自主招生考试常用不等式
一道自主招生不等式问题的加强及证明
即 ／（） ．ｎ—— ２ｚ ——————ｎ＋２ ｚ ２—－ ｌ ——— ——．ｅ．￣ ］ —ｘ—— （————－ｍ ———． （——）— — ６ｆ —— － ——一 — — —— － ） ［ｎ — —
．
与 加 强［］ 数 学 通 讯 ２ １ ，（ 半 月 ） Ｊ． ００９下 ．
（ 稿 日期 ：Ｏ Ｏ Ｏ — ５ 收 ２１—９２）
是“ 天上掉 下个林 妹妹 ” 本 文 笔者 用 构造 函数 的 ， 方法 来 证 明该 不 等 式 ， 开 文 Ｅ ｉ神 秘 证 明 的 揭 ｌ
面 纱． 证 明 设 厂ｚ （ ）： （ — Ｘ ） — ） 则 ｚ 。（ ，
一］ ｚ
， 为 ｚ ∈ （ １ ， 以 ｚ— 。＞ 。， 因 ｏ， ） 所
Ｘ 一 ｉ ｌ ｘ
ｚ２ 一 ｉ
文 ［ ］将 此 不 等 式 加 强 并 证 明 了 如 下 不 １
等式 ： 若ｚ， ， １ ２ …… ， ｚ 为小 于 Ｉ 的正数 且 １ ｚ ＋ｚ
＋ … ＋ 一 ｌ 则 ，
ｆ）［ ］递 ，［， 上 减 Ｅ， （在。 上 增在 ｚ 递 ，ｘ ｘ ， ｚ ２ ］
＋ ｚ 一 Ｉ，
ｏ 知ｇ ｇ） ０ 以 ， （ （ ＜ ， 娩∈（，， 易 ）１ 所 １ 故 ）
／（ ） Ｒ上有 ３ ｚ在 个零点 ｚ ， ，ｚ其大小关系为 ｚ，
ｚ＜０ 。 ＜ ＜ ｚ ＜ １由导函数 ／（） ， 的图象知
求证：
＋
＋ … ＋
” 一 ｚ
＞ ４ ．
故上述 不 等式 可 化为
上
．
— ≥ 二 ［ｎ ３ ， —多 ｌ ） ］ 二 ｊ 一’
Ｘ；－ － Ｘ３
厂（ ） （ —３ 。（ ｚ ： １ ｘ ）ｍ—ｚ ＋ 一ｚ 即ｆ （ ） ） ， ｚ 一
学生版——自主招生——(专题六)不等式——放缩法
1 (n 2)
6 2(2n 1)
(2)求证 : 1 1 1 4 16 36
1 11 4n2 2 4n
1 13 135
(3)求证 :
2 2 4 246
1 3 5 (2n 1) 2 4 6 2n
2n 1 1
(4) 求证： 2( n 1 1) 1 1 1 23
1 2( 2n 1 1)
n
【例 3】 求证 : 6n
111
(n 1)( 2n 1)
49
15 n2 3
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提高题分析
【例 1】（ 2008 年清华 )设函数 f (x) x xln x .数列 an 满足 0 a1 1. an 1
f ( an ) .
设 b ( a1，1) ，整数 k ≥ a1 b .证明 : ak 1 b .
a1 ln b
(I) 求证：函数 g (x) f ( x) 在(0, ) 上是增函数； x
(II) 当 x1 0, x2 0时,证明 : f ( x1 ) f (x2 ) f ( x1 x2 ) ；
f ( x) 在 x 0上恒成立 .
(III) 已知不等式 ln( 1 x ) x在 x 1且 x 0 时恒成立，
求证：
2! 3!
(1
1 )
e和 (1 1)(1
1)
n!
9 81
1 (1 3 2n )
e.
【例 5】 求证 : (1 1 2) (1 2 3) [1 n(n 1)] e2n 3
【例 6】 证明 : ln 2 ln 3 ln 4 345
ln n n(n 1) (n N *, n 1) n1 4
【例 7】 已知 a1
【 例 2 】 （ 2011 年 华 约 试 题 改 编 ) 已 知 n,m N , x 1, Sm 1m 2m 3m n m 1 (m 1)Sn (n 1) m 1 1 .
