2)=0，x ⋅f(x)>0⇒{x >0f (x )>0 或{x <0f (x )<0 ，故x >2或−2<x <0，故选：C2、函数f (x )=√x−2(x −3)0的定义域是（）A ．[2,+∞)B ．(2,+∞)C ．(2,3)∪(3,+∞)D ．[3,+∞)答案：C分析：由分母中根式内部的代数式大于0，0指数幂的底数不为0联立不等式组求解．由{x −2>0x −3≠0 ，解得x >2且x ≠3．∴函数f(x)=√x−2(x −3)0的定义域为(2,3)∪(3,+∞)．故选：C ．3、“幂函数f (x )=(m 2+m −1)x m 在(0,+∞)上为增函数”是“函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要答案：A分析：要使函数f (x )=(m 2+m −1)x m 是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，求出m =1，可得函数g (x )为奇函数，即充分性成立；函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数，求出m =±1，故必要性不成立，可得答案.要使函数f (x )=(m 2+m −1)x m 是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，则{m 2+m −1=1m >0，解得：m =1，当m =1时，g (x )=2x −2−x ，x ∈R ，则g (−x )=2−x −2x =−(2x −2−x )=−g (x )，所以函数g (x )为奇函数，即充分性成立；“函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数”，则g (x )=−g (−x )，即2x −m 2⋅2−x =−(2−x −m 2⋅2x )=m 2⋅2x −2−x ，解得：m =±1，故必要性不成立，故选：A ．4、已知三次函数f(x)=2x 3+3ax 2+bx +c(a,b,c ∈R )，且f(2020)=2020，f(2021)=2021，f(2022)=2022，则f(2023)=（）A ．2023B ．2027C ．2031D ．2035答案：D分析：根据题意，构造函数g (x )=f (x )−x ，根据g (2020)=g (2021)=g (2022)=0可以知道g (x )=2(x −2020)(x −2021)(x −2022)，进而代值得到答案.设g (x )=f (x )−x ，则g (2020)=g (2021)=g (2022)=0，所以g (x )=2(x −2020)(x −2021)(x −2022)，所以g (2023)=2×3×2×1=12，所以f(2023)=12+2023=2035.故选：D.5、若函数f(x)=x2−mx+10在(−2,1)上是减函数，则实数m的取值范围是（）A．[2,+∞)B．[−4,+∞)C．(−∞,2]D．(−∞,−4]答案：A分析：结合二次函数的对称轴和单调性求得m的取值范围.，由于f(x)在(−2,1)上是减函数，函数f(x)=x2−mx+10的对称轴为x=m2≥1⇒m≥2.所以m2故选:A6、设函数f(x)=x2+2(4−a)x+2在区间(−∞,3]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．a≥−7B．a≥7C．a≥3D．a≤−7答案：B分析：根据二次函数的图象和性质即可求解.函数f(x)的对称轴为x=a−4，又∵函数在(−∞,3]上为减函数，∴a−4⩾3，即a⩾7．故选：B.小提示：本题考查由函数的单调区间求参数的取值范围，涉及二次函数的性质，属基础题.<0，且f(2)=0，则不等7、定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2∈[0,+∞),(x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1式xf(x)>0的解集是（）A．(−2,2)B．(−2,0)∪(2,+∞)C．(−∞,−2)∪(0,2)D．(−∞,−2)∪(2,+∞)答案：C分析：依题意可得f(x)在[0,+∞)上单调递减，根据偶函数的性质可得f(x)在(−∞,0)上单调递增，再根据f(2)=0，即可得到f (x )的大致图像，结合图像分类讨论，即可求出不等式的解集；解：因为函数f(x)满足对任意的x 1,x 2∈[0,+∞),(x 1≠x 2)，有f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1<0，即f(x)在[0,+∞)上单调递减，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )在(−∞,0)上单调递增，又f(2)=0，所以f (−2)=f (2)=0，函数的大致图像可如下所示：所以当−2<x <2时f (x )>0，当x <−2或x >2时f (x )<0，则不等式xf(x)>0等价于{f(x)>0x >0 或{f(x)<0x <0，解得0<x <2或x <−2，即原不等式的解集为(−∞,−2)∪(0,2)；故选：C8、函数f(x)=0√x−2 ）A ．[2，+∞)B ．(2，+∞)C ．(2，3)∪(3，+∞)D ．[2，3)∪(3，+∞)答案：C分析：要使函数有意义，分母不为零，底数不为零且偶次方根被开方数大于等于零.要使函数f(x)=0√x−2有意义，则{x −3≠0x −2>0，解得x >2且x ≠3，所以f(x)的定义域为(2,3)∪(3,+∞).故选：C.小提示：具体函数定义域的常见类型：（1）分式型函数，分母不为零；（2）无理型函数，偶次方根被开方数大于等于零；（3）对数型函数，真数大于零；（4）正切型函数，角的终边不能落在y 轴上；（5）实际问题中的函数，要具有实际意义.9、下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A ．f(x)=x 2−xx ，g (x )=x −1B ．f(x)=√x 2，g(x)=(√x)2C ． f (x )=x 2−2，g (t )＝t 2－2D ．f (x )=√x +1⋅√x −1，g(x)=√x 2−1答案：C分析：根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.解：由题意得：对于选项A ：f(x)=x 2−xx 的定义域为{x|x ≠0}，g(x)=x −1的定义域为R ，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A 错误；对于选项B ：f(x)=√x 2的定义域为R ，g(x)=(√x)2的定义域为{x|x ≥0}，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B 错误；对于选项C ：f (x )=x 2−2的定义域为R ，g (t )=t 2−2的定义域为R ，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C 正确；对于选项D ：f (x )=√x +1⋅√x −1的定义域为{x|x ≥1}，g(x)=√x 2−1的定义域为{x|x ≤−1或x ≥1}，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D 错误.故选：C10、已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x +y)+f(x −y)=f(x)f(y),f(1)=1，则∑22k=1f(k)=（）A ．−3B ．−2C ．0D ．1答案：A分析：法一：根据题意赋值即可知函数f (x )的一个周期为6，求出函数一个周期中的f (1),f (2),⋯,f (6)的值，即可解出．[方法一]：赋值加性质因为f (x +y )+f (x −y )=f (x )f (y )，令x =1,y =0可得，2f (1)=f (1)f (0)，所以f (0)=2，令x =0可得，f (y )+f (−y )=2f (y )，即f (y )=f (−y )，所以函数f (x )为偶函数，令y =1得，f (x +1)+f (x −1)=f (x )f (1)=f (x )，即有f (x +2)+f (x )=f (x +1)，从而可知f (x +2)=−f (x −1)，f (x −1)=−f (x −4)，故f (x +2)=f (x −4)，即f (x )=f (x +6)，所以函数f (x )的一个周期为6．因为f (2)=f (1)−f (0)=1−2=−1，f (3)=f (2)−f (1)=−1−1=−2，f (4)=f (−2)=f (2)=−1，f (5)=f (−1)=f (1)=1，f (6)=f (0)=2，所以一个周期内的f (1)+f (2)+⋯+f (6)=0．由于22除以6余4，所以∑f (k )22k=1=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1−1−2−1=−3．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由f (x +y )+f (x −y )=f (x )f (y )，联想到余弦函数和差化积公式cos (x +y )+cos (x −y )=2cos x cos y ，可设f (x )=a cos ωx ，则由方法一中f (0)=2,f (1)=1知a =2,a cos ω=1，解得cosω=12，取ω=π3，所以f (x )=2cos π3x ，则 f (x +y )+f (x −y )=2cos (π3x +π3y)+2cos (π3x −π3y)=4cos π3x cos π3y =f (x )f (y )，所以f (x )=2cos π3x 符合条件，因此f(x)的周期T =2ππ3=6，f (0)=2,f (1)=1，且f (2)=−1,f (3)=−2,f (4)=−1,f (5)=1,f (6)=2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，由于22除以6余4，所以∑f (k )22k=1=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1−1−2−1=−3．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.填空题11、函数y =√7+6x −x 2的定义域是_____.答案：[−1,7].分析：由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域.由已知得7+6x −x 2≥0,即x 2−6x −7≤0解得−1≤x ≤7，故函数的定义域为[−1,7].小提示：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．12、已知幂函数f (x )的图象过点(2,4)，则f (−1)=______．答案：1分析：根据给定条件，求出幂函数的解析式即可计算作答.依题意，设f(x)=x α，α为常数，则2α=4，解得α=2，即f(x)=x 2，所以f(−1)=1.所以答案是：113、已知函数y＝ax2－2x＋3在[2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．答案：(－∞，0]分析：根据实数a是否为零，结合一次函数、二次函数的单调性分类讨论进行求解即可. 当a＝0时，y＝－2x＋3满足题意；当a≠0时，则{a<0,1a≤2,⇒a<0，综上得a≤0．所以答案是：(－∞，0]14、关于函数f（x）=sinx+1sinx有如下四个命题：①f（x）的图象关于y轴对称．②f（x）的图象关于原点对称．③f（x）的图象关于直线x=π2对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．答案：②③分析：利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取−π<x<0可判断命题④的正误.综合可得出结论.对于命题①，f(π6)=12+2=52，f(−π6)=−12−2=−52，则f(−π6)≠f(π6)，所以，函数f(x)的图象不关于y轴对称，命题①错误；对于命题②，函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}，定义域关于原点对称，f(−x)=sin(−x)+1sin(−x)=−sinx−1sinx=−(sinx+1sinx)=−f(x)，所以，函数f(x)的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，∵f(π2−x)=sin(π2−x)+1sin(π2−x)=cosx +1cosx ， f(π2+x)=sin(π2+x)+1sin(π2+x)=cosx +1cosx ，则f(π2−x)=f(π2+x)，所以，函数f(x)的图象关于直线x =π2对称，命题③正确；对于命题④，当−π<x <0时，sinx <0，则f(x)=sinx +1sinx <0<2，命题④错误.所以答案是：②③.小提示：本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.15、已知函数f(x)=x 2−|x 2−ax −4|在区间(−∞,−2)和(2,+∞)上均单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案：0<a ≤8分析：设g(x)=x 2−ax −4，求出函数g(x)的两个零点x 1,x 2，且x 1<x 2，将函数f(x)化为分段函数，分类讨论a ，当a ≤0时，可知函数f(x)在区间(−∞,−2)上不可能单调递增；当a >0时，根据x 1的范围可知恒满足函数f(x)在区间(−∞,−2)上单调递增，根据解析式可知f(x)在[a 4,+∞)上单调递增，再由a 4≤2可解得结果. 设g(x)=x 2−ax −4，其判别式Δ=a 2+16>0，所以函数g(x)一定有两个零点，设函数g(x)的两个零点为x 1,x 2，且x 1<x 2，由x 2−ax −4=0得x 1=a−√a 2+162，x 2=a+√a 2+162，所以函数f(x)=x 2−|g(x)|= {ax +4,x <x 1,2x 2−ax −4,x 1≤x ≤x 2ax +4,x >x 2，①当a ≤0时，f(x)在(−∞,x 1)上单调递减或为常函数，从而f(x)在(−∞,−2)不可能单调递增，故a >0， ②当a >0时，x 1=a−√a 2+162 <a−√a 22=0， x 1+2=a−√a 2+162+2 =a+4−√a 2+162=√a 2+8a+16−√a 2+162>0，所以x 1>−2，所以−2<x 1<0，因为f(x)在(−∞,x1)上单调递增，所以f(x)在(−∞,−2)上也单调递增，因为f(x)在[a4,x2]和(x2,+∞)上都单调递增，且函数的图象是连续的，所以f(x)在[a4,+∞)上单调递增，欲使f(x)在(2,+∞)上单调递增，只需a4≤2，得a≤8，综上所述：实数a的取值范围是0<a≤8.所以答案是：0<a≤8小提示：关键点点睛：求解关键有2个：①利用g(x)=x2−ax−4的零点将函数f(x)化为分段函数；②分类讨论a，利用分段函数的单调性求解.解答题16、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x4−2x2；(2)f(x)=x5−x；(3)f(x)=3x1−x2；(4)f(x)=|x|+x．答案：(1)偶函数(2)奇函数(3)奇函数(4)非奇非偶函数分析：（1）利用偶函数的定义可判断函数的奇偶性；（2）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；（3）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；（4）利用反例可判断该函数为非奇非偶函数.（1）f(x)的定义域为R，它关于原点对称.f(−x)=(−x)4−2(−x)2=x4−2x2=f(x)，故f(x)为偶函数.（2）f(x)的定义域为R，它关于原点对称.f(−x)=(−x)5−(−x)=−x5+x=−f(x)，故f(x)为奇函数.（3）f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)，它关于原点对称.f(−x)=−3x1−(−x)2=−f(x)，故f(x)为奇函数.（4）f(1)=|1|+1=2,f(−1)=0，故f(1)≠f(−1),f(−1)≠−f(1)，故f(x)为非奇非偶函数.17、已知函数f(x)=x2，对任意实数t，g t(x)=−tx+1.（1）求函数y=g0(x)−f(x)的奇偶性；（2）ℎ(x)=xf(x)−g t(x)在(0,2]上是单调递减的，求实数t的取值范围；（3）若f(x)<|mg2(x)|对任意x∈(0,13]恒成立，求m的取值范围.答案：（1）偶函数；（2）(−∞,14]；（3）(−∞，−13)∪(13，+∞)分析：（1）利用奇偶性定义判断偶函数；（2）利用减函数的定义，建立不等式，求出t的范围；（3）用分离参数法，定义新函数q(x)=f(x)|g2(x)|，只需|m|>q(x)max，讨论q(x)=f(x)|g2(x)|的单调性，求出最大值，解不等式即可求出m的取值范围.（1）记p(x)=g0(x)−f(x)=1−x2，定义域为R，因为p(−x)=1−(−x)2=1−x2=p(x)，所以y=g0(x)−f(x)为偶函数.（2）ℎ(x)=xf(x)−g t(x)=1x+tx−1，任取0≤x 1<x 2≤2，则ℎ(x 1)−ℎ(x 2)=(1x 1+tx 1−1)−(1x 2+tx 2−1) =(1x 1−1x 2)+t (x 1−x 1) =(x 2−x 1)(1−tx 1x 2)x 1x 2要使ℎ(x )在(0,2]上是单调递减的，只需ℎ(x 1)−ℎ(x 2)>0恒成立.因为0≤x 1<x 2≤2，所以x 2−x 1>0,0<x 1x 2<4，所以只需1−tx 1x 2>0恒成立，即t <1x 1x 2恒成立，因为0<x 1x 2<4，所以t ≤14，即实数t 的取值范围为(−∞,14].（3）g 2(x )=−2x +1在x ∈(0,13]上的值域为[13，1)，∴要使f (x )<|mg 2(x )|对任意x ∈(0,13]恒成立，只需|m |>f (x )|g 2(x )|对任意x ∈(0,13]恒成立. 记q (x )=f (x )|g 2(x )|=x 2−2x+1,(0<x ≤13)，只需|m |>q (x )max . 任取0<x 1<x 2≤13，则q (x 1)−q (x 2)=x 12−2x 1+1−x 22−2x 2+1=x 12(−2x 2+1)−x 22(−2x 1+1)(−2x 1+1)(−2x 2+1)=(x 1−x 2)(2x 1x 2+x 1+x 2)(−2x 1+1)(−2x 2+1) 因为0<x 1<x 2≤13，所以−2x 1+1>0,−2x 2+1>0,x 1−x 2<0,2x 1x 2+x 1+x 2>0，所以(x 1−x 2)(2x 1x 2+x 1+x 2)(−2x 1+1)(−2x 2+1)<0，所以 q (x )=x 2−2x+1在(0,13]单增，所以q (x )max =q (13)=19−2×13+1=13，即|m |>13，解得：m >13或m <−13，所以m 的取值范围是(−∞，−13)∪(13，+∞)小提示：（1）定义法证明函数单调性的步骤：①取值；②作差；③定号；④下结论．单调性法求最值是求值域最常用的方法；（2）求参数范围的问题，可以用分离参数法转化为求最值来解决.18、已知幂函数f (x )=(m 2−2m +2)x 5k−2k 2（k ∈Z ）是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增．（1）求函数f (x )的解析式；（2）若f (2x −1)<f (2−x )，求x 的取值范围；（3）若实数a ，b （a ，b ∈R +）满足2a +3b =7m ，求3a+1+2b+1的最小值．答案：（1）f (x )=x 2；（2）(−1,1)；（3）2．分析：（1）根据幂函数的定义求得m ，由单调性和偶函数求得k 得解析式；（2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性去掉函数符号“f ”，然后求解；（3）由基本不等式求得最小值．解析：（1）．∵m 2−2m +2=1，∴m =1∵5k −2k 2>0，∴0<k <52（k ∈Z ）即k =1或2∵f (x )在(0，+∞)上单调递增，f (x )为偶函数∴k =2即f (x )=x 2（2）∵f (2x −1)<f (2−x )⇒f (|2x −1|)<f (|2−x |)∴|2x −1|<|2−x |，(2x −1)2<(2−x)2，x 2<1，∴x ∈(−1,1)（3）由题可知∵2a +3b =7，∴2(a +1)+3(b +1)=12⇒(a +1)6+(b +1)4=1 ∴3a+1+2b+1=[(a+1)6+(b+1)4]⋅(3a+1+2b+1)=1+34⋅b+1a+1+a+13(b+1)≥1+2√14=2，当且仅当34⋅b+1a+1=a+13(b+1)⇒2a =3b +1，即a =2，b =1时等号成立．所以3a+1+2b+1的最小值是2．19、已知函数f (x )=mx 2−1x+n 是奇函数，且f (2)=32.(1)求实数m,n 的值； (2)用函数单调性的定义证明：f (x )在(0,+∞)上单调递增；(3)当x >0时，解关于x 的不等式：f (x 2)>f (2x +3).答案：(1)m =1，n =0，(2)证明见解析，(3)(3,+∞)分析：（1）由题意可得m(−x)2−1−x+n =−mx 2−1x+n ，求出n =0，再由f (2)=32可求出m =1，（2）任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，然后求f(x 2)−f(x 1)，化简变形可得结论，（3）由（2）可知f (x )在(0,+∞)上单调递增，所以原不等式可化为x 2>2x +3，解不等式可得结果（1）因为函数f (x )=mx 2−1x+n 是奇函数，所以f(−x)=−f(x)，即m(−x)2−1−x+n =−mx 2−1x+n ， mx 2−1−x+n =−mx 2−1x+n ，所以−x +n =−(x +n)，解得n =0，所以f (x )=mx 2−1x，因为f (2)=32，所以4m−12=32，解得m =1，（2）证明：由（1）可知f (x )=x 2−1x =x −1x 任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，则f(x 2)−f(x 1)=(x 2−1x 2)−(x 1−1x 1) =(x 2−x 1)+(1x 1−1x 2) =(x 2−x 1)+x 2−x 1x 1x 2 =(x 2−x 1)(1+1x 1x 2)，因为x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，所以x 2−x 1>0，1+1x 1x 2>0，所以f(x 2)−f(x 1)>0，即f(x 2)>f(x 1)，所以f (x )在(0,+∞)上单调递增；（3）当x >0时，x 2>0,2x +3>0，由（2）可知f(x)在(0,+∞)上单调递增，因为f(x2)>f(2x+3)，所以x2>2x+3，即x2−2x−3>0，解得x<−1（舍去），或x>3，所以不等式的解集为(3,+∞)。

