高中数学函数的概念与性质(T)
高中数学新教材必修第一册第三章 函数的概念与性质基础知识
第三章 函数的概念与性质1函数的概念：一般地，设B A ,是非空的实数集，如果对于集合A 中的 x ，按照某种 f ，在集合B 中都有 y 与它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(，其中，x 叫做 ，x 的取值范围A 叫做函数的 ，与x 的值相对应的y 值叫做 ，函数值的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的 ，值域是集合B 的子集．2函数的三要素： 、 、 ． 求函数定义域的原则：(1)若()f x 为整式，则其定义域是 ；(2)若()f x 为分式，则其定义域是 ；(3)若()f x 是二次根式(偶次根式)，则其定义域是 ；(4)若()0f x x =，则其定义域是 ；(5)若()()0,1x f x a a a =>≠，则其定义域是 ；(6)若()()log 0,1a f x x a a =>≠，则其定义域是 ；(7)若f (x )=sinx,g (x )=cosx ，则其定义域是 ；(8)若x x f tan )(=，则其定义域是 ；求函数值域的方法：配方法，换元法，图象法，单调性法等；求函数的解析式的方法：待定系数法，换元法，配凑法，方程组法等；3函数的表示方法：解析法(用函数表达式表示两个变量之间的对应关系)、图象法(用图象表达两个变量之间的对应关系)、列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系)．4分段函数：在定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有不同对应关系的函数．6函数的单调性：(1)单调递增：设任意 ，当 时，有 .特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为增函数；(2)单调递减：设任意 ，当 时，有 特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为减函数．7单调区间：如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间有(严格的)单调性，区间就叫做函数的单调区间，单调区间分为单调增区间和单调减区间．8复合函数的单调性：同增异减．9函数的最大值、最小值：一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足: ,都有 ； 使得 ，那么称M 是函数的最大(小)值．10函数的奇偶性：偶函数：一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果 ，都有 ，且 ，那么函数叫做 ；偶函数的图象关于 对称；奇函数：一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果 ，都有 ，且 ，那么函数叫做 ；奇函数的图象关于 对称；若奇函数)(x f y =的定义域中有零，则其函数图象必过原点，即(0)0f =.11幂函数：一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数． 12幂函数()f x x α=的性质：①所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 ； ①如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在区间[)0,+∞上是 ； ①如果0α<，则幂函数的图象在区间()0,+∞上是 ，①幂函数图象不出现于第四象限．。
高中数学-函数概念及其性质知识总结
数学必修1函数概念及性质（知识点陈述总结）（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．注重：○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注重：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
)2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注重：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.(3).求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y= f(x),x∈A}图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.(2)画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法（请参考必修4三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。
高一数学教案复习函数的基本概念与性质
高一数学教案复习函数的基本概念与性质函数是数学中一种重要的概念，它在数理科学的研究和实际应用中都有着广泛的应用。
高一学生正处于数学基础知识的学习和掌握阶段，因此对于函数的基本概念与性质的复习显得尤为重要。
本篇教案将细致地介绍函数的基本概念和常见的性质，以帮助学生加深对该知识点的理解和运用。
一、函数的基本概念函数是指两个集合之间的一种特殊关系，其中每个元素（自变量）在定义域内只对应一个元素（因变量）。
为了确定一个函数，我们需要明确以下几个要素：1.1 定义域和值域函数的定义域是指自变量可能取值的集合，而值域则是函数的所有可能输出值的集合。
需要注意的是，函数的定义域可以是实数集、整数集或自然数集等不同数集。
1.2 关系式或图表函数可以通过关系式或图表的形式来表示。
关系式是指将自变量和因变量之间的关系用式子表示出来，如y = 2x + 3；图表则是将自变量和因变量的对应关系用表格或图像呈现出来。
1.3 函数的特性函数可以通过一些特性来描述和判断，比如奇偶性、单调性、周期性等。
这些特性可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
二、函数的性质与图像除了基本概念之外，函数还具有一些常见的性质。
下面我们将介绍一些关于函数性质的重要内容，并通过图像来进一步说明。
2.1 奇偶性一个函数可以是奇函数、偶函数或者既不是奇函数也不是偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，即f(-x) = -f(x)；偶函数的图像关于y轴对称，即f(-x) = f(x)。