自主招生不等式(附答案)
第一部分奠基篇不等关系一、要点考点1. ⑴平均数不等式（平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数）：（a、b为正数，当a = b时取等号）⑵含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：①②（只需，时取等号）；（时取等号）⑶绝对值不等式：⑷柯西不等式：设则等号成立当且仅当.（约定时，）例如：.⑸常用不等式的放缩法：①②2. 常用不等式的解法举例（x为正数）：①②类似于③二、技能方法● 配方● 比较● 观察● 等价转化● 函数单调性● 基本不等式● 放缩● 构造● 数学归纳法三、典型例题例1、（复旦2008选拔）已知一个三角形的面积为，且它的外接圆半径为1，设分别是该三角形的三边长，令，，则和的关系是（）A． B.C． D. 无法确定解析：答案：例2、（浙大2008自招）已知，试问是否存在正数，使得对于任意正数可使为三边构成三角形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.解析：例3、（复旦2003保送）,,,…,是各不相同的正自然数，，求证：．证明：例4、（复旦2004保送）求证：．证明：不等关系——不等关系（1）【课后作业】1. （复旦2009自招）如果一个函数在其定义区间内对任意x，y都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数(1)(2)(3) (4)中是下凸函数的有A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)2.（中科大2009年自招）命题“若，则”的否命题是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则3.（南大2008自招）设是正数，且，求的最小值.4.（南开大学2008）有3个实根，证明：.不等关系——不等关系（1）【课后作业】1. （复旦2009自招）如果一个函数在其定义区间内对任意x，y都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数(1)(2)(3) (4)中是下凸函数的有A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)答案：D提示：不等关系，表示了函数图像的形态——下凸，即在函数图像上任取两个点，它们的连线段在函数图像上方．2.（中科大2009年自招）命题“若，则”的否命题是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则答案：C.说明：证明不等关系问题时，常常使用反证法，而反证法和四种命题是息息相关的，所以要掌握一定的命题知识，只要这样才能灵活解决数学问题．3.（南大2008自招）设是正数，且，求的最小值.提示：再利用基本不等式可得．答案：36.4.（南开大学2008）有3个实根，证明：. 证明：设三根为，则由韦达定理得，即从上式可知，必是三负或两正一负．用不等式的基本性质可排除两正一负的情形．于是，转化为正数后用基本不等式．。
2019年高校自主招生试题中的不等式问题
不等式题目 (共 35 道题目), 清华大学的优秀中学生暑期综合
营试题中出现 1 道不等式题目, 在北京大学的三位一体招生
数学试题中出现 3 道不等式题目 (共 20 道题目), 北京大学综
合营中不等式题目更是占到文理科共 7 道题目中的 3 道. 在
其他高校的招生考试中, 不等式题目也常有出现. 今年, 高校
评析 在上述方法中, 由均值不等式和配凑系数法, 不妨
设需要配凑的系数为 x 和 y, 则:
xy · ab(a + 8b) = a · xb · (ya + 8yb)
[ a + xb + (ya + 8yb) ]3 ( (1 + y)a + (x + 8y)b )3
≤
=
,
3
3
这 里 x, y, 要 满 足 题 目 要 求 和 均值 不 等 式 的 取 等 条 件,
赛一试中的不等式难度; 从方法上看, 配凑系数法和换元法
的考察较为频繁, 求导法、放缩法和数学归纳法也常有涉及,
有时也经常与解析几何、函数与方程、三角函数、向量、因式
分解等知识板块链接起来, 范围很广, 应予以重视.
例 1 (2019 年 上 海 交 大 自 招 考 试) 实 数 a, b 满 足
4a2 − 5ab + 4b2 = 19, 求 a2 + b2 的最大值.