高一数学函数知识点总结及例题

高一数学函数知识点总结及例题函数是高中数学中的重要概念，也是后续学习数学的基础。

本文将对高一数学中的函数知识点进行总结，并提供一些例题帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素，可以用来描述两个变量之间的依赖关系。

函数通常记作f(x)，其中x为自变量，f(x)为函数值或因变量。

函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。

函数可以是单调递增、单调递减或既不递增也不递减。

奇偶性是指函数的对称性，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

例题1：已知函数f(x)=-2x+3，求函数的定义域和值域。

解：由于函数中的x没有任何限制，所以定义域为全体实数。

对于值域，由于函数是线性函数，可以取到任意的实数值，所以值域也是全体实数。

例题2：已知函数g(x)=x^2-4x，判断函数的单调性和奇偶性。

解：函数g(x)是二次函数，当系数a>0时，函数是开口向上的抛物线，函数是单调递增的；当系数a<0时，函数是开口向下的抛物线，函数是单调递减的。

由于g(x)是二次函数，所以它是偶函数。

二、函数的图像及其性质函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示，可以通过绘制函数的图像来更直观地理解函数的性质。

1. 幂函数：幂函数是指形如y=ax^n的函数，其中a和n为常数，且a≠0，n为整数。

幂函数的图像的特点是曲线形状与n的正负和大小有关，其中当n为偶数时，图像关于y轴对称；当n为奇数时，图像关于原点对称。

2. 指数函数：指数函数是以常数e（自然对数的底数）为底数的幂函数，形如y=a*e^x，其中a为常数。

指数函数的图像特点是在右侧逐渐上升，在左侧逐渐下降，且经过点(0,1)。

3. 对数函数：对数函数是指以常数a（a>0且a≠1）为底数的对数函数，形如y=loga(x)，其中x为正实数。

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习6 函数的概念及其表示

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题6 函数的概念及其表示考点知识1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．常用结论1．直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A ，B ，A 即为函数的定义域，值域为B 的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×)(2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．(×)(3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．(×)(4)函数f (x )＝⎩⎨⎧ x －1，x ≥0，x 2，x <0的定义域为R .(√) 教材改编题1．(多选)下列所给图象是函数图象的是()答案CD解析A 中，当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；B 中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；CD 中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．2．下列各组函数表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1与y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x －1与y ＝－1xC ．y ＝2x 2与y ＝2xD ．y ＝2x －1与v ＝2t －1答案D解析y ＝x －1的定义域为R ，y ＝x 2－1x ＋1的定义域为{x |x ≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A 不正确；y ＝x －1＝1x 与y ＝－1x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B 不正确； y ＝2x 2＝2|x |与y ＝2x 的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C 不正确；y ＝2x －1与v ＝2t －1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D 正确．3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ ln x ，x >0，e x ，x ≤0，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于() A ．3B ．－3C.13D ．－13答案C解析由题意可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝ln 13＝－ln3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f (－ln3)＝e －ln3＝13.题型一函数的定义域例1(1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为()A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]答案C解析由题意得⎩⎨⎧ x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，故定义域为(－1,1)．(2)已知函数f (x )的定义域为(－4，－2)，则函数g (x )＝f (x －1)＋x ＋2的定义域为________．答案[－2，－1)解析∵f (x )的定义域为(－4，－2)，要使g (x )＝f (x －1)＋x ＋2有意义，则⎩⎨⎧ －4<x －1<－2，x ＋2≥0，解得－2≤x <－1，∴函数g (x )的定义域为[－2，－1)．思维升华(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x 的取值集合；(2)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(3)若复合函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则函数f (x )的定义域为g (x )在[a ，b ]上的值域．跟踪训练1(1)函数f (x )＝1ln (x －1)＋3－x 的定义域为() A ．(1,3] B ．(1,2)∪(2,3]C ．(1,3)∪(3，＋∞) D．(－∞，3)答案B解析由题意知⎩⎨⎧ x －1>0，x －1≠1，3－x ≥0，所以1<x <2或2<x ≤3，所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．(2)(2023·南阳检测)已知函数f (x )＝lg1－x 1＋x ，则函数g (x )＝f (x －1)＋2x －1的定义域是()A ．{x |x >2或x <0}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x <2 C ．{x |x >2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≥12答案B解析要使f (x )＝lg1－x 1＋x 有意义，则1－x 1＋x >0，即(1－x )(1＋x )>0，解得－1<x <1，所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．要使g (x )＝f (x －1)＋2x －1有意义，则⎩⎨⎧ －1<x －1<1，2x －1≥0，解得12≤x <2，所以函数g (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x <2.题型二函数的解析式例2(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．(4)已知f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，求f (x )的解析式．解(1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0,2]，则sin x ＝1－t ，∵f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ，∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]．即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)(配凑法)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2， ∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)(待定系数法)∵f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17.即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，∴⎩⎨⎧ a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝7.∴f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋7.(4)(解方程组法)∵2f (x )＋f (－x )＝3x ，①∴将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，②由①②解得f (x )＝3x .思维升华函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．跟踪训练2(1)已知f (x －1)＝x 2＋4x －5，则f (x )的解析式是()A ．f (x )＝x 2＋6xB ．f (x )＝x 2＋8x ＋7C ．f (x )＝x 2＋2x －3D ．f (x )＝x 2＋6x －10答案A解析f (x －1)＝x 2＋4x －5，设x －1＝t ，x ＝t ＋1，则f (t )＝(t ＋1)2＋4(t ＋1)－5＝t 2＋6t ，故f (x )＝x 2＋6x . (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则f (x )＝________. 答案1x －1(x ≠0且x ≠1) 解析f (x )＝1x 1－1x＝1x －1(x ≠0且x ≠1)． (3)已知函数f (x )满足f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝3x ，则f (2)等于() A ．－3B ．3C ．－1D ．1答案A解析f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝3x ，① 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＋2f (x )＝－3x ，② 联立①②解得f (x )＝－2x －x ，则f (2)＝－22－2＝－3. 题型三分段函数例3(1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ f (x －1)，x >0，－ln (x ＋e )＋2，x ≤0，则f (2024)的值为() A ．－1B ．0C ．1D ．2答案C解析因为f (x )＝⎩⎨⎧ f (x －1)，x >0，－ln (x ＋e )＋2，x ≤0，所以f (2024)＝f (2023)＝f (2022)＝…＝f (1)，又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f (2024)＝1.(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2－3x ＋2，x <－1，2x －3，x ≥－1，若f (a )＝4，则实数a 的值是________；若f (a )≥2，则实数a 的取值范围是________．答案－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)解析若f (a )＝4，则⎩⎨⎧a <－1，－a 2－3a ＋2＝4或⎩⎨⎧ a ≥－1，2a －3＝4，解得a ＝－2或a ＝5. 若f (a )≥2，则⎩⎨⎧ a <－1，－a 2－3a ＋2≥2或⎩⎨⎧ a ≥－1，2a －3≥2，解得－3≤a <－1或a ≥4，∴a 的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋2，x ≤0，x ＋1x ，x >0，若f (f (a ))＝2，则a 等于() A ．0或1B ．－1或1C ．0或－2D ．－2或－1答案D解析令f (a )＝t ，则f (t )＝2，可得t ＝0或t ＝1，当t ＝0时，即f (a )＝0，显然a ≤0，因此a ＋2＝0⇒a ＝－2，当t ＝1时，即f (a )＝1，显然a ≤0，因此a ＋2＝1⇒a ＝－1，综上所述，a ＝－2或－1.(2)(2023·重庆质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >1，x 2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞解析当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)等价于x 2－1<(x ＋1)2－1，解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1，此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，x ＋1>2，f (x )<f (x ＋1)等价于log 2x <log 2(x ＋1)，此时也恒成立．综上，不等式f (x )<f (x ＋1)的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 课时精练1．函数f (x )＝lg(x －2)＋1x －3的定义域是() A ．(2，＋∞) B．(2,3)C ．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)答案D解析∵f (x )＝lg(x －2)＋1x －3， ∴⎩⎨⎧ x －2>0，x －3≠0，解得x >2，且x ≠3，∴函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．2．(2023·三明模拟)已知集合A ＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤4}，则下列对应关系中是从集合A 到集合B 的函数是()A ．f ：x →y ＝x ＋1B ．f ：x →y ＝e xC ．f ：x →y ＝x 2D ．f ：x →y ＝|x |答案B解析对于A ，当x ＝－1时，由f ：x →y ＝x ＋1得y ＝0，但0∉B ，故A 错误；对于B，因为从A＝{x|－2<x≤1}中任取一个元素，通过f：x→y＝e x在B＝{x|0<x≤4}中都有唯一的元素与之对应，故B正确；对于C，当x＝0时，由f：x→y＝x2得y＝0，但0∉B，故C错误；对于D，当x＝0时，由f：x→y＝|x|得y＝0，但0∉B，故D错误．3．已知f(x3)＝lg x，则f(10)的值为()A．1B.310C.13D.1310答案C解析令x3＝10，则x＝13 10，∴f(10)＝lg1310＝13.4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是()答案A解析水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A 符合．5．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 答案B 解析设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22，所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32. 6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ＋3，x ≤2，6＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)，若函数f (x )的值域是(－∞，4]，则实数a 的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2] D ．(1，2)答案B解析当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，当x ＝1时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3取得最大值4，所以当x ≤2时，函数f (x )的值域是(－∞，4]，所以当x >2时，函数f (x )＝6＋log a x 的值域为(－∞，4]的子集，当a >1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递增，此时f (x )>f (2)＝6＋log a 2>6，不符合题意，当0<a <1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递减，此时f (x )<f (2)＝6＋log a 2≤4，即log a 2≤－2，所以a 2≥12，可得22≤a <1，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.7．(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是() A ．y ＝－x ＋1B ．133,0,1,0x x y x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩C ．y ＝ln|x |D ．y ＝2x －1x －2答案ABD解析对A ，函数的定义域和值域都是R ；对B ，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R ；对C ，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R ；对D ，因为函数y ＝2x －1x －2＝2＋3x －2，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．所以ABD 是定义域和值域相同的函数．8．(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，则下列对应法则f 满足函数定义的有()A ．f (x 2)＝|x |B ．f (x 2)＝xC ．f (cos x )＝xD ．f (e x )＝x答案AD解析令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝|±t |＝t ，故A 符合函数定义；令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝±t ，设t ＝4，f (t )＝±2，一个自变量对应两个函数值，故B 不符合函数定义；设t ＝cos x ，当t ＝12时，x 可以取±π3等无数多个值，故C 不符合函数定义；令t ＝e x (t >0)，f (t )＝ln t ，故D 符合函数定义．9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ cos x ，x <0，f (x －π)，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π3＝________. 答案12解析由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝12.10．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________.答案x 2－1(x ≥0)解析令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．11．已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x 的定义域为__________．答案[－1,0]解析由条件可知，函数的定义域需满足⎩⎨⎧ －2≤2x ≤2，1－2x ≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]．12．已知f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ＋3，x >0，x 2－4，x ≤0，若f (a )＝5，则实数a 的值是__________；若f (f (a ))≤5，则实数a 的取值范围是__________．答案1或－3[－5，－1]解析①当a >0时，2a ＋3＝5，解得a ＝1；当a ≤0时，a 2－4＝5，解得a ＝－3或a ＝3(舍)．综上，a ＝1或－3.②设t ＝f (a )，由f (t )≤5得－3≤t ≤1.由－3≤f (a )≤1，解得－5≤a ≤－1.13．(2022·广州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，则f (1)等于()A ．－1B ．1C ．－13D.13答案B解析∵定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，∴当x ＝0时，f (1)＋2f (0)＝1，①当x ＝1时，f (0)＋2f (1)＝2，②②×2－①，得3f (1)＝3，解得f (1)＝1.14．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x ≤0，x ，x >0，若f (a －3)＝f (a ＋2)，则f (a )等于()A ．2B.2C ．1D ．0答案B解析作出函数f (x )的图象，如图所示．因为f (a －3)＝f (a ＋2)，且a －3<a ＋2，所以⎩⎨⎧ a －3≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3，此时f (a －3)＝a －3＋3＝a ，f (a ＋2)＝a ＋2，所以a ＝a ＋2，即a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1(不满足a ＝a ＋2，舍去)，则f (a )＝ 2.15．∀x ∈R ，用M (x )表示f (x )，g (x )中最大者，M (x )＝{|x |－1,1－x 2}，若M (n )<1，则实数n 的取值范围是()A ．(－2,2)B ．(－2,0)∪(0,2)C ．[－2,2]D ．(－2，2)答案B解析当x ≥0时，若x －1≥1－x 2，则x ≥1，当x <0时，若－x －1≥1－x 2，则x ≤－1，所以M (x )＝⎩⎨⎧ |x |－1，x ≥1或x ≤－1，1－x 2，－1<x <1，若M (n )<1，则当－1<n <1时，1－n 2<1⇒－n 2<0⇒n ≠0，即－1<n <0或0<n <1，当n ≥1或n ≤－1时，|n |－1<1，解得－2<n ≤－1或1≤n <2，综上，－2<n <0或0<n <2.16．(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F (x )＝⎩⎨⎧ 1，x 为有理数，0，x 为无理数被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数，下列说法正确的是()A ．F (F (x ))＝0B ．对任意x ∈R ，恒有F (x )＝F (－x )成立C ．任取一个不为0的实数T ，F (x ＋T )＝F (x )对任意实数x 均成立D ．存在三个点A (x 1，F (x 1))，B (x 2，F (x 2))，C (x 3，F (x 3))，使得△ABC 为等边三角形答案BD解析∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；取x1＝－33，x2＝0，x 3＝33，可得F(x1)＝0，F(x2)＝1，F(x3)＝0，所以A⎝⎛⎭⎪⎫－33，0，B(0,1)，C⎝⎛⎭⎪⎫33，0，恰好△ABC为等边三角形，故D正确．。