2.2 单调性单调函数是指在定义域上具有单调性的函数。
如果函数在某一区间上递增，那么它是递增函数；如果函数在某一区间上递减，那么它是递减函数。
2.3 周期性周期函数是指在一定区间内，函数的值按照一定规律重复出现。
常见的周期函数有正弦函数和余弦函数等。
周期可以通过函数的图像来观察和确定。
三、函数的应用函数的概念和性质在数学和实际应用中都有广泛的应用。
在数学上，函数可以用于解决各种数学问题，如方程的求解、不等式的证明等。
高中数学必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解
经典高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示1、映射：1对映射定义的理解;2判断一个对应是映射的方法;一对多不是映射,多对一是映射集合A,B 是平面直角坐标系上的两个点集,给定从A →B 的映射f:x,y →x 2+y 2,xy,求象5,2的原象.3.已知集合A 到集合B ＝｛0,1,2,3｝的映射f:x →11-x ,则集合A 中的元素最多有几个写出元素最多时的集合A.2、函数;构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法; 例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法;但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域;例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式;与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化; 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法; 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式;例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f例6 设)(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式六、赋值法：当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式;例7 已知：1)0(=f ,对于任意实数x 、y,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式;例8 设)(x f 是+N 上的函数,满足1)1(=f ,对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(,求)(x f1、求函数定义域的主要依据：1分式的分母不为零；2偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义；32 2 (21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发,推出y=fx 的取值范围,适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式； ③判别式法：运用方程思想,依据二次方程有根,求出y 的取值范围；适合分母为二次且x ∈R 的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式x 有范围限制时要画图； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数四．1．定义:2.性质：①y=fx 是偶函数⇔y=fx 的图象关于y 轴对称, y=fx 是奇函数⇔y=fx 的图象关于原点对称,②若函数fx 的定义域关于原点对称,则f0=0③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇两函数的定义域D 1 ,D 2,D 1∩D 2要关于原点对称31、函数单调性的定义：2 设()[]x g f y =是定义在M 上的函数,若fx 与gx 的单调性相反,则()[]x g f y =在M 上是减函数；若fx 与gx 的单调性相同,则()[]x g f y =在M 上是增函数;时,1)(>x f ,⑴求证：)(x f 在R 上是增函数； ⑵若4)3(=f ,解不等式2)5(2<-+a a f 3函数)26(log 21.0x x y -+=的单调增区间是________4高考真题已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A (0,1)B 1(0,)3C 11[,)73D 1[,1)7一：函数单调性的证明1.取值 2,作差 3,定号 4,结论 二：函数单调性的判定,求单调区间x a x y += 0>a xax y -= 0>a 三：函数单调性的应用1.比较大小 例：如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)2()2(-=+t f t f ,那么 A 、)4()1()2(f f f << B 、)4()2()1(f f f <<C 、)1()4()2(f f f << C 、)1()2()4(f f f <<2.解不等式例：定义在－1,1上的函数()f x 是减函数,且满足：(1)()f a f a -<,求实数a 的取值范围; 例：设是定义在上的增函数,,且,求满足不等式的x 的取值范围.3.取值范围例: 函数 在上是减函数,则 的取值范围是_______．例：若(31)41()log 1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数,那么a 的取值范围是A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)74. 二次函数最值例：探究函数12)(2+-=ax x x f 在区间[]1,0的最大值和最小值;例：探究函数12)(2+-=x x x f 在区间[]1,+a a 的最大值和最小值;5.