招生政策面临重大调整,“强基计划”完全取代了实行 17 年
的自主招生政策, 但基于选拔人才的初衷和“一校一策”的依
托, 预计题目类型不会发生重大改变, 因此参考 2019 年的自
招试题, 对于备考和研究新的招生考试, 依然有着很重要的
经典不等式23种不等式
经典不等式23种不等式1、大于等式：若x>y，则x≥y。
2、小于等式：若x<y，则x≤y。
3、不等式：若x≠y，则x≠y。
4、加法不等式：若a+b>c，则a+b≥c。
5、减法不等式：若a-b<c，则a-b≤c。
6、乘法不等式：若ab>c，则ab≥c。
7、除法不等式：若a/b<c，则a/b≤c。
8、比较不等式：若x>y，则x·z>y·z。
9、一次不等式：若ax+b>0，则x>-b/a。
10、二次不等式：若ax2+bx+c>0，则x>-b/2a-√(b2-4ac)/2a。
11、立方不等式：若ax3+bx2+cx+d>0，则x>-b/3a-∛(b3-3abc+2d)/3a。
12、指数不等式：若a·cn>0，则n>lg a。
13、对数不等式：若a>b，则ln a>ln b。
14、平方根不等式：若a2>b，则a>√b。
15、立方根不等式：若a3>b，则a>∛b。
16、反比例不等式：若1/x>y，则x<1/y。
17、正比例不等式：若x>y，则kx>ky。
18、极限不等式：若limx→∞f(x)>L，则f(x)>L，对任意的x均成立。
19、重组不等式：若a+b>c+d，则a>d或b>c。
20、多项式不等式：若p(x)>q(x)，则有关x的多项式p(x)-q(x)的系数均大于0。
21、三角不等式：若a>b，则sin a > sin b。
22、函数不等式：若f(x)>g(x)，则f(x+h)>g(x+h)，其中h为任意实数。
23、条件不等式：若A>B且C>D，则AC>BD。
自主招生分类汇编不等式
一道2009年清华自主招生试题的解法题目：若,x y 为实数，且1x y +=，证明：对于任意正整数n ，有222112nn n xy -+≥.证明1：由“若0,0a b ≥≥则222()22a b a b ++≥”联想到“若*0,0,a b n N ≥≥∈，则()22n n na b a b ++≥” 下面用数学归纳法证明上述结论. 10当1n =时显然成立当2n =时，2222()()0222a b a b a b ++--=≥， 所以1n =，2n =时，命题成立20假设n k =时不等式成立，即()22k k k a b a b ++≥ 所以1()222k k k a b a b a b ++++∙≥ 只需证明11222k k k k a b a b a b +++++∙≤， 即证明11kkk k a b b a ab +++≤+. 而11()()0k k k k k k a b b a a b a b b a +++--=--≤,故1n k =+时不等式成立.综上可得：若*0,0,a b n N≥≥∈，则()22n n na b a b ++≥. 运用上面的结论有2222221()[()]2222n n n n n x y x y x y +++≥≥≥ 即222112nn n xy -+≥证明2：（1班苏启舟同学提供）依题意，,x y 中至少有一个大于0，不妨设0x > i)若0,0x y >≤，又1x y +=，则1x ≥， 所以2221112nn n xy -+≥>ii) 若0,0x y >>，不妨设x y ≥，则12x ≥ 则221222111()[222nn n nxx x x ---=-+ 2231()2n x -+222111()()]22n n x --+++ （1） 221222111()[222n n n ny y y y ---=-+2232221111()()()]222n n n y y ---++++ （2） 由（1）-(2)得2221212111()[()22n n n n n x y x x y ---+-=--22221()2n n x y --+-223231()()2n n x y --+- 221()()]2n x y -++-所以222112n nn x y -+≥.注：上述问题还有一些其他解法，请同学们尝试，并提供给数学组。
上海高中自主招生 专题11 解不等式(教案)
专题11解不等式（教案）前言：不等式是指用不等号连接两个算式（可以是代数式，也可以是各种实值函数的表达式）所得得式子。
对于含有未知数字母的不等式，寻求它的解，或是确定其无解的过程，称为解不等式。
一、专题知识1.基本公式（1）关于x 的不等式ax b >的解：①当0a >时，b x a >；②当0a <时，b x a<；③当0a =时：（ⅰ）当0b ≥，解集为空集；（ⅱ）当0b <时，解集为R 。
（2）一元二次不等式：20ax bx c ++>或20(0)ax bx c a ++<≠1若0∆>：（ⅰ）当0a >时，20ax bx c ++>的解在方程20ax bx c ++=的两根之外，即x x >大或x x <小；20ax bx c ++<的解在方程20ax bx c ++=的两根之间，即x x x <<小大；（ⅱ）当0a <时，20ax bx c ++>的解在方程20ax bx c ++=的两根之间，即x x x <<小大；20ax bx c ++<的解在方程20ax bx c ++=的两根之外，即x x >大或x x <小。
②若0∆=：当0a >时，20ax bx c ++>的解为2b x a≠-；20ax bx c ++<的解为空集。
③若0∆<：（i ）当0a >时，20ax bx c ++>的解为一切实数；20ax bx c ++<的解为空集。