高中数学函数知识点(详细)

第二章函数一．函数1、函数的概念：〔1〕定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域．〔2〕函数的三要素：定义域、值域、对应法那么〔3〕相同函数的判断方法：①表达式相同〔与表示自变量和函数值的字母无关〕；②定义域一致 (两点必须同时具备)2、定义域：〔1〕定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值范围。

〔2〕确定函数定义域的原那么：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。

〔3〕确定函数定义域的常见方法：①假设)(x f 是整式，那么定义域为全体实数②假设)(x f 是分式，那么定义域为使分母不为零的全体实数例:求函数xy 111+=的定义域。

③假设)(x f 是偶次根式，那么定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1．求函数 ()2143432-+--=x x xy 的定义域。

例2．求函数()02112++-=x x y 的定义域。

④对数函数的真数必须大于零⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1⑥假设)(x f 为复合函数，那么定义域由其中各根本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10≠=x x⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 〔4〕求抽象函数〔复合函数〕的定义域函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2x f 的定义域函数)12(-x f 的定义域为[0,1〕求)31(x f -的定义域3、值域 :〔1〕值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

〔2〕确定值域的原那么：先求定义域〔3〕常见根本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数〔正余弦、正切〕〔4〕确定函数值域的常见方法：①直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

3.1 函数的概念及其表示高一数学(人教A版2019必修第一册)