抽象函数单调性判断例：已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞,当1>x 时,0)(>x f ,且)()()(y f x f xy f +=⑴求)1(f ,⑵证明)(x f 在定义域上是增函数⑶如果1)31(-=f ,求满足不等式)21()(--x f x f ≥2的x 的取值范围例：已知函数fx 对于任意x ,y ∈R ,总有fx ＋fy ＝fx ＋y ,且当x >0时,fx <0,f 1＝－错误!.1求证：fx 在R 上是减函数； 2求fx 在－3,3上的最大值和最小值．例：已知定义在区间0,＋∞上的函数fx 满足f 错误!＝fx 1－fx 2,且当x >1时,fx <0. 1求f 1的值；2判断fx 的单调性；3若f 3＝－1,解不等式f |x |<－2.六．函数的周期性：1．定义若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数,T 是它的一个周期;说明：nT 也是)(x f 的周期推广若)()(b x f a x f +=+,则)(x f 是周期函数,a b -是它的一个周期对照记忆()()f x a f x a +=-说明：()()f a x f a x +=-说明：2．若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a1 已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+2=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D22 定义在R 上的偶函数()f x ,满足(2)(2)f x f x +=-,在区间-2,0上单调递减,设( 1.5),(2),(5)a f b f c f =-==,则,,a b c 的大小顺序为_____________3 已知f x 是定义在实数集上的函数,且,32)1(,)(1)(1)2(+=-+=+f x f x f x f 若则f 2005= .4 已知)(x f 是-∞+∞，上的奇函数,)()2(x f x f -=+,当0≤≤x 1时,fx=x,则f=________ 例11 设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x 恒满足)()2(x f x f -=+,当]2,0[∈x 时22)(x x x f -=⑴求证：)(x f 是周期函数；⑵当]4,2[∈x 时,求)(x f 的解析式；⑶计算：1、已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数,则)1(f 的范围是A 25)1(≥fB 25)1(=fC 25)1(≤fD 25)1(>f2、方程0122=++mx mx 有一根大于1,另一根小于1,则实根m 的取值范围是_______八．指数式与对数式 1．幂的有关概念1零指数幂)0(10≠=a a 2负整数指数幂()10,n na a n N a-*=≠∈ 3正分数指数幂()0,,,1m n m na a a m n N n *=>∈>； 5负分数指数幂()110,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>60的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质3．根式根式的性质:当n 是奇数,则a a n n =；当n 是偶数,则⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a n n4．对数1对数的概念:如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a2对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a3对数的运算性质 logMN=logM+logN对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且 对数的降幂公式：)10,0(log log ≠>>=a a N N mnN a n a m 且 1 213323121)()1.0()4()41(----⨯b a ab 2 1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+x 名称 指数函数 对数函数 一般形式 Y=a x a>0且a ≠1 y=log a x a>0 , a ≠1 定义域 -∞,+ ∞ 0,+ ∞ 值域 0,+ ∞ -∞,+ ∞ 过定点 ０,1 1,０ 图象 指数函数y=a x 与对数函数y=log a x a>0 , a ≠1图象关于y=x 对称数相同,如果底数相同,可利用指数函数的单调性；指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系对数式比较大小同理记住下列特殊值为底数的函数图象：3、研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的（1）1、平移变换：左+ 右- ,上+ 下- 即①函数图象及变化规则掌握几类基本的初等函数图像是学好本内容的前题1、基本函数1一次函数、2二次函数、3反比例函数、4指数函数、5对数函数、6三角函数;2、图象的变换1平移变换左加右减①函数y=fx+2的图象是把函数y=fx的图像沿x轴向左平移2个单位得到的；反之向右移2个单位②函数y=fx-3的图象是把函数y=fx的图像沿y轴向下平移3个单位得到的；反之向上移3个单位2对称变换①函数y=fx 与函数y=f-x 的图象关于直线x=0对称； 函数y=fx 与函数y=-fx 的图象关于直线y=0对称；函数y=fx 与函数y=-f-x 的图象关于坐标原点对称；②如果函数y=fx 对于一切x ∈R 都有fx+a=fx-a,那么y=fx 的图象关于直线x=a对称;③y=f-1x 与y=fx 关于直线y=x 对称 ⑤y=fx →y=f|x|3、伸缩变换y=afxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的纵坐标伸长a>1或缩短0<a<1到原来的a 倍;y=faxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的横坐标缩短a>1或伸长0<a<1到原来的a 倍;十．函数的其他性质1．函数的单调性通常也可以以下列形式表达：1212()()0f x f x x x ->- 单调递增1212()()0f x f x x x -<- 单调递减2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：()()0f x f x +-= 奇函数 ()()0f x f x --= 偶函数3．函数的凸凹性：1212()()()22x x f x f x f ++<凹函数图象“下凹”,如：指数函数 1212()()()22x x f x f x f ++>凸函数图象“上凸”,如：对数函数。