（ii ）当0a <时，20ax bx c ++>的解为空集；20ax bx c ++<的解为一切实数。
2.基本结论（1）不等式的基本原理：①0a b a b->⇔>②0a b a b-<⇔<③0a b a b-=⇔=（2）不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等式的方向不变。
历年自主招生试题分类汇编不等式.doc
历年自主招生试题分类汇编——不等式5. （ 2014 年北约） 已知 xy1 且 x, y 都是负数 ,求 xy1的最值 .xy【解】由 x 0, y 0可知 ,xy 1 | x y | 1 | x | | y | 1 , 所以 | xy | | x || y | (| x | | y|)2 1 ,即 xy (0, 1] ,444令 t xy(0, 1] ,则易知函数 y t 1 在 (0,1] 上递减 ,所以其在 (0, 1] 上递减 ,4 t 4 于是 xy11 17有最小值 4 4,无最大值 .xy4解答二： 1( x) ( y) 2 xy 得 0 xy 1，而函数 f (t) t 1 在 (0,1) 上单调递4t减，在 (1,) 单调递增， 故 f ( xy)f (1) ，即 xy 1 17 ，当且仅当 x y1 时4xy 42取等号．10. （ 2014 年北约） 已知 x 1, x 2 ,L ,x n R ,且 x 1x 2 L x n 1,求证: ( 2 x 1 )( 2 x 2 ) L ( 2 x n ) ( 2 1)n .【证】 (一法 :数学归纳法 )①当 n 1 时,左边 2 x 12 1 2 1 右边 ,不等式成立 ;②假设 n k( k 1,k N * ) 时 ,不等式 ( 2 x 1)(2 x 2 )L ( 2 x k ) ( 2 1)k成立 .那么当n k 1 时 , 则 x x L x xk 11 由于这k 1 个正数不能同时都大于也不能同时都1 2 k ,1,小于 1,因此存在两个数 ,其中一个不大于 1,另一个不小于 1,不妨设 x k 1,0 x k 11,从而 ( x k 1)(x k 1 1) 0x k x k 1 1 x k x k 1 ,所以( 2 x 1 )( 2 x 2 ) L ( 2 x k )( 2 x k 1)( 2 x 1 )( 2 x 2 )L [22( x k x k 1 ) x k x k 1 ]( 2 x 1 )( 2 x 2 )L ( 2 x k x k 1 )( 2 1) ( 2 1)k ( 2 1) ( 2 1)k 1其中推导上式时利用了 x 1x 2 L x k 1 (x k x k 1 ) 1 及 n k, n k 1 时不等式也成时的假设 故立.综上①②知 ,不等式对任意正整数 n 都成立 .(二法 )左边展开得 ( 2 x 1 )( 2 x 2 )L ( 2 x n )n( 2) n ( 2) n 1x i ( 2) n 2 (x i x j ) L( 2) n k (x i 1 x i 2 L x i k ) x 1x 2 L x ni 11 i j n1 i 1 i2 L i k n由平均 不等式得11x i 1 x i 2 L x i k ) C nkk 11 i 1 i2 L i k nx i 1 x i 2 L x i kC n k (C n k(( x 1x 2 L x n ) C n 1 ) C n kC n k1 i 1 i2 L i kn故 ( 2 x 1 )( 2 x 2 ) L ( 2 x n )2) n ( 2) n 1C n 1 ( 2) n 2 C n 2 L ( 2) n k C n k LC n n ( 2 1)n ,即 .(三法 )由平均 不等式有n 2n21nx knx k 1n(n⋯⋯① ;n() n⋯⋯②)2 x k2 x kk 12 x kk 12 x kk 1k 11 2 ( x 1 x 2 L x n )n , 即 ( 2 x 1 )( 2n①+②得 n nn1x 2 )L ( 2 x n ) ( 2 1)成立 .(k 12 x k ) n1n22( 四 法 )由AM GM不 等 式 得 ：( ) n ，n i 1 x i 2n( x i2)i 11 (nnx i12 1) ， 两 式 相 加 得 ： 1， 故nni 1x i 2( x i 2)n( x i2)ni 1i 1n1)n ．( 2 x i ) ( 2i 11．（ 2011 年北 文） 0，求 ： sin tan ．2【解析】 不妨 f ( x)xsin x ， f (0) 0 ，且当 0x ， f ( x) 1 cos x 0 ．于是2f ( x) 在 0x上 增．∴ f ( x) f (0) 0 ．即有 x sin x ．2同理可 g (x) tan x x0 ．g(0)0 ，当 0 x1 1 0 ．于是 g ( x) 在 0x上 增。
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自主招生考试常用的不等式1．柯西不等式))(()(2n 22212n 22212n 2211b b b a a a b a b a b a n ++++++≤+++ ，其中等号成立条件为nn b a b a b a ==2211。
证明：构造一元二次函数2221122()()()()n n f x a x b a x b a x b =-+-++-，则222222212n 1122n 12n ()()2()()0n f x a a a x a b a b a b x b b b =+++-+++++++≥等价于判别式小于等于0，即0))((4)(42n 22212n 22212n 2211≤++++++-+++b b b a a a b a b a b a n ，得证，且等号成立条件，nn b a b a b a ==2211。