3.1函数的概念及其表示【考点梳理】考点一：函数的有关概念函数的定义设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数函数的记法y ＝f (x )，x ∈A定义域x 叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域值域函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域考点二：同一个函数一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．考点三：区间1．区间概念(a ，b为实数，且a <b )定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ，b ]{x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b]2.其他区间的表示定义R {x |x ≥a }{x |x >a }{x |x ≤a }{x |x <a }区间(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )考点四：函数的表示方法考点五：分段函数1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．【题型归纳】题型一：函数定义的判断1．（2022·全国·高一课时练习）给出下列说法：①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；②函数的定义域和值域一定都是无限集；③若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素；④对于任意的一个函数，如果x 不同，那么y 的值也不同；⑤()f a 表示当x a =时，函数()f x 的值，这是一个常量．其中说法正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2022·全国·高一）下列图形中，不能表示以x 为自变量的函数图象的是（）A ．B ．C ．D ．3．（2021·江苏淮安·高一期中）设集合{}{}|02|03M x x N y y =≤≤=≤≤，.下列四个图象中能表示从集合 M 到集合N 的函数关系的有（）①②③④A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个题型二：区间的表示4．（2022·全国·高一专题练习）下列集合不能用区间的形式表示的个数为（）①{0,1,5,10}A =；②{}210,x x x N <∈ ；③∅；④{}x x 是等边三角形；⑤{}03x x x ≤≥或；⑥{}1,x x x Q >∈．A ．2B ．3C ．4D ．55．（2021·全国·高一专题练习）已知22a a ⎡⎤-⎣⎦，为一确定区间，则实数a 的取值范围是（）A ．()21-，B ．()12-，C ．[]21-，D ．[]12-，6．（2021·广东·中山中学高一期中）集合{}01x x x <≥或用区间表示为（）A ．()(),01,-∞⋃+∞B ．()[),01,-∞+∞C ．()[),01,-∞⋂+∞D ．(]0,1题型三：具体函数的定义域7．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数2311y x x =-+的定义域是（）A ．(],1-∞B ．()()1,00,1-UC ．[)(]1,00,1-D ．(]0,18．（2022·全国·高一单元测试）函数32x y x+=的定义域是（）A ．[)3,∞-+B ．[)()3,00,-⋃+∞C ．()3,-+∞D ．()0,∞+9．（2022·全国·高一单元测试）函数11y x x=++的定义域为（）A ．{}1x x ≥-B ．{}0x x ≠C ．{1x x >-且}0x ≠D ．{1x x ≥-且}0x ≠题型四：抽象函数的定义域10．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()()31f xg x x =-的定义域为（）A ．1,43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭11．（2021·全国·高一课时练习）已知()21f x -的定义域为3,3⎡⎤-⎣⎦，则()f x 的定义域为（）A ．[]22-,B ．[]0,2C ．[]1,2-D ．3,3⎡⎤-⎣⎦12．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()y f x =的定义域为[2,3]-，则函数(21)1f x y x +=+的定义域为()A ．3[,1]2-B ．3[,1)(1,1]2--⋃-C ．[3,7]-D ．[3,1)(1,7]--⋃-题型五：求函数的值域13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f (x )2263x x =-+，[]12x ∈-，，则函数的值域是（）A ．3[112-，）B ．3[ 112，）C ．[] 111-，D ．3112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，14．（2022·全国·高一课时练习）函数2()23g x x x =--在区间[]0,4上的值域为（）A ．[]3,5-B ．()3,5-C ．[]4,5-D ．()4,5-15．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，值域为[0,)+∞的是（）A ．y x=B ．y x=C ．16y x=D ．21y x x =++题型六：复杂（根式、分式）函数的值域16．（2022·全国·高一课时练习）函数2()1xf x x =+的值域是（）A ．(),1-∞-()1,+∞B ．(),2-∞C ．(),2-∞()2,+∞D ．[)1,-+∞17．（2021·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）函数y 243xx+=-的值域是（）A ．（﹣∞，+∞）B ．（﹣∞，12-）∪（12，+∞）C ．（﹣∞，13-）∪（13，+∞）D ．（﹣∞，13-）∪（13-，+∞）18．（2021·全国·高一课时练习）函数()2211x x f x x x --=++的最大值与最小值的和是（）A ．53B ．23C ．1D ．23-题型七：函数相等问题19．（2022·天津南开·高一期末）下列各组函数是同一函数的是（）①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与()2g x x =；③()0f x x =与01()g x x =；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④20．（2022·全国·高一专题练习）下面各组函数中是同一函数的是（）A ．32y x =-与2y x x =-B ．2()y x =与y x=C ．()221f x x x =--与()221g t t t =--D ．11y x x =+-与()()11y x x =+-21．（2022·全国·高一单元测试）在下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（）A ．()1f x x =-，()()21g x x =-B ．()3f x x =-，()()23g x x =-C ．()f x x =，()2x g x x=D ．()(1)(3)f x x x =--，()13g x x x =-⋅-题型八：已知函数类型求解析式（待定系数法）22．（2022·全国·高一课时练习）设()f x 为一次函数，且()()41f f x x =-．若()35f =-，则()f x 的解析式为（）A ．()211f x x =-或()21f x x =-+B ．()21f x x =-+C ．()211f x x =-D ．()21f x x =+23．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数()f x 满足()()2211075f x f x x x +-=-+，则()()1f f =（）A ．1B ．7C ．8D ．1624．（2022·全国·高一课时练习）已知()f x 为二次函数,且满足()01f =,()()14f x f x x --=,则()f x 的解析式为（）A ．()2221f x x x =--+B ．()2221f x x x =-++C ．()2221f x x x =---D ．()2221f x x x =-+题型九：换元法求函数解析式25．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）已知(1)2f x x x +=+，则()f x 的解析式为（）A ．2()1f x x =-B ．()21(1)f x x x =->C ．2()1(1)f x x x =-≥D ．2()1(0)f x x x =-≥26．（2022·全国·高一课时练习）若函数2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且()4f m =，则实数m 的值为（）A ．6B ．6或6-C ．6-D ．327．（2021·重庆南开中学高一阶段练习）若(1)1f x x x -=++，则()f x 的解析式为（）A ．2()1(1)f x x x x =++≥-B ．2()1(1)f x x x =-≥-C ．2()33(1)f x x x x =++≥-D ．2()(1)(1)f x x x =-≥-题型十：分段函数中的问题28．（2021·江苏宿迁·高一期中）设函数11,1()1,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，则满足() 1()2f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．1(]2-∞-，B ．1(,)2-∞C ．1(0)2-，D ．1()2-+∞，29．（2021·全国·高一专题练习）已知函数()1,101,0x x f x x x a --≤<⎧=⎨-≤≤⎩的值域是[]0,2，则实数a 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．[]1,3C ．[]1,2D ．[]2,330．（2021·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期中）已知函数(2)3,1()1,1a x a x f x x x -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩的值域为R ，那么实数a 的取值范围是（）A ．(,1]-∞-B ．[1,2)-C ．(0,2)D ．(2,1]-【双基达标】一、单选题31．（2022·全国·高一专题练习）函数符号()y f x =表示（）A ．y 等于f 与x 的乘积B ．()f x 一定是一个式子C ．y 是x 的函数D ．对于不同的x ，y 也不同32．（2022·江苏·高一单元测试）已知函数()2,056,0x x x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，若()()2f a f a -=，则2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．11B ．6C ．4D ．233．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()2268f x x x +=++，则函数()f x 的解析式为（）A ．()22f x x x=+B ．()268f x x x =++C ．()24f x x x=+D ．()286f x x x =++34．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()1,101,01x x f x x x ---≤<⎧=⎨-+<≤⎩，则()()1f x f x -->-的解集为（）A ．111,,122⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．(]11,0,12⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦C ．111,,122⎡⎤⎛⎤--⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦D ．()11,0,12⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦35．（2022·全国·高一专题练习）若函数2()1f x ax ax =++的定义域为R ，则a 的范围是（）A ．[0,4]B ．[0,4)C ．(0,4]D ．(0,4)36．（2022·全国·高一课时练习）求下列函数的定义域.(1)()45-=-x f x x ；(2)()11232f x x xx=+-+-.37．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +=+，求函数()f x 的解析式；（2）已知()()22f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式；（3）已知()f x 是R 上的函数，()01f =，并且对任意的实数x ，y 都有()()()21f x y f x y x y -=--+，求函数()f x 的解析式.【高分突破】一：单选题38．（2022·内蒙古赤峰·高一期末（理））设()f x 的定义域为R ，且满足()()11f x f x -=+，()()2f x f x +-=，若()12f =，则()()()()1232022f f f f +++⋅⋅⋅+=（）A ．2023B ．2024C ．3033D ．303439．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()2,0,2,0.x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩若()14f f ⎡⎤-=⎣⎦，且1a >-，则=a （）A ．12-B ．0C ．1D ．240．（2022·全国·高一专题练习）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A ．2()x x f x x-=，()1g x x =-B ．2()f x x =，()2()g x x=C ．()22f x x =-，()22g t t ＝－D ．()11f x x x =+⋅-，2()1g x x =-41．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()02f =B ．()f x 的值域为(),4-∞C ．