高中数学函数知识点(详细)
第二章 函数一．函数1、函数的概念：〔1〕定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． 〔2〕函数的三要素：定义域、值域、对应法那么〔3〕相同函数的判断方法：①表达式相同〔与表示自变量和函数值的字母无关〕；②定义域一致 (两点必须同时具备)2、定义域：〔1〕定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值范围。
〔2〕确定函数定义域的原那么：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。
〔3〕确定函数定义域的常见方法：①假设)(x f 是整式，那么定义域为全体实数②假设)(x f 是分式，那么定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数xy 111+=的定义域。
③假设)(x f 是偶次根式，那么定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1． 求函数 ()2143432-+--=x x xy 的定义域。
例2． 求函数()02112++-=x x y 的定义域。
④对数函数的真数必须大于零⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1⑥假设)(x f 为复合函数，那么定义域由其中各根本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10≠=x x⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 〔4〕求抽象函数〔复合函数〕的定义域函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2x f 的定义域 函数)12(-x f 的定义域为[0,1〕求)31(x f -的定义域3、值域 :〔1〕值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
〔2〕确定值域的原那么：先求定义域 〔3〕常见根本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数〔正余弦、正切〕〔4〕确定函数值域的常见方法：①直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。
高考数学函数的定义和性质
高考数学函数的定义和性质函数是高中数学中的重要概念之一。
它在高考数学中占有重要的地位，理解和掌握函数的定义和性质对于解题至关重要。
本文将从函数的定义、基本性质以及一些常见函数的性质等方面来进行阐述。
1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，可以将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一一个元素相关联。
用数学语言描述就是，对于集合A和B，如果存在一种规律，使得对于A中的每个元素a，都能找到B中唯一一个元素b与之对应，那么我们就可以说集合A和B之间存在一个函数f。
2. 函数的基本性质函数有一些基本的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性以及周期性等。
2.1 定义域和值域定义域是指函数能够取值的所有实数的集合，常用符号表示为D；值域是指函数所有可能取得的值的集合，常用符号表示为R。
2.2 单调性单调性指函数在定义域上的增减性质。
如果在定义域内任取两个实数a和b，并且a小于b，那么函数f(x)在a处的函数值f(a)和在b处的函数值f(b)之间的大小关系可以判断函数的单调性。
2.3 奇偶性函数的奇偶性是指函数关于原点(0,0)的对称性。
如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = -f(x)成立，则称函数是奇函数；如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = f(x)成立，则称函数是偶函数。
2.4 周期性周期性指函数在一定区间上具有重复性质。
如果存在一个正数T，使得对于定义域上的任何实数x，有f(x+T) = f(x)成立，则称函数具有周期性。
3. 常见函数的性质在高考数学中，有许多常见的函数，其中包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
每个函数都有其独特的性质，掌握这些性质对于解题非常有帮助。
3.1 一次函数一次函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
一次函数的图像是一条直线，其特点是斜率恒定。
3.2 二次函数二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不为零。
高中数学新教材必修一第三章 《函数的概念与性质》全套课件
4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一
个元素 √
5、对于不同的x , y的值也不同
×
6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量 √
巩固练习
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x|
（2）|y|=x
（3） y=x 2
（4）y2 =x
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1
2x
0y 2
x
2
D
0
2x
学习新知
初中我们已知接触过函数的三种表示方法：解析法、列表法和图 象法
问题 2 某电气维修公司一个工人的工资关于天数 d 的函数 w=350d. ②定义域{1,2,3,4,5,6}
学习新知 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷 大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集合分别表示 为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).