2．四个平均的关系： 平方平均na a a Q n 2n2221+++=，算术平均n a a a A n n +++= 21，几何平均nnn a a a G 21=，调和平均nn a a a H 111121+++= 。
满足关系：n n n n H G A Q ≥≥≥，其中等号成立条件为n a a a === 21。
调和平均不常用。
3．排序不等式（排序原理）： 设有两个有序数组：n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有112121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n j n j j n n n +++≥+++≥+++- （同序和）（乱序和） （逆序和） 。
其中n j j j ,,,21 是1,2,…,n 的一个排列。
4．切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有nb b b n a a a n b a b a b a nn n n +++⋅+++≥+++ 21212211。
附：切比雪夫不等式其实是排序不等式的应用。
5．关于凸函数的琴生不等式：（1）函数的凹凸性：定义：设连续函数()f x 的定义域为 (a ，b )，如果对于 (a ，b )内任意两数x 1，x 2，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤①则称()f x 为 (a ，b )上的下凸函数．注：①若把①式的不等号反向，则称这样的()f x 为区间 (a ，b )上的上凸函数．（或凹函数）②下凸函数的几何意义：过()y f x =曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）．常见的上凸（凹）函数，0=sin ,=cos ,=lg sin ,=log cos 2y x y x y x y x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上， 常见的（下）凸函数，[)2310+=,=,=,=n n y x y x y x y x∞，上， ③()f x 的二阶导数''()0f x ≥，则()f x 为下凸函数；()f x 的二阶导数''()0f x ≤，则()f x 为上凸函数。
二、凸函数有琴生不等式性质：若)(x f 在区间I 为下凸函数，则对I x x x n ∈,,,21 ， 总有nx f x f x f n x x x f n n )()()()(2121+++≤+++ ；若)(x f 在区间I 为上凸函数，则对I x x x n ∈,,,21 ， 总有nx f x f x f n x x x f n n )()()()(2121+++≥+++ 。
附：应用21)(xx f =，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式 221322221)(111n n a a a n a a a +++≥+++ ，等号成立条件n a a a === 21。
而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式，是利用调和平均和平方平均的关系，得到的222212221)111(nn a a a n a a a +++≥+++ ，等号成立条件n a a a === 21。
加权形式：[]()()()+121211221122R +++=1(),(++)+++n n n n n n a a a a a a f x a b f a x a x a x a f x a f x a f x ∈≤对任意一列，，，，，函数是上的凸函数，有[]()()()+121211221122R +++=1(),(++)+++n n n n n n a a a a a a f x a b f a x a x a x a f x a f x a f x ∈≥对任意一列，，，，，函数是上的凹函数，有常用不等式：121212121212++++++(t>1);++++++(0<t<1);+++tt tt nn tt ttnn nn nx x x x x x n n x x x x x x nn x x x x x x n ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭⎛⎫≤ ⎪⎝⎭⎛⎫≥ ⎪⎝⎭例1. 解方程组22294862439x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩例2.2123BC CA AB ,(++)++2S123P d ,d ,d S a a a a b c d d d ∆∆≥为ABC 内一点，它到三边、、的距离分别为为ABC 的面积求证：例3. 有小于1的正数12123331122111,,,,+++=1+++>4---n n n nx x x xx x x x x x x x 且，求证： 例4. 设222111,,c ++=1,+++++a b a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为正数，且求的最小值例5.已知111>0,>0,+++<++2+n a b a b a ba b求证：例6. 求证：22,,++3(+y-1)x y R x y xy x ∀∈≥对恒成立。