()1f x <的解集为()1,1-D ．若()3f x =，则x 的值是1或342．（2021·吉林油田高级中学高一开学考试）已知函数()f x 对任意x ，y ∈R ，总有()()()x f x y y f f +=+，若()11f =-，则()3f =（）A ．－3B ．－2C ．－1D ．043．（2022·广东·化州市第三中学高一阶段练习）已知函数y ＝f （x ＋1）定义域是[－2，3]，则y ＝f （x －2）的定义域是（）A ．[1，6]B ．[－1，4]C ．[－3，2]D ．[－2，3]44．（2022·全国·高一专题练习）已知函数202()282x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，，，若()(2)(0,)f a f a a ∞=+∈+，，则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2B ．516C ．6D ．172二、多选题45．（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，与函数2y x =+不是同一个函数的是（）A ．()22y x =+B ．332y x =+C ．22x y x=+D ．22y x =+46．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（）A ．()0(0)f x x x =≠，()()10g x x =≠B ．()()21f x x x =+∈Z ，()()21g x x x =-∈Z C ．()24f x x =-，()22g x x x =+⋅-D ．()221f x x x =--，()221g t t t =--47．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，值域为[1,)+∞的是（）A ．1y x =-B ．1y x =+C ．21y x =+D ．11y x =-48．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()225,1,1x ax x f x a x x⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩在区间(),-∞+∞上是减函数，则整数a 的取值可以为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．149．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（）A ．若()f x 的定义域为[]22-,，则()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．函数1xy x=-的值域为()(),22,-∞+∞C ．函数21y x x =+-的值域为17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．函数()224f x x x =-+在[]22-,上的值域为[]4,1250．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()2,212,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(],4∞-C ．若()2f x =，则x 的值是2-D ．()1f x <的解集为()1,1-51．（2022·重庆九龙坡·高一期末）德国者名数学家狄克雷（Dirichlet ，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数“1,()0,R x Qy f x x Q ∈⎧==⎨∈⎩ð，其中R 为实数集，Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题，正确的为（）A ．对12,R x x Q ∀∈ð()()()1212,f x x f x f x +=+恒成立B ．对1x R ∀∈，都存在2x Q ∈，使得()()121f x x f x +=C ．若0,1a b ，则()(){}{}xf x a x f x b >=<∣∣D ．存在三个点()()()()()()112233,,,,,A x f x B x f x C x f x ，使得ABC 为等边三角形三、填空题52．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，则函数()21f x +的定义域为______.53．（2022·全国·高一课时练习）已知2111x f x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域为______.54．（2022·全国·高一专题练习）已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__．55．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()22xf x x=+，则()()()()1111220212022202220212f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.四、解答题56．（2022·全国·高一）作出下列函数的图象：(1)()11f x x x =-++；(2)()2243,00,043,0x x x f x x x x x ⎧-+->⎪==⎨⎪++<⎩．57．（2022·全国·高一单元测试）（1）已知()2f x x =，求()21f x +的解析式；（2）已知()24fx x x +=+，求函数()f x 的解析式；（3）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +=+，求函数()f x 的解析式；（4）已知()()223f x f x x +-=+，求()f x 的解析式．58．（2022·全国·高一单元测试）求下列函数的值域：(1)(){}()2212,1,0,1,2f x x x x =++∈--；(2)()213x f x x +=-(3)()223f x x x =-++；(4)()12f x x x =--．【答案详解】1．B【分析】利用函数的定义域和值域定义判断①②③的真假，利用函数值的定义判断④⑤的真假.【详解】解：函数值域中的每一个数都有定义域中的一个或多个数与之对应，故①不正确；函数的定义域和值域不一定都是无限集，故②不正确；根据函数的定义，可知③正确；对于任意一个函数，如果x 不同，那么y 的值可能相同，也可能不同，故④不正确；由函数值的定义，可知⑤正确.故选：B ．2．B【分析】根据函数的定义判断即可.【详解】B 中，当0x >时，y 有两个值和x 对应，不满足函数y 的唯一性，A ，C ，D 满足函数的定义，故选：B 3．B【分析】根据函数的定义判断．【详解】A 中12x <≤中的x 没有对应的象，不符合；B 符合函数定义，C 也符合函数定义，D 中对于02x <≤的x 有两个象与之对应，不符合．所以有2个满足．故选：B ．4．D【分析】根据区间的概念及区间形式可以表示连续数集，是无限集，逐个判断即可得出结论.【详解】区间形式可以表示连续数集，是无限集①②是自然数集的子集，③是空集为有限集，都不能用区间形式表示，④是图形的集合，不是数集，等边三角形组成的集合．⑥Q 是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的，故只有⑤可以，区间形式为(][)3,-∞+∞，0，故答案为：D.5．A【分析】依题意得22a a <-，解不等式即可求解．【详解】因为22a a ⎡⎤-⎣⎦，为一确定区间，则2222021a a a a a <-⇒+-<⇒-<<故选：A【解析】按照区间的定义写出区间即可.【详解】解：集合{|0x x <或}1x ≥用区间表示为：()[),01,-∞+∞.故选：B.7．C【分析】函数定义域满足23100x x ⎧-≥⎨≠⎩，求解即可【详解】由题，函数定义域满足23100x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得[)(]1,00,1x ∈-.故选：C 8．B【分析】使解析式有意义，解不等式组即可.【详解】依题意3030x x x +≥⎧⇒≥-⎨≠⎩且0x ≠，所以函数32x y x+=的定义域是[)()3,00,-⋃+∞．故选：B ．9．D【分析】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.【详解】由函数解析式有意义可得10x +≥且0x ≠，所以函数的定义域是{1x x ≥-且}0x ≠，故选：D.10．C【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.【详解】因为函数()2f x +的定义域为()3,4-，所以()f x 的定义域为()1,6-.又因为310x ->，即13x >，所以函数()g x 的定义域为1,63⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.11．C【分析】由33x -≤≤求出21x -的范围，然后可得答案.【详解】因为2(1)f x -的定义域为[3,3]-，所以33x -≤≤，所以2112x -≤-≤，所以()f x 的定义域为[1,2]-．故选：C【分析】根据函数()f x 的定义域求出21x +的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可．【详解】由题意得：2213x -≤+≤，解得：312x -≤≤，由10x +≠，解得：1x ≠-，故函数的定义域是(]3,11,12⎡⎫---⎪⎢⎣⎭，故选：B ．13．D【分析】根据二次函数的对称轴和端点处的值即可求解值域.【详解】2233()263=2--22f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,对称轴3=2x ,当[]12x ∈-，,()min 33-,22f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭又因为()()()()max -111,21,-111f f f x f ==∴==,所以函数的值域为3112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.故选:D 14．C【分析】利用二次函数的性质进行求解即可.【详解】22()23(1)4g x x x x =--=--，因此该函数的对称轴为：1x =，因为[]0,4x ∈，所以当1x =时，函数有最小值，最小值为4-，而(0)3,(4)5g g =-=，所以最大值为5，因此值域为[]4,5-，故选：C 15．B【分析】逐项判断函数值域，即可得到正确选项.【详解】对于y x =,,x R y R ∈∈，故A 不正确；对于y x =，[)[)0,0x y ∈+∞∈+∞，，，故B 正确;对于16y x=，()()()()0,0,x y ∈-∞⋃+∞∈-∞⋃+∞，0，，0，故C 不正确；对于22131=44y x x x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，3,4x R y ⎡⎫∈∈+∞⎪⎢⎣⎭，，故D 不正确；故选：B 16．C【分析】将函数2()1xf x x =+分离常数后可直接求解.【详解】22(1)22()2111x x f x x x x +-===-+++，从而可知函数2()1xf x x =+的值域为(,2)(2,)-∞⋃+∞.故选：C 17．D【分析】分离常数即可得出()1103343y x =-+-，从而得出13y ≠-，进而得出该函数的值域．【详解】解：()()1104321103343433343x x y x x x --++===-+---，∴y 13≠-，∴该函数的值域为1133⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，．故选：D ．18．B【分析】令2211x x y x x --=++，可得()()21110y x y x y -++++=，可知关于x 的方程()()21110y x y x y -++++=有解，分1y =、1y ≠两种情况讨论，结合已知条件可求得y 的取值范围，即可得解.【详解】设2211x x y x x --=++，则有()()21110y x y x y -++++=，当1y =时，代入原式，解得1x =-．当1y ≠时，()()()()()21411135y y y y y ∆=+--+=+-+，由0∆≥，解得513y -≤≤，于是y 的最大值为53，最小值为1-，所以函数()f x 的最大值与最小值的和为23．故选：B.19．C【分析】利用两函数为同一函数则定义域和对应法则要相同，逐项分析即得.【详解】①()32f x x =-与()2g x x x =-的定义域是{}|0x x ≤，而()322f x x x x =-=--，故这两个函数不是同一函数；②()f x x =与()2g x x =的定义域都是R ，()2g x x x ==，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数；③()0f x x =与()01g x x =的定义域是{}|0x x ≠，并且()()g 1f x x ==，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；④()221f x x x =--与()221g t t t =--是同一函数；所以是同一函数的是③④.故选：C.20．C【分析】分别分析各个选项中函数的定义域，值域和对应关系，即可得出答案.【详解】A ．函数的定义域为{|0}x x ≤，322y x x x =-=--，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，B ．2()y x x ==，定义域为{|0}x x ≥，函数的定义域不相同，不是同一函数C ．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数D ．由1010x x +≥⎧⎨-≥⎩得11x x ≥-⎧⎨≥⎩得1≥x ，由()()110x x +≥－得1≥x 或1x ≤－，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，故选：C ．21．B【分析】根据题意，先看函数的定义域是否相同，再观察两个函数的对应法则是否相同，即可得到结论.【详解】对于A 中，函数()1f x x =-的定义域为R ，而函数()2(1)g x x =-的定义域为[1,)+∞，所以两个函数不是同一个函数；对于B 中，函数()()23,(3)|3|f x x g x x x =-=-=-的定义域和对应法则完全相同，所以是同一个函数；对于C 中，函数()f x x =的定义域为R ，而函数()2x g x x x==的定义域为{}|0x x ≠，所以两个函数不是同一个函数；对于D 中，函数()(1)(3)f x x x =--的定义域为(,1][3,)-∞⋃+∞，而函数()13g x x x =-⋅-的定义域为[3,)+∞，所以不是同一个函数，故选：B 22．