集合表示 区间表示 数轴表示
{x a＜x＜b} (a , b)
我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
时间（年）y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
请仿照前面的方法描述恩格尔系数r和时间（年）y的关系。
对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对
应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应， 那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x) , x∈A
高中数学函数知识点总结
高中数学函数知识点总结高中数学函数知识点总结一、函数概念函数是数学中重要的概念，具有广泛的应用。
函数是一种关系，它将一个集合的元素（自变量）与另一个集合的元素（因变量）联系起来。
常用的表示函数的方法是将它写为y=f(x)，其中y是函数值，x是自变量，f是函数名。
例如，y=x²就是一个函数，它的自变量是x，因变量是x²。
二、函数的定义域、值域和图像1.定义域函数的定义域是指自变量可以取的实数范围。
有些函数定义域有限，有些函数定义域是整个实数集合。
例如，y=1/x的定义域是所有非零实数，y=sin x的定义域是所有实数。
2.值域函数的值域是指函数在定义域内可以取到的所有函数值。
有些函数值域有限，有些函数值域是整个实数集合。
例如，y=1/x的值域是(-∞,0)或(0,∞)，y=sin x的值域是[-1,1]。
3.图像函数图像是函数在直角坐标系中的表示，它由所有(x,f(x))的点组成。
函数的图像能够反映函数的性质，例如函数的单调性、奇偶性、周期性等。
三、函数的分类函数可以按照多种方式进行分类，包括：1.初等函数与非初等函数初等函数包括基本初等函数和其它初等函数。
基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数函数，其它初等函数包括每个基本初等函数的若干种组合形式。
非初等函数则是指不能表示为初等函数的函数，例如Gamma函数和Bessel函数等。
2.显式函数与隐式函数显式函数就是已知函数值y，能够根据函数的表达式计算自变量x，例如y=x²+1。
隐式函数则是不能通过简单的代数运算得到x的表达式，例如x²+y²=1是一个圆的方程。
3.周期函数与非周期函数周期函数指函数f(x+T)=f(x)，其中T为正周期。
非周期函数则是指没有正周期的函数。
4.单调函数与非单调函数单调函数指自变量增大时函数值单调增加或单调减少的函数。
非单调函数则是指既有增又有减的函数。
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函数的概念与性质
【知识要点】
1.函数的概念及函数的三要素
2.怎么判断函数的单调性
3.怎么判断函数的奇偶性
【典型例题】
例1．求下列函数的解析式，并注明定义域．
（1）若x x x f 2)1(+=-，求)(x f ． （2）若31
)1(44-+=+x
x x x f ，求)(x f ．
例2.求下列函数的值域．
（1）)1(1
3
2≥++=x x x y （2）1)(--=x x x f
（3）232--=x x y （4）246
(),[1,4]1
x x f x x x ++=
∈+
例3.已知函数f （x ）=m （x +x 1）的图象与函数h （x ）=41（x +x
1
）+2的图象关于点A （0，1）对称. （1）求m 的值；
（2）若g （x ）=f （x ）+
x
a
4在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围.
例4．判断下列函数的奇偶性
（1）334)(2-+-=x x x f （2）x
x
x x f -+⋅-=11)1()(
例5．设定义在[-2，2]上的偶函数，)(x f 在区间[0，2]上单调递减，若)()1(m f m f <-，求实为数m 的取值范围。
例6．已知函数f （x ）=x +
x
p
+m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值.
（2）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值.
例7．（2005年北京东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ， 有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）. （1）求f （1）的值；
（2）判断f （x ）的奇偶性并证明；
（3）如果f （4）=1，f （3x +1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围.
课堂训练及作业：
1.（2004年全国Ⅲ，理5）函数y =)1(log 22
1-x 的定义域是（ ）
A.［－2，－1）∪（1，2］
B.（－3，－1）∪（1，2）
C.［－2，－1）∪（1，2］
D.（－2，－1）∪（1，2） 2.（2004年春季安徽）若f （sin x ）=2－cos2x ，则f （cos x ）等于（ ）
A.2－sin2x
B.2+sin2x
C.2－cos2x
D.2+cos2x 3．已知log (2),a y ax =-在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（0，2）
D ．「2，)∞+
4．（福建卷）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设6
3(),(),52a f b f ==5(),2
c f =则（ ）
（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<
5.（山东卷）设1
2
32,2()((2))log (1) 2.
x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，
则的值为，（ ） (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
6.（浙江卷）对a,b ∈R,记max{a,b}=⎩
⎨⎧≥b a b b
a a ＜,,，函数f （x ）＝max{|x+1|,|x-2|}(x ∈R)的最小值是（ ）
(A)0 (B)
12 (C) 3
2
(D)3 7.（天津卷）如果函数2()(31)(01)x x f x a a a a a =-->≠且在区间[)0+，∞上是增函数，那么实数a 的取值范围是（ ）
Ａ．203⎛⎤
⎥⎝⎦
，
Ｂ．1⎫
⎪⎪⎣⎭
Ｃ．(
1
Ｄ．3
2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭
，∞
8.（上海春）已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则 当
),0(∞+∈x 时，=)(x f .
9.（安徽卷）函数()f x 对于任意实数
x 满足条件()()
1
2f x f x +=
，若()15,f =-则()()5f f =_______________。
10.（辽宁卷）设,0.(),0.
x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1
(())2g g =__________。