例7证明：方程133334-2=1(y 0)-2<x x y x,y y y≠的任一组整数解（）都满足例8.求证：31+<3n例9.已知正数列12,,,n a a a ，对大于1的n ，有123+++=,2n a a a n 12+1=,2n n a a a 1211n a a a 试证：，，，中至少有个小于.例10. 若a b c R +∈，，，求a b cb c c a a b+++++的最小值例11. 用琴生不等式证明均值不等式n n A G ≥，即：122nn i n a a a a R a n++++∈≥，则．例12 a b c +∈R ，，，且a + b + c = 39．例13.()f x 定义在 (a ，b ) 上，()f x 在 (a ，b ) 上恒大于0，且对12()x x a b ∈，，有21212()()[()]2x x f x f x f +≥．一、函数的凹凸性：定义：设连续函数()f x 的定义域为 (a ，b )，如果对于 (a ，b )内任意两数x 1，x 2，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤①则称()f x 为 (a ，b )上的下凸函数．注：1．若把①式的不等号反向，则称这样的()f x 为区间 (a ，b )上的上凸函数．（或凹函数）2．下凸函数的几何意义：过()y f x =曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）．二、琴生不等式：若()f x 是区间 (a ，b ) 上的凸函数，则对任意的点x 1，x 2，…，x n ∈(a ，b )，有12121()[()()()]nn x x x f f x f x f x nn+++≤+++取“=”条件：x 1 = x 2 = … = x n 注：更一般的情形：设()f x 是定义在区间 (a ，b ) 上的函数，如果对于(a ，b )上任意两点x 1，x 2，有1212()()()pf x pf x f px qx +≥+（其中1p q R p q +∈+=，，），则称()f x 是(a ，b ) 上的下凸函数．其推广形式，即加权的琴生不等式：设12121n n q q q R q q q +∈+++=，，，，且，若()f x 是区间 (a ，b ) 上的下凸函数，则对任意的x 1，x 2，…，x n ∈(a ，b )有11221122()()()()n n n n f q x q x q x q f x q f x q f x +++≤+++．取“=”条件：12n x x x ===说明：以上各不等式反向，即得凹函数的琴生不等式． 例1 证明：(1) ()sin f x x =在[0)π，上是上凸函数(2) ()lg g x x =在(0)+∞，上是上凸函数 (3) ()tan )2h x x π=在[0，上是下凸函数证明：(1) 对12[0)x x π∀∈，，121212121212()()1(sin sin )sin cos sin ()222222f x f x x x x x x x x xx x f ++-++=+=≤=(2) 对12[0)x x ∀∈∞，，+1212lg lg lg 22x x x x++= ()()g x g x x x++(3) 当1202x x π≤<，时1212121212121212sin sin sin()2sin()tan tan cos cos cos cos cos()cos()x x x x x x x x x x x x x x x x +++=+==++- 1212122sin()2tan cos()12x x x x x x ++≥=++ （∵sin tan 1cos 2ααα=+）即：1212()()()22h x h x x xh ++≥．例2 用琴生不等式证明均值不等式n n A G ≥，即：122nn i n a a a a R a n++++∈≥，则．证：∵i a R +∈设()lg f x x =，则()f x 为(0)+∞，上的上凸函数 由琴生不等式： 12121(lg lg lg )lg nn a a a a a a nn++++++≤即122nn a a a a n+++≤例3 a bc +∈R ，，，且a + b + c = 39≤．证明：设()f x =()(0)f x ∞为，+上的凹函数．由琴生：1[()()()]()(1)333a b cf a f b f c f f ++++≤==∴ ()()()9f a f b f c ++≤．例4 ()f x 定义在 (a ，b ) 上，()f x 在 (a ，b ) 上恒大于0，且对12()x x a b ∈，，有21212()()[()]2x x f x f x f +≥． 求证：当12()n x x x a b ∈，，，时，有1212()()()[()]n nn x x x f x f x f x f n+++≥．证明：由题：对12()x x a b ∀∈，，，有21212()()[()]2x x f x f x f +≥，两边取常对： 则有1212lg ()lg ()2lg ()2x x f x f x f ++≥ 即1212lg ()lg ()lg ()22f x f x x xf ++≥于是：令()lg ()g x f x =，则()g x 为(a ，b ) 上的凸函数 由琴生不等式：对12()n x x x a b ∈，，，，有 1212lg ()lg ()lg ()lg ()n nf x f x f x x x x f nn ++++++≥即12()()()[()]n nx x x f x f x f x f +++≥．。