B【分析】设()f x kx b =+，根据已知条件可得出关于k 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，再结合()35f =-可得出k 、b 的值，即可得出函数()f x 的解析式.【详解】设()f x kx b =+，其中0k ≠，则()()()()241f f x k kx b b k x kb b x =++=++=-，所以，241k kb b ⎧=⎨+=-⎩，解得21k b =-⎧⎨=⎩或213k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩.当2k =-时，()21f x x =-+，此时()35f =-，合乎题意；当2k =时，()123f x x =-，此时()1733f =，不合乎题意.综上所述，()21f x x =-+.故选：B.23．B【分析】采用待定系数法先求解出()f x 的解析式，然后即可计算出()()1f f 的值.【详解】设()()20f x ax bx c a =++≠，因为()()2211075f x f x x x +-=-+，所以()()22242111075ax bx c a x b x c x x +++-+-+=-+，化简可得：()2253221075ax b a x a b c x x +-+-+=-+，所以51032725a b a a b c =⎧⎪-=-⎨⎪-+=⎩，所以211a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以()221f x x x =-+，所以()12112f =-+=，所以()()()1224217f f f ==⨯-+=，故选：B.24．A【分析】设出二次函数的解析式,结合已知利用待定系数法可以求出()f x 的解析式.【详解】设()2(0)f x ax bx c a =++≠,因为()01f =,所以1c =.又()()14f x f x x --=,所以有2224(1)(1)1(1)4240a a x b x ax bx x ax a b x a b -=⎧-+-+-++=⇒-+-=⇒⎨-=⎩,解得2a b ==-.故选：A【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式,考查了数学运算能力.25．C【分析】将已知解析式配方，可得()2(1)11f x x +=+-，再通过换元法求得解析式．【详解】因为()2(1)211f x x x x +=+=+-令()11t x t =+≥，所以()()211f t t t =-≥所以()()211f x x x =-≥故选：C.26．B 【分析】令1x t x+=，配凑可得()22f t t =-，再根据()4f m =求解即可【详解】令1x t x +=（2t ≥或2t ≤-），22221122x x t x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，()22f t t ∴=-，()224f m m =-=，6m ∴=±.故选；B 27．C【分析】利用换元法，令11t x =-≥-，则1x t =+，()21x t =+，可求出()f t 的解析式，从而得出()f x 的解析式.【详解】解：已知()11fx x x -=++，令11t x =-≥-，则1x t =+，()21x t =+，()()()22111331f t t t t t t ∴=++++=++≥-，()()2331f x x x x ∴=++≥-.故选：C.28．B【分析】化简函数解析式，分区间讨论化简不等式() 1()2f x f x +<求其解.【详解】∵11,1()1,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，∴2,1()1,1x x f x x -≤⎧=⎨>⎩，当11x +≤且21x ≤时，不等式() 1()2f x f x +<可化为2122x x --<-，∴0x ≤，当11x +≤且21x >时，不等式() +12()f x f x <可化为211x --<，∴满足条件的x 不存在，当11x +>且21x >时，不等式() +12()f x f x <可化为11<，∴满足条件的x 不存在，当11x +>且21x ≤时，不等式() +12()f x f x <可化为122x <-，∴102x <<，∴满足() +12()f x f x <的x 的取值范围是1(,)2-∞，故选：B.29．B【分析】先求出当10x -≤<时，()f x 的值域为(]1,2.由题意可知，当0x a ≤≤时，()10f x x =-=有解，此时1x =，所以[]10,a ∈，故1a ≥，然后根据()1f x x =-的单调性对a 分12a ≤≤和2a >两种情况进行讨论即可求解.【详解】解：由题意，当10x -≤<时，()(]11,2f x x =-∈，又函数()1,101,0x x f x x x a --≤<⎧=⎨-≤≤⎩的值域是[]0,2，当0x a ≤≤时，()10f x x =-=有解，此时1x =，所以[]10,a ∈，所以1a ≥，当1a ≥时，()1,0111,1x x f x x x x a -≤≤⎧=-=⎨-<≤⎩在[]0,1上单调递减，在[]1,a 上单调递增，又()()()01,10,1f f f a a ===-，①若12a ≤≤，则11a -≤，所以()[]0,1f x ∈，此时[](][]1,20,20,1=，符合题意；②若2a >，则11a ->，所以()0,1f x a ∈⎡-⎤⎣⎦，要使(][]200,11,2,a ⎡-⎤⎣⎦=，只须12a -≤，即23a <≤；综上，13a ≤≤.故选：B.30．B【分析】先求出函数1,1y x x =-≥的值域，而()f x 的值域为R ，进而得20230a a a -<⎧⎨-+≥⎩，由此可求出a 的取值范围.【详解】解：因为函数1,1y x x =-≥的值域为[0,)+∞，而()f x 的值域为R ，所以函数()()23(1)g x a x a x =-+<的值域包含(),0∞-,所以()202130a a a ->⎧⎨-⨯+≥⎩，解得12a -≤<，故选：B 31．C【分析】直接根据函数定义可判断.【详解】符号()y f x =，即“y 是x 的函数”的数学表示，它仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与x 的乘积”()f x 也不一定是解析式，可以是图象、表格，也可以是文字叙述，故A 、B 错误；当2y x =时，1x =或1x =-时，1y =，故D 错误.故选：C 32．D【分析】分析函数()f x 的单调性，结合已知条件可得出关于a 的等式，求出a 的值，代值计算可得2a f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】因为()2,056,0x x x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，所以，函数()f x 在(],0-∞和()0,∞+上均为增函数，因为()()2f a f a -=，所以20a a -≤⎧⎨>⎩，可得02a <≤，由题意可得()2526a a a +=-+，即2440a a -+=，解得2a =，合乎题意，所以，()211122a f f ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故选：D.33．A【分析】利用配凑法（换元法）计算可得.【详解】解：方法一（配凑法）∵()()()22268222f x x x x x +=++=+++，∴2()2f x x x =+.方法二（换元法）令2t x =+，则2x t =-，∴()()()2226282f t t t t t =-+-+=+，∴2()2f x x x =+.故选：A 34．B【分析】根据分段函数解析式分类讨论，分别求出不等式的解集，最后取并集.【详解】解：当01x <≤时，10x -≤-<，则()()1f x f x -->-可化为()111x x -+-->-，解得32x <，又01x <≤，所以01x <≤.当10x -≤-<时，01x <-≤，则()()1f x f x -->-可化为()111x x ---+>-，解得12x <-，又10x -≤<，所以112x -≤<-.综上，(]11,0,12x ⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎣⎦.故选：B.35．A【分析】根据给定条件，可得210ax ax ++≥，再分类讨论求解作答.【详解】依题意，R x ∀∈，210ax ax ++≥成立，当0a =时，10≥成立，即0a =，当0a ≠时，2Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得04a <≤，因此得04a ≤≤，所以a 的范围是[0,4].故选：A36．(1){}45x x x ≥≠且(2)3202x x x ⎧⎫-≤<≠⎨⎬⎩⎭且【分析】根据函数解析式，分别列出不等式，解出即可.（1）要使该函数有意义，只需4050x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得4x ≥，且5x ≠，所以该函数的定义域为:{}45x x x ≥≠且（2）要使该函数有意义，只需230200x x x +≥⎧⎪->⎨⎪≠⎩，解得322x -≤<，且0x ≠，所以该函数的定义域为:3202x x x ⎧⎫-≤<≠⎨⎬⎩⎭且37．（1）()21f x x x =-+；（2）()23x f x x =+；（3）()21f x x x =++.【分析】（1）待定系数法：先设含待定系数的解析式，再利用恒等式的性质或将已知条件代入，建立方程（组），通过解方程（组）求出相应的待定系数.（2）方程组法：已知关于()f x 与()f x -的表达式，构造出另外一个等式，通过解方程组求出()f x .（3）特殊值法（赋值法）：通过取特殊值代入题设中的等式，使抽象的问题具体化、简单化，求出解析式.【详解】（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，由()01f =得：c ＝1.由()()12f x f x x +=+得：()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ，整理得()()220a x a b -++=，∴2200a a b -=⎧⎨+=⎩，则11a b =⎧⎨=-⎩，∴()21f x x x =-+.（2）∵()()22f x f x x x +-=-，①∴()()22f x f x x x -+=+，②②×2－①得：()233f x x x =+，∴()23x f x x =+.（3）令y x =，则()()()()0211f x y f f x x x x -==--+=，∴()21f x x x =++.38．A【分析】根据函数的性质由()()11f x f x -=+，()()2f x f x +-=可得()(1)(2)(3)4f x f x f x f x ++++++=【详解】因为()()2f x f x +-=，()12f =，所以(1)0f -=，(0)1f =由()()11f x f x -=+得()(2)f x f x -=+，所以()(2)2f x f x ++=，(1)(3)2f x f x +++=，即()(1)(2)(3)4f x f x f x f x ++++++=，所以[(1)(0)(1)(2)][(3)(4)(2021)(2022)]45062024f f f f f f f f -++++++⋅⋅⋅++=⨯=所以()()()()12320222024(1)(0)2023f f f f f f +++⋅⋅⋅+=---=.故选：A.39．C【分析】根据函数的解析式求出(1)1f a -=+，结合10a +>即可求出[(1)]f f -，进而得出结果.【详解】由题意知，2(1)(1)1f a a -=-+=+，又1a >-，所以10a +>，所以1[(1)](1)24a f f f a +-=+==，解得1a =.故选：C 40．C【分析】根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.【详解】解：由题意得：对于选项A ：2()x x f x x-=的定义域为{}|0x x ≠，()1g x x =-的定义域为R ，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A 错误；对于选项B ：2()f x x =的定义域为R ，()2()g x x =的定义域为{}|0x x ≥，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B 错误；对于选项C ：()22f x x =-的定义域为R ，()22g t t =-的定义域为R ，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C 正确；对于选项D ：()11f x x x =+⋅-的定义域为{}|1x x ≥，2()1g x x =-的定义域为{|1x x ≤-或1}x ≥，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D 错误.故选：C41．B【分析】根据函数解析式，画出函数图象，结合图象一一判断即可；【详解】解：因为()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，函数图象如下所示：由图可知()00f =，故A 错误；()f x 的值域为(),4-∞，故B 正确；由()1f x <解得()(),11,1-∞--，故C 错误；()3f x =，即2312x x ⎧=⎨-<<⎩，解得3x =，故D 错误；42．A【分析】根据题设抽象函数的递推关系求函数值即可.【详解】由题设，()()()()312313f f f f =+==-．故选：A ．43．A【分析】根据定义域的定义求解即可.【详解】由题意知，－2≤x ≤3，∴－1≤x ＋1≤4，∴－1≤x －2≤4，得1≤x ≤6，即y ＝f （x －2）的定义域为[1，6]；故选：A.44．A【分析】根据分段函数，分02a <<，2a ≥，由()(2)f a f a =+求解.【详解】因为函数202()282x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，，，且()(2)(0,)f a f a a ∞=+∈+，，当02a <<时，()2228a a a +=-++，即2340a a +-=，解得4a =-或1a =，当2a ≥时，()28228a a -+=-++，无解，综上：1a =，所以()112f f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选：A45．ACD【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可.【详解】解：2y x =+的定义域为R ．对于A ，()22y x =+的定义域为[)2,-+∞，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于B ，3322y x x =+=+定义域为R ，与2y x =+定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，22x y x=+的定义域为{}0x x ≠，与2y x =+定义域不同，不是同一函数；对于D ，22,0222,0x x y x x x x +≥⎧=+=+=⎨-+<⎩，与2y x =+的对应关系不同，不是同一函数．故选：ACD ．【分析】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是同一个函数.【详解】对于选项A ，()0(0)f x x x =≠，()()10g x x =≠两个函数的定义域均为{}0x x ≠，且01y x ==，所以对应关系也相同，所以是同一个函数，故A 正确；对于选项B ，()()21f x x x =+∈Z ，()()21g x x x =-∈Z 两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，故B 错误；对于选项C ，()24f x x =-的定义域为(][,2)2,-∞-⋃+∞，()22g x x x =+⋅-的定义域为[2,)+∞，定义域不同，不是同一个函数，故C 错误；对于选项D ，()221f x x x =--，()221g t t t =--两个函数的定义域均为R ，对应关系也相同，是同一个函数，故D 正确．故选：AD.47．BC【分析】可以求出选项A 函数的值域为[0,)+∞，选项D 函数的值域为(0,)+∞，选项BC 函数的值域为[1,)+∞，即得解.【详解】解：A.函数的值域为[0,)+∞，所以该选项不符合题意；B.因为||0,||11x x ≥∴+≥，所以函数的值域为[1,)+∞，所以该选项符合题意；C.因为2220,11,11x x x ≥∴+≥∴+≥，所以函数的值域为[1,)+∞，所以该选项符合题意；D.函数的值域为(0,)+∞，所以该选项不符合题意.故选：BC48．AB【分析】依题意函数在各段上单调递减，且在断点左边的函数值不小于右边的函数值，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：由题意可得10125a a a a -≥⎧⎪<⎨⎪++≥-⎩，解得21a -≤≤-，∴整数a 的取值为2-或1-．故选：AB49．AC【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A ；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B ；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C ；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.【详解】对于A ，因为()f x 的定义域为[]22-,，所以2212x -≤-≤，解得1322x -≤≤，即()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故A 正确；对于B ，11111111x x x y x x x x -+==-=-=------，所以1y ≠-，即函数1x y x =-的值域为()(),11,-∞--+∞，故B 不正确；对于C ，令1t x =-，则21x t =-，0t ≥，所以()2221172122248y t t t t t ⎛⎫=-+=-++=--+ ⎪⎝⎭，0t ≥，所以当14t =时，该函数取得最大值，最大值为178，所以函数21y x x =+-的值域为17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故C 正确；对于D ，()()222413f x x x x =-+=-+，其图象的对称轴为直线1x =，且()13f =，()212f -=，所以函数()224f x x x =-+在[]22-,上的值域为[]3,12，故D 不正确．故选：AC ．50．BC【分析】求出分段函数的定义域可判断A ；求出分段函数的值域可判断B ；分1≥x 、21x -£<两种情况令()2f x =求出x 可判断C ；分1≥x 、21x -£<两种情况解不等式可判断D.【详解】函数()2,212,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩的定义域是[)2,-+∞，故A 错误；当21x -£<时，()2f x x =，值域为[]0,4，当1≥x 时，()2f x x =-+，值域为(],1-∞，故()f x 的值域为(],4∞-，故B 正确；当1≥x 时，令()22f x x =-+=，无解，当21x -£<时，令()22f x x ==，得到2x =-，故C 正确；当21x -£<时，令()21f x x =<，解得()1,1x ∈-，当1≥x 时，令()21f x x =-+<，解得()1,x ∈+∞，故()1f x <的解集为()()1,11,-+∞，故D 错误．故选：BC ．51．BCD 【分析】根据题中所给的函数的解析式，结合实数的性质逐一判断即可.【详解】A ：当1222x x ==-、时，显然12,R x x Q ∈ð，而(22)(0)1f f -==，(2)(2)000f f +-=+=，所以()()()1212f x x f x f x +=+不成立，故本选项不正确；B ：当1x Q ∀∈时，1()1f x =，因为有理数加上一个有理数得到的和仍是有理数，所以1x Q ∀∈时，都存在2x Q ∈，使得()()121f x x f x +=；当1R x Q ∀∈ð时，1()0f x =，因为一个无理数与一个有理数的和还是无理数，所以当1R x Q ∀∈ð时，都存在2x Q ∈，使得()()121f x x f x +=，所以本选项正确；C ：当x Q ∈时，()1f x =，所以此时{}()x f x a Q >=，{}()x f x b Q <=，显然()(){}{}xf x a x f x b >=<∣∣成立；当R x Q ∈ð时，()0f x =，所以此时{}()R x f x a Q >=ð，{}()R x f x b Q <=ð，显然()(){}{}xf x a x f x b >=<∣∣成立，因此本选项正确；D ：当123,,x x x 三个数都不是有理数时，它们都是无理数，则有123()()()0f x f x f x ===，此时三点共线，不构成三角形；当123,,x x x 三个数都是有理数时，此时123()()()1f x f x f x ===，因此三点共线，构不成三角形；当123,,x x x 三个数有二个数是有理数时，不妨设12,x x 是有理数，则3x 为无理数，所以有123()()1,()0f x f x f x ===，当三角形ABC 是等边三角形时，有2213231212312()1()1()()2()AC CB x x x x x x x x x x x =⇒-+=-+⇒-+=-，显然12x x ≠，于是有1232x x x +=，两个有理数的和不可能是无理数，所以构不成等边三角形；当123,,x x x 三个数有一个数是有理数时，不妨设1x 是有理数，则23,x x 为无理数，所以有123()1,()()0f x f x f x ===，当三角形ABC 是等边三角形时，有2213123232132()1()1()()2()AC BA x x x x x x x x x x x =⇒-+=-+⇒-+=-，显然32x x ≠，于是有3212x x x +=，取10x =，设23x x <，如下图所示：13tan 333OA OB OB OB π=⇒=⇒=，即2333,33x x =-=，所以存在三点33(0,1),(,0),(,0)33A B C -，使得ABC 为等边三角形，因此本选项正确，故选：BCD 【点睛】关键点睛：根据已知函数的解析式，结合无理数和有理数的性质是解题的关键.52．{}0【分析】根据抽象函数定义的求法，得到2011x ≤+≤，即可求得函数()21f x +的定义域.【详解】因为函数()f x 的定义域为[]0,1，所以2011x ≤+≤，即210x -≤≤，解得0x =，所以函数()21f x +的定义域为{}0.故答案为：{}0.53．()1,+∞【分析】先求出()()()2111f x x x =-+≠，再结合二次函数的性质即可得出值域.【详解】解：令1x t x +=，则111t x =+≠，所以11t x =-，所以()()211f t t =-+，故()f x 的解析式为()()()2111f x x x =-+≠，其值域为()1,+∞.故答案为：()1,+∞.54．2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】将m 分为000m m m =><，，三种情况讨论：当0m =时，()210f x x =-≥满足条件；当0m <时，由二次函数知开口向下，不满足条件；当0m >时，只需二次函数的0∆≥即可，解出m 的取值范围，综上得m 的取值范围.【详解】解：当0m =时，()()22121f x mx m x m x =--+-=-，值域是[0，+∞），满足条件；令()()221g x mx m x m =--+-，()()0g x ≥当m ＜0时，()g x 的图象开口向下，故f （x ）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；当m ＞0时，()g x 的图象开口向上，只需()2210mx m x m --+-=的0∆≥，即（m ﹣2）2﹣4m （m ﹣1）≥0，∴232333m -≤≤，又0m >，所以2303m <≤综上，2303m ≤≤，∴实数m 的取值范围是：2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故答案为：2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.55．40434##1010.75【分析】观察所求结构，考察()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后可得.【详解】因为()111112222222x x xf x f x x x x +⎛⎫+=+== ⎪++⎝⎭+⋅，()114f =，所以()()()()1111220212022202220212f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1140432021244=⨯+=.故答案为：4043456．(1)作图见解析；(2)作图见解析.【分析】（1）先去绝对值变成分段函数，然后作出每一段的图象即可；（2）结合二次函数的图象特征，分别作出每一段图象即可.（1）因为函数()2,12,112,1x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，画出其图象如图①所示．（2）函数的图象是两段抛物线（部分）与一点，画出其图象如图②所示，57．（1）()221441f x x x +=++；（2）()24(2)f x x x =-≥；（3）()21f x x x =-+；（4）()21f x x =-+【分析】（1）根据已知函数代入直接求解即可，（2）利用换元法或配凑法求解，（3）利用待定系数法求解，设()2(0)f x ax bx c a =++≠，然后根据已知条件列方程求出,,a b c即可，（4）利用方程组法求解，用－x 替换()()223f x f x x +-=+中的x ，将得到的式子与原式子联立可求出()f x .【详解】（1）因为()2f x x =，所以()()222121441f x x x x +=+=++．（2）方法一设2t x =+，则2t ≥，2x t =-，即()22x t =-，所以()()()222424f t t t t =-+-=-，所以()24(2)f x x x =-≥．方法二因为()()2224f x x +=+-，所以()24(2)f x x x =-≥．（3）因为()f x 是二次函数，所以设()2(0)f x ax bx c a =++≠．由()01f =，得c ＝1．由()()12f x f x x +=+，得()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ，整理得()()220a x a b -++=，所以2200a a b -=⎧⎨+=⎩，所以11a b =⎧⎨=-⎩，所以()21f x x x =-+．（4）用－x 替换()()223f x f x x +-=+中的x ，得()()223f x f x x -+=-+，由()2()232()()23f x f x x f x f x x +-=+⎧⎨+-=-+⎩，解得()21f x x =-+．58．(1){}0,1,4,9(2)(,2)(2,)-∞⋃+∞(3)520,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦(4)1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）将2,1,0,1,2--代入()f x 求解即可；（2）形如()0,ax b y ac ad bc cx d +=≠≠+的函数常用分离常数法求值域，ad b ax b a c y cx d c cx d-+==+++，其值域是a y y c ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭.（3）根据二次函数的顶点式求解值域，再结合根式的定义域求解即可.（4）形如(0)y ax b cx d ac =+++≠的函数常用换元法求值域，先令t cx d =+，用t 表示出x ，并注明t 的取值范围，再代入原函数将y 表示成关于t 的二次函数，最后用配方法求值域．（1）因为()21f -=，()10f -=，()01f =，()14f =，()29f =，所以函数()f x 的值域为{}0,1,4,9．（2）因为()f x =212(3)772333x x x x x +-+==+---，且703x ≠-，所以()2f x ≠，所以函数()f x 的值域为(,2)(2,)-∞⋃+∞．（3）因为()2212523248f x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以()0f x ≤524≤，所以函数()f x 的值域为520,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（4）设12t x =-（换元），则0t ≥且21122x t =-+，令22111(1)1222y t t t =--+=-++.因为0t ≥，所以12y ≤，即函数()f x 的值域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。

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高中数学-函数的概念及表示练习
【考情分析】
高考在本考点的常考题型为选择和填空，分值5分，中高等难度
【考纲研读】
1．了解构成函数的要素，了解映射的概念
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数
3．了解简单的分段函数，并能简单应用
一、选择题
1．(·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧
1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，
则f (－2)＋f (log 212)＝( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
2．(·浙江高考)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( )
A ．f (sin2x )＝sin x
B ．f (sin2x )＝x 2＋x
C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|
D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|
3.(山东)设f (x )={√x ,0<x <1,2(x -1),x ≥1.若f (a )=f (a +1),则f (1a )=( ) A.2 B.4 C.6 D.8
4．(·山东高考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ 3x －1，x <1，2x ，x ≥1.
则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )
A ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23，1 B ．[0，1] C ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) 二、填空题
5．(·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos πx 2，0<x ≤2，
x ＋12，－2<x ≤0，，则f [f (15)]的值为________．
6．(·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，
则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．
7.(北京)设函数f (x )={x 3-3x ,x ≤a ,-2x ,x >a .
①若a =0,则f (x )的最大值为__________________;
②若f (x )无最大值,则实数a 的取值范围是____________.
8.(浙江)已知λ∈R,函数f(x)={x -4, x ≥λ,
x 2-4x +3, x <λ.当λ=2时,不等式
f(x)<0的解集是____________.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是________________.
9.(课标Ⅰ)设函数f (x )={
e x -1,x <1,x 13,x ≥1,则使得
f (x )≤2成立的x 的取值范围是
_________.
10.(天津文)已知a ∈R,函数f (x )={x 2+2x +a −2,x ≤0,−x 2+2x −2a,x >0.
若对任意x ∈[-3,+∞), f (x )≤|x |恒成立,则a 的取值范围是____________.
参考答案
1. 答案： C
解析： ∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3；
∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6．
∴f (－2)＋f (log 212)＝9．
2. 答案： D
解析：对于A ，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝1，这与函数的定
义不符，故A 错误．在B 中，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝π24＋π2，与
函数的定义不符，故B 错误．在C 中，令x ＝1，得f (2)＝2；令x ＝－1，得f (2)＝0，与函数的定义不符，故C 错误．在D 中，变形为f (|x ＋1|2－1)＝|x ＋1|，令|x ＋1|2－1＝t ，得t ≥－1，|x ＋1|＝t ＋1，从而有f (t )＝t ＋1，显然这个函数关系在定义域[－1，＋∞)上是成立的，故选D ．
3. 答案： C
4. 答案： C
解析：解法一：①当a <23时，f (a )＝3a －1<1，f [f (a )]＝3(3a －1)－1＝9a －4，
2f (a )＝23a －1，显然f [f (a )]≠2f (a )．
②当23≤a <1时，f (a )＝3a －1≥1，f [f (a )]＝23a －1，2f (a )＝23a －1，故f [f (a )]＝2f (a )． ③当a ≥1时，f (a )＝2a >1，f [f (a )]＝22a ，2f (a )＝22a ，故f [f (a )]＝2f (a )．综合①②③知a ≥23．故选C ．
解法二：∵f (x )＝⎩⎨⎧ 3x －1，x <1，2x ，x ≥1，
而f [f (a )]＝2f (a )， ∴f (a )≥1，
∴有⎩⎨⎧ a <1，3a －1≥1或⎩⎨⎧
a ≥1，2a ≥1，
解得23≤a <1或a ≥1， ∴a ≥23，即a ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞，故选C ． 5. 答案： 22
解析： ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴函数f (x )的周期为4，
∴f (15)＝f (－1)＝12，f 12＝cos π4＝22，
∴f [f (15)]＝f 12＝22．
6. 答案： ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，＋∞ 解析：由题意知，可对不等式分x ≤0，0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．
当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14
， ∴－14＜x ≤0．
当0＜x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12＞1，显然成立．
当x ＞12时，原不等式为2x ＋2x －12＞1，显然成立．
综上可知，x ＞－14．
7. 答案： ①2 ②(-∞,-1)
8. 答案： (1,4);(1,3]∪(4,+∞)
9. 答案： (-∞,8]
10. 答案： [18,2]。